ứng dụng số phức để tính tổng của các ckn

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
k
n
C
LỜI NÓI ĐẦU
Trong chương trình đổi mới nội dung Sách giáo khoa, số phức được đưa vào
chương trình toán học phổ thông và được giảng dạy ở cuối lớp 12. Ta biết sự ra đời của
số phức là do nhu cầu mở rộng tập hợp số, số phức là cầu nối hoàn hảo giữa các phân
môn Đại số, Lượng giác, Hình học và Giải tích (thể hiện sâu sắc mối quan hệ đó là công
thức
01
iπ
e =+
). Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh, đòi hỏi
người dạy phải có tầm nhìn sâu, rộng về nó. Do những tính chất đặc biệt của số phức
nên khi giảng dạy nội dung này giáo viên có nhiều hướng khai thác, phát triển bài toán
để tạo nên sự lôi cuốn, hấp dẫn người học. Bằng việc kết hợp các tính chất của số phức
với một số kiến thức đơn giản khác về lượng giác, giải tích, đại số và hình học giáo viên
có thể xây dựng được khá nhiều dạng toán với nội dung hấp dẫn và hoàn toàn mới mẻ.
Vì mới đưa vào chương trình SGK nên có rất ít tài liệu về số phức để học sinh và
giáo viên tham khảo. Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về số phức
trong SGK còn nhiều hạn chế. Giúp học sinh có cái nhìn sâu, rộng hơn về số phức, trong
quá trình giảng dạy tôi luôn tìm tòi khai thác và kết hợp các kiến thức khác về toán học
để xây dựng các dạng bài tập mới cho học sinh tư duy, giải quyết. Một trong các vấn đề
tôi xây dựng là dạng toán “Ứng dụng số phức để tính tổng của các
k
n
C
” trên cơ sở
khai thác tính chất của số phức và vận dụng khai triển nhị thức Newton.
Để nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này có tính thực tiễn trong công tác giảng

dạy chung của nhà trường, rất mong được sự đóng góp ý kiến xây dựng và bổ xung của
các đồng chí trong tổ chuyên môn và các đồng nghiệp khác.
Vĩnh Yên, ngày 20 tháng 5 năm 2009
Người thực hiện
Lê Hồng Thái
- 1 -
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
k
n
C
NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI
I- MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT:
1- Khai triển nhị thức Newton:
Với mọi x và với mọi n∈N
*
ta có:
(1 + x)
n
=
n
n
C
n
x
1-n
n
C
1-n
x
2

n
C
2
x
1
n
xC
0
n
C +++++
2- Các tính chất của số phức dùng trong đề tài:
* Hai số phức z = x + iy, w = x
/
+ iy
/
bằng nhau khi và chỉ khi x = x
/
và y = y
/
* z = r(cosϕ + isinϕ) ⇒ z
n
= [r(cosϕ + isinϕ)]
n
= r
n
(cosnϕ + isinnϕ)
* Giải phương trình: x
3
– 1 = 0
Ta được các nghiệm là x

1
= 1;
i
2
3
2
1
2
x +−=
;
i
2
3
2
1
3
x −−=
.
Các nghiệm đó chính là các căn bậc ba của 1.
Đăt:
i
2
3
2
1
ε −−=

i
2
3

2
1
2
ε +−=⇒
và
ε
có các tính chất sau:
1)
ε
+
2
ε
= -1
2)
1
3
ε =
3)
1
3k
ε =

4)
ε
13k
ε =
+
5)
2
ε

23k
ε =
+

(k – nguyên).
3- Khi nào thì dùng số phức để tính tổng của các
k
n
C
?
Đây là vấn đề lớn nhất cần chú ý cho học sinh. Ta dùng số phức để tính tổng của
các
k
n
C
khi tổng này có hai đặc điểm:
* Các dấu trong tổng xen kẽ đều nhau .
* k luôn lẻ, hoặc luôn chẵn hoặc khi chia k cho một số ta luôn được cùng một số dư
(trong chương trình phổ thông ta chỉ cho HS làm với k = 3l, k = 3l + 1, k = 3l + 2).
- 2 -
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
k
n
C
4- Các tổng của
k
n
C
được tính như thế nào ?
* Khai triển (1 + x)

n
, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta
chọn là x = i). So sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách
tính.
* Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là
6
π
±
,
4
π
±
,
3
π
±
). Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai
cách tính.
* Khai triển (1 + x)
n
, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số
phức thích hợp (thường ta chọn là x = i). Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của
cùng một số phức trong hai cách tính.
* Khai triển (1 + x)
n
, cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị. Cộng vế theo
vế các đẳng thức thu được. Suy ra giá trị của tổng cần tìm.
Điều quan trọng là phải quan sát tổng cần tìm có những đặc điểm gì để lựa chọn một
trong các cách trên. Chủ yếu là căn cứ vào hệ số của các
k

n
C
trong tổng. Để nói chi tiết
được điều này đòi hỏi phải có lượng lớn những nhận xét, sẽ vượt quá khuôn khổ cho
phép của một đề tài sáng kiến kinh nghiệm. Tôi chỉ đưa ra một số ví dụ minh hoạ cho
từng dạng, qua đó người đọc sẽ tự trả lời được câu hỏi: Để tính tổng này ta phải làm gì?
II- MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ:
Dạng 1:Khai triển (1 + x)
n
, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp hoặc khai
triển trực tiếp các số phức
Ví dụ 1:
Tính tổng A =
2008
2009
C
2006
2009
C
2004
2009
C
6
2009
C
4
2009
C
2
2009

C
0
2009
C +−++−+−
- 3 -
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
k
n
C
B =
2009
2009
C
2007
2009
C
2005
2009
C
7
2009
C
5
2009
C
3
2009
C
1
2009

C −+−−+−+−
Giải:
Xét khai triển:
(1 + x)
2009
=
2009
2009
C
2009
x
2008
2009
C
2008
x
2
2009
C
2
x
1
2009
xC
0
2009
C +++++
Cho x = - i ta có:
(1 – i )
2009

=
2009
2009
C
2009
i
2008
2009
C
2008
i
2
2009
C
2
i
1
2009
iC
0
2009
C +++++
= (
2008
2009
C
2006
2009
C
2004

2009
C
6
2009
C
4
2009
C
2
2009
C
0
2009
C +−++−+−
) +
+ (
2009
2009
2007
2009
C
2005
2009
C
7
2009
C
5
2009
3

2009
C
1
2009
C CC −+−−+−+−
)i
Mặt khác:
=−=−+−=−



























4
2009π
isin
4
2009π
cos
2009
)2(
2009
4
π
isin
4
π
cos
2009
)2(
2009
i) (1
=
i
1004
2
1004
2
2

2
i
2
2
2009
)2(
4
π
isin
4
π
cos
2009
)2( −=−=−














So sánh phần thực và phần ảo của (1 – i )
2009

trong hai cách tính trên ta được:
A =
2008
2009
C
2006
2009
C
2004
2009
C
6
2009
C
4
2009
C
2
2009
C
0
2009
C +−++−+−
= 2
1004
B =
2009
2009
C
2007

2009
C
2005
2009
C
7
2009
C
5
2009
C
3
2009
C
1
2009
C −+−−+−+−
= - 2
1004
Ví dụ 2:
Tính tổng: C =






−+−−+−
50
50

C
25
3
48
50
C
24
3
46
50
C
23
3
4
50
C
2
3
2
50
3C
0
50
C
50
2
1
Giải:
Xét khai triển:
- 4 -

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
k
n
C
=+−++−=+−














50
50
C
50
)3(i
49
50
C
49
)3(i
2

50
C
2
)3(i
1
50
)C3(i
0
50
C
50
2
1
50
i
2
3
2
1
+−+−−+−=






50
50
50
)3(

48
50
C
48
)3(
46
50
C
46
)3(
4
50
C
4
)3(
2
50
C
2
)3(
0
50
C
50
2
1
C
+
i
49

50
C
49
)3(
47
50
C
47
)3(
5
50
C
5
)3(
3
50
C
3
)3(
1
50
C3
50
2
1







−++−+−
Mặt khác:
2
3
i
2
1
3
100π
isin
3
100π
cos
50
3
2π
isin
3
2π
cos
50
i
2
3
2
1
−−=+=+=+−


















































So sánh phần thực của
50
i
2
3
2
1









+−
trong hai cách tính trên ta được:
C =
2
1
50
50
C
25
3
48
50
C
24
3
46
50
C
23
3
4
50
C
2
3
2
50
3C
0

50
C
50
2
1
−=−+−−+−






Ví dụ 3:
Tính tổng: D =
20
20
C
18
20
3C
16
20
C
2
3
6
20
C
7
3

4
20
C
8
3
2
20
C
9
3
0
20
C
10
3 +−++−+−
Giải:
Xét khai triển:
( )
20
20
C
19
20
C3i
18
20
C
2
)3(
2

20
C
18
)3(
1
20
C
19
)3i(
0
20
C
20
)3(
20
i3 +−−−−+=+
=
= (
20
20
C
18
20
3C
16
20
C
2
3
6

20
C
7
3
4
20
C
8
3
2
20
C
9
3
0
20
C
10
3 +−++−+−
) +
+
i






−++−
19

20
C3
17
20
C
3
)3(
3
20
C
17
)3(
1
20
C
19
)3(
Mặt khác:
( )
=+=+=+=+





















6
20π
isin
6
20π
cos
20
2
20
6
π
isin
6
π
cos
20
2
20
2
1

i
2
3
20
2
20
i3
i3
19
2
19
2i
2
3
2
1
20
2
3
4π
isin
3
4π
cos
20
2 −−=−−=+=















- 5 -
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
k
n
C
So sánh phần thực của
( )
20
i3 +
trong hai cách tính trên ta có:
D =
20
20
C
18
20
3C
16
20
C

2
3
6
20
C
7
3
4
20
C
8
3
2
20
C
9
3
0
20
C
10
3 +−++−+−
= - 2
19
Dạng 2: Khai triển (1 + x)
n
, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những
số phức thích hợp
Ví dụ 1:
Tính tổng: D =

29
30
29C
27
30
27C
25
30
25C
7
30
7C
5
30
5C
3
30
3C
1
30
C +−++−+−
E =
30
30
30C
28
30
28C
26
30

26C
8
30
8C
6
30
6C
4
30
4C
2
30
2C +−++−+−
Giải:
(1 + x)
30
=
30
30
C
30
x
29
30
C
29
x
28
30
C

28
x
3
30
C
3
x
2
30
C
2
x
1
30
xC
0
30
C +++++++
Đạo hàm hai vế ta có:
30(1 + x)
29
=
30
30
C
29
x30
29
30
C

28
x29
28
30
C
27
x28
3
30
C
2
x3
2
30
xC2
1
30
C ++++++
Cho x = i ta có:
30(1 + i)
29
= (
29
30
29C
27
30
27C
25
30

25C
7
30
7C
5
30
5C
3
30
3C
1
30
C +−++−+−
) +
+ (
30
30
30C
28
30
28C
26
30
26C
8
30
8C
6
30
6C

4
30
4C
2
30
2C +−++−+−
)i
Mặt khác:
30(1 + i)
29
=
( ) ( )
=+=+












4
29π
isin
4
29π

cos
29
230
29
4
π
isin
4
π
cos
29
230

( )
i
15
15.2
15
15.2i
2
2
2
2
29
230 −−=−−=









So sánh phần thực và ảo của 30(1 + i)
29
trong hai cách tính trên ta có:
D =
29
30
29C
27
30
27C
25
30
25C
7
30
7C
5
30
5C
3
30
3C
1
30
C +−++−+−
= - 15.2
15

E =
30
30
30C
28
30
28C
26
30
26C
8
30
8C
6
30
6C
4
30
4C
2
30
2C +−++−+−
= - 15.2
15
- 6 -
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
k
n
C

Ví dụ 2:
Tính tổng S =
20
20
C
10
20.3
18
20
C
9
18.3
6
20
C
3
6.3
4
20
C
2
4.3
2
20
2.3C −+−+−
Giải:
Xét khai triển:
(1 +
3
x)

20
=
=
20
20
C
20
x)3(
19
20
C
19
x)3(
3
20
C
3
x)3(
2
20
C
2
x)3(
1
20
x)C3(
0
20
C ++++++
Đạo hàm hai vế ta có:

20
19
x)3(13 +
=
=
20
20
C
19
x
10
3.20
19
20
C
18
x
19
)3.(19
3
20
C
2
x
3
)3.(3
2
20
xC3.2
1

20
C3 +++++
Cho x = i ta có: 20
19
i)3(13 +
=
=
( ) ( ) ( ) ( )
+−+−+−








19
20
C
19
319.
17
20
C
17
317
5
20
C

5
35.
3
20
C
3
33.
1
20
C3
i
20
20
C
10
20.3
18
20
C
9
18.3
6
20
C
3
6.3
4
20
C
2

4.3
2
20
2.3C






−+−+−+
.
Mặt khác: 20
19
i)3(13 +
=
=+=+















19
3
π
isin
3
π
cos
19
.2320.
19
i
2
3
2
1
19
.2320
i
19
30.2
19
.2310.i
2
3
2
1
19
.2320.
3

19π
isin
3
19π
cos
19
.2320. +=+=+=














So sánh phần ảo của 20
19
i)3(13 +
trong hai cách tính trên ta có:
S =
20
20
C
10

20.3
18
20
C
9
18.3
6
20
C
3
6.3
4
20
C
2
4.3
2
20
2.3C −+−+−
= 30.2
19
Ví dụ 3:
Tính các tổng sau: M =
14
15
15C
12
15
13C
6

15
7C
4
15
5C
2
15
3C
0
15
C −++−+−
N =
15
15
16C
13
15
14C
7
15
8C
5
15
6C
3
15
4C
1
15
2C −++−+−

- 7 -
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
k
n
C
Giải:
Xét khai triển:
(1 + x)
15
=
15
15
C
15
x
14
15
C
14
x
13
15
C
13
x
3
15
C
3
x

2
15
C
2
x
1
15
xC
0
15
C +++++++
Nhân hai vế với x ta có:
x(1 + x)
15
=
15
15
C
16
x
14
15
C
15
x
13
15
C
14
x

3
15
C
4
x
2
15
C
3
x
1
15
C
2
x
0
15
xC +++++++
Đạo hàm hai vế ta có:
(1 + x)
15
+ 15x(1 + x)
14
=
15
15
C
15
x16
14

15
C
14
x15
13
15
C
13
x14
3
15
C
3
x4
2
15
C
2
x3
1
15
xC2
0
15
C +++++++=
Với x = i ta có: (1 + i)
15
+ 15i(1 + i)
14
=

=






−++−+−
14
15
15C
12
15
13C
6
15
7C
4
15
5C
2
15
3C
0
15
C
+
+







−++−+−
15
15
16C
13
15
14C
7
15
8C
5
15
6C
3
15
4C
1
15
2C
i
Mặt khác:
(1 + i)
15
+ 15i(1 + i)
14
=

( ) ( )
=+++












14
4
π
isin
4
π
cos
14
215i.
15
4
π
isin
4
π
cos

15
2
( ) ( )
=+−−=+++=




















7
15.2i
2
2
2
2

15
2
4
14π
isin
4
14π
cosi
7
15.2
4
15π
isin
4
15π
cos
15
2
i
7
2
8
7.2i
7
2
7
14.2
7
15.2i
7

2
7
2 −=−=+−−=
So sánh phần thực và ảo của (1 + i)
15
+ 15i(1 + i)
14
trong hai cách tính trên ta có:
M =
14
15
15C
12
15
13C
6
15
7C
4
15
5C
2
15
3C
0
15
C −++−+−
= 7.2
8
N =

15
15
16C
13
15
14C
7
15
8C
5
15
6C
3
15
4C
1
15
2C −++−+−
= -2
7
Dạng 3: Khai triển (1 + x)
n
, cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị
Để tiện cho việc theo dõi sự biến đổi và các phép tính tôi đưa lại các vấn đề về căn bậc
ba của đơn vị (đã trình bày trong phần I của đề tài):
- 8 -
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
k
n
C

Giải phương trình: x
3
– 1 = 0
Ta được các nghiệm là x
1
= 1;
i
2
3
2
1
2
x +−=
;
i
2
3
2
1
3
x −−=
.
Các nghiệm đó chính là các căn bậc ba của 1.
Đăt:
i
2
3
2
1
ε −−=

i
2
3
2
1
2
ε +−=⇒
và
ε
có các tính chất sau:
1)
ε
+
2
ε
= -1
2)
1
3
ε =
3)
1
3k
ε =

4)
ε
13k
ε =

+
5)
2
ε
23k
ε =
+

(k – nguyên).
Sử dụng các tính chất trên của
ε
ta có thể tính được các tổng sau:
Ví dụ 1:
Tính tổng: S =
18
20
C
15
20
C
3k
20
C
6
20
C
3
20
C
0

20
C +++++++
Giải:
Xét khai triển:
(1 + x)
20
=
20
20
C
20
x
19
20
C
19
x
18
20
C
18
x
3
20
C
3
x
2
20
C

2
x
1
20
xC
0
20
C +++++++
Cho x = 1 ta có:
2
20
=
20
20
C
19
20
C
18
20
C
3
20
C
2
20
C
1
20
C

0
20
C +++++++
(1)
Cho x =
ε
ta có:
(1 +
ε
)
20
=
20
20
C
2
ε
19
20
εC
18
20
C
3
20
C
2
20
C
2

ε
1
20
εC
0
20
C +++++++
(2)
Cho x =
2
ε
ta có:
- 9 -
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
k
n
C
(1 +
2
ε
)
20
=
20
20
εC
19
20
C
2

ε
18
20
C
3
20
C
2
20
εC
1
20
C
2
ε
0
20
C +++++++
(3)
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta được:
2
20
+ (1 +
ε
)
20
+(1 +
2
ε
)

20
= 3S.
Mặt khác:
ε
40
ε
20
)
2
ε(
20
ε)(1 ==−=+
;
2
ε
20
ε
20
ε)(
20
)
2
ε(1 ==−=+
Do vậy: 3S = 2
20
– 1. Hay S =
3
1
20
2 −

Ví dụ 2:
Tính tổng T =
19
20
C
16
20
C
13k
20
C
7
20
C
4
20
C
1
20
C +++
+
++++
Giải:
Xét khai triển:
(1 + x)
20
=
20
20

C
20
x
19
20
C
19
x
18
20
C
18
x
3
20
C
3
x
2
20
C
2
x
1
20
xC
0
20
C +++++++
Nhân hai vế với x

2
ta có:
x
2
(1 + x)
20
=
20
20
C
22
x
19
20
C
21
x
18
20
C
20
x
3
20
C
5
x
2
20
C

4
x
1
20
C
3
x
0
20
C
2
x +++++++
Cho x = 1 ta có:
2
20
=
20
20
C
19
20
C
18
20
C
3
20
C
2
20

C
1
20
C
0
20
C +++++++
(1)
Cho x =
ε
ta có:
2
ε
(1 +
ε
)
20
=
2
ε
20
20
εC
19
20
C
18
20
C
2

ε
4
20
C
3
20
C
2
ε
2
20
εC
1
20
C
0
20
C +++++++
(2)
Cho x =
2
ε
ta có:
ε
(1 +
2
ε
)
20
=

ε
20
20
C
2
ε
19
20
C
18
20
εC
3
20
εC
2
20
C
2
ε
1
20
C
0
20
C +++++++
(3)
Cộng vế theo vế (1), (2) và (3) ta có:
2
20

+
2
ε
(1 +
ε
)
20
+
ε
(1 +
2
ε
)
20
= 3T
Mặt khác:
2
ε
(1 +
ε
)
20
=
1
42
ε =
;
ε
(1 +
2

ε
)
20
=
1
21
ε =
- 10 -
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
k
n
C
Do vậy: 3T = 2
20
+ 2. Hay: T =
3
2
20
2 +
Ví dụ 3:
Tính tổng: P =
18
20
18C
15
20
15C
3k
20
3kC

6
20
6C
3
20
3C
0
20
C +++++++
Giải:
Xét khai triển:
(1 + x)
20
=
20
20
C
20
x
19
20
C
19
x
18
20
C
18
x
3

20
C
3
x
2
20
C
2
x
1
20
xC
0
20
C +++++++
Đạo hàm hai vế ta có:
20(1 + x)
19
=
20
20
C
19
x20
19
20
C
18
x19
18

20
C
17
x18
3
20
C
2
x3
2
20
xC2
1
20
C ++++++
(*)
Nhân hai vế (*) với x ta có:
20x(1 + x)
19
=
20
20
C
20
x20
19
20
C
19
x19

18
20
C
18
x18
3
20
C
3
x3
2
20
C
2
x2
1
20
xC ++++++
Cho x = 1 ta được:
20.2
19
=
20
20
C20
19
20
C19
18
20

C18
4
20
C4
3
20
C3
2
20
C2
1
20
C +++++++
(1)
Cho x =
ε
ta có:
20
ε
(1 +
ε
)
19
=
20
20
C
2
ε20
19

20
εC19
18
20
C81
4
20
εC4
3
20
3C
2
20
C
2
ε2
1
20
εC ++++++
(2)
Cho x =
2
ε
ta có:
20
ε
2
(1 +
ε
2

)
19
=
20
20
εC20
19
20
C
2
ε19
18
20
C81
4
20
C
2
ε4
3
20
3C
2
20
εC2
1
20
C
2
ε ++++++

(3)
Cộng vế theo vế (1), (2), (3) ta có:
20[2
19
+
ε
(1 +
ε
)
19
+
ε
2
(1 +
ε
2
)
19
] = 3P -
0
20
C
Mặt khác:
ε
(1 +
ε
)
19
=
1

39
ε
19
)
2
εε( −=−=−

ε
2
(1 +
ε
2
)
19
=
1
21
ε
19
ε)(
2
ε −=−=−
- 11 -
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
k
n
C
Vậy 3P = 1 + 20(2
19
– 2) = 10.2

20
– 39 . Suy ra P =
13
3
20
10.2
−
III- MỘT SỐ BÀI TẬP:
1- Tính các tổng sau:
( ) ( ) ( ) ( )
29
30
C
29
329
27
30
C
27
327
5
30
C
5
35
3
30
C
3
33

1
30
C3
1
A +−−+−=
30
30
C
15
30.3
28
30
C
14
28.3
6
30
C
3
6.3
4
30
C
2
4.3
2
30
2.3C
2
A +−−+−=

Hướng dẫn: Xét khai triển:
( )
30
x31+
. Đạo hàm hai vế, cho x = i và so sánh phần thực,
phần ảo của hai số phức.
ĐS: A
1
=
29
.2315
; A
2
= - 45.2
29
2- Tính các tổng sau:
24
25
23.24C
22
25
21.22C
8
25
7.8C
6
25
5.6C
4
25

3.4C
2
25
2C
0
25
C
1
B −++−+−+=
25
25
24.25C
23
25
22.23C
9
25
8.9C
7
25
6.7C
5
25
4.5C
3
25
2.3C
1
25
C

2
B −++−+−+=
Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)
25
. Đạo hàm hai vế hai lần, sau đó cho x = i. So sánh
phần thực và phần ảo của hai số phức bằng nhau.
ĐS: B
1
= 75.2
14
– 1; B
2
= –25(1 + 3.2
14
)
3- Tính các tổng sau:
20
20
21C
18
20
19C
16
20
17C
6
20
7C
4
20

5C
2
20
3C
0
20
C
1
C +−++−+−=
19
20
20C
17
20
18C
15
20
16C
7
20
8C
5
20
6C
3
20
4C
1
20
C2

2
C −+−+−+−=
Hướng dẫn: Xét khai triển: ( 1 + x)
20
. Nhân hai vế với x. Đạo hàm hai vế. Cho x = i.
ĐS: C
1
= - 11.2
10
; C
2
= - 10.2
10
4- Tính các tổng sau:
99
100
C
2
99
97
100
C
2
97
95
100
C
2
95
7

100
C
2
7
5
100
C
2
5
3
100
C
2
3
1
100
C
2
1
1
D +−++−+−=
- 12 -
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
k
n
C
100
100
C
2

100
98
100
C
2
98
96
100
C
2
96
8
100
C
2
8
6
100
C
2
6
4
100
C
2
4
2
100
C
2

2
2
D +−++−+−=
Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)
100
. Đạo hàm hai vế. Nhân hai vế với x. Lại đạo hàm
hai vế. Cho x = i. ĐS: D
1
= - 50.100.2
50
; D
2
= -50.2
50
.
5- Tính tổng sau:
E =
23
25
23C
20
25
20C
8
25
8C
5
25
5C
2

25
2C +++++
Hướng dẫn: Xét khai triển của (1 + x)
25
. Đạo hàm hai vế. Sau đó nhân hai vế với x
2
. Cho
x lần lượt bằng 1,
2
εε,
(ba căn bậc ba của 1) cộng vế theo vế ba đẳng thức nhận được ta
tìm được E.
ĐS: E =
3
1)
24
25(2 −
6 – Tính các tổng sau:
40
40
C
2
40
37
40
C
2
37
10
40

C
2
10
7
40
C
2
7
4
40
C
2
4
1
40
C
1
F ++++++=
38
40
C
2
38
35
40
C
2
35
11
40

C
2
11
8
40
C
2
8
5
40
C
2
5
2
40
C
2
2
2
F ++++++=
39
40
C
2
39
36
40
C
2
36

9
40
C
2
9
6
40
C
2
6
3
40
C
2
3
0
40
C
3
F ++++++=
Hướng dẫn: Xét khai triển của ( 1+ x)
40
. Đạo hàm hai vế. Nhân hai vế với x. Lại đạo
hàm hai vế.
Để có F
1
ta cho x lần lượt là 1,
2
εε,
(ba căn bậc ba của 1). Cộng vế theo vế ba đẳng thức

nhận được.
Làm thế nào để có F
2
, F
3
mong độc giả cùng tìm tòi một chút !
ĐS:
3
1)
38
40.41(2
1
F
−
=
3
1)
38
39.40(21)
39
40(2
2
F
−++
=
3
12)
38
39.40(21)
39

40(2
3
F
−+++
=
- 13 -
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm øng dông sè phøc ®Ó tÝnh tæng cña c¸c
k
n
C
7- Tính các tổng sau:
39
40
40C
36
40
37C
33
40
34C
9
40
10C
6
40
7C
3
40
4C
0

40
C
1
G +++++++=
40
40
41C
37
40
38C
34
40
35C
10
40
11C
7
40
8C
4
40
5C
1
40
C2
2
G +++++++=
38
40
39C

35
40
36C
11
40
12C
8
40
9C
5
40
6C
2
40
C3
3
G ++++++=
Hướng dẫn: Khai triển (1 + x)
40
. Nhân hai vế với x. Đạo hàm hai vế.
Để có G
1
ta cho x lần lượt là 1,
2
εε,
(ba căn bậc ba của 1). Cộng vế theo vế ba đẳng
thức nhận được.
Làm thế nào để có G
2
, G

3
mong độc giả cùng tìm tòi một chút !
ĐS: G
1
= 7.2
40
+ 13; G
2
= 7.2
40
– 27; G
3
= 7.2
40
+ 28.
- 14 -