quy tắc nhân tử lagrange cho bài toán tối ưu vectơ khả vi

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC





LÊ THỊ THU HÀ





QUY TẮC NHÂN TỬ LAGRANGE
CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ KHẢ VI








Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

Thái nguyên – 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC





LÊ THỊ THU HÀ





QUY TẮC NHÂN TỬ LAGRANGE
CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VECTƠ KHẢ VI

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12
Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS Đỗ Văn Lưu






Thái nguyên – 2014
MỞ ĐẦU
Lý thuyết các điều kiện tối ưu là một bộ phận quan trọng của lý thuyết
tối ưu hóa và có nhiều ứng dụng trong kinh tế, kỹ thuật. Cho đến nay lý
thuyết các điều kiện tối ưu đã thu được nhiều kết quả phong phú và đẹp
đẽ.
Để dẫn các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu vectơ
trước hết ta có thể sử dụng định lý Ljusternik của giải tích hàm để chứng
minh các điều kiện cần dạng hệ bất đẳng thức không tương thích. Từ đó
sử dụng định lý tách của giải tích lồi ta sẽ dẫn được các điều kiện cần Fritz
John và Kuhn - Tucker. Điều kiện cần Kuhn - Tucker ấy sẽ trở thành điều
kiện đủ tối ưu khi giả thiết thêm một điều kiện về tính lồi suy rộng của
các hàm dữ liệu. Các điều kiện tối ưu là đề tài đã và đang được nhiều nhà
toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Chính vì vậy tôi đã
chọn đề tài "Quy tắc nhân tử Lagrange cho bài toán tối ưu vectơ khả vi"
Luận văn trình bày lý thuyết các điều kiện Fritz John và Kuhn - Tucker
và các điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu vectơ khả vi.
Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận, và danh mục các
tài liệu tham khảo.
Chương 1: Nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu
Trình bày các khái niệm cực tiểu, cực đại, cực tiểu yếu, cực đại yếu của

một tập hợp và nghiệm hữu hiệu (hay cực tiểu), nghiệm hữu hiệu yếu (hay
cực tiểu yếu) của bài toán cực tiểu vectơ cùng với một số kết quả bổ trợ
để dẫn điều kiện tối ưu.
Chương 2. Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu yếu.
Trình bày các điều kiện cần dạng hệ bất đẳng thức không tương thích,
1
điều kiện cần Fritz John và điều kiện cần Kuhn - Tucker cho nghiệm hữu
hiệu yếu của bài toán tối ưu vectơ .
Chương 3. Điều kiện đủ cho nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu yếu.
Trình bày các tính chất của hàm tựa lồi và các điều kiện đủ cho nghiệm
hữu hiệu yếu của bài toán tối ưu vectơ với giả thiết về tính lồi suy rộng
của các hàm mục tiêu và ràng buộc.
Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Đỗ Văn
Lưu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành bản luận văn
này.
Em xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo sau đại học, Ban Giám Hiệu
Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo
đã tham gia giảng dạy khóa học.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và các thành
viên trong lớp cao học toán K6D đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014
Tác giả
Lê Thị Thu Hà
2
Chương 1
NGHIỆM HỮU HIỆU CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU
ĐA MỤC TIÊU
Chương 1 trình bày các khái niệm cực tiểu, cực đại, cực tiểu yếu, cực
đại yếu của một tập trong không gian tuyến tính có thứ tự bộ phận và các

khái niệm nghiệm hữu hiệu (hay cực tiểu), nghiệm hữu hiệu yếu (hay cực
tiểu yếu) của bài toán cực tiểu vectơ cùng với một số kết quả bổ trợ để
dẫn điều kiện tối ưu. Các kết quả trình bày trong chương này được tham
khảo trong [2].
1.1. Nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu yếu của một tập và
bài toán tối ưu đa mục tiêu
Trong phần này ta sẽ dẫn quy tắc nhân tử Lagrange cho bài toán tối
ưu đa mục tiêu với các hàm khả vi Fréchet. Ta đưa vào các giả thiết sau:




































Giả sử (X,  · 
X
) và (Z
2
,  · 
Z
2
) là các không gian Banach thực;
(Y,  · 
Y
) và (Z
1
,  · 
Z
1
) là các không gian định chuẩn có thứ tự
bộ phận trong Y. Giả sử C

Y
và C
Z
1
là các nón thứ tự bộ phận
trong Y và trong Z
1
có phần trong khác rỗng;
ˆ
S là tập con lồi khác rỗng của X có phần trong khác rỗng;
Giả sử f : X −→ Y ; g : X −→ Z
(1.1)
Xét tập ràng buộc sau đây:
S := { x ∈
ˆ
S | g(x) ∈ −C
Z
1
và h(x) = 0
z
2
}
Giả sử tập S khác rỗng. Ta xét bài toán tối ưu trừu tượng sau:
min
x∈S
f(x) (1.2)
3
Ánh xạ f được gọi là ánh xạ mục tiêu. Trước hết ta định nghĩa nghiệm
của bài toán (1.2). Ta nhắc lại các khái niệm cực tiểu, cực đại, cực tiểu
yếu và cực đại yếu của một tập.

Định nghĩa 1.1.1
Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính có thứ tự bộ
phận X với nón thứ tự C.
(i) Phần tử ¯x ∈ S được gọi là cực tiểu (minimal element) của tập S nếu:

{¯x} − C

∩S ⊂ {¯x} + C (1.3)
(ii) Phần tử ¯x ∈ S được gọi là cực đại (maximal element) của tập S nếu:

{¯x} + C

∩S ⊂ {¯x} − C (1.4)
Nếu nón thứ tự C nhọn thì các bao hàm thức (1.3) và (1.4)có thể thay bằng
các đẳng thức sau:

{¯x} − C

∩S = {¯x} (hoặc x ≤
C
¯x, x ∈ S ⇒ x = ¯x),
và

{¯x} + C

∩S = {¯x} (hoặc ¯x ≤
C
x, x ∈ S ⇒ x = ¯x).
Nhắc lại: Phần trong đại số của của S = ∅ trong không gian tuyến tính
thực X là tập

cor(S) =

¯x ∈ S | ∀x ∈ X, ∃
¯
λ > 0 : ¯x + λx ∈ S, ∀λ ∈ [0,
¯
λ]

Định nghĩa 1.1.2
Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính có thứ tự bộ
phận X với nón thứ tự C có phần trong đại số khác rỗng:
(i) Phần tử ¯x ∈ S được gọi là cực tiểu yếu (weakly minimal element) của
tập S nếu:

{¯x} − cor(C)

∩S = ∅;
4
(ii) Phần tử ¯x ∈ S được gọi là cực đại yếu (weakly maximal element) của
tập S nếu:

{¯x} + cor(C)

∩S = ∅.
Chú ý rằng các khái niệm cực tiểu và cực tiểu yếu liên quan chặt chẽ
với nhau. Lấy một phần tử ¯x ∈ S là cực tiểu yếu của tập S tức là ta có:

{¯x} − cor(C)

∩S = ∅. Khi đó,

¯
X cũng là cực tiểu yếu của tập S đối với
thứ tự bộ phận sinh ra bởi
ˆ
C = cor(C) ∪ {0
X
}.
Bổ đề 1.1.1[2]
Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính có bộ phận
Xvới nón thứ tự C có phần trong đại số khác rỗng.
(i) Mọi cực tiểu yếu ¯x ∈ S của tập S + C cũng là cực tiểu yếu của tập S.
(ii) Mọi cực tiểu yếu ¯x ∈ S của tập S cũng là cực tiểu yếu của tập S + C.
Mệnh đề 1.1.2
Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính có thứ tự bộ
phậnX Với nón thứ tự C mà C = X và cor(C) = ∅. Khi đó, mọi phần tử
cực tiểu của tập S cũng là cực tiểu yếu của S.
Chứng minh
Giả thiết C = X kéo theo

−cor(C)

∩C = ∅. Do đó, với một phần tử
cực tiểu ¯x của S, ta có
∅ =

{¯x} − cor(C)

∩({¯x} + C)
=


{¯x} − cor(C)

∩({¯x} − C) ∩ S
=

{¯x} − cor(C)

∩S.
Điều đó có nghĩa là ¯x cũng là cực tiểu của S. ✷
Bây giờ ta định nghĩa khái niệm nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu
yếu của bài toán tối ưu (1.2)
Định nghĩa 1.1.3
5
Giả sử bài toán tối ưu (1.2) thỏa mãn các giả thiết (1.1).
(i) Một phần tử ¯x ∈ S được gọi là cực tiểu (nghiệm hữu hiệu) của bài
toán (1.2) nếu f(¯x) là cực tiểu của tập ảnh f(S).
(ii) Một phần tử ¯x ∈ S được gọi là cực tiểu (nghiệm hữu hiệu yếu) của
bài toán (1.2) nếu f(¯x) là cực tiểu yếu của tập ảnh f(S).
1.2. Một số kết quả bổ trợ để dẫn điều kiện tối ưu
Để nhận được điều kiện cần cho cực tiểu yếu (nghiệm hữu hiệu yếu) của
bài toán tối ưu (1.2) ta cần một kết quả về nón tiếp liên.
Cho S là tập con của không gian định chuẩn X, nón tiếp liên của tập
S tại điểm ¯x ∈ S được định nghĩa như sau:
T (S; ¯x) = {v ∈ X : ∃v
n
−→ v, ∃t
n
−→ 0
+
sao cho

¯x + t
n
v
n
∈ S, ∀n}.
Để dẫn điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (1.2) ta
trình bày mệnh đề sau đề về nón tiếp liên.
Mệnh đề 1.2.1
Giả sử (X,  · 
X
)là không gian định chuẩn thực và(Y,  · 
Y
) là không
gian định chuẩn có thứ tự bộ phận với nón thứ tự C
Y
có phần trong khác
rỗng. Hơn nữa, giả sử S là tập con khác rỗng của X và ánh xạ r : X → Y.
Nếu ánh xạ r là khả vi Fréchet tại ¯x ∈ S nào đó, với r(¯x) ∈ −C
Y
thì

h ∈ T (S, ¯x) | r(¯x) + r

(¯x)(h) ∈ −int(C
Y
)

⊂ T

{x ∈ S | r(x) ∈ −int(C

Y
)}, ¯x

,
trong đó T (., .) ký hiệu nón tiếp liên.
Chứng minh:
Chọn phần tử h ∈ T (S : ¯x), với tính chất r(¯x) + r

(¯x)(h) ∈ −int(C
Y
).
Với h = 0
X
, khẳng định là tầm thường. Do đó, ta giả sử h = 0
X
. Khi đó,
6
tồn tại dãy (x
n
)
n∈N
các phần tử x
n
∈ S và dãy (λ
n
)
n
∈ N gồm các số thực
dương λ
n

sao cho
¯x = lim
x→0
x
n
và
h = lim
n→∞
λ
n
(x
n
− ¯x).
Nếu ta đặt
h
n
:= λ
n
(x
n
− ¯x), ∀n ∈ N,
thì ta nhận được
r(x
n
) =
1
λ
n
[λ
n

(r(x
n
) − r(¯x) − r

(¯x)(x
n
− ¯x)) + r

(¯x)(h
n
− h)
+ r(¯x) + r

(¯x)(h)] + (1 −
1
λ
n
)r(¯x), ∀n ∈ N,
(1.5)
và
lim
n→∞
λ
n
(r(x
n
) − r(¯x) − r

(¯x)(x
n

− ¯x)) + r

(¯x)(h
n
− h) = 0
Y
. (1.6)
Theo giả thiết ta có
r(¯x) + r

(¯x)(h) ∈ −int(C
y
),
và do đó từ (1.6) ta suy ra
y
n
: = λ
n
(r(x
n
) − r(¯x) − r

(¯x)(x
n
− ¯x))
+ r

(¯x)(h
n
− h) + r(¯x) + r


(¯x)(h)
∈ −int(C
Y
) với n ∈ N đủ lớn,
và
1
λ
n
y
n
∈ −int(C
Y
) với n ∈ N đủ lớn.
Bởi vì

1 −
1
λ
n

r(¯x) ∈ −C
Y
với n ∈ N đủ lớn,
7
Từ (1.5) ta suy ra
r(x
n
) =
1

λ
n
y
n
+ (1 −
1
λ
n
)r(¯x)
∈ −int(C
Y
) − C
Y
= −int(C
Y
) với n ∈ N đủ lớn,
bởi vì với int(C
Y
) = 0 thì int(C
Y
) = cor(C
Y
).
Nhưng điều này lại dẫn tới:
h ∈ T

{x ∈ S | r(x) ∈ −int(C
Y
)}, ¯x


. ✷
Mệnh đề 1.2.2[2]
Giả sử C
X
là nón lồi trong không gian tuyến tính thực X.
(a) Nếu X là không gian lồi địa phương và C
X
đóng thì
C
X
= {x ∈ X | x
∗
(x) ≥ 0 ∀x
∗
∈ C
X
∗
}.
(b) Nếu cor(C
Y
) = ∅ thì
cor(C
X
) =

x ∈ X | x

(x) > 0 ∀x

∈ C

X

\ {0
X

}

(c) Nếu X là không gian tôpô tuyến tính thực và int(C
X
) = ∅ thì
int(C
X
) =

x ∈ X | x
∗
(x) > 0 ∀x
∗
∈ C
X
∗
\ {0
X
∗
}

,
trong đó X
∗
là không gian ngẫu tôpô của X, X


là không gian ngẫu đại số
của X.
8
Chương 2
ĐIỀU KIỆN CẦN
CHO NGHIỆM HỮU HIỆU YẾU
Chương 2 trình bày các điều kiện cần tối ưu dạng hệ bất đẳng thức
không tương thích, điều kiện cần Fritz John cho nghiệm hữu hiệu yếu và
điều kiện Kuhn - Tucker cho nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán tối ưu
vectơ. Các kết quả trong chương này được tham khảo từ các tài liệu [1],
[2], [3], [5].
2.1. Điều kiện cần dạng hệ bất đẳng thức không tương thích .
Từ bổ đề trên và định lý Lyusternik ta trình bày điều kiện cần cho
nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (1.2).
Định lý 2.1.1
Giả sử bài toán tối ưu (1.2) thỏa mãn giả thiết (1.1) và ¯x ∈ S là nghiệm
hứu hiệu yếu của bài toán (1.2). Hơn nữa, giả sử f và g khả vi Fréchet tại
¯x và h khả vi liên tục Fréchet tại ¯x, trong đó h

(¯x) là ánh xạ lên. Khi đó,
không tồn tại x ∈ int(
ˆ
S) thỏa mãn:
f

(¯x)(x − ¯x) ∈ −int(C
Y
),
g(¯x) + g


(¯x)(x − ¯x) ∈ −int(C
z
1
)
và
h

(¯x)(x − ¯x) = 0
z
2
Chứng minh
Giả sử rằng x ∈ int(
ˆ
S) thỏa mãn:
f

(¯x)(x − ¯x) ∈ −int(C
Y
),
g(¯x) + g

(¯x)(x − ¯x) ∈ −int(C
z
1
)
và
9
h


(¯x)(x − ¯x) = 0
z
2
.
Khi đó, theo định lý Lyusternik ta nhận được
x − ¯x ∈ T

{s ∈ X | h(s) = 0
z
2
}, ¯x

.
Bởi vì
ˆ
S lồi và x ∈ int(
ˆ
S), ta nhận được x − ¯x ∈ T (
˜
S, ¯x), trong đó
˜
S = {s ∈
ˆ
S | h(s) = 0
z
2
}
Tiếp theo ta định nghĩa ánh xạ r : X → Y × Z
1
như sau

r(x) =

f(x)−f (¯x)
g(x)

,với mọi x ∈ X.
Rõ ràng ta có
r(¯x) =

0
Y
g(¯x)

∈ (−C
Y
) × (−C
Z
1
).
Do đó, theo mệnh đề (1.2.1) ta có:
{h ∈ T (
˜
S, ¯x) | f

(¯x)(h) ∈ −int(C
Y
), g(¯x) + g

(¯x)(h) ∈ −int(C
Z

1
)}
⊂ T ({s ∈
˜
S | f(s) − f(¯x) ∈ −int(C
Y
), g(s) ∈ −int(C
Z
1
)}, ¯x).
Bởi vì:
x − ¯x ∈ T (
˜
S, ¯x), f

(¯x)(x − ¯x) ∈ −int(C
Y
)
và
g(¯x) + g

(¯x)(x − ¯x) ∈ −int(C
Z
1
),
ta suy ra
x − ¯x ∈ T ({s ∈
ˆ
S | f(s) − f(¯x) ∈ −int(C
Y

),
g(s) ∈ −int(C
Z
1
), h(s) = 0
Z
1
}, ¯x).
Nhưng điều này kéo theo ¯x không là nghiệm hữu hạn yếu của bài toán
(1.2).
10
Định lý được chứng minh. ✷
2.2. Các điều kiện cần Fritz John và Kuhn - Tucker
Bây giờ ta trình bày quy tắc nhân tử Lagrange. Điều kiện cần tối ưu này
được chứng minh dựa trên định lý 2.1.1 và định lý tách.
Định lý 2.2.1
Giả sử bài toán tối ưu (1.2) thỏa mãn giả thiết (1.1) và ¯x ∈ S là nghiệm
hữu hiệu yếu của bài toán (1.2). Hơn nữa, f và g khả vi Fréchet tại ¯x , h
khả vi liên tục Fréchet tại ¯x và tập ảnh h

(¯x)(X) đóng. Khi đó, tồn tại các
hàm tuyến tính liên tục t ∈ C
Y
∗
, u ∈ C
Z
∗
1
và v ∈ Z
∗

2
với (t, u, v) = 0
Y
∗
×Z
∗
1
×Z
∗
2
sao cho:
(t ◦ f

(¯x) + u ◦ g

(¯x) + v ◦ h

(¯x)) ≥ 0, ∀x ∈
ˆ
S, (2.1)
và
(u ◦ g)(¯x) = 0. (2.2)
Nếu tồn tại
ˆx ∈ int(
ˆ
S),
với
g(¯x) + g

(¯x)(ˆx − ¯x) ∈ −int(C

Z
1
),
và
h

(¯x)(ˆx − ¯x) = 0
Z
2
và ánh xạ h

(¯x) lên
thì t = 0
Y
∗
.
Chứng minh:
Trước hết ta giả sử rằng h

(¯x) không là ánh xạ lên. Khi đó, áp dụng của định
lý tách 3.18 [2], tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục v ∈ Z
∗
2
\

0
Z
∗
2


với v ◦ h

(¯x) = 0
X
. Nếu ta đặt t = 0
∗
Y
và u = 0
Z
∗
1
, thì ta nhận được ngay
các điều kiện (2.1) và (2.2). Trong trường hợp này, phần đầu khẳng định
11
được chỉ ra.
Sau đây ta giả sử rằng ánh xạ h

(¯x) là lên. Trong trường hợp này ta xác
định tập hợp sau:
M : = {(f

(¯x)(x − ¯x) + y, g(¯x) + g

(¯x)(x − ¯x) + z
1
, h

(¯x)(x − ¯x))
∈ Y × Z
1

× Z
2
| x ∈ int(
ˆ
S), y ∈ int(C
Y
), z
1
∈ int(C
Z
1
)}.
Tập này có thể viết dưới dạng:
M = (f

(¯x), g

(¯x), h

(¯x))(int(
ˆ
S) − {¯x})
+ int(C
Y
) × ({g(¯x)} + int(C
Z
1
)) × {0
Z
2

}.
Ánh xạ h

(¯x)tuyến tính liên tục và lên. Do đó, theo định lý ánh xạ mở
h

(¯x) biến mọi tập con mở của X thành tập con mở của Z
2
và tập M bằng
phần trong của nó.
Tập M là tập lồi bởi vì (f

(¯x), g

(¯x), h

(¯x)) là tuyến tính và int(
ˆ
S) − {¯x}
là một tập lồi. Bởi vì ¯x ∈ S là một nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán(1.2),
theo điều kiện cần đã cho trong định lý 2.1.1 thì phần tử 0
Y ×Z
1
×Z
2
không
thuộc vào M, tức là ta có:
M ∩ {0
Y ×Z
1

×Z
2
} = ∅.
Tập M là lồi và mở. Do đó, theo định lý tách Eidelheit (định lý 3.16 [2])
thì phương trình tập trên kéo theo tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên
tục t ∈ Y
∗
, u ∈ Z
∗
1
và v ∈ Z
∗
2
, với (t, u, v) = 0
Y
∗
×Z
∗
1
×Z
∗
2
} và
t(f

(¯x)(x − ¯x) + y) + u(g(¯x) + g

(¯x)(x − ¯x) + z
1
) + v(h


((¯x)(x − ¯x)) > 0
∀x ∈ int(
ˆ
S), y ∈ int(C
Y
), z ∈ int(C
Z
1
) (2.3)
Do tính liên tục của ánh xạ từ bắt đẳng thức (2.3) ta nhận được
t(f

(¯x)(x − ¯x) + y) + u(g(¯x) + g

(¯x)(x − ¯x) + z1) + v(h

((¯x)(x − ¯x)) ≥ 0
∀x ∈
ˆ
S, y ∈ C
Y
, z
1
∈ C
Z
1
. (2.4)
12
Từ bất đẳng thức (2.4) trên ta suy ra với x = ¯x,

t(y) + u(g(¯x) + z
1
) ≥ 0, ∀y ∈ C
Y
và z
1
∈ C
Z
1
(2.5)
Với z
1
= −g(¯x) ∈ C
Z
1
từ bất đẳng thức (2.5) ta suy ra
t(y) ≥ 0, ∀y ∈ C
Y
.
Điều này kéo theo t ∈ C
Y
∗
. Với y = 0
Y
, từ bất đẳng thức (2.5) ta nhận
được:
u(g(¯x)) ≥ −u(z
1
) với mọi z
1

∈ C
z
1
. (2.6)
Từ bất đẳng thức (2.6) ta suy ra ngay u(z
1
) ≥ 0 với mọi z
1
∈ C
z
1
.
Cho nên u ∈ C
∗
Z
1
. Nhưng bất đẳng thức (2.6) kéo theo u(g(¯x)) ≥ 0. Theo
giả thiết, ta có g(¯x) ∈ −C
Z
1
, cho nên ta nhận được u(g(¯x)) ≤ 0. Do đó,
bất đẳng thức (2.2) đúng. Để chứng minh bất đẳng thức (2.1) ta chú ý
rằng với y = 0
Y
và z
1
= −g(¯x), bất đẳng thức (2.4) dẫn đến:
t(f

(¯x)(x − ¯x)) + u(g


(¯x)(x − ¯x) + v(h

(¯x)(x − ¯x)) ≥ 0, ∀x ∈
ˆ
S,
hoặc là
(t ◦ f

(¯x) + u ◦ g

(¯x) + v ◦ h

(¯x))(x − ¯x) ≥ 0, ∀x ∈
ˆ
S.
Cuối cùng, ta xét trường hợp thêm vào giả thiết tồn tại ˆx ∈ int(
ˆ
S) với
g(¯x) + g

(¯x)(ˆx − ¯x) ∈ −int(C
Z
1
) và h

(¯x)(ˆx − ¯x) = 0
Z
2
và ánh xạ h


(¯x) là
ánh xạ lên. Trong trường hợp này bất đẳng thức (2.3) kéo theo:
t(f

(¯x)(ˆx − ¯x) + y) > 0, ∀y ∈ int(C
Y
).
Từ đó suy ra t = 0
Y
∗
. ✷
Điều kiện cần tối ưu trong định lý 2.2.1 tổng quát hóa quy tắc nhân tử
Lagrange đã biết. Giả thiết thêm trong phần hai của định lý trên đảm bảo
13
t = 0
Y
∗
được gọi là giả thiết chính quy. Nếu t = 0
Y
∗
thì điều kiện cần tối
ưu cũng được gọi là điều kiện Karush Kuhn - Tucker.
Nếu tập
ˆ
S bằng toàn bộ không gian X thì bất đẳng thức (2.1) trở thành
đẳng thức
t ◦ f

(¯x) + u ◦ g


(¯x) + v ◦ h

(¯x) = 0
X
∗
.
Quy tắc nhân tử trong định lý 2.2.1 được phát biểu qua hàm Lagrange giá
trị thực t ◦ f + u ◦ g + v ◦ h.
Định lý 2.2.2
Giả sử bài toán tối ưu (1.2) thỏa mãn giả thiết (1.1). Với x ∈ S) , giả sử
f, g và h khả vi Fréschet tại ¯x. Khi đó, hai phát biểu sau là tương đương:






















Tồn tại các phiếm hàm tuyến tính liên tục
t ∈ C
∗
Y
\{0
Y
∗
}, u ∈ C
∗
Z
và v ∈ Z
∗
2
có tính chất
(t ◦ f

(¯x) + u ◦ g

(¯x) + v ◦ h

(¯x))(x − ¯x) ≥ 0
với mọi x ∈
ˆ
Svà(u ◦ g)(¯x) = 0.
(2.7)





































Tồn tại các ánh xạ tuyến tính liên tục
L
1
: Z
1
→ Y với L
1
(C
Z
1
) ⊂ (int(C
Y
) ∪ {0
Y
})
và ánh xạ tuyến tính liên tục L
2
: Z
2
→ Y
có tính chất
(f

(¯x) + L
1
◦ g


(¯x) + L
2
◦ h

(¯x))(x − ¯x) /∈ −int(C
Y
)
với mọi x ∈
ˆ
Svà(L
1
◦ g)(¯x) = 0
Y
.
(2.8)
Chứng minh
Trước hết ta giả sử rằng (2.7) đúng. Theo mệnh đề 1.2.2, tồn tại ˜y ∈
int(C
Y
) với t(˜y) = 1.
14
Khi đó, ta xác định ánh xạ L
1
: Z
1
→ Y và L
2
: Z
2
→ Y theo công thức:

L
1
(z
1
) = u(z
1
)˜y, với mọi z
1
∈ Z
1
, (2.9)
và
L
2
(z
2
) = v(z
2
)˜y, với mọi z
2
∈ Z
2
.
Rõ ràng L
1
và L
2
là ánh xạ tuyến tính liên tục và ta có:
L
1

(C
Z
1
) ⊂ (int(C
Y
) ∪ {0
Y
})
Hơn nữa, ta nhận được
t ◦ L
1
= u và t ◦ L
2
= v.
Do đó, bất đẳng thức trong phát biểu (2.7) ta có thể viết như sau:
(t ◦ (f

(¯x) + L
1
◦ g

(¯x) + L
2
◦ h

(¯x)))(x − ¯x) ≥ 0, với mọi x ∈
ˆ
S.
Khi đó, theo kết quả vô hướng hóa của hệ quả 5.29[1] ta có
(f


(¯x) + L
1
◦ g

(¯x) + L
2
◦ h

(¯x))(x − ¯x) /∈ −int(C
Y
), với mọi x ∈
ˆ
S.
Cuối cùng, từ đẳng thức (2.9) ta nhận được.
(L
1
◦ g)(¯x) = (u ◦ g)(¯x)˜y = 0
Y
.
Vì vậy, phát biểu (2.8) đúng.
Với phần hai của chứng minh này, ta giả sử phát biểu (2.8) đúng. Khi đó,
ta có
(f

(¯x) + L
1
◦ g

(¯x) + L

2
◦ h

(¯x))(x − ¯x) /∈ −int(C
Y
) với mọi x ∈
ˆ
S.
Theo hệ quả 5.29[2] và bổ đề 3.15[2] tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục
t ∈ C
Y
∗
\ 0
Y
∗
có tính chất
15
(t ◦ f

(¯x) + t ◦ L
1
◦ g

(¯x) + t ◦ L
2
◦ h

(¯x))(x − ¯x) ≥ 0, với mọi x ∈
ˆ
S.

Nếu ta đặt u := t ◦ L
1
và v := t ◦ L
2
, ta nhận được
(t ◦ f

(¯x) + u ◦ g

(¯x) + v ◦ h

(¯x))(x − ¯x) ≥ 0, với mọi x ∈
ˆ
S,
và
(u ◦ g)(¯x) = (t ◦ L
1
◦ g)(¯x) = 0.
Hơn nữa, với mọi z
1
∈ C
Z
1
ta suy ra:
u(z
1
) = (t ◦ L
1
)(z
1

) ≥ 0
kéo theo u ∈ C
Z
∗
1
.
Định lý được chứng minh. ✷
Rõ ràng từ chứng minh trên các tập ảnh của L
1
và L
2
là các không gian
con một chiều của Y.
Với bài toán tối ưu không có ràng buộc g, h quy tắc nhân tử cũng có thể
sử dụng với g và h là ánh xạ không. Nhưng trong trường hợp này sẽ dẫn
đến một kết quả tổng quát hơn.
Định nghĩa 2.2.1
Giả sử X và Y là các không gian tuyến tính thực, S là tập con khác rỗng
của X, T là tập con khác rỗng của Y. Giả sử f : S −→ Y và ¯x ∈ S. Ánh
xạ f

(¯x) : S − {¯x} −→ Y được gọi là biến phân theo phương (directional
variation) của f tại ˜x theo T nếu như hễ có một phần tử x ∈ S, x = ¯x và
f

(¯x)(x − ¯x) ∈ T thì ∃
¯
λ > 0 với
¯x + λ(x − ¯x) ∈ S


∀λ ∈ (0,
¯
λ]

và
1
λ
n

f(˜x + λ(x − ¯x)) − f(˜x)

∈ T

∀λ ∈ (0,
¯
λ]

.
16
Định lý 2.2.3
Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính thực X và Y
là không gian tuyến tính có thứ tự bộ phận với nón thứ tự C
Y
= Y có phần
trong đại số khác rỗng. Giả sử f : S → Y. Nếu ¯x ∈ S là cực tiểu yếu của
bài toán tối ưu
min
x∈S
f(x) (2.10)
và nếu F có biến phân theo phương tại x theo −cor(C

Y
) thì
f

(¯x)(x − ¯x) /∈ −cor(C
Y
), với mọi x ∈ S. (2.11)
Chứng minh
Nếu điều kiện (2.11) không đúng, tức là với x ∈ S nào đó,
f

(¯x)(x − ¯x) /∈ −cor(C
Y
)
Khi đó, theo định nghĩa (2.2.1) tồn tại
¯
λ > 0 với
ˆx := ¯x +
¯
λ(x − ¯x) ∈ S,
và
1
λ
(f(ˆx) − f(¯x)) ∈ −cor(C
Y
).
Do đó, ta có
f(ˆx) ∈ ({f(¯x)} − cor(C
Y
)) ∩ f(S).

Điều này kéo theo ¯x không là cực tiểu yếu của bài toán tối ưu (2.10) ✷
Bằng lý luận như trong định lý 2.2.2, điều kiện tối ưu (2.11) dạng véc tơ
tương dương với một bất đẳng thức nếu biến phân theo phương của f tại
¯x là convexlike.
Bổ đề 2.2.1
Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính thực X và
17
Y là không gian tuyến tính có thứ tự bộ phận với nón thứ tự C
Y
= Y
có phần trong đại số khác rỗng. Giả sử f : S → Y là ánh xạ mà nó có
biến phân theo phương tại điểm ¯x ∈ S nào đó theo -cor(C
Y
). Nếu tồn tại
t ∈ C
Y

\ {0
Y

} sao cho
(t ◦ f

(¯x))(x − ¯x) ≥ 0, ∀x ∈ S, (2.12)
thì điều kiện (2.11) đúng. Nếu ánh xạ f

(¯x) là convexlike thì điều kiện
(2.11) kéo theo sự tồn tại của phiếm hàm tuyến tính t ∈ C
Y


\ {0
Y

} thỏa
mãn (2.12)
Chứng minh
Nếu ta giả sử rằng tồn tại t ∈ C
Y

\ {0
Y
} thỏa mãn (2.12) thì theo định
lý 5.28[2] ta có ngay điều kiện (2.11). Tiếp theo, ta giả sử (2.11) đúng theo
bổ đề 4.13[2] ta nhận được:

(f

(¯x)(S − {¯x})) + C
Y

∩(−cor(C
Y
)) = ∅.
Bởi vì giả sử f

(¯x) là convexlike theo định lý 5.13[2] tồn tại phiếm hàm
tuyến tính t ∈ C

Y
\ {0


Y
} sao cho (2.12) thỏa mãn. ✷
Bây giờ ta quay lại quy tắc nhân tử trong định lý 2.2.1 và chúng ta đặc
biệt hóa kết quả này cho bài toán tối ưu đa mục tiêu (1.2).
Định lý 2.2.4
Giả sử f : R
n
→ R
m
, g : R
n
→ R
k
và h : R
n
→ R
p
là các hàm véc tơ và
tập ràng buộc S được cho bởi
S := {x ∈ R
n
|g
i
(x) ≤ 0, với mọi i ∈ {1, , k}và
h
i
(x) = 0, với mọi i ∈ {1, , p}}.
Giả sử ¯x ∈ S là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu
min

x∈S
f(x),
18
trong đó không gian R
m
có thứ tự bộ phận. Giả sử f và g khả vi tại ¯x và
h khả vi liên tục tại ¯x. Hơn nữa, tồn tại x ∈ R
n
sao cho
g
i
(¯x)
T
(x − ¯x) < 0, với mọi i ∈ I(¯x)
và
h
i
(¯x)
T
(x − ¯x) = 0, với mọi i ∈ {1, , p},
trong đó
I(¯x) := {i ∈ {1, , k} | g
i
(¯x) = 0}
ký hiệu tập các chỉ số của các ràng buộc tích cực tại ¯x. Giả sử h
1
(¯x), , h
p
(¯x)độc
lập tuyến tính. Khi đó, tồn tại các nhân tử t

i
≥ 0, (có ít nhất một
t
i
= 0, i ∈ {1, , m} ), u
i
≥ 0(i ∈ I(¯x)) và v
i
∈ R(i ∈ {1, , p}) sao
cho
m

i=1
t
i
 f
i
(¯x) +

i∈I(¯x)
u
i
 g
i
(¯x) +
p

i=1
v
i

 h
i
(¯x) = 0
R
n
.
Chứng minh
Ta kiểm chứng các giả thiết trong định lý 2.2.1. Bởi vì h
1
(¯x), , h
p
(¯x)
độc lập tuyến tính cho nên ánh xạ tuyến tính h

(¯x) là ánh xạ lên. Nón thứ
tự trong Z
1
là C
Z
1
= R
k
+
. Do đó, ta có
int(C
Z
1
) = {x ∈ R
k
| x

i
> 0, ∀i ∈ {1, , k}},
Với λ > 0 đủ nhỏ, và ˆx := λx + (1 − λ)¯x ta có
(g(¯x) + g

(¯x)(x − ¯x) = g(¯x) + g

(¯x)(λ(x − ¯x))
=





g
1
(¯x) + λ  g
1
(¯x)
T
(x − ¯x)
.
.
.
g
k
(¯x) + λ  g
k
(¯x)
T

(x − ¯x)





∈ −int(C
Z
1
),
19
và
h

(¯x)(ˆx − ¯x) = h

(¯x)(λ(x − ¯x))
= λ





h
1
(¯x)
T
(x − ¯x)
.
.

.
h
p
(¯x)
T
(x − ¯x)





= 0
R
p
.
Vì vậy, giả thiết chính quy trong định lý 2.2.1 đúng. Do đó, tồn tại các nhân
tử t
i
> 0 ( trong đó ít nhất một t
i
= 0, i ∈ {1, , m}), u
i
= 0(i ∈ I(¯x)) và
v
i
∈ R(i ∈ 1, , p) sao cho
m

i=1
t

i
 f
i
(¯x) +
k

i=1
u
i
 g
i
(¯x) +
p

i=1
v
i
 h
i
(¯x) = 0
R
n
(2.13)
và
m

i=1
u
i
g

i
(¯x) = 0. (2.14)
Do
g
i
(¯x) ≤ 0, với mọi i ∈ {1, , k},
u
i
≥ 0, với mọi i ∈ {1, , k}
và đẳng thức (2.14) ta suy ra
u
i
g
i
(¯x) = 0, ∀i ∈ {1, , k}
Với mọi i ∈ {1, , k} \ I(¯x), ta có g
i
(¯x) < 0. Do đó, ta có u
i
= 0. Vì vậy,
đẳng thức (2.13) có thể viết như sau:
m

i=1
t
i
 f
i
(¯x) +


i∈I(¯x)
u
i
 g
i
(¯x) +
p

i=1
v
i
 h
i
(¯x) = 0
R
n
.
Định lý được chứng minh. ✷
20
Chương 3
ĐIỀU KIỆN ĐỦ CHO NGHIỆM HỮU HIỆU
VÀ NGHIỆM HỮU HIỆU YẾU
Chương 3 trình bày các tính chất của hàm tựa lồi và các điều kiện đủ cho
nghiệm hữu hiệu và hữu hiệu yếu của bài toán tối ưu vectơ khi các hàm dữ
liệu thỏa mãn giả thiết về tính lồi suy rộng. Các kết quả trình bày trong
chương này được tham khảo từ các tài liệu [2], [4].
3.1. Ánh xạ tựa lồi
Định nghĩa 3.1.1
Giả sử S là tập con lồi khác rỗng của không gian tuyến tính thực X, và
Y là không gian tuyến tính có thứ tự bộ phận với nón thứ tự C

Y
. Ánh xạ
f : S → Y được gọi là tựa lồi (quasiconvex) nếu
x
1
, x
2
∈ S với f(x
1
) − f(s
2
) ∈ C
Y
(3.1)
thì
f(x
1
) − f(λ
1
+ (1 − λ)x
2
) ∈ C
Y
, với mọi λ ∈ [0, 1]. (3.2)
Mọi ánh xạ lồi f : S → Y cũng tựa lồi, bởi vì điều kiện (3.1) kéo theo
(1 − λ)(f(x
1
) − f(x
2
)) ∈ C

Y
. (3.3)
Do đó, từ định nghĩa ánh xạ lồi ta nhận được
f(x
1
) − f(λx
1
+ (1 − λ)x
2
) ∈ {(1 − λ)(f(x
1
) − f(x
2
))} + C
Y
⊂ C
Y
.
Một đặc trưng của ánh xạ tựa lồi như sau.
Bổ đề 3.1.1:
Giả sử S là tập con lồi khác rỗng của không gian tuyến tính thực X và
21
Y là không gian tuyến tính có thứ tự bộ phận với nón thứ tự C
Y
. Ánh xạ
f : S → Y là tựa lồi nếu và chỉ nếu với mọi x ∈ S, tập hợp
L
¯x
:=


x ∈ S \ {¯x} | f(¯x) − f(x) ∈ C
Y
} (3.4)
chứa
{λx + (1 − λ)¯x | λ ∈ [0, 1]}, khi x ∈ L
¯x
.
Tiếp theo ta mở rộng lớp ánh xạ tựa lồi theo định nghĩa sau.
Định nghĩa 3.1.2
Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính thực X, C là
tập con khác rỗng của không gian tuyến tính thực Y và ¯x ∈ S. Ánh xạ
f : S → Y được gọi là C-tựa lồi (C-quasiconvex) tại ¯x nếu như hễ tồn tại
x ∈ S \ {¯x} với f(¯x) − f(x) ∈ C thì tồn tại ˜x ∈ S \ {¯x} sao cho













λ˜x + (1 − λ)¯x ∈ S, với mọi λ ∈ (0, 1],
và
f(¯x) − f(λ˜x + (1 − λ)¯x) ∈ C, với mọi λ ∈ (0, 1].
(3.5)

Ví dụ 3.1.1
(a) Mỗi ánh xạ tựa lồi f : S → Y là C
Y
-tựa lồi tại mọi ¯x ∈ S.
(b) Ánh xạ f : R → R
2
được cho bởi f(x) = (x, sinx), với mọi x ∈ R,
trong đó R
2
được trang bị thứ tự theo nghĩa từng thành phần. Ánh xạ f
là R
2
+
-tựa lồi tại 0 nhưng nó không tựa lồi tại 0.
Bổ đề sau đây chỉ ra rằng tính C-tựa lồi của f tại ¯x là có thể đặc trưng
bởi tính chất của tập mức L
¯x
trong (3.4)
Định lý 3.1.4
Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính thực X và C
là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính thực Y. Giả sử ¯x ∈ S là
22
một phần tử đã cho. Ánh xạ f : S → Y là C-tựa lồi tại ¯x và nếu và chỉ
nếu tập
L
¯x
:= {x ∈ S \ {¯x} | f(¯x) − f(x) ∈ C}
là rỗng hoặc nó chứa một đoạn thẳng mở xuất phát từ ¯x trừ điểm ¯x
Chứng minh:
Ta viết lại điều kiện (3.5) như sau


λ˜x + (1 − λ)¯x | λ ∈ [0, 1)} ⊂ L
¯x
và khi đó phát biểu của bổ đề là hiển nhiên. ✷
Từ bổ đề 3.1.2 có thể làm yếu đòi hỏi (3.2) thành (3.5) bằng cách cho phép
˜x = x
2
mở rộng lớp của các ánh xạ tựa lồi. Nếu ta cho điều kiện mà cực
tiểu địa phương cũng là cực tiểu toàn cục thì ta có tính chất đặc trưng của
tính C-tựa lồi.
Định nghĩa 3.1.3
Giả sử S là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính thực X và Y là
không gian tuyến tính có thứ tự bộ phận với nón thứ tự C
Y
và f : S → Y.
Xét bài toán tối ưu:
min
x∈S
f(x) (3.6)
(a) Phần tử ¯x được gọi là cực tiểu địa phương của bài toán (3.6) nếu tồn
tại một tập U ⊂ X với ¯x ∈ cor(U), sao cho ¯x là cực tiểu của bài toán (3.6)
với S được thay bởi S ∩ cor(U).
(b) Giả sử nón thứ tự có phần trong đại số khác rỗng. Phần tử ¯x ∈ S được
gọi là cực tiểu yếu địa phương của bài toán (3.6) nếu tồn tại tập U ⊂ X,
với ¯x ∈ cor(U), sao cho ¯x là cực tiểu yếu của bài toán (3.6) với S được
thay bởi S ∩ cor(U).
Hai định lý sau đây phát biểu các điều kiện cần và đủ để cực tiểu địa
23