bài toán khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Trường THPT Thu Xà - Sáng kiến kinh nghiệm – Gv: Nguyễn Phỉ Đức Trung - DĐ: 0985 759 796
1
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO QUẢNG NGÃI
TRƯỜNG THPT THU XÀ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:
BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN
MẶT PHẲNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI
ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
Giáo Viên: Nguyễn Phỉ Đức Trung
Năm 2008 - 2009
This page was created using Nitro PDF trial software.
To purchase, go to /> Trường THPT Thu Xà - Sáng kiến kinh nghiệm – Gv: Nguyễn Phỉ Đức Trung - DĐ: 0985 759 796
2
I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Nghiên cứu sách giáo khoa môn toán lớp11và các đề tuyển sinh ĐH –
CĐ trong những năm gần đây tôi nhận thấy dạng bài toán về khoảng cách
thường được sử dụng trong các k
ì thi. Hơn nữa thời lượng dành cho các vấn đề
về khoảng cách ở lớp 11 lại rất ít, do đó giáo viên cũng khó khăn trong việc
giúp học sinh nắm vững kiến thức cùng các kinh nghiệm cần thiết để giải các
dạng bài tập này.
Không ít các bài toán v
ề khoảng cách có thể giải được bằng phương
pháp tọa độ, tuy nhiên không phải học sinh nào củng có khả năng chọn được
hệ trục tọa độ thích hợp với từng bài toán cụ thể. Đặc biệt với học sinh lớp 11
thì điều này lại càng không thể.
Xuất phát từ nhu cầu học tập của học sinh và giảng dạy của bản thân.
Tôi vi
ết bài ‘ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT

PHẲNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU’
2. Về lý luận:
+ Học sinh đã có kiến thức về hai đường thẳng song, đường thẳng và mặt
phẳng song song, hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt
phẳng, hai mặt phẳng vuông góc.
+ Học sinh đã biết các công thức tính toán ở lớp dưới.
+ Giáo viên có trực tiếp soạn , giảng môn toán ở lớp 11.
3. Về thực tiễn:
+ Vấn đề về khoảng cách là vấn đề tương đối khó với đặc thù học sinh Trường
THPT Thu Xà.
+ Th
ời lượng học sinh được giáo viên hướng dẫn rất ít mà các bài tập ở dạng
này thì đa dạng, phong phú về nội dung.
+ H
ọc sinh thường mắc sai lầm khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng,
kho
ảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
+
Giáo viên có điều kiện thực hiện đề tài do trực tiếp dạy khối 11 và 12.
This page was created using Nitro PDF trial software.
To purchase, go to /> Trường THPT Thu Xà - Sáng kiến kinh nghiệm – Gv: Nguyễn Phỉ Đức Trung - DĐ: 0985 759 796
3
II. NỘI DUNG
BÀI TOÁN
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG VÀ
KHO
ẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
1.1 Trong không gian cho điểm M không thuộc mặt phẳng (P), tính khoảng
cách d(M, (P)).

P
H
M
1.2 Phương pháp giải:
Cách 1: + Dựng MH vuông góc với mặt phẳng (P) tại H.
+ Tính
độ dài đoạn thẳng MH. Khi đó d(M, (P)) = MH.
Cách 2: Tìm
đường thẳng d qua M và cắt mặt phẳng (P) tại I, trên d chọn
điểm A (A ≠ I, A ≠ M), lúc đó:

d(M;(P)) IM IM
d(M;(P))= .d(A;(P))
d(A;(P)) IA IA
 
.
P
I
M
A

Q
P
M
H
This page was created using Nitro PDF trial software.
To purchase, go to /> Trường THPT Thu Xà - Sáng kiến kinh nghiệm – Gv: Nguyễn Phỉ Đức Trung - DĐ: 0985 759 796
4
+ Một số trường hợp ta có thể chọn điểm rơi H để bài toán đơn giản hơn.
i) N

ếu tìm được mặt phẳng (Q) chứa M và vuông góc với (P) thì ta tìm giao
tuy
ến giữa (P) và (Q). Từ M hạ đường vuông góc với giao tuyến thì ta
được khoảng cách.Trường hợp này ta áp dụng cách 1.
ii) N
ếu tìm được đường thẳng thích hợp đi qua M và cắt (P) tại I thì áp
d
ụng cách 2.
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
2.1 Trong không gian cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng a và b, kí hiệu d(a;b).
2.2 Phương pháp giải:
Cách 1: (Áp dụng cho a và b chéo nhau và a

b ).

+ D
ựng mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc
v
ới b tại B.
+ Trong (P) d
ựng BA

a tại A.
+ Khi
đó d(a; b) = AB.
Cách 2:
+ D
ựng mặt phẳng (P) chứa b và (P) // a,

d(a; b) = d(a; (P)) = d(M; (P)) , với M

(P).


Cách 3:
+ D
ựng mặt phẳng (P) vuông góc với a.Giả sử (P)

a = I
+ D
ựng hình chiếu của b trên (P) là b’.
+ Trong (P) k
ẻ OH

b’ và từ H kẻ đường thẳng song với a cắt b tại B.
+ T
ừ B kẻ đường song song với OH cắt a tại A.
Khi
đó d(a; b) = AB.
Cách 4: + D
ựng mặt phẳng (P) chứa a và (P) //b.
+ D
ựng mặt phẳng (Q) chứa b và (Q) //a.
Khi
đó d(a; b) = d((P); (Q)).
A
a
b
B

P
b
a
M
H
P
a
b'
I
B
H
P
b
a
Q
P
This page was created using Nitro PDF trial software.
To purchase, go to /> Trường THPT Thu Xà - Sáng kiến kinh nghiệm – Gv: Nguyễn Phỉ Đức Trung - DĐ: 0985 759 796
5
3.Bài tập áp dụng:
3.1 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông , AB = BC = a, SA
vuông góc v
ới mặt phẳng (ABC); SA = a
3
. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB.
Tính kho
ảng cách từ G đến mặt phẳng (SAC)
Gi
ải:
Cách1:

G
ọi O là trung điểm AC, F = GB

SA.
Đường thẳng BG cắt mặt phẳng (SAC) tại F.
Khi
đó
d(G;(SAC))
d(B;(SAC))

GF 1
BF 3

=> d(G; (SAC)) = d(B;(SAC)).
GF
BF
=
1
3
d(B;(SAC))
Mà OB

SA, OB

AC => OB

(SAC) nên
d(B; (SAC)) = OB =
a 2
2

.
V
ậy d(G; (SAC)) =
1 a 2 a 2
.
3 2 6
 .
Cách 2:
D
ựng đường thẳng đi qua G song song với
SA, cắt AB tại N. Khi đó:

d(G;(SAC)) = d(N; (SAC)).
D
ựng NH

AC tại H, ta có NH

(SAC),
Suy ra d(N; (SAC)) = NH.
Mà
NH AN FG 1
OB AB FB 3
  
nên NH =
1 a 2
OB
3 6

3.2 (Đề thi TSĐH khối D năm 2007)

Cho hình chóp S.ABCD có
đáy là hình thang,
0
ABC BAD 90
    ,BA = BC = a
AD = 2a. C
ạnh bên SA =
a 2
và vuông góc với đáy. Gọi H là hình chiếu của
A lên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính khoảng cách từ H đến mặt
phẳng (SAC).
Gi
ải:
G
ọi I là trung điểm AD , suy ra tam giác ACD
vuông cân t
ại C. Suy ra SC

CD.
(
Định lý ba đường vuông góc)
Tam giác vuông SAB ta có
SH 2
SB 3

, khi đó
O
G
A
C

B
S
F
O
F
G
A
C
B
S
N
H
S
A
D
B
C
H
I
This page was created using Nitro PDF trial software.
To purchase, go to /> Trường THPT Thu Xà - Sáng kiến kinh nghiệm – Gv: Nguyễn Phỉ Đức Trung - DĐ: 0985 759 796
6
d(H,(SAC)) =
2
3
d(B,(SAC)) =
2
a
3
.

(
Với học sinh 12 các em có thể giải bằng phương pháp tọa độ cách khéo léo chọn
hệ tọa độ để giải)
2.3 (Đề thi TSĐH khối D năm 2008)
Cho l
ăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông , AB = BC = a, AA’
= a
2
. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AM, B’C.
Gi
ải:

G
ọi E là trung điểm của BB’, khi đó
B’C // (AME).Vì vậy khoảng cách giữa B’C và
AM b
ằng khoảng cách giữa B’C va mặt phẳng
(AME).

d(B’C ; (AME)) = d(C; (AME))
Mà
d(C; (AME)) = d (B; (AME)).
T
ứ diện BAEM đôi một vuông góc với nhau
t
ại B.Gọi H là hình chiếu của B trên (AME)
 d(B; (AME)) = BH.
Ta có
2 2 2 2

1 1 1 1
BH BM BA BE
  
=
2 2 2 2
1 4 2 7
a a a a
   => d(B; (AME)) = BH =
a
7
.
(
Với học sinh 12 các em có thể giải bằng phương pháp tọa độ cách khéo léo
chọn hệ tọa độ để giải)
3.4
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O,

BAD = 60
0
, SO

(ABCD) và SO =
3a
4
.
a) Tính kho
ảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC).
b) Tính kho
ảng cách giữa AD và SB.
Gi

ải
a) D
ựng OI

BC tại I. Nhận thấy BC

(SOI).
D
ựng OH

SI tại H, vì
OH SI
nªn OH (SBC)
OH BC






Vậy d(O; (SBC)) = OH.
Ta có OI =
a 4
2
. Kéo dài OI cắt AD tại J, lúc đó
A
B
M
C
A’

B’
C’
E
H
I
O
D
C
A
B
S
J
H
L
This page was created using Nitro PDF trial software.
To purchase, go to /> Trường THPT Thu Xà - Sáng kiến kinh nghiệm – Gv: Nguyễn Phỉ Đức Trung - DĐ: 0985 759 796
7
IJ

AD và IJ = 2IO =
a 3
2
. Ta thấy tam giác ISJ đều,
d
ựng JL

SI tại L thì JL

(SBC) và JL = SO =
3a

4
.
Vì AD //(SBC) nên
d(A; (SBC)) = d(J; (SBC)) = JL =
3a
4
Suy ra d(O; (SBC)) =
3a
8
.
b) Do AD //(SBC) nên
d(AD; SB) = d(AD; (SBC)) = JL =
3a
4
(Với học sinh 12 các em có thể giải bằng phương pháp tọa độ cách khéo
léo chọn hệ tọa độ để giải)
V
ới những ví dụ và những gợi ý nhỏ trong bài viết nay chúng ta có thể vận dụng
để
giải các bài tâp sau.
4.1 (
Đề thi TSĐH khối B năm 2008)
Cho hình chóp t
ứ giác đều S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Gọi E là
điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA; M và N là trung điểm AE và
BC. Ch
ứng minh NM

BD và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN
và AC.

4.2 Cho l
ăng trụ ABC.A’B’C’ có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. gọi D,E,F
l
ần lượt là trung điểm các cạnh BC, A’C’, C’B’. Tính khoảng cách giữa các cặp
đường
thẳng sau
a) DE và AB’
b) A’B và B’C’.
4.3 Cho hai tia Ax và By chéo nhau và góc gi
ữa chúng bằng 60
0
và AB = a là
đoạn vuông góc chung của chúng. Trên By lấy điểm C sao cho BC = a. Gọi D là
hình chi
ếu vuông góc của C trên Ax.
a) Tính kho
ảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD).
b) Tính kho
ảng cách giữa AC và BD.
4.4 Cho hình h
ộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, AD = b, AA’ = c.
a) Tính kho
ảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC’A’).
b) Tính kho
ảng cách giữa hai mặt phẳng (AB’C) và (A’C’D).
This page was created using Nitro PDF trial software.
To purchase, go to /> Trường THPT Thu Xà - Sáng kiến kinh nghiệm – Gv: Nguyễn Phỉ Đức Trung - DĐ: 0985 759 796
8
III. KẾT LUẬN:
Bài viết ‘ KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG VÀ

KHO
ẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU’’
nhằm mục đích giúp học sinh lớp 11 –12 có thêm kinh nghiệm giải các bài tập
về khoảng cách, đặc biệt trong các kì thi tuyển sinh đại học. Vì trình độ và thời
gian có hạn nên bài viết chắc chắn sẽ không tránh khỏi những sai sót ngoài ý
muốn,rất mong được sự phê bình và góp ý của các bạn đồng nghiệp và các em
học sinh để bài viết được hoàn chỉnh hơn nhằm làm tư liệu cho các em học sinh
tham khảo học tập.

Quảng Ngãi, ngày 06 tháng 4 năm 2009.
Người thực hiện


Nguyễn Phỉ Đức Trung
This page was created using Nitro PDF trial software.
To purchase, go to /> Trường THPT Thu Xà - Sáng kiến kinh nghiệm – Gv: Nguyễn Phỉ Đức Trung - DĐ: 0985 759 796
9
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Hình học 11 .Nhà xuất bản GD.
2. Hình h
ọc 11 nâng cao.Nhà xuất bản GD.
3. Sách giáo viên hình h
ọc11.Nhà xuất bản GD.
4. Sách giáo viên hình h
ọc 11 nâng cao.Nhà xuất bản GD.
5. Tr
ọng tâm kiến thức hình học 11 . Tác giả: Phan Huy Khải.
6. T
ạp chí toán học và tuổi trẻ.
7. Tuy

ển tập các đề thi TSĐH. Tác giả : Lê Hoành Phò.
This page was created using Nitro PDF trial software.
To purchase, go to /> Trường THPT Thu Xà - Sáng kiến kinh nghiệm – Gv: Nguyễn Phỉ Đức Trung - DĐ: 0985 759 796
10
MỤC LỤC
Trang
I.M
ở đầu………………………………………………………………………….1
1. Lý do ch
ọn đề tài…………………………………………………………… 1
2. V
ề lý luận……………………………………………….…………………….1
3. V
ề thực tiễn………………………………………………………………… 1
II. N
ội dung……………………………………………………………………….2
1.Kho
ảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng……………………………… 2
2. Kho
ảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau……………………………….2
3. Bài t
ập áp dụng ………………………………………………………………4
4. Bài t
ập tự giải…………………………………………………………………6
III. K
ết luận:………………………………………………………………………7
This page was created using Nitro PDF trial software.
To purchase, go to />