Các bài toán hình học cơ bản và nâng cao trong kì thi tuyển sinh lớp 10 tập 2

Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9


Tập 2
Họ và tên :___________________________________
Lớp :______________________________________
Trang 1
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9


Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi E, F là trực tâm tam giác ABO, ACO. D
là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC. Chứng minh D, E, F thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM, phân giác AN. Đường vuông góc với
AN tại N cắt AM , AB tại Q, P. Đưởng vuông góc với AB tại P cắt AN tại K.
Chứng minh KQ vuông góc BC.
Bài 3: Cho tam giác ABC ,I là tâm đường tròn nội tiếp.qua A,B,C dựng các đường
thẳng m,n,p.m cắt n tại C1.m cắt p tạí B1.Va n căt p tại A1.Goi M la điêm bất kỳ
không thuộc AA1 ,BB1,CC1
CMR:tâm các đường tròn ngọai tiếp các tam giác MAA1,MBB1,MCC1 thẳng hang
Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O có BADˆ tù
Đường thẳng qua A vuông góc với AD,AB cắt CB,CD tại E,F.
Chứng minh rằng O,E,F thẳng hang
Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). MN là dây cung chuyển động nhưng độ dài
không đổi. Chứng minh đường thẳng Simson của M và N với tam giác ABC hợp
với nhau 1 góc không đổi.
Bài 6: Cho tam giác ABC nhọn đường cao AH vẽ ra phía ngoài tam giác hai tia
Ax,Ay tạo với AB,AC hai góc nhọn bằng nhau gọi I và K là hình chiếu của B,C trên
Ax,Ay M là trung điểm của BC cmr:
a> MI=MK
b>I,M,K,H cùng thuộc một đường tròn
Bài 7: Cho hình vuông ABCD.Giả sử E là trung điểm cạnh CD và F là một điểm ở

bên trong hình vuông.Xác định điểm Q thuộc cạnh AB sao cho AQEˆ=BQFˆ
Bài 8: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F . ( CDF)
cắt (BCE) tại M. AC cắt BD tại N . CMR: M, N , O thẳng hàng.
Bài 9: Cho tam giac ABC, điểm M tùy ý trên cạnh BC. Vẽ trung trực BM, CM
tương ứng cắt AB ở P, Ac ở Q. c/m rằng đường thẳng qua M, vuông góc với PQ đi
Trang 2
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9


qua K cố định.
Bài 10: Cho đường tròn (O) bán kính R . A và B là hai điểm cố định trên đường
tròn, (AB<2R) . Giả sử M là một điểm thay đổi trên cung lớn AB của đường tròn .
a) Kẻ từ B đường thẳng vuông góc với AM, đường thẳng này cắt AM tại I và cắt
đường tròn (O) tại N . Gọi J là trung điểm của MN . Chứng minh rằng khi M thay
đổi trên đường trỏn thì mỗi điểm I, J đều nằm trên một đường tròn cố định .
b) Xác định vị trí của điểm M để chu vi của tam giác AMB lớn nhất .
Bài 11: Cho đường tròn (O) và điểm I ở trong đường tròn . Dựng qua I hai dây cung
bất kì MIN và EIF . Gọi M', N', E', F' là các trung điểm của IM, IN, IE, IF .
a) Chứng minh rằng tứ giác M'E'N'F' nội tiếp .
b) Giải sử I thay đổi, các dây cung MIN và EIF thay đổi. Chứng minh rằng vòng
tròn ngoại tiếp tứ giác M'E'N'F' có bán kính không đổi .
c) Giả sử I cố định, các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng luôn vuông góc với
nhau . Tìm vị trí của các dây cung MIN và EIF sao cho tứ giác M'E'N'F' có diện tích
lớn nhất .
Bài 12: Cho tam giac ABC. Tren tia AB, CB lay diem p va Q sao cho AP=CQ=p (p
la nua chu vi cua tam giac ABC) . BK la duong kinh duong tron (O) ngoại tiếp tam
giác ABC. (O',r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
a) C/m KO' vuong goc voi PQ
b) Gọi M là một điểm di động trên tia AB (M khac A va B) , N là điểm di động trên
tia AC sao cho AM+AN=AB=AC không đổi. C/m trung điểm của MN luôn chay

trên một đoạn thẳng cố định. Tìm vị trí của M,N để MN min
c) Qua O' kẻ các đường thẳng song song voi cac cạnh của tam giác. Mỗi đường
thẳng này cắt hai cạnh còn lại của tam giác tao thành các đoạn thẳng MN, PQ, KL.
C/m: MN2+PQ2+KL2≥16r2
Bài 13: Cho ABC, kẻ đường cao AH. Nửa đường tròn đường kính MN tiếp xúc
với AB và AC ở C' và B' (MN thuộc BC)
CMR: AH, BB', CC' đồng quy
Bài 14: Cho ABC, Gọi (O1),(O2),(O3) lần lượt là các đường tròn bàng tiếp
Aˆ,Bˆ,Cˆ và các tiếp điểm tương ứng là A', B', C'
Trang 3
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9


CMR: AA', BB', CC'đồng quy tại M ( gọi là điểm Naghen)
Bài 15: Cho △ABC,I la giao diem cac duong phan giac trong tam giac .duong
thang d qua I cat tia BC va cac doan AC,AB lan luot tai D,E,F. CMRP:
BC.ID+AC.IE=AB.IF
Bài 16: Cho tam giác ABC cân tại A. góc BAC bằng 30 độ. O là 1 điểm nằm trên
đường trung tuyến AD sao cho AO=OC. Các đường BO,CO lần lượt cắt các đoạn
AC,AB tại các điểm tương ứng E,F. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các đoạn
thẳng BO,OF,BF,CE.
1)Chứng minh tứ giác CMNE nội tiếp
2)Chứng minh tam giác MNQ đều
3)Gọi H là trực tâm của tam giác MNQ, chứng minh H,O,A thẳng hàng.
Bài 17: (O) (O') {M,N}. tiếp tuyến chung ngoài AB, cát tuyến CD qua M
không song song với AB. AC cắt BD ở E, AN cắt CD ở P, BN cắt CD ở Q.
CM EPQ cân.
Bài 18: Cho tam giac ABC vuông ở A.trên tia AB lấy E trên tia AC lấy F sao cho
BE=CF=BC.trên đường tròn đường kính BC lấy điểmM.CMR:MA+MB+MC
FE

Bài 19: Cho hình thang ABCD, trên hai đường chéo AC, BD lấy M, N sao cho
góc DMB bằng góc ANC. Chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp.
Bài 20: Cho tứ giác ABCD.M di động trên đoạn AB. 2 đường tròn (MAC),(MBD)
giao nhau M,N. Tìm Quĩ tích N.
Bài 21: Cho tam giác ABC.M thuộc tam giác,hạ MH,MI,MK vuông góc với
CB,AC,AB.đg thg qua A vuông góc với IK cắt dg thg qua C vuông góc IH tại
O.Biết góc HIK=90 độ.CMR:O là trực tâm tam giác BHK
Bài 22: cho tam giác ABC có a<b<c.O thuộc tam giác.OA,OB,OC cắt các cạnh
đối tại M,N,P.Cm:
Trang 4
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9


OM+ON+OP<a
Bài 23: Cho tứ giác ABCD có E là trung điểm AB,F là trung điểm CD,1 đường
thẳng d bất kì cắt AD,BC,AC,BD,EF tại M,N,P,Q,R.Cm:
MAMD+NBNC+PAPC+QBQD≥4RERF
Bài 24: Cho hình vuông ABCD.Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì.AM cắt CD tại
N.2 đường chéo hình vuông cắt nhau tại O.OM cắt BN tại P.CMR:CP vuông góc
với BN.
Bài 25: cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp đường tròn O.CM:ba đường thẳng nối
các đỉnh đối nhau đồng quy
Bài 26: Cho hai đường tròn ngoài nhau(O1) và (O2) cắt (O) tại 4 điểm.Gọi B,C là
2 trong 4 điểm đó sao cho B,C nằm về 1 phía với O1O2.Chứng minh rằng BC
song song với một tiếp tuyến chung ngoài của (O1) và(O2)
Bài 27: Mở rộng định lý Napoléon
Cho hình lục giác ABCDEF có các cặp cạnh đối song song.phía ngoài dựng các
tam giác đều trên mỗi cạnh.CM:Tâm đg tròn ngoại tiếp các tam giác đều tạo thành
1 hình lục giác có các cặp cạnh đối song song.
Bài 28: cho tam giác ABC,đg cao BE,CF.Hạ EM vuông góc AB,FN vuông góc

AC.CMR:MN song song với BC
Bài 29: Cho tam giác ABC.M Chuyển động trên cạnh BC.Vẽ hình bình hành
MEAF với E AB,F AC.Gọi N là điểm chia đoạn EF theo tỉ số 1/3.Tm giác
ANK vuông cân tại N.Tìm tập hợp K
Bài 30: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R vẽ hai tiếp tuyến
MA, MB (A,B là tiếp điểm ) và một đưởng thẳng qua M cắt đường tròn tại C và
D. Gọi I là trung điểm của CD. Gọi E,F,K lần lượt là các giao điểm của đường
thẳng AB với các đường thẳng MO,MD,OI.
Trang 5
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9


1/Chứng mình rằng R2=OE.OM=OI.OK
2) Chứng minh rằng 5 điểm M,A,B,O,I cùng thuộc một đường tròn
3) Khi CAD nhỏ hơn cung CBD, chứng minh rằng DECˆ=2DBCˆ
Bài 31: Từ một điểm P ở ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PE,PF tới đường
tròn (E,F là hai tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi đi qua P, cắt đường tròn tại hai
điểm A,B ( A nằm giữa P và B) và cắt EF tại Q.
a) Khi cat tuyến đi qua O, Chứng minh : PAPB=QAQB(1)
b) đẳng thức (1) có còn đúng không, khi cát tuyến trên không đi qua điểm O?
Hãy chứng minh điều đó.
Bài 32: Cho ABC nhọn . M di động trên[BC]. Đường tròn đường kính AM
cắt AB,AC ở P,Q. Tiếp tuyến của nó tại P,Q cắt nhau ở T.
Tìm quĩ tích T khi M di động
Bài 33: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). M,N lần lượt nằm trên [AB],[CA]. K là
trung điểm MN.d là trung trực [BC].(AMC) (ANB)={A,T}.
C/m:AT đi qua O d đi qua K.
Bài 34: Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Gọi (O) là đường tròn
ngoại tiếp tam giác AHC. Trên cung nhỏ AH của đường tròn (O) lấy điểm M bất
kì khác A.Trên tiếp tuyến tại M của đường tròn (O) lấy hai điểm D và E sao cho

BD = BE =BA. Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 N.
a) Chứng minh rằng tứ giác BDNE nội tiếp một đường tròn.
b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tứ giác BDNE và đường tròn (O) tiếp xúc
với nhau.
Bài 35: Cho tam giác ABC có trực tâm H,M thuộc tam giác. Đường thẳng qua H
vuông góc với AM cắt BC tại A'. Đường thẳng qua H vuông góc với BM cắt CA
tại B'. Đường thẳng qua H vuông góc với CM cắt AB tại C',CMR:A',B',C' thẳng
hang
Bài 36: Cho ABC (AB<AC) có đường cao AH. HD và HE lần lượt với
AB,AC.
Trang 6
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9


DE cắt BC tại F. AH cắt BE tại I. IK AF, M là trung điểm BC.
CMR: K,I,M thằng hàng.
Bài 37: Xét hai đường tròn (O) và (I) tiếp xuc ngoài nhau tại T. Môt đường thẳng
tiếp xúc với (I) tại X cắt (O) tại các điểm A và B.Gọi S là giao điểm thứ hai của
(O) với XT. Trên cung TS ko chứa A và B chọn môt điểm C. Gọi CY là tiếp tuyến
từ C đến (I) với Y thuộc (I) sao cho CY ko cắt ST.Gọi E là giao điểm của XY và
SC .c/m E là tâm đường tròn bàng tiếp góc A tam giác ABC
Bài 38: Cho (O) đường kính AB, trên cung AB lấy C,D sao cho cung AD>cung
AC.Trên cung AB còn lại lấy E, CE AD tại I,OI EB tại K.
CM:KD vuông góc với CD
Bài 39: Cho tam giác ABC với trọng tâm G và nội tiếp trong đường tròn bán kính
R. Các đường trung tuyến AA' , BB' , CC ' kéo dài cắt đường tròn ngoại tiếp lần
lượt tại A1,B1,C1. Chứng minh rằng :
3R≤1GA1+1GB1+1GC1≤3√(1AB+1BC+1CA)
Bài 40: C là một điểm nằm trên đường kính AB của nửa đường tròn tâm O, khác
A,B,O. Hai tia vuông góc với nhau qua C cắt nửa đường tròn tại D,E. Đường

thẳng qua D vuông góc với DC cắt lại đường tròn tại K. Chứng minh rằng nếu K
không trùng E thì KE song song AB
Bài 41: Cho tam giác ABC,đg cao BB',CC'.
L,M,N là trung điểm C'B',BC',CB'.
Đường thẳng qua M vuông góc với BL cắt đg thg qua N vuông góc với CL tại K.
CMR:KB=KC
Bài 42: cho tam giác ABC có đường tròn (O) qua B và C cắt AB và AC lần lượt
tại E và F.Một đường tròn(T) tiếp xúc với AE, AF và tiếp xúc ngoài với cung EF
của đưởn tròn (T) tại M.chứng minh phân giac' góc BMC đi qua tâm đưởng tròn
nội tiếp tam giác ABC
Bài 43: cho tứ giác ABCD, kẻ 2 đường thẳng song song với AC 1 đường cắt AB
Trang 7
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9


và BC lần lượt tại G và H,đường kia thì cắt CD và AD lần lượt tại E và F cm
BD,GE và FH đồng quy
Bài 44:
1.ΔABCVẽ ra ngoài 2 ΔABE,ACF vuông cân tại A.M tđ BC. CMR:MA⊥EF
2.ΔABCVẽ ra ngoài 3 ΔABE,ACF,BCK đều.G trọng tâm BCK. CMR:GA⊥EF
Bài 45: Cho lục giác ABCDEF. Các điểm M,N,P,Q,R,S lần lượt di chuyển trên
các cạnh AB,BC,CD,DE,EF,FA sao cho:
AMAB=BNBC=CPCD=DQDE=EREF=FSFA
Chứng minh rằng trọng tâm hai tam giác MPR và NQS luôn đối xứng nhau qua
một điểm cố định
Bài 46: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi K là trung điểm đường
cao. Giả sử D là tiếp điểm của (I) với BC. Đặt N là giao của DK và (I).
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BNC tiếp xúc với (I) tại N
Bài 47: Cho tam giác ABC.I là điểm bên trong tam giác ABC sao cho góc IBA
bằng góc ICA .IM vuông góc với AB tại M,IN vuông góc với AC tại N.D là trung

điểm BC.Cm tam giác DMN cân
Bài 48: Cho tam giác ABC nội tiếp đừơng tròn tâm O,điểm I nằm trong tam
giác.Nối AI,BI,CI cắt đường tròn tại các điểm A',B',C'.Nối B'C',C'A',A'B' cắt các
cạnh của tam giác lần lượt ở M,N,P,Q,E,F
Chứng minh rằng:Nếu AM=AN,BP=BQ,CE=CF đồng thời thì I là tâm đường tròn
nội tiếp tam giác
Bài 49: Trong mặt phẳng cho 2 đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau ở A và B.Các
tiếp tuyến tại A và B cắt nhau ở K.M nằm trên (O1) ( A,B).AM cắt (O2) ở điểm
thứ hai P, đường thẳng KM cắt (O1) ở điểm thứ hai C và đường thẳng AC cắt
(O2) ở điểm thứ hai Q.CMR trung điểm PQ nằm trên đường thẳng MC
Bài 50: Cho ABC có góc A>góc B>góc C nội tiếp trong (O),ngoại tiếp (I).M là
điểm chính giữa cung nhỏ BC.N là trung điểm BC.E đối xứng với I qua N.ME cắt
Trang 8
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9


(O) tại điểm thứ hai Q.CMR:BQ=AQ+CQ
Bài 51: Cho tam giác ABC vuông tại C. Đường tròn tâm O đường kính CD cắt
AC ;BC TAI E ;F thứ tự (D là là chân đường vuông góc hạ từ C xuống AB). Gọi
M là giao điểm thứ 2 của BE với (O). AC và MF cắt nhau tại K; P là giao điểm
của EF và BK.
a) CM: B;M;F;P cùng thuộc 1 đường tròn.
b) Giả sử D;M;P thẳng hàng. Tính ∠BAC
c) Giả sử D;M;P thẳng hàng. CM: CM vuông góc với đường nối tâm đường tròn
ngoại tiếp 2 MEO;MFP.
Bài 52: Cho hai đường tròn (01;R) và (02;r)cắt nhau tại A; B .Từ điểm C trên tia
đối của tia AB vẽ các tiếp tuyên CD;CE với (01). D;E là các tiếp điểm ;E nằm
trong đường tròn (02). AD;AE cắt (02) tại M;N .CMR: DE cắt MN tại trung điểm
của MN.
Bài 53: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm trong đường tròn. Cát tuyến thay đổi

qua A cắt đường tròn tại B và C. Tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại P. Tìm quĩ tích
P.
Bài 54: Cho tam giác ABC. Trực tâm H. Kẻ AA', BB', CC' sao cho các tia phân
giác của các góc A'AH, B'BH, C'CH song song với nhau. CMR các đường thằng
AA', BB', CC' đồng qui tại 1 điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 55: cho hình bình hành ABC. Trên BA và CD lấy M và K sao cho AM=CK.
Trên AD lấy P tùy ý. MK cắt PB và PC tại E và F.
Chứng minhSPEF=SBME+SCKF
Bài 56: cho tư giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O.Gọi I là giao điểm của
AC và BD.Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB và ICD . Qua I ,dựng đường
thẳng d bất kì cắt Đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB và ICD và đường tròn
ngọai tiếp tứ giác ABCD lần lượt tại 4 điểm M ,N,P,Q.Chứng minh MN = PQ
Bài 57: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O.MN là một đường
kính di động của đường tròn này.Gọi m là đường thẳng sim son được vẽ từ điểm
Trang 9
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9


M xuống các cạnh của tam giác ABC.Định nghĩa tương tự với đối với đường
thẳng n(được vẽ bởi điểm N).Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng sim son m và
n.Tìm quỹ tích của I.
Bài 58:cho tam giác ABC ,I là tâm đường tròn nội tiếp.qua A,B,C dựng các đường
thẳng m,n,p. đường thẳng m cắt n tại C1. đường thẳng m cắt p tạí B1. Và đường
thẳng n cắt p tại A1. Gọi M là điểm bất kỳ không thuộc AA1 , BB1, CC1
CMR: tâm các đường tròn ngọai tiếp các tam giác MAA1, MBB1, MCC1 thẳng
hàng
Bài 59:Chứng minh rằng: không thể phủ đươc 1 hình vuông cạnh là 5 bởi 3 hình
vuông có cạnh là 4
Bài 60 :Cho tam giác ABC vuông cân tại A có AB=AC=10. Tam giác DEF vuông
cân ở D nội tiếp tam giác ABC (D thuộc AB, F thuộc AC, E thuộc BC).

Xác định vị trí của điểm D để diện tích tam giác DEF nhỏ nhất
Bài 61 :Cho hình thang cân ABCD (AD song song BC) ngọai tiếp (O; 1 cm) và nội
tiếp (I). Gọi M là trung điểm cạnh AB, biết MI = 4 cm. Tính diện tích hình thang
ABCD
Bài 62 :
1/Cho tam giác ABC cân tại A, Gọi E và F là các điểm lấy trên AB, AC sao cho
trung điểm I của EF thuộc cạnh BC. Chứng minh đường tròn ngọai tiếp tam giác
AEF luôn đi qua một điểm D cố định thuộc tia phân giác góc BAC
2/ Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Kẻ hai đường cao BB' và CC'. C/m OA vuông
góc B'C'
3/ Cho nửa (O) đường kính AB bằng 2R và bán kính OC vuông góc với AB. Tìm
điểm M trên nửa đường tròn sao cho 2MA2=15MK2, trong đó, K là chân đường
vuông góc hạ từ M xuống OC
Bài 63: Các điểm D,E,F lần lượt chia 3 cạnh BC, CA, AB theo tỉ lệ 1:3
( 3BD=BC)
Các đoạn AD, BE,CF tạo thàng một hình tam giác (nho nhỏ ở giữa hình tam giác
Trang
10
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9


lớn)
Tính diện tích tam giác nhỏ phía trong (không phải là tam giác DEF đâu, mà là nối
D (trên BC) với A,E (trên CA) với B,F (trên AB) với C)
Bài 64:Cho hai đường tròn tâm (O) và (Ó) cắt nhau ở A và B .1 điểm M chuyển
động trên (O), N chuyển động trên (Ó) cũng xuất phát từ A chuyển động cùng
chiều kim đồng hồ.Ở một thời điểm tính theo chiều kim đồng hồ số đo cung AM
bằng số đo cung AN.
a)CMR:M,N cách đều một điểm.
b)Nếu M,N chuyển động ngược chiều nhau và giả thiết vẫn như vậy thì kết quả

trên còn đúng không.
Bài 65:
1/Cho tam giác đều ABC, điểm M nằm trên cạnh BC ( M khác B,C). Vẽ MD
vuông góc AB và ME vuông góc AC ( D thuộc AB, E thuộc AC).Xác định vị trí
của M để diện tích tam giác MDE max.
2/Cho 2 đường tròn (O;R) và (O';R') với R'>R, cắt nhau tại hai điểm A,B. Tia OA
cắt (O') tại C và tia O'A cắt đường tròn (O) tại D. Tia BD cắt đường tròn ngoại
tiếp tam giác ACD tại E. So sánh BC và BE.
3/Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường cao AH. Gọi (O) là đường tròn ngoại
tiếp tam giác AHC. Trên cung nhỏ AH của (O) lấy M bất kì khác A.Trên tiếp
tuyến tại M của (O) lấy hai điểm D và E sao cho BD=BE=BA.Đường thẳng BM
cắt (O) tại điểm thứ hai N.
a) CM: BDNE nội tiếp.
b) CMR đường tròn ngoại tiép tứ giác BDNE tiếp xúc với (O).
Bài 66:Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH(H thuộc BC). Lấy D trong
AH.
Qua D vẽ Dx vuông góc với AH. Dx cắt AC tại E. Trên tia AH lấy F sao cho
AD=HF.
Trang
11
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9


Tính góc BFE
Bài 67 :Cho góc xBy, từ điểm A thuộc Bx kẻ AH vuông góc với By tại H và kẻ
AD vuông góc với đường phân giác của góc xBy tại D.
a)Chứng minh: tứ giác ABHD nội tiếp. Xác định tâm O và vẽ đường tròn đó.
b)Chứng minh: OD vuông góc với AH
c)Tiếp tuyến tại A với đường tròn tâm O cắt By ở C, đường thẳng BD cắt AC tại
E.Chứng minh: HDEC nội tiếp.

Bài 68:Cho tam giac ABC (AB <AC) nội tiếp (O), kẻ đường cao CE, qua E kẻ
đường thẳng vuông góc với AO cắt AC tại F. BF, CE cắt AO lần lượt ở M,N. AO
cắt BC tại I (N nằm giữa I và M). C/M: IC2IA2=INIM
Bài 69 :Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn . Ba đuờng cao AD, BE ,CF của tam
giác ABC cắt nhau tại H.
1) Cm BCEF ,BDHF, CDHE, lá tứ giác nội tiếp
2) Cm H là giao điểm của các đuờng phân giác trong tam giác DEF
3) Goi K là điểm đối xứng của H qua D . Cm tứ giác ABKC nội tiếp đuợc
4) Cho biết BD=6cm ,DC=4cm .Hãy tính độ dài BK, CK
NÂNG CAO
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a. Ở ngoài hình thoi lấy một điểm O cách đỉnh
A và C một khỏang bằng b cho trước (b>a). Chứng minh rằng tích OB.OD không
phụ thuộc vào giá trị của góc BAD
Bài 70:Cho đường tròn (O) có AB là đường kính cố định. I thuộc OA sao cho
IA=2/3OA. MN vuông góc OA tại I (M,N thuộc (O)). Lấy điểm J tùy ý trên cung
lớn MN(J không trùng BMN). AJ cắt MN tại K. Xá định vị trid điểm J sao cho
khoảng cách từ N đến (MJK)min.
Bài 71:Cho tia Ax và một điểm E khác A thuộc tia đó.Từ E kẻ tia Ey.Hai điểm
C,D phân biệt khác E cho trước trên tia Ey.Một điểm B chạy trên Ex.Các đường
thẳng AC,BD cắt nhau ở M; AD,BC cắt nhau ở N.
a)Chứng minh MN luôn cắt Ey tại F cố định
b)Xác định vị trí B trên Ex sao cho diện tích tam giác MCD bằng diện tích tam
giác NCD.
Trang
12
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9


Bài 72:Cho tam giác vuông cân ABC (góc A=90 độ)M thuộc BC;kẻ Mx vuông
góc với BC.Mx cắt AB tại P.Mx cắt AC ở Q.R và S là trung điểm BP và CQ.

a)ARMS là hình gì?
b)Tìm quỹ tích các trung điểm I của RS khi M thay đổi trên BC
Bài 73:Một mảnh vải dạng hình thang vuông ABCD.AB là đường cao và có độ
dài 16m.BC=28m.Đáy AD=12m.Muốn cắt từ mảnh vải đó ra 2 hình chữ nhật bởi
2 nhát cắt song song với AB và BC thì phải cắt như thế nào?
Bài 74:Cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn, có chu vi là 20 cm, một đường tròn
nội tiếp . Một tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp song song với cạnh BC cắt hai
cạnh còn lại tại MN. MN dài 2.4 cm. Tính BC.
Bài 75:Cho hình chữ nhâ.t ABCD có AB=18cm,AD=12cm.GỌi E là điểm tùy ý
trên AB.Tia DE cắt tia CB ở G,cắt AC ở F.
a)Chứng minh rằng: FD^2=FE.FG
b)Tính độ dài các đoạn DE,DG,DF tronh trường hợp E là trung điểm của AB
Bài 76:cho tam giac ABC , phân giác AD,BE,CF .AD cắt EF ở A', BE cắt DF ở
B', CF cắt DE ở C' .Chứng minh AA'=BB'=CC' khi và chỉ khi tam giác ABC đều
Bài 77:Cho hình vuông có cạnh là 1 cm và tứ giác lồi nội tiêp hình vuông đó sao
cho diên tích của nó lơn hơn 1/2 ,chứng minh đoạn thẳng có đầu mút nằm ở trên
tứ giác đó và song song với cạnh hình vuông có độ dài lớn hơn ½
Bài 78:Cho lục giác ABCDEF có các tất cả các góc đều bằng nhau.Chứng minh
rắng |AB-DE|=|BC-EF|=|CD-FA|
Bài 79:Cho một hình vuông và 4n+1 đường thẳng, mỗi đường thẳng đều chia hình
vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích là 2 : 3. Chứng minh trong 4n+1 đường
thẳng đó có ít nhất n+1 đường thẳng cùng đi qua một điểm .
Bài 80:Cho tứ giác lồi ABCD. K ,M lần luợt là trung điểm của AB ,CD .L và N
trên AD và BC sao cho KLMN là hình chữ nhật. Chứng minh: diện tích
Trang
13
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9


KLMN=12 Diện tích ABCD.

Bài 81:Cho tam giac ABC, đường cao AD, M là 1 điểm nằm trên BD. H là trực
tâm của tam giác ABM. X là 1 điểm trên đường tròn ngoại tiếp tgiac ABM Chứng
minh X là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi H thuộc duong tròn ngoại
tiếp tam giác ABC và CX song song với HM
Bài 82: Cho đường tròn tâm (O,R). Từ O kẻ 2 tiếp tuyến OM,ON và cát tuyến
OP.Từ N kẻ NQ song song với OP.CMR: QM đi qua trung điểm của PT
Bài 83: Trên cạnh BC, CA của tam giác ABC, về phía ngoài dựng các tam giác
đều BCN, CAP. Hãy tìm các góc của tam giác MON, trong đó M là trung điểm
của cạnh AB, O là tâm của tam giác CAP.
Bài 84: Cho tứ giác ABCD lồi.r1, r2, r3, r4 lần lượt là bán kính đường tròn nội
tiếp các tam giác BCD,CDA,DAB,ABC.CMR:tứ giác ABCD ngoại tiếp khi và chỉ
khi
Bài 85:Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). AB cắt CD tại E, AD cắt BC tại F . (CDF)
cắt (BCE) tại M. AC cắt BD tại N . CMR: M, N , O thẳng hàng.
Bài 86: Cho hình thoi ABCD góc BAD bằng 60 độ. E là điểm thuộc đoạn thẳng
AB. CE nối dài cắt DA nối dài tại. DE cắt BF tại G. Tìm qũi tích của G khi E di
chuyển trên AB. Quĩ tích nói trên còn đúng khi E thuộc đường thẳng AB hay
không?
Bài 87: Cho tam giác ABC, lần lược dựng phía ngoài AC và BC tam giác đều
APC và tam giác đều BCN. Tìm các góc trong của tam giác MON. Trong đó O là
trọng tâm của tam giác APC, M là trung điểm của BC.
Trang
14
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9


Bài 88: Cho (O,r). đường kính AB, một đường thằng // AB giao với (O,r) tại C,D
và chia phần diện tích đường tròn giới hạn bởi CD với phần còn lại của đường
tròn thành p/q (p,q N). cho OH CD.(H CD).tính OH.
Bài 89:Cho (O;R), cho A1,A2 A10 theo thứ thự là các điểm chia đường tròn

thành 10 cung bằng nhau.
CMR: A1A4−A1A2=R
Bài 90: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy E thuộc AB, F thuộc AC sao cho trung
điểm của EF là I thuộc BC.
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF luôn đi qua một điểm cố
định.
Bài 91: Cho hai đường tròn tâm O1,O2 cắt nhau ở A và B. Hãy xác định điểm I
sao cho mọi đường tròn đi qua A và I đều cắt hai đường tròn trên ở hai điểm khác
A cách đều I
Bài 92: Cho đường tròn (O) và điểm I ở trong đường tròn . Dựng qua I hai dây
cung bất kì MIN và EIF . Gọi M', N', E', F' là các trung điểm của IM, IN, IE, IF .
a) Chứng minh rằng tứ giác M'E'N'F' nội tiếp .
b) Giải sử I thay đổi, các dây cung MIN và EIF thay đổi. Chứng minh rằng vòng
tròn ngoại tiếp tứ giác M'E'N'F' có bán kính không đổi .
c) Giả sử I cố định, các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng luôn vuông góc với
nhau . Tìm vị trí của các dây cung MIN và EIF sao cho tứ giác M'E'N'F' có diện
tích lớn nhất .
Bài 93:Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH. Nửa đường tròn đường kính MN
tiếp xúc với AB và AC ở C' và B' (MN thuộc BC). CMR: AH, BB', CC' đồng quy
Bài 94: cho tam giác ABC. Trên tia AB, CB lấy điểm p và Q sao cho AP=CQ=p
(p là nửa chu vi của tam giác ABC) . BK là đường kính đường tròn (O) ngoại tiếp
tam giác ABC. (O',r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Trang
15
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9


a) Chứng minh KO' vuông góc với PQ
b) Gọi M là một điểm di động trên tia AB (M khac A va B) , N là điểm di động
trên tia AC sao cho AM+AN=AB=AC không đổi. C/m trung điểm của MN luôn

chay trên một đoạn thẳng cố định. Tìm vị trí của M,N để MN min
c) Qua O' kẻ các đường thẳng song song voi cac cạnh của tam giác. Mỗi đường
thẳng này cắt hai cạnh còn lại của tam giác tao thành các đoạn thẳng MN, PQ, KL.
C/m: MN2+PQ2+KL2≥16r2
Bài 95: Cho tam giác đều ABC, tâm O, một đường thẳng đi qua O cắt AB,AC
,BC tại M,N,P. Chứng minh:
Bài 96: (O) (O') {M,N}. tiếp tuyến chung ngoài AB, cát tuyến CD qua M
không song song với AB. AC cắt BD ở E, AN cắt CD ở P, BN cắt CD ở Q.
CM tam giác EPQ cân.
Bài 97: Cho tam giác ABC cân tại A. góc BAC bằng 30 độ. O là 1 điểm nằm trên
đường trung tuyến AD sao cho AO=OC. Các đường BO,CO lần lượt cắt các đoạn
AC,AB tại các điểm tương ứng E,F. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các đoạn
thẳng BO,OF,BF,CE.
1)Chứng minh tứ giác CMNE nội tiếp
2)Chứng minh tam giác MNQ đều
3)Gọi H là trực tâm của tam giác MNQ, chứng minh H,O,A thẳng hàng.
Bài 98:Cho tam giác ABC với 2AB < AC. Dựng M, N lần lượt là các điểm nằm
trên AB, AC sao cho diện tích tam giác ABC gấp đôi diện tích tam giác AMN và
MN min.
Bài 99:Cho (O) , A nằm ngoài đường tròn.Từ A kẻ 2 cát tuyến ABC và ADE
.Đường thẳng qua D song song với BC cắt (O) tại điểm thứ 2 là F .AF cắt (O) tại
G.EG cắt BC tại M. CMR 1AM=1AB+1AC
Trang
16
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9


Bài 100:Cho △ABC có đường cao AH, BK biết AK≥BC, BH≥AC. Tính các góc
△ABC
Bài 101:Cho dgtr (O) và điểm A ngoài O.Từ A dựng tiếp tuyến AB, AC.

M là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Đường thẳng qua M cắt AB,AC tại P,Q
va cắt đường tròn tại D. BQ giao CP tại N.
CM DN di qua trung điểm BC.
Bài 102:Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là 1 điểm thuộc (O), đường cao
CH, I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AHC, J là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác CHB. Gọi giao điểm của IJ với AC, AB lần lượt tại M và N.
Chứng minh tam giác CMN cân.
Bài 103:Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để một tứ giác nội tiếp trong một
đường tròn là các đường thẳng đi qua trung điểm mỗi cạnh tứ giác và vuông góc
với cạnh đối diện thì đong quy.
Bài 104:Cho ngũ giác lồi ABCDE. Gọi M là giao điểm của AC và BE, N là giao
điểm của BD và AC, P là giao điểm của CE và BD, Q là giao điểm của AD và CE,
và R là giao điểm của BE và AD. Hãy so sánh diện tích ngũ giác MNPQR và tổng
diện tích của 5 tam giác MAB,NBC,PCD,QDE,RAE
Bài 105:1 nước có 41 thành phố được nối với nhau bởi các đường 1 chiều .Từ mỗi
tp có đúng 16 đường dẫn đến các tp khác và cũng có đúng 16 đường từ các tp
khác dẫn đến nó CMR: giữa 2 tp bất kì có thể đến được với nhau mà chỉ qua
không quá 2 tp trung gian biết rằng giữa 2 tp bất kì có không quá 1 con đường
trong các đoạn nối trên.
Bài 106:Cho ΔABC nội tiếp đường tròn(O) có BACˆ=60 độ, AK là phân giác
ngoài của BACˆ (K thuộc đường tròn (O)). Gọi F là trung điểm của AK, tia OF cắt
Trang
17
Sưu tầm và tổng hợp Hình học 9


đường cao CE của ΔABC tại H.
CMR: BH vuông góc với AC.
Trang
18