skkn CÁCH KHAI THÁC bài tập từ một ĐỊNH lý TRONG SÁCH GIÁO KHOA

Họ và Tên: 
Chức vụ 
Đơn vị công tác: 

CHUYÊN ĐỀ
CÁCH KHAI THÁC BÀI TẬP TỪ MỘT ĐỊNH LÝ TRONG
SÁCH GIÁO KHOA

Đối tượng bồi dưỡng: !"#$%&'(
Số tiết:
A.Lý do chọn chuyên đề:
Trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp tôi thấy rằng học sinh thường mất nhiều
điểm khi không giải được các bài tập hình học. Nhiều học sinh cho rằng đó là bài tập
mà các em thường không giải được ,do tính chất đặc thù của loại toán mang tính tư
duy và trừu tượng cao. Nên học sinh thường bỏ bài tập hình học. Qua nhiều năm dạy
đội tuyển tôi rất trăn trở và suy nghĩ mình phải làm thế nào để học sinh yêu thích giải
các bài tập hình học hơn. Vì nếu các em có phương pháp giải các bài tập hình một
cách thành thạo thì việc tư duy và thuật toán để giải các loại bài tập khác sẽ nhanh
nhẹn hơn, giúp các em có thể đạt được kết quả cao trong các kỳ thi học sinh giỏi các
cấp.
Vì những lý do trên đây tôi mạnh dạn viết chuyên đề “ Cách khai thác bài tập từ
một định lý trong sách giáo khoa”. Nhằm giúp các em có cách nhìn tổng quát và
những suy nghĩ để mở rộng các kiến thức đã học trong sách giáo khoa. Từ đó các em
tự vận dụng phát triển tư duy với các bài tập tương tự, tổng quát và liên hệ một cách
lô gich với các dạng toán đã học.
Qua thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm, với cách làm trên tôi
thấy rằng học sinh của tôi đã bắt đầu yêu thích các bài tập hình học, các chuyên đề
hình học lôi cuốn học sinh học tập say mê hơn. Từ đó tôi thấy rằng trong các kỳ thi
học sinh giỏi nếu làm được bài tập hình học là chúng ta sẽ tự tin rằng chất lượng đội
tuyển nâng lên rõ rệt và sẽ đạt thành tích cao.
Vì các lý do trên đây mà tôi thấy rằng hướng dẫn học sinh biết cách tìm tòi khám

phá những điều mới lạ, xuất phát điểm từ những điều giản đơn, từ sách giáo khoa, từ
những kiến thức chuẩn kỹ năng. Học sinh sẽ làm được những điều phi thường từ
những điều giản đơn đó. Thực tế cho tôi thấy rằng mình đã phần nào có được kết quả
mong đợi. Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2010-2011, đội tuyển tôi phụ
trách đã có rất nhiều em làm được bài hình, nhờ đó mà chất lượng đội tuyển nâng lên
rõ rệt. Do vậy tôi đã mạnh dạn trình bày chuyên đề: “Cách khai thác bài tập từ một
định lý trong sách giáo khoa”. Để bồi dưỡng cho đội tuyển học sinh giỏi lớp 9, với
kỳ vọng các em sẽ yêu thích các bài tập hình khô khan, trừu tượng, nhưng vô cùng
hấp dẫn và lý thú. Với mục tiêu phát hiện và bồi dưỡng nhân tài cho huyện,cho tỉnh
nhà , cho đất nước của chúng ta. Thực hiện lời dạy của Bác trước lúc người đi xa: “
Vì lợi ích mười năm trồng cây, vì lợi ích trăm năm trồng người”
B. Nội dung của chuyên đề:

I.Định lý( SGK 88)

Trong một tứ giác nội tiếp , tổng số đo hai góc đối diện bằng 180
0
.

O
D
C
B
A
)*+ Giả sử tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).

F
O
E
J

I
H
K
d
D
C
B
A
1. Ta có
·
·
ADC CBK=
.
2. Ta có
· ·
DAC DBC=
. Khi
·
0
90DAC =
thì DC là đường kính của (O).
3. Nếu
·
·
0
90DAB DCB= =
thì BD là đường kính.
4. Nếu AB//CD thì ABCD là hình thang cân.
5. Gọi
F AC BD

= ∩
thì FA.FC=FB.FD
6. Nếu AB không song song với CD,gọi
K AB CD
= ∩
thì KA.KB=KC.KD.
7. Từ D kẻ
; ;DH AC DI BC DJ AB⊥ ⊥ ⊥
. Khi đó ba điểm J,H,I thẳng hàng.( Đường
thẳng qua ba điểm J,H,I gọi là đường thẳng Simson)
8. Ta có AB.CD+BC.AD=AC.BD ( Định lý Ptô-Lê-Mê).

II. Định lý đảo( SGK 88)
Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng
0
180
thì tứ giác đó nội tiếp được
đường tròn.
)*+: Các dấu hiệu chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp là:
1. Tứ giác ABCD có
µ
µ
0
180A C+ =
hoặc
µ
µ
0
180B D+ =
2. Tứ giác ABCD là hình thang cân.

3.Tứ giác ABCD có
· ·
DAC DBC=
hoặc
·
·
ADC CBK=
4. Tứ giác ABCD tồn tại điểm O sao cho OA=OB=OC=OD.
5.Gọi
F AC BD
= ∩
của tứ giác ABCD mà FA.FC=FB.FD.
6. Tứ giác ABCD có AB không song song với CD,gọi
K AB CD
= ∩
mà
KA.KB=KC.KD.
7. Từ D của tứ giác ABCD kẻ
; ;DH AC DI BC DJ AB⊥ ⊥ ⊥
mà J,H,I thẳng hàng.
III. Các dạng bài tập:
1. Chứng minh các yếu tố hình học.
2. Dựng hình
3. Bất đẳng thức và cực trị hình học.
4. Tìm điểm cố định và hình cố định
5. Tìm tập hợp điểm
6. Vận dụnh định lý Ptô-lê-mê
7. Vận dụng đường thẳng Sim-son
8. Bài tập tổng hợp.
IV. Phương pháp giải và các ví dụ minh họa

1.Các phương pháp đặc trưng để giải các bài toán chứng minh các yếu tố hình học:
Ví dụ 1:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Hai đường cao của tam giác
ABC là BD và CE. Chứng minh rằng OA vuông góc với DE.
,

x
O
D
E
C
B
A
-Kẻ tiếp tuyến Ax của (O;R).
-Ta có
·
·
0
90BEC BDC= =
suy ra tứ giác BEDC nội tiếp
·
·
( )
1EBC EDA⇒ =
-Mà
·
·
ABC xAC=
( cùng chắn cung AC) (2).
-Từ (1) và (2) suy ra

OA DE
⊥
.
-

I
O
E
D
F
C
B
A
-Vẽ đường kính AF ; Gọi
AFI ED= ∩
-Ta có
·
·
0
90BEC BDC= =
suy ra tứ giác BEDC nội tiếp
·
·
ADE EBC⇒ =
.
- Mà
· ·
AFEBC C=
( cùng chắn cung AC);
·

0
90FCA =
( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
·
·
· ·
·
0 0
AF 90 90IDA IAD FAC C AID OA ED⇒ + = + = ⇒ = ⇒ ⊥
.

D
E
O
M
N
C
B
A
- Gọi giao điểm của DE với (O;R) là M và N ( E nằm giữa M và D)
- Ta có
·
·
0
90BEC BDC= =
suy ra tứ giác BEDC nội tiếp
·
·
AED BCD⇒ =
- Hay (sđ

»
AD
+sđ
¼
BM
): 2=(sđ
¼
AM
+sđ
¼
BM
): 2
¼
»
AM AN OA MN OA DE⇒ = ⇒ ⊥ ⇔ ⊥
Nhận xét:
-Với bài toán trên ta có thể chứng minh được bài toán ngược sau:
Bài tập 1.1:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Trên hai cạnh AB và AC lần
lượt lấy hai điểm D và E sao cho DE vuông góc với OA. Chứng minh rằng tứ giác
BDEC nội tiếp.
- Khi điểm A di động trên đường tròn (O;R) thì đường thẳng vuông góc với DE
luôn đi qua một điểm cố định . Ta có bài toán về tìm điểm cố định sau:
Bài tập 1.2:
Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O;R) và BC không phải là đường
kính của (O;R). Điểm M chuyển động trên (O;R) sao cho tam giác MBC nhọn. BD và
CE là hai đường cao của tam giác MBC. Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ M
vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định.
- Ta tiếp tục kẻ AF vuông góc với BC nên BD,CE và AF cắt nhau tại H. từ đó
chứng minh được

EF;BO CO DF⊥ ⊥
. Các tứ giác AEOD,BEOF,ODCF đều có
hai đường chéo vuông góc và có liên quan đến ba cạnh của tam giác EDF.Ta
có bài tập hay và khó sau :


H
F
D
E
O
C
B
A
Bài tập1.3:
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao BD,CE và
AF cắt nhau tại H. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EDF. Tính tỉ số diện
tích tam giác DEF và diện tích tam giác ABC theo R và r.
Ví dụ 2: /-00(1-0,02
Cho tam giác nhọn
ABC
nội tiếp đường tròn (
O
).
, ,AD BE CF
là ba đường cao
( )
, ,D BC E CA F AB∈ ∈ ∈
. Đường thẳng
EF

cắt
BC
tại
,G
đường thẳng
AG
cắt lại
đường tròn
( )O
tại điểm
M
.
a, Chứng minh rằng bốn điểm
, , ,A M E F
cùng nằm trên một đường tròn.
b, Gọi
N
là trung điểm cạnh
BC
và
H
là trực tâm tam giác
ABC
.
Chứng minh rằng
GH AN⊥
Giải:

N
D

K
M
G
F
E
H
O
B
C
A

a,3 45678$4
, , ,A M E F
954#4"#8#:
Tứ giác AMBC nội tiếp, ta được GM.GA=GB.GC.
Tứ giác
BFEC
nội tiếp, ta được
GB GC GF GE× = ×
.Suy ra
GF GE GM GA× = ×
Do đó, tứ giác
AMFE
nội tiếp.
b. 345
GH AN⊥
-Theo kết quả phần 1, và tứ giác AEHF nội tiếp suy ra
M
nằm trên đường tròn đường
kính

AH
, do đó
HM MA⊥
.
-Tia
MH
cắt lại đường tròn
( )O
tại
K
, khi đó do
·
90AMK =
o
nên
AK
là đường kính
của
( )O
.
-Từ đó suy ra
,KC CA KB BA⊥ ⊥
. Suy ra
/ / , / /KC BH KB CH
, do đó
BHCK
là hình
bình hành. Suy ra
KH
đi qua

N

Nhận xét về phương pháp giải:
- Ở phần a, Để chứng minh tứ giác AMFE nội tiếp đường tròn , nếu không biết sử
dụng nhận xét : “Tứ giác ABCD có AB không song song với CD,gọi
K AB CD= ∩

mà KA.KB=KC.KD thì tứ giác ABCD nội tiếp” thì việc chứng minh bài toán sẽ gặp
nhiều khó khăn và không có lời giải đúng.
- Để chứng minh được phần b, chúng ta vẫn cần phải sử dụng tứ giác nội tiếp AEHF .
Suy ra được M nằm trên đường tròn đường kính AH. Từ đó chỉ ra được HM vuông
góc với MA.
2. Các bài toán dựng hình
;<=: Cho tam giác nhọn ABC ( AB<AC), điểm D di động trên cạnh BC . Vẽ DE và
DF vuông góc với AB và AC. Xác định vị trí của điểm D để :
a, EF có độ dài nhỏ nhất.
b, EF có độ dài lớn nhất.
Giải:

O
M
F
E
D
C
B
A


Tứ giác AFDE có

µ
µ
0 0 0
90 90 180E F+ = + =
. Nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn
đường kính AD.
- Gọi O là tâm của đường tròn này . Vẽ OM vuông góc với EF thì ME=MF.
-Đặt
·
·
BAC MOE
α α
= ⇒ =
. Xét tam giác vuông MOE có:

( )
.sin 2. .sin .sin *EM EO FE EO AD
α α α
= ⇒ = =
a, Do
α
không đổi nên từ (*) suy ra EF nhỏ nhất khi và chỉ khi AD nhỏ nhất
AD BC D⇔ ⊥ ⇔
là hình chiếu của A trên BC.
b, Mặt khác
DA AC≤
. Từ (*) suy ra EF lớn nhất khi và chỉ khi AD lớn nhất khi D
trùng với C ( vì AC>AB)
Nhận xét:
* Về phương pháp giải:

Điều quan trọng nhất là trong cách giải trên là chứng minh được tứ giác AFDE nội
tiếp đường tròn và EF là một dây của đường tròn đó. Ta biến đổi điều kiện EF đạt cực
trị bởi điều kiện tương đương là AD đạt cực trị cho đến khi trả lời được câu hỏi của đề
bài.
* Về kết quả:
-Kết quả của bài toán trên vẫn đúng khi góc A là góc vuông hoặc góc tù.
- Bài toán trên có thể đưa về dạng toán tìm cực trị hình học.
3.Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị hình học:
Ví dụ : Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Điểm M chuyển động trên
đường tròn (O). Gọi D,E theo thứ tự là hình chiếu của điểm M trên các đường thẳng
AB,AC. Tìm vị trí của điểm M sao cho DE có độ dài lớn nhất.
Giải

K
M
O
E
D
C
B
A
Từ các tứ giác nội tiếp ADME và ABCM, ta có
·
·
·
· ·
·
;MDE MAE MBC MED MAD MCB= = = =
( )
DE ME

MDE MBC g g
BC MC
⇒ ∆ ∆ − ⇒ =:
.
- Ta lại có
ME MC DE BC
≤ ⇒ ≤
. Do đó max DE=BC
ME MC MC AC M K
⇔ = ⇔ ⊥ ⇔ ≡
( K đối xứng với A qua O)
Chú ý:
DE AM AK≤ ≤
nhưng không thể kết luận max DE=AK vì dấu bằng không thể
xảy ra. Thật vậy:

DE AM
DE AK
AM AK
=

= ⇔ ⇔

=

DE đi qua trung điểm của AM và AM đi qua O.
Điều này không xáy ra vì khi AM đi qua O thì DE=BC, mà BC không đi qua O, tức
là DE không đi qua trung điểm của AM.
4.Dạng toán: Tìm điểm cố định và hình cố định
Ví dụ1:

Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O)ta vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường
tròn. Lấy điểm D nằm giữa B và C. Qua D vẽ một đường thẳng vuông góc với OD cắt
AB, AC lần lượt tại E và F, cắt đường tròn tại M và N.
a, Chứng minh rằng ME=NF
b, Khi điểm D di động Trên BC, chứng minh rằng đường tròn (AEF) luôn đi qua
một điểm cố định khác A.
Giải.


B
E
O
F
C
A
N
D
M

a,
-Tứ giác OBED có
·
·
0
180EBO ODF+ =

nên tứ giác OBED nội tiếp đường tròn.
· ·
DEO DBO⇒ =
- Tương tự

·
·
DCO DFO=
, mà
· ·
·
·
OEF OFCBO OCB E= ⇒ =
suy ra tam giác OEF cân.
- Vì
EF ;OD DE DF DM DN ME NF⊥ ⇒ = = ⇒ =
b,
-Tứ giác OBED nội tiếp
·
·
BEO BDO⇒ =
-Tứ giác ODCF nội tiếp
·
·
·
·
OFOFC BDO BEO C⇒ = ⇒ =
, nên tứ giác AEOF nội tiếp
đường tròn, suy ra đường tròn (AEF) đi qua điểm cố định O.
Bài tập 4. 1 : Cho đường tròn (O) tiếp xúc với đoạn thẳng AB tại điểm C nằm giữa A
và B. Tia Ax tiếp xúc với (O) tại D ( D không trùng với C). Trên tia Ax lấy điểm M.
Dựng thẳng qua O vuông góc với BM cắt CD tại E. AE cắt BM tại F.
Chứng minh rằng F nằm trên một tia cố định khi M ( M khác A) di động trên tia Ax.
HD:

y
x
O
F
M
D
G
E
I
C
H
B
A

Vẽ vài vị trí của M nhận ra rằng FI là đường trung bình của tam giác MAB.
Như vậy F nằm trên tia Iy cố định song song với Ax, I là trung điểm của AB.
Từ E vẽ đường thẳng song song với MB cắt AB , AM lần lượt tại H và G .
Chỉ cần chứng minh được GE=EH là đạt được điều phải chứng minh.
Bài tập 4.2: Cho tam giác ABC, M là điểm di động trên cạnh AC, N là điểm di động
trên trên tia đối của tia BA sao cho BN=CM.
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua một điểm cố định
khác A.
HD;

O
M
N
D
C
B

A
Gọi D là trung điểm của cung BC. Suy ra D cố định và DB=DC.
Xét hai tam giác BDN và CDM có:
·
·
( )
; ;BN CM DBN DCM DB DC BDN CDM c g c= = = ⇒ ∆ = ∆ − −
·
·
BND CMD⇒ = ⇒
Tứ giác AMDN nội tiếp.
Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua điểm cố định D.
Bài tập 4.3: Cho đường tròn (O) đường kính BC , trên đường tròn (O) có điểm A di
động . Gọi D là chân đường cao AD của tam giác ABC và M,N lần lượt là tâm đường
tròn nội tiếp các tam giác ABD,ACD.
Chứng minh rằng đường vuông góc với MN kẻ từ A luôn đi qua một điểm cố
định.

Q
P
H
M
N
O
I
D
C
B
A

HD: Gọi P và Q là giao điểm của MN với AB,AC.
Ta có
( )
DNA DMB g g DMN DBA∆ ∆ − ⇒ ∆ ∆: :
Tứ giác MDBP nội tiếp
·
·
0
45APQ MDB⇒ = =
. Nên tam giác APQ vuông cân đỉnh A,
AH là đường cao nên cũng là đường phân giác.
Suy ra
º º
BI IC= ⇒
I cố định.

5.Dạng toán: Tìm tập hợp điểm
Ví dụ: Cho hình vuông ABCD , tâm O. Một đường thẳng xy quanh O cắt hai cạnh AD
và BC lần lượt tại M và N. Trên CD lấy điểm K sao cho DK=DM. Gọi H là hình
chiếu của K trên xy. Tìm quĩ tích của điểm H.
Giải

N
O
H
M
K
I
D
C

B
A

* Phần thuận:
Ta có CN=AM ( tính chất đối xứng)
Vì DK=DM nên CK=CN. Tứ giác MHKD,NHKC nội tiếp đường tròn nên:
·
·
·
·
·
0 0 0
45 ; 45 90DHK DMK KHC KNC DHC= = = = ⇒ =
Vậy điểm H nằm trên đường tròn đường kính CD.
Giới hạn: Điểm H chỉ nằm trên một nửa đường tròn đường kính CD nằm trong hình
vuông.
* Phần đảo:
Lấy điểm H bất kỳ trên nửa đường tròn đường kính CD. Vẽ đường thẳng HO cắt
cạnh AB,BC lần lượt tại M và N. Lấy K trên CD sao cho DK=DM, ta phải chứng
minh H là hình chiếu của K trên MN.
Thực vậy, Vì
· ·
0 0
90 ; 90HDC DOC= =
nên tứ giác HOCD nội tiếp
·
·
0
45DHM DCO⇒ = =
Mặt khác

·
·
·
0
45DKM DHM DKM= ⇒ = ⇒
Tứ giác HKDM nội tiếp.
·
0
90KHM KH MN⇒ = ⇒ ⊥ ⇒
H là hình chiếu của K trên MN.
* Kết luận:
Vậy quĩ tích điểm H là nửa đường tròn đường kính CD, nửa đường tròn này nằm
trong hình vuông.

Nhận xét về phương pháp giải:
Trong phần thuận nhờ chứng minh các tứ giác MHKD,NHKC nội tiếp đường tròn
mà ta tính được
·
0
90DHC =
, từ đó xác định được điểm H nằm trên đường tròn đường
kính BC.
Trong phần đảo , cũng nhờ chứng minh các tứ giác nội tiếp HOCD,HKDM mà ta
tính được
·
0
90KHM =
, từ đó chứng minh H là hình chiếu của K trên MN.
6.Dạng toán: Vận dụnh định lý Ptô-lê-mê
* Định lý Ptô-Lê-Mê: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Ta có

AB.CD+AD.BC=AC.BD
Chứng minh:

O
E
C
B
D
A
Trên đoạn BD lấy điểm K sao cho
·
·
. .
AD DE
DAE CAB DAE CAB AD BC AC DE
AC BC
= ⇒ ∆ ∆ ⇒ = ⇒ =:
(1)
Chứng minh tương tự ta có: AB.CD=AC.BE (2)
Cộng (1) và (2) ta được AD.BC+AB.CD=AC.DE+AC.BE=AC.(DE+BE)=AC.BD
Bài 6. 1:
Trong các tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R) , tìm tứ giác có tổng
AB.CD+AD.BC lớn nhất.
Bài 6. 2:
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng AB.CD+AD.BC≥AC.BD. Dấu của
đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài 6. 3:
Qua đỉnh B và C của tam giác ABC vẽ tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp
của tam giác ABC , chúng cắt nhau tại M. Gọi N là trung điểm của cạnh BC.
Chứng minh rằng

·
·
BAM CAN=
.

7.Dạng toán: Vận dụng đường thẳng Sim-son
Ví dụ : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).Gọi H,I theo thứ tự là hình chiếu
của B trên AC,CD. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của AD,HI. Chứng minh rằng
a, Tam giác ABD đồng dạng với tam giác HBI.
b,
·
0
90MNB =
.
Giải

O
1
1
N
H
B
C
I
D
M
A
K
a,
·

·
ADB ACB=
( do ABCD nội tiếp)
·
·
ADB HIB=
(do BHIC nội tiếp). Tương tự
·
·
( )
ABD HBI ABD HBI g g= ⇒ ∆ ∆ −:
b, Kẻ BK vuông góc với AD.
Ta thấy I,H,K thuộc đường thẳng ( Đường thẳng Sim-son)
( )
·
·
ABD HBI g g BMA BNH∆ ∆ − ⇒ = ⇒:
BKMN là tứ giác nội tiếp.
Từ đó suy ra
·
0
90MNB =
.
Chú ý:
- Để giải bài toán trên ta liên tiếp sử dụng các tứ giác nội tiếp và vận dụng đường
thẳng Sim-son để giải bài tập trên.
- Tuy nhiên ta cũng không cần dùng đến đường thẳng Sim-son. Từ các tam giác đồng
dạng ABD và HBI, có BM và BN là các đường trung tuyến tương ứng nên
·
·

·
·
;
BM BA
ABM HBN ABH MBN ABH MBN
BN BH
= = ⇒ = ⇒ ∆ ∆:
Do đó
·
0
90MNB =
8 . Bài tập tổng hợp:
Bài tập 1: ( HSG Tỉnh Phú Thọ năm học 2010-2011)
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường tròn (O).
MN là một đường kính thay đổi của đường tròn (M không trùng với A, B). Các đường
thẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh
AM.AC AN.AD=
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tích
AC.AD
.
c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC thuộc một đường thẳng
cố định.
d) Gọi I là giao điểm của CO và BM. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm
thứ hai là E, cắt đường thẳng d tại F. Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng
Bài tập 2: ( Đề thi HSG tỉnh Thái Bình Năm học 2010-2011)
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Từ
một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB. Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn
tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O'). Hai đường thẳng

AD và AE cắt đường tròn tâm O' lần lượt tại M và N (M và N khác với điểm A).
Đường thẳng DE cắt MN tại I. Chứng minh rằng:
a)
MI.BE BI.AE
=
b) Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.
Bài tập 3: ( Đề thi HSG tỉnh Thái Bình Năm học 2010-2011)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. Điểm M di động trên đoạn
AD. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC. Vẽ NH vuông góc
với PD tại H. Xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất
Bài tập 4(HSG Thành Phố Hà Nội năm 2010-2011)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC.
a) Vẽ về phía ngoài tam giác ABC nửa đường tròn (I) đường kính AB và nửa
đường tròn (K) đường kính AC. Đường thẳng qua A cắt hai nửa đường trong (I), (K)
lần lượt tại các điểm M, N (M khác A, B và N khác A, C).
Tính các góc của tam giác ABC khi diện tích tam giác CAN bằng 3 lần diện tích
tam giác AMB.
b) Cho AB<AC và điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD=AB. Gọi điểm E là hình
chiếu của điểm D trên đường thẳng BC và điểm F là hình chiếu của điểm A trên
đường thẳng DE.
Bài tập 5: ( HSG Tỉnh Thanh Hóa Năm học 2010-2011)
Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (
O AB
∉
). P là điểm di động trên
đoạn thẳng AB (
,P A B≠
và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua
điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P
tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (

N P
≠
).
1) Chứng minh rằng
·
·
ANP BNP=
và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một
đường tròn.
2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định
khi P di động.
Bài tập 6 ( HSG Tỉnh Hải Dương năm học 2010-2011)
Cho tam giác ABC nhọn có trung tuyến CM. Các đường cao AH, BD, CF cắt nhau
tại I. Gọi E là trung điểm của DH. Đường thẳng qua C và song song với AH cắt
BD tại P; đường thẳng qua C và song song với BD cắt AH tại Q.
a) Chứng minh PI.AB = AC.CI
b) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDH. Chứng minh MD là tiếp tuyến
của đường tròn (O).
c) CE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại R (R khác C); CM cắt đường
tròn (O) tại K (K khác C). Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR.
Bài tâp 7: ( HSG Vĩnh Phúc năm học 2011-2012).
Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H. Đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt
đường thẳng BH ở D, đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt đường thẳng CH tại E.
Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của BE,CD.
1, Chứng minh rằng M,H,N thẳng hàng.
2, Đường thẳng NM cắt trung tuyến AL của tam giác ABC tại P. Chứng minh rằng
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABP tiếp xúc với BC.
Bài tập 8:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).
a, Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đường tròn (O) tại M.

Chứng minh rằng
2
.MC MI MA=
.
b,Kẻ đường kính MN, các tia phân giác của góc B và C cắt AN tại P và Q.
Chứng minh rằng bốn điểm P,C,B,Q cùng thuộc một đường tròn.
Bài tập 9:
Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn tại A, lấy
điểm M khác A. Từ M kẻ cát tuyến MCD ( C nằm giữa M và D). Đường thẳng
BC và BD cắt đường thẳng OM lần lượt tại E và F.
Chứng minh rằng OE=OF.
Bài tập 10:
Cho góc nhọn xBy. Từ điểm A trên tia Bx kẻ AH vuông góc với By tại H và kẻ AD
vuông góc với đường phân giác của góc xBy tại D.
a, Gọi O là trung điểm của AB, chứng minh OD vuông góc với AH.
b, Tiếp tuyến tại A với đường tròn đường kính AB cắt By tại C; BD cắt AC tại E.
Chứng minh rằng tứ giác HDEC nội tiếp.
HƯỚNG DẪN
Bài tập 1: ( HSG Tỉnh Phú Thọ năm học 2010-2011)
Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Qua B kẻ tiếp tuyến d của đường tròn (O).
MN là một đường kính thay đổi của đường tròn (M không trùng với A, B). Các đường
thẳng AM và AN cắt đường thẳng d lần lượt tại C và D.
a) Chứng minh
AM.AC AN.AD=
.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tích
AC.AD
.
c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNC thuộc một đường thẳng
cố định.

d) Gọi I là giao điểm của CO và BM. Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) tại điểm
thứ hai là E, cắt đường thẳng d tại F. Chứng minh ba điểm C, E, N thẳng hàng
Hướng dẫn:

E
I
K
D
d
N
O
P
A
P
B
A
M
N
B
C
F
C
M
D
a,
·
·
ANM ABM=
,
·

·
ABM ACB=
. Suy ra:
·
·
ACB ANM=
.Do đó
AMN∆
và
ADC∆
đồng dạng
AM AN
AM.AC AN.AD
AD AC
= ⇒ =
b, Ta có:
AC.AD CD.AB 2R.CD= =
(1). Lại có
2
CD BD BC 2 BD.BC 2 AB 4R= + ≥ = =
(2)
Từ (1) và (2), suy ra
2
CD.AD 8R≥
.
c, Gọi P là tâm đường tròn ngoại tiếp
MNC
∆
, K là trung điểm của CD, S là giao điểm
của AK với MN.

Ta thấy tứ giác MNDC là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm P nên
·
·
AMN ADC=
,
· ·
·
SAM KCA ANM= =
. Suy ra: MN vuông góc với AK
Lại có: PO vuông góc với MN nên AK song song với OP, mà PK song song với AO.
Suy ra: tứ giác AOPK là hình bình hành, hay KP = AO =R
Vì d là đường thẳng cố đinh, PK = R không đổi nên P thuộc đường thẳng song song
với d, cách d một khoảng R cố định.
d, Trước hết ta chứng minh bài toán: Nếu tam giác ABC có các điểm M, N, P thẳng
hàng và lần lượt thuộc các đường thẳng AB, BC, CA thì:
AP CN BM
. .
PC NB MA
= 1.
Thật vậy: Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt MN tại D, ta có:
AP AM
PC CD
=
và
CN CD
NB BM
=
.
Do đó ta có điều phải chứng minh.
Áp dụng bài toán trên vào tam giác ACO với ba điểm thẳng hàng là B, I, M, ta có:

AB OI CM
. . 1
BO IC MA
=

⇒

OI MA
IC 2CM
=
(1)
Tương tự với tam giác BCO và ba điểm thẳng hàng là A, I, F ta có:
OI FB
IC 2CF
=
(2)
Từ (1) và (2) ta có
MA FB
=
CM CF
. Do đó MF // AB (định lí Ta lét đảo)
Mà AB
⊥
BC
⇒
MF
⊥
BC
⇒

·
0
90MFC =
Ta có
·
·
EFB EBA=
(cùng phụ với góc EAB)

·
·
EBA EMC=
(tứ giác AMEB nội tiếp)

·
·
EFB EMC⇒ =

⇒
Tứ giác MEFC nội tiếp
⇒

·
·
0
MEC MFC 90= =
. Do đó: ME
⊥
EC (3)
Lại có

·
0
MEN 90=
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
⇒
ME
⊥
EN (4)
Từ (3) và (4) suy ra C, E, N thẳng hàng.
Bài tập 2: ( Đề thi HSG tỉnh Thái bình Năm học2010-2011)
Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; R') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. Từ
một điểm C thay đổi trên tia đối của tia AB. Vẽ các tiếp tuyến CD; CE với đường tròn
tâm O (D; E là các tiếp điểm và E nằm trong đường tròn tâm O'). Hai đường thẳng
AD và AE cắt đường tròn tâm O' lần lượt tại M và N (M và N khác với điểm A).
Đường thẳng DE cắt MN tại I. Chứng minh rằng:
a)
MI.BE BI.AE
=
b) Khi điểm C thay đổi thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.
Giải

N
Q
H
K
I
M
D
E
B

A
O
O'
C
a, Ta có:
·
·
BDE BAE=
(cùng chắn cung BE của đường tròn tâm O)
·
·
BAE BMN=
(cùng chắn cung BN của đường tròn tâm O')
⇒

·
·
BDE BMN=
hay
·
·
BDI BMN=

⇒
BDMI là tứ giác nội tiếp
⇒

·
·
MDI MBI=

(cùng chắn cung MI)
mà
·
·
MDI ABE=
(cùng chắn cung AE của đường tròn tâm O)
⇒

·
·
ABE MBI=
mặt khác
·
·
BMI BAE=
(chứng minh trên)
⇒
∆MBI ~ ∆ ABE (g.g)
⇒
MI BI
AE BE
=
⇔ MI.BE = BI.AE
b, Gọi Q là giao điểm của CO và DE
⇒
OC ⊥ DE tại Q
⇒
∆ OCD vuông tại D có DQ là đường cao
⇒
OQ.OC = OD

2
= R
2
(1)
Gọi K giao điểm của hai đường thẳng OO' và DE; H là giao điểm của AB và OO'
⇒

OO' ⊥ AB tại H.
Xét ∆KQO và ∆CHO có
µ
µ
µ
0
Q H 90 ;O= =
chung
⇒
∆KQO ~ ∆CHO (g.g)
⇒

KO OQ
OC.OQ KO.OH (2)
CO OH
= ⇒ =
Từ (1) và (2)
2
2
R
KO.OH R OK
OH
⇒ = ⇒ =

Vì OH cố định và R không đổi
⇒
OK không đổi
⇒
K cố định

Bài tập 3: ( Đề thi HSG tỉnh Thái Bình Năm học 2010-2011)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. Điểm M di động trên đoạn
AD. Gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên AB và AC. Vẽ NH vuông góc
với PD tại H. Xác định vị trí của điểm M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất.
Giải

O
A
H'
H
E
P
N
D
C
B
M

∆ABC vuông cân tại A
⇒
AD là phân giác góc A và AD ⊥ BC
⇒ D ∈ (O; AB/2)
Ta có ANMP là hình vuông (hình chữ nhật có AM là phân giác)
⇒

tứ giác ANMP nội tiếp đường tròn đường kính NP
mà
·
0
NHP 90= ⇒
H thuộc đường tròn đường kính NP
⇒

·
·
0
AHN AMN 45= =
(1)
Kẻ Bx ⊥ AB cắt đường thẳng PD tại E
⇒
tứ giác BNHE nội tiếp đường tròn đường kính NE
Mặt khác ∆BED = ∆CDP (g.c.g)
⇒
BE = PC
mà PC = BN
⇒
BN = BE
⇒
∆BNE vuông cân tại B
⇒

·
0
NEB 45=
mà

·
·
NHB NEB=
(cùng chắn cung BN)
⇒

·
0
NHB 45=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
·
0
AHB 90=
⇒
H ∈ (O; AB/2)
gọi H' là hình chiếu của H trên AB
AHB AHB
HH'.AB
S S
2
⇒ = ⇒
lớn nhất ⇔ HH' lớn nhất
mà HH' ≤ OD = AB/2 (do H; D cùng thuộc đường tròn đường kính AB và OD ⊥ AB)
Dấu "=" xẩy ra ⇔ H ≡ D ⇔ M ≡ D
Bài tập 4(HSG Thành Phố Hà Nội năm 2010-2011)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) đường kính BC.
a) Vẽ về phía ngoài tam giác ABC nửa đường tròn (I) đường kính AB và nửa
đường tròn (K) đường kính AC. Đường thẳng qua A cắt hai nửa đường trong (I), (K)
lần lượt tại các điểm M, N (M khác A, B và N khác A, C).

Tính các góc của tam giác ABC khi diện tích tam giác CAN bằng 3 lần diện tích
tam giác AMB.
b) Cho AB<AC và điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD=AB. Gọi điểm E là hình
chiếu của điểm D trên đường thẳng BC và điểm F là hình chiếu của điểm A trên
đường thẳng DE



a,Tính các góc…
* Chứng minh được
·
0
BAC 90=
* Chứng minh được ∆AMB và ∆CAN đồng dạng
* Suy ra =
2
AMB
CNA
S AB
( )
S AC
∆
∆
=

* ==tg30
0
= tg
·
ACB

⇒
·
ACB
= 30
0
* Vậy
·
ABC
= 60
0
và kết luận.
b,So sánh …
* Kẻ AH ⊥ BC có AFEH là hình chữ nhật
* ∆ABD vuông cân ⇒
·
ADB
= 45
0
* Tứ giác ADEB nội tiếp ⇒
·
AEB
=
·
ADB
= 45
0
* Do đó ∆AHE vuông cân ⇒ AH=HE=AF
* ∆ABC vuông:
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 2 1 2

AF AH AB AC AC AF AB
= = + ⇒ 〈 〈
* Từ
2 2
2 1
AC AF
〈
⇒
·
AF AF
cosAEB
AC AB
〈 〈
= cos45
0
= cos
·
AEB
* Từ
2 2
1 2 AF 2
AF AB AB 2
〈 ⇒ 〉
= cos45
0
= cos
·
AEB
* Kết luận
·

AF AF
cosAEB
AC AB
〈 〈

Bài tập 5: ( HSG Tỉnh Thanh Hóa Năm học 2010-2011)
Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (
O AB
∉
). P là điểm di động trên
đoạn thẳng AB (
,P A B≠
và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua
điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P
tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N (
N P
≠
).
1) Chứng minh rằng
·
·
ANP BNP=
và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một
đường tròn.
2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định
khi P di động.

A
O
N
C
D
B
P
Q
E
H
2.Gọi E là trung điểm OQ,
suy ra E cố định và E là
tâm đường tròn đi qua các
điểm N, O, D, C. Suy ra
đường trung trực của ON
luôn đi qua điểm E cố định.
Bài tập 6( HSG Tỉnh Hải Dương năm học 2010-2011)
Cho tam giác ABC nhọn có trung tuyến CM. Các đường cao AH, BD, CF cắt nhau
tại I. Gọi E là trung điểm của DH. Đường thẳng qua C và song song với AH cắt
BD tại P; đường thẳng qua C và song song với BD cắt AH tại Q.
d) Chứng minh PI.AB = AC.CI
e) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDH. Chứng minh MD là tiếp tuyến
của đường tròn (O).
f) CE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại R (R khác C); CM cắt đường
tròn (O) tại K (K khác C). Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR.


1
H
Q

P
I
M
F
E
D
C
B
A
Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến
chung của (O) với (C), (D) tại A, B
tương ứng.
Suy ra
·
· ·
·
.ANP QAP QBP BNP= = =
Ta có

· ·
·
· ·
ANB ANP BNP QAP QBP= + = +
·
0
180 AQB= −
, suy ra NAQB nội tiếp (1).
Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2)
Từ (1) và (2) suy ra 5 điểm O, N, A, Q, B
cùng nằm trên một đường tròn.

Suy ra các điểm O, N, A, B cùng nằm trên
một đường tròn.
Ta có
·
· ·
·
2 2OCN OAN OBN ODN= = =
,
suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
a,Chứng minh
·
0
90PCB =

·
µ
0
1
90ACB C⇒ + =
Ta có :
µ
µ
·
µ
0
1
90
(1)
P C
ACB P

+ =
⇒ =
Chứng minh tứ giác ADIF nội tiếp
·
·
(2)CAB PIC⇒ =
Từ (1) và (2)
( . )PIC CAB g g⇒ ∆ ∆:
. .
PI IC
PI AB AC IC
AC AB
⇒ = ⇒ =
(đpcm)
b,Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Chứng minh tứ giác CDIH nội tiếp đường tròn (O)
·
DCI⇒
là góc nội tiếp chắn cung DI (3)
ADB∆
có DM là đường trung tuyến
MDB⇒ ∆
cân tại M
· ·
(4)MBD MDB⇒ =
Ta lại có
·
·
MBD DCI⇒ =
(cùng phụ với

·
CAB
) (5)
Từ (4) và (5)
·
·
(6)MDB DCI⇒ =
Từ (3) và (6) suy ra MD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
c,Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR
MD là tiếp tuyến của (O)

·
·
2
2
.
. ( )
( . . )
(7)
MD MK MC
MB MK MC MD MB
MB MK
MC MB
MBC MKB c g c
MBK MCB
⇒ =
⇒ = =
⇒ =
⇒ ∆ ∆
⇒ =

:

R
K
A
B
C
D
E
F
M
I
H
- Chứng minh tứ giác ADHB nội tiếp
·
·
·
·
( . )
( . ) (8)
CD DH
CDH ABC CDH CBA g g
CB AB
CD CB CD CB
CDE CBM g g MCB ACR
DH AB DE MB
⇒ = ⇒ ∆ ∆ ⇒ =
⇒ = ⇒ = ⇒ ∆ ∆ ⇒ =
:
:

Ta lại có :
·
·
(9)ACR ABR=
Từ (7), (8), (9)
·
·
MBK ABR⇒ = ⇒
BA là phân giác của
·
KBR
Chứng minh tương tự ta được AB là phân giác của
·
KAR
Từ đó suy ra AB là đường trung trực của KR.
Bài tập 8:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O).
a, Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đường tròn (O) tại M.
Chứng minh rằng
2
.MC MI MA=
.
b,Kẻ đường kính MN, các tia phân giác của góc B và C cắt AN tại P và Q.
Chứng minh rằng bốn điểm P,C,B,Q cùng thuộc một đường tròn.

D
E
P
Q
N

O
I
M
C
B
A
Bài tập 9:(Vô địch Anh 2005)
Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn tại A, lấy
điểm M khác A. Từ M kẻ cát tuyến MCD ( C nằm giữa M và D). Đường thẳng
BC và BD cắt đường thẳng OM lần lượt tại E và F.
Chứng minh rằng OE=OF.
Bài tập 10:
Cho góc nhọn xBy. Từ điểm A trên tia Bx kẻ AH vuông góc với By tại H và kẻ AD
vuông góc với đường phân giác của góc xBy tại D.
a, Gọi O là trung điểm của AB, chứng minh OD vuông góc với AH.
b, Tiếp tuyến tại A với đường tròn đường kính AB cắt By tại C; BD cắt AC tại E.
Chứng minh rằng tứ giác HDEC nội tiếp.
HD