Phương pháp giải Tích phân

I HC S PHM H NI Phửụng phaựp giaỷi tớch phaõn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
TCH PHN
CễNG THC
Bng nguyờn hm
Nguyờn hm ca nhng
hm s s cp thng gp
Nguyờn hm ca nhng hm s
thng gp
Nguyờn hm ca nhng
hm s hp
Cxdx
+=

( )
1
1
1
+
+
=
+





C
x
dxx
( )

0ln
+=

xCx
x
dx
Cedxe
xx
+=

( )
10
ln
<+=

aC
a
a
dxa
x
x
Cxxdx
+=

sincos
Cxxdx
+=

cossin
Cxdx

x
+=

tan
cos
1
2
Cxdx
x
+=

cot
sin
1
2
( ) ( )
Cbax
a
baxd
++=+

1
( )
( )
( )
1
1
1
1
+

+
+
=+
+





C
bax
a
dxbax
( )
0ln
1
++=
+

xCbax
abax
dx
Ce
a
dxe
baxbax
+=
++

1

( ) ( )
Cbax
a
dxbax
++=+

sin
1
cos
( ) ( )
Cbax
a
dxbax
++=+

cos
1
sin
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++=
+

tan
1
cos

1
2
( )
( )
Cbax
a
dx
bax
++=
+

cot
1
sin
1
2
Cudu
+=

( )
1
1
1
+
+
=
+

C
u
duu
( )
0ln
+=

uCu
u
du
Cedue
uu
+=

( )
10
ln
<+=

aC
a
a
dxa
u
u
Cuudu
+=

sincos
Cuudu
+=

cossin
Cudu
u
+=

tan
cos
1
2
Cudu
u
+=

cot
sin
1
2
I. I BIN S
TểM TT GIO KHOA V PHNG PHP GII TON
1. i bin s dng 1
tớnh tớch phõn
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx
ũ

ta thc hin cỏc bc sau:
Bc 1. t t = u(x) v tớnh
/
dt u (x)dx=
.
Bc 2. i cn:
x a t u(a) , x b t u(b)= ị = = a = ị = = b
.
Bc 3.
b
/
a
f[u(x)]u (x)dx f(t)dt
b
a
=
ũ ũ
.
Vớ d 7. Tớnh tớch phõn
2
e
e
dx
I
xlnx
=
ũ
.
Gii
t

dx
t lnx dt
x
= ị =
2
x e t 1, x e t 2= ị = = ị =
2
2
1
1
dt
I ln t ln2
t
ị = = =
ũ
.
Vy
I ln2=
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trn Quang Thun Tel:0912.676.613-- 091.5657.952
1
I HC S PHM H NI Phửụng phaựp giaỷi tớch phaõn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vớ d 8. Tớnh tớch phõn
4
3
0
cosx
I dx

(sinx cosx)
p
=
+
ũ
.
Hng dn:
4 4
3 3 2
0 0
cosx 1 dx
I dx .
(sinx cosx) (tanx 1) cos x
p p
= =
+ +
ũ ũ
. t
t tan x 1= +
S:
3
I
8
=
.
Vớ d 9. Tớnh tớch phõn
3
1
2
dx

I
(1 x) 2x 3
=
+ +
ũ
.
Hng dn:
t
t 2x 3= +
S:
3
I ln
2
=
.
Vớ d 10. Tớnh tớch phõn
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=
+
ũ
.
Hng dn:
t
3
2

2 2
1
3 x t dt
t 8
1 x
(t 1)
-
= ị
+
+
ũ
L
; t
t tanu= L
S:
I 3 2
3
p
= - +
.
Chỳ ý:
Phõn tớch
1
0
3 x
I dx
1 x
-
=
+

ũ
, ri t
t 1 x= +
s tớnh nhanh hn.
2. i bin s dng 2
Cho hm s f(x) liờn tc trờn on [a;b], tớnh
( )
b
a
f x dx

ta thc hin cỏc bc sau:
Bc 1. t x = u(t) v tớnh
/
( )dx u t dt=
.
Bc 2. i cn:
, x a t x b t

= = = =
.
Bc 3.
/
( ) [ ( )] ( ) ( )
b
a
f x dx f u t u t dt g t dt


= =

.
Vớ d 1. Tớnh tớch phõn
1
2
2
0
1
I dx
1 x
=
-
ũ
.
Gii
t
x sin t, t ; dx costdt
2 2
p p
ộ ự
= ẻ - ị =
ờ ỳ
ở ỷ
1
x 0 t 0, x t
2 6
p
= ị = = ị =
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trn Quang Thun Tel:0912.676.613-- 091.5657.952

2
I HC S PHM H NI Phửụng phaựp giaỷi tớch phaõn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6 6
2
0 0
cost cost
I dt dt
cost
1 sin t
p p
ị = =
-
ũ ũ
6
6
0
0
dt t 0
6 6
p
p
p p
= = = - =
ũ
. Vy
I
6
p
=

.
Vớ d 2. Tớnh tớch phõn
2
2
0
I 4 x dx= -
ũ
.
Hng dn:
t
x 2sint=
S:
I = p
.
Vớ d 3. Tớnh tớch phõn
1
2
0
dx
I
1 x
=
+
ũ
.
Gii
t
2
x tant, t ; dx (tan x 1)dt
2 2

ổ ử
p p
ữ
ỗ
= ẻ - ị = +
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= ị = = ị =
4 4
2
2
0 0
tan t 1
I dt dt
4
1 tan t
p p
+ p
ị = = =
+
ũ ũ
.
Vy

I
4
p
=
.
Vớ d 4. Tớnh tớch phõn
3 1
2
0
dx
I
x 2x 2
-
=
+ +
ũ
.
Hng dn:
3 1 3 1
2 2
0 0
dx dx
I
x 2x 2 1 (x 1)
- -
= =
+ + + +
ũ ũ
.
t

x 1 tant+ =
S:
I
12
p
=
.
Vớ d 5. Tớnh tớch phõn
2
2
0
dx
I
4 x
=
-
ũ
.
S:
I
2
p
=
.
Vớ d 6. Tớnh tớch phõn
3 1
2
0
dx
I

x 2x 2
-
=
+ +
ũ
.
S:
I
12
p
=
.
3. Cỏc dng c bit
3.1. Dng lng giỏc
Vớ d 11 (bc sin l). Tớnh tớch phõn
2
2 3
0
I cos x sin xdx
p
=
ũ
.
Hng dn:
t
t cosx=
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trn Quang Thun Tel:0912.676.613-- 091.5657.952
3
I HC S PHM H NI Phửụng phaựp giaỷi tớch phaõn

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
S:
2
I
15
=
.
Vớ d 12 (bc cosin l). Tớnh tớch phõn
2
5
0
I cos xdx
p
=
ũ
.
Hng dn:
t
t sinx=
S:
8
I
15
=
.
Vớ d 13 (bc sin v cosin chn). Tớnh tớch phõn
2
4 2
0
I cos x sin xdx

p
=
ũ
.
Gii
2 2
4 2 2 2
0 0
1
I cos x sin xdx cos x sin 2xdx
4
p p
= =
ũ ũ
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos4x)dx cos2xsin 2xdx
16 4
p p
= - +
ũ ũ
2 2
2
0 0
1 1
(1 cos4x)dx sin 2xd(sin2x)
16 8
p p

= - +
ũ ũ
3
2
0
x 1 sin 2x
sin4x
16 64 24 32
p
ổ ử
p
ữ
ỗ
= - + =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Vy
I
32
p
=
.
Vớ d 14. Tớnh tớch phõn
2
0
dx

I
cosx sin x 1
p
=
+ +
ũ
.
Hng dn:
t
x
t tan
2
=
.
S:
I ln2=
.
Biu din cỏc hm s LG theo tan
2
a
t = :
2
2 2 2
2 1 2
sin ; cos ; tan .
1 1 1
t t t
a a a
t t t

= = =
+ +
3.2. Dng liờn kt
Vớ d 15. Tớnh tớch phõn
0
xdx
I
sinx 1
p
=
+
ũ
.
Gii
t
x t dx dt= p - ị = -
x 0 t , x t 0= ị = p = p ị =
( )
0
0
( t)dt
t
I dt
sin( t) 1 sin t 1 sint 1
p
p
p -
p
ị = - = -
p - + + +

ũ ũ
0 0
dt dt
I I
sin t 1 2 sin t 1
p p
p
= p - ị =
+ +
ũ ũ
( )
( )
2
2
0 0
dt dt
t
t t
2 4
cos
sin cos
2 4
2 2
p p
p p
= =
p
-
+
ũ ũ

2
0
0
t
d
2 4 t
tan
2 t 2 2 4
cos
2 4
p
p
ổ ử
p
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ổ ử
ố ứ
p p p
ữ
ỗ
= = - = p
ữ
ỗ

ữ
ữ
ỗ
ổ ử
ố ứ
p
ữ
ỗ
-
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
ũ
.
Vy
I = p
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trn Quang Thun Tel:0912.676.613-- 091.5657.952
4
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phöông phaùp giaûi tích phaân
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Tổng quát:
0 0
xf(sinx)dx f(sin x)dx
2
p p

p
=
ò ò
.
Ví dụ 16. Tính tích phân
2
2007
2007 2007
0
sin x
I dx
sin x cos x
p
=
+
ò
.
Giải
Đặt
x t dx dt
2
p
= - Þ = -
x 0 t , x t 0
2 2
p p
= Þ = = Þ =
( )
( ) ( )
2007

0
2007 2007
2
sin t
2
I dx
sin t cos t
2 2
p
p
-
Þ = -
p p
- + -
ò
2
2007
2007 2007
0
cos t
dx J
sin t cos t
p
= =
+
ò
(1).
Mặt khác
2
0

I J dx
2
p
p
+ = =
ò
(2). Từ (1) và (2) suy ra
I
4
p
=
.
Tổng quát:
2 2
n n
n n n n
0 0
sin x cos x
dx dx ,n
sin x cos x sin x cos x 4
p p
+
p
= = Î
+ +
ò ò
Z
.
Ví dụ 17. Tính tích phân
6

2
0
sin x
I dx
sin x 3cosx
p
=
+
ò
và
6
2
0
cos x
J dx
sin x 3cosx
p
=
+
ò
.
Giải
I 3J 1 3- = -
(1).
( )
6 6
0 0
dx 1 dx
I J dx
2

sin x 3cosx
sin x
3
p p
+ = =
p
+
+
ò ò
Đặt
t x dt dx
3
p
= + Þ =
⇒
1
I J ln3
4
+ =
(2).
Từ (1) và (2)⇒
3 1 3 1 1 3
I ln3 , J ln3
16 4 16 4
- -
= + = -
.
Ví dụ 18. Tính tích phân
1
2

0
ln(1 x)
I dx
1 x
+
=
+
ò
.
Giải
Đặt
2
x tant dx (1 tan t)dt= Þ = +
x 0 t 0, x 1 t
4
p
= Þ = = Þ =
( )
4 4
2
2
0 0
ln(1 tant)
I 1 tan t dt ln(1 tant)dt
1 tan t
p p
+
Þ = + = +
+
ò ò

.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel:0912.676.613-- 091.5657.952
5
I HC S PHM H NI Phửụng phaựp giaỷi tớch phaõn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
t
t u dt du
4
p
= - ị = -
t 0 u , t u 0
4 4
p p
= ị = = ị =
0
4
0
4
I ln(1 tant)dt ln 1 tan u du
4
p
p
ộ ổ ửự
p
ữ
ỗ
ờ ỳ
ị = + = - + -
ữ

ỗ
ữ
ữ
ỗ
ờ ỳ
ố ứ
ở ỷ
ũ ũ
4 4
0 0
1 tanu 2
ln 1 du ln du
1 tanu 1 tanu
p p
ổ ử ổ ử
-
ữ ữ
ỗ ỗ
= + =
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
+ +
ũ ũ
( )
4 4
0 0

ln2du ln 1 tanu du ln2 I
4
p p
p
= - + = -
ũ ũ
.
Vy
I ln2
8
p
=
.
Vớ d 19. Tớnh tớch phõn
4
x
4
cosx
I dx
2007 1
p
p
-
=
+
ũ
.
Hng dn:
t
x t= -

S:
2
I
2
=
.
Tng quỏt:
Vi
a > 0
,
0a >
, hm s
f(x)
chn v liờn tc trờn on
[ ]
; - a a
thỡ
x
0
f(x)
dx f(x)dx
a 1
a a
- a
=
+
ũ ũ
.
Vớ d 20. Cho hm s f(x) liờn tc trờn
Ă

v tha
f( x) 2f(x) cosx- + =
.
Tớnh tớch phõn
2
2
I f(x)dx
p
p
-
=
ũ
.
Gii
t
2
2
J f( x)dx
p
p
-
= -
ũ
,
x t dx dt= - ị = -
x t , x t
2 2 2 2
p p p p
= - ị = = ị = -
[ ]

2 2
2 2
I f( t)dt J 3I J 2I f( x) 2f(x) dx
p p
p p
- -
ị = - = ị = + = - +
ũ ũ
2 2
0
2
cosxdx 2 cosxdx 2
p p
p
-
= = =
ũ ũ
.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trn Quang Thun Tel:0912.676.613-- 091.5657.952
6
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Phương pháp giải tích phân
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Vậy
2
I
3
=
.
3.3. Các kết quả cần nhớ

i/ Với
a > 0
, hàm số
f(x)
lẻ và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
a
a
f(x)dx 0
-
=
ò
.
ii/ Với
a > 0
, hàm số
f(x)
chẵn và liên tục trên đoạn [–a; a] thì
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
-
=
ò ò
.
iii/ Cơng thức Walliss (dùng cho trắc nghiệm)
2 2
n n
0 0
(n 1)!!
,

n!!
cos xdx sin xdx
(n 1)!!
. ,
n!! 2
p p
ì
-
ï
ï
ï
ï
ï
= =
í
ï
-
p
ï
ï
ï
ï
ỵ
ò ò
nếu n lẻ
nếu n chẵn
.
Trong đó
n!! đọc là n walliss và được định nghĩa dựa vào n lẻ hay chẵn. Chẳng hạn:
0!! 1; 1!! 1; 2!! 2; 3!! 1.3; 4!! 2.4; 5!! 1.3.5;= = = = = =

6!! 2.4.6; 7!! 1.3.5.7; 8!! 2.4.6.8; 9!! 1.3.5.7.9; 10!! 2.4.6.8.10= = = = =
.
Ví dụ 21.
2
11
0
10!! 2.4.6.8.10 256
cos xdx
11!! 1.3.5.7.9.11 693
p
= = =
ò
.
Ví dụ 22.
2
10
0
9!! 1.3.5.7.9 63
sin xdx . .
10!! 2 2.4.6.8.10 2 512
p
p p p
= = =
ò
.
II. TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
1. Cơng thức
Cho hai hàm số
u(x), v(x)
liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có

( ) ( )
/ / / /
/ /
uv u v uv uv dx u vdx uv dx= + Þ = +
( )
b b b
a a a
d uv vdu udv d(uv) vdu udvÞ = + Þ = +
ò ò ò
b b b b
b b
a a
a a a a
uv vdu udv udv uv vd = + Þ = -
ò ò ò ò
.
Cơng thức:
b b
b
a
a a
udv uv vdu= -
ò ò
(1).
Cơng thức (1) còn được viết dưới dạng:
b b
b
/ /
a
a a

f(x)g (x)dx f(x)g(x) f (x)g(x)dx= -
ò ò
(2).
2. Phương pháp giải tốn
Giả sử cần tính tích phân
b
a
f(x)g(x)dx
ò
ta thực hiện
Cách 1.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trần Quang Thuận Tel:0912.676.613-- 091.5657.952
7
I HC S PHM H NI Phửụng phaựp giaỷi tớch phaõn
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bc 1. t
u f(x), dv g(x)dx= =
(hoc ngc li) sao cho d tỡm nguyờn hm
v(x)
v vi phõn
/
du u (x)dx=
khụng quỏ phc tp. Hn na, tớch phõn
b
a
vdu
ũ
phi tớnh c.
Bc 2. Thay vo cụng thc (1) tớnh kt qu.

c bit:
i/ Nu gp
b b b
ax
a a a
P(x)sinaxdx, P(x)cosaxdx, e .P(x)dx
ũ ũ ũ
vi P(x) l a thc thỡ t
u P(x)=
.
ii/ Nu gp
b
a
P(x)ln xdx
ũ
thỡ t
u lnx=
.
Cỏch 2.
Vit li tớch phõn
b b
/
a a
f(x)g(x)dx f(x)G (x)dx=
ũ ũ
v s dng trc tip cụng thc (2).
Vớ d 1. Tớnh tớch phõn
1
x
0

I xe dx=
ũ
.
Gii
t
x
x
u x
du dx
dv e dx
v e
=
=
ỡ
ỡ
ù
ù
ù ù
ị
ớ ớ
=
ù ù
=
ù
ùợ
ợ
(chn
C 0=
)
1 1

1
1
x x x x
0
0
0 0
xe dx xe e dx (x 1)e 1ị = - = - =
ũ ũ
.
Vớ d 2. Tớnh tớch phõn
e
1
I x ln xdx=
ũ
.
Gii
t
2
dx
du
u lnx
x
dv xdx
x
v
2
ỡ
ù
=
ù

=
ỡ
ù
ù
ù ù
ị
ớ ớ
ù ù
=
ù ù
ợ
=
ù
ù
ợ
e e
e
2 2
1
1 1
x 1 e 1
xln xdx ln x xdx
2 2 4
+
ị = - =
ũ ũ
.
Vớ d 3. Tớnh tớch phõn
2
x

0
I e sin xdx
p
=
ũ
.
Gii
t
x x
u sinx
du cosxdx
dv e dx v e
=
=
ỡ
ỡ
ùù
ù ù
ị
ớ ớ
ù ù
= =
ù ù
ợ
ợ
2 2
x x x
2
2
0

0 0
I e sinxdx e sin x e cosxdx e J
p p
p
p
ị = = - = -
ũ ũ
.
t
x
x
u cosx
du sin xdx
dv e dx
v e
=
= -
ỡ
ỡ
ù
ù
ù ù
ị
ớ ớ
=
ù ù
=
ù
ùợ
ợ

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Gv: Trn Quang Thun Tel:0912.676.613-- 091.5657.952
8