phương trình mũ p2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (218.43 KB, 5 trang )
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1: Phương trình chia rồi đặt ẩn phụ
Ví dụ 1. Giải phương trình:
3.9 7.6 6.4 0
x x x
+ − =
.
Hướng dẫn giải:
Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho t
ươ
ng
đươ
ng:
2
3 2
1
2 3
3 3
3. 7. 6 0
2 2
3
3 0
2
x
x x
x
x
= ⇒ = −
+ − = ⇔
= − <
.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 1 nghi
ệ
m là x =
−
1.
Ví dụ 2.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
64.9 84.12 27.16 0
x x x
− + =
b)
1 1 1
4 6 9
x x x
− − −
+ =
c)
2 4 2 2
3 45.6 9.2 0
x x x+ +
+ − =
d) (ĐH khối A – 2006):
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a) Chia cả hai vế của (1) cho 9
x
ta được
( )
2
2
4 4
12 16 4 4
1
3 3
1 64 84. 27. 0 27. 84. 64 0
2
9 9 3 3
4 16 4
3 9 3
x
x x x x
x
x
x
=
=
⇔ − + = ⇔ − + = → ⇔
=
= =
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
x
= 1 và
x
= 2.
b) Điều kiện:
x
≠ 0.
Đặt
( )
2
3 1 5
1 9 6 3 3
2 2
, 2 4 6 9 1 0 1 0
4 4 2 2
3 1 5
0
2 2
t
t t t t
t t t
t
t
x
+
=
− = ⇔ + = ⇔ − − = ⇔ − − = ⇔
−
= <
Từ đó ta được
3
1 5
2
2
3 1 5 1 5 1 3
log log .
2 2 2 2
t
t x
t
+
+ +
= ⇔ = → = − = −
c)
2 4 2 2
3 45.6 9.2 0 81.9 45.6 36.4 0
x x x x x x+ +
+ − = ⇔ + − =
2
2
3 4 3
2 9 2
9 6 3 3
81. 45. 36 0 81. 45. 36 0 2.
4 4 2 2
3
1 0
2
x
x x x x
x
x
−
= =
⇔ + − = ⇔ + − = ⇔ → = −
= − <
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t x = –2.
d)
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
3 2
3 3
.
2 2
12 18 27 3 3 3
3 4. 2. 0 2. 4. 3 0 1.
8 8 8 2 2 2
3
. 2 0
2
x
x x x x x x
x
x
=
⇔ + − − = ⇔ + − − = ⇔ → =
= − <
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t x = 1.
Tài li
ệ
u bài gi
ả
ng:
04. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Dạng 2: Phương trình có tích cơ số bằng 1
Cách giải:
Do
( )
( )
( )
( )
1
1 1
f x
f x
f x
ab ab b
a
= ⇔ = → =
T
ừ
đ
ó ta
đặ
t
( ) ( )
1
, ( 0)
f x f x
a t t b
t
= > → =
Chú ý:
Một số cặp a, b liên hợp thường gặp:
(
)
(
)
(
)
(
)
( )( ) ( )( )
2 1 2 1 1 2 3 2 3 1
5 2 5 2 1 7 4 3 7 4 3 1
;
;
+ − = + − =
+ − = + − =
Một số dạng hằng đẳng thức thường gặp:
(
)
( )
2
2
3 2 2 2 1
7 4 3 2 3
± = ±
± = ±
Ví d
ụ
m
ẫ
u.
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
(
)
(
)
2 3 2 3 4
x x
+ + − =
b)
(
)
(
)
3 3
3 8 3 8 6
x x
+ + − =
c)
( ) ( )
3
5 21 7 5 21 2
x x
x
+
− + + =
d)
( ) ( )
2 2
( 1) 2 1
4
2 3 2 3
2 3
x x x− − −
+ + − =
−
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
(
)
(
)
( )
2 3 2 3 4, 1 .
x x
+ + − =
Do
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
1
2 3 2 3 1 2 3 . 2 3 1 2 3
2 3
x x x
x
+ − = ⇔ + − = → − =
+
Đặ
t
(
)
(
)
1
2 3 , ( 0) 2 3 .
+ = > → − =
x x
t t
t
Khi
đ
ó
( )
2
1
2 3
1 4 0 4 1 0
2 3
t
t t t
t
t
= +
⇔ + − = ⇔ − + = →
= −
V
ớ
i
(
)
(
)
2
2 3 2 3 2 3 2 3 2.
x
t x
= + ⇔ + = + = + → =
V
ớ
i
(
)
( )
(
)
2
1
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2.
x
t x
−
−
= − ⇔ + = − = + = + → = −
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
x
=
±
2.
b)
(
)
(
)
( )
3 3
3 8 3 8 6, 2 .
x x
+ + − =
Do
(
)
(
)
( )( )
(
)
(
)
(
)
( )
3 3 3 3 3
3
3
1
3 8 3 8 3 8 3 8 1 3 8 . 3 8 1 3 8
3 8
x x x
x
+ − = + + = ⇔ + − = → − =
+
Đặ
t
(
)
(
)
3 3
1
3 8 ,( 0) 3 8
x x
t t
t
+ = > → − =
.
Khi
đ
ó
( )
2
1
3 8
2 6 0 6 1 0
3 8
t
t t t
t
t
= +
⇔ + − = ⇔ − + = →
= −
V
ớ
i
(
)
( )
3
3
3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3.
x
x
t x
= + ⇔ + = + ⇔ + = + → =
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Với
(
)
( ) ( ) ( )
1 1
3
3
3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3 8 3.
x
x
t x
− −
= − ⇔ + = − = − ⇔ + = − → = −
Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±3.
c)
( ) ( )
( )
3
5 21 5 21
5 21 7 5 21 2 7. 8, 3 .
2 2
x x
x x
x+
− +
− + + = ⇔ + =
Ta có
5 21 5 21 5 21 5 21 5 21 1
. 1
2 2 2 2 2
5 21
2
x x x x
x
− + − − −
= = → =
+
Đặ
t
5 21 5 21 1
,( 0)
2 2
x x
t t
t
+ −
= > → =
.
Khi
đ
ó
( )
2
1
1
3 7 8 0 7 8 1 0
1
7
t
t t t
t
t
=
⇔ + − = ⇔ − + = →
=
Với
5 21
1 1 0.
2
x
t x
+
= ⇔ = → =
Với
5 21
2
1 5 21 1 1
log .
7 2 7 7
x
t x
+
+
= ⇔ = → =
V
ậ
y ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m
5 21
2
0
1
log
7
x
x
+
=
=
d)
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2
( 1) 2 1 2 1 2 1
4
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4
2 3
x x x x x x x− − − − + − −
+ + − = ⇔ − + + − − =
−
( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 3 2 3 2 3 2 3 4 2 3 2 3 4, 4 .
x x x x x x x x− − − −
− + + + − = ⇔ + + − =
Đặ
t
( ) ( )
2 2
2 2
1
2 3 , ( 0) 2 3 .
x x x x
t t
t
− −
= + > → − =
Khi đó
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
2
2 3 2 3
2 3 2 1
1
4 4 0 4 1 0
2 1
2 3
2 3 2 3
x x
x x
t x x
t t t
t
x x
t
−
−
+ = +
= + − =
⇔ + − = ⇔ − + = → ⇔ ⇔
− = −
= −
+ = −
Với phương trình
2 2
2 1 2 1 0 2 2
x x x x x− = ⇔ − − = ⇔ = ±
Với phương trình
2 2
2 1 2 1 0 1.
x x x x x
− = − ⇔ − + = ⇔ =
Vậy phương trình có hai nghiệm
1
2 2
x
x
=
= ±
Dạng 3: Phương trình đặt ẩn phụ trực tiếp bằng phép quan sát
Ví dụ 1: Giải phương trình:
1 1 1
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
x
x x x x− − −
+ =
+ + + +
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Viết lại phương trình dưới dạng:
1 1 1 1
8 1 18
2 1 2 1 2 2 2
x x x x− − − −
+ =
+ + + +
Đặt
1
1
2 1
, , 1
2 1
x
x
u
u v
v
−
−
= +
>
= +
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Ta có
(
)
(
)
1 1 1 1
. 2 1 . 2 1 2 2 2
x x x x
u v u v
− − − −
= + + = + + = +
Phương trình tương đương với hệ
8 1 18 2
8 18
9
9;
8
u v
u v
u v u v
u v uv
u v
u v uv
= =
+ =
+ =
⇔ ⇔
+
+ =
= =
+ =
+ V
ớ
i u = v = 2, ta
đượ
c:
1
1
2 1 2
1
2 1 2
x
x
x
−
−
+ =
⇔ =
+ =
+ V
ớ
i
9
9;
8
u v
= =
, ta được:
1
1
2 1 9
4
9
2 1
8
x
x
x
−
−
+ =
⇔ =
+ =
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = 1 và x = 4.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
2
2 2 6 6
x x
− + =
Hướng dẫn giải:
Đặ
t
2 ; 0.
x
u u
= >
Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình thành
2
6 6
u u
− + =
Đặ
t
6,
v u
= +
đ
i
ề
u ki
ệ
n
2
6 6
v v u
≥ ⇒ = +
Khi
đ
ó ph
ươ
ng trình
đượ
c chuy
ể
n thành h
ệ
( ) ( )( )
2
2 2
2
6 0
0
1 0
6
u v u v
u v u v u v u v
u v
v u
= + − =
⇔ − = − − ⇔ − + = ⇔
+ + =
= +
+ V
ớ
i u = v ta
đượ
c:
2
3
6 0 2 3 8
2( )
x
u
u u x
u L
=
− − = ⇔ ⇔ = ⇔ =
= −
+ Với u + v + 1 = 0 ta được
2
2
1 21
21 1 21 1
2
5 0 2 log
2 2
1 21
(1)
2
x
u
u u x
u
− +
=
− −
+ − = ⇔ ⇔ = ⇔ =
− −
=
Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 8 và
2
21 1
log .
2
x
−
=
Các ví dụ giải mẫu trong video:
Ví dụ 1:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
a)
13
250125
+
=+
xxx
b)
1 1 1
4 6 9
x x x
− − −
+ =
c) (ĐH khối A – 2006):
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
Ví dụ 2: Giải phương trình
a)
(
)
(
)
3 5 3 5 7.2 0
x x
x
+ + − − =
b)
lg10 lg 2lg100
4 6 3
x x x
− =
Ví dụ 3:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
a)
07.022)12()12( −=−++− B
xx
b)
( ) ( )
2 2
1
10 3 10 3 10 4
x x −
+ + − = +
c)
( ) ( )
( )
2 2
2 1 2 1
101
2 3 2 3
10 2 3
x x x x− + − −
+ + − =
−
Ví dụ 4:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
a)
(
)
(
)
sin sin
7 4 3 7 4 3 4
x x
+ + − =
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
b)
(
)
(
)
(
)
7 5 2 2 5 3 2 2 3(1 2) 1 2 0
x x
x
+ + − + + + + − =
Ví dụ 5:
Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
a)
3 1
5 3
5.2 3.2 7 0
x
x
−
−
− + =
b)
3 1
4.3 3 1 9
x x x
+
− = −
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
( ) ( )
5 24 5 24 10
x x
+ + − =
b)
7 3 5 7 3 5
7 8
2 2
x x
+ −
+ =
c)
(
)
(
)
2
5 21 5 21 5.2
x
x x
+ + − = d)
(
)
(
)
4 15 4 15 8
− + + =
x x
e)
(
)
(
)
(
)
(
)
3243234732 +=−+++
xx
Bài 2:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
04.66.139.6
111
=+−
xxx
b)
1 1 1
2.4 6 9
x x x
+ =
c)
2 2
6.3 13.6 6.2 0
x x x
− + =
d)
+ =
3.16 2.81 5.36
x x x
e)
− + =
64.9 84.12 27.16 0
x x x
Bài 3:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
(
)
(
)
1
3 5 1 5 1 2
x x
x
+
+ − − =
b)
(
)
(
)
(
)
26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1 0
x x x
+ + + − + − =
Bài 4:
Gi
ả
i các ph
ươ
ng trình sau:
a)
2 1 1 1
5.3 7.3 1 6.3 9 0
x x x x
− − +
− + − + =
b)
4 4 2 2 10
x x x x− −
+ + + =
c)
1 1
3 3 9 9 6
x x x x− + −
− + + =
d)
1 3 3
8 8.(0,5) 3.2 125 24.(0,5)
x x x x
+ +
+ + = −
