Phương pháp biến đổi tích phân giải các bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRIỆU THỊ MẬN
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH
PHÂN GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN CỦA
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
TRIỆU THỊ MẬN
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH
PHÂN GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN CỦA
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60 46 36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Giáo viên hướng dẫn:
TS NGUYỄN VĂN NGỌC
Thái Nguyên - 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mục lục
Mở đầu 3
1 BIẾN ĐỔI FOURIER 5
1.1 Một số kiến thức bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Không gian L
p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Các bất đẳng thức và các định lý về tích phân . . . . . . . . . . 6
1.1.3 Biến phân bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Tích phân Riemann và tích phân Dirichlet . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Biến đổi Fourier trong L
1
(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Định nghĩa biến đổi Fourier trong L
1
(R) . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.2 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Công thức ngược trong L
1
(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Biến đổi Fourier của các hàm thuộc L
1
(R) ∩ L
∞
(R) . . . . . . . . . . . 14
1.4 Biến đổi Fourier trong L
2
(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Bài toán Dirichlet cho nửa mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Sự truyền nhiệt trong thanh dài vô hạn. Công thức Poisson . . . . . . . 25
1.7 Phương trình tích phân dạng chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.8 Các bài toán biên hỗn hợp đối với phương trình Laplace trên mặt phẳng 31
1.8.1 Bài toán biên hỗn hợp 1 đối với nửa mặt phẳng . . . . . . . . . 31
1.8.2 Bài toán biên hỗn hợp 2 đối với nửa mặt phẳng . . . . . . . . . 33
1.9 Biến đổi Fourier-cosin và Fourier-sin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.9.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.9.2 Phương trình Laplace trong miền nửa dải . . . . . . . . . . . . 36
1.9.3 Phương trình Laplace trong góc phần tư của mặt phẳng . . . . 37
2 BIẾN ĐỔI HANKEL 39

2.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.1 Khái niệm về hàm Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.2 Biến đổi tích phân Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2 Các bài toán áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2.1 Bài toán Dirichlet cho nửa không gian đối xứng trục . . . . . . 40
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2.2.2 Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2.3 Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.4 Phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.5 Bài toán biên hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 BIẾN ĐỔI LAPLACE 50
3.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1.2 Các tính chất của biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Biến đổi Laplace ngược (Công thức Bromưich) . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Một số bài toán áp dụng của biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.1 Phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3.2 Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Kết luận 62
Tài liệu tham khảo 63
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Mở đầu
Nhiều quá trình vật lý trong tự nhiên phát triển theo thời gian trên những miền
mà ta có thể giải được nếu ta coi chúng có kích thước vô hạn hay nửa vô hạn. Vì lý
do này, việc sử dụng biến đổi Fourier, biến đổi Laplace, biến đổi Hankel được coi là
công cụ giải tích mạnh nhất để giải các phương trình đạo hàm riêng được các nhà toán
học và kỹ sư nghiên cứu. Mục đích của luận văn này là để minh họa các cách sử dụng
của biến đổi Fourier, biến đổi Laplace và biến đổi Hankel vào các bài toán cụ thể. Sự

hình thành của luận văn được dựa trên sự tham khảo, tổng hợp trên các tài liệu tham
khảo và chủ yếu là cuốn Biến đổi tích phân của nhóm tác giả mà đứng đầu là GS.
TSKH Đặng Đình Áng. Điều đặc biệt quan trọng phương pháp biến đổi tích phân rất
hữu hiệu đối với việc giải các bài toán của phương trình đạo hàm riêng, phương trình
truyền nhiệt, phương trình truyền sóng, bài toán biên của phương trình Laplace.
Nội dung chính của luận văn bao gồm ba chương mang lại một cách nhìn khái quát
về các phương pháp biển đổi và giải các phương trình đạo hàm riêng. Luận văn không
đi sâu vào nghiên cứu lý thuyết về các phép biến đổi Fourier, Laplace hay Hankel mà
chỉ giới thiệu các định nghĩa và tính chất cơ bản của các phép biến đổi. Trên cơ sở đó
trình bày các bài toán và việc vận dụng các phép biến đổi trên để giải nghiệm.
Trong chương một, chúng tôi dành cho việc trình bày một số kiến thức bổ trợ về
các không gian hàm, giới thiệu về phương pháp biến đổi Fourier thuận và nghịch để
giải các bài toán biên của phương trình đạo hàm riêng. Chúng tôi cũng giới thiệu một
số phương pháp giải các bài toán một cách thông thường và giải các bài toán dựa vào
phương pháp biến đổi Fourier để so sánh và lựa chọn phương pháp giải tối ưu nhất.
Với mục đích tiếp tục mở rộng các phương pháp giải khác nhau cho phương trình
đạo hàm riêng, trong chương hai chúng tôi giới thiệu phương pháp biến đổi Hankel. Nêu
ra một số các bài toán áp dụng biến đổi Hankel vào việc tìm nghiệm của các phương
trình như phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace, phương trình Poisson, các
bài toán biên hỗn hợp
Chương ba của luận văn chúng tôi giới thiệu về biến đổi Laplace. Vận dụng biến
đổi Laplace vào tìm nghiệm của các phương trình vi phân, phương trình truyền nhiệt,
phương trình đạo hàm riêng.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa Học - Đại học
Thái Nguyên. Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo Khoa Toán - Tin,
Ban Giám hiệu, Phòng đào tạo nhà trường đã trang bị kiến thức cơ bản và tạo điều
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS. Nguyễn Văn Ngọc, người đã tận tình

chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu,
tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình,
bạn bè và các đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu
sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 04 tháng 05 năm 2013.
Người thực hiện
Triệu Thị Mận
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1
BIẾN ĐỔI FOURIER
Trong chương này trình bày lý thuyết tóm tắt của biến đổi Fourier, Fourier-sin,
Fourier-cosin và giải một số phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân dạng
chập bằng phương pháp biến đổi tích phân Fourier. Nội dung chính của chương này
được hình thành từ các tài liệu [1], [2], [3], [4] và [5].
1.1 Một số kiến thức bổ trợ
1.1.1 Không gian L
p
Với p là số thực: 1  p < ∞, Ω ∈ R
n
ta định nghĩa L
p
(Ω) là lớp các hàm f(x) xác
định trên Ω, sao cho
f
p
=



Ω
|f(x)|
p
dx

1
p
< ∞, dx = dx
1
dx
2
. . . dx
n
.
Số f 
p
được gọi là chuẩn của hàm f (x).
L
p
(Ω) là một không gian Banach. Đặc biệt, L
2
(Ω) là một không gian Hilbert với
tích vô hướng
(f, g) =

Ω
f(x)g(x)dx,
trong đó g(x) là liên hợp phức của g(x).

Hàm xác định trên Ω được gọi là chủ yếu bị chặn trên Ω, nếu tồn tại hằng số dương
C, sao cho |f(x)|  C hầu khắp nơi trên Ω. Cận dưới lớn nhất của các hằng số C được
ký hiệu là ess sup
x∈Ω
|f(x)|.
Ta ký hiệu L
∞
(Ω) là không gian của tất cả các hàm chủ yếu bị chặn trên Ω. Chuẩn
trong L
∞
(Ω) được xác định theo công thức
f
∞
= esssup
x∈Ω
|f(x)|
trong đó sup lấy trên tất cả các phân hoạch đơn vị của [a, b].
Dưới đây là mệnh đề quan trọng về sự trù mật trong L
p
.
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Định lý 1.1. (về sự trù mật)
(i) Nếu khoảng (a, b) là hữu hạn thì các lớp hàm sau đây sẽ trù mật khắp nơi trong
L
p
(a, b):
M−lớp các hàm bị chặn,
C−lớp các hàm liên tục,
S−lớp các hàm bậc thang,

P −lớp các đa thức đại số,
T −lớp các đa thức lượng giác trù mật khắp nơi trong L
p
(−π, π).
(ii)Lớp Sc của tất cả các hàm bậc thang trù mật trong L
p
(−∞, ∞), (p  1).
1.1.2 Các bất đẳng thức và các định lý về tích phân
Định lý 1.2 (bất đẳng thức H¨older). Nếu f ∈ L
p
, g ∈ L
q
, trong đó p, q  1, thì
fg
1
 f
p
g
q
,
1
p
+
1
q
= 1.
Định lý 1.3 (bất đẳng thức Minkowski). Nếu p  1, thì
f + g
p
 f

p
+ g
p
.
Định lý 1.4 (Định lý Lebesgue). Giả sử trên Ω cho dãy các hàm khả tổng {f
k
(x)}
∞
1
hội tụ hầu khắp nơi đến hàm f(x). Nếu tồn tại hàm thực F (x)  0, F(x) ∈ L
1
(Ω),
sao cho |f
k
(x)|  F(x), x ∈ Ω, ∀k thì f(x) ∈ L
1
(Ω) và lim
k→∞
f
k
(x)dx =

Ω
f(x) dx.
Định lý 1.5 (Định lý Fubini). Cho F (x, y) khả tích trên Ω
1
× Ω
2
. Khi đó x →


Ω
2
F (x, y)dy khả tích trên Ω
1
, y →

Ω
1
F (x, y)dx khả tích trên Ω
2
. Ngoài ra

Ω
1
dx

Ω
2
F (x, y) dy =

Ω
2
dy

Ω
1
F (x, y dx =

Ω
1

×Ω
2
F (x, y) dxdy.
1.1.3 Biến phân bị chặn
Định nghĩa 1.1. Cho f là hàm số ( thực hoặc phức ) xác định trên đoạn [a, b]. Giả sử
p = {x
0
, x
1
, . . . , x
n
} là một phân hoạch của đoạn [a, b], nghĩa là a = x
0
< x
1
< . . . <
x
n
= b. Hàm số f(x) được gọi là có biến phân bị chặn trên đoạn [a, b], nếu
V (f) = V
b
a
(f) = sup
p
n

i=1
|f(x
i
) − f(x

i−1
)| < ∞.
Ví dụ về biến phân bị chặn
1) Nếu f(x) là hàm thực đơn điệu trên [a, b], thì V
b
a
(f) = |f(b) −f(a)|.
2) Nếu |f

(x)|  M, ∀x ∈ [a, b] thì V
b
a
(f)  M(b −a).
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3) Nếu f là hàm liên tục tuyệt đối trên [a, b], nghĩa là có dạng f(x) = c+

x
a
g(t)dt, g ∈
L
1
(a, b), thì V
b
a
 g
L
1
(a,b)
.

∗ Các tính chất của hàm có biến phân bị chặn
1) Hàm nhận giá trị phức biến thực f(x) có biến phân bị chặn trên [a, b], khi và chỉ
khi phần thực và phần ảo của nó có biến phân bị chặn trên [a, b].
2) Nếu f(x) có biến phân bị chặn thì f(x) bị chặn: |f(x)| ≤ |f(a)| + V
b
a
(f).
3) Giả sử f (x) là hàm số thực. Hàm f(x) có biến phân bị chặn trên [a, b] khi và chỉ
khi nó là hiệu hàm đơn điệu tăng và bị chặn trên [a, b]:
f(x) = g(x) − h(x).
1.1.4 Tích phân Riemann và tích phân Dirichlet
Bổ đề 1.1 (Bổ đề Riemann). Nếu g(t) khả tích tuyệt đối trên khoảng hữu hạn hoặc vô
hạn [a, b], thì
lim
p→∞
b

a
g(t) sin pt dt = 0, lim
p→∞
b

a
g(t) cos pt dt = 0.
Định lý 1.6 (Bổ đề Dirichlet). Nếu hàm g(t) đơn điệu tăng và bị chặn trên đoạn
[o, h], h > 0, thì
lim
p→∞
h


0
g(t)
sin pt
t
dt =
π
2
g(+0).
Định lý 1.7 (Tích phân Dirichlet).
lim
a→∞
a

0
sin λy
y
dy =
π
2
sgnλ.
1.2 Biến đổi Fourier trong L
1
(R)
1.2.1 Định nghĩa biến đổi Fourier trong L
1
(R)
Định nghĩa 1.2. Với f ∈ L
1
(R) ta định nghĩa biến đổi Fourier của hàm f là:
ˆ

f(ξ) = F [f](ξ) =
∞

−∞
f(x)e
−ixξ
dx, ξ ∈ R, (1.1)
và biến đổi Fourier ngược của f là:
˘
f(ξ) = F
−1
[f](ξ) =
1
2π
∞

−∞
f(x)e
ixξ
dx. (1.2)
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Nhận xét rằng vì f ∈ L
1
(R) và |e
±iξ
| = 1, nên các tích phân (1.1) và (1.2) hội tụ
∀ξ ∈ R. Ngoài ra, giữa biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược có quan hệ sau:
˘
f(ξ) =

1
2π
ˆ
f(−ξ), F
−1
[f(x)](ξ) =
1
2π
F [f(−x)](ξ). (1.3)
Ví dụ 1.1 (Hạch Dirichlet). Xét biến đổi Fourier của hàm đặc trưng χ
[−N,N]
(x). Ta
có:
ˆχ
[−N,N]
(ξ) =
N

−N
e
ixξ
dx =
2 sin Nξ
ξ
.
Hàm số D
N
(x) =
sin Nξ
ξ

được gọi là hạch Dirichlet và có liên quan đến tích phân sau
đây:
∞

0
sin λy
y
dy =
π
2
signλ.
Ví dụ 1.2 (Hạch Poisson). Xét biến đổi Fourier của hàm số e
−t|x|
, t > 0. Ta có:
I =
∞

−∞
e
−t|x|
e
−ixξ
dx = 2
∞

0
e
−tx
cos xξ dx.
Thực hiện tính toán ta được

I =
2t
t
2
+ ξ
2
, t > 0.
Hàm số P
t
(x) =
1
π
t
t
2
+ x
2
, t > 0 được gọi là hạch Poisson.
1.2.2 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier
Sau đây là một số tính chất cơ bản của biến đổi Fourier
1) Biến đổi Fourier và biến đổi Fourier ngược là hàm bị chặn trong R
n
. Thật vậy,
theo (1.1) ta có:
|
ˆ
f(ξ)| ≤
∞

−∞

|f(x)|dx = f
1
.
2)
ˆ
f(ξ) = F [f](ξ) là hàm liên tục trong R. Thật vậy, với ξ, h ∈ R, ta có:
|
ˆ
f(ξ + h) −
ˆ
f(ξ)| ≤
∞

−∞
|f(x)||e
−ixξ
||e
−ixh
− 1|dx  2
∞

−∞
|f(x)|dx = 2f
1
.
Theo định lý Lebesque, ta có:
lim
h→0
|
ˆ

f(ξ + h) −
ˆ
f(ξ)| ≤ lim
h→0
∞

−∞
|f(x)||e
−ixξ
||e
−ixh
− 1|dx
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
=
∞

−∞
lim
h→0
|f(x)||e
−ixξ
||e
−ixh
− 1|dx = 0.
3) Toán tử F liên tục theo nghĩa sau đây: Nếu {f
k
} ∈ L
1
(R), f

k
→ f ∈ L
1
(R), k → ∞
trong L
1
(R
n
), thì
lim
k→∞
F [f
k
] = F [f].
Thật vậy, ta có
|F [f] − F [f
k
]| ≤
∞

−∞
|f(x) −f
k
(x)|dx = f − f
k

1
.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
4) Đinh lý Riemann-Lebesque: Nếu f ∈ L

1
(R), thì
ˆ
f(ξ) → 0, khi |ξ| → ∞. Thật vậy,
ta biết rằng tập hợp các hàm bậc thang trù mật khắp nơi trong L
p
, p ≥ 1. Xét
hàm bậc thang:
s(x) =
n

j=1
A
j
χ
I
j
(x),
trong đó χ
I
j
(x) là hàm đặc trưng của khoảng dạng (α
i
, β
j
) : I
j
∩I
j
= ∅ với i = j.

Với mỗi ε > 0, ta chọn hàm bậc thang s(x), sao cho
∞

−∞
|f(x) −s(x)|dx < ε.
Mặt khác, ta có
ˆs(ξ) =
k

j=1
A
j

I
j
e
iξx
dx =
k

j=1
A
j
e
iβ
j
ξ
− e
iα
j

ξ
iξ
→ 0, |ξ| → ∞.
Vì
|
ˆ
f(ξ) − ˆs(ξ)| 
∞

−∞
|f(x) −s(x)|dx < ε, ε > 0
nên
ˆ
f(ξ) → 0 khi |ξ| → ∞.
5) Đẳng thức Parseval. Với f
1
, f
2
∈ L
1
(R) có đẳng thức
∞

−∞
ˆ
f
1
(y)f
2
(y) dξ =

∞

−∞
f
1
(ξ)
ˆ
f
2
(ξ) dξ.
Thật vậy, vì
∞

−∞
∞

−∞
|f
1
(ξ)||f
2
(y)|dξdy =
∞

−∞
|f
1
(ξ)|dξ
∞


−∞
|f
2
(y)|dy
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
= f
1

1
f
2

1
< ∞,
nên theo định lý Fubini, ta có
∞

−∞
∞

−∞
e
−iξy
f
1
(ξ)f
2
(y) dξdy =
∞


−∞
f
2
(y){
∞

−∞
f
1
(ξ)e
−iξy
dξ}dy
=
∞

−∞
f
1
(ξ){
∞

−∞
f
2
(y)(ξ)e
−iξy
dy}dξ.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
6) Biến đổi Fourier của dịch chuyển:

F [f(x − a)](ξ) = e
−iaξ
F [f](ξ).
Thật vậy, ta có
F [f(x − a)](ξ) =
∞

−∞
e
−ixξ
f(x −a) dx.
Đổi biến t = x −a, ta được
F [f(x − a)](ξ) =
∞

−∞
f(t)e
−i(t+a)ξ
dt = e
−iaξ
F [f](ξ).
7) Biến đổi Fourier của tích chập. Giả sử f, g là các hàm được xác định trong R.
Hàm số (f ∗ g)(x) được xác định bởi công thức
(f ∗ g)(x) =
∞

−∞
f(x −y)g(y) dy
với giả thiết tích phân trên đây tồn tại khắp nơi với x ∈ R được gọi là tích chập
của f và g.

a) Nếu f, g ∈ L
1
(R), thì f ∗ g ∈ L
1
(R). Thật vậy, theo định lý Fubini, ta có
∞

−∞
|(f ∗ g)(x)|dx 
∞

−∞
{
∞

−∞
|f(x −y)g(y)|dy}dx
=
∞

−∞
{
∞

−∞
|f(x −y)|dx}|g(y)|dy
=
∞

−∞

|f(x)|dx
∞

−∞
|g(y)|dy
= f
1
g
1
.
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
b) Với f, g ∈ L
1
(R
n
), thì
F [f ∗ g] = F [f]F [g].
Thật vậy, ta có
F [f ∗ g] =
∞

−∞
(f ∗ g)(x)e
−ixξ
dx =
∞

−∞
{

∞

−∞
f(y)g(x − y) dy}e
−ixξ
dx.
Áp dụng định lý Fubini, sau đó đổi biến x − y = t, ta có
F [f ∗ g] =
∞

−∞
f(y){
∞

−∞
g(t)e
−itξ
dt}e
−iyξ
dy = F [f]F [g].
8) Biến đổi Fourier của đạo hàm. Cho f(x) ∈ L
1
(R) với D
α
f ∈ L
1
(R) và f liên tục
tuyệt đối trong mọi khoảng hữu hạn. Khi đó:
F [D
α

f](ξ) = (iξ)
α
F [f](ξ), D
α
=
d
α
dx
α
.
Để đơn giản ta chỉ chứng minh cho trường hợp α = 1. Thật vậy, vì f liên tục
tuyệt đối trên mọi khoảng hữu hạn, nên
f(x) = f(0) +
x

0
f

(t) dt.
Hơn nữa, vì f

∈ L
1
(R), nên vế phải của đẳng thức trên có giới hạn khi |x| → ∞.
Ngoài ra giới hạn đó bằng 0 vì f ∈ L
1
(R). Vậy
F [f

](ξ) =

∞

−∞
f

(x)e
−ixξ
dx =
∞

−∞
e
−ixξ
d(f(x)).
Tích phân từng phần đẳng thức trên đây và chú ý f(±∞) = 0 ta được
F [f

](ξ) = (iξ)F [f](ξ).
9) Nếu D
α
(f) ∈ L
1
(R), thì
D
α
ξ
F [f](ξ) = F [(−ix)
α
f(x)](ξ).
Thật vậy, theo giả thiết ta có:

D
α
ξ
ˆ
f(x) =
∞

−∞
D
α
ξ
f(x)e
−ixξ
dx =
∞

−∞
f(x)(−ix)
α
e
−ixξ
dx = F[(−ix)
α
f(x)](ξ).
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.2.3 Công thức ngược trong L
1
(R)
Với f ∈ L

1
(R),
ˆ
f = F [f], xét tích phân
˘
ˆ
f(x) =
1
2π
∞

−∞
ˆ
f(ξ)e
ixξ
dξ, (1.4)
trong đó tích phân hiểu theo nghĩa chính Cauchy. Ta gọi tích phân (1.4) là tích phân
Fourier của f, và nó cũng chính là biến đổi Fourier ngược của
ˆ
f = F [f] với F [f] ∈
L
1
(R).
Trong phần này chúng ta quan tâm đến đẳng thức
˘
ˆ
f(x) =
1
2π
∞


−∞
ˆ
f(ξ)e
ixξ
dξ = f(x), f ∈ L
1
(R),
ˆ
f = F [f]. (1.5)
Với N > 0, ta ký hiệu
f
N
(x) =
1
2π
N

−N
ˆ
f(ξ)e
ixξ
dξ.
Định lý 1.8 (Dấu hiệu Dini). Giả sử f ∈ L
1
(R). Nếu với δ > 0 nào đó mà
δ

0
|ϕ

x
(t)|
dt
t
< ∞, ϕ
x
(t) = [f(x + t) + f(x −t)] −2f
∗
(x) (1.6)
thì lim
N→∞
f
N
(x) = f
∗
(x) = f (x), nếu x là điểm liên tục của f(x) và bằng f
∗
(x) =
1
2
[f(x + 0) + f(x − 0)], nếu x là điểm gián đoạn loại 1 của f(x).
Chứng minh. Ta có:
f
N
(x) =
1
2π
N

−N

{
∞

−∞
f(y)e
−iyξ
dy}e
ixξ
dξ.
Theo Định lý Fubini, thay đổi thứ tự tích phân ta được
f
N
(x) =
1
π
∞

−∞
f(y)
sin N(y − x)
y − x
dy =
1
π
∞

−∞
f(t + x)
sin Nt
t

dt
=
1
π
∞

0
[f(x + t) −f(x − t)]
sin Nt
t
dt
=
1
π
δ

0
[f(x + t) −f(x − t)]
sin Nt
t
dt +
1
π
∞

δ
[f(x + t) −f(x − t)]
sin Nt
t
dt.

12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Theo bổ đề Riemann số hạng thứ hai tiến đến không khi N → ∞. Vậy ta có
lim
N→∞
f
N
(x) = lim
N→∞
1
π
δ

0
[f(x + t) −f(x − t)]
sin Nt
t
dt. (1.7)
Theo tích phân Dirichlet, ta có
f
∗
(x) =
1
π
∞

0
2f
∗
(x)

sin Nt
t
dt =
1
π
δ

0
2f
∗
(x)
sin Nt
t
dt +
1
π
∞

δ
2f
∗
(x)
sin Nt
t
dt.
Ta có:
2f
∗
(x)
π

∞

δ
sin Nt
t
dt =
2f
∗
(x)
π
∞

δN
sin λ
λ
dλ → 0, N → ∞.
Vậy ta có
f
∗
(x) = lim
N→∞
1
π
δ

0
2f
∗
(x)
sin Nt

t
dt. (1.8)
Suy ra
lim
N→∞
[f
N
(x) − f
∗
(x)] = lim
N→∞
1
π
δ

0
ϕ
x
(t)
sin Nt
t
dt. (1.9)
Do đó nếu điều kiện Dini (1.6) được thỏa mãn thì chúng ta có thể áp dụng bổ đề
Riemann cho tích phân ở vế phải của (1.9), nghĩa là
lim
N→∞
[f
N
(x) − f
∗

(x)] = lim
N→∞
1
π
δ

0
ϕ
x
(t)
sin Nt
t
dt = 0.
Dấu hiệu Dini được chứng minh.
Xét một số trường hợp riêng thường gặp sau đây:
1) Nhận xét rằng nếu f(x) thỏa mãn điều kiện Holder với bậc α, 0 < α  1 thì điều
kiện Dini được thỏa mãn. Thật vậy, từ điều kiện
|f(x ±y) − f (x)|  Ly
α
, 0 < α  1, 0 < y < δ,
suy ra tích phân ở vế phải của (1.6) hội tụ.
2) Trường hợp riêng khi α = 1, điều kiện Dini được thỏa mãn nếu tồn tại đạo hàm
hữu hạn f

(x) hoặc là tồn tại đạo hàm một phía tại x.
Định lý 1.9 (Định lý Dirichlet-Jordan). Giả sử f(x) là hàm thực và f(x) ∈ L
1
(R) có
biến phân hữu hạn trên đoạn [x − δ, x + δ]. Khi đó tích phân Fourier của f(x) (biến
đổi Fourier ngược) hội tụ đến f (x) ( theo nghĩa rộng: f (x) =

1
2
[f(x + 0) + f(x −0)]).
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chứng minh. Ta biến đổi tích phân Fourier f
N
(x) ở dạng
f
N
(x) =
1
π
δ

0
[f(x + t) −f(x − t)]
sin Nt
t
dt +
1
π
∞

δ
[f(x + t) −f(x − t)]
sin Nt
t
dt.
Trên đây chúng ta đã chứng tỏ được rằng tích phân thứ hai tiến đến không khi N → ∞.

Xét tích phân thứ nhất. Từ giả thiết suy ra hàm t → f(x + t) + f(x −t) có biến phân
hữu hạn trên [0, δ], nên nó có thể biểu diễn thành hiệu của hai hàm tăng và áp dụng
tích phân Dirichlet, ta được
1
π
π
2
[f(x + 0) + f(x − 0)] = f
∗
(x).
Định lý Dirichlet-Jorhan được chứng minh.
Định lý 1.10 (Định lý Dirichlet). Nếu hàm f(x) ∈ L
1
(R) đơn điệu từng khúc trên R
có không quá số hữu hạn các điểm cực trị và có không quá số hữu hạn các điểm gián
đoạn loại 1. Khi đó tích phân Fourier của f(x) hội tụ đến f(x) tại các điểm liên tục
và hội tụ đến
1
2
[f(x + 0) + f(x − 0)] tại những điểm gián đoạn.
Chứng minh. Vì f (x) đơn điệu tùng khúc và không có quá các điểm gián đoạn loại I,
nên f(x) có biến phân bị chặn trên mỗi đoạn hữu hạn. Do đó định lý được chứng minh
theo dấu hiệu Dirichlet-Jordan.
1.3 Biến đổi Fourier của các hàm thuộc L
1
(R) ∩ L
∞
(R)
Trong mục này chúng ta trình bày một số mệnh đề liên quan đến biến đổi Fourier
của hàm trong L

1
và bị chặn cần thiết cho những mục sau. Giả sử f ∈ L
1
(R). Đối
với h bất kỳ ta đặt
f
h
(x) = f(x + h)
và ta có
f
h

1
= f
1
.
tiếp theo ta đặt
W (h, f) = f − f
h

1
.
Dễ thấy rằng
W (h, f
1
+ f
2
) ≤ W(h, f
1
) + W (h, f

2
), W(0, f) = 0, 0 ≤ W (h, f) ≤ 2f 
1
.
Mệnh đề 1.1. Ta có
lim
h→0
W (h, f) = 0.
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chứng minh. Trước hết đối với hàm đặc trưng χ
a,b
(x) ta có
W (h, χ
a,b
) =
a+|h|

a
dx +
b+|h|

b
dx = 2|h| → 0, h → 0.
Giả sử f ∈ L
1
(R) và ε > 0, ta chọn hàm bậc thang χ(x) sao cho
f − χ
1
<

ε
4
.
Cuối cùng, đối với χ(x) và ε > 0, ta chọn δ = δ(ε), sao cho
W (h, χ) <
ε
2
, khi |h| < δ.
Ta có
W (h, f) ≤ W (h, f − χ) + W (h, χ) ≤ 2f − χ
1
+ W (h, χ) < 2.
ε
4
+
ε
2
= ε.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.2. Giả sử f(x), g(x) là các hàm bị chặn từ lớp L
1
(R). Khi đó tích phân
h(x) =
∞

−∞
f(x + y)g(y) dy =
∞

−∞

f(x −y)g(−y) dy
tồn tại khắp nơi trên R, ngoài ra h(x) là hàm liên tục bị chặn và thuộc L
1
(R).
Chứng minh. Ký hiệu M
g
= sup
−∞<y<∞
|g(y)|.
Ta có
|h(x)| 
∞

−∞
|f(x + y)||g(y)|dy  M
g
∞

−∞
|f(x + y)|dy = M
g
f
1
.
Như vậy h(x) là hàm bị chặn.
Tiếp theo ta có
|h(x) − h(x + t)| <
∞

−∞

|f(x + y) − f(x + y + t)||g(y)|dy  M
g
W (t, f) → 0, t → 0.
Như vậy h(x) là hàm liên tục trên R. Hàm h(x) ∈ L
1
(R) được suy ra từ tính chất của
tích chập.
Mệnh đề 1.3. Giả sử f(x) là hàm bị chặn trên R và thuộc L
1
(R). Nếu
ˆ
f(ξ) = F [f] ≥
0, ∀ξ ∈ R thì
ˆ
f(ξ) ∈ L
1
(R).
Chứng minh. Giả sử |f(x)| ≤ M. Xét cặp Abel-Poisson
K(x) = e
−|x|
, H(t) =
2
1 + t
2
.
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ta có
F [K](t) = H(t), F


K

u
σ

(t) = σH(σt), σ > 0,
F [f(x + t)](u) = e
ixu
F [f](u).
Theo công thức Parseval ta có:
f
α
(x, K) =
∞

−∞
F [f](u)e
ixu
K(
u
σ
) du =
∞

−∞
F [f(x + t)](u)K

u
σ


du
=
∞

−∞
f(x + t) {σH(σt)} dt =
∞

−∞
f(x +
t
σ
)H(t) dt.
|f
σ
(x, K) ≤ M
∞

−∞
H(t) dt = M2π, ∀x, |f
σ
(x, K)| ≤ 2πM.
Suy ra
lim
σ→∞
∞

−∞
F [f](u)e
−|u|

σ
du ≤ 2πM. (1.10)
Giả sử F [f](u) /∈ L
1
(R). Khi đó với mọi A > 0, tồn tại B > 0 sao cho
B

−B
F [f](u) du > A.
Do đó
lim
σ→∞
B

−B
F [f](u)e
−|u|
σ
du =
B

−B
lim
σ→∞
F [f](u)e
−|u|
σ
du
=
B


−B
F [f](u) du > A,
mâu thuẫn với (1.10). Vậy F [f] ∈ L
1
(R). Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 1.4 (Đẳng thức Parseval). Giả sử f là hàm bị chặn trên R và f ∈ L
1
(R),
ˆ
f(ξ) =
F [f]. Khi đó
∞

−∞
|f(x)|
2
dx =
1
2π
∞

−∞
|
ˆ
f(ξ)|
2
dξ.
Chứng minh. Xét hàm số
h(x) =

∞

−∞
f(x + y)f (y) dy =
∞

−∞
f(x −y)f (−y) dy,
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
là tích chập của f(x) và f(−x). Ta có
F [h] = F [f(x)]F [f(−x)] = |F [f]|
2
≥ 0.
Theo mệnh đề 1.2, h(x) là hàm liên tục bị chặn và thuộc L
1
(R). Vì F[h] ≥ 0, nên theo
mệnh đề 1.2, ta có
h(x) =
1
2π
∞

−∞
F [h](u)e
ixu
du =
1
2π
∞


−∞
|F [f]|
2
e
ixu
du.
Cho x = 0, ta được
h(0) =
∞

−∞
|f(y)|
2
dy =
1
2π
∞

−∞
|F [f]|
2
dξ.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Mệnh đề 1.5 (Đẳng thức Parseval suy rộng). Nếu f(x) và g(x) là những hàm bị chặn
trên R và thuộc L
1
(R), thì
∞


−∞
f(x)g(x) dx =
1
2π
∞

−∞
F [f](ξ)F [g](ξ) dξ.
Chứng minh. Trong đẳng thức Parseval của mệnh đề 1.4, thay f(x) bởi f(x) + g(x) và
f(x) + ig(x)ta suy ra đẳng thức Parseval suy rộng trong mệnh đề 1.5.
1.4 Biến đổi Fourier trong L
2
(R)
Định lý 1.11 (Định lý Plancherel 1). Giả sử f (x) ∈ L
2
(R). Khi đó công thức
F(u) =
d
du
∞

−∞
f(t)
e
−iwt
− 1
−it
dt (1.11)
xác định hầu khắp nơi hàm số F(u) ∈ L
2

(R) và được goi là biến đổi Fourier của hàm
f ∈ L
2
(R) : F(u) = F [f](u) ∈ L
2
(R). Còn công thức
f(x) =
1
2π
d
dx
∞

−∞
F(u)
e
ixu
− 1
iu
du (1.12)
cũng đúng hầu khắp nơi.
Ngoài ra có đẳng thức Parseval sau đây:
∞

−∞
|F(u)|
2
du = 2π
∞


−∞
|f(x)|
2
dx. (1.13)
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chứng minh. Giả sử f ∈ L
2
(R). Khi đó tồn tại dãy các hàm bậc thang f
n
(x), sao cho
lim
n→∞
∞

−∞
|f(x) −f
n
(x)|
2
dx = 0. (1.14)
Vì f
n
∈ L
1
(R) và bị chặn, nên biến đổi Fourier F [f
n
] ∈ C
0
, ngoài ra theo mệnh đề 1.4

ta có
∞

−∞
|F [f
n
](u)|
2
du = 2π
∞

−∞
|f
n
(x)|
2
dx. (1.15)
Từ (1.15) suy ra với mọi n ≥ 1, m ≥ 1, ta có
∞

−∞
|F [f
n
](u) − F [f
m
](u)|
2
du = 2π
∞


−∞
|f
n
(x) − f
m
(x)|
2
dx. (1.16)
Nhưng từ (1.14) suy ra vế phải của (1.16) tiến đến không khi n, m → ∞. Suy ra {F [f
n
]}
là dãy Cauchy trong L
2
(R). Do đó tồn tại hàm số F(u) ∈ L
2
(R) là giới hạn của dãy
nói trên. Ta định nghĩa hàm F(u) trên đây là biến đổi Fourier của hàm f ∈ L
2
(R). Ta
có
∞

−∞
|F [f](u)|
2
du = lim
n→∞
∞

−∞

|F [f
n
](u)|
2
du = 2π lim
n→∞
∞

−∞
|f
n
(x)|
2
dx
= 2π
∞

−∞
|f(x)|
2
dx.
Vậy đẳng thức (1.13) được chứng minh.
Vì tích phân
F [f
n
](u) =
∞

−∞
f

n
(t)e
−iwt
dt
trên thực tế có các cận hữu hạn, nên với mỗi ξ ∈ (−∞, ∞), ta có
ξ

0
F [f
n
](u) du =
ξ

0
du
∞

−∞
f
n
(t)e
−iut
dt =
∞

−∞
f
n
(t)
e

−iut
− 1
−it
dt.
Vì F [f](u) và f(t) tương ứng là giới hạn trung bình của các dãy hàm {F [f
n
(u)} và
{f
n
(t)}, ngoài ra
e
−iut
− 1
−it
∈ L
2
(−∞, ∞)
nên chuyển qua giới hạn n → ∞ ta được
ξ

0
F [f](u) du =
∞

−∞
f(t)
e
−iut
− 1
−it

dt.
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Từ đây suy ra công thức (1.11).
Trong đẳng thức (1.13) thay đổi f bởi f + g và f + ig, ta có đẳng thức Parseval suy
rộng
∞

−∞
F [f](u)F [g](u) du = 2π
∞

−∞
f(t)g(t) dt (1.17)
Với mỗi ξ = 0, đặt
g
ξ
(x) =



signξ, nếu x ∈ (0, ξ),
0, nếu x /∈ (0, ξ).
Theo công thức (1.11) ta có
G
ξ
(u) = F [g
ξ
] =
d

du
ξ

0
e
−iut
− 1
−iu
dt =
ξ

0
e
−iut
dt =
e
−iut
− 1
−iu
.
Do đó áp dụng công thức Parseval suy rộng ta có
ξ

0
f(x) dx =
1
2π
∞

−∞

F(u)
e
−iut
− 1
−iu
du, ξ ∈ (−∞, ∞).
Suy ra công thức (1.12). Định lý được chứng minh.
Định lý 1.12 (Định lý Plancherel 2). Giả sử f ∈ L
2
(R). Biến đổi Fourier F(u) =
F [f](u) và công thức Fourier ngược f = F
−1
[F] tương ứng được cho bởi công thức
(1.11) và (1.12) có thể được cho bởi các giới hạn sau
F(u) = lim
N→∞
N

−N
f(t)e
−iut
dt, (1.18)
f(x) = lim
N→∞
1
2π
N

−N
F(u)e

iux
du. (1.19)
Chứng minh. Với f ∈ L
2
(R) và N > 0, ta đặt
f
N
(x) =



f(x), nếu x ∈ (−N, N),
0, nếu x /∈ (−N, N).
Ta có
F [f
N
] =
d
du
∞

−∞
f
N
(t)
e
−iut
− 1
−it
dt =

N

−N
f(t)e
−iut
dt.
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Theo công thúc Parseval ta có
F [f] − F [f
n
]
2
= 2πf − f
n

2
=

|x|≥N
|f(x)|
2
dx → 0, N → ∞.
Từ đó suy ra công thức (1.18).
Cuối cùng nhận xét rằng công thức (1.12) còn có thể được viết lại ở dạng
f(x) =
1
2π
F [F(−u)](x) =
1

2π
d
dx
∞

−∞
F(−u)
e
iut
− 1
iu
du.
Ta đặt
F
N
(u) =



F(u), nếu u ∈ (−N, N),
0, nếu u /∈ (−N, N).
và
f
N
(x) =
1
2π
F [F(−u)] =
1
2π

d
dx
∞

−∞
F
N
(−u)
e
ixu
− 1
iu
du =
1
2π
N

−N
F(u)e
iux
du.
Ta có
f(x) −f
N
(x) =
1
2π
F [F(−u) −F
N
(−u)](x).

Theo đẳng thức Parseval ta có
∞

−∞
|f(x) −f
N
(x)|
2
dx =
1
2π
∞

−∞
|F(−u) − F
N
(−u)|
2
du
=
1
2π
∞

−∞
|F(u) − F
N
(u)|
2
du =

1
2π

|u|≥N
|F(u)|
2
du → 0, N → ∞.
Từ đó suy ra công thức (1.19). Định lý Plancherel 2 được chứng minh.
Định lý 1.13 (Định lý về tích chập). Giả sử f, g ∈ L
2
(R) và
ˆ
f = F [f], ˆg = F [g]. Khi
đó
1) Tích chập của các hàm f(x) và g(x), nghĩa là tích phân
k(x) =
∞

−∞
f(y)g(x − y) dy =
∞

−∞
f(x −y)g(y) dy (1.20)
tồn tại với mọi x và là hàm liên tục theo x, tiến đến không khi |x| → ∞; ngoài ra
sup
−∞<x<∞
|k(x)| ≤ f
2
g

2
. (1.21)
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2) Với mọi x ∈ (−∞, ∞) có đẳng thức
∞

−∞
ˆ
f(u)ˆg(u)e
ixu
du = 2π
∞

−∞
f(x −y)g(y) dy. (1.22)
Chứng minh. Trước hết nhận xét rằng bất đẳng thức (1.21) nhanh chóng được chứng
minh nhờ bất đẳng thức Bunhiakovski. Tiếp theo, với mỗi x cố định ta có
F [f(x + t)] = lim
N→∞
N

−N
f(x + t)e
−iut
dt = e
iux
lim
N→∞
N


−N
f(τ)e
−iuτ
dτ = e
ixu
ˆ
f(u).
Mặt khác, vì
ˆg(u) = F [g] = lim
N→∞
N

−N
g(t)e
−iut
dt,
nên
ˆg(u) = F [g(−t)].
Áp dụng bất đẳng thức Parseval suy rộng (1.17) đối với cặp hàm f(x + t) và g(−t),
với các biến đổi Fourier tương ứng là e
−iux
ˆ
f(u) và ˆg(u), ta có
∞

−∞
e
iux
ˆ

f(u)ˆg(u) du = 2π
∞

−∞
f(x + t)g(−t) dt = 2π
∞

−∞
f(y)g(x − y) dy
Từ đó suy ra công thức (1.22) được chứng minh.
Cuối cùng, vì
ˆ
f(u), ˆg(u) ∈ L
2
(R), nên
ˆ
f(u).ˆg(u) ∈ L
2
(R), do đó tích phân ở vế phải
của (1.21) hội tụ đều trên toàn bộ trục số −∞ < x < ∞. Từ đó suy ra các khẳng định
còn lại của định lý. Định lý (1.13) được chứng minh.
Định lý 1.14. Nếu f ∈ L
2
(R), g ∈ L
1
(R), thì tích chập
h(x) = (f ∗ g)(x) =
∞

−∞

f(y)g(x − y) dy ∈ L
2
(R),
ngoài ra
F [f ∗ g] = F [f]F [g]. (1.23)
Chứng minh. Theo bất đẳng thức Bunhiakovski, ta có
|h(x)|
2
≤
∞

−∞
|f(y)|
2
|g(x − y)|dy
∞

−∞
|g(x − y)|dy
=
∞

−∞
|f(y)|
2
|g(x − y)|dy
∞

−∞
|g(u)|du

21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
= g
1
∞

−∞
|f(y)|
2
|g(x − y)|dy.
Suy ra
f ∗ g
2
2
=
∞

−∞
|h(x)|
2
dx ≤ g
1
∞

−∞
|f(y)|
2
dy
∞


−∞
|g(x − y)|dx
= g
1
∞

−∞
|f(y)|
2
dy
∞

−∞
|g(u)|du = f
2
2
g
2
1
.
Như vậy ta có
f ∗ g
2
≤ f
2
g
1
.
Tiếp theo, chúng ta chứng minh đẳng thức (1.23). Để đơn giản chúng ta chỉ xét trường
hợp g ∈ L

1
(R) ∩ L
2
(R). Để chứng minh chúng ta sử dụng đẳng thức (1.22). Trong
trường hợp này ta có
ˆ
f(u) ∈ L
2
(R), ˆg(u) ∈ L
2
(R) ∩ C
0
,
f ∗ g ∈ L
2
(R) ∩ C
0
,
ˆ
f(u)ˆg(u) ∈ L
1
(R) ∩ L
2
(R).
Đẳng thức (1.22) được viết lại ở dạng
2πF
−1
[
ˆ
f ˆg] = 2π(f ∗ g),

hay
F
−1
[
ˆ
f ˆg] = (f ∗ g).
Suy ra
F [f ∗ g] = F [F
−1
[
ˆ
f ˆg]] =
ˆ
f ˆg.
Định lý được chứng minh.
∗ Công thức biến đổi ngược
Định lý 1.15. Giả sử f(t) ∈ L
2
(R) và trong lân cận nào đó của điểm t = x có biến
phân hữu hạn. Nếu trong trường hợp này
ˆ
f = F [f], thì có công thức biến đổi Fourier
ngược sau đây:
1
2
[f(x + 0) + f(x − 0)] =
1
2
v.p.
∞


−∞
ˆ
f(u)e
iux
du,
nghĩa là sự hội tụ của tích phân trên đây được hiểu theo nghĩa giá trị chính.
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.5 Bài toán Dirichlet cho nửa mặt phẳng
Xét bài toán sau đây. Tìm hàm u(x, y) thỏa mãn phương trình
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
= 0, −∞ < x < ∞, 0 < y < ∞ (1.24)
và các điều kiện
u(x, 0) = g(x), −∞ < x < ∞, (1.25)
u(±∞, y) = 0, u
x
(±∞, y) = 0, u(x, +∞) = 0. (1.26)
Lời giải hình thức: Để giải bài toán (1.24)-(1.26), ta sử dụng phương pháp biến đổi
Fourier. Với mỗi một y cố định, lấy biến đổi Fourier (thuận) theo x hai vế của (1.24),

ta có
∞

−∞
e
−iξx

∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2

dx =
∞

−∞
e
−iξx
∂
2
u
∂x
2

dx +
∞

−∞
e
−iξx
∂
2
u
∂y
2
dx = 0. (1.27)
Ta có
∞

−∞
e
−iξx
∂
2
u
∂y
2
dx =
d
dy
∞

−∞
e

iξx
u(x, y) dx =
dˆu(ξ, y)
dy
.
Sử dụng điều kiện đầu tiên trong (1.26), bằng cách tích phân từng phần, ta có
∞

−∞
e
−iξx
∂
2
u
∂x
2
dx = −ξ
2
ˆu(ξ, y).
Thay vào (1.27), ta có phương trình
dˆu(ξ, y)
dy
− ξ
2
ˆu(ξ, y) = 0. (1.28)
Nghiệm tổng quát của phương trình (1.28) là
ˆu(ξ, y) = A(ξ)e
−|ξ|y
+ B(ξ)e
|ξ|y

,
trong đó A(ξ), B(ξ) là các hàm số bất kỳ theo ξ. Từ điều kiện thứ ba trong (1.26) suy
ra ˆu(ξ, +∞) = 0. Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi B(ξ) ≡ 0.
Như vậy ta có
ˆu(ξ, y) = A(ξ)e
−|xi|y
, u(x, y) =
1
2π
∞

−∞
A(ξ)e
−|xi|y
e
xiξ
dξ. (1.29)
Để tìm hàm A(ξ) ta cần phải sử dụng đến điều kiện (1.25). Ta có
u(x, 0) = g(x) =
1
2π
∞

−∞
A(ξ)e
ixξ
dξ ⇒ A(ξ) =
∞

−∞

g(t)e
−itξ
dt. (1.30)
23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên