phương pháp giải tích của hàm tổng

Góp nhặt trên onluyentoan.vn
1 Nội dung
1.1 Bài toán 1
Tính tích phân
I =
b

a
f (x) dx
Phương pháp giải
 Phân tích
f (x) = k
1
f
1
(x) ± k
2
f
2
(x) ± ··· ± k
n
f
n
(x)
Trong đó: k
i
∈ R
∗
và f
i
(x)


i = 1; n

là các hàm số có thể lấy nguyên hàm bằng
các phương pháp quen thuộc như đổi biến số hoặc từng phần.
 Ta viết:
I =
b

a
f (x) dx = k
1
b

a
f
1
(x)dx ± k
2
b

a
f
2
(x) dx ± ··· ± k
n
b

a
f

n
(x) dx
Dấu hiệu
 Biểu thức dưới dấu tích phân xuất hiện với nhiều loại hàm số khác nhau.
Ví dụ 1 (D-05)Tính tích phân
I =
π
2

0

e
sin x
+ cos x

cos xdx
Giải
• Phân tích

e
sin x
+ cos x

cos x = e
sin x
cos x + cos
2
x = e
sin x
cos x +

1 + cos 2x
2
• Khi đó:
I =
π
2

0
e
sin x
cos xdx +
π
2

0

1
2
+
1
2
cos 2x

dx
• Vậy
I = e
sin x




π
2
0
+
1
2

x +
sin 2x
2




π
2
0
= (e − 1) +
1
2

π
2
− 0

= e +
π
4
− 1
Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 1 Trường THPT Lê Quảng Chí

Góp nhặt trên onluyentoan.vn
• Đáp số I = e +
π
4
− 1
Ví dụ 2 (A-09)Tính tích phân
I =
π
2

0

cos
3
x − 1

cos
2
xdx
Giải
• Phân tích

cos
3
x − 1

cos
2
x = cos
4

x. cos x − cos
2
x =

1 − sin
2
x

2
. cos x −
1 + cos 2x
2
• Khi đó:
I =
π
2

0


1 − sin
2
x

2
. cos x −
1 + cos 2x
2

dx

=
π
2

0

1 − sin
2
x

2
. cos xdx −
π
2

0
1 + cos 2x
2
dx
=

sin x −
2
3
sin
3
x +
1
5
sin

5
x




π
2
0
−
1
2

x +
sin 2x
2




π
2
0
= 1 −
2
3
+
1
5
−

π
4
=
8
15
−
π
4
• Đáp số I =
8
15
−
π
4
Ví dụ 3 Tính tích phân
I =
e

1

e
x
+
(1 + ln
2
x)
√
ln x
x
2


xdx
Giải
• Phân tích

e
x
+
(1 + ln
2
x)
√
ln x
x
2

x = e
x
.x +
(1 + ln
2
x).
√
ln x
x
Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 2 Trường THPT Lê Quảng Chí
Góp nhặt trên onluyentoan.vn
• Ta có:
I
1

=
e

1
e
x
.xdx = (e
x
.x)



e
1
−

e
1
e
x
dx
= e.e
e
− e − e
x



e
1

= e.e
e
− e − (e
e
− e)
= e
e
(e − 1)
I
2
=
e

1
(1 + ln
2
x).
√
ln x
x
dx =
1

0
2

1 + t
4

t

2
dt = 2
1

0

t
2
+ t
6

dt
= 2

t
3
3
+
t
7
7




1
0
= 2

1

3
+
1
7

=
20
21
• Vậy I = I
1
+ I
2
= e
e
(e − 1) +
20
21
• Đáp số I = e
e
(e − 1) +
20
21
Ví dụ 4 Tính tích phân
I =
3

1
1 + x(2 ln x − 1)
x(x + 1)
2

dx
Giải
• Phân tích
1 + x(2 ln x − 1)
x(x + 1)
2
=
1
x(x + 1)
2
+
2 ln x
(x + 1)
2
−
1
(x + 1)
2
=
1
x(x + 1)
−
2
(x + 1)
2
+
2 ln x
(x + 1)
2
• Vậy

I =
3

1
1
x(x + 1)
dx − 2
3

1
1
(x + 1)
2
dx + 2
3

1
ln x
(x + 1)
2
dx = I
1
− 2I
2
+ 2I
3
• I
1
=
3


1
1
x(x + 1)
dx =
3

1

1
x
−
1
x + 1

dx = ln




x
x + 1










3
1
= ln
3
4
− ln
1
2
= ln
3
2
• I
2
=
3

1
1
(x + 1)
2
dx = −

1
x + 1




3

1
= −
1
4
+
1
2
=
1
4
Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 3 Trường THPT Lê Quảng Chí
Góp nhặt trên onluyentoan.vn
• I
3
=
3

1
ln x
(x + 1)
2
dx = −

ln x
x + 1




3

1
+
3

1
1
x(x + 1)
dx = −
ln 3
4
+I
1
=
3
4
ln 3−ln 2
• Do đó: I = ln
3
2
−
1
2
+
3
2
ln 3 − 2 ln 2 = −
1
2
+
5

2
ln 3 − 3 ln 2.
• Đáp số: I = −
1
2
+
5
2
ln 3 − 3 ln 2
1.2 Bài toán 2
Tính tích phân
I =
b

a
f (x)
g (x)
dx
Phương pháp 1
 Phân tích:
f (x)
g (x)
= k (x) +
h (x)
g (x)
 Khi đó:
I =
b

a

f (x)
g (x)
dx =
b

a

k (x) +
h (x)
g (x)

dx =
b

a
k (x) dx +
b

a
h (x)
g (x)
dx
Nhận xét
Ví dụ 5(A-2010) Tính tích phân
I =
2

0
x
2

+ e
x
+ 2x
2
e
x
1 + 2e
x
dx
Giải
• Phân tích: x
2
+ e
x
+ 2x
2
e
x
= x
2
(1 + 2e
x
) + e
x
• Khi đó:
I =
2

0


x
2
+
e
x
1 + 2e
x

dx
=
x
3
3



2
0
+
1
2
2

0
d(1 + 2e
x
)
1 + 2e
x
=

8
3
+
1
2
ln |1 + 2e
x
|



2
0
=
8
3
+
1
2
ln
1 + 2e
2
3
Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 4 Trường THPT Lê Quảng Chí
Góp nhặt trên onluyentoan.vn
• Đáp số I =
8
3
+
1

2
ln
1 + 2e
2
3
Ví dụ 6 Tính tích phân
I =
1

0
1 + (2 + x)xe
2x
1 + xe
x
dx
Giải
• Viết lại tích phân cần tính như sau:
I =
1

0
(xe
x
+ 1)
2
+ 2e
x
(xe
x
+ 1) − 2e

x
(x + 1)
1 + xe
x
dx
=
1

0
(xe
x
+ 1 + 2e
x
)dx − 2
1

0
e
x
(x + 1)
1 + xe
x
dx
= (x + 2e
x
)





1
0
+
1

0
xd(e
x
) − 2
1

0
d(1 + xe
x
)
1 + xe
x
= 2e − 1 + xe
x




1
0
−
1

0
e

x
dx − 2 ln |1 + xe
x
|




1
0
= 2e − 2 ln(e + 1)
• Đáp số: I = 2e −2 ln(e + 1)
Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 5 Trường THPT Lê Quảng Chí
Góp nhặt trên onluyentoan.vn
Phương pháp 2
 Phân tích:
f (x)
g (x)
=
g
′
(x)
g (x)
+
f (x) − g
′
(x)
g (x)
 Khi đó:
I =

b

a
f (x)
g (x)
dx =
b

a
g
′
(x)
g (x)
dx +
b

a
f (x) − g
′
(x)
g (x)
dx
Nhận xét
Quy trình giải toán cho phương pháp 2
 Chọn g(x) và tính g
′
(x).
 Xác định f (x) − g
′
(x).

 Viết tích phân cần tính dưới dạng:
I =
b

a
f (x)
g (x)
dx =
b

a
g
′
(x)
g (x)
dx +
b

a
f (x) − g
′
(x)
g (x)
dx
 Tính tích phân:
I
1
=
b


a
g
′
(x)
g (x)
dx = ln |g(x)|



b
a
= ln |g(b)| − ln |g(a)| = ln



g(b)
g(a)



 Tính tích phân:
I
2
=
b

a
f (x) − g
′
(x)

g (x)
dx
 Vậy: I = I
1
+ I
2
. 
Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 6 Trường THPT Lê Quảng Chí
Góp nhặt trên onluyentoan.vn
Ví dụ 7(A-2011) Tính tích phân
I =
π
4

0
x sin x + (x + 1) cos x
x sin x + cos x
dx
Giải
Lời giải 1
• Phân tích: x sin x + (x + 1) cos x = (x sin x + cos x) + x cos x
• Khi đó, ta có:
I =
π
4

0
dx +
π
4


0
x cos x
x sin x + cos x
dx = x



π
4
0
+ ln |x sin x + cos x|



π
4
0
=
π
4
+ ln



√
2π
8
+
√

2
2



• Đáp số: I =
π
4
+ ln

√
2π
8
+
√
2
2

Lời giải 2
• Đặt
f(x) = x sin x + (x + 1) cos x
g(x) = x sin x + cos x
• Ta có: g
′
(x) = (x sin x + cos x)
′
= sin x + x cos x − sin x = x cos x
• Và f(x) − g
′
(x) = x sin x + (x + 1) cos x − x cos x = x sin x + cos x

• Khi đó, tích phân cần tính được viết lại như sau:
I =
π
4

0

x cos x
x sin x + cos x
+
x sin x + cos x
x sin x + cos x

dx
=
π
4

0
x cos x
x sin x + cos x
dx +
π
4

0
dx
=
π
4

+ ln

√
2π
8
+
√
2
2

Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 7 Trường THPT Lê Quảng Chí
Góp nhặt trên onluyentoan.vn
Ví dụ 8 Tính tích phân
I =
1

0
3xe
x
+ e
x
+ 2
xe
x
+ 1
dx
Giải
• Ta có:
(xe
x

+ 1)
′
= e
x
+ x.e
x
• Khi đó, tích phân cần tính được viết lại như sau:
I =
1

0

e
x
+ xe
x
xe
x
+ 1
+
3xe
x
+ e
x
+ 2 − e
x
− xe
x
xe
x

+ 1

dx
=
1

0

e
x
+ xe
x
xe
x
+ 1
+ 2

dx
= ln |xe
x
+ 1|



1
0
+ 2x




1
0
= ln(e + 1) + 2.
• Đáp số: I = ln(e + 1) + 2
Ví dụ 9 Tính tích phân
I =
2

1
(x + 2)(1 + 2xe
x
) + 1
x(1 + xe
x
)
dx.
Giải
• Ta có: [x(1 + xe
x
)]
′
= 1 + 2xe
x
+ x
2
e
x
• Suy ra:
(x+2)(1+2xe
x

)+1−(1+2xe
x
+x
2
e
x
) = x
2
e
x
+2xe
x
+x+2 = (1+xe
x
)(x+2)
• Vậy
I =
2

1
1 + 2xe
x
+ x
2
e
x
x(1 + xe
x
)
dx +

2

1
x + 2
x
dx
= ln |x(1 + xe
x
)|



2
1
+ (x + 2 ln |x|)



2
1
= ln(2 + 4e
2
) − ln(1 + e) + 1 + 2 ln 2
= ln
8 + 16e
2
1 + e
+ 1
Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 8 Trường THPT Lê Quảng Chí
Góp nhặt trên onluyentoan.vn

• Đáp số: I = ln
8 + 16e
2
1 + e
+ 1
Ví dụ 10 Tính tích phân
I =
e
2

e
2 + (2 + ln
2
x) ln x
x
2
. ln
2
x
dx
Giải
• Đặt
f(x) = 2 + (2 + ln
2
x) ln x
g(x) = x ln x
• Ta có: g
′
(x) = (x ln x)
′

= ln x + 1
• Khi đó:
f(x) −g
′
(x) = 2 + (2 + ln
2
x) ln x − ln x − 1 = ln
3
x + ln x + 1
• Vậy:
I =
e
2

e

ln x + 1
x
2
ln
2
x
+
ln
3
x + ln x + 1
x
2
ln
2

x

dx = 2
e
2

e
ln x + 1
x
2
ln
2
x
dx +
e
2

e
ln x
x
2
dx
= 2I
1
+ I
2
• Với I
1
=
e

2

e
ln
x
+ 1
x
2
ln
2
x
dx =
2e
2

e
du
u
2
= −
1
u



2e
2
e
=
1

e
−
1
2e
2
=
2
e
−
1
2e
2
• Với
I
2
=
e
2

e
ln x
x
2
dx = −
ln x
x



e

2
e
+
e
2

e
1
x
2
dx = −

ln e
2
e
2
−
1
e

−
1
x



e
2
e
=

1
e
−
2
e
2
+
1
e
−
1
e
2
=
2e − 3
e
2
• Vậy: I = 2.
2e − 1
2e
2
+
2e − 3
e
2
=
4e − 4
e
2
• Đáp số: I =

4e − 4
e
2
Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 9 Trường THPT Lê Quảng Chí
Góp nhặt trên onluyentoan.vn
Ví dụ 11 Tính tích phân
I =
e

1
(x
3
+ 1) ln x + 2x
2
+ 1
2 + x ln x
dx
Giải
• Ta có: (2 + x ln x)
′
= 1 + ln x
• Khi đó: (x
3
+ 1) ln x + 2x
2
+ 1 − 1 − ln x = x
3
ln x + 2x
2
= x

2
(x ln x + 2)
• Do đó:
I =
e

1
1 + ln x
2 + x ln x
dx +
e

1
x
2
dx = ln |2 + x ln x|



e
1
+
x
3
3



e
1

= ln(e + 2) − ln 2 +
e
3
− 1
3
= ln
e + 2
2
+
e
3
− 1
3
• Đáp số: I = ln
e + 2
2
+
e
3
− 1
3
Ví dụ 12 Tính tích phân
I =
π
2

0
(x
2
− 1) sin

2
x + x (cos x + sin 2x) + 1
x sin x + cos x
dx
Giải
• Xét
(x sin x + cos x)
′
= sin x + x cos x − sin x = x cos x
• Khi đó, ta có:
(x
2
− 1) sin
2
x + x(cos x + sin 2x) + 1 − x cos x
= (x
2
− 1) sin
2
x + x sin 2x + 1
= x
2
sin
2
x + 2x sin x cos x + cos
2
x
= (x sin x + cos x)
2
Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 10 Trường THPT Lê Quảng Chí

Góp nhặt trên onluyentoan.vn
I =
π
2

0

x cos x
x sin x + cos x
+ x sin x + cos x

dx
=
π
2

0
x cos x
x sin x + cos x
dx +
π
2

0
(x sin x + cos x)dx
= ln |x sin x + cos x|



π

2
0
+
π
2

0
x sin xdx +
π
2

0
cos xdx
= ln
π
2
− x cos x



π
2
0
+ 2
π
2

0
cos xdx
= ln

π
2
+ 2 sin x



π
2
0
= 2 + ln
π
2
• Đáp số: I = 2 + ln
π
2
Ví dụ 13 Tính tích phân
I =
ln 2

0
(x
2
+ 2)e
2x
+ x
2
(1 − e
x
) − e
x

e
2x
− e
x
+ 1
dx
Giải
• Xét (e
2x
− e
x
+ 1)
′
= 2e
2x
− e
x
• Khi đó:
(x
2
+ 2)e
2x
+ x
2
(1 −e
x
) −e
x
−(2e
2x

−e
x
) = x
2
e
2x
+ x
2
(1 −e
x
) = x
2
(e
2x
−e
x
+ 1)
• Do đó:
I =
ln 2

0
2e
2x
− e
x
e
2x
− e
x

+ 1
dx +
ln 2

0
x
2
dx = ln |e
2x
− e
x
+ 1|



ln 2
0
+
x
3
3



ln 2
0
= ln 3 +
ln
3
2

3
• Đáp số: I = ln 3 +
ln
3
2
3
Ví dụ 14 Tính tích phân
I =
e

2
x
2
(4 ln x + 1) + (2x + 1)ln
2
x + 4x ln x
x
2
(x + ln x) ln x
dx.
Giải
Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 11 Trường THPT Lê Quảng Chí
Góp nhặt trên onluyentoan.vn
• Đặt
f(x) = x
2
(4 ln x + 1) + (2x + 1) ln
2
x + 4x ln x
g(x) = x

2
(x + ln x) ln x
• Xét
g
′
(x) = [x
2
(x+ln x) ln x]
′
= (x
3
ln x+x
2
ln
2
x)
′
= 3x
2
ln x+x
2
+2x ln
2
x+2x ln x
• Khi đó:
f(x) −g
′
(x) = x
2
ln x + ln

2
x + 2x ln x = (x
2
+ ln x + 2x) ln x
• Do đó, tích phân cần tính được viết lại như sau:
I =
e

2
d[x
2
(x + ln x) ln x]
x
2
(x + ln x) ln x
+
e

2
x
2
+ ln x + 2x
x
2
(x + ln x)
dx
= ln |x
2
(x + ln x) ln x|




e
2
+
e

2
x + 1
x(x + ln x)
dx +
e

2
1
x
2
dx
= ln
e
2
(e + 1)
4(2 + ln 2) ln 2
−
1
x



e

2
+
e

2
d(x + ln x)
x + ln x
= ln
e
2
(e + 1)
4(2 + ln 2) ln 2
+
1
2
−
1
e
+ ln |x + ln x|



e
2
= ln
e
2
(e + 1)
4(2 + ln 2) ln 2
+

1
2
−
1
e
+ ln
e + 1
2 + ln 2
= ln
e
2
(e + 1)
2
(2 + ln 2)
2
4 ln 2
+
1
2
−
1
e
• Đáp số: I = ln
e
2
(e + 1)
2
(2 + ln 2)
2
4 ln 2

+
1
2
−
1
e
Ví dụ 15 Tính tích phân
I =
e

1
1 − x(e
x
− 1)
x(1 + xe
x
ln x)
dx
Giải
• Đặt
f(x) = 1 − x(e
x
− 1)
g(x) = x(1 + xe
x
ln x)
Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 12 Trường THPT Lê Quảng Chí
Góp nhặt trên onluyentoan.vn
• Xét
g

′
(x) = [x(1 + xe
x
ln x)]
′
= 1 + 2xe
x
ln x + x
2
e
x
ln x + xe
x
• Khi đó:
f(x) −g
′
(x) = 1 − xe
x
+ x − 1 − 2xe
x
ln x − x
2
e
x
ln x − xe
x
= x − 2xe
x
− 2xe
x

ln x − x
2
e
x
ln x
= x(1 − 2e
x
− 2e
x
ln x − xe
x
ln x)
• Vậy:
I =
e

1
d[x(1 + xe
x
ln x)]
x(1 + xe
x
ln x)
+
e

1
1 − 2e
x
− 2e

x
ln x − xe
x
ln x
(1 + xe
x
ln x)
dx = I
1
+ I
2
• Với
I
1
=
e

1
d[x(1 + xe
x
ln x)]
x(1 + xe
x
ln x)
= ln |x(1+xe
x
ln x)|




e
1
= ln |e(1+e
e+1
)| = 1−ln(1+e
e+1
)
• Với
I
2
=
e

1
1 − 2e
x
− 2e
x
ln x − xe
x
ln x
1 + xe
x
ln x
dx
=
e

1
1 + xe

x
ln x − 2(e
x
+ e
x
ln x + xe
x
ln x)
1 + xe
x
ln x
dx
=
e

1
dx − 2
e

1
d(1 + xe
x
ln x)
1 + xe
x
ln x
= x




e
1
− 2 ln |1 + xe
x
ln x|



e
1
= e − 1 − 2[ln(1 + e
e+1
) − 0]
= e − 1 − 2 ln(1 + e
e+1
)
• Do đó:
I = 1 −ln(1 + e
e+1
) + e − 1 − 2 ln(1 + e
e+1
) = e − 3 ln(1 + e
e+1
)
• Đáp số : I = e − 3 ln(1 + e
e+1
)
Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 13 Trường THPT Lê Quảng Chí
Góp nhặt trên onluyentoan.vn
2 Tài liệu tham khảo

1 Trần Văn Hạo, 2008. Giải tích 12, NXB Giáo Dục, Hà Nội.
2 Trần Phương, 2006. Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân, NXB
Tri Thức, Hà Nội.
3 Nguyễn Hữu Điển, 2001. LATEX tra cứu và soạn thảo, NXB Đại Học Quốc
Gia Hà Nội, Hà Nội.
4 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ
5 Các trang web về toán.
•
•
Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 14 Trường THPT Lê Quảng Chí
Góp nhặt trên onluyentoan.vn
Mục lục
1 Nội dung 1
1.1 Bài toán 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Bài toán 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Tài liệu tham khảo 14
Gv: Nguyễn Anh Tuấn Trang 15 Trường THPT Lê Quảng Chí