Bài tập tích phân hay

sBi tp Tớch phõn
Trang 1
TP1: TCH PHN HM S HU T
Dng 1: Tỏch phõn thc
Cõu 1.
x
I dx
x x
2
2
2
1
7 12
=
- +
ũ

ã

I dx
x x
2
1
16 9
1
4 3
ổ ử
= + -
ỗ ữ
- -
ố ứ

ũ
=
( )
x x x
2
1
16 ln 4 9ln 3
+ - - - =
1 25ln 2 16 ln 3 + -
.
Cõu 2.
dx
I
x x
2
5 3
1
=
+
ũ

ã
Ta cú:
x
x
x x x x
3 2 3 2
1 1 1
( 1 ) 1
= - + +

+ +

ị
I x x
x
2
2
2
1 1 3 1 3
ln ln( 1 ) ln 2 ln5
2 2 2 8
1
2
ộ ự
= - - + + = - + +
ờ ỳ
ở ỷ
Cõu 3.
x
I dx
x x x
5
2
3 2
4
3 1
2 5 6
+
=
- - +

ũ

ã
I
2 4 1 3 7 14
ln ln ln 2
3 3 15 6 5
= - + +
Dng 2: i bin s
Cõu 4.
x
I dx
x
2
4
( 1 )
(2 1 )
-
=
+
ũ

ã
Ta cú:
x x
f x
x x
2
1 1 1
( ) . .

3 2 1 2 1
Â
ổ ử ổ ử
- -
=
ỗ ữ ỗ ữ
+ +
ố ứ ố ứ
ị
x
I C
x
3
1 1
9 2 1
ổ ử -
= +
ỗ ữ
+
ố ứ
Cõu 5.
( )
( )
x
I dx
x
99
1
101
0

7 1
2 1
-
=
+
ũ
ã

( )
x dx x x
I d
x x x
x
99 99
1 1
2
0 0
7 1 1 7 1 7 1
2 1 9 2 1 2 1
2 1
ổ ử ổ ử ổ ử
- - -
= =
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
+ + +
ố ứ ố ứ ố ứ
+
ũ ũ

x
x
100
100
1 1 7 1 1
1
2 1
0
9 100 2 1 900
ổ ử -
ộ ự
= ì = ở - ỷ
ỗ ữ
+
ố ứ
Cõu 6.
x
I dx
x
1
2 2
0
5
(
=
4) +
ũ

ã
t t x

2
4
= +

ị
I
1
8
=
Cõu 7.
I dx
xx
4
3
4
1
1
( 1 )
=
+
ũ

ã
t
t x
2
=
ị

t

I dt
t
t
3
2
1
1 1 1
3
ln
2 4 2
1
ổ ử
= - =
ỗ ữ
+
ố ứ
ũ

Cõu 8.
dx
I
x x
3
6 2
1
( 1 )
=
+
ũ

EBOOKTOAN.COM
Bi tp Tớch phõn
Trang 2
ã
t : x
t
1
=
ị

t
I dt t t dt
t t
3
1
6
3
4 2
2 2
1
3
3
1
1
1 1
ổ ử
= - = - + -
ỗ ữ
+ +
ố ứ

ũ ũ
=
117 41 3
135 12
p
-
+
Cõu 9.
dx
I
x x
2
10 2
1
.( 1 )
=
+
ũ

ã

x dx
I
x x
2
4
5 10 2
1
.
.( 1 )

=
+
ũ
. t
t x
5
=
ị

dt
I
tt
32
2 2
1
1
5
( 1 )
=
+
ũ

Cõu 10.
x
I dx
x
1
7
0
( 1

2 5
=
) +
ũ

ã
t
t x dt xdx
2
1 2= + ị =
ị

t
I dt
t
2
3
5 5
1
1 ( 1 )
1 1
.
2 4
2
-
= =
ũ

Cõu 11.
x

I dx
x x
2
7
7
1
1
( 1 )
-
=
+
ũ

ã

x x
I dx
x x
2
7 6
7 7
1
( 1 ).
.(1 )
-
=
+
ũ
. t
t x

7
=
ị
t
I
dt
t t
128
1
1 1
7 ( 1 )
-
=
+
ũ

Cõu 12.
x
I dx
x
2
2001
2 1002
1
.
( 1
=
) +
ũ

ã

x
I dx dx
x x
x
x
2 2
2004
3 2 1002 1002
1 1
3
2
1
. .
( 1 )
1
1
= =
+
ổ ử
+
ỗ ữ
ố ứ
ũ ũ
. t
t dt dx
x x
2 3
1 2

1= + ị =-
.
Cỏch 2: Ta cú:
x xdx
I
x x
1
2000
2 2000 2 2
0
1 .2
2
( 1 ) ( 1 )
=
+ +
ũ
. t
t x dt xdx
2
1 2= + ị =
ị

t
I dt d
t t
t t
1000
2 2
1000
1000 2 1001

1 1
1 ( 1 ) 1 1 1 1
1 1
2 2
2002.2
ổ ử ổ ử
-
= = - - =
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ũ ũ

Cõu 13.
I x x dx
1
5 3 6
0
( 1 )
= -
ũ

ã
t
dt t t
t x dt x dx dx I t t dt
x
1
7 8
3 2 6
2

0
1 1 1
1 3 ( 1 )
3 3 7 8 168
3
ổ ử
-
= - ị = - ị = ị = - = - =
ỗ ữ
ố ứ
ũ

Cõu 14.
xdx
I
x
1
0 3
( 1 )
=
+
ũ

ã
Ta cú:
x x
x x
x x
2 3
3 3

1 1
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) ( 1 )
- -
+ -
= = + - +
+ +
I x x dx
1
2 3
0
1
( 1 ) ( 1 )
8
- -
ộ ự
ị = + - + =
ở ỷ
ũ

Cõu 15.
x
I dx
x
2
2
4
1
1
1

+
=
+
ũ

ã
Ta cú:
x
x
x
x
x
2
2
4
2
2
1
1
1
1
1
+
+
=
+
+
. t
t x dt dx
x

x
2
1 1
1
ổ ử
= - ị = +
ỗ ữ
ố ứ
ị

dt
I dt
t t
t
3 3
2 2
2
1 1
1 1 1
2 2 2 2
2
ổ ử
= = -
ỗ ữ
- +
-
ố ứ
ũ ũ
t
t

3 / 2
1 2 1 2 1
.ln ln
1
2 2 2 2 2 2 1
ổ ử
- -
= =
ỗ ữ
ỗ ữ
+
+
ố ứ
EBOOKTOAN.COM
Bài tập Tích phân
Trang 3
Câu 16.
x
I dx
x
2
2
4
1
1
1
-
=
+
ò

·
Ta có:
x
x
x
x
x
2
2
4
2
2
1
1
1
1
1
-
-
=
+
+
. Đặt
t x dt dx
x
x
2
1 1
1
æ ö

= + Þ = -
ç ÷
è ø
Þ

dt
I
t
5
2
2
2
2
=-
+
ò
.
Đặt
du
t u dt
u
2
2 tan 2
cos
= Þ =
; u u u u
1 2
5 5
tan 2 arctan2; tan arct an
2 2

= Þ = = Þ =
Þ

u
u
I du u u
2
1
2 1
2 2 2 5
( ) arctan arctan 2
2 2 2 2
æ ö
= = - = -
ç ÷
è ø
ò

Câu 17.
x
I dx
x
1
4
6
0
1
1
+
=

+
ò

·
Ta có:
x x x x x x x x
x x x x x x x x
4 4 2 2 4 2 2 2
6 6 2 4 2 6 2 6
1 ( 1 ) 1 1
1 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 1 1
+ - + + - +
= = + = +
+ + + - + + + +
Þ

dx
I dx dx
x x
1 1
3
2 3 2
0 0
1 1 ( ) 1
3 4 3 4 3
1 ( ) 1
p p p
= + = + =
+ +
ò ò

Câu 18.
x
I dx
x x
2
2
3
1
1-
=
+
ò

·
Ta có:
x
I dx
x
x
2
2
1
1
1
1
-
=
+
ò

. Đặt t x
x
1
= +
Þ
I
4
ln
5
=
Câu 19.
xdx
I
x x
1
4 2
0
1
=
+ +
ò
.
·
Đặt
t x
2
=
Þ

dt dt

I
t t
t
1 1
2 2
2
0 0
1 1
2 2
6 3
1
1 3
2 2
p
= = =
+ +
æ ö
æ ö
+ +
ç ÷
ç ÷
è ø è ø
ò ò

Câu 20.
x
I dx
x x
1 5
2

2
4 2
1
1
1
+
+
=
- +
ò

·
Ta có:
x
x
x x
x
x
2
2
4 2
2
2
1
1
1
1
1
1
+

+
=
- +
+ -
. Đặt
t x dt dx
x
x
2
1 1
1
æ ö
= - Þ = +
ç ÷
è ø
Þ

dt
I
t
1
2
0
1
=
+
ò
. Đặt
du
t u dt

u
2
tan
cos
= Þ =

Þ
I du
4
0
4
p
p
= =
ò

Câu 21.
x
I dx
x
3
2
3
4
0
1
=
-
ò

·

x
I dx dx
x x x x
3 3
2
3 3
2 2 2 2
0 0
1 1 1 1
ln(2 3)
2 4 12
( 1 ) ( 1 ) 1 1
p
æ ö
= = + = - +
ç ÷
- + - +
è ø
ò ò
Bài tập Tích phân
Trang 4
TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ
Dạng 1: Đổi biến số dạng 1
Câu 1.
x
I dx
x x
2

3 9 1
=
+ -
ò

·

x
I dx x x x dx x dx x x dx
x x
2 2 2
2
( 3 9 1) 3 9 1
3 9 1
= = - - = - -
+ -
ò ò ò ò

+
I x dx x C
2 3
1 1
3
= = +
ò
+
I x x dx
2
2
9 1

= -
ò
x d x x C
3
2 2 2
2
2
1 1
9 1 (9 1 ) (9 1 )
18 27
= - - = - +
ò

Þ

I x x C
3
2 3
2
1
(9 1 )
27
= - + +
Câu 2.
x x
I dx
x x
2
1
+

=
+
ò

·

x
x
dx
x x
2
1
+
+
ò

x x
dx dx
x x x x
2
1
=
1
+
+ +
ò ò
.
+
x
I

dx
x x
2
1
1
=
+
ò
. Đặt t=
x x t x x
2
1 1+ Û - = x t
3 2 2
( 1 )
Û = -
x dx t t dt
2 2
4
(
1 )
3
Û = -
Þ

t dt t t C
2 3
4 4 4
( 1 )
3 9 3
- = - +

ò
=
( )
x x x x C
3
1
4 4
1 1
9 3
+ - + +
+
x
I
dx
x x
2
1
=
+
ò
=
d x x
x x
2 ( 1 )
3
1
+
+
ò
=

x x C
2
4
1
3
+ +
Vậy:
( )
I x x C
3
4
1
9
= + +
Câu 3.
x
I dx
x
4
0
2 1
1 2 1
+
=
+ +
ò

·
Đặt t x
2 1

= +
. I =
t
dt
t
3
2
1
2 ln 2
1
= +
+
ò
.
Câu 4.
dx
I
x x
6
2
2 1 4 1
=
+ + +
ò

·
Đặt t x
4 1
= +
. I

3 1
ln
=
2 12
-
Câu 5.
I x x dx
1
3 2
0
1= -
ò

·
Đặt:
t x
2
1 = -
Þ

(
)
I t t dt
1
2 4
0
2
15
= - =
ò

.
Câu 6.
x
I dx
x
1
0
1
1
+
=
+
ò
·
Đặt
t x
=
Þ

dx
t dt 2.
=
. I =
t t
dt
t
1
3
0
2

1
+
+
ò
=
t t
dt
t
1
2
0
2
2 2
1
æ ö
- + -
ç ÷
+
è ø
ò
=
11
4ln2
3
- .
Câu 7.
x
I dx
x x
3

0
3
3 1 3
-
=
+ + +
ò

Bài tập Tích phân
Trang 5
·
Đặt
t x tdu dx
1 2
= + Þ =
Þ

t t
I dt t dt dt
t
t t
2 2 2
3
2
1 1 1
2 8 1
(2 6) 6
1
3 2
-

= = - +
+
+ +
ò ò ò
3
3 6 ln
2
= - +
Câu 8.
I x x dx
0
3
1
1
-
= +
ò

·
Đặt
t t
t x t x dx t dt I t dt
1
1
7 4
3 2 3
3
0
0
9

1 1 3 3 ( 1 ) 3
7 4 28
æ ö
= + Þ = + Þ = Þ = - = - =-
ç ÷
è ø
ò
Câu 9.
x
I dx
x x
5
2
1
1
3 1
+
=
+
ò

·
Đặt
tdt
t x dx
2
3 1
3
= + Þ =
Þ

t
tdt
I
t
t
2
2
4
2
2
1
1
3
2
.
3
1
.
3
æ ö
-
+
ç ÷
ç ÷
è ø
=
-
ò

dt
t dt
t
4 4
2
2
2 2
2
( 1 ) 2
9
1
= - +
-
ò ò

t
t t
t
3
4 4
2 1 1 100 9
ln ln .
9 3 1 27 5
2 2
æ ö
-
= - + = +
ç ÷
+
è ø

Câu 10.
x x
I dx
x
3
2
0
2 1
1
+ -
=
+
ò

·
Đặt x t x t
2
1 1
+ = Û = -
Þ

dx
tdt 2
=

Þ

t
t t
I tdt t t dt t

t
2
2 2
2 2 2 5
4 2 3
1
1 1
2 ( 1 ) ( 1 ) 1 4 54
2 2 (2 3 ) 2
5 5
æ ö
- + - -
= = - = - =
ç ÷
è ø
ò ò
Câu 11.
x dx
I
x x
1
2
0
2
( 1 ) 1
=
+ +
ò

·

Đặt
t x t x tdt dx
2
1 1 2
= + Þ = + Þ =
t t
I tdt t dt t
t t
t
2
2
2 2
2 2 3
3
1
1 1
( 1 ) 1 1 16 11 2
.2 2 2 2
3 3
æ ö
æ ö
- -
Þ = = - = - - =
ç ÷
ç ÷
è ø è ø
ò ò
Câu 12.
( )
x

I dx
x
4
2
0
1
1 1 2
+
=
+ +
ò

·
Đặt
dx
t x dt dx t dt
x
1 1 2 ( 1 )
1 2
= + + Þ = Þ = -
+
và
t t
x
2
2
2
-
=
Ta có: I =

t t t t t t
dt dt t dt
t
t t t
4 4 4
2 3 2
2 2 2
2 2 2
1 ( 2 2)( 1 ) 1 3 4 2 1 4 2
3
2 2 2
æ ö
- + - - + -
= = - + -
ç ÷
è ø
ò ò ò

=
t
t t
t
2
1 2
3 4ln
2 2
æ ö
- + +
ç ÷
ç ÷

è ø
=
1
2ln2
4
-
Câu 13.
x
I dx
x
8
2
3
1
1
-
=
+
ò
Bi tp Tớch phõn
Trang 6
ã

x
I dx
x x
8
2 2
3
1

1 1
ổ ử
= -
ỗ ữ
ỗ ữ
+ +
ố ứ
ũ
=
( )
x x x
8
2 2
3
1 ln 1
ộ ự
+ - + +
ở ỷ
=
(
)
(
)
1 ln 3 2 ln 8 3
+ + - +
Cõu 14.
I x x x dx
1
3 2
0

( 1 ) 2= - -
ũ

ã

I x x x dx x x x x x dx
1 1
3 2 2 2
0 0
( 1 ) 2 ( 2 1 ) 2 ( 1 )
= - - = - + - -
ũ ũ
. t
t x x
2
2 = -
ị
I
2
15
=-
.
Cõu 15.
x x x
I dx
x x
2
3 2
2
0

2 3
1
- +
=
- +
ũ

ã

x
x x
I dx
x x
2
2
2
0
( )(2 1 )
1
- -
=
- +
ũ
. t tx x
2
1
= - +
I t dt
3
2

1
4
2 ( 1 )
3
ị = - =
ũ
.
Cõu 16.
x dx
I
x
2
3
3
2
0
=
4 +
ũ

ã
t
t x x t xdx t dt
3
2 2 3 2
4 4 2 3= + ị = - ị =
ị
I t t dt
3
2

4 3
4
3 3 8
( 4 ) 4 2
2 2 5
ổ ử
= - = - +
ỗ ữ
ố ứ
ũ

Cõu 17.
dx
I
x x
1
2
1
1 1
-
=
+ + +
ũ

ã
Ta cú:
x
x x x
I dx dx
x

x x
1 1
2 2
2 2
1 1
1 1 1 1
2
( 1 ) ( 1 )
- -
+ - + + - +
= =
+ - +
ũ ũ

x
dx dx
x x
1 1
2
1 1
1 1 1
1
2 2
- -
ổ ử
+
= + -
ỗ ữ
ố ứ
ũ ũ

+ I dx x x
x
1
1
1 1
1
1 1 1
1 ln | 1
2 2
-
-
ổ ử
ộ ự
= + = + =
ỗ ữ
ở ỷ
ố ứ
ũ
+
x
I dx
x
1
2
2
1
1
2
-

+
=
ũ
. t
t x t x tdt xdx
2 2 2
1 1 2 2= + ị = + ị =
ị
I
2
=
t dt
t
2
2
2
2
0
2 ( 1 )
=
-
ũ

Vy:
I
1 =
.
Cỏch 2: t t x x
2
1

= + +
.
Cõu 18.
( )
x x
I dx
x
1
3
3
1
4
1
3
-
=
ũ

ã
Ta cú:
I dx
x x
1
1
3
2 3
1
3
1 1
1 .

ổ ử
= -
ỗ ữ
ố ứ
ũ
. t
t
x
2
1
1
= -
ị

I
6 =
.
Cõu 19.
x
I dx
x
2
2
1
4 -
=
ũ

ã
Ta cú:

x
I xdx
x
2
2
2
1
4 -
=
ũ
. t t =
x t x tdt xdx
2 2 2
4 4- ị = - ị =-
ị
I =
t tdt t t
dt dt t
t
t t t
0
0 0 0
2
2 2 2
3
3 3 3
( ) 4 2
( 1 ) ln
2
4 4 4

ổ ử
- -
= = + = +
ỗ ữ
+
- - -
ố ứ
ũ ũ ũ
=
2 3
3 ln
2 3
ổ ử
-
ỗ ữ
- +
ỗ ữ
+
ố ứ
Bi tp Tớch phõn
Trang 7
Cõu 20.
x
I dx
x x
2 5
2 2
2
( 1 ) 5
=

+ +
ũ

ã
t t x
2
5
= +
ị

dt
I
t
5
2
3
1 15
ln
4 7
4
= =
-
ũ
.

Cõu 21.
x
I dx
x x
27

3
2
1
2 -
=
+
ũ

ã
t
t x
6
=
ị

t t
I dt dt
t
t t t t
3 3
3
2 2 2
1 1
2 2 2 1
5 5 1
( 1 ) 1 1
ộ ự
-
= = - + -
ờ ỳ

+ + +
ở ỷ
ũ ũ
2 5
5 3 1 ln
3 12
p
ổ ử
= - + -
ỗ ữ
ố ứ

Cõu 22.
I dx
x x
1
2
0
1
1
=
+ +
ũ

ã
t
t x x x
2
1
= + + +

ị

dt
I t
t
1 3
1 3
1
1
2 3 2 3
ln(2 1 ) ln
2 1 3
+
+
+
= = + =
+
ũ

Cõu 23.
x
I dx
x x
3
2
2 2
0
( 1 1 ) (2 1 )
=
+ + + +

ũ

ã
t
x t
2 1
+ + =
ị
I t dt
t
t
4
2
3
42 36 4
2 16 12 42ln
3
ổ ử
= - + - = - +
ỗ ữ
ố ứ
ũ

Cõu 24.
x
I dx
x x x x
3
2
0

2 ( 1 ) 2 1 1
=
+ + + + +
ũ

ã
t
t x
1
= +
ị

t t dt
I t dt
tt
2 2
2 2
2
2
1 1
2 ( 1 )
2 ( 1 )
( 1 )
-
= = -
+
ũ ũ
t
2
3

1
2 2
( 1 )
3 3
= - =
Cõu 25.
x x x
I dx
x
3
2 2
3
4
1
2011 - +
=
ũ

ã
Ta cú:
x
I dx dx M N
x x
3
2 2 2 2
2
3 3
1 1
1
1

2011
-
= + = +
ũ ũ
x
M dx
x
3
2 2
2
3
1
1
1
-
=
ũ
. t t
x
3
2
1
1
= -
ị
M t dt
3
7
3
2

3
0
3 21 7
2 128
-
= - =-
ũ
N dx x dx
x x
2 2
2 2 2 2
3
3 2
1 1
1
2011 2011 14077
2011
16
2
-
ộ ự
= = = - =
ờ ỳ
ở ỷ
ũ ũ
ị
I
3
16 128
14077 21 7

= - .
Cõu 26.
dx
I
x x
1
3
3 3
0 ( 1
=
). 1 + +
ũ

ã
t
t x
3
3
1 = +
ị

t
dt
I dt
t t t t
3 3
2 2
2
2 2
1 1

4 3 2 3
3 3
.( 1 ) .( 1 )
= =
- -
ũ ũ
Bi tp Tớch phõn
Trang 8
dt dt
t
dt
t
t
t t
t
t
3 3 3
2
3
2 2 2
3
2 2 4
1 1 1
3 3
4
2 3
3
3
1
1

1
1
1
. 1
-
ổ ử
-
ỗ ữ
ố ứ
= = =
ộ ự ổ ử
ổ ử
-
-
ỗ ữ
ờ ỳ
ỗ ữ
ố ứ
ố ứ
ở ỷ
ũ ũ ũ

t
dt
u du
t t
3 4
1 3
1 = - ị =

ị

u
u
I du u du u
1
1
1 1
2 1
2
2 1
2
2 2
3 3
3 3
3
0 0
0
0
1 1 1
1
3 3 3
2
3
-
-
ổ ử
ỗ ữ
= = = = =
ỗ ữ

ỗ ữ
ỗ ữ
ố ứ
ũ ũ
Cõu 27.
x
I dx
x x
x
2 2
4
2
3
1
1
=
ổ ử
- +
ỗ ữ
ố ứ
ũ

ã
t t x
2
1
= +

ị

t
I dt
t
3
2 2
2
2
( 1 )
2
-
=
-
ũ
=
t t
dt t dt dt
t t
3 3 3
4 2
2
2 2
2 2 2
2 1 1 19 2 4 2
ln
3 4
4 2
2 2
ổ ử
- + +
= + = +

ỗ ữ
ỗ ữ
-
- -
ố ứ
ũ ũ ũ

Dng 2: i bin s dng 2
Cõu 28.
( )
x
I x x dx
x
1
0
1
2 ln 1
1
ổ ử
-
ỗ ữ
= - +
ỗ ữ
+
ố ứ
ũ
ã
Tớnh
x
H

dx
x
1
0
1
1
-
=
+
ũ
. t x tt
cos ; 0 ;
2
p
ộ ự
= ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
ị
H 2
2
p
= -
ã
Tớnh
K x x dx
1
0
2 ln(1 )
= +

ũ
. t
u x
dv xdx
ln(1 )
2
ỡ
= +
ớ
=
ợ
ị
K
1
2
=
Cõu 29.
I x x x dx
2
5 2 2
2
( ) 4
-
= + -
ũ

ã
I =
x x x dx
2

5 2 2
2
( ) 4
-
+ -
ũ
=
x x dx
2
5 2
2
4
-
-
ũ
+
x x dx
2
2 2
2
4
-
-
ũ
= A + B.
+ Tớnh A =
x x dx
2
5 2
2

4
-
-
ũ
. t
t
x =-
. Tớnh c: A = 0.
+ Tớnh B =
x x dx
2
2 2
2
4
-
-
ũ
. t
x t
2sin
=
. Tớnh c: B =
2
p
.
Vy:
I
2
p
=

.
Bi tp Tớch phõn
Trang 9
Cõu 30.
(
)
x dx
I
x
2
2
4
1
3 4
2
- -
=
ũ

ã
Ta cú:
x
I dx dx
x x
2 2
2
4 4
1 1
3 4
2 2

-
= -
ũ ũ
.
+ Tớnh
I
1
=
dx
x
2
4
1
3
2
ũ
= x dx
2
4
1
3 7
2 16
-
=
ũ
.
+ Tớnh
x
I dx
x

2
2
2
4
1
4
2
-
=
ũ
. t
x t dx tdt
2sin 2 cos
= ị =
.
ị

tdt
I t dt t d t
t t
2
2 2 2
2 2
2
4 2
6 6 6
1 cos 1 1 1 3
cot cot . (cot )
8 8 8 8
sin s i n

p p p
p p p
ổ ử
= = = - =
ỗ ữ
ố ứ
ũ ũ ũ

Vy:
( )
I
1
7
2 3
16
= - .
Cõu 31.
x dx
I
x
1
2
6
0
=
4 -
ũ

ã
t

t x dt x dx
3 2
3= ị =
ị

dt
I
t
1
2
0
3
4
1
=
-
ũ
.
t
t u u dt udu
2sin , 0 ; 2cos
2
p
ộ ự
= ẻ ị =
ờ ỳ
ở ỷ
ị
I dt
6

0
1
3 18
p
p
= =
ũ
.
Cõu 32.
x
I dx
x
2
0
2
2
-
=
+
ũ
ã
t
x t dx tdt
2cos 2sin
= ị =-
ị

t
I dt
2

2
0
4 sin 2
2
p
p
= = -
ũ
.

Cõu 33.
x dx
I
x x
1
2
2
0
3
=
2 + -
ũ

ã
Ta cú:
x dx
I
x
1
2

2 2
0
2 ( 1 )
=
- -
ũ
. t
x t
1 2cos - =
.
ị

t t
I dt
t
2
2
2
2
3
( 1 2 c o s ) 2sin
4 (2 cos )
p
p
+
=-
-
ũ
=
( )

t t dt
2
3
2
3 4 cos 2cos2
p
p
+ +
ũ
=
3 3
4
2 2
p
+ -
Cõu 34.
x x dx
1
2
2
0
1 2 1 - -
ũ

ã
t
x t
sin =
ị
I t t t d t

6
0
3 1
(cos sin ) cos
12 8 8
p
p
= - = + -
ũ
Bi tp Tớch phõn
Trang 10
Dng 3: Tớch phõn tng phn
Cõu 35.
I x dx
3
2
2
1
= -
ũ

ã
t
x
du dx
u x
x
dv dx
v x
2

2
1
1
ỡ
ỡ
=
ù ù
= -
ị
ớ ớ
-
=
ù
ợ ù
=
ợ
x
I x x x dx x dx
x x
3 3
2 2
2 2
2 2
3
1
1 . 5 2 1
2
1 1
ộ ự
ị = - - = - - +

ờ ỳ
ờ ỳ
- -
ở ỷ
ũ ũ


dx
x dx
x
3 3
2
2
2 2
5 2 1
1
= - - -
-
ũ ũ
I x x
2 3
2
5 2 ln 1= - - + -
ị

( )
I
5 2 1
ln 2 1 ln 2
2 4

= - + +
Chỳ ý: Khụng c dựng phộp i bin x
t
cos
1
= vỡ
[ ]
2;3 1 ; 1
ộ ự
ẽ-
ở ỷ

Bi tp Tớch phõn
Trang 11
TP3: TCH PHN HM S LNG GIC
Dng 1: Bin i lng giỏc
Cõu 1.
x x
I dx
x x
2
8cos sin 2 3
sin cos
- -
=
-
ũ

ã

( )
x x x
I dx x x x x dx
x x
2
(sin cos ) 4cos2
sin cos 4 ( s i n cos
s i n cos
- +
ộ ự
= = - - +
ở ỷ
-
ũ ũ


x x C
3cos 5sin
= - +
.
Cõu 2.
x x x
I dx
x
cot tan 2tan2
sin 4
- -
=
ũ
ã

Ta cú:
x x x x
I dx dx dx C
x x x
x
2
2cot 2 2tan2 2cot 4 cos4 1
2
s i n 4 sin 4 2sin4
sin 4
-
= = = = - +
ũ ũ ũ

Cõu 3.
x
I dx
x x
2
cos
8
sin 2 cos2 2
p
ổ ử
+
ỗ ữ
ố ứ
=
+ +
ũ

ã
Ta cú:
x
I dx
x
1 cos 2
1
4
2 2
1 sin 2
4
p
p
ổ ử
+ +
ỗ ữ
ố ứ
=
ổ ử
+ +
ỗ ữ
ố ứ
ũ
x
dx
dx
x
x x
2
cos 2

1
4
2 2
1 sin 2
sin cos
4
8 8
p
p
p p
ổ
ử
ổ ử
ỗ
ữ
+
ỗ ữ
ỗ
ữ
ố ứ
= +
ỗ
ữ
ổ ử
ộ ự
ổ ử ổ ử
ỗ
ữ
+ +
ỗ ữ

+ + +
ỗ ữ ỗ ữ
ờ ỳ
ữ
ố ứ
ỗ
ố ứ ố ứ
ở ỷ
ứ
ố
ũ ũ

x
dx
dx
x x
2
cos 2
1 1
4
2
3
2 2
1 sin 2 sin
4 8
p
p p
ổ
ử
ổ ử

+
ỗ
ỗ ữ
ữ
ố ứ
ỗ
ữ
= +
ổ ử ổ ử
ỗ
ữ
+ + +
ỗ ữ
ỗ ữ
ữ
ỗ
ố ứ
ố ứ
ứ
ố
ũ ũ

x x C
1 3
ln 1 sin 2 cot
4 8
4 2
p p
ổ
ử

ổ ử ổ ử
= + + - + +
ỗ
ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ữ
ỗ
ố ứ
ố ứ
ứ
ố
Cõu 4.
dx
I
x x
3
2 3 sin cos
p
p
=
+ -
ũ

ã

dx
I
x
3

1
2
1 cos
3
p
p
p
=
ổ ử
- +
ỗ ữ
ố ứ
ũ
=
dx
I
x
2
3
1
4
2sin
2 6
p
p
p
=
ổ ử
+
ỗ ữ

ố ứ
ũ
=
1
4 3
.
Cõu 5.
I dx
x
6
0
1
2sin 3
p
=
-
ũ

ã
Ta cú:
I dx dx
x x
6 6
0 0
1
1 1
2
2
sin sin sin sin
3 3

p p
p p
= =
- -
ũ ũ

Bài tập Tích phân
Trang 12
x x
dx dx
x x
x
6 6
0 0
cos
cos
2 6 2 6
3
sin sin
2cos .sin
3
2 6 2 6
p p
p p
p
p
p p
æ ö
æ ö æ ö
+ - -

ç ÷
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
è ø
= =
æ ö æ ö
-
+ -
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò ò

x x
dx dx
x x
6 6
0 0
cos sin
2 6 2 6
1 1
2 2
sin cos
2 6 2 6
p p
p p
p p
æ ö æ ö
- +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø

= +
æ ö æ ö
- +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò ò
x x
6 6
0 0
ln sin ln cos
2 6 2 6
p p
p p
æ ö æ ö
= - - + =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Câu 6.
I x x x x dx
2
4 4 6 6
0
(sin cos ) ( s i n cos )
p
= + +
ò
.
·
Ta có:
x x x x

4 4 6 6
(sin cos )(sin cos )
+ +
x x
33 7 3
cos4 cos8
64 16 64
= + + Þ I
33
128
p
= .
Câu 7.
I x x x dx
2
4 4
0
cos2 (sin cos )
p
= +
ò

·
I x x dx x d x
2 2
2 2
0 0
1 1 1
cos2 1 sin 2 1 sin 2 (sin2 ) 0
2 2 2

p p
æ ö æ ö
= - = - =
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò ò

Câu 8.
I x x dx
2
3 2
0
(cos 1 ) c o s .
p
= -
ò

·
A =
( )
x dx x d x
2 2
2
5 2
0 0
cos 1 sin (sin )
p p
= -
ò ò
=

8
15
B =
x dx x dx
2 2
2
0 0
1
cos . ( 1 cos2 ).
2
p p
= +
ò ò
=
4
p
Vậy I =
8
15
–
4
p
.
Câu 9.
2
2
0
I cos cos 2
x xdx
p

=
ò

·

I x xdx x xdx x x dx
2 2 2
2
0 0 0
1 1
cos cos2 ( 1 cos2 )cos2 ( 1 2 c o s 2 cos4 )
2 4
p p p
= = + = + +
ò ò ò

x x x
2
0
1 1
( sin 2 sin 4 )
4 4 8
p
p
= + + =
Câu 10.
x
I dx
x
3

2
0
4sin
1 cos
p
=
+
ò

Bi tp Tớch phõn
Trang 13
ã

x
x x
x x x x x
x
x
3 3
2
4sin 4sin ( 1 c o s )
4sin 4sin cos 4sin 2sin2
1 cos
s i n
-
= = - = -
+

I x x dx
2

0
(4sin 2sin2 ) 2
p
ị = - =
ũ

Cõu 11.
I xdx
2
0
p
1 sin = +
ũ

ã

x x x x
I dx dx
2
2 2
0 0
sin cos sin cos
2 2 2 2
p p
ổ ử
= + = +
ỗ ữ
ố ứ
ũ ũ
x

dx
2
0
2 sin
2 4
p
p
ổ ử
= +
ỗ ữ
ố ứ
ũ

x x
dx dx
3
2
2
3
0
2
2 sin s i n
2 4 2 4
p
p
p
p p
ộ ự
ờ ỳ
ổ ử ổ ử

= + - +
ờ ỳ
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
ũ ũ
4 2
=
Cõu 12.
dx
I
x
4
6
0
c o s
p
=
ũ

ã
Ta cú: I x x d x
4
2 4
0
28
( 1 2 t a n tan ) (tan )
15

p
= + + =
ũ
.



Dng 2: i bin s dng 1
Cõu 13.
xdx
I
x x
sin 2
3 4sin cos2
=
+ -
ũ

ã
Ta cú:
x x
I dx
x x
2
2sin cos
2sin 4sin 2
=
+ +
ũ
. t

t x
sin =
ị

I x C
x
1
ln sin 1
sin 1
= + + +
+

Cõu 14.
dx
I
x x
3 5
sin .cos
=
ũ

ã

ũ
ũ
==
x
x
dx
x

x
x
dx
I
23233
cos
.
2
sin
8
cos
.
cos
.
sin
t
t
x tan
=
.
I t t t dt x x x C
t
x
3 3 4 2
2
3 1 3 1
3 tan tan 3ln tan
4 2
2tan
-

ổ ử
= + + + = + + - +
ỗ ữ
ố ứ
ũ

Chỳ ý:
t
x
t
2
2
sin 2
1
=
+
.
Cõu 15.
dx
I
x x
3
sin . cos
=
ũ

ã

dx dx
I

x x x x x
2 2
2
sin . cos . cos s i n 2 . c o s
= =
ũ ũ
. t
t
x tan
=
dx t
dt x
x t
2 2
2
; sin 2
cos 1
ị = =
+
dt t
I dt
t
t
t
2
2
1
2
2
1

+
ị = =
+
ũ ũ
t x
t dt t C x C
t
2 2
1 tan
( ) ln ln tan
2 2
= + = + + = + +
ũ
Bài tập Tích phân
Trang 14
Câu 16.
x x
I xdx
x
2011
2011 2009
5
sin sin
cot
s i n
-
=
ò

·

Ta có:
x
x
I xdx xdx
x x
2011
2011
2
2
4 4
1
1
cot
s i n
cot cot
sin sin
-
-
= =
ò ò
Đặt
t
x cot
=
Þ

I t tdt t t C
2 4024 8046
2
2011 2011 2011

2011 2011
t ( 1 )
4024 8046
= + = + +
ò

=
x x C
4024 8046
2011 2011
2011 2011
cot cot
4024 8046
+ +
Câu 17.
x x
I dx
x
2
0
s i n 2 .cos
1 cos
p
=
+
ò
·
Ta có:
x x
I dx

x
2
2
0
sin . cos
2
1 cos
p
=
+
ò
. Đặt
t x
1 cos = +
Þ

t
I dt
t
2
2
1
( 1 )
2 2ln2 1
-
= = -
ò

Câu 18.
I x xdx

3
2
0
sin tan
p
=
ò

·
Ta có:
x x x
I x dx dx
x x
2
3 3
2
0 0
sin ( 1 c o s )sin
sin .
cos cos
p p
-
= =
ò ò
. Đặt
t
x cos
=
Þ

u
I du
u
1
2
2
1
1 3
ln 2
8
-
= - = -
ò

Câu 19.
I x x dx
2
2
sin (2 1 cos2 )
p
p
= - +
ò

·
Ta có:
I xdx x xdx H K
2 2
2 2
2sin sin 1 cos2

p p
p p
= - + = +
ò ò
+ H xdx x dx
2
2 2
2sin ( 1 c o s 2 )
2 2
p p
p p
p p
p
= = - = - =
ò ò

+
K x x x xdx
2 2 2
2 2
sin 2cos 2 sin cos
p p
p p
= =-
ò ò
xd x
2
2
2
2 sin (sin )

3
p
p
= - =
ò

I
2
2 3
p
Þ = -
Bài tập Tích phân
Trang 15
Câu 20.
dx
I
x x
3
2 4
4
sin .cos
p
p
=
ò

·

dx
I

x x
3
2 2
4
4.
sin 2 .cos
p
p
=
ò
. Đặt
t
x tan
=
Þ

dx
dt
x
2
cos
=
.
t dt t
I t dt t
t
t t
3
3 3
2 2 3

2
2 2
1
1 1
( 1 ) 1 1 8 3 4
2 2
3 3
æ ö
æ ö
+ -
= = + + = - + + =
ç ÷
ç ÷
è ø
è ø
ò ò
Câu 21.
( )
2
2
0
sin2
2 sin
x
I dx
x
p
=
+
ò

·
Ta có:
x x x
I dx dx
x x
2 2
2 2
0 0
sin 2 sin cos
2
(2 sin ) (2 s i n )
p p
= =
+ +
ò ò
. Đặt
t x
2 sin = +
.
Þ

t
I dt dt t
t t
t t
3
3 3
2 2
2 2

2
2 1 2 2
2 2 2 ln
æ ö æ ö
-
= = - = +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò ò
3 2
2ln
2 3
= -
Câu 22.
x
I
dx
x
6
0
s i n
cos2
p
=
ò

·

x
x

I dx dx
x
x
6 6
2
0 0
sin sin
cos2
2cos 1
p p
= =
-
ò ò
. Đặt
t x dt xdx
cos sin
= Þ = -
Đổi cận: x t x t
3
0 1 ;
6 2
p
= Þ = = Þ =
Ta được
t
I dt
t
t
3
1

2
2
3
1
2
1 1 2 2
ln
2 2 2 2
2 1
-
= - =
+
-
ò
=
1 3 2 2
ln
2 2 5 2 6
-
-
Câu 23.
x
I e x x dx
2
2
sin 3
0
.sin .cos .
p
=

ò

·
Đặt
t x
2
sin
=
Þ
I =
t
e t dt
1
0
1
( 1 )
2
-
ò
=
1
e 1
2
-
.
Câu 24.
I x x dx
2
1
2

s i n s i n
2
6
p
p
= × +
ò

·
Đặt
t
x cos
=
. I
3
(
2)
16
p
= +
Câu 25.
x
I dx
x x
4
6 6
0
sin 4
sin cos
p

=
+
ò

Bài tập Tích phân
Trang 16
·

x
I dx
x
4
2
0
sin 4
3
1 sin 2
4
p
=
-
ò
. Đặt
t x
2
3
1 sin 2
4
= - Þ I =
dt

t
1
4
1
2 1
3
æ ö
-
ç ÷
è ø
ò
= t
1
1
4
4 2
3
3
=
.
Câu 26.
( )
x
I dx
x x
2
3
0
sin
s i n 3 cos

p
=
+
ò

·
Ta có: x x xsin 3 cos 2cos
6
p
æ ö
+ = -
ç ÷
è ø
;
x xsin sin
6 6
p p
æ ö
æ ö
= - +
ç ÷
ç ÷
è ø
è ø
= x x
3 1
sin cos
2 6 2 6
p p
æ ö æ ö

- + -
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Þ
I =
x dx
dx
x x
2 2
3 2
0 0
sin
6
3 1
16 16
cos cos
6 6
p p
p
p p
æ ö
-
ç ÷
è ø
+
æ ö æ ö
- -
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
ò ò

=
3
6
Câu 27.
x x
I dx
x
2
4
2
3
sin 1 cos
cos
p
p
-
-
=
ò

·

x
x
I x dx x dx
x x
4 4
2
2 2
3 3

s i n sin
1 cos . sin
cos cos
p p
p p
- -
= - =
ò ò

x x
x dx x dx
x x
0
4
2 2
0
3
sin sin
sin sin
cos cos
p
p
-
-
= +
ò ò

=
x x
dx dx

x x
0
2 2
4
2 2
0
3
sin sin
cos cos
p
p
-
- +
ò ò
7
3 1
12
p
= - -
.
Câu 28.
I dx
x x
6
0
1
s i n 3 cos
p
=
+

ò

·

I dx
x x
6
0
1
s i n 3 cos
p
=
+
ò
=
dx
x
6
0
1 1
2
sin
3
p
p
æ ö
+
ç ÷
è ø
ò

=
x
dx
x
6
2
0
sin
1
3
2
1 cos
3
p
p
p
æ ö
+
ç ÷
è ø
æ ö
- +
ç ÷
è ø
ò
.
Đặt
t x dt x dx
cos sin
3 3

p p
æ ö æ ö
= + Þ = - +
ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Þ
I dt
t
1
2
2
0
1 1 1
ln 3
2 4
1
= =
-
ò

Câu 29.
I x xdx
2
2
0
1 3 sin 2 2cos
p
= - +
ò

Bài tập Tích phân
Trang 17
·

I x x dx
2
0
sin 3 cos
p
= -
ò
=
I x x dx x x dx
3
2
0
3
sin 3 cos sin 3 cos
p
p
p
= - + -
ò ò

3 3
= -
Câu 30.
xdx
I
x x

2
3
0
sin
(sin cos )
p
=
+
ò

·
Đặt
x t dx dt
2
p
= - Þ =-
Þ

tdt xdx
I
t t x x
2 2
3 3
0 0
cos cos
(sin cos ) (sin cos )
p p
= =
+ +
ò ò

Þ

dx dx
2I x
x x
x
2 2
4
2
2
0
0 0
1 1
cot( ) 1
2 2 4
(sin cos )
s i n ( )
4
p p
p
p
p
= = = - + =
+
+
ò ò
Þ
I
1

2
=
Câu 31.
x x
I dx
x x
2
3
0
7sin 5cos
(sin cos )
p
-
=
+
ò

·
Xét:
( ) ( )
xdx xdx
I I
x x x x
2 2
1 2
3 3
0 0
sin cos
;
sin cos sin cos

p p
= =
+ +
ò ò
.
Đặt
x t
2
p
= -
. Ta chứng minh được I
1
= I
2
Tính I
1
+ I
2
=
( )
dx dx
x
x x
x
2 2
2
2
0 0
1
tan( ) 1

2
2 4
sin cos
0
2cos ( )
4
p p
p
p
p
= = - =
+
-
ò ò
Þ
I I
1 2
1
2
= =
Þ
I I I
1 2
7 –5 1
= =
.
Câu 32.
x x
I dx
x x

2
3
0
3sin 2cos
(sin cos )
p
-
=
+
ò

·
Đặt
x t dx dt
2
p
= - Þ =-
Þ

t t x x
I dt dx
t t x x
2 2
3 3
0 0
3cos 2sin 3cos 2sin
(cos s i n ) (cos sin )
p p
- -
= =

+ +
ò ò

Þ

x x x x
I I I dx dx dx
x x x x x x
2 2 2
3 3 2
0 0 0
3sin 2cos 3cos 2sin 1
2 1
(sin cos ) (cos sin ) (sin cos )
p p p
- -
= + = + = =
+ + +
ò ò ò
Þ
I
1
2
=
.
Câu 33.
x x
I
dx
x

2
0
sin
1 cos
p
=
+
ò

·
Đặt
t t t
x t dx dt I dt dt I
t t
2 2
0 0
( )sin sin
1 cos 1 cos
p p
p
p p
-
= - Þ = - Þ = = -
+ +
ò ò

EBOOKTOAN.COM
Bi tp Tớch phõn
Trang 18
t d t

I dt I
t t
2
2 2
0 0
sin (cos )
2
4 4 8
1 cos 1 cos
p p
p p p
p p p
ổ
ử
ị = = - = + ị =
ỗ ữ
ố ứ
+ +
ũ ũ

Cõu 34.
x x
I
dx
x x
4
2
3 3
0
cos s i n

cos sin
p
=
+
ũ

ã
t
x t dx dt
2
p
= - ị =-
ị

t
t x x
I dt dx
t t x x
0
4 4
2
3 3 3 3
0
2
sin cos sin cos
cos sin cos s i n
p
p
= - =
+ +

ũ ũ

ị

x
x x x x x x x
I dx dx xdx
x x x x
4 4 3 3
2 2 2
3 3 3 3
0 0 0
cos sin s i n cos s i n c o s ( s i n cos ) 1 1
2 sin 2
2 2
s i n cos sin cos
p p p
+ +
= = = =
+ +
ũ ũ ũ

ị
I
1
4
=
.
Cõu 35.
I x dx

x
2
2
2
0
1
tan (cos )
cos (sin )
p
ộ ự
= -
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
ũ

ã
t
x t dx dt
2
p
= - ị =-
ị

I t dt
t
2
2
2
0

1
tan (sin )
cos (cos )
p
ộ ự
= -
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
ũ

x dx
x
2
2
2
0
1
tan (sin )
cos (cos )
p
ộ ự
= -
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
ũ

Do ú:
I x x dx

x x
2
2 2
2 2
0
1 1
2 tan (cos ) tan (sin )
cos (sin ) cos (cos )
p
ộ ự
= + - -
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
ũ
= dt
2
0
2
p
p
=
ũ

ị
I
2
p
=
.

Cõu 36.
x x
I dx
x
4
0
cos sin
3 sin2
p
-
=
-
ũ

ã
t
u x x
sin
cos = +
du
I
u
2
2
1
4
ị =
-
ũ
. t

u t
2sin =
tdt
I dt
t
4 4
2
6 6
2cos
12
4 4sin
p p
p p
p
ị = = =
-
ũ ũ
.
Cõu 37.
x
I dx
x x
3
2
0
sin
cos 3 sin
p
=
+

ũ
ã
t
t x
2
3 sin
= + =
x
2
4 cos
- . Ta cú:
x t
2 2
cos 4
= -
v
x x
dt
dx
x
2
sin cos
=
3 sin +
.
I =
x
dx
x x
3

2
0
s i n
.
cos 3 sin
p
+
ũ
=
x x
dx
x x
3
2 2
0
sin . cos
cos 3 sin
p
+
ũ
=
d t
t
15
2
2
3
4
-
ũ

=
dt
t t
15
2
3
1 1 1
4 2 2
ổ ử
-
ỗ ữ
+ -
ố ứ
ũ

Bi tp Tớch phõn
Trang 19
=
t
t
15
2
3
1 2
ln
4 2
+
-
=
1 15 4 3 2

ln ln
4
15 4 3 2
ổ ử
+ +
ỗ ữ
-
ỗ ữ
- -
ố ứ
=
( ) ( )
(
)
1
ln 15 4 ln 3 2
2
+ - + .
Cõu 38.
x x x x
I dx
x x
2
3
3 2
3
( sin ) sin
sin s i n
p
p

+ +
=
+
ũ

ã

x dx
I dx
x
x
2 2
3 3
2
3 3
1 sin
sin
p p
p p
= +
+
ũ ũ
.
+ Tớnh
x
I dx
x
2
3
1

2
3
sin
p
p
=
ũ
. t
u x
du dx
dx
dv
v x
x
2
cot
sin
ỡ
=
ù
ỡ
=
ị
ớ ớ
=
=-
ợ
ù
ợ
ị

I
1
3
p
=
+ Tớnh
dx dx dx
I=
x
x
x
2 2 2
3 3 3
2
2
3 3 3
4 2 3
1 sin
1 cos 2cos
2 4 2
p p p
p p p
p p
= = = -
+ ổ ử ổ ử
+ - -
ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ứ
ũ ũ ũ

Vy: I
4 2 3
3
p
= + - .
Cõu 39.
x
dx
x x
I
2
2 2
0
s i n 2
cos 4sin
p
+
=
ũ

ã

x x
dx
x
I
2
2
0
2sin cos

3sin 1
p
=
+
ũ
. t u x
2
3sin 1
= +
ị
udu
du
u
I
2 2
1 1
2
2 2
3
3
=
3
=
=
ũ ũ

Cõu 40.
x
I dx
x

6
0
tan
4
cos2
p
p
ổ ử
-
ỗ ữ
ố ứ
=
ũ

ã

x
x
I dx dx
x
x
2
6 6
2
0 0
tan
tan 1
4
cos2
(tan 1 )

p p
p
ổ ử
-
ỗ ữ
+
ố ứ
= =-
+
ũ ũ
. t
t x dt dx x dx
x
2
2
1
tan (tan 1 )
cos
= ị = = +

ị

dt
I
t
t
1
1
3
3

2
0
0
1 1 3
1 2
( 1 )
-
= - = =
+
+
ũ
.
Cõu 41.
x
I dx
x x
3
6
cot
s i n . s i n
4
p
p
p
=
ổ ử
+
ỗ ữ
ố ứ
ũ

ã

x
I dx
x x
3
2
6
cot
2
sin ( 1 cot )
p
p
=
+
ũ
. t
x t
1
cot + =
dx
dt
x
2
1
sin
ị =-
ị

( )
t
I dt t t
t
3 1
3 1
3 1
3 1
3
3
1 2
2 2 ln 2 ln 3
3
+
+
+
+
ổ ử
-
= = - = -
ỗ ữ
ố ứ
ũ

Bài tập Tích phân
Trang 20
Câu 42.
dx
I
x x

3
2 4
4
s i n .cos
p
p
=
ò

·
Ta có:
dx
I
x x
3
2 2
4
4.
sin 2 . cos
p
p
=
ò
. Đặt
dt
t x dx
t
2
tan
1

= Þ =
+

Þ

t dt t
I t dt t
t
t t
3
2 2 3
3 3
( 1 ) 1 1 8 3 4
2
( 2 ) ( 2 )
2 2
3 3
1 1
1
+ -
= = + + = - + + =
ò ò
Câu 43.
x
I dx
x x x
4
2
0
sin

5sin .cos 2cos
p
=
+
ò

·
Ta có:
x
I dx
x x x
4
2 2
0
tan 1
.
5tan 2(1 tan ) cos
p
=
+ +
ò
. Đặt
t
x tan
=
,
Þ

t
I dt dt

t t
t t
1 1
2
0 0
1 2 1 1 2
ln 3 ln 2
3 2 2 1 2 3
2 5 2
æ ö
= = - = -
ç ÷
+ +
+ +
è ø
ò ò

Câu 44.
xdx
x x x
I
2
4
4 2
4
sin
cos (tan 2 tan 5 )
p
p
-

- +
=
ò

·
Đặt
dt
t x dx
t
2
tan
1
= Þ =
+
Þ

t dt dt
I
t t t t
2
1 1
2 2
1 1
2
2 l n 3
3
2 5 2 5
- -
= = + -
- + - +

ò ò

Tính
dt
I
t t
1
1
2
1
2 5
-
=
- +
ò
. Đặt
t
u I du
0
1
4
1 1
tan
2 2 8
p
p
-
-
= Þ = =
ò

. Vậy I
2 3
2 ln
3 8
p
= + - .
Câu 45.
x
I
dx
x
2
2
6
s i n
sin 3
p
p
=
ò
.
·

x x
I dx dx
x x x
2
2 2
3 2
6 6

sin s i n
3sin 4sin 4cos 1
p p
p p
= =
- -
ò ò

Đặt
t x dt xdx
cos sin
= Þ = -
Þ

dt
dt
I
t
t
3
0
2
2
2
0
3
2
1 1
ln(2 3)
1

4 4
4 1
4
= - = = -
-
-
ò ò

Câu 46.
x x
I
dx
x
2
4
s i n cos
1 sin 2
p
p
-
=
+
ò

Bi tp Tớch phõn
Trang 21
ã
Ta cú:
x x x x x
1 sin 2 s i n cos sin cos

+ = + = + ( v ỡ x
;
4 2
p p
ộ ự
ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
)
ị

x x
I
dx
x x
2
4
s i n cos
s i n cos
p
p
-
=
+
ũ
. t
t x x dt x x dx
sin cos (cos sin )
= + ị = -
I dt t

t
2
2
1
1
1 1
ln
ln2
2
ị = = =
ũ

Cõu 47.
I x x xdx
2
6
3 5
1
2 1 cos .sin .cos= -
ũ

ã
t
t dt
t x t x t dt x xdx dx
x x
5
6
3 6 3 5 2
2

2
1 cos 1 cos 6 3cos sin
cos sin
= - = - ị = ị =
t t
I t t dt
1
1
7 13
6 6
0
0
12
2 ( 1 ) 2
7 13 91
ổ ử
ị = - = - =
ỗ ữ
ố ứ
ũ
Cõu 48.
xdx
I
x x
4
2
0
tan
cos 1 cos
p

=
+
ũ

ã
Ta cú:
xdx
I
x x
4
2 2
0
tan
cos tan 2
p
=
+
ũ
. t
2 2 2
2
tan
2 tan 2 tan
cos
= + ị = + ị =
x
t x t x tdt
dx
x

ị

3 3
2 2
3 2
= = = -
ũ ũ
tdt
I dt
t

Cõu 49.
x
I dx
x x
2
3
0
cos2
(cos sin 3 )
p
=
- +
ũ

ã
t
t x x
cos sin 3
= - +

ị

t
I dt
t
4
3
2
3
1
32
-
= =-
ũ
.
Cõu 50.
x
I dx
x x
4
2 4
0
s i n 4
cos . tan 1
p
=
+
ũ

ã

Ta cú:
x
I dx
x x
4
4 4
0
s i n 4
sin cos
p
=
+
ũ
. t
t x x
4 4
sin cos
= + I dt
2
2
1
2 2 2
ị = - = -
ũ
.
Cõu 51.
x
I
dx
x

4
2
0
sin 4
1 cos
p
=
+
ũ

ã
Ta cú:
x x
I dx
x
2
4
2
0
2sin2 (2cos 1 )
1 cos
p
-
=
+
ũ
. t
t x
2
cos

=
ị

t
I dt
t
1
2
1
2 ( 2 1 ) 1
2 6 ln
1 3
-
= - = -
+
ũ
.
Cõu 52.
x
I dx
x
6
0
tan( )
4
cos2
p
p
-
=

ũ

Bài tập Tích phân
Trang 22
·
Ta có:
2
6
2
0
tan 1
( t a n 1 )
p
+
=-
+
ò
x
I dx
x
. Đặt
t
x tan
=
Þ

1
3
2
0

1 3
( 1 ) 2
-
= - =
+
ò
dt
I
t
.
Câu 53.
3
6
0
tan
cos 2
p
=
ò
x
I
dx
x
·
Ta có:
3 3
6 6
tan tan
2 2 2 2
c o s sin c o s ( 1 tan )

0 0
p p
= =
ò ò
- -
x x
I dx dx
x x x x
.
Đặt
t
x tan
=
Þ

3
3
3
1 1
2
ln
2
6 2 3
1
0
= = - -
ò
-
t
I dt

t
.
Câu 54.
x
I
dx
x
2
0
cos
7 cos2
p
=
+
ò

·

x dx
I
x
2
2 2
0
1 cos
2 6 2
2 sin
p
p
= =

-
ò


Câu 55.
dx
x x
3
4
3 5
4
sin .cos
p
p
ò

·
Ta có:
dx
x
x
x
3
3
8
4
4
3
1
sin

.cos
cos
p
p
ò
dx
x
x
3
2
4
3
4
1 1
.
co s
tan
p
p
=
ò
.
Đặt
t
x tan
=
Þ

( )
I t dt

3
3
8
4
1
4 3 1
-
= = -
ò

Câu 56.
3
2
0
c o s cos sin
( )
1 cos
x x x
I x dx
x
p
+ +
=
+
ò
·
Ta có:
x x x x x
I x dx x x dx dx J K
x x

2
2 2
0 0 0
cos (1 cos ) sin .sin
.cos .
1 cos 1 cos
p p p
æ ö
+ +
= = + = +
ç ÷
ç ÷
+ +
è ø
ò ò ò

+ Tính
J x x dx
0
.cos .
p
=
ò
. Đặt
u x du dx
dv xdx v x
cos sin
ì ì
= =
Þ

í í
= =
î î

J
2
Þ = -
+ Tính
x x
K
dx
x
2
0
.sin
1 cos
p
=
+
ò
. Đặt
x t dx dt
p
= - Þ =-

t t t t x x
K dt dt dx
t t x
2 2 2
0 0 0

( ).sin( ) ( ).sin ( ).sin
1 cos ( ) 1 cos 1 cos
p p p
p p p p
p
- - - -
Þ = = =
+ - + +
ò ò ò

x x x x dx x dx
K dx K
x x x
2 2 2
0 0 0
( ).sin sin . sin .
2
2
1 cos 1 cos 1 cos
p p p
p p
p
+ -
Þ = = Þ =
+ + +
ò ò ò

Bài tập Tích phân
Trang 23
Đặt

t
x cos
=
dt
K
t
1
2
1
2
1
p
-
Þ =
+
ò
, đặt
t u dt u du
2
tan ( 1 tan )
= Þ = +
u du
K du u
u
2 2
4 4
4
2
4
4 4

( 1 t a n )
.
2 2 2 4
1 tan
p p
p
p
p p
p p p p
-
- -
+
Þ = = = =
+
ò ò
Vậy I
2
2
4
p
= -
Câu 57.
2
2
6
cos
I
sin 3 cos
p
p

=
+
ò
x
dx
x x
·
Ta có:
2
2 2
6
sin cos
sin 3 cos
p
p
=
+
ò
x x
I dx
x x
. Đặt
t x
2
3 cos
= +
Þ

( )
dt

I
t
15
2
2
3
1
ln( 15 4) ln( 3 2)
2
4
= = + - +
-
ò

Dạng 3: Đổi biến số dạng 2
Câu 58.
I x x dx
2
1
2
s i n sin .
2
6
p
p
= × +
ò
·
Đặt x t t
3

cos sin , 0
2 2
p
æ ö
= £ £
ç ÷
è ø
Þ
I =
t d t
4
2
0
3
cos
2
p
ò
=
3 1
2 4 2
p
æ ö
+
ç ÷
è ø
.
Câu 59.
2
2 2

0
3sin 4cos
3sin 4cos
p
+
=
+
ò
x x
I dx
x x
·

2 2 2
2 2 2
0 0 0
3sin 4cos 3sin 4cos
3 c o s 3 c o s 3 cos
p p p
+
= = +
+ + +
ò ò ò
x x x x
I dx dx dx
x x x
2 2
2 2
0 0
3sin 4cos

3 cos 4 sin
p p
= +
+ -
ò ò
x x
dx dx
x x
+ Tính
2
1
2
0
3sin
3 cos
p
=
+
ò
x
I
dx
x
. Đặt cos sin
= Þ = -
t x dt xdx
Þ

1
1

2
0
3
3
=
+
ò
dt
I
t
Đặt
2
3 tan 3(1 tan )
= Þ = +
t u dt u du
Þ

2
6
1
2
0
3 3(1 tan ) 3
3 ( 1 tan ) 6
p
p
+
= =
+
ò

u du
I
u
+ Tính
2
2
2
0
4cos
4 sin
p
=
-
ò
x
I
dx
x
. Đặt
1 1
sin = cos Þ =
t x dt x d x
1
1
2 1
2
1
0
4
ln 3

4
= =
-
ò
dt
I dt
t

Bài tập Tích phân
Trang 24
Vậy:
3
l n 3
6
p
= +I
Câu 60.
x
I dx
x x
4
2
6
tan
cos 1 cos
p
p
=
+
ò

·
Ta có:
x x
I dx dx
x x
x
x
4 4
2 2
2
2
6 6
tan tan
1
cos tan 2
cos 1
cos
p p
p p
= =
+
+
ò ò

Đặt
u x du
dx
x
2

1
tan
cos
= Þ =

Þ

u
I dx
u
1
2
1
3
2
=
+
ò
. Đặt
u
t u dt du
u
2
2
2
2
= + Þ =
+
.
I dt t

3
3
7
7
3
3
7 3 7
3 .
3 3
-
Þ = = = - =
ò

Câu 61.
x
I dx
x x
2
4
sin
4
2sin cos 3
p
p
p
æ ö
+
ç ÷
è ø
=

-
ò

·
Ta có:
( )
x x
I dx
x x
2
2
4
1 s i n cos
2
s i n cos 2
p
p
+
=-
- +
ò
. Đặt
t x x
sin
cos = -
Þ

I dt
t
1

2
0
1 1
2
2
=-
+
ò

Đặt
t
u 2 tan
=
Þ

u
I du
u
1
arctan
2
2
2
0
1 2(1 tan ) 1 1
arctan
2
2 2
2tan 2
+

= - =-
+
ò

Bi tp Tớch phõn
Trang 25
Dng 4: Tớch phõn tng phn
Cõu 62.
x x
I
dx
x
3
2
3
sin
cos
p
p
-
=
ũ
.
ã
S dng cụng thc tớch phõn tng phn ta cú:
x dx
I xd J
x x x
3 3
3

3
3 3
1 4
,
cos cos cos 3
p p
p
p
p p
p
-
- -
ổ ử
= = - = -
ỗ ữ
ố ứ
ũ ũ
vi
dx
J
x
3
3
cos
p
p
-
=
ũ

tớnh J ta t
t x
sin .
=
Khi ú
dx dt t
J
x t
t
3
3
3
2
2
2
3
3
2
3
2
1 1 2 3
ln ln
cos 2 1
2 3
1
p
p
-
-
-

- -
= = = - =-
+
+
-
ũ ũ
Vy I
4 2 3
ln .
3
2 3
p
-
= -
+

Cõu 63.
x
x
I e dx
x
2
0
1 sin
.
1 cos
p
ổ ử
+
=

ỗ ữ
+
ố ứ
ũ

ã
Ta cú:
x x
x x
x x
x
2 2
1 2sin cos
1 sin 1
2 2
tan
1 cos 2
2cos 2cos
2 2
+
+
= = +
+

ị

x
x
e dx x
I e dx

x
2 2
2
0 0
tan
2
2cos
2
p p
= +
ũ ũ
=
e
2
p
Cõu 64.
( )
x x
I dx
x
4
2
0
cos2
1 sin 2
p
=
+
ũ

ã
t
u x
du dx
x
dv dx
v
x
x
2
cos2
1
1 sin 2
( 1 s i n 2 )
ỡ
=
ỡ
=
ù ù
ị
ớ ớ
=
=-
ù ù
+
+
ợ
ợ
ị

I x dx dx
x x
x
4 4
2
0 0
1 1 1 1 1 1 1
. . .
4
2 1 sin 2 2 1 sin2 16 2
2
0
cos
4
p p
p
p
p
ổ ử
= - + = - +
ỗ ữ
+ + ổ ử
ố ứ
-
ỗ ữ
ố ứ
ũ ũ


( )

x
1 1 1 2 2
. tan . 0 1
4
1 6 2 4 1 6 2 2 4 1 6
2
0
p
p p p p
ổ ử
= - + - = - + + = -
ỗ ữ
ố ứ