nguyên hàm của hàm số lượng giác p4

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn



Dạng 3. Nguyên hàm lượng giác của hàm tan và cot
Cách giải:
 Các nguyên hàm chứa tanx hay cotx thì ta thường dùng hằng đẳng thức
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 tan tan 1
cos cos
1 1
1 cot cot 1
sin sin
x x
x x
x x
x x
 
= + = −
 
 
→
 
 
= + = −
 

 


Nguyên hàm mà m
ẫ
u s
ố
là
đẳ
ng c
ấ
p b
ậ
c hai v
ớ
i sinx và cosx:
2 2
sin sin .cos .cos
A x B x x C x
+ + thì ta chia c
ả
t
ử
và
m
ẫ
u cho cos
2
x ho
ặ

c sin
2
x.
Ví dụ 1.
Tính các nguyên hàm sau:
a)
2
1
tan
I xdx
=
∫

b)
3
2
tan
I xdx
=
∫

c)
(
)
3
3
tan tan
I x x dx
= +
∫

d)
4
4
cos
dx
I
x
=
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
2
1
2
1
tan 1 tan .
cos
I xdx dx x x C
x
 
= = − = − +

 
 
∫ ∫

b)
Xét
3
2
tan
I xdx
=
∫

Cách 1:
2
3 2
2
2 2
1 tan sin
tan tan .tan 1 tan tan . tan
cos cos 2 cos
dx x xdx
I xdx x xdx xdx x xdx
x x x
 
= = = − = − = − =
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2
tan ( os ) tan
ln cos .
2 cos 2
x d c x x
x C
x
= + = + +
∫

Cách 2:
(
)
2
3 2
3
2
3 3 3 3 2
1 os . (cos )
sin sin .sin (cos ) (cos ) 1
tan ln cos .
cos cos cos cos cos 2cos
c x d x
x x xdx d x d x
I xdx dx x C
x x x x x x
−
= = = = − = − + = + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Bình luận:

Nhìn vào hai kết quả thu được từ hai phương án tính khác nhau, thoạt nhìn gây chúng ta cho cảm giác không biết
cách nào đúng, cách nào sai. Nhưng quan sát kĩ, và thực hiện một phép biến đổi đơn giản ta thu được ngay cùng kết
quả.
Thật vậy,
tan
ln cos ln cos ln cos .
cos cos
2
2 2
x 1 1 1 1
x C 1 x C x C
2 2 x 2 x 2
 
+ + = − + + = + + −
 
 

Do
( )
1
0
2
C C
′
 
′
− = =
 
 
nên thực chất hai nguyên hàm có cùng kết quả.

c)
( )
3 3 2
3
2
1
tan tan tan tan tan .tan tan 1 .tan tan
cos
I x x dx xdx xdx x xdx xdx xdx xdx
x
 
= + = + = + = − + =
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2
2
tan
tan . tan tan .
cos 2
dx x
x xdx xdx C
x
= − + = +
∫ ∫ ∫

Bình luận:
Cách giải bài trên là dựa vào cách giải truyền thống cho dạng toán này. Với các nguyên hàm có chứa tan
n

x thì thông
th
ường ta tách theo sơ đồ:
2 2 2 2 2
2 2
1 1
tan tan .tan tan . 1 tan . tan
cos cos
n n n n n
x x x x x x
x x
− − − −
 
= = − = −
 
 
với n > 2.
Quá trình tách cứ tiếp diễn đến cuối cùng xuất hiện tanx hoặc tan
2
x, mà cách nguyên hàm này đều có công thức tính.
Tuy nhiên, với bài toán trên có một đặc điểm riêng mà ta có thể trình bày cách giải ngắn gọn hơn như sau:
Tài liệu bài giảng:

07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P4
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
( ) ( )
( )
2

3 2
3
2
tan
tan tan tan 1 tan tan . tan . tan .
cos 2
dx x
I x x dx x xdx x x d x C
x
= + = + = = = +
∫ ∫ ∫ ∫

d)
( )
( )
3
2
4
4 2 2
1 tan
1 tan tan tan .
cos cos cos 3
dx dx x
I x d x x C
x x x
= = = + = + +
∫ ∫ ∫

Bình luận:
Với những nguyên hàm có xuất hiện tanx kèm theo cos

2n
x ở mẫu số thì ta sử dụng phép phân tích như sau
( )
( )
1
2
2 2 2 2 2
2
1 1 1 1
. tan 1 .
cos cos cos cos
tan
cos
n
n n
x
x x x x
dx
d x
x
−
−

= = +




=




D
ự
a trên phép phân tích nh
ư
trên ta có th
ể
m
ở
r
ộ
ng thêm m
ộ
t s
ố
bài toán nh
ư
sau:


( )
( )
2
5 3
2
2
1
6 4 2 2 2
1 1 tan 2tan

. 1 tan tan tan .
cos cos cos cos cos 5 3
dx dx dx x x
J x d x x C
x x x x x
 
= = = = + = + + +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫



( )
( )
2010 2013 2011
2010 2010 2
2
4 2 2
tan 1 tan tan
tan . . tan . 1 tan tan .
cos cos cos 2013 2011
x dx x x
J dx x x x d x C
x x x
= = = + = + +
∫ ∫ ∫

Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm sau:
a)

5
3 5
sin .cos
dx
I
x x
=
∫
b)
6
3
5
sin .cos
dx
I
x x
=
∫

c)
7
2 2
2sin 5sin cos 3cos
dx
I
x x x x
=
− −
∫

d)
( )
8
2
cos 3sin
dx
I
x x
=
−
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)

(
)
( )
( )
( )
3
3
2
5

3 5 3 3 2 2 3
8
1 1 1 tan
tan
sin .cos tan cos cos
sin tan
cos
cos
dx dx dx x
I d x
x x x x x
x x
x
x
+
 
= = = = =
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

( )
( )
( )
2 4 6
3
3
3
1 3tan 3tan tan
3

tan tan
tan 3tan tan
tan
tan
x x x
d x d x
x x x
x
x
−
+ + +
 
= = =
+ + +
 
 
∫ ∫


2 4 2 4
5
2 2
1 3tan tan 1 3tan tan
3ln tan 3ln tan .
2 4 2 4
2tan 2tan
x x x x
x C I x C
x x
= − + + + + → = − + + + +

b)
(
)
( ) ( ) ( )
5 2
3 3
6
2
5 5 2
3 3
3
1 3 3
tan tan tan .
2
cos
sin
sin .cos 2 tan
cos
dx dx
I x d x x C C
x
x
x x x
x
− −
−
= = ⋅ = = − + = +
∫ ∫ ∫

Bình luận:
Trong cả hai nguyên hàm I
5
và I
6

ở trên chúng ta dễ dàng nhận thấy đặc điểm chung của hai nguyên hàm là mẫu số
có chứa sinx và cosx với tổng lũy thừa là một số chắn. Phương pháp giải trên là cách giải tổng quát cho dạng nguyên
hàm này. Tuy nhiên, nếu tổng lũy thừa quá lớn thì bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn nhiều!
c)
7
2 2
2sin 5sin cos 3cos
dx
I
x x x x
=
− −
∫

Ở mẫu số ta thấy có dạng biểu thức đẳng cấp bậc hai với sinx và cosx. Trong chuyên đề về phương trình lượng giác ta
cũng biết cách giải cho loại phương trình đẳng cấp bậc hai này, với nguyên hàm cũng tương tự. Chia cả tử và mẫu số
cho cos
2
x ta
được:
( )
2
7
2 2

2 2
2 2 2
tan
cos
; ( tan ).
2sin 5sin cos 3cos
2tan 5tan 3 2 5 3
cos cos cos
dx
d x
dt
x
I t x
x x x x
x x t t
x x x
= = = =
− − − −
− −
∫ ∫ ∫

7
(2 1) 2( 3) 1 1 2 1 3 1 tan 3
ln ln .
( 3)(2 1) 7.( 3)(2 1) 7 3 7 2 1 7 2 1 7 2tan 1
dt t t dt dt t x
I dt C C
t t t t t t t x
+ − − − −
→ = = = − = + = +

− + − + − + + +
∫ ∫ ∫ ∫

d)
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
8
2 2 2 2
1 3 tan
tan
1 1
cos
.
3
3 1 3 tan
cos 3sin 1 3 tan 1 3 tan 1 3 tan
dx
d x
d x
dx
x
I C
x
x x x x x
−

−
= = = = = +
−
− − − −
∫ ∫ ∫ ∫

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Bình luận:
Mẫu số trong nguyên hàm trên có dạng là một biểu thức lượng giác khá đặc biệt, thế nên ta cũng có thể tìm ra một
cách giải đặc biệt khác. Thật vậy,
1 3
π
cos 3sin 2 cos sin 2cos .
2 2 3
x x x x x
 
 
− = − = +
 
 
 
 
 

Từ đó
( )
8
2
2 2

π
1 1 π
3
tan .
π π
4 4 3
cos 3sin
4cos cos
3 3
d x
dx dx
I x C
x x
x x
 
+
 
 
 
= = = = + +
 
   
 
−
+ +
   
   
∫ ∫ ∫

B

ằ
ng phép bi
ế
n
đổ
i l
ượ
ng giác cho cách gi
ả
i trên, ho
ặ
c khai tri
ể
n công th
ứ
c l
ượ
ng giác cho cách gi
ả
i d
ướ
i ta s
ẽ
thu
đượ
c cùng m
ộ
t k
ế
t qu

ả
. N
ế
u các em không t
ự
tin v
ớ
i kh
ẳ
ng
đị
nh
đ
ó thì th
ầ
y s
ẽ
ch
ứ
ng minh
đ
i
ề
u này.
Th
ậ
t v
ậ
y,
(

)
( )
1 1
π
1 3 tan 3
tan tan
1 π 1 1 tan 3
3 3
3
tan . .
π
4 3 4 4
1 3 tan
4 1 3 tan
1 tan .tan
3
x
x
x
x C C C C
x
x
x
− − + +
+
+
 
+ + = + = + = + =
 
−

 
−
−

( ) ( )
4
1 1 1
3
4 3 4 3
4 1 3 tan 3 1 3 tan
C C
x x
= − + + = + −
− −
,

rõ ràng
( )
1
0.
4 3
C C
′
 
′
− = =
 
 

Ví dụ 3.

Tính các nguyên hàm sau:
a)
4
9
cot
I xdx
=
∫

b)
10
5
cos
sin
xdx
I
x
=
∫

c)
11
1 sin 2
dx
I
x
=
+
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)

4 2 2 2 2 2
9
2 2
1
cot cot .cot 1 cot cot cot
sin sin
dx
I xdx x xdx xdx x xdx
x x
 
= = = − = − =
 
 
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

( )
3 3
2 2
2 2
1 cot cot
cot cot 1 cot .

sin 3 sin 3
x dx x
xd x dx dx x x C
x x
− −
 
= − − − = − + = + + +
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

2) Xét
10
5
cos
sin
xdx
I
x
=
∫

Cách 1:
10
5 5 4
cos (sin ) 1
.
sin sin 4sin
xdx d x
I C

x x x
−
= = = +
∫ ∫

Cách 2:
( )
4 2
2
10
5 4 2 2
cos cos 1 cot cot
. cot . . cot . 1 cot . (cot ) .
sin sin sin sin sin 4 2
xdx x dx dx x x
I x x x d x C
x x x x x
= = = = − + = − − +
∫ ∫ ∫ ∫

Bình luận:

Bằng phép xử lý lượng giác đơn giản ta cũng thu được cùng kết quả với hai cách giải trên.

Tương tự như nguyên hàm của tanx, với nguyên hàm cotx mà có chứa sin
2n
x thì ta cũng sử dụng thủ thuật phân tích
( )
( )
1

2
2 2 2 2 2
2
1 1 1 1
. 1 cot .
sin sin sin sin
cot
sin
n
n n
x
x x x x
dx
d x
x
−
−

= = +




= −


để đưa về nguyên hàm cơ bản có chứa cotx và cot
2
x đã biết.
c)

( )
11
2
2 2
π
1 1
π
4
cot
π π
1 sin 2 2 2 4
sin cos
2sin sin
4 4
d x
dx dx dx
I x
x
x x
x x
 
+
 
 
 
= = = = = − +
 
+
   
 

+
+ +
   
   
∫ ∫ ∫ ∫

Dạng 4. Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân
(
)
(
)
( ) ( )

+ + = −


− + = +


d Asin x Bcos x C Acos x B sin x dx
d A' sin x B'cos x C' A'cos x B' sin x dx

Cách giải:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
 Các nguyên hàm dạng này thường sử dụng một số công thức lượng giác
( )
2
2 2
1 sin2 sin cos

cos2 cos sin
x x x
x x x

± = ±


= −





Để
tìm nguyên hàm, ta th
ườ
ng tìm vi phân c
ủ
a m
ẫ
u s
ố
:
(
)
(
)
sin cos cos sin
d A x B x C A x B x dx
+ + = −

Ví dụ .
Tính các nguyên hàm sau:
a)
1
cos sinx
sinx cos
x
I dx
x
−
=
+
∫

b)
2
cos2
1 sin2
xdx
I
x
=
+
∫

c)
( )
3
3
cos2

sin cos
xdx
I
x x
=
+
∫
d)

(
)
4
sin 2 2cos4
cos2 sin4
x x dx
I
x x
+
=
−
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)

Ta có

( ) ( )
(
)
1
sin cos
sin cos cos sin ln sin cos .
sin cos
d x x
d x x x x dx I x x C
x x
+
+ = − → = = + +
+
∫

b)
( )
(
)
2 2
2
2
sin cos
cos2 cos sin cos sin
ln sin cos .
1 sin2 sin cos sin cos
sin cos
d x x

xdx x x x x
I dx dx x x C
x x x x x
x x
+
− −
= = = = = + +
+ + +
+
∫ ∫ ∫ ∫

Bình luận:
Do
( ) ( )
= = +
1 1
cos2xdx d sin2x d 1 sin2x
2 2
nên ta còn có thể giải theo cách lấy vi phân trực tiếp như sau:
(
)
( )
+
= = = + + = + + = + +
+ +
∫ ∫
2
2
d 1 sin2x
cos2xdx 1 1 1

I ln 1 sin2x C ln sinx cos x C ln sin x cos x C.
1 sin2x 2 1 sin2x 2 2

c)
( ) ( ) ( )
(
)
( )
2 2
3
3 3 2 2
sin cos
cos2 cos sin cos sin 1
.
sin cos
sin cos sin cos sin cos sin cos
d x x
xdx x x x x
I dx dx C
x x
x x x x x x x x
+
− − −
= = = = = +
+
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫

d)
Xét

(
)
4
sin 2 2cos4
cos2 sin4
x x dx
I
x x
+
=
−
∫

Vi phân m
ẫ
u s
ố
ta có
( ) ( ) ( )
(
)
cos2 sin4
cos2 sin4 2sin2 4cos4 sin2 2cos4
2
d x x
d x x x x dx x x dx
−
− = − − → + = −

T

ừ

đ
ó ta
đượ
c
(
)
(
)
4
sin 2 2cos4 cos2 sin4
1 1
ln cos2 sin 4 .
cos2 sin4 2 cos2 sin4 2
x x dx d x x
I x x C
x x x x
+ −
= = − = − − +
− −
∫ ∫

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
1)
2
1
2
sin
1 cos

x
I dx
x
=
+
∫

2)
2
3 3
sin cos
dx
I
x x
=
∫

3)
3
2
(sin 2cos )
dx
I
x x
=
−
∫

4)
4

2 2
sin 6cos
dx
I
x x
=
−
∫
5)
5
2 2
sin 9cos
dx
I
x x
=
−
∫

6)
6
2 2
sin 2cos 1
dx
I
x x
=
− +
∫

7)
(
)
3
7
cot cot
I x x dx
= +
∫
8)
8
2cos 3sin
2sin 3cos 1
x x
I dx
x x
−
=
− +
∫
9)
9
2
sin 4
=
−
∫
dx
I
x

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn





Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau:
a)
1
sin 2 sin
1 sin
=
−
∫
x x
I dx
x

b)

( )
2
2
sin 4 sin2 cos 3
= + +
∫
I x x x dx

Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm sau:
a)
1
2
tan
4 cos
=
+
∫
xdx
I
x

b)
2
2
tan 3 cos
=
+
∫
dx
I

x x

c)
3
2 2
3sin 4cos
3sin 4cos
+
=
+
∫
x x
I dx
x x

d)
3
4
2
sin .cos
1 cos
=
+
∫
x x
I dx
x

Ví dụ 3.
Tính các nguyên hàm sau:

a)
(
)
2sin
1
tan cos= +
∫
x
I x e xdx

b)
(
)
sin
2
cos .cos= +
∫
x
I e x x dx

c)
2
3
sin 2 .cos (2 cos )= +
∫
I x x x dx

d)
3
4

2
sin
1 cos
=
+
∫
x
I dx
x

Ví dụ 4.
Tính các nguyên hàm sau:
a)
6 6
1
cos4 (sin cos )
= +
∫
I x x x dx

b)
3
2
2
sin
3 sin
=
+
∫
x

I dx
x

c)
3
cos
5 cos2
=
+
∫
xdx
I
x

d)
4
sin2 sin
1 2cos
+
=
+
∫
x x
I dx
x

Ví dụ 5.
Tính các nguyên hàm sau:
a)
1

cos3
sin
=
∫
x
I dx
x

b)
3
2
2
sin .cos
1 cos
=
+
∫
x x
I dx
x

c)
3
3
4sin
1 cos4
=
+
∫
xdx

I
x

d)
4
3sin 2 sin
6cos 5
+
=
−
∫
x x
I dx
x

Ví dụ 6.
Tính các nguyên hàm sau:
a)
1
1 tan .tan sin
2
 
= +
 
 
∫
x
I x xdx

b)

(
)
3 2
2
cos 1 cos= −
∫
I x xdx

c)
3
cos sin .cos
2 sin
+
=
+
∫
x x x
I
x

d)
3
4
sin3 sin
1 cos3
−
=
+
∫
x x

I dx
x