nguyên hàm của hàm số lượng giác p6

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn




Dạng 7. Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân
   
→ →
+
← ←
   
   
2
2
x dx 1 x
d tan 1 tan dx
x
2 2 2
2cos
2

Cách giải:
 Xét nguyên hàm =
+ +
∫
1
Asin cos
dx
I
x B x C

Để tính nguyên hàm trên ta xét hai trường hợp:
 Nếu
( )
2 2 2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos cos φ
C A B A x B x C A x B x A B A B x A B
= ± + → + + = + ± + = + + ± +
Ở đây, ta đã biết phép biến đổi lượng giác
( )
( )
2 2
2 2
os
α
Asin cos
os
β
A B c x
x B x
A B c x
+ +
+ =
+ +

Khi đó
( )
( )
2 2
2

1
2 2 2 2 2 2
2 2
2
1
α
2cos
2
1
1
cos α 1
cos α
α
2sin
2
dx
x
A B
dx dx
I
dx
x
A B x A B A B
x
A B
+
 
+
 
 

= = =
−
+ ±
+ + ± + +
+
 
+
 
 
∫
∫ ∫
∫


Nếu
2 2
C A B
≠ ± + thì ta đặt
2
2
2
2
2
2
1 1 2
1 tan
2 2 2
1
cos
2

2
tan sin
2
1
1
cos
1
dx x dt
dt dx dx
x
t
x t
t x
t
t
x
t
 
= = + → =
 
+
 
= → =
+
−
=
+

Thay vào ta tính được I
1

là nguyên hàm theo ẩn t.

Chú ý: M
ộ
t s
ố
công th
ứ
c tính nhanh:
π π
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4 4
π π
3 sin x cos x 2sin x 2cos x
6 3
π π
sin x 3cos x 2sin x 2cos x
3 6
   
+ = + = −
   
   
   
+ = + = −
   
   
   
− = − = − +
   
   

Ví dụ 1.
Tính các nguyên hàm sau:
a)
1
sin cos 2
dx
I
x x
=
+ +
∫

b)
2
3sin cos 2
dx
I
x x
=
− −
∫

c)
3
3sin cos 1
dx
I
x x
=

+ +
∫

d)
4
sin cos 1
dx
I
x x
=
− −
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
1
sin cos 2
dx
I
x x
=
+ +
∫

Ta có
2 2
1 1
π
1 1 2 sin cos 2 sin cos 2cos .
4
2 2
x x x x x
 
 
+ = → + = + = −
 
 
 
 

Tài liệu bài giảng:

07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P6
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
1
2 2
π
1 1 1 1 π
2 8
tan .
π π π π
2 8

2 2 2 2
2 cos 2 1 cos 2cos 2cos
4 4 2 8 2 8
x
d
dx dx dx x
I C
x x
x x
 
−
 
 
 
= = = = = − +
 
       
 
− + + − − −
       
       
∫ ∫ ∫ ∫

Vậy
1
1 π
tan .
2 8
2
x

I C
 
= − +
 
 

Bình luận:
Trong nguyên hàm trên, ở biểu thức sinx + cosx ta thống nhất chuyển về hàm cos để sử dụng công thức lượng giác
2
2
a dx dx
1 cosa 2cos
a
2 1 cosa
2cos
2
+ = → =
+
∫ ∫

b) Ta có
3 1
π
3sin cos 2 sin cos 2cos .
2 2 3
x x x x x
 
 
− = − = − +
 

 
 
 
 

2
2
π
1 1 1 π
2 6
tan .
π π π
2 2 2 2 6
3sin cos 2
2cos 2 1 cos cos
3 3 2 6
x
d
dx dx dx x
I C
x
x x
x x
 
+
 
 
 
= = = − = − = − + +
 

     
− −
 
− + − + + +
     
     
∫ ∫ ∫ ∫

c)
Đặt
2
2
2
1 1 2
tan 1 tan
2 2 2 2
1
cos
2
x dx x dt
t dt dx dx
x
t
 
= ⇒ = = + → =
 
+
 

Ta có

2
2 2
2 1
sin ; cos
1 1
t t
x x
t t
−
= =
+ +

Khi
đ
ó
2
3
2
2 2
2 2
2
2 2 1 (6 2) 1 1
1
ln 6 2 ln 6tan 2 .
6 1
6 1 1 6 2 3 6 2 3 3 2
1
1 1
+
+

= = = = = + + = + +
−
+ − + + + +
+ +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
dt
dt dt d t x
t
I t C C
t t
t t t t t
t t

d)
Đặ
t
2
2
2
1 1 2
tan 1 tan
2 2 2 2
1
cos
2
x dx x dt
t dt dx dx
x
t

 
= ⇒ = = + → =
 
+
 

Ta có
2
2 2
2 1
sin ; cos
1 1
t t
x x
t t
−
= =
+ +

Khi
đ
ó
2
4
2 2 2
2 2
2
2
1
ln ln tan .

sin cos 1 2
2 1 2 1 1
1
1 1
dt
dx dt dt x
t
I t C C
x x t
t t t t t
t t
+
= = = = = + = +
− −
− − + − −
− −
+ +
∫ ∫ ∫ ∫

Ví dụ 2.
Tính các nguyên hàm sau:
a)
1
3sin cos 3
=
− +
∫
dx
I
x x

b)
2
2sin cos 2
=
− −
∫
dx
I
x x

c)
3
sin 3cos 2
=
− +
∫
dx
I
x x

d)
4
1 sin
=
+
∫
dx
I
x

 Xét nguyên hàm
+ +
=
′ ′ ′
+ +
∫
2
Asin cos
A sin cos
x B x C
I dx
x B x C

V
ớ
i d
ạ
ng nguyên hàm này ta s
ẽ
s
ử
d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp
đồ
ng nh

ấ
t nh
ư
v
ớ
i nguyên hàm c
ủ
a hàm phân th
ứ
c h
ữ
u t
ỉ

đ
ã xét
b
ằ
ng vi
ệ
c phân tích:
(
)
(
)
cos sin sin cos
sin cos
sin cos sin cos
m A x B x n A x B x C p
A x B x C

A x B x C A x B x C
′ ′ ′ ′ ′
− + + + +
+ +
=
′ ′ ′ ′ ′ ′
+ + + +

Đồng nhất theo các hệ số của sinx và cosx ta được
A mB nA m
B mA nB n
C nC p p
′ ′
= − +
 
 
′ ′
= + →
 
 
′
= +
 

T
ừ đó ta được
(
)
2
cos sin

Asin cos
A sin cos sin cos sin cos
m A x B x dx
x B x C dx
I dx n dx p
x B x C A x B x C A x B x C
′ ′
−
+ +
= = + + =
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
+ + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
ln sin cos
sin cos
dx
m A x B x C nx p
A x B x C
′ ′ ′
= + + + +
′ ′ ′
+ +
∫

Ví dụ 3. Tính các nguyên hàm sau:
a)
1

sin 3cos 1
sin cos 2
x x
I dx
x x
+ −
=
+ +
∫
b)
( )
2
2
7sin 5cos
3sin 4cos
x x
I dx
x x
−
=
+
∫

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:

a)
Ta có phân tích
1 1
sin 3cos 1 (cos sin ) (sin cos 2)
3 2
sin cos 2 sin cos 2
1 2 5
A B A
x x A x x B x x C
A B B
x x x x
B C C
= − + =
 
+ − − + + + +
 
= → = + ⇔ =
 
+ + + +
 
− = + = −
 

T
ừ

đ
ó
1
(cos sin ) 2(sin cos 2) 5 (cos sin )

2 5
sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2
x x x x x x dx dx
I dx dx
x x x x x x
− + + + − −
= = + − =
+ + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫

(sin cos 2)
2 5 ln sin cos 2 2 5 .
sin cos 2
d x x
x J x x x J
x x
+ +
= + − = + + + −
+ +
∫

Xét
sin cos 2
dx
J
x x
=
+ +
∫
.

Đặ
t
2
2
2
2
2
2
1 1 2
1 tan
2 2 2
1
cos
2
2
tan sin
2
1
1
cos
1
dx x dt
dt dx dx
x
t
x t
t x
t
t
x

t
 
= = + → =
 
+
 
= → =
+
−
=
+

Khi
đ
ó
( )
( )
( )
2
2 2
2 2 2
2
2 2
2
2 1
2 2
1
2 1
sin cos 2 2 1 2 2 2 3
1 2

2
1 1
dt
d t
dx dt dt
t
J
t t
x x t t t t t
t
t t
+
+
= = = = = =
−
+ + + − + + + +
+ +
+ +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 1
tan 1 tan 1
2 1
2 2
arctan 2arctan ln sin cos 2 2 5 2arctan .
2 2 2 2
x x
t
C C I x x x C

   
+ +
   
+
 
= + = + → = + + + − +
   
 
 
   
   

b)
Ta có phân tích
( )
( ) ( )
( )
2 2
43
7 4 33cos 4sin 3sin 4cos
7sin 5cos
25
5 3 4 1
3sin 4cos 3sin 4cos
25
A
A BA x x B x x
x x
A B
x x x x

B

= −

= − +− + +

−

= → ⇔
 
− = +
+ +


=



T
ừ

đ
ó ta có
( )
( ) ( )
( )
2
2 2
43 1
3cos 4sin 3sin 4cos

7sin 5cos
25 25
3sin 4cos 3sin 4cos
x x x x
x x
I dx dx
x x x x
− − + +
−
= = =
+ +
∫ ∫

(
)
( )
(
)
( )
2 2
3cos 4sin 3sin 4cos
43 1 43 1
25 25 3sin 4cos 25 25 3sin 4cos
3sin 4cos 3sin 4cos
x x dx d x x
dx dx
dx
x x x x
x x x x
− +

= − + = − + =
+ +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫

( )
43 1
.
25 3sin 4cos 25
J
x x
= +
+

Xét
.
3sin 4cos
dx
J
x x
=
+
∫
Đặ
t
2
2
2
2
2

2
1 1 2
1 tan
2 2 2
1
cos
2
2
tan sin
2
1
1
cos
1
dx x dt
dt dx dx
x
t
x t
t x
t
t
x
t
 
= = + → =
 
+
 
= → =

+
−
=
+

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
2
2 2
2 2
2
1 (2 1) 2( 2)
1
3sin 4cos (2 1)( 2) 5 (2 1)( 2)
6 4(1 ) 2 3 2
1 1
dt
dx dt dt t t
t
J dt
x x t t t t
t t t t
t t
− − +
+
= = = = = − =
+ − + − +
− + −
−
+ +

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

1 1
2tan 1
1 2 1 1 1 2 1 1
2
ln 2 ln 2 ln 2 1 ln ln .
5 5 2 1 5 5 5 2 5
tan 2
2
x
dt t
t t t C C C
x
t t
−
−
= − + + = − + + − + = + = +
− +
+
∫

Vậy
( )
2
2tan 1
43 1
2
ln .
25 3sin 4cos 125

tan 2
2
x
I C
x
x x
−
= + +
+
+

Ví dụ 4. Tính các nguyên hàm sau:
a)
1
8cos sin 3
3sin 2cos 3
− +
=
+ +
∫
x x
I dx
x x
b)
2
5cos sin 2
sin cos 1
− +
=
+ +

∫
x x
I dx
x x

c)
3
2
4sin 3cos 3
(2sin cos 2)
− +
=
+ +
∫
x x
I dx
x x

b)
4
5sin 2
2sin cos 1
−
=
− −
∫
x
I dx
x x

Ví dụ 5.
Tính các nguyên hàm sau:
a)
1
sin 3cos 2
2sin cos 2
− +
=
− −
∫
x x
I dx
x x

b)
2
2
4cos 3sin 2
(sin 2cos 2)
− +
=
+ +
∫
x x
I dx
x x

c)
2
3

sin
sin cos
=
+
∫
x
I dx
x x

d)
2
4
cos
sin 3cos
=
−
∫
x
I dx
x x

e)
5
sin cos 1
sin 2cos 3
− +
=
+ +
∫
x x

I dx
x x

f)
6
sin 3cos 1
sin cos 2
+ −
=
+ +
∫
x x
I dx
x x