Bài tập nhị thức Newton

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!





Ví dụ 1: Tìm hệ số của
4
x
trong khai triển Niutơn của biểu thức
2 10
(1 2 3 )
P x x
= + +

Lời giải:
Ta có
10 10
2 10 2
10 10
0 0 0
(1 2 3 ) (2 3 ) ( 2 3 )
k
k k k i k i i k i
k
k k i
P x x C x x C C x
− +
= = =
= + + = + =

∑ ∑ ∑

Theo gi
ả
thi
ế
t ta có
4
0 1 2
0 10
4 3 2
,
k i
i i i
i k
k k k
i k N
+ =

= = =
  

≤ ≤ ≤ ⇔ ∨ ∨
   
= = =
  

∈


V
ậ
y h
ệ
s
ố
c
ủ
a
4
x
là:
4 4 3 1 2 2 2 2
10 10 3 10 2
2 2 3 3 8085
C C C C C+ + = .
Ví dụ 2: Cho khai triển
( )
0
n
n
k n k k
n
k
a b C a b
−
=
+ =
∑
.

Quy ước số hạng thứ i của khai triển là số hạng ứng với
1
k i
= −

Hãy tìm các giá trị
c
ủ
a x bi
ế
t r
ằ
ng s
ố
h
ạ
ng th
ứ
6 trong khai tri
ể
n
8
1
1
3
1
log 3 1
log 9 7
2
5

2
2 2
x
x
 
 
 
−
−
− +
+
+
 
 
 
 
là 224.
L
ờ
i gi
ả
i:
Ta có
( )
( )
( )
1
3
1
2

2
1
1 1
log 3 1
log 9 7 1 1
5
3 5
2 9 7 ,2 3 1
x
x
x x
−
−
− +
−
+ − −
= + = +

S
ố
h
ạ
ng th
ứ
6 c
ủ
a khai tri
ể
n
ứ

ng v
ớ
i k = 5 là
( ) ( ) ( )( )
3 5
1 1
1
5 1 1 1 1
3 5
8
9 7 . 3 1 56 9 7 3 1
x x x x
C
− −
− − − −
   
+ + = + +
   
   

Treo gi
ả
thi
ế
t ta có
( )( )
1
1
1 1
1

1
9 7
56 9 7 3 1 224 4
2
3 1
x
x x
x
x
x
−
−
− −
−
=

+
+ + = ⇔ = ⇔

=
+


Ví dụ 3:

Cho khai triển:
( )
(
)
2

10
2 2 14
1 2 14
1 2 1
o
x x x a a x a x a x
+ + + = + + + +
. Hãy tìm giá trị của
6
a
.
L
ờ
i gi
ả
i:
Ta có
4
3
)12(
4
1
1
22
++=++ xxx nên
( )
10121422
10
)21(
16

9
)21(
8
3
)21(
16
1
)1(21 xxxxxx +++++=+++
Trong khai tri
ể
n
(
)
14
21 x+ h
ệ
s
ố
c
ủ
a
6
x là:
6
14
6
2 C ; Trong khai tri
ể
n
(

)
12
21 x+ h
ệ
s
ố
c
ủ
a
6
x là:
6
12
6
2 C

Trong khai tri
ể
n
(
)
10
21 x+ h
ệ
s
ố
c
ủ
a
6

x là:
6
10
6
2 C
V
ậ
y h
ệ
s
ố
.417482
16
9
2
8
3
2
16
1
6
10
66
12
66
14
6
6
=++= CCCa

Ví dụ 4:
Cho khai tri
ể
n
đ
a th
ứ
c:
( )
2013
2 2013
1 2 2013
1 2
o
x a a x a x a x
− = + + + +
.
Tính t
ổ
ng:
0 1 2 2013
2 3 2014S a a a a= + + + +

L
ờ
i gi
ả
i:
Ta có:
( )

2013 2 2013
0 1 2 2014
(1 2 ) 2 3 2014 .
x x a a x a x a x
′
− = + + + +
2013 1012 2 2013
0 1 2 2013
(1 2 ) 4026 (1 2 ) 2 3 2014
x x x a a x a x a x
⇔ − − − = + + + + (*).

Nh
ậ
n th
ấ
y:
( )
k k
k k
a x a x
= −
do
đ
ó thay
1
x
= −
vào cả hai vế của (*) ta có:
2213

0 1 2 2013
2 3 2014 1343.3
S a a a a= + + + + =

01. NHỊ THỨC NIU-TƠN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Ví dụ 5: Tìm hệ số của
7
x
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của
n
x
x






−
2
2
, biết rằng n là số nguyên
dương thỏa mãn
323
1
24
nnn

ACC =+
+
.
Lời giải:
Ta có
3),2)(1()1(
6
)1(()1(
.424
323
1
≥−−=−+
−
+
⇔=+
+
nnnnnn
nnn
ACC
nnn


2 2 2
2( 1) 3( 1) 3( 3 2), 3 12 11 0, 3 11.
n n n n n n n n n
⇔ − + − = − + ≥ ⇔ − + = ≥ ⇔ =

Khi
đ
ó )2.(

2
.)(
2
11
0
322
11
11
0
112
11
11
2
∑∑
=
−
=
−
−=






−=







−
k
kkk
k
k
kk
xC
x
xC
x
x
S
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a
7
x
là s
ố
h
ạ
ng
ứ
ng v
ớ

i
k
th
ỏ
a mãn
.57322
=
⇔
=
−
kk
Suy ra h
ệ
s
ố
c
ủ
a
7
x trong khai tri
ể
n là
.14784)2.(
55
11
−=−C
Ví dụ 6: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn:
1
4 3
7( 3)

n n
n n
C C n
+
+ +
− = +
.
Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển:
5
3
2
( )
n
P x x
x
 
= +
 
 
v
ớ
i
0
x
>

L

ờ
i gi
ả
i:
Ta có
1
4 3
7( 3) ( 4)( 3)( 2) ( 3)( 2)( 1) 42( 3)
n n
n n
C C n n n n n n n n
+
+ +
− = + ⇔ + + + − + + + = +

2 2
5 6 14( 3) 9 36 0
n n n n n
⇔ + + = + ⇔ − − =
12.
n
⇒
=

V
ớ
i n = 12 ta có nh
ị
th
ứ

c:
12
5(12 ) 60 11
12 12
5 3
2 2
12 12
3
0 0
2
2 2
k k
k k k k k
k k
x C x x C x
x
− −
−
= =
 
+ = =
 
 
∑ ∑

H
ệ
s
ố
ch

ứ
a
8
x
th
ỏ
a mãn
0 12
4
60 11
8
2
k
k
k
≤ ≤


⇔ =

−
=


. Hê s
ố
c
ủ
a
8

x
là
4 4
12
2 7920.
C
=

Ví dụ 7:
Cho bi
ế
t h
ệ
s
ố
c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng th
ứ
t
ư
c
ủ
a khai tri
ể
n

2
5
1
2 .
n
x
x x
 
+
 
 
b
ằ
ng 70 . Hãy tìm s
ố
h
ạ
ng không
ch
ứ
a x trong khai tri
ể
n
đ
ó.
L
ờ
i gi
ả
i:

Ta có
16
2
2 2 2
5
5
0
1 6
.2 . .2 .
5
2
n
k
n
n
k n k k k k
n n
k
k
x C x x C x
x x
−
− − −
=
−
 
+ =
 
 
∑ ∑

Suy ra h
ệ
s
ố
c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng th
ứ
t
ư
là:
3 3
.2
n
C
−

T
ừ

đ
ó có
:
3 3
.2 70 ( 1)( 2) 560 16

n
C n n n n
−
= ⇔ − − = ⇒ =

Khi
đ
ó s
ố
h
ạ
ng không ch
ứ
a x trong khai tri
ể
n
ứ
ng v
ớ
i giá tr
ị
k tho
ả
mãn:
16
2.16 0 10
5
k
k
− = ⇔ =

V
ậ
y s
ố
h
ạ
ng không ch
ứ
a x là:

10 10
16
1001
.2
128
C
−
=


BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a x

7
trong khai tri
ể
n nh
ị
th
ứ
c
4
3
1
2
n
x
x
 
+
 
 
, (
0
x
≠
). Bi
ế
t r
ằ
ng n là s
ố
t

ự
nhiên th
ỏ
a
mãn
2 2
2 112
n n
C A n+ + =
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Bài 2: Tìm hệ số của
4
x
trong khai triển biểu thức
3
2
n
x
x
 
−
 
 
, biết n là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức
6 2
4
454
n
n n

C nA
−
−
+ = .
Bài 3: Tìm hệ số của
9
x
trong khai triển:
(
)
2
*
1 3 ;
n
x n− ∈
ℕ
, biết
2 3
2 14 1
3
n n
C C n
+ =
.
Bài 4:
Tìm h
ệ
s
ố
c

ủ
a
4
x
trong khai tri
ể
n thành
đ
a th
ứ
c c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c:
2 10
(1 4 )
x x
+ + .
Bài 5:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a
6

x
trong khai tri
ể
n thành
đ
a th
ứ
c c
ủ
a
( ) ( )
5 7
2
( ) 2 1 3 3 1 2
P x x x x x
= − − +
Bài 6:
Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a x
5
trong khai tri
ể
n bi
ể
u th

ứ
c
( ) ( )
2
2
1 2 1 3
n n
P x x x x
= − + +
, bi
ế
t r
ằ
ng
2 1
1
5
n
n n
A C
−
+
− =
.
Bài 7:
Khai tri
ể
n và rút g
ọ
n

đ
a th
ứ
c:
( ) ( ) ( )
9 10 14
( ) 1 1 1
P x x x x
= + + + + + + thành d
ạ
ng
2 14
0 1 2 14
( )
P x a a x a x a x
= + + + + . Hãy xác
đị
nh h
ệ
s
ố
a
9

Bài 8:
Cho
đ
a th
ứ
c

( ) ( ) ( ) ( )
2 3 20
( ) 1 2 1 3 1 20 1
P x x x x x
= + + + + + + + + . Khai tri
ể
n P(x) thành
đ
a th
ứ
c ta
đượ
c d
ạ
ng d
ạ
ng:
2 20
0 1 2 20
( )
P x a a x a x a x
= + + + + . Tìm h
ệ
s
ố
a
15
?
Bài 9:
Khai tri

ể
n
đ
a th
ứ
c thành d
ạ
ng:
( )
80
2 80
0 1 2 80
( ) 2
P x x a a x a x a x
= − = + + + + Tìm h
ệ
s
ố
a
78
?
Bài 10:
Khai tri
ể
n
( )
50
2 50
0 1 2 50
( ) 3

P x x a a x a x a x
= + = + + + +
a.
Tính h
ệ
s
ố
a
46
?
b.
Tính t
ổ
ng S = a
0
+ a
1
+ a
2
+ … a
50

Bài 11:
Trong khai tri
ể
n c
ủ
a nh
ị
th

ứ
c
21
3
3
a b
b a
 
+
 
 
 
, tìm các s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a a, b v
ớ
i lu
ỹ
th
ừ
a gi
ố
ng
nhau?
Bài 12:
a)

Trong khai tri
ể
n
4
1
 
+
 
 
n
x x
x
cho bi
ế
t hi
ệ
u s
ố
gi
ữ
a h
ệ
s
ố
c
ủ
a h
ạ
ng t
ử

th
ứ
ba và th
ứ
hai là 44. Tìm n.
b)
Cho bi
ế
t trong khai tri
ể
n
2
1
n
x
x
 
+
 
 
, t
ổ
ng các h
ệ
s
ố
c
ủ
a các h
ạ

ng t
ử
th
ứ
nh
ấ
t, th
ứ
hai, th
ứ
ba là 46.
Tìm h
ạ
ng t
ử
không ch
ứ
a x.
c)
Cho bi
ế
t t
ổ
ng c
ủ
a 3 h
ệ
s
ố
c

ủ
a 3 s
ố
h
ạ
ng
đầ
u tiên trong khai tri
ể
n
2
2
3
n
x
 
−
 
 
là 97. Tìm h
ạ
ng t
ử
c
ủ
a
khai tri
ể
n ch
ứ

a x
4
.
Bài 13:
Cho khai tri
ể
n
0 1 1
1 1 1
( 1)
3 3
3
n
n n n n
n n n
n
x C x C x C
−
 
− = − + −
 
 
. Bi
ế
t h
ệ
s
ố
c
ủ

a s
ố
h
ạ
ng th
ứ
ba trong
khai tri
ể
n là 5. Tìm s
ố
h
ạ
ng chính gi
ữ
a?
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề tại Moon.vn để đạt được kết quả cao nhất trong kỳ TSĐH 2014!
Bài 14: Cho khai triển
( )
3 0 3
2 2
2 2

n n
n
n
n n
x C x C
x x

   
+ = + +
   
   
. Biết tổng ba hệ số đầu là 33. Tìm hệ số
của số hạng chứa x
2
.
Bài 15: Trong khai triển nhị thức
28
3
15
n
x x x
−
 
+
 
 
 
hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào
x
biết rằng
n
là số
nguyên dương thỏa mãn
1 2
79
n n n
n n n

C C C
− −
+ + =