tóm tắt phương pháp tính tích phân nguyên hàm

TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
TĨM TẮT PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
NGUN HÀM
1. Định nghĩa:
2. Các tính chất:

F(x) là ngun hàm hàm số f(x) trên D nếu
F’(x) = f(x), ∀ x ∈ D

∫ f ( x)dx )’ = f(x)
2) af ( x ) dx = a ∫ f ( x ) dx
∫
3) ∫ [( f ( x ) + g ( x )]dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x) dx
1) (

∫ f ( x)dx = F ( x) + C ⇒ ∫ f (u)du = F (u) + C

4)

3. Bảng nguyên hàm các hàm số sơ cấp:
Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp

∫ du = u + C

∫ dx = x + C

x α +1
α
∫ x dx = α + 1 + C
1

∫ x dx = ln x + C

( α ≠-1)
(x ≠ 0)

e x dx = e x + C
∫

ax
x
∫ a dx = ln a + C (0 < a ≠ 1)
∫ cos xdx = sin x + C

∫ sin xdx = − cos x + C
1

∫ cos

2

x

Nguyên hàm của hàm số hợp tương ứng
(dưới đây u = u(x))

dx = tan x + C

1
∫ sin 2 x dx = − cot x + C

u α +1
∫ u du = α + 1 + C
1
∫ u du = ln u + C
α

( α ≠ -1)
(u ≠ 0)

e u du = e u + C
∫

au
∫ a du = ln a + C
u

(0 < a ≠ 1)

∫ cos udu = sin u + C
∫ sin udu = − cos u + C
1

∫ cos

2

u

1

∫ sin

2

u

du = tan u + C
du = − cot u + C

Hệ quả:
Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp

1 ( ax + b )α + 1
∫ ( ax + b ) dx = a . α + 1 + C (α ≠ -1)
1
1
dx = ln ax + b + C
∫ ax + b
a
α

Nguyên hàm
các hàm số sơ cấp

∫ cos( ax + b )dx =

1
sin( ax + b ) + C
a

1
sin( ax + b )dx = − cos( ax + b ) + C
∫
a

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 1- ThS. Nguyễn Văn Bảy


TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC

∫e
∫a

ax +b

mx + n

1
1
dx = tan(ax + b) + C
a
(ax + b)
1
1
∫ sin 2 (ax + b) dx = − a cot(ax + b) + C

1
dx = e ax+b + C
a

∫ cos

1 a mx + n
dx = .
+C
m ln a

2

ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN
I. Định nghĩa tích phân:
b

∫

b

f ( x)dx = F ( x ) a = F (b) − F (a )

a

II. Các tính chất:
a

(1)

∫ f ( x)dx = 0
a

b

(2)

a

∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx
a

b

a

(3)

b

b

a

∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx
b

b

a

(4)

b

a

a

∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
c

c

a

(5)

b

a

b

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
b

(6) f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a; b] ⇒

∫ f ( x)dx ≥ 0
a

b

a

(7) f(x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a; b] ⇒

b

a

∫ f ( x)dx ≥ ∫ g ( x)
b

(8) m ≤ f(x) ≤ M , ∀x ∈ [a; b] ⇒ m(b − a ) ≤

∫ f ( x)dx ≤ M (b − a)
a

PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
I. Phương pháp đổi biến số:
1. Đổi biến dạng 1:
b

Dạng : Tính tích phân:

I = ∫ f ( x) dx
a

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 2- ThS. Nguyễn Văn Bảy

TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
+ Đặt x = u(t) ⇒ dx = u’(t)dt.
+ Đổi cận: x = a ⇒ t = α và x = b ⇒ t = β
Khi đó:
a

β

a

α

I = ∫ f ( x)dx = ∫ f [u (t )]u ' (t )dt

Các dạng toán thường gặp :
β

 π π
2
2
Bài toán 1: I = ∫ a − x dx Đặt x = asint, t ∈  − ; 
 2 2
α
β

Bài toán 2: I = ∫
α
β

Bài toán 3: I = ∫

α
β

Bài toán 4: I = ∫
α

 π π
dx Đặt x = asint, t ∈  − ; ÷
 2 2
a2 − x2
1

π π
dx Đặt x – b = asint, t ∈  − ; 

÷
 2 2
a − ( x − b)
1

2

2

1
dx Đặt x = atant, t ∈
a + x2
2

 π π

− ; ÷
 2 2

β

1
dx
α a'x + b'x + c'
với phương trình a’x2 + b’x + c’ = 0 vô nghiệm.
β
1
1
dx
Ta viết lại : I = ∫ 2
a ' α a + ( x + b) 2
I=∫

Bài toán 5:

2

 π π
x+b = atant, t ∈  − ; ÷
 2 2
2. Đổi biến dạng 2:
Đặt

b

Dạng : Tính tích phân:

I = ∫ f (u ).u ' dx
a

+ Đặt t = u(x) ⇒ dt = u’(x)dx
+ Đổi cận: x = a ⇒ t = α và x = b ⇒ t = β
β

⇒ I = ∫ f (t )dt
α

2. Phương pháp tích phân từng phần:
b

a) Cơng thức vi phân:

∫ udv = u.v

b
a

b

− ∫ vdu

a
a
trong đó u, v là các hàm số ẩn x có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b].
b) Phương pháp giải toán bằng phương pháp tích phân từng phần:

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 3- ThS. Nguyễn Văn Bảy


TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
b

Tính tích phân:

I = ∫ [ f ( x) g ( x)]dx
a

+ Đặt:

u = f ( x)
du = f ' ( x)dx
⇒

dv = g ( x)dx v = G ( x)

+ Khi đó:
b

b

b

I = ∫ f ( x).g ( x)dx =u.v a − ∫ vdu = f ( x).G ( x) a − ∫ G ( x) f ' ( x)dx
b

a

a

b

a

c) Một số dạng toán áp dụng thuật tốn tích phân từng phần:
Xét P(x) là một đa thức biến x, ta có các dạng tốn áp dụng cơng thức tích phân tứng phần sau đây
ex
I = ∫ p ( x).sin x dx
a
cos x
b

Dạng 1:

PP: Đặt: u = P(x) và dv =

ex
sin x
cos x
b

I = ∫ ex .

Dạng 2:

a

PP: Đặt u = ex và dv =

dx

cos x
sin x

sin x
dx
cos x

dx và thực hiện hai lần tích phân từng phần.

b

Dạng 3:

I = ∫ P( x). ln xdx
a

PP: Đặt u = lnx và dv = P(x).

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 4- ThS. Nguyễn Văn Bảy


TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
PHÂN LOẠI PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN TÍCH PHÂN
TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ
I. Tích phân hàm phân thức mẫu bậc nhất:
β

Dạng 1:

A=

1
∫ ax + bdx
α

β

β

1
1 d (ax + b) 1
dx = ∫
∫ ax + b a α ax + b = a ln ax + b
α

PP:

β

B=∫

Dạng 2:

α

β

α

f ( x)
dx
ax + b

PP:
Cách 1: Ta thực hiện phép chia đa thức để viết tích phân về dạng:
β
β
f ( x)
c
B=∫
dx = ∫ ( g ( x) +
) dx
ax + b
α ax + b
α
Cách 2: Đổi biến bằng cách đặt t = ax + b
β

Dạng 3:

C=

1
∫ (ax + b) k dx
α

( k ≠ 1)

PP:
β

Cách 1:

β

β

1
1 d (ax + b) 1
dx = ∫
= ∫ (ax + b) −k d (ax + b)
k
k
∫
a α (ax + b)
aα
α ( ax + b)

1 1
1
.
=
a 1 − k (ax + b)k −1
Cách 2: Đổi biến bằng cách đặt: t = ax + b

β

α

II. Tích phân hàm phân thức mẫu là tam thức bậc hai:
TH1: Phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x = x1 và x = x2.
β

Dạng 1:

1

∫ ( x + a)( x + b) dx

α

PP: Ta viết tích phân dưới dạng:
β
β
1
1
( x + b) − ( x + a )
1
1 
 1
dx =
dx =
∫ ( x + a)( x + b)
∫ ( x + a)( x + b)
∫  x + a − x + b ÷dx
b−aα
b−aα


α
β

β

Dạng 2:

mx + n
∫ ax 2 + bx + c dx
α

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 5- ThS. Nguyễn Văn Bảy


TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
PP: Ta viết tích phân dưới dạng:
β

β

β

mx + n
mx + n
1
A
B
dx = ∫
dx = ∫ (

+
∫ ax 2 + bx + c α a( x − x1 )( x − x2 ) a α x − x1 x − x2 )dx
α
f(x)
∫ ax 2 + bx + c dx

Dạng 3:

với f(x) là đa thức bậc lớn hơn 1.

PP: Ta viết tích phân dưới dạng:
β
β
β
β
f ( x)
m'x + n'
1
A
B
∫ ax 2 + bx + cdx = α (h( x) + a( x − x1 )( x − x2 ) )dx = α h( x)dx + a α ( x − x1 + x − x2 )dx
∫
∫
∫
α
TH2: Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép x = x0.
Bằng cách viết lại: ax2 + bx + c = a(x - x0)2. Ta có:
β
β
f ( x)

1
f ( x)
I=∫ 2
dx = ∫
dx
a α ( x − x0 ) 2
α ax + bx + c
Dùng phương pháp đổi biến đặt t = x – x0

TH3: Phương trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm.
β

∫ ax

Dạng 1:

α

β

I=∫

Bài toán 1:

α

2

1
dx

+ bx + c

1
dx
a + x2
2

 π π
Đặt x = atant, t ∈  − ; ÷
 2 2
β

I=∫

Bài toán 2:

α

Ta viết lại : I =

1
dx
a'x + b'x + c'
2

β

1
1
∫ a 2 + ( x + b)2 dx

a'α

 π π
Đặt x+b = atant, t ∈  − ; ÷
 2 2
β

Dạng 2:

mx + n
∫ ax 2 + bx + c dx
α

PP: Ta viết tích phân dưới dạng:
β

β

β

mx + n
d (ax 2 + bx + c)
M
dx = ∫
+∫ 2
∫ ax 2 + bx + c α ax 2 + bx + c α ax + bx + c dx
α
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 6- ThS. Nguyễn Văn Bảy

TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
f ( x)
dx
+ bx + c
với f(x) là đa thức bậc lớn hơn 1.

Dạng 3:

∫ ax

2

β

PP: Ta viết tích phân dưới dạng:

β

f ( x)
m'x + n'
∫ ax 2 + bx + cdx = α (h( x) + ax 2 + bx + c )dx
∫
α

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 7- ThS. Nguyễn Văn Bảy


TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỶ
I. Các dạng toán dùng phương pháp đổi biến:

1. Dưới căn thức là nhị thức bậc nhất:
β

Dạng :

I = ∫ f ( x, n ax + b )dx
α

Biểu thức f ( x, n ax + b ) chỉ chứa các lũy thừa của x và các lũy thừa của
PP: Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t =

n

n

ax + b

ax + b

2. Dưới căn thức là biểu thức có bậc lớn hơn một:
β

Dạng :

I = ∫ f ( x k , n ax k + b ).x k −1 dx
α

Biểu thức f ( x k , n ax k + b ) chỉ chứa các lũy thừa của xk và các lũy thừa của
PP: Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t =

n

n

ax k + b .

ax k + b

2. Có nhiều dấu căn thức của cùng một biểu thức:
β

Dạng :

I = ∫ f ( m ax k + b , n ax k + b ).x k −1dx
α

Biểu thức f ( m ax k + b , n ax k + b ) chỉ chứa các lũy thừa của
PP: Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t =

mn

m

ax k + b và các lũy thừa của

n

ax k + b .

ax k + b

II. Một số bài toán đặc biệt cần nhớ:
β

Bài toán 1:

I = ∫ a 2 − x 2 dx
α

 π π
PP : Dùng phương pháp đổi biến : Đặt x = asint, t ∈  − ; 
 2 2
β

I=∫

Bài toán 2:

α

1
a − x2
2

dx

 π π
PP : Dùng phương pháp đổi biến : Đặt x = asint, t ∈  − ; ÷
 2 2
β

Bài tốn 3:

I=∫
α

1
a 2 − ( x − b) 2

dx

 π π
PP : Dùng phương pháp đổi biến : Đặt x – b = asint, t ∈  − ; ÷
 2 2
β

Bài tốn 4:

I=

∫
α

1
x +k
2

PP: Dùng phương pháp đổi biến. Đặt

dx

t = x + x2 + k

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 8- ThS. Nguyễn Văn Bảy


TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
β

Bài toán 5:

I=

1

∫
α

ax + bx + c
2

dx , với a > 0.

PP: Ta viết tích phân dưới dạng:
β

∫
α

1

dx

ax + bx + c
2

1

β

∫
aα

=

1
(x + m) + k
2

dx

PP: Dùng phương pháp đổi biến. Đặt t = x + m đưa về bài toán 4.
β

Bài toán 6:

∫

I=

x 2 + kdx

α

PP: Dùng phương pháp tích phân từng phần:
x

dx
u = x 2 + k

du =
2
⇒
Đặt 
x +k
 dv = dx
v = x


α
α
β
x2
⇒ I = ∫ x 2 + k dx = x x 2 + k − ∫
dx
α
x2 + k
α
α
β

= x x2 + k

α
β

= x x2 + k

α

α

α

α

α

k

− ∫ x 2 + kdx + ∫
α

−I +∫

1
⇒ I = ( x x2 + k
2

α

β
α

k
x2 + k
α

x2 + k

α

β

I=

dx

dx

k

+∫

Bài toán 7:

x2 + k

∫

dx )

ax 2 + bx + cdx

α
β

β

α

α

2
2
Ta viết lại: ∫ ax + bx + cdx = a ∫ ( x + m) + ndx

Đặt t = x + m đưa tích phân về bài tốn 6.
III. Các dạng tốn phải nhân thêm lượng liên hiệp:
β
1
dx
Dạng 1.
I= ∫
p ( x) + a ± p ( x) + b
α
β

Dạng 2.

I=

∫

α

1
p( x) ±

[ p ( x) ]

2

+b

dx

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 9- ThS. Nguyễn Văn Bảy


TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC
I. Phương pháp biến đổi thông thường:
1. Các công thức nguyên hàm cơ bản:

1
sin( ax + b ) + C
a

∫ cos xdx = sin x + C

∫ cos( ax + b )dx =

∫ sin xdx = − cos x + C

1
sin( ax + b )dx = − cos( ax + b ) + C
∫
a
dx
1
= tg ( ax + b ) + C
∫ cos 2 ( ax + b ) a
dx
1
= − cot g ( ax + b ) + C
∫ sin 2 ( ax + b ) a

dx
∫ cos 2 x = tgx + C
dx
∫ sin 2 x = − cot gx + C
2. Các dạng thường gặp:

β

β

Dạng 1:

I=

∫ sin
α

n

axdx

J=

∫ cos
α

n

axdx

Phương pháp:
+ Nếu n chẵn thì dùng cơng thức hạ bậc:

sin 2 x =

1 − cos 2 x
1 + cos 2 x
2
và cos x =
2
2

+ Nếu n lẻ thì:
• Tích phân I ta biến đổi:
sinnax = sin2kax.sinax = (1 – cos2ax)k.sinax
và dùng phương pháp đổi biến, đặt t = cosax.
• Tích phân J ta biến đổi:
cosnax = cos2kax.cosax = (1 – sin2ax)k.cosax
và dùng phương pháp đổi biến, đặt t = sinax.
β

Dạng 2: I =

∫ sin ax cos bxdx
α

β

J = ∫ cos ax.cos bxdx
α

β

K = ∫ sin ax.sin bxdx
α

Phương pháp:
Dùng các công thức sau biến đổi từ tích sang tổng:

cos a cos b =

1

[ cos(a − b) + cos(a + b)]
2

1
[ cos(a − b) − cos(a + b)]
2
1
sin a cos b = [ sin( a − b) + sin( a + b)]
2

sin a sin b =

sau đó áp dụng các cơng thức nguyên hàm cơ bản.
K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 10- ThS. Nguyễn Văn Bảy


TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
Một số công thức giúp hạ bậc các biểu thức lượng giác:
1
sin 3 x + cos3 x = (sin x + cos x)(1 − sin x cos x) = (sin x + cos x)(1 − sin 2 x)
2
1
sin 3 x − cos3 x = (sin x − cos x)(1 + sin x cos x) = (sin x − cos x)(1 + sin 2 x)
2
1
sin 4 x + cos 4 x = 1 − sin 2 2 x
2
II. Phương pháp đổi biến:
β

∫ f (s inx).cos xdx

Bài toán 1:

α

PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = sinx
β

∫ f (cos x).sin xdx

Bài toán 2:

α

PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = cosx
β

1

∫ f (t anx). cos

Bài toán 3:

α

2

x

dx

PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = tanx
β

1

∫ f (cot x). sin

Bài toán 4:

α

2

x

dx

PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = cotx
β

∫ f (sin 2x,sinx + cos x)(s inx − cos x)dx

Bài toán 5:

α

PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = sinx + cosx và sin2x = t2- 1
β

∫ f (sin 2x,sinx-cos x)(s inx+ cos x)dx

Bài toán 6:

α

PP: Dùng phương pháp đổi biến đặt t = sinx - cosx và sin2x = 1- t2

 Chú ý: Một số dạng tích phân hàm lượng giác f(sinx, cosx) phức tạp, nếu khó biến đổi thành các tích phân
đặc biệt thì dùng phương pháp đổi biến đặt:
t = tan

x
2

và áp dụng các công thức: sinx =

2t
1+ t2

và cosx =

III. Phương pháp tích phân từng phần:

b

Bài tốn 1:

I = ∫ p ( x).

a

1− t2
1+ t2

sin x
dx
cos x

PP: Dùng pp tích phân từng phần: Đặt u = P(x) và dv =

s inx
dx
cos x

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 11- ThS. Nguyễn Văn Bảy


TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
b

I = ∫ ex .

Bài tốn 4:

a

sin x
dx
cos x

PP: Dùng pp tích phân từng phần: Đặt u =
β

I=∫

Bài toán 3:

α

s inx
và dv = exdx
cos x

ax + b
dx
s in 2 x

PP: Dùng pp tích phân từng phần: Đặt u = ax + b và dv =
β

I=∫

Bài toán 4:

α

1
dx
s in 2 x

ax + b
dx
cos 2 x

PP: Dùng pp tích phân từng phần: Đặt u = ax + b và dv =

1
dx
cos 2 x

IV. Một số dạng toán đặc biệt cần nhớ:
β

Bài toán 1:

I=

∫ sin
α

n

β

m

x cos xdx

J=

sin n x
∫ cos m x dx
α

Phương pháp:
+ Nếu mũ lẻ đối với sinx thì đặt t = cosx. Nếu mũ lẻ đối với cosx thì đặt t = sin x.
+ Nếu mũ lẻ đối với cả sinx và cosx thì nên đặt t = sinx.
β

Bài toán 2:

1

∫ cos x dx

α

PP: Viết lại:
β

β

β

1
cos x
cos x
dx = ∫
dx = ∫

dx
I= ∫
2
2
α cos x
α cos x
α 1 − sin x
sau đó đổi biến t = sinx
β

Bài toán 3:

1

∫ cos x + s inx dx

α

PP: Viết lại:

π
π
cos( x − )
β
cos( x − )
4 dx =
4 dx
dx = ∫
I=
∫

π
π
π
α cos 2 ( x −
α 1 − sin 2 ( x −
cos( x − )
)
)
4
4
4
π
sau đó đổi biến t = sin ( x − )
4
β

β

1
∫ cos x + s inx dx = α
∫
α

β

Bài toán 4:

β

1

1

∫ s inx dx

α

PP: Viết lại:
β

β

β

1
sin x
sin x
dx = ∫ 2 dx = ∫
dx
I= ∫
2
α sin x
α sin x
α 1 − cos x
sau đó đổi biến t = cosx

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 12- ThS. Nguyễn Văn Bảy


TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC

β

1

∫ cos x dx

Bài toán 5:

4

α

PP: Viết lại:
β

β

1
1
dx = ∫ (1 + tan 2 x)
dx
I= ∫
4
cos 2 x
α cos x
α
sau đó đổi biến t = tanx
β

1

∫ sin

Bài toán 5:

α

4

x

dx

PP: Viết lại:
β

β

1
1
2
I = ∫ 4 dx = ∫ (1 + cot x ) 2 dx
sin x
α sin x
α
sau đó đổi biến t = cotx
β

1
dx

2
α sin x cos x

I=∫

Bài toán 6:

2

β

β

β

1
1
1
1
2
∫ sin 2 x.cos 2 x dx = α (1 + cot x) cos2 x dx = α (1 + tan 2 x ) cos 2 x dx
∫
∫
α

PP: Viết lại:

sau đó đổi biến t = tanx
β
a sin x + b cos x + c

Bài toán 7:
∫ a 'sin x + b 'cos x + c ' dx
α

x
PP: Đổi biến đặt : t = tan ,
2

sinx =

2t
1+ t2

và cosx =

1− t2
1+ t2

TÍCH PHÂN HÀM MŨ VÀ LƠGARIT
I. Tích phân hàm số mũ:
1. Các công thức nguyên hàm cơ bản:

e x dx = e x + C
∫
ax
∫ a dx = ln a + C
x

1 ax +b
e

+C
a
1 a mx + n
mx + n
∫ a dx = m . ln a + C

e ax +b dx =
∫

2. Phương pháp đổi biến:
β

Bài toán 1:

I1 = ∫ f (e x ).e x dx
α

PP: Đổi biến t = ex.
β

Bài toán 2:

I 2 = ∫ f (eax , e ax + c ).e ax dx
α

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 13- ThS. Nguyễn Văn Bảy


TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
PP: Đổi biến t =

e ax + c .
β

I 2 = ∫ f (eu ).(u ' eu )dx

Bài toán tổng quát:

α

u

PP: Đổi biến t = e .
3. Phương pháp tích phân từng phần :
β

Bài tốn 1 :

PP: Đặt

I=

u = f ( x)

x
dv = e dx

∫e
α

x

. f ( x)dx .

tính tích phân từng phần.
β

Bài tốn 2 :

PP: Đặt

I=

u = sin x

x
dv = e dx

∫e
α

x

. sin xdx

tính tích phân từng phần hai lần để tìm I.
β

Bài tốn 3

I=

e x . cos xdx .
∫

α

PP: Đặt

u = cos x

x
dv = e dx

tính tích phân từng phần hai lần để tìm I.

II. Tích phân hàm lơgarit:
1. Phương pháp đổi biến:
β

1
I1 = ∫ f (ln x). dx
x
α

Bài toán 1:
PP: Đổi biến t = lnx

β

1
I1 = ∫ f (ln x, n a ln x + b ). dx
x
α

Bài toán 2:
PP: Đổi biến t =

n

a ln x + b
β

Bài toán 3:

I1 = ∫ f (ln k x ).
α

ln k −1 x
dx
x

PP: Đổi biến t = lnkx
2. Phương pháp tích phân từng phần:
β

Bài tốn 1:

I1 =

∫ ln(ax + b). f ( x)dx
α

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 14- ThS. Nguyễn Văn Bảy


TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
PP: Đặt

u = ln(ax + b)

dv = f ( x)dx

tính tích phân từng phần.
β

Bài tốn 2:

Đặt

u = ln k (ax + b)

dv = dx

I2 =

∫ ln
α

k

(ax + b)dx

tính tích phân từng phần k lần.

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 15- ThS. Nguyễn Văn Bảy


TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
A. TĨM TẮT PHƯƠNG PHÁP:
BÀI TỐN 1: Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi đường cong y = f(x), trục
hoành và hai đường thẳng: x = a, x = b.
b

S = ∫ | f ( x ) | dx
a

Để tính tích phân này, ta thực hiện:
+ Tìm nghiệm x1, x2, ... của phương
trình f(x) = 0 trên đoạn [a; b].
+ Lập bảng xét dấu. Dựa và dấu của
f(x) trên các khoảng để tính diện tích S.
BÀI TỐN 2: Tính diện tích hình
phẳng giới hạn bởi hai đường cong
y = f(x),y = g(x) và hai đường thẳng
x = a, x = b.
b

S = ∫ | f ( x ) − g ( x) | dx
a

THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRỊN XOAY
A. TĨM TẮT PHƯƠNG PHÁP:
BÀI TỐN 1: Tính thể tích vật thể trịn
xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi
đường cong (C): y = f(x), trục Ox, x = a
và x = b khi xoay quanh trục Ox.
Xác định bởi công thức:
b

y = f(x)

b

V = π ∫ y dx = π ∫ [ f ( x)]2 dx
2

a

a

BÀI TỐN 2: Tính thể tích vật thể trịn xoay
sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong
(C): y = f(x) và y = g(x) khi xoay quanh trục Ox.
+ Tìm nghiệm x1 và x2 của phương
trình f(x) = g(x)
+ Thể tích khối trụ trịn xoay xác định
bởi công thức:

x2

V = π ∫ [ f ( x )] − [ g ( x )] dx
2

2

x1

BÀI TOÁN 3: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C): x = f(y), y =
a, y = bvà trục Oy khi xoay quanh trục Oy. Xác định bởi công thức:
b

V = π ∫ [ f ( y )]2 dy
a

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 16- ThS. Nguyễn Văn Bảy


TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 17- ThS. Nguyễn Văn Bảy


TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC

K64, H2/11 - LÊ ĐÌNH LÝ - ĐÀ NẴNG DĐ: 0906.22.25.26-www.toantrunghoc.edu.vn - 18- ThS. Nguyễn Văn Bảy