bất phương trình logarit có lời giải p2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (214.34 KB, 5 trang )
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
I. PP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH (tiếp theo)
Ví dụ 1. Giải các bất phương trình sau:
a)
(
)
(
)
5
5
log 1 2 1 log 1
− < + +
x x
b)
(
)
2 9
log 1 2log 1
− <
x
c)
1 2
3
1 2
log log 0
1
+
>
+
x
x
d)
3 2
log 1
2
+
>
+
x
x
x
Hướng dẫn giải:
a)
(
)
(
)
(
)
5
5
log 1 2 1 log 1 , 1 .
− < + +x x
Điều kiện:
1
1 2 0
1
1 .
2
1 0
2
1
− >
<
⇔ →− < <
+ >
> −
x
x
x
x
x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
)
2
2
5 5 5 5 5
1 log 1 2 log 5 2log 1 log 1 2 log 5 1 1 2 5 2 1
⇔ − < + + ⇔ − < + ⇔ − < + +
x x x x x x x
2
6 2 14
5
5 12 4 0
6 2 14
5
− +
>
⇔ + − > ⇔
− −
<
x
x x
x
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là
6 2 14 1
.
5 2
− +
< <
x
b)
(
)
(
)
2 9
log 1 2log 1, 2 .
− <x
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
9 3
0 0
0
0 3.
1 2log 0 1 log 0
3
> >
>
⇔ ⇔ → < <
− > − >
<
x x
x
x
x x
x
( )
9 3 3
1
2 1 2log 2 1 log 2 og 1
3
⇔ − < ⇔ − < ⇔ > − ⇔ >
x x l x x
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là
1
3.
3
< <
x
c)
( )
1 2
3
1 2
log log 0, 3 .
1
+
>
+
x
x
Điều kiện:
2
1 0 1
1
1 1
0
1 2 1 2
0 0
0
1 2
1
1 1
1 0
1
1 1
1 2 1 2
log 0 1
1 1
+ ≠ ≠ −
≠ −
≠ − ≠ −
>
+ +
> ⇔ > ⇔ ⇔ ⇔ →
>
+
< −
+ +
> >
< −
+ +
+ +
> >
+ +
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
x x
x x
Do
( )
0
2 2
1 1 2 1 1 2 1 2 1
0 1, 3 log 1 log 1 2 0 1 0 1.
3 1 3 1 1 1
x x x
x x
x x x x
+ + + −
< < ⇔ < = ⇔ < ⇔ < ⇔ < → + > ⇔ > −
+ + + +
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là x > 0.
d)
( )
3 2
log 1, 4 .
2
+
>
+
x
x
x
Đ
iều kiện:
0
0
1
1
0
2
2 0
1
2
3 2
0
3
2
2
>
>
≠
≠
>
≠ −
⇔ →
+ ≠
≠
> −
+
>
+
< −
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
08. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARITH – P2
Th
ầy Đặng Việt H
ùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Do (4) chứa ẩn ở cơ số, ta chưa xác định được cơ số lớn hơn hay nhỏ hơn 1 nên có hai trường hợp xảy ra:
TH1:
( )
2
1
1
1
1
4 1 2.
1 2
3 2
3 2
2
log 1
0
2
2
2
2
>
>
>
>
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ → < <
− < <
+
+
− −
>
>
<
< −
+
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
TH2:
( )
2
0 1
0 1
0 1
0 1
4
2
3 2
3 2
2
log 1
0
2 1
2
2
2
< <
< <
< <
< <
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ →
>
+
+
− −
>
<
>
− < < −
+
+
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
x
vô nghi
ệ
m.
V
ậ
y t
ậ
p nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho là 0 < x < 1.
Ví dụ 2.
Gi
ả
i các b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau
a)
2
3
1
log 9 1
3
− − + ≤ −
x x b)
( )
2
1
1
3
3
1 1
log 1
log 2 3 1
>
+
− +
x
x x
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
( )
2
3
1
log 9 1, 1 .
3
− − + ≤ −
x x
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
( )
2
2
2
3
9 0
3
1
9 0
1
9 , (*)
3
3
≥
− ≥
≤ −
⇔
− − + >
− > −
x
x
x
I
x x
x x
2
2
1
1
0
3
3
1
1
1
3
0
(*)
3
41
3
41
1
3
9
3
3
− <
<
<
− ≥
⇔ ⇔ ⇔
≥
>
>
− > −
x
x
x
x
x
x
x
x x
Khi
đ
ó h
ệ
( )
3
3
3
1
41
3
3
41
3
≥
≤ −
≤ −
⇔ →
<
>
>
x
x
x
I
x
x
x
( )
2 1 2
2 2
0
1
1 9 3 9 0
3
9 ,
−
≥
⇔ − − + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ → ≥
− ≤ ∀
x
x x x x x
x x x
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho là
41
.
3
>x
b)
( )
( )
2
1
1
3
3
1 1
, 2 .
log 1
log 2 3 1
>
+
− +
x
x x
Điều kiện:
( )
2
2
1
3
2
1
3
1
1
1 0
1
1
2 3 1 0
1
1
2
log 2 3 1 0
2
0
2 3 1 1
3
log 1 0
1 1
2
> −
>
+ >
>
− + >
− < <
<
⇔ ⇔
− + ≠
≠
− + ≠
+ ≠
≠
+ ≠
x
x
x
x
x x
x
x
x x
x
x x
x
x
x
( )
( ) ( )
( )
2 2
3 3
3 3
1 1 1 1
2 , * .
log 1 log 1
log 2 3 1 log 2 3 1
⇔ > ⇔ >
− + +
− − + − +
x x
x x x x
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
TH1:
( )
( )
3
2
2
2
3
0
log 1 0
1 1
0
3
* 0 .
3
2
0
2 3 0
2 3 1 1
log 2 3 1 0
2
>
+ >
+ >
>
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ → < <
< <
− <
− + <
− + <
x
x
x
x
x
x
x x
x x
x x
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta
đượ
c nghi
ệ
m trong tr
ườ
ng h
ợ
p này là
1
0
2
3
1
2
< <
< <
x
x
TH2:
( )
(
)
( )
3
2 2 2
3
2 2
2
2
2
3 3
0
log 1 0
1 1
0
3
* log 2 3 1 0 2 3 1 1 2 3 0 ; 0
2
2 3 1 2 1
1 2 3 1
log 1 log 2 3 1
5 0
>
+ >
+ >
>
⇔ − + > ⇔ − + > ⇔ − > ⇔ > <
− + > + +
+ < − +
+ < − +
− >
x
x
x
x
x x x x x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
0
3
; 0 5.
2
5; 0
>
⇔ > < → >
> <
x
x x x
x x
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm trong trường hợp này là x > 5.
TH3:
( )
(
)
( )
3
2 2 2
3
2 2
2
2
2
3 3
0
log 1 0
1 1
0
3
* log 2 3 1 0 2 3 1 1 2 3 0 0
2
2 3 1 2 1
1 2 3 1
log 1 log 2 3 1
5 0
<
+ <
+ <
<
⇔ − + < ⇔ − + < ⇔ − < ⇔ < <
− + > + +
+ < − +
+ < − +
− <
x
x
x
x
x x x x x x x
x x x x
x x x
x x x
x x
0
3
0
2
0 5
<
⇔ < < →
< <
x
x
x
hệ vô nghiệm.
Hợp hai trường hợp 1 và 2 ta được nghiệm của bất phương trình là
( )
1 3
0; 1; 5; .
2 2
∈ ∪ ∪ +∞
x
Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau
a)
(
)
(
)
2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1
−
+ − < + +
x x
, (Đề thi ĐH khối B năm 2006).
b)
2
0,7 6
log log 0
4
+
<
+
x x
x
,
(
Đề
thi
Đ
H kh
ố
i B n
ă
m 2008).
c)
(
)
3
log log 9 72 1
− ≤
x
x
,
(
Đề
thi
Đ
H kh
ố
i B n
ă
m 2002).
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
(
)
(
)
(
)
2
5 5 5
log 4 144 4log 2 1 log 2 1 , 1 .
−
+ − < + +
x x
( )
( ) ( ) ( )
4 2 2
5 5 5 5 5 5
4 144
1 log 4 144 log 2 log 5 log 2 1 log log 5.2 5
16
− −
+
⇔ + − < + + ⇔ < +
x
x x x
2
4 144
5.2 5 4 20.2 64 0 4 2 16 2 4.
16
−
+
⇔ < + ⇔ − + < ⇔ < < → < <
x
x x x x
x
V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình
đ
ã cho là 2 < x < 4.
b)
( )
2
0,7 6
log log 0, 2 .
4
+
<
+
x x
x
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
2 2
2 2
2 2
6
4 0 4
4 4
2
0 0
4
4 2
4 4
1 0
4 4
log 0 1
4 4
+ ≠ ≠ −
≠ − ≠ −
>
+ +
> ⇔ > ⇔ ⇔ ⇔
+ −
− < < −
+ +
> >
+ +
+ +
> >
+ +
x x
x x
x
x x x x
x x x
x
x x
x x
x x x x
x x
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Do 0,7 < 1 nên
( ) ( )
2 2 2 2
0
6 6
8
6 24
2 log 0,7 log 1 6 0
4 3
4 4 4 4
>
+ + + + − −
⇔ > ⇔ > ⇔ > ⇔ > ⇔
− < < −
+ + + +
x
x x x x x x x x x
x
x x x x
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là
8
4 3
>
− < < −
x
x
c)
(
)
( )
3
log log 9 72 1, 3 .
− ≤
x
x
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
( )
9
3
0, 1
0, 1
9 72 0 log 73 1, (*)
9 72 1
log 9 72 0
> ≠
> ≠
− > ⇔ ⇔ > >
− >
− >
x
x
x
x x
x x
x
V
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) thì
( )
( )
3
3 8,
3 log 9 72 9 72 3 9 3 72 0 8 3 9
3 9
≥ − ∀
⇔ − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔
≤
x
x x x x x x
x
x
x
T
ừ
đ
ó ta
đượ
c x
≤
2.
K
ế
t h
ợ
p v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n (*) ta
đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a b
ấ
t ph
ươ
ng trình là
9
log 73 2.
< ≤
x
Nhận xét:
Trong ví d
ụ
trên, m
ặ
c dù c
ơ
s
ố
ch
ứ
a
ẩ
n x nh
ư
ng do
đ
i
ề
u ki
ệ
n ta xác
đị
nh
đượ
c ngay bi
ể
u th
ứ
c v
ế
trái
đồ
ng
bi
ế
n nên bài toán không ph
ả
i chia 2 tr
ườ
ng h
ợ
p.
Ví dụ 4. Giải bất phương trình sau:
a)
(
)
2
1 4
3
log log 5 0
− >
x b)
2
2
8
3
log −>
−
x
x
c)
032
2
loglog
1log
2
3
1
2
3
2
≤
+
+
−x
x
d)
2
1
2
2
1 1
0
log (2 1)
log 3 2
x
x x
+ >
−
− +
Ví dụ 5.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
a)
1)2log(loglog
2
4
13
<+− xx
b)
(
)
165
2
2
<+− xx
x
log
c) 0)(loglog
5,03
≥x d)
3
1
6
5
log
3
−
≥
−
x
x
x
Ví dụ 6.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
a)
2
4
1
log ≥
−x
x
b)
(
)
154log
2
≤+x
x
c)
(
)
(
)
03log7164
3
2
≥−+− xxx
d)
(
)
[
]
193loglog
9
<−
x
x
Ví dụ 7.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
a)
(
)
13log
2
3
>−
−
x
xx
b)
(
)
12log
2
>−+ xx
x
c)
(
)
2385log
2
>+− xx
x
d)
2
1
2
54
log
2
≤
−
−
x
x
x
Ví dụ 8.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
a)
(
)
[
]
164loglog
2
≤−
x
x
b)
1
1
12
log >
−
−
x
x
x
c)
2
1
122log
2
1
2
<−−
+−
xx
xx
d)
(
)
2
3
log 5 18 16 2
x
x x
− + >
Ví dụ 9.
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình sau:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
a)
2
2
1 1
log
log 2
x
x
≤
+
b)
2
3
2
4 3
log 0
5
x x
x x
− +
≥
+ −
c)
(
)
2 3
3
log log 3 1
x
− <
d)
2
25 5 1
5
1
2log ( 1) log .log ( 1)
2 1 1
x x
x
− ≥ −
− −
