Phương pháp giải Tích phân - LTĐH

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---
TÍCH PHÂN
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
Dấu hiệu Cách chọn
2 2
a x
−
π π
 
= ∈ −
 
 
sin ; ;
2 2
Đặt x a t với t
π
 
= ∈
 
cos ; 0;hoặc x a t với t
−
2 2
x a
{ }
π π
 
= ∈ −
 
 

; ; \ 0
sin 2 2
a
Đatë x với t
t
π
π
 
 
 
 
= ∈
 
 
 
; 0. \
cos 2
a
hoặc x vơiù t
t
+
2 2
a x
π π
 
= ∈ −
 
 
tan ; ;
2 2

Đặt x a t với t
π
 
= ∈
 
cos ; 0;hoặc x a t với t
+ −
− +
a x a x
hoặc
a x a x
=
cos2Đatë x a t
− −
( )( )x a b x
= + −
2
( )sinĐatë x a b a t
+
2 2
1
a x
π π
 
= ∈ −
 
 
tan ; ;
2 2
Đặt x a t với t

Bài 1: Tính
1
2
2
2
2
1 x
I dx
x
−
=
∫
Giải:
Đặt x = cost,
;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 

⇒ = −
sindx t dt
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
1
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---

Đổi cận:

Khi đó:
0 0
2 2 2
4 4 4
2 2 2 2 2
0 0 0
2 2
2 2
sin .sin
1 1 cos sin sin 1
1
cos cos cos cos
(tan ) 1 .( 0; sin 0 sin sin )
4 4 4
0
t t
x t t t
I dx dt dt dt dt
x t t t t
t t vì t nên t t t
π π π
π π π
 
− −
= = − = = = −
 ÷
 
 

= − = − ∈ ≥ ⇒ =
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Bài 2: Tính
2
3
2
0
cos
x
I dx
x
=
∫

Giải:
Đặt x=asint,
; . cos
2 2
t dx a tdt
π π
 
∈ − ⇒ =
 
 

Đổi cận:

Khi đó:

2 2
2 2 2 2 2 2 2 4 2 2
0 0 0
4 4 4 4
2 2
2
0 0
sin (1 sin ). cos sin cos
1
sin 2 (1 cos4 ) ( sin 4 )
2
4 8 8 4 16
0
a
I x a x dx a t a t a tdt a t tdt
a a a a
td t dt t t
π π
π π
π
π
= − = − =
= = − = − =
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
2
x
2
2

4
π
t 1 0
x 0 a
t
0
2
π

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---
Bài 3: Tính
1
2 2
0
1I x x
= −
∫

Đặt x=sint,
; . cos
2 2
t dx tdt
π π
 
∈ − ⇒ =
 
 

Đổi cận:

Khi đó:
1
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0
2
0
1 1
1 sin 1 sin .cos sin cos sin 2
4 4
1 1 1
(1 cos4 ) ( sin 4 )
2
8 8 4 16
0
I x x dx t t tdt t tdt tdt
t dt t t
π π π
π
π
π
= − = − = =
= − = − =
∫ ∫ ∫ ∫
∫
Bài 4: Tính
1

3 2
0
1I x x dx
= −
∫

Giải:
Đặt
2 2 2
1 1t x t x xdx tdt
= − ⇔ = − ⇒ = −
Đổi cận:

Khi đó:

1 1 1 1
3 3
3 2 2 2 2) 2 4
0 0 0 0
1
2
1 1 (1 . . ( )
3 5 15
0
t t
I x x dx x x xdx t t t dt t t dt
 
= − = − = − = − = − =
 ÷
 

∫ ∫ ∫ ∫
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
3
x 0 1
t
0
2
π
x 0 1
t 1 0
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---
Bài 5: Tính
2
3
ln
e
e
dx
I
x x
=
∫
Giải:
Đặt
ln
dx
t x dt
x

= → =

Đổi cận:


2
2
3 3 4
1
2
1 15
( )
64
ln 4 1
e
e
dx dt
Khi đó I
x x t t
= = = − =
∫ ∫
Bài 6: Tính
2
3
0
sin cosI x xdx
π
=
∫

Giải:
Đặt t = sinx;
cosdt xdx
⇒ =

Đổi cận:


Khi đó:

1
2
3 3
0 0
1
sin cos
6
I x xdx t dt
π
= = =
∫ ∫
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
4
x e e
2
t 1 2
x
0
2
π

t 0 1
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---
Bài 7: Tính
1
3 4 4
0
( 1)I x x dx
= +
∫
Giải:
Đặt t = x
4
+1
3 3
4
4
dt
dt x dx x dx
⇒ = ⇒ =

Đổi cận:

1 2
3 4 4 4 3
0 1
2
1 1 31
( 1)

4 20 20
1
Khi đó I x x dx t dt t
 
= + = = =
 ÷
 
∫ ∫
Bài 8: Tính
12 12
0 0
sin 4
tan 4
cos4
x
I xdx dx
x
π π
= =
∫ ∫
Đặt t = cos4x;
4sin4 sin4
4
dt
dt xdx xdx
⇒ = − ⇒ = −

Đổi cận:

Khi đó:

1
1
12 12 2
1
0 0 1
2
1
sin 4 1 1 1 1
tan 4 ln ln 2
1
cos4 4 4 4 4
2
x dt dt
I xdx dx t
x t t
π π
= = = − = = =
∫ ∫ ∫ ∫
.
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
5
x 0 1
t 1 2
x
0
12
π
t
1

1
2
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---
Bài 9: Tính
2
3
0
cosI xdx
π
=
∫

Giải:
Ta có:
2 2 2
3 4 2 2
0 0 0
cos cos cos (1 sin ) cos
x
xdx xdx x dx
π π π
= = −
∫ ∫ ∫

Đặt: t = sinx;
cosdt xdx
⇒ =
Đổi cận:

2 2 2 2
3 2 2 2 2 2 4
0 0 0 0
3 5
cos (1 sin ) cos (1 ) )1 2 )
1
2 5
3 5 18
0
Khi đó I xdx x xdx t dt t t dt
t t
t
π π π π
= = − = − = − +
 
= − + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 10: Tính
4
4
0
1
cos
I dx
x
π

=
∫

Giải:
Đặt t=tanx;
2
1
cos
dt dx
x
⇒ =

Đổi cận:
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
6
x
0
2
π
t
0
1
x
0
4
π
t 0
1
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------

---

Khi đó:

1
3
4 4
2 2
4 2
0 0
6
1
1 1 4
(1 tan ) (1 )
3 3
cos cos 0
t
I dx x dx t dt t
x
π π
π
 
= = + = + = + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Bài 11: Tính
3
2
2

6
cos
sin
x
I dx
x
π
π
=
∫
Giải:
Đặt t = sinx;
cosdt xdx
⇒ =

Đổi cận:


1 1
3 2 2
2 2
2 2 2 2
1 1
6 6 2 2
1
cos (1 sin ) 1 1 1 1
cos ( 1)
1
2
sin sin

2
x x t
Khi đó I dx xdx dt dt t
t
x x t t
π π
π π
 
− −
= = = = − = − − =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 12: Tính
2
3 3
0
sin cosI x xdx
π
=
∫

Giải:
Đặt t = sinx;
cosdt xdx
⇒ =
Đổi cận:
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
7
x

6
π

2
π
t
1
2

1
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---

Khi đó:

1 1
2 2
3 3 3 2 3 2 3 5
0 0 0 0
4 6
sin cos sin (1 sin )cos (1 ) ( )
1
1
4 6 12
0
I x xdx x x xdx t t dt t t dt
t t
π π
= = − = − = −

 
= − =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 13 : Tính
2
2
sin
0
sin2
x
I e xdx
π
=
∫

Giải:
Đặt t = sin
2
x;
sin2dt xdx
⇒ =

Đổi cận:

Khi đó:
2
1
2

sin
0 0
1
sin2 1
0
x t t
I e xdx e dt e e
π
= = = = −
∫ ∫
Bài 14: Tính
2
2
0
sin2
1 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫

Giải:
Đặt t = 1+cos
2
x;
sin2 sin2dt xdx xdx dt
⇒ = − ⇒ = −

Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
8
x
0
2
π
t 0
1
x
0
2
π
t 0
1
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---
Đổi cận:


1 2
2
2
0 2 1
2
sin2
(ln ln2.
1 cos 1
x dt dt
Khi đó I dx t

t t
x
π
= = − = = =
+
∫ ∫ ∫
Bài 15: Tính
4
3
0
tanI xdx
π
=
∫
Giải:
Đặt t = tanx
2 2
2
(1 tan ) (1 )
1
dt
dt x dx t dt dx
t
⇒ = + = + ⇒ =
+

Đổi cận

Khi đó:
1 1 1 1 1

3 2 2
4
3
2 2 2 2
0 0 0 0 0 0
2
1
1 2 1 ( 1)
tan ( )
2 2 2
1 1 1 0 1
1
1 1 1 1 1
ln( 1) ln2 (1 ln 2)
2 2 2 2 2
0
t t t t d t
I xdx dt t dt tdt dt
t t t t
t
π
+
= = = − = = − = −
+ + + +
= − + = − = −
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Bài 16: Tính
1
0
1

1
I dx
x
=
+
∫
Giải:
Đặt t =
2
; 2x t x dx tdt
⇒ = ⇒ =

Đổi cận:
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
9
x
0
2
π
t 2
1
x
0
4
π
t 0
1
x 0 1
t 0
1

ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---

1 1 1
0 0 0
1
1 1
2 2 1 2( ln 1 2(1 ln2).
1 1
0
1
t
Khi đó I dx dt dt t t
t t
x
 
= = = − = − + = −
 ÷
+ +
+
 
∫ ∫ ∫
Bài 17: Tính
1
3
3 4
0
1I x x dx
= −

∫
Giải:
Đặt
3
4 3 4 3 2
3
1 1
4
t x t x x dx t dt
= − ⇒ = − ⇒ = −

Đổi cận:


Khi đó:
1 1
3
3 4 3 4
0 0
1
3 3 3
1
4 16 16
0
I x x dx t dt t
= − = = =
∫ ∫

Bài 18: Tính
0

2
1
1
2 4
dx
x x
−
+ +
∫
Giải:
Ta có:
0 0
2
2 2
1 1
1 1
2 4
( 1) ( 3)
dx dx
x x
x
− −
=
+ +
+ +
∫ ∫

Đặt :
2
1 3 tan ; . 3(1 tan )

2 2
x t với t dx t dt
π π
 
+ = ∈ − ⇒ = +
 ÷
 

Đổi cận:
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
10
x 0 1
t 1
0
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---


Khi đó:
0
6
2
1 0
1 3 3 3
3 3 6 18
2 4
0
I dx dt
x x

π
π π
−
= = = =
+ +
∫ ∫
Bài 19: Tính
1
3
0
1
s
x
I dx
x
=
+
∫

Giải:
Ta có:
1 1
3 3
4 2
0 0
1 1 ( )
s
x x
dx
x x

=
+ +
∫ ∫
Đặt x
4
= tant với

3 2
1
; ; (1 tan )
2 2 2 2 4
t vơiù t x dx t dt
π π π π
   
−
∈ − ∈ ⇒ = +
 ÷  ÷
   
Đổi cận:

Khi đó:
2
1 1
3 3 2
4
6 2
4)
0 0 0
1 1 tan 1
4 4 4 16

1 1 tan
1 (
0
x x t
I dx dx dt t
x t
x
π
π π
+
= = = = =
+ +
+
∫ ∫ ∫

Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
11
x -1 0
t
0
6
π
x 0 0
t
0
4
π
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---

Bài 20: Tính
1
1 ln
e
x
I dx
x
+
=
∫
Giải:
Đặt t = ln(2-x)
2
dx
dt
x
−
⇒ =
−

Đổi cận:

Khi đó:
2 2
3
2
1 1 1
1 ln 2(2 2 1)
2
.2 2 2

3 3
1
e
x t
I dx t tdt t dt
x
+ −
= = = = =
∫ ∫ ∫
Bài 21: Tính
1
0
ln(2 )
2
x
I dx
x
−
=
−
∫
Giải:
Đặt
ln(2 )
2
dx
t x dt
x
−
= − ⇒ =

−

Đổi cận:
Khi đó:

1 0 ln2
2 2
0 ln2 0
ln2
ln(2 ) ln 2
2 2 2
0
x t
I dx tdt tdt
x
−
= = − = = =
−
∫ ∫ ∫
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
12
x 1 e
t
1
2
x 1 1
t Ln2
0
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------

---
Bài 22: Tính
2
2
0
cos
1 sin
x
I dx
x
π
=
+
∫
Giải:
Đặt
2
sin tan ; cos (1 tan )
2 2
x t với t xdx t dt
π π
 
= ∈ − ⇒ = +
 ÷
 
Đổi cận:

Khi đó:
2
2 4 4

2 2
0 0 0
cos 1 tan
4
1 sin 1 tan
x t
I dx dt dt
x t
π π π
π
+
= = = =
+ +
∫ ∫ ∫
Bài 23: Tính
2
3
1
sin
I dx
x
π
π
=
∫
Giải:
Đặt
2
2
1 2

tan 1 tan
2 2 2
1
x x tdt
t dt dx dx
t
 
= ⇒ = + ⇒ =
 ÷
+
 
Ta tính :

2
2
1 1 2 1
.
2
sin
1
1
tdt
dx dt
t
x t
t
t
= =
+
+

Đổi cận:
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
13
x
0
2
π
t
0
4
π
x
3
π

2
π
t
3
3

1
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---
Khi đó:
1
2
3
3

3
1
1 1 3 1
(ln ) ln ln3
3
sin 3 2
3
I dx dt t
x t
π
π
= = = = − =
∫ ∫
Bài 24: Tính
1
1
(1 ln )
e
I dx
x x
=
+
∫
Giải:
Đặt
1 ln
dx
t x dt
x
= + ⇒ =

Đổi cận:
Khi đó:
2
1 1
2
1
ln ln2
(1 ln )
1
e
dt
I dx t
x x t
= = = =
+
∫ ∫
Bài 25: Tính
3
1
5
0
x
I x e dx
=
∫
Giải:
Đặt
3 2 2
3
3

dt
t x dt x dx x dx
= ⇒ = ⇒ =
Đổi cận:
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
14
x 1 e
t 1
2
x 0 1
t 0
1
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---
Khi đó:
3
1 1 1
5
0 0 0
1 1
1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3
0 0
x t t t t
e
I x e dx te dt te e dt e
= = = − = − =
∫ ∫ ∫
Bài 26: Tính

1 5
2
2
4 2
1
1
1
x
I dx
x x
+
+
=
− +
∫
Giải:
Ta có:
1 5 1 5 1 5
2 2
2 2 2
2
4 2 2
2
1 1 1
2
1
1
1
1
1

1
1
1
1
1
x x
x
dx dx dx
x x
x
x
x
x
+ + +
 
+
+
 ÷
+
 
= =
− +
 
− +
− +
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Đặt
2

1 1
1t x dt dx
x
x
 
= − ⇒ = +
 ÷
 
Đổi cận:
Khi đó:
1
2
0
1
dt
I
t
=
+
∫
Đặt
2
tan (1 tan )t u dt u du
= ⇒ = +
Đổi cận:
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
15
x
1
1 5

2
+

t 0
1
x 0 1
t
0
4
π
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---
1
2
4 4
2 2
0 0 0
1 tan
4 4
1 1 tan
0
dt u
Vậy I du du u
t u
π π
π π
+
= = = = =
+ +

∫ ∫ ∫
Bài 27: Tính
2
3
1
1
dx
I
x x
=
+
∫
Giải:
Ta có:
2 2
2
3 3 3
1 1
1 1
dx x dx
x x x x
=
+ +
∫ ∫
Đặt
3 2 3 2 2
2
1 1 2 3
3
tdt

t x t x tdt x dx x dx= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =

Đổi cận:
2 2 3 3
2
2
3 3 3
1 1
2 2
2
2 1 1 1
3 3 1 1
1
1 1
3 3
1 1 1 1 1 2 1 1 1
(ln 1 ln 1) ln ln ln ln
3 3 1 3 2 3
2 2
2 1 ( 2 1)
dx x dx dt
Khi đó I dt
t t
t
x x x x
t
t t
t
 
= = = = −

 ÷
− +
−
 
+ +
 
 
− −
= − − + = = − =
 ÷
 ÷
 ÷
+
+ −
 
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 28: Tính
2
2
2
0
3
2 1
x
I dx
x x
=
+ +
∫

Giải:
Ta có:
2 2
3 2
2 2
0 0
3 3
2 1 ( 1)
x x
I dx dx
x x x
= =
+ + +
∫ ∫
Đặt t = x+1
dt dx
⇒ =
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
16
x 1 2
t
2

3
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---
Đổi cận:
Khi đó:
2 2 3 3

3 3 3 3 2
2 2 2 2
0 0 1 1
3
2
2 2 2
1
3 3 3( 1) 3( 3 3 1)
2 1 ( 1)
3
9 1 3
3 9 3 3 9 9ln 3 (3 1 ) 9(3 1) 9(ln3 ln1) 1 3 9ln3 8
2 2
1
x x t t t t
I dx dx dt dt
x x x t t
t
t t dt t t
t t
−
− − + −
= = = =
+ + +
 
 
= − + − = − + + = − − − + − + − = −
 ÷
 ÷
 

 
∫ ∫ ∫ ∫
∫
Bài 29: Tính
ln2
2
2
0
3
3 2
x x
x x
e e
I dx
e e
+
=
+ +
∫
Giải:
Đặt
x x
t e dt e dx
= ⇒ =
Đổi cận:
Khi đó:
ln2 ln2 2 2
2
2 2 2
0 0 1 1

2 2
1 1
2 3 3 3 2 1
1 2
3 2 3 2 3 2
2 2
1 1
2 2ln 1 ln 2 2(ln3 ln2) (ln 4 ln3)
1 2
1 1
3 4 9 4 27
2ln ln ln ln ln
2 3 4 3 16
x x x
x x x x
e e t
I dx dx dt dt
t t
e e e e t t
dt dt t t
t t
 
+ + +
= = = = −
 ÷
+ +
+ + + + + +
 
= − = + − + = − − −
+ +

= − = − =
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
Bài 30: Tính
4
1
(1 )
dx
I
x x
=
+
∫
Giải:
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
17
x 0 2
t 2
3
x 0 ln2
t 1
2
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---
Đặt
2
2x t dx tdt
= ⇒ =
Đổi cận:

Khi đó:

4 2 2 2
2
1 1 1 1
2 1 1
2 2
(1 ) 1
(1 )
(1 )
2
2 1 4
2(ln ln 1 2 ln ln 2ln
3 2 3
1
dx tdt dt
I dt
t t t t
t t
x x
t t
 
= = = = −
 ÷
+ +
+
+
 
 
= − + = − =

 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 31: Tính
1
2 3
0
(1 )I x dx
= −
∫
Giải:
Đặt
sin , 0; cos
2
x t t dx tdt
π
 
= ∈ ⇒ =
 
 
Đổi cận:
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
18
x 1 4
t 1
2
x 0 1
t
0
2

π
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---
ù
2
1
2 2 2 2
2 3 2 3 3 4
0 0 0 0 0
2 2 2 2
2 2
0 0 0 0
1 cos2
(1 ) (1 sin ) .cos cos cos cos
2
1 1 1 1
(1 2 cos2 cos 2 ) cos2 2cos 2
4 4 2 8
t
I x dx t tdt t tdt tdt dt
t t dt dt tdt tdt
π π π π
π π π π
 
+
= − = − = = =
 ÷
 
= + + = + +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
2 2 2
2
0
0 0 0
1 1 sin2 1 1 1 1 sin 4
. . (1 cos4 ) cos4 .
4 2 2 2 8 8 8 8 8 16 8 4 2
0
3
8 16 16
t t
t dt dt tdt
π π π
π
π π π π π
π π π
= + + + = + + = + +
= + =
∫ ∫ ∫
Bài 32: Tính
2
3
6
cosI xdx
π
π
=
∫

Giải:
2 2 2 2
3 2 2 2
6 6 6 6
3
cos cos cos (1 sin )cos (1 sin ) (sin )
sin 1 1 1 5
sin 1
3 2 3 2 24 24
6
I xdx x xdx x xdx x d x
x
x
π π π π
π π π π
π
π
= = = − = −
 
= − = − − + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 33: Tính
4
4 4
0
sin4
sin cos
x

I
x x
π
=
∫
Giải:
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
19
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---
4 4 4 4
4 4 4 4 2 2
2
0 0 0 0
4
2 2
2
0
sin 4 2sin2 cos2 2sin2 cos2 2sin2 cos2
1
sin cos sin cos 1 2sin cos
1 sin
2
1 1 1 1
(1 sin 2 ) ln 1 sin 2 ln ln2
1
2 2 4 2
1 sin 2
2

0
x x x x x x x
I dx dx dx dx
x x x x x x
x
d x x
x
π π π π
π
π
= = = =
+ + −
−
−
= − = − − = − =
−
∫ ∫ ∫ ∫
∫
Bài 34: Tính
3
2
4
cos
1 sin
x
I dx
x
π
π
=

+
∫
Giải:
( )
3 2 2
2 2 2 2
4 4 4 4
2 2 2
4 4 4
cos cos (1 sin )
cos cos (1 sin )cos
1 sin 1 sin 1 sin
1 1 3 2 2
cos cos sin ) cos sin2 sin sin2
2 4 2 4
4
x x x
I dx xdx xdx x xdx
x x x
x x x dx xdx xdx x x
π π π π
π π π π
π π π
π π π
π
π
−
= = = = −
+ + +
 

−
= − = − = + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Bài 35: Tính
2
4
sin cos
sin cos
x x
I dx
x x
π
π
 
−
=
 ÷
+
 
∫
Giải
2 2
4 4
sin cos (sin cos )
(ln sin cos ln 2
sin cos sin cos 2
4

x x d x x
I dx x x
x x x x
π π
π π
π
π
 
− − +
= = = − + =
 ÷
+ +
 
∫ ∫
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
20
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---
Bài 36: Tính
2
3
0
sinI xdx
π
=
∫
Giải:
3
2 2 2

3 2 2
0 0 0
cos 1 2
sin sin sin (1 cos ) (cos ) cos 1
2
3 3 3
0
x
I xdx x xdx x d x x
π π π
π
 
= = = − − = − − = − =
 ÷
 
∫ ∫ ∫
Bài 37:Tính
cos3
sin
x
I dx
x
=
∫
Giải:
3 2 2
2
cos3 4 cos 3cos (4 cos 3) 4(1 sin ) 3
cos . (sin )
sin sin sin sin

1 1
4sin (sin ) 4. sin ln(sin ) sin2
sin 2
x x sx x x
I dx dx xdx d x
x x x x
x d x x x C x x C
x
− − − −
= = = =
 
= − + = − + + = + +
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
∫
Bài 38: Tính
sin3
sin
x
I dx
x
=
∫
Giải:
3
2
sin3 3sin 4sin 1
(3 4sin ) 3 2 (1 cos2 ) 3 2 2. sin2
sin sin 2

sin2
x x x
I dx dx x dx x x dx x x x C
x x
x x C
−
= = = − = − − = − + +
= + +
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 39: Tính
1
4 2
0
1
x
I dx
x x
=
+ +
∫
Giải:
Đặt
= ⇒ =
2
2t x dt xdx
Đổi cận:
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
21
x 0 1
t 0

1
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---
Khi đó:
1 1
4 2 2
0 0
1
2
1
1 3
2 4
x dt
I dx
x x
t
= =
+ +
 
+ +
 ÷
 
∫ ∫
Đặt
= + ⇒ =
1
2
y t dy dt
Đổi cận:

Khi đó:
3
1
2
2 2
1
0
2
2
1 1
2 2
1 3
3
2 4
4
dt dy
I
t
y
= =
   
+ +
+
 ÷  ÷
 ÷
 
 
∫ ∫
Đặt z =
⇒ =

3 2
4
3
y dz dy

Đổi cận:
Khi đó:
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
22
t 0 1
y
1
2

3
2
y
1
2

3
2

z
1
3

3
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------

---
3
3 3
2
2 2
2
1 1 1
2
2
3 3
1 3 1
3 3
2 4
1
3
3
4 4
4
dy dz dz
I
z
z
y
= = =
+
 
+
+
 ÷
 ÷

 
∫ ∫ ∫
Đặt
= ⇒ = +
2
tan (1 tan )z u dz u du
Đổi cận:
Ta được:
3
2
3
2 2
1
6
3
1 1 1 tan 1
3
1 1 tan
3 3 3 6 3
6
dz u
I du u
z u
π
π
π π
π
+
= = = =
+ +

∫ ∫
Bài 40: Tính
1
2
0
(2 1)
x
I dx
x
=
+
∫
Giải:
Đặt
−
= + ⇔ = ⇒ =
1
2 1
2 2
t dt
t x x dx
Đổi cận:
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
23
z
1
3

3

u
6
π

3
π
x 0 1
t
1

3
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------
---
Khi đó:
1 3 3
2 2 2
0 1 1
1
3
1 1 1 1 1 1 2
2
. ln ln3
2 4 4 4 3
(2 1) 1
t
x dt
I dx dt t
t t
x t t

−
     
= = = − = + = −
 ÷  ÷  ÷
+
     
∫ ∫ ∫
Bài 41: Tính
0
2 9
1
( 1)I x x dx
−
= +
∫
Giải:
Đặt
= + ⇒ =
1t x dt dx
Đổi cận :
Khi đó:
0 1 1 1
2 9 2 9 2 9 11 10 9
1 0 0 0
12 11 10
( 1) ( 1) ( 2 1) ( 2 )
1
1 2 1 1
2
12 11 10 12 11 10 660

0
I x x dx t t dt t t t dt t t t dt
t t t
−
= + = − = − + = − +
 
= − = = − + =
 ÷
 
∫ ∫ ∫ ∫
Bài 42: Tính
2
0
1 cos
dx
I
x
π
=
+
∫
Giải:
2 2 2
2 2
0 0 0
2
tan 1
1 cos 2 2
2cos cos
2 2

0
x
d
dx dx x
I
x x
x
π π π
π
 
 ÷
 
= = = = =
+
∫ ∫ ∫
Bài 43: Tính
1
15 8
. 1 3 .I x x dx
= +
∫
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
24
x -1 0
t
0

1
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------

---
Giải:
Ta có:
1 1
15 8 8 8 7
0 0
. 1 3 . 1 3 .x x dx x x x dx
+ = +
∫ ∫
Đặt
= + ⇒ = ⇒ =
8 7
1 3 24
24
dt
t x dt x dx dx
Đổi cận:
Khi đó:
1 1 4
15 8 8 8 7
0 0 1
5 3
4
3 1
2 2
2 2
1
1 1
. 1 3 . . 1 3 . . .
3 24

4
1 1 29
5 3
72 72 270
1
2 2
t
I x x dx x x x dx t dt
t t
t t dt
−
= + = + =
 
 ÷
 
= − = − =
 ÷
 ÷
 ÷
 ÷
 
 ÷
 
∫ ∫ ∫
∫
Bài 44: Tính
1
3
2
0

1
x
I dx
x x
=
+ +
∫
Giải:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
(
)
3 2 3 2
1 1 1 1
3
3 2 4
2 2
2
2 2
0 0 0 0
1 1 1 1
5
3 2 4 2 2 2 2

0 0 0 0
1 1
1
1
1
1 1
1
1
1 1. 1.
5 5
0
x x x x x x
x
I dx dx dx x x x dx
x x
x x
x x x x
x
x x dx x dx x x xdx x x xdx
+ − + −
= = = = + −
+ −
+ +
+ + + −
= + − = + = = + −
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
Đặt
= + ⇒ =
2

1 2t x dt xdx
Gv: Trần Quang Thuận Tel: 0912.676.613 – 091.5657.952
25
x 0 1
t
1

4