Bài tập tích phân chọn lọc

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên!
04. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Bài 1: Tính tích phân
3
2
2
1
2
1
dx
I
x x
=
−
∫

Lời giải:
Đặt
2 2 2
2
1 1 2 2
dx tdt
t x t x tdt xdx
x x
= − ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −
2 2
1 1
dx tdt tdt
x t t
⇒ = − =

− −

Đổ
i c
ậ
n:
1 3 3 1
;
2 2 2 2
x t x t
= ⇒ = = ⇒ =

1 3
3
2 2
2
1
2 2
1
2
3
2
2
1 1 1 7 4 3
ln ln
1 1 2 1 2 3
|
dt dt t
I
t t t

 
+ +
= = = =
 
 
− − −
 
∫ ∫

Bài 2: Tính tích phân
π
2
cos
0
( sin ).sin 2
x
I e x xdx
= +
∫

Lời giải:
Ta có
2 2 2
cos cos
1 2
0 0 0
( sin ).sin 2 . 2 .cos .sin . sin .sin 2 .
x x
I e x x dx e x xdx x xdx I I
π π π

= + = + = +
∫ ∫ ∫

+ Xét
2
cos
1
0
.cos .sin .
x
I e x xdx
π
=
∫
.
Đặ
t
cos sin
t x dt xdx
= ⇒ = −
, ta có
1 1
1
1
0
0 0
. . . . 1
t t t
I t e dt t e e dt
= = − =

∫ ∫

+ Xét
π π
π
2 2
2
2
0 0
0
1 1 1 2
sin .sin 2 . (cos cos3 ). sin sin3
2 2 3 3
I x xdx x x dx x x
 
= = − = − =
 
 
∫ ∫

Vậy:
2
cos
0
2 8
( sin ).sin 2 . 2
3 3
x
I e x xdx
π

= + = + =
∫

Bài 3: Tính tích phân
1
ln 2
ln
e
x
I dx
x x x
−
=
+
∫

Lời giải:
Ta có
1 1
ln 2 ln 2
ln (ln 1)
e e
x x
I dx dx
x x x x x
− −
= =
+ +
∫ ∫

Đặ
t
t
= ln
x
+ 1
⇒
1
dt dx
x
= ;
Đổ
i c
ậ
n:
x
= 1 thì
t
= 1;
x
=
e
thì
t
= 2
Suy ra
( )
2 2
2
1

1 1
3 3
1 ln | | 1 ln 2
t
I dt dt t t
t t
−
 
= = − = − = −
 
 
∫ ∫

Bài 4:
Tính tích phân:
∫
−+
1
0
2
11 x
dx

Lời giải:
Đặ
t
π π
sin ; ;
2 2
x t t

 
= ∈ −
 
 
. Ta có
cos
dx tdt
=
và
2 2 2
1 1 sin cos cos cos
x t t t t
− = − = = = .
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên!
Đổi cận: Với x = 0 thì t = 0; với x = 1 thì
π
2
t
=
.
Từ đó
π
1
2
2
0 0
cos
1 cos
1 1

dx tdt
t
x
=
+
+ −
∫ ∫
=
π
2
2
2
0
2cos 1
2
2cos
2
t
dt
t
−
∫
=
π π
π
2 2
2
2
0 0
0

π
2
tan 1
2 2
cos
2
t
d
t
dt t
t
 
 
 
 
− = − = −
 
 
∫ ∫
.
Bài 5:
Tính tích phân
( )
π
2
3
π
4
2sin 3 cos
sin

x x x
I dx
x
+ −
=
∫
.
Lời giải:
( ) ( )
π π π
2 2 2
3 3 3
π π π
4 4 4
2sin 3 cos 2sin 3 cos
cos
sin sin sin
x x x x x
x x
I dx dx dx
x x x
+ − −
= = +
∫ ∫ ∫
π π π
π
π
2 2 2
2
2

π
1
3 2 2 2
π
π π π
4
4
4 4 4
cos 1 1 1 1 1 1
π π 1 1
cot
sin 2 sin 2 sin 2 sin 2 2 2 2 2
x x x
I dx xd dx x
x x x x
   
= = − = − + = − − − =
   
   
∫ ∫ ∫

( )
( )
2 2
2
3 3
4 4
2sin 3 cos
2sin 3 7
sin 2 2

sin sin 2
x x
x
I dx d x
x x
π π
π π
−
−
= = = −
∫ ∫
.
Vậy
1 2
2 2 3
= + = −
I I I

Bài 6:
Tính tích phân
π
6
0
π
tan
4
cos2
x
I dx
x

 
−
 
 
=
∫

Lời giải:
Ta có
π π
2
6 6
2
0 0
π
tan
tan 1
4
cos2 (tan 1)
x
x
I dx dx
x x
 
−
 
+
 
= = −
+

∫ ∫

Đặt
2
2
1
tan (tan 1)
cos
t x dt dx x dx
x
=
⇒
= = + ; đổi cận:
1
0 0,
6
3
x t x t
π
=
⇒
= =
⇒
=
Suy ra
1
1
3
3
2

0
0
1 1 3
( 1) 1 2
dt
I
t t
−
= − = =
+ +
∫

Bài 7: Tính tích phân
2
2
0
1 3sin2 2cos
x xdx
π
− +
∫

Lời giải:
Ta có
π π π
2 2 2
2 2
0 0 0
1 3sin2 2cos (sin 3 cos ) sin 3 cos
I x xdx x x dx x x dx

= − + = − = −
∫ ∫ ∫

π
sin 3cos 0 tan 3
π
3
x x x x k
− = ⇔ = ⇔ = +

Do
0;
2
x
π
 
∈
 
 
nên
π
3
x
=

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên!
Do đó
π π
3

2
π
0
3
sin 3 cos sin 3 cos
I x x dx x x dx
= − + −
∫ ∫

π π
3
2
π
0
3
(sin 3cos ) (sin 3 cos )
x x dx x x dx
= − + −
∫ ∫

( ) ( )
π π
3 2
π
0
3
cos 3sin cos 3sin
x x x x
= − − + − −

1 3 1 3
1 3 3 3
2 2 2 2
= − − + + − + + = −

Bài 8:
Tính tích phân
2
1
ln
3 ln
1 ln
e
x
I x x dx
x x
 
= +
 
+
 
∫

Lời giải:
Ta có
2 2
1 2
1 1 1
ln ln
3 ln 3 ln 3

1 ln 1 ln
e e e
x x
I x x dx I dx x xdx I I
x x x x
 
= + = = + = +
 
+ +
 
∫ ∫ ∫

+) Tính
∫
+
=
e
dx
xx
x
I
1
1
ln1
ln
.
Đặt
2
1
1 ln 1 ln ; 2

t x t x tdt dx
x
= + ⇒ = + =
Đổ
i c
ậ
n:
1 1; 2
x t x e t= ⇒ = = ⇒ =
( )
( )
(
)
2
3
2
2
2 2
2 2 2
1
.2 2 1 2
1
3 3
1 1
1
t
t
I tdt t dt t
t
−

−
 
⇒ = = − = − =
∫ ∫
 
 

+) Tính
2
2
1
ln
e
I x xdx
=
∫
. Đặt
2 3
ln
3
dx
du
u x
x
dv x dx x
v

=

=



⇒
 
=


=



3 3 3 3 3 3
2
2 1 1
1
1 1 1 2 1
.ln .
3 3 3 3 3 3 9 9 9
e
e e
x e x e e e
I x x dx
+
⇒
= − = − = − + =
∫

Suy ra
3
1 2

5 2 2 2
3
3
e
I I I
− +
= + =
Bài 9: Tính tích phân
1
( 2)ln
(1 ln )
e
x x x
I dx
x x
− +
=
+
∫

Lời giải:
Ta có
1 1 1
(1 ln ) 2ln ln
2 1 2
(1 ln ) (1 ln )
e e e
x x x x
I dx dx dx e J
x x x x

+ −
= = − = − −
+ +
∫ ∫ ∫

Xét
1 1
ln ln ( ln )
(1 ln ) 1 ln
e e
x x d x
J dx dx
x x x
= =
+ +
∫ ∫

Đặt
1 ln
t x
= +
, ta có
( )
2 2
2
1
1 1
1 1
1 ln 1 ln 2
t

J dt dt t t
t t
−
 
= = − = − = −
 
 
∫ ∫

V
ậ
y
3 2ln 2
I e
= − +

Bài 10:
Tính tích phân
1
π
2 2
3π
4
2tan
cos
x
e x
I x x dx
x x
 

 
 
= + +
 
 
 
 
 
∫

Lời giải:
Ta có:
1
π π π π
1
2
2 2 2 2
3π 3π 3π 3π
4 4 4 4
1
2tan . 2 tan
cos cos
x
x
e x x
I x x dx e dx dx x xdx
x x x x
 
 
 

= + + = + +
 
 
 
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
(1)
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên!
+)
1 1 1 1 4
3
2
3
3 3
4
4 4
1 1
.
x x x
e dx e d e e e
x x
π
π π
π π
π
π π
 
= − = − = − +

 
 
∫ ∫

+)
π
2
2
3π
4
cos
x
J dx
x
=
∫
: Đặt
( )
2
2
3
3
4
2
4
2
tan 2 tan
1
tan
cos

u x
du xdx
J x x x xdx
v x
dv dx
x
π
π
π
π

=
=


⇒ ⇒ = −
 
=
=



∫

Suy ra
π
2
3
π
4

9π
2 tan
16
J x xdx
= −
∫

Thay vào (1) ta có
1 4
2
π
3
π
9
π
16
I e e= − + +
Bài 11: Tính tích phân :
π
4
2
0
sin sin 2
cos
x x x
I dx
x
+
=
∫

Lời giải:
+ Ta có
π π
4 4
2
0 0
sin sin
2
cos cos
x x x
I dx dx
x x
= +
∫ ∫
;
đặ
t
π π
4 4
1 2
2
0 0
sin sin
; 2
cos cos
x x x
I dx I dx
x x
= =

∫ ∫

+ Tính
1
I
:
Đặ
t
2
2
sin 1
; cos (cos )
cos cos
x
u x du dx v dx xd x
x x
−
= ⇒ = = = − =
∫ ∫

π
4
1
0
π π π
1 1 sin
π 2 1 2 2
ln ln
4 4 4
cos cos cos 2 1 sin 4 2

2 2
0 0 0
x dx x x
I
x x x x
+ +
⇒ = − = − = −
∫
−
−

+ Tính
4
2
0
(cos ) 2
2 2ln cos 2ln
4
cos 2
0
d x
I x
x
π
π
= − = − = −
∫

Vậy
1 2

π 2 1 2 2 2
ln 2ln
4 2 2
2 2
I I I
+
= + = − −
−

Bài 12: Tính tích phân
ln6
0
.
3 3 2 7
x
x x
e
I dx
e e
=
∫
+ + +

Lời giải:
Đặt
.3 te
x
=+
Khi đó .d23
2

ttdxete
xx
=⇒−= Khi ,20
=
⇒
=
tx khi
.36ln
=
⇒
=
tx
Suy ra
3 3
2 2
2 2
2
2
3 2( 3) 7 2 3 1
tdt t
I dt
t t t t
= =
∫ ∫
+ − + + +

3 3
2 2
1 1
2 2

( 1)(2 1) 1 2 1
t
dt dt
t t t t
 
= = −
∫ ∫
 
+ + + +
 
3 3
2 2
80
2ln 1 ln 2 1 (2ln 4 2ln3) (ln7 ln5) ln .
63
t t= + − + = − − − =
Bài 13:
Tính tích phân
6
2
2 1 4 1
dx
I
x x
=
+ + +
∫
.
Lời giải:
Đặ

t
2
1
4 1
4 2
t tdt
t x x dx
−
= + ⇒ = ⇒ =
(
)
(
)
2 3, 6 5
t t
= =

Khi
đ
ó
( ) ( )
5 5
5
3
2 2
3 3
1 1 1 3 1
ln 1 ln
1 1 2 12
1 1

tdt
I dt t
t t
t t
 
 
= = − = + + = −
 
 
 
+ +
 
+ +
 
∫ ∫
5
3
1
ln 1
1
t
t
 
= + +
 
+
 
3 1
ln
2 12

= −

LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên!
Bài 14: Tính tích phân:
4
0
sin 2
1 cos2
x x
I dx
x
π
+
=
+
∫

Lời giải:
Ta có
π π π
4 4 4
1 2
0 0 0
sin 2 sin 2
1 cos2 1 cos2 1 cos2
x x xdx x
I dx dx I I
x x x
+

= = + = +
+ + +
∫ ∫ ∫

+
Tính
4 4
1
0 0
sin 2 1 (1 cos2 )
1 cos2 2 1 cos2
x d x
I dx
x x
π π
+
= = −
+ +
∫ ∫
4
0
1 1
ln(1 cos2 ) ln 2
2 2
x
π
 
= − + =
 
 

+ Tính
4
2
2
0
cos
x
I dx
x
π
=
∫
.
Đặ
t:
2
; tan
cos
dx
u x du dx dv v x
x
= ⇒ = = ⇒ =
4
4
2
0
0
sin 2
( tan ) ln

cos 4 2
x
I x x dx
x
π
π
π
⇒
= − = +
∫
. V
ậ
y
1
ln 2
8 4
I
π
= +
Bài 15:
Tính tích phân
3
2
2 2
2 ln ln 3
(1 ln )
e
e
x x x x
I dx

x x
− +
=
−
∫
.
Lời giải:
(
)
( ) ( )
3 3 3
2 2 2
2 ln ln 1 3
1
3 2 ln
1 ln 1 ln
e e e
e e e
x x x
I dx dx xdx
x x x x
− +
= = −
− −
∫ ∫ ∫
( )
3 3
3
2
2 2

1
3 (ln ) 2 ln
1 ln
e e
e
e
e e
d x x x dx
x
 
= − −
 
 
−
 
∫ ∫

( )
(
)
3
3 3
2 2
2
3 2
3ln 1 ln 2 ln 3ln2 4 2 .
e
e e
e e
e

x x x x e e
= − − − − = − − +

Bài 16:
Tính tích phân
π
4
π
8
cot tan
π
sin 2 cos 2
4
x x
I dx
x x
−
=
 
−
 
 
∫

Lời giải:
4
8
cot tan
sin 2 cos 2
4

x x
I dx
x x
π
π
π
−
=
 
−
 
 
∫
2 2
4 4
8 8
cos sin
cot tan
sin .cos
sin 2 cos 2 sin 2 cos2 .cos sin 2 .sin
4 4 4
x x
x x
x x
I dx dx
x x x x x
π π
π π
π π π
−

−
= =
   
− +
   
   
∫ ∫

( )
4 4
2
8 8
cot 2 cot 2 1
2 2 2 2 .
sin 2 cos2 sin 2 1 cot 2 sin 2
x x
dx dx
x x x x x
π π
π π
= =
+ +
∫ ∫

Đặt
2 2
2 1 1
cot 2
sin 2 2 sin 2
t x dt dx dt dx

x x
= ⇒ = − ⇒ − = . Đổi cận:
1; 0
8 4
x t x t
π π
= ⇒ = = ⇒ =

0
1
1
2 2 .
1 2
t
I dt
t
 
= −
 
+
 
∫

1 1
0 0
1
2 2 1
1 1
t
dt dt

t t
 
= = −
 
+ +
 
∫ ∫
( )
( )
1
0
2 ln 1 2 1 ln2
t t= − + = −
Bài 17:
Tính tích phân
+ +
=
+
∫
x x
I dx
x x x
1
7
4 2
3
2 3
1
26
3 1

.
Lời giải:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC CẤP TỐC 2013 – MoonTV Thầy Đặng Việt Hùng
Tham gia khóa TOÁN để đạt được 8 điểm Toán trở lên!
( )
( )
+ + +
= = + = +
+ + +
+
+
∗ = = = + =
+ +
 
∗ = = − + = − +
 
 
+ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
x x x x
I dx dx dx I I
x x x x x x x x x
d x x
x
Tính I dx x x
x x x x
Tính I dx d
x x

x x
1 1 1
7 7 7
4 2 4 2
1 2
3 3 3
2 3 2 3 2 3
1 1 1
26 26 26
1 1
3
7 7
2
2
3
3
1
3 3
3 3
1 1
26 26
1 1
7 7
2
3 2
1 1
3 3
2 2
26 26
3 1 3 1

1
3 1 3 123
7

2 364
1
26
1 1 1 1 1 3 1
1 1
2 4
1 1
1 1
 
=
 
 
=
x
Vaäy I
2
3
2
1
15
7
4
1
26
322
.

91

Bài 18: Tính tích phân
π
2
0
3sin cos
2sin cos
x x
I dx
x x
−
=
+
∫
.
Ta có
π π π π
2 2 2 2
0 0 0 0
3sin cos 2sin cos sin 2cos sin 2cos π
2sin cos 2sin cos 2sin cos 2
x x x x x x x x
I dx dx dx dx J
x x x x x x
− + + − −
= = = + = +
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫

Đặ
t
2sin cos (2cos sin )
t x x dt x x dx
= + ⇒ = −

Đổi cận: Khi x = 0 thì t = 1, khi x =
π
2
2
x t
= ⇒ =

Khi đó
2
1
2
ln ln 2
1
dt
J t
t
= − = − = −
∫

Vậy
π
ln2
2
I

= −

Bài 19:
Tính tích phân
2
6
4
4sin cos 1
6
x
I dx
x x
π
π
π
=
 
+ +
 
 
∫

Lời giải:
Ta có
( )
2 2 2
6 6 6
4 4 4
3sin2 cos2 2
2 3sin cos cos 1

4sin cos 1
6
x x x
I dx dx dx
x x
x x x
x x
π π π
π π π
π
= = =
 
+ +
+ +
+ +
 
 
∫ ∫ ∫

2 2
2
6 6
2
cos 2 1 cos
3 6
x x
dx dx
x x
π π
π π

π π
= =
   
− + −
   
   
∫ ∫
Đặt
2
tan
cos
6
6
u x
du dx
dx
dv
v x
x
π
π
=

=


 
⇒
=
 

 
= −
 
 
 
−
 
 


 

nên
2 2
2 2
6 6
6 6
3 3
6
tan tan lncos
6 6 2 2 6
cos
6
d x
x x x dx x
x
π π
π π
π π
π π

π
π π π π π
π
 
−
 
   
     
 
= − − − = − = − −
     
   
 
     
   
−
 
 
∫ ∫
3
ln 3
2
π
= −