Tổ hợp xác suất bài tập mẫu và lý thuyết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (229.24 KB, 6 trang )
Bài 1. Các bài toán về công thức tổ hợp, chỉnh hợp
237
CHƯƠNG III. TỔ HỢP, XÁC SUẤT VÀ SỐ PHỨC
BÀI 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ CÔNG THỨC TỔ HỢP, CHỈNH HỢP
I. DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
k
n
C
BẰNG ĐẠO HÀM
1. Các bài tập mẫu minh họa:
Bài 1.
Chứng minh rằng:
−
1 2 n n 1
n n n
C + 2C + + n.C = n2
Giải
Xét: (1 + x)
n
=
o 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n
n n n n n n
C C x C x C x C x C x
− −
+ + ⋅ + ⋅ + + +
Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có:
( )
n 1
1 2 3 2 n n 1
n n n n
n 1 x C 2C x 3C x nC x
−
−
+ = + ⋅ + ⋅ + + ⋅
…
Thế x = 1 vào đẳng thức trên ta có:
1 2 n n 1
n n n
C 2C n.C n2
−
+ + + =
Bài 2.
Chứng minh rằng:
−
− −
2 3 n n 2
n n n
2.1.C + 3.2.C + + n(n 1)C = n(n 1)2
Giải
Xét:
( )
1
n
x
+ =
o 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n
n n n n n n
C C x C x C x C x C x
− −
+ + ⋅ + ⋅ + + +
Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có:
( )
n 1
1 2 3 2 n n 1
n n n n
n 1 x C 2C x 3C x nC x
−
−
+ = + ⋅ + ⋅ + + ⋅
…
Lại lấy đạo hàm ta có:
( )( )
n 2
2 3 n n 2
n n n
n n 1 1 x 2C 3.2.C .x n(n 1)C .x
−
−
− + = + + + −
…
Thế x = 1 vào đẳng thức trên ta có:
2 3 n n 2
n n n
2.1.C 3.2.C n(n 1)C n(n 1)2
−
+ + + − = −
Bài 3.
(Đề thi TSĐH khối A
−
−−
−
2005)
: Giải phương trình:
( )
− −
1 2 2 3 3 4 2n 2n+1
2n+1 2n+1 2n+ 1 2n+1 2n+1
C 2.2C + 3.2 C 4.2 C + + 2n + 1 2 C = 2005
Giải
Xét
( )
2 1
0 1 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1
n
k k n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
+
+ +
+ + + + +
+ = + + + + + +
Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có:
( )( ) ( )
2
1 2 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 1 2 2 1
n
k k n n
n n n n
n x C C x kC x n C x
− +
+ + + +
+ + = + + + + + +
Thay
x
=
−
2 vào đẳng thức ta có:
( )
( ) ( )
( )
1 2
1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 2.2 2 2 2 1
k n
k n
n n n n
n C C kC n C
−
+
+ + + +
+ = − + + − + + − +
Phương trình đã cho
⇔
2
n
+
1
=
2005
⇔
n
=
1002
www.VNMATH.com
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức
−
−−
−
Trần Phương
238
Bài 4.
Giải phương trình:
( )
( ) ( )
−
− − − − −
k
2 3 k 2 k 2n-1 2n+1
2n+1 2n+1 2n+1 2n+1
2C 3.2C + + 1 k k 1 2 C + 2n 2n + 1 2 C = 110
Giải
Xét
( )
( )
2 1
0 1 2 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
1 1
n k
k k n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
+
+ +
+ + + + +
− = − + − + − + −
Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có:
( ) ( )
( )
( )
2
1 2 1 2 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1 1 2 1 2 1
n k
k k n n
n n n n
n x C C x kC x n C x
− +
+ + + +
− + − = − + − + − + − +
Lại lấy đạo hàm cả 2 vế ta có:
( ) ( )
2 1
2 2 1 1
n
n n x
−
+ −
=
( )
( ) ( )
2 3 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 3 1 1 2 2 1
k
k k n n
n n n n
C C x k k C x n n C x
− + −
+ + + +
= − + + − − + − +
Thay
x
=
2 vào đẳng thức ta có:
(
)
2 2 1
n n
− +
=
( )
( ) ( )
2 3 2 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
2 3.2 1 1 2 2 2 1 2
k
k k n n
n n n n
C C k k C n n C
− − +
+ + + +
= − + + − − + − +
Phương trình đã cho
⇔
( )
2
2 2 1 110 2 55 0 5
n n n n n
+ = ⇔ + − = ⇔ =
2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
Bài 1.
Chứng minh rằng:
0 1 2
3 5 (2 1) ( 1)2
n n
n n n n
C C C n C n+ + + + + = +
Bài 2.
Chứng minh rằng:
1 1 2 2 3 3 1
2 2.2 3.2 . .3
n n n n n
n n n n
C C C nC n
− − − −
+ + + + =
Bài 3.
Chứng minh rằng:
1 2 3 4 1
2 3 4 ( 1) . 0
n n
n n n n n
C C C C n C
−
− + − + + − =
Bài 4.
Chứng minh rằng:
( ) ( )
( )
1 0 2 1 3 2 1 1 1 2 1
4 1 4 2 4 1 2.2 .2
n
n n n n n n
n n n n n n n
n C n C n C C C C n C
− − − − −
− − + − − + − = + + +
Bài 5.
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
(
)
( )
[ ]
2 2 2
1 2
2
2 1 !
2
1 !
n
n n n
n
C C n C
n
−
+ + …+ =
−
∀
n
≥
2
Bài 6.
Chứng minh rằng:
( ) ( )
(
)
( )
2 3
2 3
2 1
1
1 1 1
n
n n n
n
C C n C
n n n
−
+ + + =
− − −
…
∀
n
≥
2
Bài 7.
Chứng minh rằng:
( )
1
1
1
tg 1 tg
n
n
k k
n
k
kC x n x
−
−
=
= +
∑
∀
n
≥
2
Bài 8.
Chứng minh rằng:
( )
1 2 2 2 3 2 2
2 3 1 2
n n
n n n n
C C C n C n n
−
+ + + + = +
Bài 9.
Chứng minh rằng:
( ) ( )
( )
1
1 2 1
1 2 1 0
n
n n n
n n n n
nC n C n C C
−
− −
− − + − − + − =
Bài 10.
CMR:
( ) ( ) ( )
1 2
0 1 1 2 1 1
1 2 1 2 .2 1 2 2
n n n k
k k n n
n n n n
C C kC nC n
− − −
− −
− + − − + − + + =
www.VNMATH.com
Bài 1. Các bài toán về công thức tổ hợp, chỉnh hợp
239
I
I. DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
k
n
C
BẰNG TÍCH PHÂN
1. Các bài tập mẫu minh họa:
Bài 1.
Chứng minh rằng:
−
n+1
1 2 n
n n n
2 1
1 1 1
1 + C + C + + C =
2 3 n + 1 n + 1
Giải
Xét (1 + x)
n
=
o 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n
n n n n n n
C C x C x C x C x C x
− −
+ + ⋅ + ⋅ + + +
Ta có:
( )
( )
n 1
1
n 1
1
n
0
0
1 x
2 1
1 x dx
n 1 n 1
+
+
+
−
+ = =
+ +
∫
Mặt khác:
( )
1
o 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n n
n n n n n n
0
C C x C x C x C x C x dx
− −
+ + ⋅ + ⋅ + + + =
∫
Bài 2.
Chứng minh rằng:
−
−
n+1
1 2 n
n n n
( 1)
1 1 n
C C + + C =
2 3 n + 1 n + 1
Giải
Ta có : (1
−
x)
n
=
0 1 2 2 n n n
n n n n
C C x C x ( 1) C x
− + + + −
⇒
2 2
n 1
n 0 1 n n n 1 2 n
n n n n n n
0 0
( 1)
1 1
(1 x) dx C C x ( 1) C x dx C C C
2 3 n 1
+
−
− = − + + − = − + +
+
∫ ∫
Mặt khác
1
2
n 1
n
0
0
(1 x)
1
(1 x) dx
n 1 n 1
=
−
− = =
+ +
∫
⇒
(đpcm)
Bài 3.
Chứng minh rằng:
( )
−
n+1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1 2 1
C + C + C + …+ C =
3 6 3 3n + 3 3 n + 1
Giải
Xét P(x) =
(
)
(
)
n
2 3 2 0 1 3 2 6 n 3n
n n n n
x 1 x x C C x C x C x
+ = + ⋅ + ⋅ + + ⋅…
Ta có:
( ) ( ) ( )
1 1 1
n n
2 3 3 3
0 0 0
1
P(x)dx x 1 x dx 1 x d 1 x
3
= + = + +
∫ ∫ ∫
( )
( )
n 1
3 n 1
1 1 x 2 1
3 n 1 3 n 1
+
+
+ −
= =
+ +
www.VNMATH.com
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức
−
−−
−
Trần Phương
240
Mặt khác:
( )
1 1
0 2 1 5 n 3n 2
n n n
0 0
P(x) dx C x C x C x dx
+
= ⋅ + ⋅ + + ⋅
∫ ∫
…
=
=
1
0 3 1 6 n 3n 3
n n n
0
C x C x C x
3 6 3n 3
+
⋅ ⋅ ⋅
+ + +
+
…
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1
C C C C
3 6 3 3n 3
= + + + +
+
…
Vậy
( )
n 1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1 2 1
C C C C
3 6 3 3n 3 3 n 1
+
−
+ + + + =
+ +
…
2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
Bài 1.
Chứng minh rằng:
n
1 2 n
n
n n
C
1 1 1
1 C C ( 1)
2 3 n 1 n 1
− + − + − =
+ +
Bài 2.
Chứng minh rằng:
n
0 1 2 n
n n n n
( 1)
1 1 1 1
C C C C
2 4 6 n 2 2(n 1)
−
− + − + =
+ +
Bài 3.
Chứng minh rằng:
n n
0 2 1 3 2 n 1 n
n n n n
( 1) 1 ( 1)
1 1
2C 2 C 2 C 2 C
2 3 n 1 n 1
+
− + −
− ⋅ + ⋅ − + ⋅ =
+ +
Bài 4.
Chứng minh rằng:
n 1
0 2 1 3 2 n 1 n
n n n n
3 1
1 1 1
2C 2 C 2 C 2 C
2 3 n 1 n 1
+
+
−
+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ =
+ +
Bài 5.
Chứng minh rằng:
( )
(
)
( )
0 1 2 3
2 !!
1 1 1 1
1
3 5 7 2 1
2 1 !!
n
n
n n n n n
n
C C C C C
n
n
− + − + + − =
+
+
Bài 6.
Chứng minh rằng:
( )
n 1
n n
n 1
k k k 1
n n
k 0 k 0
1 e 1 2 1
C C e
n 1 k 1 n 1 k 1
+
+
+
= =
+
+ = +
+ + + +
∑ ∑
Bài 7.
Chứng minh rằng:
( )
0 1 2
1
1 1 1
2 3 1 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
−
− + − + =
+ +
Bài 8.
Chứng minh rằng:
(
)
1 2 3
3 7 2 1 3 2
n n n n
n n n n
C C C C
+ + + + − = −
Bài 9.
Chứng minh rằng:
( ) ( )
k k
n n
2n 2 n 1
n n
k 1 n 1
k 0 k 0
C C
2 3
k 1
k 1 2 n 1 2
+ +
+ +
= =
−
− =
+
+ +
∑ ∑
Bài 10.
Đặt S
n
=
1 1 1
1
2 3 n
+ + + +
…
. Chứng minh rằng:
( )
( )
n 1
n 1
1 2 n 1
n n n 1 n n 2 n 1
1
S C S C S 1 C S
n
−
−
−
− −
−
− + − + − =…
Bài 11.
Chứng minh:
( )
n 1
1 2 3 n
n n n n
1 1 1 1 1 1
C C C 1 C 1
1 2 3 n 2 n
−
⋅ − ⋅ + ⋅ − + − ⋅ ⋅ = + + +
… …
www.VNMATH.com
Bài 1. Các bài toán về công thức tổ hợp, chỉnh hợp
241
III. DẠNG 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
k
n
C
BẰNG ĐỊNH NGHĨA
1
1
k k
n n
n
C C
k
−
−
=
(
k n
<
) ;
( )
1
1
m m
n m n m
nC m C
+
+ +
= +
;
m k k m k
n m n n k
C C C C
−
−
⋅ = ⋅
(
k
≤
m
≤
n
) ;
( )
2 3
1
1 2 1 1
1
2 3
2
p n
n n n n
n
p n
n n n n
C C C C
n n
C p n
C C C C
− −
+
+ + + + + + =
;
( ) ( )
1
1
1 2 3
1
0
2 3 1 1
n
n k
n k
n n n n n
k
C C C nC n C
−
−
−
=
− + − + − = −
∑
;
1 1
2 2 2 2
1
2
n n n
n n n
C C C
− +
+
+ =
;
0 1 2
1 2 3 1 1
2 3 4 2 2 2
1
2
k n
n n n n n
k n
n n n n k n
C C C C C
C C C C C
+ +
+ + + + + +
+ + + + + + =
;
1 1 1
2
2
m m m m
n n n n
C C C C
+ − +
+
+ + =
;
IV. DẠNG 4: CHỨNG MINH BẰNG CÔNG THỨC
1
1 1
;
− −
− −
= + =
k n k k k k
n n n n n
C C C C C
1
1 2 1 1
k k k k k k
n n n k k n
C C C C C C
+
− − + +
+ + + + + =
;
1 2 3
3
3 3
k k k k k
n n n n n
C C C C C
− − −
+
+ + + =
1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
+ + + + +
+ +
+ + + = +
;
1
0
m
k m
n k n m
k
C C
+ + +
=
=
∑
1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
− − − −
+
+ + + + =
V. DẠNG 5: CHỨNG MINH BẰNG KHAI TRIỂN NEWTON
0 1
2
n n
n n n
C C C
+ + + =
;
1 3 2 1 0 2 2 2 1
2 2 2 2 2 2
2
n n n
n n n n n n
C C C C C C
− −
+ + + = + + + =
0 1 1 1
3 3 3 4
n n n n n
n n n n
C C C C
− −
+ + + + =
;
0 1 2 2 3 3
6 6 6 6 7
n n n
n n n n n
C C C C C
+ + + + + =
( )
0 1 2 3
1 0
n
n
n n n n n
C C C C C
− + − + + − =
;
0 1 1 2 2 3 1 1
2 2 .2 2 .3 2 . .3
n n n
n n n n
C C C nC n
− −
+ + + + =
0 2 2 1 3 2 1
k k
n n n n n n
C C C C C C
+
+ + + + = + + + +
0 1 2 2 3 3 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2 2
10 10 10 10 10 81
n n n n n
n n n n n n
C C C C C C
− −
− + − + − + =
( ) ( )
0 1 1 2 2
2 2 2 1 2 1 1
k n
n n n n k k n
n n n n n
C C C C C
− − −
− + − + − + + − =
( )
0 1 1 2 2 0 1 2 2
4 4 4 1 2 2 2
n
n n n n n n
n n n n n n n n
C C C C C C C C
− −
− + − + − = + + + +
0 2 1 3 2 1
1
2 2 2 2
3 1
1 2 3 1 1
n n
n
n n n n
C C C C
n n
+
+
−
+ + + + =
+ +
(
)
0 2 2 4 4 2 2 2 1 2
2 2 2 2
3 3 3 2 2 1
n n n n
n n n n
C C C C
−
+ + + + = +
(
)
0 2 2 4 4 2000 2000 2000 2001
2001 2001 2001 2001
3 3 3 2 2 1
C C C C
+ + + + = −
www.VNMATH.com
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức
−
−−
−
Trần Phương
242
VI. DẠNG 6: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC BẰNG CÁCH ĐỒNG NHẤT HỆ SỐ THEO 2
CÁCH KHAI TRIỂN
0 1 1 1 1 0
. . . .
k k k k k
n m n m n m n m m n
C C C C C C C C C
− −
+
+ + + + =
0 1 1
2
. . .
k k n k n n k
n n n n n n n
C C C C C C C
+ − +
+ + + =
(
)
(
)
(
)
2 2 2
0 1
2
n n
n n n n
C C C C
+ + + =
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
0 1 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
0
n
n n n n
C C C C
+
+ + + +
− + − − =
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
2 2 2 2
0 1 2 2
2 2 2 2 2
1
n
n n
n n n n n
C C C C C
− + − + = −
VII. DẠNG 7: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BPT CHỨA
; ;
k k
n n n
A C P
1. Giải các phương trình sau đây:
3 2
2
20
n n
C C
=
;
4
3 4
1
24
23
n
n
n n
A
A C
−
+
=
−
;
3
5
5
720
n
n n
P
A P
+
−
=
;
1 3
1
72 72
n n
A A
+
− =
;
1 2 3 2
6 6 9 14
n n n
C C C n n
+ + = −
;
(
)
2 2
72 6 2
n n n n
P A A P
+ = +
;
5 6 7
5
2 14
n n n
C C C
− =
;
4 3 2
1 1 2
5
0
4
n n n
C C A
− − −
− − =
;
1 1
1 1 1
: : 5 : 5: 3
m m m
n n n
C C C
+ −
+ + +
=
;
3 2
14
n
n n
A C n
−
+ =
;
3 3
8 6
5
n
n n
C A
+
+ +
=
;
1
2 2 2
35 132
n n
n n
C C
−
−
=
;
4 5 6
1 1 1
n n n
C C C
− =
;
( )
2 4 4 2
1 1
4 1
n n
n n n
n C xC x C
− −
− −
+ = +
;
1 1
2 2 1
3 2
n n
n n
C C
− −
+
=
;
3 2 1
14
n
n n n
A C C
−
+ =
2. Giải các bất phương trình sau đây:
( )
4
4
42
2 !
n
n
A
P
n
+
≤
+
;
( )
4
4
143
4
2 !
n
n
A
P
n
+
≤
+
;
2
1
2
1
2
n
n
n
n
A
P
C
−
+
−
≥
;
3
3
1
195
0
4
n
n n
A
P P
+
+
− >
;
4
4
2
143
0
4
n
n n
A
P P
+
+
− >
;
2 2 3
2
6
1
10
2
n n n
A A C
x
− ≤ +
;
11
13 13
n m
C C
−
≥
;
4 3 2
1 1 2
5
0
4
n n n
C C A
− − −
− − =
;
1 1
1
12 162
n n
C C
−
+
+ ≥
;
1 3
1
72 72
n n
A A
+
− ≤
;
2 2
1
2 3 30
n n
C A
+
+ <
;
3 1
1 1
100
n
n n
C C
−
+ +
≥ +
3. Giải các hệ phương trình sau đây:
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C
+ =
− =
;
( )
( )
( )
2
2
1 1 1 1
3
1 1
2 3
2 1
x y x y
x y x y
x y
x y
C C A C
C A
− − − −
− −
+ =
= +
;
( )
( )( )
1 1
1 1
3
2
3 2
1 1
6
1
4
3
2 1
x y
x y
x y
x y
y
y
x
x
C A
C A
C
x C
y y
− −
− −
−
−
− = −
= + +
− −
www.VNMATH.com
