Phương pháp tính Tích phân(full)

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
PHÖÔNG PHAÙP TÍNH TÍCH PHAÂN
I. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Dấu hiệu Cách chọn
2 2
a x−
Đặt x = |a| sint; với
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
hoặc x = |a| cost; với
[ ]
0;t
π
∈
2 2
x a−
Đặt x =
a
sint
; với
{ }
; \ 0
2 2
t

π π
 
∈ −
 
 
hoặc x =
a
cost
; với
[ ]
0; \
2
t
π
π
 
∈
 
 
2 2
a x+
Đặt x = |a|tant; với
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 ÷
 

hoặc x = |a|cost; với
( )
0;t
π
∈
a x
a x
+
−
hoặc
a x
a x
−
+
Đặt x = acos2t
( ) ( )
x a b x− −
Đặt x = a + (b – a)sin
2
t
2 2
1
a x+
Đặt x = atant; với
;
2 2
t
π π
 
∈ −

 ÷
 
Bài 1: Tính
1
2
2
2
2
1 x
I dx
x
−
=
∫
Giải:
Đặt x = cost,
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
.
⇒
dx = - sint dt
Đổi cận:
x
2

2
4
π
t 1 0
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
1
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
Khi đó:
1
2
2
2
2
1 x
I dx
x
−
=
∫
=
0
2
2
4
1 os .c t sint
dt
cos t
π

−
−
∫
=
4
2
0
sin .sint t
dt
cos t
π
∫
=
2
4
2
0
sin t
dt
cos t
π
∫
=
4
2
0
1
1 dt
cos t
π

 
−
 ÷
 
∫
=
( )
tan
4
0
t t
π
−
=
1
4
π
−
. (vì
0;
4
t
π
 
∈
 
 
nên sint
0 sin sint t≥ ⇒ =
)

Bài 2: Tính
2 2 2
0
a
I x a x dx= −
∫
Giải:
Đặt x = asint,
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
.
⇒
dx = acostdt
Đổi cận:
x 0 a
t 0
2
π
Khi đó:
2 2 2
0
a
I x a x dx= −
∫

=
( )
2
2 2 2 2
0
sin 1 sin .a t a t acostdt
π
−
∫
=
2
4 2 2
0
sina tcos tdt
π
∫
=
4
2
2
0
sin 2
4
a
tdt
π
∫
=
=
( )

4
2
0
1 4
8
a
cos t dt
π
−
∫
=
4
1
sin 4
2
8 4
0
a
t t
π
 
−
 ÷
 
=
4
16
a
π
Bài 3: Tính

1
2 2
0
1I x x dx= −
∫
Giải:
Đặt x = sint,
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 
.
⇒
dx = costdt
Đổi cận:
x 0 1
t 0
2
π
Khi đó:
1
2 2
0
1I x x dx= −
∫
=

2
2 2
0
sin 1 sin .t t costdt
π
−
∫
=
2
2 2
0
1
sin
4
tcos tdt
π
∫
=
2
2
0
1
sin 2
4
tdt
π
∫
=
=
( )

2
0
1
1 4
8
cos t dt
π
−
∫
=
1 1
sin 4
2
8 4
0
t t
π
 
−
 ÷
 
=
16
π
Bài 4: Tính
1
3 2
0
1I x x dx= −
∫

Giải:
Đặt t =
2
1 x−

⇔
t
2
= 1 – x
2

⇒
xdx = -tdt
Đổi cận:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
2
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
x 0 1
t 1 0
Khi đó:
1
3 2
0
1I x x dx= −
∫
=
1
2 2

0
1I x x xdx= −
∫
=
( )
1
2
0
1 . .t t tdt−
∫
=
( )
1
2 4
0
t t dt−
∫
=
3 5
1
0
3 5
t t
 
−
 ÷
 
=
2
.

15
Bài 5: Tính
2
5
ln
e
e
dx
I
x x
=
∫
Giải:
Đặt t = lnx
⇒
dt =
dx
x
Đổi cận:
x e e
2
t 1 2
Khi đó:
2
5
ln
e
e
dx
I

x x
=
∫
=
2
5
1
dt
t
∫
=
4
2
1 15
.
1
4 64t
 
− =
 ÷
 
Bài 6: Tính
( )
1
4
3 4
0
1I x x dx= +
∫
Giải:

Đặt t = x
4
+ 1
⇒
dt = 4x
3
dx
3
4
dt
x dx⇒ =
Đổi cận:
x 0 1
t 1 2
Khi đó:
( )
1
4
3 4
0
1I x x dx= +
∫
=
2
4 5
1
2
1 1 31
.
1

4 20 20
t dt t
 
= =
 ÷
 
∫
Bài 7: Tính
2
5
0
sinI xcoxdx
π
=
∫
Giải:
Đặt t = sinx ;
dt cosxdx⇒ =
Đổi cận:
x 0
2
π
t 0 1
Khi đó:
1
2
5 5
0 0
1
sin

6
I xcoxdx t dt
π
= = =
∫ ∫
.
Bài 8: Tính
12
4
0
tanI xdx
π
=
∫
Giải:
Ta có:
12 12
0 0
sin 4
tan 4
4
x
xdx dx
cos x
π π
=
∫ ∫
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
3

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
Đặt t = cos4x ;
4s 4 sin 4
4
dt
dt in xdx xdx⇒ = − ⇒ = −
Đổi cận:
x 0
12
π
t 1
1
2
Khi đó:
1
1
12 12 2
1
0 0 1
2
1
sin 4 1 1 1 1
tan 4 ln ln 2.
1
4 4 4 4 4
2
x dt dt
I xdx dx t
cos x t t

π π
= = = − = = =
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 9: Tính
2
5
0
I cos xdx
π
=
∫
Giải:
Ta có:
( )
2 2 2
2
5 4 2
0 0 0
1 sincos xdx cos xcoxdx x coxdx
π π π
= = −
∫ ∫ ∫
Đặt t = sinx ;
dt cosxdx⇒ =
Đổi cận:
x 0
2
π
t 0
1

Khi đó:
( ) ( ) ( )
3 5
2 2 2 2
2 2
5 2 2 2 4
0 0 0 0
1
2 5
1 sin 1 1 2 .
0
3 5 18
t t
I cos xdx x coxdx t dt t t dt t
π π π π
 
= = − = − = − + = − + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 10: Tính
4
4
0
1
I dx
cos x
π
=
∫

Giải:
Đặt t = tanx ;
2
1
dt dx
cos x
⇒ =
Đổi cận:
x 0
4
π
t 0 1
Khi đó:
( ) ( )
1
3
4 4
2 2
4 2
0 0 0
1
1 1 4
1 tan 1 .
0
3 3
t
I dx x dx t dt t
cos x cos x
π π
 

= = + = + = + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Bài 11: Tính
3
2
2
6
s
cos x
I dx
in x
π
π
=
∫
Giải:
Đặt t = sinx ;
dt cosxdx
⇒ =
Đổi cận:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
4
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
x
6
π

2
π
t
1
2
1
Khi đó:
1 1
3 2 2
2 2
2 2 2 2
1 1
6 6 2 2
1
(1 s ) 1 1 1 1
1 .
1
s s 2
2
cos x in x t
I dx cosxdx dt dt t
in x in x t t t
π π
π π
− −
   
= = = = − = − − =
 ÷  ÷
   
∫ ∫ ∫ ∫

Bài 12: Tính
2
3 3
0
sinI xcos xdx
π
=
∫
Giải:
Đặt t = sinx ;
dt cosxdx⇒ =
Đổi cận:
x
0
2
π
t 0 1
Khi đó:
( ) ( ) ( )
1 1
4 6
2 2
3 3 3 2 3 2 3 5
0 0 0 0
1
1
sin sin 1 sin 1 .
0
4 6 12
t t

I xcos xdx x x cosxdx t t dt t t dt
π π
 
= = − = − = − = − =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 13: Tính
2
2
sin
0
sin 2
x
I e xdx
π
=
∫
Giải:
Đặt t = sin
2
x ;
s 2dt in xdx
⇒ =
Đổi cận:
x
0
2
π
t 0 1

Khi đó:
2
1
2
sin
0 0
1
sin 2 1.
0
x t t
I e xdx e dt e e
π
= = = = −
∫ ∫
Bài 14: Tính
2
2
0
sin 2
1
x
I dx
cos x
π
=
+
∫
Giải:
Đặt t = 1 + cos
2

x ;
s 2 s 2dt in xdx in xdx dt⇒ = − ⇒ = −
Đổi cận:
x
0
2
π
t 2 1
Khi đó:
( )
1 2
2
2
0 2 1
2
sin 2
ln ln 2.
1
1
x dt dt
I dx t
cos x t t
π
= = − = = =
+
∫ ∫ ∫
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
5
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

===========================================================================
Bài 15: Tính
4
3
0
tanI xdx
π
=
∫
Giải:
Đặt t = tanx ;
( ) ( )
2 2
2
1 tan 1
1
dt
dt x dx t dt dx
t
⇒ = + = + ⇒ =
+
Đổi cận:
x
0
4
π
t 0 1
Khi đó:
( )
( )

( )
2
1 1 1 1 1
3 2
4
3
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2
1
1
1 2 1
tan
0
1 1 2 1 2 2 1
1
1 1 1 1 1
ln 1 ln 2 1 ln 2 .
0
2 2 2 2 2
d t
t t t t
I xdx dt t dt tdt dt
t t t t
t
π
+
 
= = = − = − = − =
 ÷

+ + + +
 
= − + = − = −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Bài 16: Tính
1
0
1
1
I dx
x
=
+
∫
Giải:
Đặt t =
x
;
2
2t x dx tdt⇒ = ⇒ =
Đổi cận:
x
0
1
t 0 1
Khi đó:
( )
( )
1 1 1
0 0 0

1
1 1
2 2 1 2 ln 1 2 1 ln 2 .
0
1 1
1
t
I dx dt dt t t
t t
x
 
= = = − = − + = −
 ÷
+ +
+
 
∫ ∫ ∫
Bài 17: Tính
1
33 4
0
1I x x dx= −
∫
Giải:
Đặt t =
3 4 3 4 3 2
3
1 1
4
x t x x dx t dt− ⇒ = − ⇒ = −

Đổi cận:
x
0
1
t 1 0
Khi đó:
1 1
33 4 3 4
0 0
1
3 3 3
1 .
0
4 16 16
I x x dx t dt t= − = = =
∫ ∫
Bài 18: Tính
0
2
1
1
2 4
I dx
x x
−
=
+ +
∫
Giải:

Ta có:
( )
( )
0 0
2
2
2
1 1
1 1
2 4
1 3
dx dx
x x
x
− −
=
+ +
+ +
∫ ∫
Đặt
1 3 tanx t+ =
với
( )
2
; . 3 1 tan
2 2
t dx t dt
π π
 
∈ − ⇒ = +

 ÷
 
Đổi cận:

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
6
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
x -1 0
t 0
6
π
Khi đó:
0
6
2
1 0
1 3 3 3
.
6
2 4 3 3 18
0
I dx dt t
x x
π
π
π
−
= = = =

+ +
∫ ∫
Bài 19: Tính
1
3
8
0
1
x
I dx
x
=
+
∫
Giải:
Ta có:
( )
1 1
3 3
2
8
4
0 0
1
1
x x
dx dx
x
x
=

+
+
∫ ∫
Đặt
4
tanx t=
với
( )
3 2
1
; . 1 tan
2 2 4
t x dx t dt
π π
 
∈ − ⇒ = +
 ÷
 
Đổi cận:
x 0 0
t 0
4
π
Khi đó:
( )
1 1
3 3 2
4 4
2
8 2

4
0 0 0 0
1 1 tan 1 1
.
4
1 4 1 tan 4 4 16
1
0
x x t
I dx dx dt dt t
x t
x
π π
π
π
+
= = = = = =
+ +
+
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 20: Tính
1
1 ln
e
x
I dx
x
+
=
∫

Giải:
Đặt
2
1 ln 1 ln 2
dx
t x t x tdt
x
= + ⇒ = + ⇒ =

Đổi cận:
x 1 e
t 1
2
Khi đó:
( )
2 2
3
2
1 1 1
2 2 2 1
1 ln
2
.2 2 2 .
3 3
1
e
x t
I dx t tdt t dt
x
−

+
= = = = =
∫ ∫ ∫
Bài 21: Tính
( )
1
0
ln 2
2
x
I dx
x
−
=
−
∫
Giải:
Đặt
( )
ln 2
2
dx
t x dt
x
−
= − ⇒ =
−

Đổi cận:
x 1 1

t ln2 0
Khi đó:
( )
1 0 ln 2
2 2
0 ln 2 0
ln 2
ln 2
ln 2
.
0
2 2 2
x
t
I dx tdt tdt
x
−
= = − = = =
−
∫ ∫ ∫
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
7
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
Bài 22: Tính
2
2
0
1 sin

cosx
I dx
x
π
=
+
∫
Giải:
Đặt
sin tanx t
=
với
( )
2
; 1 tan
2 2
t cosxdx t dt
π π
 
∈ − ⇒ = +
 ÷
 
Đổi cận:
x 0
2
π
t 0
4
π
Khi đó:

2
2 4 4
2 2
0 0 0
1 tan
1 sin 1 tan 4
cosx t
I dx dt dt
x t
π π π
π
+
= = = =
+ +
∫ ∫ ∫
Bài 23: Tính
2
3
1
sin
I dx
x
π
π
=
∫
Giải:
Đặt
2
2

1 2
tan 1 tan
2 2 2 1
x x dt
t dt dx dx
t
 
= ⇒ = + ⇒ =
 ÷
+
 

Ta tính:
2
2
1 1 2 1
.
2
sin 1
1
tdt
dx dt
t
x t t
t
= =
+
+
Đổi cận:
x

3
π
2
π
t
3
3
1
Khi đó:
( )
1
2
3
3
3
1
1 1 3 1
ln ln ln3.
3
sin 3 2
3
I dx dt t
x t
π
π
= = = = − =
∫ ∫
Bài 24: Tính
( )
1

1
1 ln
e
I dx
x x
=
+
∫
Giải:
Đặt
1 ln
dx
t x dt
x
= + ⇒ =

Đổi cận:
x 1 e
t 1 2
Khi đó:
( )
2
1 1
2
1
ln ln 2.
1
1 ln
e
dt

I dx t
x x t
= = = =
+
∫ ∫
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
8
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
Bài 25: Tính
3
1
5
0
x
I x e dx=
∫
Giải:
Đặt
3 2 2
3
3
dt
t x dt x dx x dx= ⇒ = ⇒ =

Đổi cận:
x 0 1
t 0 1
Khi đó:

3
1 1 1
5
0 0 0
1 1
1 1 1 1 1
0 0
3 3 3 3 3 3
x t t t t
e
I x e dx te dt te e dt e= = = − = − =
∫ ∫ ∫
Bài 26: Tính
1 5
2
2
4 2
1
1
1
x
I dx
x x
+
+
=
− +
∫
Giải:
Ta có:

1 5 1 5 1 5
2
2 2 2
2
2
2
4 2
2
1 1 1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x
x
x
dx dx dx
x x
x
x
x
x
+ + +

 
+
+
 ÷
+
 
= =
− +
 
− +
− +
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Đặt
2
1 1
1t x dt dx
x x
 
= − ⇒ = +
 ÷
 

Đổi cận:
x 1
1 5
2
+
t 0 1

Khi đó:
1
2
0
1
dt
I
t
=
+
∫
Đặt
( )
2
tan 1 tant u dt u du= ⇒ = +

Đổi cận:
x 0 1
t 0
4
π
Vậy
1
2
4 4
2 2
0 0 0
1 tan
.
4

1 1 tan 4
0
dt u
I du du u
t u
π π
π
π
+
= = = = =
+ +
∫ ∫ ∫
Bài 27: Tính
2
3
1
1
dx
I
x x
=
+
∫
Giải:
Ta có:
2 2
2
3 3 3
1 1
1 1

dx x dx
x x x x
=
+ +
∫ ∫
Đặt
3 2 3 2 2
2
1 1 2 3
3
tdt
t x t x tdt x dx x dx= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =

Đổi cận:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
9
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
x 1 2
t
2
3
Khi đó:
( )
( )
( )
2 2 3 3
2
2

3 3 3
1 1
2 2
2
2 1 1 1
3 1 3 1 1
1 1
3 3
1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1
ln 1 ln 1 ln ln ln ln ln
3 3 1 3 2 3 3
2 1
2 2
2 2 1
2 1
dx x dx dt
I dt
t t t
x x x x
t
t t
t
 
= = = = − =
 ÷
− − +
 
+ +
 
 −  − +

= − − + = = − = =
 ÷
 ÷
 ÷
+
+
−
 
 
−
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 28: Tính
2
3
2
0
3
2 1
x
I dx
x x
=
+ +
∫
Giải:
Ta có:
( )
2 2
3 3
2

2
0 0
3 3
2 1
1
x x
dx dx
x x
x
=
+ +
+
∫ ∫
Đặt
1t x dt dx= + ⇒ =

Đổi cận:
x 0 2
t 2 3
Khi đó:
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
3
3 2
2 2 3 3
3 3
2

2 2 2
0 0 1 1
3
2
2 2 2
1
3 3 3 1
3 1
3 3
2 1
1
3
9 1 3
3 9 3 3 9 9ln 3 3 1 9 3 1 9 ln3 ln1 1 3 9ln 3 8
1
2 2
t t t
t
x x
I dx dx dt dt
x x t t
x
t
t t dt t t
t t
−
− + −
−
= = = = =
+ +

+
 
 
= − + − = − + + = − − − + − + − = −
 ÷
 ÷
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
∫
Bài 29: Tính
ln2
2
2
0
3
3 2
x x
x x
e e
I dx
e e
+
=
+ +
∫
Giải:
Đặt
x x
t e dt e dx= ⇒ =

Đổi cận:
x 0 ln2
t 1 2
Khi đó:
( ) ( )
ln2 ln2 2 2
2
2 2 2
0 0 1 1
2 2
1 1
3 3 3 2 1
3 2 3 2 3 2 1 2
2 2
1 1 3 4 9 4 27
2 2ln 1 ln 2 2 ln3 ln 2 ln 4 ln3 2ln ln ln ln ln
1 1
1 2 2 3 4 3 16
x x x
x
x x x x
e e e t
I dx e dx dt dt
e e e e t t t t
dt dt t t
t t
+ + +
 
= = = = − =

 ÷
+ + + + + + + +
 
= − = + − + = − − − = − = − =
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
Bài 30: Tính
( )
4
1
1
dx
I
x x
=
+
∫
Giải:
Đặt
2
2x t dx tdt= ⇒ =

Đổi cận:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
10
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
x 1 4

t 1 2
Khi đó:
( )
( ) ( )
( )
4 2 2 2
2
1 1 1 1
2 1 1
2 2
1 1 1
1
2
2 1 4
2 ln ln 1 2 ln ln 2ln .
1
3 2 3
dx tdt dt
I dt
t t t t t t
x x
t t
 
= = = = − =
 ÷
+ + +
 
+
 
= − + = − =

 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 31: Tính
( )
1
3
2
0
1I x dx= −
∫
Giải:
Đặt
sin , 0;
2
x t t dx costdt
π
 
= ∈ ⇒ =
 
 

Đổi cận:
x 0 1
t 0
2
π
Khi đó:
( ) ( )
( )

( )
2
1
2 2 2 2
3 3
2 2 3 4
0 0 0 0 0
2 2 2 2 2
2 2
0 0 0 0 0
2
0
1 2
1 1 sin . .
2
1 1 1 1 1 1 sin 2 1
1 2 2 2 2 2 2 . . 1 4
2
4 4 2 8 4 2 2 2 8
0
1 1
8 8 8
cos t
I x dx t costdt cos t costdt cos tdt dt
t
cos t cos t dt dt cos tdt cos tdt cos t dt
dt co
π π π π
π π π π π
π

π
π
π
+
 
= − = − = = = =
 ÷
 
= + + = + + = + + + =
= + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫
2
0
1 sin 4 3
4 . .
2
8 16 8 4 8 16 16
0
t
s tdt
π
π
π π π π π
= + + = + =
∫
Bài 32: Tính
2
3

6
I cos xdx
π
π
=
∫
Giải:
( ) ( )
( )
3
2 2 2 2
3 2 2 2
6 6 6 6
sin
2
. 1 sin 1 sin sin sin
3
6
1 1 1 5
1
3 2 24 24
x
I cos xdx cos x cosxdx x cosxdx x d x x
π π π π
π π π π
π
π
 
= = = − = − = − =
 ÷

 
= − − + =
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 33: Tính
4
4 4
0
sin 4
sin
x
I
x cos x
π
=
+
∫
Giải:
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
11
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
===========================================================================
4 4 4 4
4 4 4 4 2 2
2
0 0 0 0
4
2 2
2
0

sin 4 2sin 2 2 2sin 2 2 2sin 2 2
1
sin sin 1 2sin
1 sin 2
2
1 1 1 1
1 sin 2 ln 1 sin 2 ln ln 2
4
1
2 2 2
1 sin 2
0
2
x xcos x xcos x xcos x
I dx dx dx dx
x cos x x cos x xcos x
x
d x x
x
π π π π
π
π
= = = = =
+ + −
−
−
 
= − = − − = − =
 ÷
 

−
∫ ∫ ∫ ∫
∫
Bài 34: Tính
3
2
4
1 sin
cos x
I dx
x
π
π
=
+
∫
Giải:
( )
( )
( )
2
3 2
2 2 2 2
4 4 4 4
2 2 2
4 4 4
1 sin
1 sin
1 sin 1 sin 1 sin
1 1 3 2 2

2
sin s 2 sin sin 2
2 4 4
4
x
cos x cos x
I dx cosxdx cosxdx x cosxdx
x x x
cosx cosx x dx cosxdx in xdx x x
π π π π
π π π π
π π π
π π π
π
π
−
= = = = − =
+ + +
−
 
= − = − = + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Bài 35: Tính
2
4
sin
sin

x cosx
I dx
x cosx
π
π
−
 
=
 ÷
+
 
∫
Giải:
( )
( )
2 2
4 4
sin
sin
2
ln sin ln 2
sin sin
4
d x cosx
x cosx
I dx x cosx
x cosx x cosx
π π
π π
π

π
− +
−
 
= = = − + =
 ÷
+ +
 
∫ ∫
Bài 36: Tính
2
3
0
sinI xdx
π
=
∫
Giải:
( )
( )
3
2 2 2
3 2 2
0 0 0
1 2
sin sin sin 1 1
2
3 3 3
0
cos x

I xdx x xdx cos x d cosx cosx
π π π
π
 
= = = − − = − − = − =
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Bài 37: Tính
3
sin
cos x
I dx
x
=
∫
Giải:
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2
3
2
0
2
4 3 4 1 sin 3
3 4 3
. . sin
sin sin sin sin
1 1

4sin sin 4. sin ln sin
sin1 2
cos x x
cos x cos x cosx
I dx dx cosxdx d x
x x x x
x d x x x C
π
− − −
−
= = = = =
 
= − + = − + +
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
∫
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
12