lý thuyết hàm p-adic

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM




ĐINH XUÂN BẰNG




LÝ THUYẾT HÀM P-ADIC



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC








Thái Nguyên-2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM



ĐINH XUÂN BẰNG



LÝ THUYẾT HÀM P-ADIC

Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01.02



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TSKH. HÀ HUY KHOÁI



Thái Nguyên-2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả
nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào
khác.

Tác giả luận văn

Đinh Xuân Bằng

Xác nhận
của khoa chuyên môn





Xác nhận
của ngƣời hƣớng dẫn khoa học







Hà Huy Khoái

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên


LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy hướng
dẫn GS.TSKH. Hà Huy Khoái. Thầy đã giành nhiều thời gian, công sức chỉ bảo
tôi trong quá trình thực hiện đề tài và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận
văn này. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cùng gia
đình.
Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại Học Sư Phạm Thái
Nguyên, lãnh đạo khoa Toán, lãnh đạo khoa Sau Đại Học của trường đã tạo
mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của các quý thầy cô
tham gia giảng dạy cho lớp cao học chuyên ngành Toán khóa 19.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn các bạn bè, những người thân yêu trong gia
đình đã luôn cho tôi niềm tin và động lực để tôi học tập tốt.

Thái Nguyên, Tháng 6 Năm 2013
Học viên
Đinh Xuân Bằng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MỤC LỤC

Trang
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Mục lục iii
Mở đầu 1
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2
1.1. Trường không archimed 2
1.2. Các hàm giải tích và hàm phân hình 5
1.3. Tích phân Schnirelman và công thức tích phân Cauchy 8
1.4. Hệ quả của công thức tích phân Cauchy 14
Chƣơng 2: ĐA GIÁC ĐỊNH GIÁ VÀ CÔNG THỨC POISSON – JENSEN 19
2.1. Trường lớp thặng dư 19
2.2. Giá trị tuyệt đối không Archimed trên vành hàm giải tích 19
2.3. Đa giác định giá 26
2.4. Thuật toán chia Euclid 33
2.5. Công thức Poisson – Jensen 41
KẾT LUẬN 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

MỞ ĐẦU


Trong những năm gần đây, nhiều vấn đề quan trọng của lý thuyết hàm phức
một biến được xem xét đối với các lớp hàm trên trường không Archimed. Bên
cạnh nhiều tính chất tương tự, có nhiều tính chất là đặc thù của không gian hàm
trên trường không Archimed.

Bản luận văn nhằm mục đích giới thiệu một số tính chất cơ bản của trường
không Archimed và không gian các hàm chỉnh hình và phân hình trên đó.
Những tính chất tương tự với hàm chỉnh hình và phân hình phức thường được
chứng minh dựa vào tích phân Schnirelman, trong khi những tính chất đặc thù
lại được thiết lập chủ yếu nhờ vào đa giác định giá của hàm chỉnh hình trên
trường không Archimed.

Nội dung luận văn được trình bày dựa theo bài giảng “p-adic Function Theory”
của W. Cherry, với một đôi chỗ chứng minh được chi tiết hóa (mà trong bài
giảng được cho dưới dạng bài tập).

Luận văn gồm hai chương và phần tài liệu tham khảo.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chƣơng 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Trƣờng không Archimed
Định nghĩa: Giả sử

là vành giao hoán. Giá trị tuyệt đối không Archimed
trên

là hàm từ

đến các số thực không âm
0

thỏa mãn ba tính chất sau:
AV 1.
a

0 khi và chỉ khi
0a 
.
AV 2.
ab a b
với mọi
,ab
.

AV 3.
 
ax ,a b m a b
với mọi
,ab
.
Nhận xét 1.1.1. Nếu
ab
, thì
 
ax ,a b m a b

Chứng minh:
Theo định nghĩa trên ta có:
 
max ,a b a b
.
Ta chứng minh
 
max ,a b a b

Thật vậy:
Xét
ab
. Ta có
 
max ,a a b b a b b    
nên
a a b
.

Xét
ab
. Ta có
b a b b  
 
max ,a b a
nên
b a b
.
Như vậy ta có
 
max ,a b a b
.
Vậy
 
max ,a b a b

Ý nghĩa hình học: Nhận xét 1.1.1 có ý nghĩa là :
- Mỗi tam giác trong không gian không Archimed là cân.
- Mỗi điểm nằm trong hình cầu đều là tâm của nó.
Điều này có nghĩa là cứ hai đĩa tròn thì hoặc là chúng rời nhau hoặc đĩa này
nằm trọn trong đĩa kia.
Nhận xét 1.1.2. Nếu là giá trị tuyệt đối không Archimed trên miền nguyên

thì mở rộng duy nhất tới trường hữu tỉ của

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Kí hiệu: Cặp (

F
, ) bao gồm có trường
F
cùng với giá trị tuyệt đối không
Archimed trên
F
hoặc ta kí hiệu ngắn gọn bởi
F
.
Định nghĩa (Tính liên tục của dãy). Dãy
n
a
trong trường không Archimed F
được gọi là hội tụ tới phần tử
a
trong
F
, nếu với mỗi

0
, có tồn tại số tự
nhiên
N
sao cho với mỗi số tự nhiên
nN
, ta có
n
aa



.
Định nghĩa (Dãy Cauchy của trƣờng không Archimed). Dãy
n
a
trong
F

được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi
0


, có tồn tại số tự nhiên

sao cho
với mọi số tự nhiên
m
và
n
;
,mn

, thì
nm
aa


.
Nhận xét 1.1.3. Giả sử F là trường không Archimed. Giả sử
F
là tập của các

dãy Cauchy trong F mà các dãy modulo hội tụ tới 0. Nói cách khác , định nghĩa
quan hệ tương đương trên tập hợp của dãy Cauchy trong F bằng cách xác định
hai dãy Cauchy là tương đương nếu hiệu của chúng là dãy hội tụ tới 0, và giả
sử
F
là tập hợp các lớp tương đương dưới quan hệ tương đương . Khi đó,
F
là
trường, và là mở rộng một cách tự nhiên tới
F
, và rằng
F
là trường không
Archimed đầy đủ mà ta gọi bổ sung đầy đủ của F.
Cho trường F, F

kí hiệu cho F \
 
0
. Cho trường không Archimed
(F, ), tập hợp
×
F
=
 
:xx

F
0


là nhóm con với phép nhân của
0


gọi là nhóm giá trị của F. Nếu

F
là rời rạc trong
0

, thì F được gọi là
trường không Archimed với giá trị tuyệt đối rời rạc .
Dưới đây chúng tôi sẽ đưa ra một vài ví dụ về trường không Archimed đầy đủ:
(i) Giá trị tuyệt đối tầm thƣờng:
Giả sử F là trường. Giá trị tuyệt đối , được gọi là giá trị tuyệt đối tầm
thường trên F nếu
0
0
và
1x 
với mọi
x
×
F
. Khi đó, mọi dãy là Cauchy
khi và chỉ khi từ lúc nào đó nó là hằng số, và do đó hội tụ. Như vậy một trường
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

F tùy ý có thể trở thành trường không Archimed đầy đủ bằng cách trang bị trên
F một giá trị tuyệt đối tầm thường.

(ii) Các trƣờng số
p
–Adic.
Xét các số hữu tỉ Q và giả sử
p
là số nguyên tố. Khi đó, một số
x
khác
không trong Q có thể được viết duy nhất dưới dạng sau :
n
a
xp
b


ở đây
p
không chia hết
a
hoặc
b
.
Với
xQ
ta có:
: 0
0 : 0
n
p
px

x
x








Ví dụ:
(1) Cho
5p 
,
45x 
.
Ta có
5.9x 
nên
1
5 1/ 25
p
x


.
(2) Cho
5p 
,
22 / 2015x 

.
Ta có
1
22
5
403
x





·
nên
1
55
p
x 
.
(3) Cho
5p 
,
2013x 
.
Ta có
5
2013 1
p
x 
.

Mệnh đề 1.1.4. Hàm
p
là giá trị tuyệt đối không Archimed trên Q.
Mệnh đề 1.1.5. Giả sử
p
là số nguyên tố,
0
n
là số nguyên dương sao cho với
mọi số nguyên
0
nn
, ta có
01
n
ap  
. Khi đó, dãy tổng riêng
0
k
n
kn
nn
S a p



là dãy Cauchy trong
 
,
p

Q
. Hơn nữa,
k
S
hội tụ trong Q nếu
và chỉ nếu
n
a
từ một lúc nào đó là tuần hoàn , nói cách khác tồn tại số
nguyên
1
n
và
t
1
sao cho
n t n
aa


với mọi
1
nn
.
Chứng minh: Xem [24, § I .5.3].
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Định nghĩa (Trƣờng
p
Q

): Với số nguyên tố
p
, bổ sung đủ của
Q
theo tôpô
sinh bởi giá trị tuyệt đối
p
là một trường, kí hiệu là
p
Q
.
Giá trị tuyệt đối
p
trên
p
Q
, được mở rộng từ giá trị tuyệt đối
p
trên
Q
,
thỏa mãn:
(1)
Q
trù mật trong
p
Q
.
(2)
p

Q
là đầy đủ.
Trường
p
Q
được gọi là trường các số
p
-adic.
Định nghĩa ( Trƣờng
p

): Bao đóng đại số của
p
Q
kí hiệu là
p
Q
, giá trị tuyệt
đối trên
p
Q
được mở rộng từ giá trị tuyệt đối
p
trên
p
Q
và cũng kí hiệu là
p
. Chú ý
p

Q
không đầy đủ. Trường bổ sung đủ của
p
Q
theo tôpô cảm sinh
bởi giá trị tuyệt đối
p
, kí hiệu là
p

. Như vậy
(1) Tồn tại một phép nhúng
p
Q
p

và giá trị tuyệt đối
p
trên
p


nhận được bằng cách mở rộng giá trị tuyệt đối
p
trên
p
Q
.
(2)
p

Q
trù mật trong
p

.
(3)
p

là đầy đủ.
Trường
p

thỏa mãn ba điều kiện trên được gọi là trường các số phức
p
-adic.
p

đầy đủ, đóng đại số, có đặc số không.
1.2. Các hàm giải tích và hàm phân hình.
Giả sử (
F
, ) là trường không Archimed, đầy đủ, đóng đại số.
Mệnh đề 1.2.1. Chuỗi
n
a

các phần tử của
F
hội tụ nếu và chỉ nếu
lim 0

n
n
a


.


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chứng minh:
Xét chuỗi
0
n
n
a



,
n
a F
. Đặt
n
S
=
0
n
k
k

a


.
Ta biết rằng chuỗi
0
n
n
a



hội tụ khi và chỉ khi
 
n
S
hội tụ, tức là khi và chỉ khi
 
n
S
là dãy Cauchy. Điều này xảy ra khi và chỉ khi
lim 0
n
n
a


.
Thật vậy:
Khi

lim 0
n
n
a


ta chứng minh
 
n
S
là dãy Cauchy.
Ta có với mỗi
k n l n  
.
00
n l n
n l n k k
kk
S S a a



  

=
1n n l
aa



 
1
max , , 0
n n l
aa


.
Khi
 
n
S
là dãy Cauchy ta chứng minh
lim 0
n
n
a


.
Ta có
 
n
S
là dãy Cauchy nên
1
lim 0
nn
n
SS




. Do đó
lim 0
n
n
a


.
Vành
F
[[
z
]] các chuỗi lũy thừa hình thức theo biến
z
với hệ số trong
F
tạo
thành một miền nguyên với phép cộng và phép nhân được xác định tự nhiên.
Do mệnh đề 1.2.1, chuỗi lũy thừa hình thức:

 
0
n
n
n
f z a z





F
[[
z
]]
hội tụ tại
z
trong F nếu :
lim
n
n
n
az

0
.
Nếu chuỗi hình thức
f
hội tụ tại
z
thì hiển nhiên
f
hội tụ tại mỗi
w
với
w z
. Tương tự, nếu
f

phân kì tại
z
thì
f
phân kì tại mỗi
w
với
w z
.
Cho nên ta định nghĩa bán kính hội tụ
f
r
bằng :
sup{ :
f
r z f
hội tụ tại
z
}.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Ta có công thức Hadamard xác định bán kính hội tụ của chuỗi hình thức. Kết
quả này giống với kết quả của giải tích thực và phức .
Mệnh đề 1.2.2 (Công thức Hadamard).
1/
1
limsup
f
n
n

n
r
a






Nhận xét 1.2.3.
min{r , }
f g f g
rr


và
min{ , }
fg f g
r r r
.
Ta có thể định nghĩa hình cầu mở, hay còn gọi hình cầu không biên, bán
kính
R
bởi :
B
R
={
z

F

:
zR
}.
Kí hiệu B

=
F
để bao gồm trường hợp toàn bộ
F
. Hình cầu đóng, hoặc hình
cầu có biên, bán kính
R 
được xác định bởi
B
R
={
zF
:
zR
}.
Nếu
R
0
thì B
R
là mở và B
R
là đóng trong tôpô trên
F
.

Vành các hàm giải tích trên B
R
, kí hiệu
A
[
R
], được định nghĩa bởi :
 
RA
={
0
n
n
n
az




F
[[
z
]] :
lim
n
n
n
aR

=0}.

Tương tự, vành các hàm giải tích trên B
R
, kí hiệu
 
RA
, được định nghĩa như
sau:
 
R A
{
0
n
n
n
az




F
[[
z
]] :
lim 0
n
n
n
ar



với mọi
rR
}.
Các phần tử
 
A
, tức là chuỗi lũy thừa với bán kính hội tụ vô hạn được gọi
là các hàm nguyên.
Để nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi Laurent, ta xét trên các miền với biên khác
nhau, không biên hoặc nửa biên.
 
12
,A r r 
{
z
F
:
12
r z r
} ,
A
(
12
,rr
]={
z
F
:
12
r z r

},
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

A
[
12
,rr
)={
z
F
:
12
r z r
} ,
A
(
12
,rr
)={
z
F
:
12
r z r
},
và các vành hàm giải tích trên các không gian.
A
[
12
,rr

]={
n
n
n
az



:
lim 0
n
n
n
ar


với mọi
12
r r r
}
A
(
12
,rr
]={
n
n
n
az




:
lim 0
n
n
n
ar


với mọi
12
r r r
}
A
[
12
,rr
)={
n
n
n
az



:
lim 0
n
n

n
ar


với mọi
12
r r r
}
A
(
12
,rr
)={
n
n
n
az



:
lim 0
n
n
n
ar


với mọi
12

r r r
}
Nhận xét: Tất cả các vành hàm giải tích trên đây là các miền nguyên. Các phần
tử của các trường phân số được gọi là các hàm phân hình. Như vậy
M
(
12
,rr
]
dùng để kí hiệu trường phân số trên
A
(
12
,rr
] , là trường các hàm phân hình
trên
A
(
12
,rr
].
Chú ý 1.2.4. Nếu giá trị tuyệt đối trên
F
là tầm thường thì
A
(1) đơn giản là
chuỗi lũy thừa hình thức trên vành
F
[[
z

]] và
A
[1] là đa thức trên vành
F
[
z
].
Vành các hàm giải tích trên hình vành khuyên
[1,1]A
đơn giản là các phần tử
của
F
[
1
,zz

].
1.3. Tích phân Schnirelman và công thức tích phân Cauchy.
Trong lý thuyết hàm phức, không có gì quan trọng như định lý tích phân
Cauchy và công thức tích phân Cauchy. Trong trường hợp p-adic, có thể xem
tích phân Schnirelman [25] là tương tự tích phân đường trong trường hợp phức.
Định nghĩa tích phân này sẽ được sử dụng trong chương sau.

Trước tiên ta mô tả một số tính chất của trường không Acsimét.
Nhận xét 1.3.1. Tập hợp của
n
trong

sao cho
1n 

tạo thành một iđêan
nguyên tố của

.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chứng minh:
Đặt
 
:1M n n  
.
Ta có
M 
.
Với
0
,
01
nên
0 M
. Vậy
M 
.
Với
,m n M

,1
,1
mm
nn

  







và
 
max ,m n m n
,kéo theo
1mn
nên
m n M

Với
m
,
nM
ta có
1mn m n
do
1m 
,
1n 
. Do đó
mn M
.
Tương tự ta có

nm M

Vậy
M
là iđêan của

.
Với
,mn
ta có
mn M
nên
1mn 
mà
1mn m n
.
(Bởi vì
,mn
ta có
1m 
và
1n 
).
Khi đó,
1m 
hoặc
1n 
. Vậy
mM
hoặc

nM
.
Tóm lại
M
là iđêan nguyên tố của

.

Bây giờ chúng tôi sẽ vào phần chính là định nghĩa tích phân Schnirelman.
Định nghĩa. Với số nguyên
1n 
sao cho
1n 
, kí hiệu
(1)
n

, ,
 
n
n

là n căn
bậc n của phần tử đơn vị trong F. Với
a
và
r
trong
F
và hàm

f
xác định tại
mọi điểm
z
có dạng
 
n
k
ar


với mọi
1n 
,
1n 
ta xây dựng tích phân
Schnirelman như sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 
1
lim
n
z a r
n
f z dz






 
 
 
1
n
nn
kk
k
r
f a r
n




, với
1 kn

Với giả thiết giới hạn vế phải tồn tại.
Tích phân được định nghĩa ở trên được gọi là tích phân Schnirelman và nếu nó
tồn tại, hàm
f
được gọi khả tích Schnirelman trên đường tròn rời rạc
z a r
. Tích phân Schnirelman sẽ thỏa mãn tính chất tuyến tính như tích
phân thông thường khác.

Mệnh đề 1.3.2. Nếu
 

z a r
f z dz


tồn tại, thì
 
z a r
f z dz



ax
z a r
rm

 
fz
,
Chứng minh: Chú ý rằng
 
1
n
k


, nên hiển nhiên ta có điều phải chứng minh.
Trong lý thuyết chuỗi thực, nếu chuỗi hội tụ đều thì tích phân của tổng chuỗi
bằng tổng tích phân các số hạng . Kết quả này vẫn đúng cho chuỗi hàm khả tích
Schnirelman.
Mệnh đề 1.3.3. Nếu

j
f

hội tụ đều trên
z a r
tới
f
và nếu mỗi
j
f
là
khả tích Schnirelman trên
z a r
thì
f
là khả tích Schnirelman trên
z a r
và
   
j
j
z a r z a r
f z dz f z dz
   



.
Chứng minh:
Giả sử

0


. Do giả thiết về sự hội tụ đều của tổng , ta có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

với mọi j đủ lớn và với mọi
z
sao cho
z a r
. Do đó, với
n
sao cho
1n 
,
 
 
   
 
 
1 1 0
3
n n J
n n n n
k k j k k
k k j
rr
f a r f a r
nn


   
  
   
 
,
với mọi j đủ lớn. Do
j
f
tiến đều tới không trên
z a r
, nên theo mệnh đề
1.3.2, ta có
   
00
3
J
jj
jj
z a r z a r
f z dz f z dz



   



,
cũng với mọi j đủ lớn. Cố định j đủ lớn để các bất đẳng thức trên là đúng.

Theo tính khả tích của
j
f
, tồn tại số
N
sao cho nếu
nN
và
1n 
, thì
 
 
 
 
1 0 0
3
n J J
nn
j k k j
k j j
z a r
r
f a r f z dz
n


  

  
 


.
Do đó, nếu
nN
và
1n 
thì ta có
 
 
 
 
10
n
nn
k k j
kj
z a r
r
f a r f z dz
n
  



  


. 
Định lý tích phân Cauchy và công thức tích phân Cauchy.
Bổ đề 1.3.4. Giả sử

1 jn
là số nguyên (ở đây
j
kí hiệu giá trị tuyệt đối
Archimed thông thường của chỉ số
j
). Khi đó
 
 
1
0
j
n
n
k
k




.
Chứng minh:
Do
   
 
 
 
 
 
 

11
11
, , , ,
n n n n
nn
   


, chỉ cần xét trường hợp
j

dương. Giả sử
1
, ,
n
xx
là các biến số. Khi đó,
1

jj
n
xx
là đa thức của các
hàm đối xứng sơ cấp
 
11
, ,
n
xx


, ,
 
1
, ,
jn
xx

không có hệ số hằng. Do
   
 
1
, , 0
nn
in
  

với
1 in
, bổ đề được chứng minh. 
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Như ta đã biết trong giải tích phức cổ điển, nếu
 
fz
là hàm giải tích thì tích
phân của
 
fz
trên đường cong kín nằm trong một miền đơn liên là bằng
không (xem [3]). Tương tự như vậy, ta thấy định lý tích phân Cauchy vẫn đúng

đối với tích phân Schnirelman.
Định lý 1.3.5 (Định lý tích phân Cauchy).
Kí hiệu B
 
R
a

={
z
F
:
z a R
} là hình cầu đóng bán kính
R
tâm
a
.
Giả sử
f
là giải tích trên
 
B
R
a

, với
r 
F
với
rR

. Khi đó,
f
là khả tích
Schnirelman trên
z a r
và
 
0
z a r
f z dz



.
Chứng minh:
Không mất tính tổng quát, ta giả sử
0a 
. Theo tính chất tuyến tính và
mệnh đề 1.3.3, chỉ cần chứng tỏ rằng định lý đúng với
 
j
f z z
,
0j 
. Theo
bổ đề 1.3.4, biểu thức giới hạn trong định nghĩa tích phân Schnirelman triệt
tiêu khi
2nj
. Định lý được chứng minh. 

Định nghĩa (Đạo hàm Hasse). Cho chuỗi hình thức lũy thừa
 
fz
=
j
j
az

,
ta định nghĩa đạo hàm Hasse bậc
k
của
f
bởi :
D
k
 
jk
j
jk
j
f z a z
k









.

Dưới đây ta sẽ chứng minh được công thức tích phân Cauchy tương tự như
công thức tích phân Cauchy trong giải tích phức cổ điển.
Định lý 1.3.6 ( Công thức tích phân Cauchy ). Giả sử
f
giải tích trên
B
 
R
a

,
r 
F
với
rR
,
w
F
với
w aR
và
0n 
. Khi đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

 
 

 
 
1
D w nêú w

0 nêú w
w
n
n
z a r
f a R
fz
dz
aR
z













Chứng minh:
Từ định nghĩa và bổ đề 1.3.4, ta thấy rằng nếu

k
là một số nguyên thì

1 nêú k 1
0 nêú k 1
k
zr
z dz








.
 
1.1

Không mất tính tổng quát, ta xét
0a 
và viết
 
fz
dưới dạng chuỗi lũy thừa,
 
0
j
j

j
f z a z




.
Nếu
w0
thì định lý đúng do
 
1.1
và mệnh đề 1.3.3.
Nếu
0wR
thì
w
kn
kn
k
n
z











hội tụ đều tới
 
1
1/ 1 w /
n
z


trên
zR
.
Do đó,
 
 
1
1
0
w
w
k n j k
j
n
k n j
z r z r
k
fz
dz a z dz
n

z

  










=
 
w D w
k n n
k
kn
k
af
n









ở đây đẳng thức thứ hai được suy ra từ
 
1.1
.
Nếu
w R
, chứng minh tương tự với
 
 
1
1
1
1
1
ww
w
n
k
n
n
kn
k
z
n
z
















ta kết
luận tích phân là không. 
Định lý 1.3.7 ( Định lý thặng dƣ). Giả sử
a
và
r
là các phần tử của
F
. Giả
sử
 
fz
là giải tích trên
z a r
, giả sử
 
Pz
là đa thức không có không
điểm trên

z a r
, và giả sử
     
/R z f z P z
. Khi đó,
   
Res ,
b a r
z a r
R z dz R b





.
Chứng minh:
Xét khai triển phân số riêng của
R
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

   
 
 
1
1
,
1,
1,1 ,1

1
1
A
A
AA
n
n
nm
m
n
mm
n
n
R z g z
z b z b
zb
zb
       



  
,
ở đây
g
giải tích trên
z a r
. Áp dụng định lý 1.3.6 ta chứng minh được
định lý. 
Tương tự như trong giải tích phức, ta cũng có các hệ quả của công thức tích

phân Cauchy, như nguyên lý môđun cực đại, định lý Liouville
1.4. Hệ quả của công thức tích phân Cauchy .
Nguyên lý mô đun cực đại.
Định lý 1.4.1 (Nguyên lý mô đun cực đại). Giả sử
r
và
a
thuộc F, và giả sử
f
là giải tích trên
z a r
. Khi đó,
   
max max
z a r z a r
f z f z
   


Chứng minh:
Giả sử
w
là phần tử của
F
sao cho
w ar
. Khi đó , theo định lý
1.3.6 và mệnh đề 1.3.2, ta có
 
 

 
w max
ww
z a r
z a r
fz
fz
f dz r
zz





.
Bây giờ,
   
wwz z a a z a r       
theo nhận xét 1.1.1 và do đó
định lý được chứng minh. 
Chú ý : Trong giải tích phức , ta có mệnh đề mạnh hơn của nguyên lý
mô đun cực đại. Ấy là, nếu
f
là giải tích trên
z a r
và nếu
f
đạt giá trị
lớn nhất trong phần trong hình cầu thì
f

sẽ là hằng số. Tuy nhiên điều này dễ
dàng nhìn thấy sai trong lý thuyết hàm không Archimed. Thực vậy, xét
1c 

và giả sử
 
f z z c
. Khi đó ,
 
f z c
với mọi
1z 
, nhưng
f
không là
hằng số. Tuy nhiên
f
là hằng số trên
1z 
.
Nguyên lý môđun cực đại có thể diễn đạt dưới dạng sau:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Mệnh đề 1.4.2. Giả sử
r
và
a
thuộc
F
và

f
là giải tích trên
z a r
.
Khi đó,
 
 
max
Dw
z a r
n
n
fz
f
r


,

w
F
sao cho
w ar
và
n
,
0n 
.
Chứng minh:
Cố định

w
trong F sao cho
w ar
. Khi đó, theo định lý 1.3.6 và
mệnh đề 1.3.2, tương tự như trong chứng minh của nguyên lý môđun cực đại,
ta có
 
 
 
 
11
D w max
w
w
n
nn
z a r
z a r
fz
fz
f dz r
z
z








·

Ngoài ra, theo nhận xét 1.1.1 có
   
wwz z a a z a r       
, do đó
mệnh đề được chứng minh. 
Định lý sau cho phép chuyển đạo hàm Hasse vào trong dấu tổng của chuỗi đối
với hàm giải tích.
Mệnh đề 1.4.3. Giả sử
a

F
và
   
0
j
j
j
f z c z a




là hàm giải tích với bán
kính hội tụ
0 R  
. Giả sử
b

là phần tử của
F
sao cho
b a R
. Khi đó,
    
0
D
n
n
n
f z f b z b





cũng có bán kính hội tụ
R
.
Chứng minh:
Trong trường hợp giá trị tuyệt đối tầm thường, và trường hợp cả hai
chuỗi là các đa thức hoặc chuỗi lũy thừa, điều nói trên là hiển nhiên.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Do đó, ta giả thiết giá trị tuyệt đối trên
F
là không tầm thường. Cố định
z
trong

F
sao cho
z b R
. Khi đó
   
z a z b b a R     
và tồn tại
r
trong
F
sao cho :
 
max ,z b b a r R   
.
Theo mệnh đề 1.4.2,
  
D
n
n
n
zb
f b z b M
r


, ở đây
 
max
z a r
M f z



.
Với
 
/1z b r
, chuỗi
  
0
D
n
n
n
f b z b




hội tụ tại
z
. Do đó bán kính hội
tụ của chuỗi này ít nhất là
R
. Theo tính đối xứng, nó cùng lắm là
R
.
Do chuỗi hội tụ, ta thấy:
  
0
D

n
n
n
f b z b





   
0
j n n
j
n j n
j
c b a z b
n










   
00
j

j n n
j
jn
j
c b a z b
n




  




=
     
00
jj
jj
jj
c z b b a c z a f z


     

. 
Định lý 1.4.4 ( Định lý đồng nhất ). Giả sử
f
là hàm giải tích trên B

 
R
a

và
giả sử
1 2 3
, , , z z z
là các điểm trong B
 
R
a

sao cho
0
lim
k
k
zz


B
 
R
a

. Nếu
 
k
fz

0
với mọi
1k 
, thì
0f 
.
Chứng minh:
Theo mệnh đề 1.4.3, có thể khai triển hàm
f
dưới dạng chuỗi lũy thừa
tại
0
z
,
 
 
0
0
j
j
j
f z a z z





Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

và chuỗi này có bán kính hội tụ

R
. Giả sử
0
j
là chỉ số nhỏ nhất sao cho
0
j
a
0
, khi đó,
 
 
0
0
/
j
f z z z
là liên tục và khác không với
0
zz
đủ nhỏ.
Điều này mâu thuẫn giả thiết rằng
 
0
k
fz 
và
k
z
hội tụ tại

0
z
. 
Trong giải tích phức, hàm chỉnh hình bị chặn trên toàn mặt phẳng là hàm
hằng. Tương tự như vậy , ta cũng có định lý Liouville trong lý thuyết hàm
p
-
adic.
Định lý 1.4.5 ( Định lý Liouville ). Hàm nguyên bị chặn là hàm hằng. Hơn
nữa, nếu
 
d
fz
z
bị chặn khi
z 
thì
f
là đa thức có bậc không quá
d
.
Chứng minh:
Viết
f
dưới dạng chuỗi lũy thừa
0
j
j
j
az




, ta chứng minh định lý bằng
phương pháp phản chứng.
Thật vậy: giả sử
f
không là đa thức bậc không quá
d
thì tồn tại hệ số
0
j
a
0

với
0
jd
.
Theo định lý 1.3.6
 
0
0
1
j
j
zr
fz
a dz
z





.
Khi đó theo mệnh đề 1.3.2,
 
0
0
max
zr
j
j
fz
a
r


.
Và do
0
jd
, vế phải tiến tới
0
khi
r 
mâu thuẫn
0
0
j

a 
. 
Định lý 1.4.6 ( Bổ đề Schwarz ). Giả sử
f
là giải tích trên B
1
sao cho ảnh
của
f
bị chứa trong B
1
và sao cho
 
00f 
. Khi đó,
 
f z z
với mọi
1z 
và
 
01f


.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chứng minh:
Nếu giá trị tuyệt đối trên
F

là tầm thường thì định lý đúng. Ta phải
chứng minh bổ đề đúng cho trường hợp giá trị tuyệt trên F không tầm thường.
Thật vậy: ta chọn dãy
n
r
với
1
n
r 
và sao cho
1
n
r 
. Theo giả thiết
 
00f 
, hàm
   
/g z f z z
cũng là giải tích trên B
1
, và theo nguyên lý
mô đun cực đại, với
n
zr
, ta có
 
1
n
gz

r

.
Lấy giới hạn khi
1
n
r 
, định lý được chứng minh. 
Chú ý : Đối với Bổ đề Schwarz trong giải tích phức cổ điển, ta biết rằng nếu
đẳng thức xảy ra tại điểm nào đó, thì
 
f z z


với
1


. Đây là điều dễ nhìn
thấy sai trong trường hợp không Archimed, ví dụ,
   
1f z z z
.
Ta có bổ đề Schwarz-Pick phức nói rằng các ánh xạ chỉnh hình đĩa đơn vị là
vào chính nó có tính chất khoảng cách không tăng trong metric hyperbolic. Hệ
quả sau là một tương tự trong trường hợp không Achimed.
Hệ quả 1.4.7 ( Schwarz- Pick ). Giả sử
f
là giải tích trên B
1

sao cho ảnh
của
f
bị chứa trong B
1
. Khi đó, với mọi
z
và
w
trong B
1
, ta có :
   
wwf z f z  
.
Chứng minh:
Cố định
z
và
w
trong B
1
. Xét
     
wwg f f

  
. Khi đó, nếu
1



, ta có
w1


và như vậy
     
w w 1g f f

   
,
do đó
g
thỏa mãn những giả thiết của định lý. Bây giờ, chọn
wz


, hệ
quả được chứng minh. 


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Chƣơng 2
ĐA GIÁC ĐỊNH GIÁ VÀ CÔNG THỨC POISSON –JENSEN

Trong chương trước, tích phân Schnirelman đã được sử dụng để cho tương tự
không Acsimét của các kết quả quen thuộc từ lý thuyết hàm phức cổ điển . Tuy
nhiên có rất nhiều sự khác biệt giữa lý thuyết hàm không Archimed và lý thuyết
hàm phức cổ điển. Có một công cụ hữu ích hơn so với tích phân Schnirelman,

được dùng để xác định vị trí của các không điểm không Archimed của chuỗi
lũy thừa, đó là đa giác định giá , hoặc đa giác Newton. Đây là kĩ thuật mạnh
của giải tích không Archimed, không có tương ứng chính xác trong giải tích
phức. Các kĩ thuật này có thể được sử dụng thay cho công thức tích phân
Cauchy, và thường cho các kết quả mạnh hơn.
Để tìm hiểu thêm về đa giác Newton, có thể xem [14].
2.1. Trƣờng lớp thặng dƣ.
Chú ý rằng tập hợp
O
={
z
F :
1z 
}
tạo thành vành con của
F
.
Vành con
O
được gọi là vành các số nguyên của
F
. Kí hiệu
M 
{
z
F :
1z 
}.
Mệnh đề 2.1.1.
M

là iđêan cực đại duy nhất của
O
.
Vành với iđêan cực đại duy nhất được gọi là vành địa phương. Ta kí hiệu
F

là
trường
/ MO
, nó được gọi là trường lớp thặng dư của F. Với phần tử
a
trong
O
, ta kí hiệu
a

ảnh của nó trong
F

.
Mệnh đề 2.1.2. Nếu
F
là đóng đại số thì
F

cũng là đóng đại số.
2.2. Giá trị tuyệt đối không Archimed trên vành hàm giải tích.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Giả sử

12
rr
, xét vành
 
12
,rrA
các hàm giải tích trên hình vành
khuyên giới nội
 
12
,A r r
. Các phần tử của
 
12
,rrA
là các chuỗi Laurent có
dạng :
 
n
n
n
f z c z





sao cho
lim 0
n

n
n
cr


với mọi
12
r r r
.
Chú ý : (i)
n
được hiểu giá trị tuyệt đối Archimed thông thường của
n
, mà
không là giá trị tuyệt đối của ảnh của
n
trong
F
. Ngoài ra, trong chương trước
ta sử dụng
r
kí hiệu phần tử của
F
. Trong phần này,
r
sẽ kí hiệu số thực
không âm.
Với mỗi
r
sao cho

12
r r r
, ta định nghĩa :
sup
n
n
r
f c r
.
(ii) Với
f
cố định, dễ dàng thấy rằng
r
là một hàm liên tục theo
r
. Nếu
1
0r 
, sao cho không có lũy thừa âm xuất hiện trong khai triển của chuỗi của
f
, ta cũng thấy rằng
r
f
là không giảm theo
r
.
(iii) Nhắc lại rằng ta sử dụng
×
F
cho kí hiệu nhóm giá trị :

 
0
:aa

  
×
FF
.
Có thể xẩy ra
0

×
F 
và điều này tạo ra một số kỹ thuật trong chứng minh
không Archimed, trong đó người ta phải xem xét riêng biệt các trường hợp
r
×
F
và
r
×
F
. Ta sẽ thấy trong mệnh đề 2.2.3 dưới đây rằng
r
là giá
trị tuyệt đối không Archimed nếu
0r 
, nhưng trước tiên ta phát biểu một
dạng khác của nguyên lý mô đun cực đại không Archimed.
Mệnh đề 2.2.1 ( Nguyên lý mô đun cực đại ). Nếu

f
là giải tích trên
 
12
,A r r

và
0
z
thuộc
 
12
,A r r
thì