một số phương pháp giải bài toán xác định tính đồng biến nghịch biến của hàm số

Sáng kiến kinh nghiệm
***************************************************************************
**********************

Phần I. Mở đầu
I. Lí do chọn đề tài.
Bài tốn xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là một bài toán
rất quen thuộc đối với học sinh lớp 12, nó có mặt trong hầu hết các kì thi: Tốt
nghiệp, cao đẳng, đại học, trung học chun nghiệp. Vì vậy nó có một vị trí rất
quan trọng trong chương trình tốn phổ thơng. Mặt khác do đối tượng học sinh
đại trà nên việc dạy và học phần này cũng gặp nhiều khó khăn. Bài tập trong
sách giáo khoa cịn ít và chưa đa dạng. Để việc dạy và học phần này chủ động
hơn và có hiệu quả hơn tôI viết đề tài này áp dụng cho học sinh đại trà.
Việc giảI quyết bài toán xác định hàm số có tác dụng to lớn đối với học
sinh:
- Thứ nhất: Thơng qua bài tốn xác định tính đồng biến và nghịch biến của
hàm số giúp học sinh chủ động hơn trong cách phân tích, tìm lời giảI cho bài,
học sinh thấy được mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn, qua đó giúp học sinh
có hứng thú học tập hơn, hiệu quả giờ dạy cao hơn.
- Thứ hai: Việc giảI bài ốn xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm
số giúp học sinh củng cố, đào sâu kiến thức rèn luyện tính linh hoạt, khả năng
sáng tạo. Khi giảI bài toán này học sinh phảI thường xuyên phảI sử dụng kiến
thức liên quan như: GiảI phương trình, biến đổi tương đương, các kiến thức về
đạo hàm, tam thức bậc hai, xét chiều biến thiên, kĩ năng biến đổi…
- Thứ ba: Thông qua việc giảI bài tốn xác địng tính đồng biến, nghịch
biến của hàm số giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy như: Phân tích, tổng
hợp, có khả năng đặc biệt hố, kháI qt hố bài tốn. Mặt khác cịn rèn luyện
cho học sih các phẩm chất trí tuệ như: Tính cẩn thận, chặt chẽ, linh hoạt, nâng
cao khả năng sáng tạomoix khi gặp một bài tốn có thể suy nghĩ tìm tòi những
lời giảI khác nhau, chọn ra cách giảI hay nhất.
Tuy nhiên vấn đề xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số xen kẽ

các vấn đề khác nên học sinh gặp khó khăn như lúng túng khi tìm đường lối giảI
có khi vận dụng một cách máy móc dập khn.
Vì những lí do trên, tài liệu này hệ thống một số phương pháp giảI bài
tốn xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số những sai lầm mà học sinh
hay mắc phảI trong quá trình giảI bài tốn.
II. Nhiệm vụ và mục đích nghiên cứu.
Nhằm đè xuất phương pháp giúp việc dạy và học nội dung bài tốn xác
địng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số đạt kết quả cao hơn.
III. Phương pháp nghiên cứu.

1


Sáng kiến kinh nghiệm
***************************************************************************
**********************

Nghiên cứu bằng lí luận dạy và học, nghiên cứu các sách giáo khoa, tài
liệu tham khảo và các tài liệu có liên quan gắn liền với điều kiện thực tiễn,
phương pháp giảng dạy ở trường THPT Sơn Thịnh.
IV. Cấu trúc kinh nghiệm.
Chương I. Các kiến thức cơ bản.
Chương II. Các dạng bài tốn về tính đơn điệu.

PHẦN II. NỘI DUNG KINH NGHIỆM.
CHƯƠNG I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
I. Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến.
1. Định nghĩa.
Giả sử hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b). Ta nói:
- Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) nếu ∀ x1 ; x 2 ∈ (a;b) mà

x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x 2 )

- Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) nếu ∀ x1 ; x 2 ∈ (a;b)

mà x1 < x 2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x 2 )
Hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng gọi chung là hàm số đơn điệu
trên khoảng đó.
2. Điều kiện tương đương với định nghĩa.
Giả sử x1 ; x 2 ∈ (a;b), x1 ≠ x 2
y 2 − y1 f ( x 2 ) − f ( x1 )
=
x 2 − x1
x 2 − x1

- Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) ⇔
khoảng (a;b).
- Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) ⇔
khoảng (a;b).
Từ đó suy ra:

∆y
> 0 trên
∆x
∆y
< 0 trên
∆x
∆y
≥0
∆x → 0 ∆ x

- Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a;b) ⇒ f’(x)= lim
trên khoảng (a;b).

2


Sáng kiến kinh nghiệm
***************************************************************************
**********************

∆y
≤0
∆x → 0 ∆ x

- Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm) trên khoảng (a;b) ⇒ f’(x)= lim
trên khoảng (a;b).
II. Liên hệ giữa tính đơn điệu và đạo hàm của hàm số.
1. Định lí 1:
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
a, Nếu f’(x)>0 ∀ x ∈ (a;b) thì y = f(x) đồng biến trên khoảng đó.
b, Nếu f’(x)<0 ∀ x ∈ (a;b) thì y = f(x) nghịch biến trên khoảng đó.

2. Định lí 2:
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).
Nếu f’(x) ≥ 0 ( hoặc f’(x) ≤ 0 ) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số điểm hữu
hạn trên (a;b) thì y = f(x) đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên khoảng đó.
3. Điểm tới hạn:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 ∈ (a;b). Điểm x0
được gọi là một điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f’(x) khơng sác định hoặc
bằng 0.

4. Quy tắc tìm tính đơn điệu của hàm số:
- Tìm khoảng đơn điệu của hàm số được thông qua bảng biến thiên.
a, Tìm các khoảng giới hạn.
b, Xác định dấu của đạo hàm trong các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.
c, Suy ra chiều biến thiên của hàm số trong mỗi khoảng.
III. Sự đồng biến, nghịch biến của một số hàm thông dụng.
1. Hàm số bậc nhất:
y= ax+b
(a ≠ 0)
- Tập xác định: R
y’ = a.
a>0 ⇔ y’ > 0 ⇒ Hàm số luôn đồng biến.
a<0 ⇔ y’ < 0 ⇒ Hàm số luôn nghịch biến.
2. Hàm số bậc hai: y = ax 2 + bx + c

(a ≠ 0)

- Tập xác định: R
y’ = 2ax + b.
y’ = 0 ⇔ x = −

b
2a
3


Sáng kiến kinh nghiệm
***************************************************************************
**********************

+ Nếu a>0
x
y’
y

−∞
+∞

−

-

0

−

Hàm số đồng biến trên ( −
+ Nếu a<0
x

+∞

+

+∞

∆
4a

b

b
; + ∞ ) và nghịch biến trên ( − ∞ ; − ).
2a
2a

−∞

y’
y

b
2a

−

+

b
2a

0
−

+∞

-

∆
4a

−∞

Hàm số nghịch biến trên ( −

−∞
b
b
; + ∞ ) và đồng biến trên ( − ∞ ; − ).
2a
2a

- Vẽ đồ thị:
a>0

4


Sáng kiến kinh nghiệm
***************************************************************************
**********************
8

6

4

2

-1
0

b
2a

-5

5

10

5

10

-2

-4

-

4a

-6

-8

a<0
8

6

-

4a
4

2

-1
0

-5

-2

-4

-6

-8

5

b
2a


Sáng kiến kinh nghiệm
***************************************************************************
**********************

3. Hàm số bậc ba: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)

- Tập xác định: R
y’ = 3ax 2 + 2bx + c (a ≠ 0)
2

b 
b 2 − 3ac

3a x +  −
=
3a 
3a

2

b 
∆

= 3a x +  −
3a 
3a

2
+ a, ∆ = b − 3ac < 0 ⇒ y’ cùng dấu với a.

Nếu a> 0 hàm số bậc ba luôn đồng biến.
Nếu a< 0 hàm số bậc ba luôn nghịch biến.
* Bảng biến thiên:

a>0
x
y’
y

−∞

+∞

+

+

+∞

−∞

a<0
x
y’
y

−∞
+∞

+∞

-

-

−∞
6


Sáng kiến kinh nghiệm
***************************************************************************
**********************

* Đồ thị:
a>0

8

6

4

2

-1
0

-5

5

10

-2

-4

-6

a< 0
8

6

4

2

-1
0

-5

5

-2

-4

-6

-8

7

10


Sáng kiến kinh nghiệm
***************************************************************************
**********************

+ b, ∆ = b 2 − 3ac = 0 ⇒ y’ cùng dấu với a với ∀x ≠ −

b
.
3a



Nếu a> 0 hàm số bậc ba luôn đồng biến trên khoảng  − ∞;−

b 
 và tiếp tục
3a 

 b

;+∞  .
 3a


đồng biến trên khoảng  −




Nếu a< 0 hàm số bậc ba luôn nghịch biến  − ∞;−

b 
 và tiếp tục nghịch
3a 

 b

;+∞  .
 3a


biến trên khoảng  −
* Đồ thị:

a>0

8

6

4

2

-1
0

-5

5

-2

-4

-6

a< 0
8

10


Sáng kiến kinh nghiệm
***************************************************************************
**********************
8

6

4

2

-1
0

-5

5

10

-2

-4

-6

-8

+ c, ∆ = b 2 − 3ac > 0 ⇒ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2 ( x1 < x 2 ).

x
y’
y

a>0

−∞

x1

+

+∞

x2

0

-

0

+

+∞

f( x1 )
−∞

x
y’
y

f( x 2 )

a<0

−∞
+∞

x1

-

+∞

x2

0

+

0
f( x 2 )

9

-


Sáng kiến kinh nghiệm
***************************************************************************
**********************
f( x1 )
−∞

* Đồ thị:
a>0
8

6

4

2

-1
0

-5

5

10

-2

-4

-6

-8

a<0
10

8

6

4

2

-1
0

-5

5

-2

-4

-6

4. Hàm số trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c
10

(a ≠ 0)

10


Sáng kiến kinh nghiệm
***************************************************************************
**********************

- Tập xác định: R
y’ = 4ax 3 + 2bx = 2 x( 2ax 2 + b )
- Nếu b > 0 ⇒ y’ = 0 có một nghiệm x = 0
a< 0 : Hàm số đồng biến trên khoảng ( − ∞ ;0) và nghịch biến trên

khoảng ( 0 ; + ∞ ).
a> 0 : Hàm số nghịch biến trên khoảng ( − ∞ ;0) và đồng biến trên
khoảng ( 0 ; + ∞ )
* Bảng biến thiên:

x
y’
y

−∞
+∞

-

a>0
0
0

+∞

+

+∞

f(0)

x
y’
y

−∞

-

a<0
0
0
f(0)

−∞

* Đồ thị :
a>0

11

+∞

+
−∞


Sáng kiến kinh nghiệm
***************************************************************************
**********************
10

8

6

4

2

-10

-5

5

10

-2

-4

-6

a<0
6

4

2

-10

-5

5

10

-2

-4

-6

-8

+ b ≤ 0 ⇒ y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt x = 0 ; x = ±

b
2a

* Bảng biến thiên:
a>0
x
y’
y

−∞
+∞

−

-

b
2a

0

b
2a

0
+

0
f(0)

12

-

0

+∞

+

+∞


Sáng kiến kinh nghiệm
***************************************************************************
**********************

b
b
f( −
)
f(
)
2a
2a

a<0
x

−∞

−

y’
y

-

b
2a

0
f( −

b
2a

0
+

0

-

+∞

0

b
)
2a

f(

+

b
)
2a

f(0)

−∞

−∞

* Đồ thị:

a>0
8

6

4

2

-1
0

-5

5

10

-2

-4

-6

-8

a<0
8

6

4

2

-1
0

-5

5

-2

-4

-6

-8

13

10


Sáng kiến kinh nghiệm
***************************************************************************
**********************

CHƯƠNG II. CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU

CỦA HÀM SỐ
Bài tốn 1.
Cho hàm số y = f(x). Hãy tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm
số.
* Phương pháp giải:
- TXĐ.
- Tìm điểm tới hạn.
- Lập bảng biến thiên.
- Suy ra chiều biến thiên của hàm số.
* Ví dụ 1: Xác định các khoảng đơn điệu của hàm số:
a, y = 2 – x - x 2 .
b, y = x 3 + 3x − 4 .
c, y = x 4 − 2 x 2 − 3 .
x 2 + 3x + 2
.
x
x+2
e, y =
.
3x − 1

d, y =

Giải:

b, y = x + 3x − 4 .
- TXĐ: R
- y’ = 3x 2 + 3 > 0 , ∀x ∈ R
⇒ Hàm số đồng biến trên khoảng ( − ∞;+∞ )
c, y = x 4 − 2 x 2 − 3 .

- TXĐ: R
- y’ = 4 x 3 − 4 x = 4 x( x 2 − 1)
3

x = 0

Y’ = 0 ⇔  x = −1
x = 1


Bảng biến thiên:
−∞
x
y’
+∞
y

-1
0

0
0

+

14

-

1

0

+∞

+

+∞


Sáng kiến kinh nghiệm
***************************************************************************
**********************
⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng ( − ∞;−1 ) và (0;1)
Hàm số đồng biến trên khoảng (-1;0) và (1; + ∞ )

* Ví dụ2: Xác định các khoảng đơn điệu của hàm số:
a, y = e x - x.
b, y = x. lnx.
Giải:
a. TXĐ: R .
y’ = e x - 1.
y’ > 0 ⇔ e x - 1 > 0 ⇔ e x > 1 = e 0 ⇔ x > 0.
y’ < 0 ⇔ x < 0.
⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng ( − ∞;0 )
Hàm số đồng biến trên khoảng (0; + ∞ )
b, y = x. lnx.
*
TXĐ: R +
y’ = lnx + x.

1
= lnx + 1
x

1
.
e
1
x < e −1 = .
e

y’ > 0 ⇔ lnx > 1 = ln e −1 ⇔ x > e −1 =
y’ < 0 ⇔ lnx < 1 = ln e −1 ⇔

1
⇒ Hàm số nghịch biến trên khoảng ( 0; )
e
1
Hàm số đồng biến trên khoảng ( ;+∞ )
e

BÀI TOÁN 2:
Cho hàm số y = f(x). Có tập xác định R. Tìm điều kiện để hàm số ln
ln đồng biến.
* Phương pháp giải:
- Tính y’.
- Hàm số luôn đồng biến ⇔ y’ ≥ 0, ∀x ∈ R
Bài tốn trở thành “ Tìm điều kiện để y’ ≥ 0, ∀x ∈ R ”.
+) Giả sử y’ = f’(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)

15


Sáng kiến kinh nghiệm
***************************************************************************
**********************
a > 0
Để hàm số đồng biến ⇔ 
∆ ≤ 0
+) Giả sử y’ = f’(x) = ax + b
(a ≠ 0)

Ta thấy: Hàm số có đạo hàm là một nhị thức bậc nhất hoặc có đạo hàm
đồng dấu với nhị thức bậc nhất thì hàm số không bao giờ đồng biến được.
+) Giả sử y’ = f’(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0)
y’ = 0 Ln có ít nhất một nghiệm thực, do đó hàm số tương ứng khơng
thể đồng biến.
* CHÚ Ý: Dạng bài tốn tìm điều kiện để hàm số y = f(x) luôn nghịch biến làm
tương tự như trên.
* Ví dụ 1:
Chứng minh rằng hàm số sau đồng biến trên R.
y = x + cosx.
Giải:
TXĐ: R
y’ = 1 – sinx ≥ 0, ∀x ∈ R . Vì sin x ≤ 1 ⇒ Hàm số ln đồng biến trên R.
* Ví dụ 2:
Cho hàm số y = x 3 − 3( 2m + 1) x 2 + (12m + 5) x + 2 . Tìm m để hàm số luôn
đồng biến.
Giải:
y’ = 3x 2 − 6( 2m + 1) x + (12m + 5) .

2
∆ ’ = 9( 2m + 1) − 3(12m + 5)
= 36m 2 + 36m + 9 − 36m − 15
= 36m 2 − 6 = 6( 6m 2 − 1)
Để hàm số ln đồng biến thì ta phải có:
1
1
2
≤m≤
y’ ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ ∆' ≤ 0 ⇔ ( 6m − 1) ≤ 0 ⇔ −
.
6
6
1
1
≤m≤
Vậy các giá trị của m cần tìm là −
6
6
* Ví dụ 3:
Cho hàm số y =(m – 3)x – (2m + 1 )cosx. Tìm m để hàm số luôn nghịch
biến.
Giải:
y’ = (m – 3) + (2m + 1)sinx
Để hàm số ln đồng biến thì ta phải có:
y’ ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔ ( m − 3) + ( 2m + 1) sin x ≤ 0 , ∀x ∈ R .
16


Sáng kiến kinh nghiệm

***************************************************************************
**********************
Đặt t = sinx với − 1 ≤ t ≤ 1 .

Bài toán trở thành: Xác định m để:
g(t) = (m – 3) + (2m + 1).t ≤ 0, ∀t ∈ [ − 1;1]
m ≥ −4
 g ( − 1) ≤ 0
( m − 3) − ( 2m + 1) ≤ 0
− m − 4 ≤ 0

⇔
⇔
⇔
⇔
2
 g (1) ≤ 0
( m − 3) + ( 2m + 1) ≤ 0
3m − 2 ≤ 0
m ≤ 3

2
⇔ −4 ≤ m ≤
3
2
Vậy giá trị của m cần tìm là: − 4 ≤ m ≤
3

* Ví dụ 4:
Cho hàm số y = x 3 − ( 2m + 1) x 2 − ( 2m 2 − 3m + 2) x + 2m( 2m − 1) .

minh rằng hàm số không thể luôn luôn đồng biến.
Giải:
y’ = 3 x 2 − 2( 2m + 1) x − 2m 2 − 3m + 2 .

(

∆’ =

(

Chứng

)

( m + 1) 2 + 3( 2m 2 − 3m + 2)

= m 2 + 2 m + 1 + 6m 2 − 9m + 6
= 7 m2 − m + 1

(

)

)

Vì m 2 − m + 1 > 0, ∀m ⇒ ∆ > 0, ∀m . Do đó, y’ = 0 ln coc hai nghiệm phân
biệt, ∀ m . Suy ra đạo hàm không luôn luôn dương. Vậy hàm số không luôn
luôn đồng biến.
* BÀI TOÁN 3:
Cho hàm số y = f(x;m), m là tham số.

Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng ( α ;+∞ ).
* Phương pháp giải:
y’ = f’(x;m).
Hàm số đồng biến trên khoảng ( α ;+∞ ) ⇔ y ' ≥ 0 , ∀x > α .
+) Giả sử y’ = g(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0). Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x).
Hàm số đồng biến trên khoảng ( α ;+∞ ).
a > 0
∆ > 0

a > 0

⇔
⇔  g (α ) > 0
hoặc
∆ ≤ 0

α > S

2

+) Giả sử y’ = g(x) = ax + b (a ≠ 0). Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x).
Hàm số đồng biến trên khoảng ( α ;+∞ ).
17


Sáng kiến kinh nghiệm
***************************************************************************
**********************
a > 0
⇔

g (α ) ≥ 0
* CHÚ Ý: Tương tự cho hàm số nghịch biến trên khoảng ( α ;+∞ ).

* Ví dụ 1: Xác định m để hàm số:
y=

2 3
x − 2mx 2 + ( m 2 − 2m − 1) x + 1 đồng biến trong khoảng (1;+∞ ) .
3

Giải:
y’ = 2 x 2 − 4mx + ( m 2 − 2m − 1)
2
2
∆ ’ = 4m − 2( m − 2m − 1)
= 2( m 2 + 2m + 1)
= 2( m + 1) 2 ≥ 0

2
-) Nếu m = -1 ⇒ y ' = 2( x + 1) ≥ 0 . Hàm số luôn luôn đồng biến ⇒ Hàm số

đồng biến trong khoảng (1;+∞ ) . Do đó, giá trị m = -1 là thích hợp.
-) Nếu m ≠ -1 ⇒ ∆ '> 0 , y’ có hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2 . Giả sử x1 < x 2 .
Ta có, y’ ≥ 0, ∀x ∉ ( x1 ; x 2 ) .
Điều kiện để hàm số đồng biến trong khoảng ( − 1;+∞ ) là:

∆ ' > 0

 y ' (1) ≥ 0
S

 <1
2

 m ≠ −1

⇔ m 2 − 6 m + 1 ≥ 0
m < 1


⇔ m ≤ 3 − 2 2 và m

≠ -1

Vậy: m ≤ 3 − 2 2
* Ví dụ 2: Xác định m để hàm số:
y = 2 x 3 − 3(m + 2) x 2 + 6( m + 1) x − 3m + 6 đồng biến trong khoảng ( 5;+∞ ) .
Giải:
2
y’ = 6 x − 6(m + 2) x + 6( m + 1)
y’ = 0 có hai nghiệm x = 1, x = m + 1.
-) Nếu m = 0 ⇒ y '≥ 0 ⇒ Hàm số luôn luôn đồng biến ⇒ Hàm số đồng biến
( 5;+∞ ) . Do đó, giá trị m = 0 thích hợp.
-) Nếu m ≠ 0: y’ có hai nghiệm phan biệt x1 ; x 2 . Giả sử x1 < x 2 .
Ta có, y’ ≥ 0, ∀x ∉ ( x1 ; x 2 ) .
Điều kiện để hàm số đồng biến trong khoảng ( 5;+∞ ) là:
y’ ≥ 0, ∀x > 5 ⇔ x1 < x 2 ≤ 5 ⇔ m + 1 ≤ 5 ⇔ m ≤ 4
18


Sáng kiến kinh nghiệm

***************************************************************************
**********************
Vậy m ≤ 4 thoả mãn yêu cầu bài tốn.

* Ví dụ 3: Xác định m để hàm số:
mx 2 + 6 x − 2
y=
nghịch biến trong khoảng (1;+∞ ) .
x+2

TXĐ: R\ { 2}

Giải:

mx 2 + 4mx + 14
y’ =
( x + 2) 2
y ' ≤ 0, ∀x ≥ 1 ⇔ mx 2 + 4mx + 14 ≤ 0, ∀x ≥ 1

m < 0

⇔ m(5m + 14) ≥ 0 ⇔

S
− 2 = < 1
2


m < 0


14
14

m ≤ − ⇔ m ≤ −
5
5

− 2 < 1


* BÀI TOÁN 4:
Cho hàm số y = f(x;m), m là tham số.
Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng ( − ∞; α ).
* Phương pháp giải:
y’ = f’(x;m).
Hàm số đồng biến trên khoảng ( − ∞; α ) ⇔ y ' ≥ 0 , ∀x < α .
+) Giả sử y’ = g(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0). Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x).
Hàm số đồng biến trên khoảng ( − ∞; α ).
a > 0
∆ > 0

a > 0

⇔
⇔ g (α ) > 0
hoặc
∆ ≤ 0

α < S



2
+) Giả sử y’ = g(x) = ax + b (a ≠ 0). Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x).
Hàm số đồng biến trên khoảng ( − ∞; α ).
a < 0
⇔
g (α ) ≥ 0

* CHÚ Ý: Tương tự cho hàm số nghịch biến trên khoảng ( − ∞; α ).
* Ví dụ 1: Xác định m để hàm số:
y = x 3 − 3( 2m + 1) x 2 + (12m + 5) x + 2 đồng biến trong khoảng ( − ∞;−1) .
Giải:
y’ = 3x 2 − 6(2m + 1) x + (12m + 5)
19


Sáng kiến kinh nghiệm
***************************************************************************
**********************
2
∆ ’ = 9(2m + 1) − 3 12m + 5

(

)

= 36m 2 + 36m − 6 − 36m
= 6( 6m 2 − 1)

Để hàm số đồng biến trên khoảng ( − ∞;−1) , thì y’ ≥ 0, ∀x < −1 .

∆' ≤ 0


 ∆ > 0
 y ' ( − 1) > 0

 S
 2 > −1


(

1
 1
− 6 ≤ m ≤ 6

 7
1
⇔ − < m < −
6
 12

 
1
m >
6



Vậy m > −

)

 6m 2 − 1 ≤ 0

2
6m > 0
⇔ 
24m + 14 > 0

2( 2m + 1) > −1



⇔m>−

1
 1
− 6 ≤ m ≤ 6

 
1
  m < −
6
 
 
1
  m >
⇔ 

6



7
 m > −
12


3
 m > −
4





7
12

7
12

* Ví dụ 2: Xác định m để hàm số:
y=

mx + 4
nghịch biến trong khoảng ( − ∞;−1) .
x+m

TXĐ: R\ { − m}

Giải:

m2 − 4
y’ =
( x + m) 2

Để hàm số nghịch biến trên khoảng ( − ∞;−1) , thì y’ giảm trên khoảng ( − ∞;−1)
m 2 − 4 < 0
⇔
− m ∉ ( − ∞;−1)

− 2 < m < 2
⇔
− m ≥ −1

⇔ −2 < m ≤ 1

20


Sáng kiến kinh nghiệm
***************************************************************************
**********************

* BÀI TOÁN 5:
Cho hàm số y = f(x;m), m là tham số.
Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng ( α ; β ).
* Phương pháp giải:

y’ = f’(x;m).
Hàm số đồng biến trên khoảng ( − ∞; α ) ⇔ y ' ≥ 0 , ∀x < α .
+) Giả sử y’ = g(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0). Hoặc y’ luôn cùng dấu với g(x).
Nếu a>0 thì
Hoặc ∆ ≤ 0

hoặc


∆ > 0

g ( β ) > 0

S
β <
2


hoặc


∆ > 0

 g (α ) > 0
S
 <α
2

∆ > 0


Nếu a>0 thì  g ( α ) > 0
g ( β ) > 0


+) Giả sử y’ = g(x) = ax + b (a ≠ 0). Hoặc y’ ln cùng dấu với g(x).
Ta cần có y’ ≥ 0, ∀x ∈ ( α ; β )
a > 0

⇔ g (α ) ≥ 0
g ( β ) ≥ 0


hoặc

g (α ) ≥ 0
⇔
g ( β ) ≥ 0

a < 0

⇔ g (α ) ≥ 0
g ( β ) ≥ 0


* CHÚ Ý: Tương tự cho hàm số nghịch biến trên khoảng ( α ; β ).
* Ví dụ 1: Xác định m để hàm số:
y = − x 3 + mx 2 − m đồng biến trong khoảng (1;2 ) .
Giải:
2
y’ = − 3x + 2mx

x = 0
y’ = 0 ⇔ 3x − 2mx = 0 ⇔ 
 x = 2m
3

2

Giả sử x1 < x 2 . Ta có, y’ > 0, ∀x ∈ ( x1 ; x 2 ) . Hàm số đồng biến trong khoảng (1;2)
⇔ y ' > 0, ∀x ∈ (1;2) . Điều kiện phải có là:
x1 = 0 < 1 < 2 < x 2 =

− 3g (1) < 0
2m
⇔
3
− 3 g ( 2 ) ≤ 0

với g(x) = − 3x 2 + 2mx

21


Sáng kiến kinh nghiệm
***************************************************************************
**********************
3

− 3 + 2 m > 0
m >
⇔

⇔
⇔m≥3
2
− 12 + 4m ≥ 0
m ≥ 3

Vậy m ≥ 3

* Ví dụ 2: Xác định a để hàm số:
x3
y = − + ( a − 1) x 2 + ( a + 3) x đồng biến trong khoảng ( 0;3) .
3

y’ = − x + 2( a − 1) x + a + 3

Giải:

2

∆' = a 2 − a + 4 > 0, ∀a

⇒ y’ có hai nghiệm phân biệt x1 ; x 2 . Giả sử x1 < x 2 . Ta có, y’ > 0, ∀x ∈ ( x1 ; x 2 ) .
Hàm số đồng biến trong khoảng ( 0;3)
⇔ y ' > 0, ∀x ∈ ( 0;3) . Điều kiện phải có là:
− 1g ( 0 ) ≤ 0
x1 ≤ 0 < 3 ≤ x 2 ⇔ 
với g(x) = − x 2 + 2( a − 1) x + a + 3
− 1g ( 3) ≤ 0
 g ( 0) ≥ 0
⇔

 g ( 3) ≥ 0

Vậy a ≥

a + 3 ≥ 0
⇔
− 9 + 6( a − 1) + a + 3 ≥ 0

 a ≥ −3

⇔  12
a ≥ 7


⇔a≥

12
7

12
7

KẾT QUẢ KINH NGHIỆM
Tài liệu này đã được thông qua tổ…………, được các địng nghiệp góp ý.
Qua q trình giảng dạy đã được bổ sung. Tài liệu này đã đạt được một số kết
quả:
- Hệ thống được các phương pháp giải toán xác định tính đơn điệu của
hàm số, mỗi phương pháp được minh hoạ bằng một số ví dụ cụ thể.
- Thơng qua việc giảI bài tốn xác định tính đơn điệu của hàm số giúp học
sinh cùng cố, đào sâu kiến thức, thấy được sự liên hệ chặt chẽ các kiến thức tốn

học.
- Việc giảI bài tốn xác định tính đơn điệu của hàm số khơng chỉ nhằm
hình thành kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh mà còn phát huy được tính
tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh. Đây chính là vấn đề mấu chốt, là mục
tiêu cơ bản của dạy học hiện đại.
22


Sáng kiến kinh nghiệm
***************************************************************************
**********************

Những két quả trên đây tuy còn nhỏ bé nhưng cũng giúp cho việc giảng
dạy và học tập được chủ động và đạt kết quả cao hơn. Học sinh có tiến bộ và u
thích mơn tốn hơn.
Tuy nhiên tài liệu vẫn còn sơ sài, rất mong sự đóng góp của đồng nghiệp
để tài liệu được đầy đủ và hồn thiện hơn. TơI xin chân thành cảm ơn.

23