tiếp tuyến của đồ thị hàm số p5

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1







DẠNG 3. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐI QUA MỘT ĐIÊM CHO TRƯỚC
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là (C). Điểm A(x
A
; y
A
) không thuộc đồ thị.
Viết viết các phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến đồ thị ta thực hiện như sau :
+ Gọi d là đường thẳng đi qua A và có hệ số góc k
(
)
:
→ = − +
A A
d y k x x y

+
Đườ
ng th
ẳ
ng d là ti

ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
(C) khi h
ệ
sau có nghi
ệ
m :
(
)
(
)
( )
( ) , 1
( ), 2

= − +


′
=


A A

f x k x x y
k f x

+ Ta gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình trên b
ằ
ng cách th
ế
(2) lên (1). Gi
ả
i (1)
đượ
c x r
ồ
i thay l
ạ
i vào (2) tìm k, t
ừ

đ
ó ta
đượ
c ph
ươ
ng

trình d
ườ
ng d chính là ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm.
Ví dụ 1.
Cho hàm s
ố

3
6
= − −
y x x
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n biêt tiêp tuy
ế
n
a)
ti

ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d: 2x – y + 1 = 0
b)
ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d’: 4x – y + 2 = 0
c)
bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n

đ
i qua A(2; 0)
đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
// câu c khi gi
ả
ng th
ầ
y chép nh
ầ
m
đề
bài,
đ
ang lúc nhìn ví d
ụ
1 thì có con gì bay vào m
ắ
t nên nhìn nh
ầ
m sang ví d
ụ
2,
các em thông c

ả
m cho th
ầ
y nhé. He he//
Ví dụ 2.
Cho hàm s
ố

3
9
= − +
y x x

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n biêt tiêp tuy
ế
n
b)
ti
ế
p tuy
ế
n vuông góc v

ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d: 3x + 23y + 2 = 0
c)
bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
đ
i qua A(3; 0)
đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
Ví dụ 3.
Cho hàm s
ố

3
9

= − +
y x x

Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n biêt tiêp tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ
O(0; 0)
đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
Ví dụ 4.
CMR không có ti
ế
p tuy

ế
n nào c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố

1
=
+
x
y
x
đi qua giao điểm I của 2 đường tiệm cận.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau:
a) Biết tiếp tuyến đi qua
2
; 1
3
 
−
 
 
A
đến đồ thị hàm số y = x
3

– 3x + 1
b) Kẻ từ A(0; 4) đến đồ thị hàm số
(
)
2
2
2 .
= −y x
Bài 2.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ

đ
i
ể
m
(
)
1; 2
−

A

đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố

2
.
2 1
+
=
−
x
y
x

Bài 3.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n k

ẻ
t
ừ

đ
i
ể
m
(
)
0; 1
−
A

đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố

3 2
2.
= + − +
y x x x
Đ
/s:
4 1
= −

y x

Tài liệu bài giảng:

01. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ – P5
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
2

Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(1; 4) đến đồ thị hàm số
3 2
2 3 1.
= − + +
y x x x

Đ/s:
3 1
= +
y x

Bài 5.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy

ế
n k
ẻ
t
ừ

đ
i
ể
m A(3; 4)
đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố

3
2 5.
= − + +
y x x

Đ
/s:
7 0
+ − =
x y
Bài 6.
Vi

ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ

đ
i
ể
m
1
;4
2
 
 
 
A

đế
n
đồ
th
ị
hàm s

ố

4 2
2 3.
= + −
y x x

Đ
/s:
8 8
= −
y x

Bài 7.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n k
ẻ
t
ừ

đ
i
ể

m
(
)
1; 6
−
A
đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố

1
.
2
+
=
+
x
y
x

Đ/s:
3 3
= − −
y x
Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A(2; 2) đến đồ thị hàm số
2 3

.
2
−
=
−
x
y
x

Đ/s:
4
= − +
y x
Hướng dẫn giải:
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau:
a) Biết tiếp tuyến đi qua
 
−
 
 
2
; 1
3
A
đến đồ thị hàm số y = x
3
– 3x + 1
Gọi d là đường thẳng qua
2
; 1

3
 
−
 
 
A và có hệ số góc k
2
: 1.
3
 
→ = − −
 
 
d y k x

Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x
3
– 3x + 1 thì hệ sau có nghiệm:
( )
( )
3
2
2
3 1 1, 1
3
3 3, 2

 
− + = − −
 


 


= −

x x k x
k x

Thế (2) lên (1) ta được
( )
3 2 3 2
0
2
3 1 3 3 1 2 2 0
1
3
=

 
− + = − − − ⇔ − = ⇔
 

=
 

x
x x x x x x
x

 Với
2
0 3 : 3 1 3 1
3
 
= ⇒ = − → = − − − ⇔ = − +
 
 
x k d y x y x

 Với
1 0 : 1.
= ⇒ = → = −
x k d y

b) Tiếp tuyến kẻ từ A(0; 4) đến đồ thị hàm số
(
)
= −
2
2
2 .
y x
Gọi d là đường thẳng qua A(0; 4) và có hệ số góc k
: 4.
→ = +
d y kx

Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
(

)
2
2 4 2
2 4 4
= − = − +
y x x x thì h
ệ
sau có nghi
ệ
m:
(
)
( )
4 2
3
4 4 4, 1
4 8 , 2

− + = +


= −


x x kx
k x x

Ta có
( )
4 2

3
0
1 4
4
=

⇔ − = ⇔

= −

x
x x kx
k x x


V
ớ
i
(
)
0, 2 0 : 4
= ⇔ = → =
x k d y

V
ớ
i
3
3 3 3 3
2

3
0
4
4 4 4 8 3 4 0
4 2
4 8
3
3
=


= −


= − → → − = − ⇔ − = ⇔


= ⇔ = ±
= −




x
k x x
k x x x x x x x x
x x
k x x

+ N

ế
u x = 0 thì ta
đượ
c d : y = 4.
+ N
ế
u
2 8 8 16 16
: 4.
3 3 3 3 3 3 3 3
= ⇒ = − = − → = − +
x k d y x
+ N
ế
u
2 8 8 16 16
: 4.
3 3 3 3 3 3 3 3
= − ⇒ = − + = → = +
x k d y x
Bài 2. Vi
ế
t ph
ươ
ng trình ti
ế
p tuy
ế
n k
ẻ

t
ừ

đ
i
ể
m
(
)
−
1; 2
A

đế
n
đồ
th
ị
hàm s
ố

+
=
−
2
.
2 1
x
y
x

G
ọ
i d là
đườ
ng th
ẳ
ng qua A(1;
−
2) và có h
ệ
s
ố
góc k
: ( 1) 2.
→ = − −
d y k x

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
3

Để d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số
2
2 1
+
=
−
x

y
x
thì hệ sau có nghiệm:
( )
( )
( )
2
2
( 1) 2, 1
2 1
5
, 2
2 1
+

= − −

−


−

=

−

x
k x
x
k

x

Thay (2) lên (1) ta được
( )
( )( ) ( ) ( )
2
2
2 5
( 1) 2 2 2 1 5 1 2 2 1 0
2 1
2 1
+ −
= − − ⇔ + − + − + − =
−
−
x
x x x x x
x
x

2
1
10 5 0
2
⇔ − = ⇔ = ±x x

V
ớ
i
( )

( )
2
1 5 5 5
: 1 2
2 2 2 3 2 2 3
2 1
−
= ⇒ = = → = − −
− −
−
x k d y x


V
ớ
i
( )
( )
2
1 5 5 5
: 1 2
2 3 2 2 3 2 2
2 1
− − −
= − ⇒ = = → = − −
+ +
− −
x k d y x

Nh

ậ
n xét : Ngoài cách gi
ả
i trên, ta còn có th
ể
th
ự
c hi
ệ
n bi
ế
n
đổ
i h
ệ
(1), (2) m
ộ
t cách linh ho
ạ
t h
ơ
n nh
ư
sau :
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )

2
2
1 5
2 1
2 2
2 1 2
1 5 1 5
2 1 2 2
1 , 2 . 2 1 2
2 2 2 1 2
2 2 1
5
2 1

− +

= − − −

−
−
⇔ → + = − − −

−
−
−

=

−


x
k k
x
k
x
x
x
x
k
x

1 5 1 5 1 5 5 1 5
. . 2
2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 10
− −
⇔ + = − − − ⇔ = − − ⇔ =
− − − −
k k k
x x x x

Khi
đ
ó
( )
2 2
2
1 5
2 5. 5. 30 25 0 15 10 2
2 1 10
− −

   
⇔ = − ⇔ = − ⇔ + + = ⇔ = − ±
   
−
   
k
k k k k k
x

T
ừ đó ta được các tiếp tuyến cần tìm là
(
)
( )
15 10 2 1 2.
= − ± − −
y x