thể tích hình chóp - hình học không gian (2)

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán!
/>







DẠNG 1. KHỐI CHÓP CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY (tiếp theo)
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Gọi M là trung điểm của SC. Tính thể tích
khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM biết
2 2; 4 ; 5 .
SO a AC a AB a
= = =
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều cạnh a, đáy lớn là AD = 2a và SA vuông
góc với đáy. Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng
2.
a
Gọi I là trung điểm của AD. Tính thể
tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BI và SC theo a.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB = a, BC = a,

0
90
BAD = , cạnh
2
SA a
=

và SA vuông góc với đáy, tam giác SCD vuông tại C. Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Tính thể tích của tứ
diện SBCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

0
60
BAD = , SA vuông góc mặt phẳng
(ABCD), SA = a. Gọi C′ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC′ và song với BD, cắt các cạnh SB,
SD của hình chóp lần lượt tại B′, D′. Tính thể tích của khối chóp S.AB′C′D′.
Hướng dẫn giải:
Ta có ∆SAC vuông tại A ⇒
2 2
2
= + =
SC SA AC a

⇒
AC′ =
2
SC
= a
⇒
∆SAC′
đề
u Vì (P) ch
ứ
a AC′ và (P) // BD
⇒

B′D′ // BD. G
ọ
i O là tâm hình thoi ABCD và I là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a AC′ và B′D′
⇒
I là tr
ọ
ng tâm c
ủ
a ∆SBD. Do
đ
ó:
2 2
3 3
′ ′
= =
B D BD a
.
Mặt khác, BD ⊥ (SAC) ⇒ D′B′ ⊥ (SAC) ⇒ B′D′ ⊥ AC′
Do đó: S
AB'C'D'
=
2
1
.

2 3
′ ′ ′
=
a
AC B D .
Đườ
ng cao h c
ủ
a kh
ố
i chóp S.AB′C′D′ chính là
đườ
ng cao c
ủ
a tam giác
đề
u SAC′
⇒

3
2
=
a
h . V
ậ
y th
ể
tích c
ủ
a kh

ố
i
chóp S. AB′C′D′ là
3
' ' '
1 3
.
3 18
AB C D
a
V h S= = .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: (Khối A – 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạch a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB
và AD, H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc (ABCD) và
3.
SH a= Tính thể tích của khối
chóp SCDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
Đ/s:
3
5 3 2 3
; .
14
19
a a
V d= =
Bài 2:
Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a,
3
BC a

= , SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC. Tính
thể tích của khối chóp A.BCNM.
Tài liệu bài giảng:

07. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – P2

Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán!
/>
Đ/s:
3
3
5
a
V =

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm O. Các mặt bên (SAB) và (SAD) vuông
góc với đáy (ABCD). Cho AB = a,
2.
SA a=
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Tính thể
tích khối chóp O.AHK theo a.
Đ/s:
3
2
27
a

V
=

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA
⊥
(ABCD) và SA = a. Gọi M, N lần
lượt là trung điểm AD và SC. Tính thể tích tứ diện BDMN và khoảng cách từ D đến mp(BMN).
Đ/s:
3
6
; .
24 6
BMND
a a
V d
= =

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a. Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của SB, SD, I là giao điểm của SC và (AMN). Chứng minh rằng SC vuông góc với AI và tính
thể tích khối tứ diện MBAI.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang,


0
90
BAD ABC= = , AB = BC = a, AD = 2a, SA
vuông góc v
ớ
i
đ

áy ABCD, SA = 2a. G
ọ
i M, N l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m các c
ạ
nh SA, SD. Ch
ứ
ng minh BCNM là
hình ch
ữ
nh
ậ
t. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.BCNM theo a.
Đ/s:
3
3
BMND
a
V

=

Bài 7:
Cho hình chóp S.ABC có m
ặ
t
đ
áy (ABC) là tam giác
đề
u c
ạ
nh a. Chân
đườ
ng vuông góc h
ạ
t
ừ
S
xu
ố
ng m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC) là m
ộ
t
đ
i
ể

m thu
ộ
c BC. Tính kho
ả
ng cách gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng BC và SA bi
ế
t
SA=a và SA t
ạ
o v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
đ
áy m
ộ
t góc b
ằ
ng 30
0
.

Đ/s:
3
.
4
a
d
=

Gọi chân đường vuông góc hạ từ S xuống BC là H.
Xét ∆SHA(vuông tại H)
0
3
cos30
2
a
AH SA
= =

Mà ∆ABC đều cạnh a, mà cạnh
3
2
a
AH
=

=> H là trung điểm của cạnh BC
=> AH ⊥ BC, mà SH ⊥ BC => BC⊥(SAH)
Từ H hạ đường vuông góc xuống SA tại K
=> HK là khoảng cách giữa BC và SA
=>

0
3
AHsin30
2 4
AH a
HK
= = =

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SA bằng
3
4
a

H
A
C
B
S
K