thể tích hình chóp - hình học không gian (8)

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! Facebook:
/>





DẠNG 4. PP TỈ SỐ THỂ TÍCH (tiếp theo)
Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với SA vuông góc với đáy, G là trọng tâm
tam giác SAC, mặt phẳng (ABG) cắt SC tại M, cắt SD tại N. Tính thể tích của khối đa diện MNABCD biết SA
= AB = a và góc hợp bởi đường thẳng AN và mặt phẳng (ABCD) bằng 30
0
.
Đ/s:
3
. .
3 5 5 3
.
8 8 24
= − = − = =
MNABCD S ABCD S ABMN
a
V V V V V V
Ví dụ 2:
Cho kh
ố
i t
ứ
di

ệ
n ABCD. Trên các c
ạ
nh BC, BD, AC l
ầ
n l
ượ
t l
ấ
y các
đ
i
ể
m M, N, P sao cho BC =
4BM, BD = 2BN và AC = 3AP. M
ặ
t ph
ẳ
ng (MNP) chia kh
ố
i t
ứ
di
ệ
n ABCD làm hai ph
ầ
n. Tính t
ỉ
s
ố

th
ể
tích
gi
ữ
a hai ph
ầ
n
đ
ó.
Đ
/s: T
ỉ
s
ố
th
ể
tích c
ầ
n tìm là
7
13
ho
ặ
c
13
.
7

Ví dụ 3:

Cho hình chóp
S.ABCD
có
đ
áy
ABCD
là hình thoi v
ớ
i

0
120
=
BAD
,
BD
=
a
> 0. C
ạ
nh bên
SA

vuông góc v
ớ
i
đ
áy. Góc gi
ữ
a m

ặ
t ph
ẳ
ng (
SBC
) và
đ
áy b
ằ
ng 60
0
. M
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
)
đ
i qua
BD
và vuông góc
v
ớ
i c
ạ
nh
SC

. Tính t
ỉ
s
ố
th
ể
tích gi
ữ
a hai ph
ầ
n c
ủ
a hình chóp do m
ặ
t ph
ẳ
ng (
α
) t
ạ
o ra khi c
ắ
t hình chóp.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:

G
ọ
i
V
,
V
1
và
V
2
là th
ể
tích c
ủ
a hình chóp
S.ABCD
,
K.BCD
và ph
ầ
n còn l
ạ
i c
ủ
a hình chóp
S.ABCD
.
Ta có
1
.

2. 13
.
= = =
ABCD
BCD
S SA
V SA
V S HK HK
.

Suy ra

1 2 2 2
1 1 1 1
1 13 12
+
= = + = ⇔ =
V V V VV
V V V V

Ví dụ 4:
Cho hình chóp
đề
u
S.ABCD
có c
ạ
nh
đ
áy b

ằ
ng
a
, c
ạ
nh bên h
ợ
p v
ớ
i
đ
áy góc 60
0
. G
ọ
i
M
là
đ
i
ể
m
đố
i
x
ứ
ng v
ớ
i
C

qua
D
,
N
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
SC
. M
ặ
t ph
ẳ
ng (
BMN
) chia kh
ố
i chóp thành hai ph
ầ
n. Tính t
ỉ
s
ố
th
ể

tích c

ủ
a hai ph
ầ
n
đ
ó.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
G
ọ
i
P
=
MN

∩

SD
,
Q
=
BM

∩

AD

⇒

P
là tr
ọ
ng tâm
∆
SCM
,
Q
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
MB
.

•

MDPQ
MCNB
V
MD MP MQ
V MC MN MB
1 2 1 1

. . . .
2 3 2 6
= = =

⇒

DPQCNB MCNB
V V
5
6
=


•
Vì
D
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
MC
nên
d M CNB d D CNB
( ,( )) 2 ( ,( ))
=

⇒

MCNB DCNB DCSB S ABCD
V V V V
.
1
2
2
= = =


⇒

= ⇒ = ⇒ =
. .
5 7 7
12 12 5
SABNPQ
DPQCNB S ABCD SABNPQ S ABCD
DPQCNB
V
V V V V
V

⇒

⇒
.
Ví dụ 5:
Cho hình chóp

S.ABCD
có
đ
áy
ABCD
là hình thoi, c
ạ
nh
a
,

0
60
=
ABC
, chi
ề
u cao
SO
c
ủ
a hình chóp
b
ằ
ng
3
2
a
, trong
đ

ó
O
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai
đườ
ng chéo
AC
và
BD
. G
ọ
i
M
là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a
AD
, m
ặ
t ph
ẳ

ng
(
P
) ch
ứ
a
BM
và song song v
ớ
i
SA
, c
ắ
t
SC
t
ạ
i
K
. Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp
K.BCDM
.
Tài li
ệ
u bài gi
ả

ng:

07. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – P8

Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! Facebook:
/>

Hướng dẫn giải:
Gọi N = BM ∩ AC ⇒ N là trọng tâm của ∆ABD.
Kẻ NK // SA (K ∈ SC). Kẻ KI // SO (I ∈ AC) ⇒ KI ⊥ (ABCD). Vậy
. D D
1
.
3
K BC M BC M
V KI S=
Ta có: ∆SOC ~ ∆KIC
⇒

S
KI CK
SO C
= (1), ∆KNC ~ ∆SAC
⇒

S
CK CN

C CA
= (2)
T
ừ
(1) và (2)
⇒

1
2 2 3
3
2 2 3 3 3
CO CO
KI CN CO ON a
KI SO
SO CA CO CO
+
+
= = = =
⇒
= =
Ta có: ∆ADC
đề
u
⇒
CM ⊥ AD và
2
3 1 3 3
( ).
2 2 8
BCDM

a
CM S DM BC CM a
= ⇒ = + =
⇒
3
. D
1
.
3 8
K BCDM BC M
a
V KI S= =

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1:
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc v
ớ
i
đ
áy hình chóp. Cho
; 2
AB a SA a
= = Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh
( )
SC AHK
⊥
và tính thể
tích hình chóp OAHK.

Đ/s:
3
2
27
a

Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt
phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể
tích của khối chóp A.BCNM.
Đ/s:
3
3 3
50
a

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với
đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60
0
. Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho
3
a
AM = . Mặt phẳng
(BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM.
Đ/s:
3
10 3
27
a

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,

3
AD a
= , SA = 2a và SA ⊥

ABCD. Một mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, I, K. Hãy tính thể tích
khối chóp S.AHIK theo a.
Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a; SA ⊥ (ABCD), SA = 2a. Gọi B’, D’ là hình chiếu
của A trên SB, SD.Mặt phẳng AB’D’ cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S. AB’C’D’.
Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC. Tính tỉ số thể
tích của hai phần hình chóp được phân chia bởi mặt phẳng (MNP).
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! Facebook:
/>
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B;
3
SA a
= vuông góc với (ABC). Biết AB = BC =
a. Kẻ AH
⊥
SB và
.
AK SC
⊥

a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ

ng các m
ặ
t bên hình chóp S.ABC là các tam giác vuông
b)
Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.ABC
.
c)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng SC
⊥
(AHK)
d)
Tính V
S.AHK

Bài 8:
Cho hình chóp t
ứ
giác
đề
u S.ABCD
đ
áy là hình vuông c

ạ
nh a, c
ạ
nh bên t
ạ
o v
ớ
i
đ
áy m
ộ
t góc 60
o
; g
ọ
i
M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a SC. M
ặ
t ph
ẳ
ng (P)
đ
i qua AM và song song v
ớ

i BD, c
ắ
t SB t
ạ
i E và SD t
ạ
i F.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AM ⊥ EF.
b)
Tính th
ể
tích kh
ố
i chóp S.AEMF.
c)
Tính chi
ề
u cao c
ủ
a hình chóp S.AEMF.
Bài 9:
Cho hình chóp SABCD có th
ể
tích b
ằ

ng 27a
3
.L
ấ
y
'
A
trên
SA sao cho
3 '
=
SA SA
. M
ặ
t ph
ẳ
ng qua
'
A

và song song v
ớ
i
đ
áy hình chóp c
ắ
t SB, SC, SD l
ầ
n l
ượ

t t
ạ
i
', ', '.
B C D
Tính th
ể tích hình chóp
' ' '
SAB C D
.

Đ/s: V = a
3

Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, chiều cao SA = h. Gọi N là trung điểm SC. Mặt
phẳng chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB, (SDF) tại M và P. Tính thể tích khối chóp SAMNP
.
Đ/s:
2
9
=
a h
V
Bài 11: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao cho
=
SM
x
SA
. Tìm
x

để
mặt phẳng (
MBC
) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.
Đ/s:
5 1
2
−
=x