Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu vectơ với các hàm số đạo hàm lipschitz địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

NGÔ THỊ NGỌC YẾN

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN
TỐI ƯU VÉC TƠ VỚI CÁC HÀM CÓ
ĐẠO HÀM LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG

NGÔ THỊ NGỌC YẾN

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN
TỐI ƯU VÉC TƠ VỚI CÁC HÀM CÓ
ĐẠO HÀM LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số:

60. 46. 01. 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hướng dẫn khoa học:

PGS. TS Đỗ Văn Lưu

Hà Nội - 2015

Thang Long University Libraty


Mục lục
Mở đầu

3

Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Mục đích của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Nội dung đề tài

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1 ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉC TƠ C 1,1

2

KHÔNG RÀNG BUỘC

5

1.1

Dưới vi phân cấp 2 của hàm lớp C 1,1 . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Hàm véc tơ C − lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.3

Điều kiện tối ưu cho nghiệm lý tưởng . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.4

Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu . . . . . . . . . . . . . . .

14

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU VÉC TƠ
C 1,1 CÓ RÀNG BUỘC

21

2.1

Khái niệm bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.2

Bài toán với ràng buộc tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.3

Bài toán có ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức . . . . . . .

27

Kết luận

33

1


Tài liệu tham khảo

34

2

Thang Long University Libraty


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết điều kiện tối ưu là một bộ phận quan trọng của lý thuyết tối ưu
hóa. Nhiều bài toán tối ưu nảy sinh trong kinh tế, kỹ thuật có các hàm dữ liệu
lớp C 1,1 , tức là các hàm có đạo hàm Lipschitz địa phương. Hiriart - Urruty,
Strodiot và Hien Nguyen ([8], 1984) đã khai triển Taylor một hàm C 1,1 qua các
ma trận Hessian suy rộng và dẫn các điều kiện tối ưu cấp 2 cho bài toán tối
ưu vô hướng với các hàm C 1,1 . A. Guerraggio và D.T. Luc đã nghiên cứu các
bài toán tối ưu đa mục tiêu hay bài toán tối ưu véc tơ với các hàm lớp C 1,1
và dẫn các điều kiện tối ưu cần và đủ cho các nghiệm hữu hiệu của bài toán
không ràng buộc ([5], 2001) và có ràng buộc ([6], 2003) dưới ngôn ngữ dưới vi
phân cấp 2 của hàm véc tơ. Đây là đề tài được nhiều tác giả trong và ngoài
nước quan tâm nghiên cứu. Chính vì vậy tôi chọn đề tài: Điều kiện tối ưu cho
bài toán tối ưu véc tơ với các hàm có đạo hàm Lipschitz địa phương.

2. Mục đích của đề tài
Luận văn trình bày các kết quả nghiên cứu về điều kiện tối ưu cấp 2 của
Guerraggio – Luc cho bài toán tối ưu véc tơ lớp C 1,1 không ràng buộc (2001)
và có ràng buộc (2003) dưới ngôn ngữ dưới vi phân cấp 2.
3. Nội dung đề tài
Chương 1. Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véc tơ C 1,1 không ràng buộc
Trình bày các kết quả của A. Guerraggio và D.T. Luc ([5], 2001) về điều kiện
3


cần và đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu véc tơ không có ràng buộc và hàm
mục tiêu lớp C 1,1 dưới ngôn ngữ dưới vi phân cấp 2 cùng với các điều kiện đặc
trưng cho hàm C − lồi và C − đơn điệu. Các ví dụ 1.2.1 và 1.2.2 là của tác giả.
Chương 2. Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu véc tơ C 1,1 có ràng buộc
Trình bày các kết quả của A. Guerraggio và D.T. Luc ([6], 2003) về điều kiện
tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu véc tơ C 1,1 có ràng buộc dưới ngôn ngữ dưới
vi phân cấp 2 của các hàm lớp C 1,1 .
4. Lời cam đoan
Luận văn đã được hoàn thành với sự học tập nghiên cứu sưu tầm tài liệu
của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Đỗ Văn Lưu và trình bày các kết quả
mới đây về tối ưu.
5. Lời cảm ơn
Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS. TS Đỗ
Văn Lưu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn
này. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, phòng sau đại học
trường Đại học Thăng Long cùng các thầy, cô giáo đã tham gia giảng dạy khóa
học. Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên
trong lớp cao học Toán K1 đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt
thời gian học tập và quá trình làm luận văn. Do thời gian và trình độ còn hạn
chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được

sự góp ý của các thầy cô để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2015.
Người thực hiện
Ngô Thị Ngọc Yến

4

Thang Long University Libraty


Chương 1

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI
TOÁN TỐI ƯU VÉC TƠ C 1,1
KHÔNG RÀNG BUỘC
Chương 1 trình bày các điều kiện cần và đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán tối
ưu véc tơ không có ràng buộc với hàm mục tiêu lớp C 1,1 dưới ngôn ngữ dưới vi
phân cấp 2 cùng với các điều kiện đặc trưng cho hàm C − lồi và C − đơn điệu
lớp C 1,1 . Các kết quả được trình bày trong chương này là của Guerraggio - Luc
([5], 2001).
1.1

Dưới vi phân cấp 2 của hàm lớp C 1,1

Ta nói f là một hàm véc tơ trong lớp C 0,1 có nghĩa là f là hàm Lipschitz
địa phương từ Rm vào Rn . Theo định lý Rademacher, f khả vi hầu khắp nơi,
tức là trừ ra một tập có độ đo 0. Khi đó Jacobian suy rộng Clarke của f tại
điểm bất kì x◦ ∈ Rm , kí hiệu bởi ∂f (x◦ ), tồn tại và cho bởi tập hợp
∂f (x◦ ) := cl conv{lim f ′ (xi ) : xi → x◦ , f ′ (xi ) tồn tại},

trong đó cl conv kí hiệu bao lồi đóng. Bây giờ, ta giả sử rằng f là hàm véc tơ
khả vi từ Rm vào Rn mà đạo hàm của nó thuộc lớp C 0,1 . Trong trường hợp
này, ta nói rằng f thuộc lớp C 1,1 . Khi đó, Jacobian suy rộng Clarke của f ′ tại
x◦ được kí hiệu bởi ∂ 2 f (x◦ ) và được gọi là dưới vi phân cấp 2 của f tại x◦ ,

5


nghĩa là,
∂ 2 f (x◦ ) := cl conv{lim f ′′ (xi ) : xi → x◦ , f ′′ (xi ) tồn tại}.
Kí hiệu L(m,n) là không gian tuyến tính gồm tất cả các toán tử tuyến tính từ
Rm vào Rn và kí hiệu L(m,n) là không gian tuyến tính gồm tất cả các toán tử
tuyến tính từ Rm vào L(m,m) . Ta có ∂ 2 f (x◦ ) là một tập con của không gian
L(m,n) . Do đó, các phần tử của ∂ 2 f (x◦ ) là các hàm song tuyến tính trên Rm
nhận giá trị trong Rn . Trường hợp n = 1, thuật ngữ "Hessian suy rộng" đã
được dùng trong [8] để chỉ tập hợp ∂ 2 f (x◦ ). Bằng cách xây dựng như trên,
dưới vi phân cấp 2 có tất cả các tính chất của Jacobian suy rộng. Chẳng hạn,
∂ 2 f (x◦ ) là một tập lồi khác rỗng và compact của không gian L(m,n) được xem
như là Rm×m×n và ánh xạ đa trị x → ∂ 2 f (x) là nửa liên tục trên. Chúng ta chỉ
ra một vài tính chất quan trọng sau:
(a) Hợp với một hàm tuyến tính: ∀ξ ∈ Rn , ta có
ξ∂ 2 f (x) = ∂ 2 (ξf )(x).

(1.1)

(b) Định lý giá trị trung bình: Cho f là hàm lớp C 0,1 và a, b ∈ Rm . Khi đó,
f (b) − f (a) ∈ cl conv{∂f (x)(b − a) : x ∈ [a, b]},
trong đó [a, b] = conv{a, b}, conv kí hiệu bao lồi.
(c) Khai triển Taylor: Cho f ∈ C 1,1 và a, b ∈ Rm . Khi đó,
f (b) − f (a) ∈ f ′ (a)(b − a) + cl conv{∂ 2 f (x)(b − a, b − a) : x ∈ [a, b]}.

1.2

Hàm véc tơ C − lồi

Cho f : Rm −→ Rn là một hàm véc tơ và C là nón lồi, đóng, nhọn có đỉnh
tại gốc 0 (C ∩ −C = {0}) và int C = ∅. Thứ tự bộ phận được sinh bởi C, kí
hiệu ≥C , được định nghĩa như sau:
a ≥C b ⇐⇒ a − b ∈ C.
Nhắc lại rằng f là C − lồi nếu ∀x, y ∈ Rm và ∀t ∈ [0, 1], ta có
f (tx + (1 − t)y) ≤C tf (x) + (1 − t)f (y).

(1.2)

6

Thang Long University Libraty


Hàm C − lồi đóng vai trò quan trọng trong tối ưu véc tơ.
Trong mục này ta sử dụng dưới vi phân cấp 2 để đặc trưng các hàm C − lồi.
Nhắc lại rằng ánh xạ đa trị F từ Rm vào L(n,m) là C − đơn điệu nếu ∀x, y ∈
Rm , ∀α ∈ F (x) và ∀β ∈ F (y), ta có
α(y − x) + β(x − y) ≤C 0.
Khi n = 1 và C là nón các số dương, định nghĩa trên quy về định nghĩa thông
thường của ánh xạ đa trị đơn điệu từ Rm đến Rm . Dưới đây là một số tính chất
cơ bản của ánh xạ C − đơn điệu:
(i) Nếu F là C − đơn điệu thì tF là C − đơn điệu, ∀t ≥ 0.
(ii) Nếu F1 và F2 là C − đơn điệu và F3 ⊆ F1 thì F1 + F2 và F3 là C − đơn điệu.
(iii) F là C − đơn điệu nếu và chỉ nếu ξF là đơn điệu ∀ξ ∈ C ′ , trong đó C ′ là
nón cực dương của C, nghĩa là

C ′ = {ξ ∈ Rn : ξ, v ≥ 0, ∀v ∈ C}.
(iv) Nếu f thuộc lớp C 0,1 thì f là C − lồi nếu và chỉ nếu ∂f là C − đơn điệu.
Trong [10], Jacobian suy rộng đã được sử dụng để mô tả đặc trưng các hàm
đơn trị Lipschitz địa phương, đơn điệu, từ Rm đến Rm . Điều này cũng có thể áp
dụng cho ánh xạ đa trị C − đơn điệu, C − toán tử bán xác định dương. Cho H
là ánh xạ đa trị từ Rm vào không gian L(m,n) . Các phần tử của H(x), x ∈ Rm ,
là các hàm song tuyến tính trên Rm nhận giá trị trong Rn . Ta nói rằng H là
C − bán xác định dương, nếu ∀x ∈ Rm và ∀φ ∈ H(x), ta có φ(u, u) ≥C 0.
Khi n = 1, C là nón các số dương và H là đơn trị, định nghĩa này quy về
định nghĩa dạng song tuyến tính bán xác định dương. Ánh xạ đa trị C −
bán xác định dương có các tính chất tương tự như (i), (ii), (iii) ở trên. Ta có
đặc trưng dưới đây về ánh xạ Lipschitz địa phương C − đơn điệu.
Mệnh đề 1.2.1.
Giả sử F là hàm véc tơ Lipschitz địa phương từ Rm vào L(m,n) . Khi đó, F là
C − đơn điệu nếu và chỉ nếu Jacobian suy rộng ∂F của nó là một ánh xạ đa
trị C − bán xác định dương.
7


Chứng minh.
Trước hết giả sử ∂F là C − bán xác định dương. Khi đó, ∀x, y ∈ Rm , theo định
lý giá trị trung bình (xem [1]), ta có
F (x) − F (y) ∈ cl conv{∂F (z)(x − y) : z ∈ [x, y]}.
Do đó,
F (x)(y − x) + F (y)(x − y) ∈ cl conv{−∂F (z)(x − y, x − y) : z ∈ [x, y]}.
Vì ∂F là C − bán xác định dương và C là lồi và đóng, cho nên vế bên phải
thuộc −C. Từ đó suy ra,
F (x)(y − x) + F (y)(x − y) ≤C 0,

và F là C − đơn điệu.

Ngược lại, cho F là C − đơn điệu. Giả sử x ∈ Rm là một điểm sao cho
F ′ (x) tồn tại. Khi đó, ∀t ≥ 0 và ∀u ∈ Rm , ta có
F (x + tu) − F (x) ∈ C.
Điều này kéo theo
F ′ (x)(u, u) = lim [F (x + tu) − F (x)](u)/t ∈ C,
t→+ 0

vì C là đóng. Do đó,
F ′ (x)(u, u) ≥C 0,
∀u ∈ Rm và với mọi x tại đó F là khả vi. Do C là đóng, bất đẳng thức trên đúng
cho mọi giới hạn: lim F ′ (xi ) khi xi → x và F ′ (xi ) tồn tại. Do vậy, bất đẳng thức
đó cũng đúng với mọi tổ hợp lồi của các giới hạn đó, cũng như đúng với các giới
hạn của các tổ hợp lồi. Điều này nghĩa là ∂F là C − bán xác định dương.
Ví dụ 1.2.1.
Xét hàm f : R → R


 x,
f (x) = x
 ,
2

x ≥ 0,
x < 0.

8

Thang Long University Libraty

Ta có f đơn điệu tăng

 v, v ≥ 0,
′
f (0, v) = v
 , v < 0;
2
1
∂f (0) = [ , 1].
2
Rõ ràng là ∂f (0) bán xác định dương:
1
∀ξ ∈ [ , 1], vξv = ξv 2 ≥ 0.
2
Bây giờ, ta có thể đưa ra một tiêu chuẩn cho hàm C − lồi lớp C 1,1 dưới ngôn
ngữ dưới vi phân cấp 2.
Hệ quả 1.2.1.
Giả sử rằng f là hàm véc tơ lớp C 1,1 từ Rm vào Rn . Khi đó, f là C − lồi nếu
và chỉ nếu ∂ 2 f là C − bán xác định dương.
Chứng minh.
Hệ quả nhận được từ tính chất (iv) và mệnh đề 1.2.1.
Ví dụ 1.2.2.
Xét hàm f : R → R

Và hàm


x2 x 1




+ + ,
4
2 4
f (x) =
3

2
x


+ ,
3
3
x 1
 + ,
g(x) = f ′ (x) = 2 2
 2
x,

x ≤ 1,
x ≥ 1.

x ≤ 1,
x ≥ 1.

Ta có f lồi, f ′ Lipschitz.

v
 ,

′
g (1, v) = 2
 2v,

v ≤ 0,
v ≥ 0;

1
∂g(1) = [ , 2]
2
9


có nghĩa là

1
∂ 2 f (1) = [ , 2].
2

1
Với ξ ∈ [ , 2] ta có
2
vξv = ξv 2 ≥ 0 ∀v và ξv 2 > 0 ∀v = 0.
Như vậy ∂ 2 f (1) bán xác định dương.
1.3

Điều kiện tối ưu cho nghiệm lý tưởng

Giả sử C ⊂ Rn là nón nhọn, lồi, đóng với phần trong khác rỗng, có đỉnh tại
gốc và f là hàm véc tơ từ Rm vào Rn . Với tập A ⊆ Rn , phần bù của nó Rn \ A

được kí hiệu bằng Ac .
Cho M là một trong các nón C c , C \ {0} và int C. Bài toán tối ưu véc tơ
không ràng buộc tương ứng với cặp (f, M ) như sau:
minM f (x),

x ∈ Rm ,

theo nghĩa tìm x◦ ∈ Rm (gọi là nghiệm tối ưu) sao cho không có x ∈ Rm mà
f (x) ∈ f (x◦ ) − M . Nếu điều này đúng trong một lân cận nào đó của x◦ thì ta
gọi x◦ là nghiệm tối ưu địa phương. Các nghiệm tối ưu tương ứng với (f, C c ),
(f, C \ {0}), (f, int C) được gọi tương ứng là các nghiệm lý tưởng (ideal
solutions), nghiệm hữu hiệu (efficient solutions), nghiệm hữu hiệu yếu (weakly
efficient solutions). Từ định nghĩa ta suy ra x◦ là một nghiệm lý tưởng địa
phương nếu và chỉ nếu tồn tại một lân cận U ⊂ Rm của x◦ sao cho
f (x) − f (x◦ ) ∈ C,

∀x ∈ U.

Nếu tồn tại một nón nhọn lồi K ⊂ Rn sao cho C \ {0} ⊂ int K và nếu không
có x ∈ Rm sao cho f (x) ∈ f (x◦ ) − int K thì ta nói x◦ là một nghiệm hữu hiệu
chính thường địa phương (local properly efficient solution). Định nghĩa nghiệm
hữu hiệu chính thường này là của Henig [7].
Trong mục này, ta sẽ trình bày các điều kiện tối ưu cấp 1 và cấp 2 cho
nghiệm lý tưởng. Mặc dù những nghiệm này không phải là chủ đề chính của lý
10

Thang Long University Libraty


thuyết tối ưu véc tơ, nhưng chúng vẫn được chú ý bởi vì cấu trúc đơn giản của

nó và sự tương tự cho nghiệm tối ưu của các bài toán vô hướng sẽ giúp chúng
ta hiểu rõ hơn về những đặc điểm chính của bài toán tối ưu véc tơ.
Từ định nghĩa ta suy ra nếu một điểm x◦ ∈ Rm là một nghiệm lý tưởng địa
phương thì nó là cực tiểu địa phương của hàm vô hướng ξf (x), ∀ξ ∈ C ′ . Điều
ngược lại cũng đúng trong trường hợp f là C − lồi hoặc nón C ′ là hữu hạn
sinh, nghĩa là, tập các phương cực biên của C ′ là hữu hạn. Đặc biệt, với n = 2,
phát biểu ngược lại đúng, còn với n ≥ 3 thì phát biểu ngược lại có thể sai.
Định lý 1.3.1.
Giả sử x◦ ∈ Rm là một nghiệm lý tưởng địa phương. Khi đó, các điều sau đúng:
(i) Với f lớp C 0,1 ,
(a) ∂f (x◦ )(u) ∩ C = ∅, ∀u ∈ Rm , hoặc tương đương,
(b) 0 ∈ ξ∂f (x◦ ), ∀ξ ∈ C ′ .
(ii) Với f lớp C 1,1 ,
(a) f ′ (x◦ ) = 0,
(b) ∀u ∈ Rm , tồn tại φ ∈ ∂ 2 f (x◦ ) sao cho φ(u, u) ≤C 0.
Chứng minh.
Trước hết ta xét trường hợp f là Lipschitz địa phương. Bởi vì x◦ là nghiệm lý
tưởng địa phương, cho nên ξ, f (x) đạt cực tiểu địa phương tại x◦ , với mọi
ξ ∈ C ′ . Theo hệ quả 2.6.1 [1], 0 ∈ ∂(ξf )(x◦ ), do đó 0 ∈ ξ∂f (x◦ ) theo tính chất
tương tự (1.1) cho dưới vi phân.
Ta chỉ ra (i)(a) ⇔ (i)(b). Thật vậy, nếu (i)(a) không đúng thì tồn tại u ∈ Rm
sao cho ∂f (x◦ )(u) ∩ C = ∅. Vì ∂f (x◦ ) là một tập lồi và compact nên tập
∂f (x◦ )(u) cũng lồi và compact. Áp dụng định lý tách với tập ∂f (x◦ ) và nón lồi
C, ta có thể tìm được véc tơ ξ ∈ Rn sao cho
∀v ∈ C và ∀α ∈ ∂f (x◦ ).

ξ, v ≥ 0 > ξ, α(u) ,

Điều này kéo theo ξ ∈ C ′ và 0 ∈ ξ∂f (x◦ ). Vì vậy, (i)(b) cũng không đúng.

11


Ngược lại, nếu (i)(b) là không đúng thì ∃ξ ∈ C ′ sao cho 0 ∈ ξ∂f (x◦ ). Áp
dụng định lý tách cho các tập {0} và tập lồi, compact ξ∂f (x◦ ), ta có thể tìm
được một số u ∈ Rm sao cho
∀α ∈ ∂f (x◦ ).

ξα(u) < 0,
Điều này chứng tỏ rằng

∂f (x◦ )(u) ∩ C = ∅.
Bây giờ, giả sử rằng f lớp C 1,1 . Khi đó, ∂f (x◦ ) = {f ′ (x◦ )} và do phần trước,
ξf ′ (x◦ ) = 0,

∀ξ ∈ C ′ .

Vì C là nhọn và đóng, khi đó int C ′ = {0}. Do đó,
ξf ′ (x◦ ) = 0

∀ξ ∈ Rn ,

và vì vậy, f ′ (x◦ ) = 0.
Ta xét điều kiện (ii)(b), giả sử ngược lại ∃u ∈ Rm sao cho ∂ 2 f (x◦ )(u, u) ∩
C = ∅. Tập ∂ 2 f (x◦ ) là lồi và compact, do đó ∂ 2 f (x◦ )(u, u) cũng là tập lồi
compact trong Rn . Áp dụng định lý tách cho tập này và C, ta nhận được véc
tơ ξ ∈ Rn \{0} sao cho
∀φ ∈ ∂ 2 f (x◦ ) và ∀v ∈ C.

ξ, φ(u, u) < 0 ≤ ξ, v ,

(1.3)

Nói riêng, ta có ξ ∈ C ′ . Khi đó, x◦ là cực tiểu địa phương của hàm vô hướng
ξf (x) mà tại đó phải tồn tại số θ ∈ ∂ 2 (ξf )(x◦ ) với θ(u, u) ≥ 0, hoặc tương
đương, do (1.1), ∃φ ∈ ∂ 2 f (x◦ ) với ξ, φ(u, u) ≥ 0 . Điều này mâu thuẫn với
(1.3) và là điều phải chứng minh.
Bây giờ ta giả sử f là C − lồi quanh điểm x◦ với điều kiện tồn tại hình cầu
U ⊂ Rm tâm tại x◦ sao cho (1.2) đúng với mọi x, y ∈ U .
Định lý 1.3.2.
Giả sử rằng một trong những điều kiện dưới đây đúng tại điểm x◦ ∈ Rm :
(i) Với f lớp C 0,1 , 0 ∈ ξf (x◦ ), ∀ξ ∈ C ′ và f là C − lồi xung quanh x◦ .
(ii) Với f lớp C 1,1 ,
12

Thang Long University Libraty


(a) f ′ (x◦ ) = 0,
(b) ∂ 2 f (x◦ )(u, u) ⊂ int C, ∀u ∈ Rm \{0}.
Khi đó, x◦ là một nghiệm lý tưởng địa phương.
Chứng minh.
Giả sử tồn tại một hình cầu nhỏ U tâm x◦ mà f là C − lồi và thuộc lớp C 0,1
trong U . Điều kiện (i) kéo theo
0 ∈ ∂(ξf )(x◦ ),

∀ξ ∈ C ′ .

Khi đó, x◦ là một cực tiểu của hàm lồi ξfU (x) trên U , trong đó fU là thu hẹp
của f trên U, ∀ξ ∈ C ′ . Do đó, x◦ là một nghiệm lý tưởng địa phương.

Bây giờ, giả sử rằng f là lớp C 1,1 và hai điều kiện (ii)(a) và (ii)(b) đúng.
Khi đó, ∀u ∈ Rm \{0} với u = 1, do tính nửa liên tục trên của dưới vi phân
cấp 2, tồn tại một hình cầu Vu tâm x◦ sao cho
∂ 2 f (x)(u, u) ⊂ int C,

∀x ∈ Vu .

Bởi vì mặt cầu đơn vị trong Rm là compact, tồn tại một hình cầu V tâm x◦
sao cho
∂ 2 f (x)(u, u) ⊂ int C,

∀x ∈ V và ∀u ∈ Rm với u = 1.

Do đó ∀u ∈ Rm \{0} bao hàm thức trên cũng đúng. Theo Hệ quả 1.2.1, f là
C − lồi quanh x◦ . Từ đó suy ra, điều kiện (i) thỏa mãn và do đó x◦ là nghiệm
lý tưởng địa phương.
Chúng ta có thể đặt câu hỏi liệu có một dạng tương tự như trường hợp
vô hướng: 0 ∈ ∂f (x◦ ) có thể thay thế trong điều kiện (i) của định lý 1.3.1.
Đáng tiếc, câu trả lời là không, như được chỉ ra trong ví dụ sau đây. Cho
m = 1, n = 2, C = R2 + và

f (x) =


 (−x, 0),
 (0, x),

13

nếu x ≤ 0,

nếu x > 0.


Hàm này là Lipschitz địa phương và tồn tại đạo hàm với mọi x trừ x = 0.
Rõ ràng điểm x◦ = 0 là một nghiệm lý tưởng của f . Mặc dù vậy, Jacobian suy
rộng của f tại x◦ là đoạn nối các điểm (−1, 0) và (0, 1) và nó không chứa 0.
Chú ý rằng, ∀ξ ∈ R2 + , tập ξ∂f (0) chứa 0, đúng như đã chỉ ra trong định lý
1.3.1.
1.4

Điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu

Trong phần này, chúng ta trình bày các điều kiện tối ưu dưới ngôn ngữ dưới
vi phân cấp 2 của hàm C 1,1 .
Định lý 1.4.1.
Giả sử x◦ là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương. Khi đó, các điều kiện sau đây
thỏa mãn:
(i) Với f lớp C 0,1 ,
(a) ∂f (x◦ )(u) ∩ (−int C)c = ∅, ∀u ∈ Rm , hoặc tương đương,
(b) 0 ∈ ξ∂f (x◦ ), với ξ ∈ C ′ \{0} nào đó.
(ii) Với f lớp C 1,1 ,
(a) f ′ (x◦ ) ∈ (−int C)c , ∀u ∈ Rm , hoặc tương đương, ξf ′ (x◦ ) = 0 với
ξ ∈ C ′ \{0} nào đó;
(b) ∂ 2 f (x◦ )(u, u)∩(−int C)c = ∅, với u ∈ Rm , f ′ (x◦ )(u) ∈ −(C \ int C),
hoặc tương đương, với mỗi u như trên, ∃η ∈ C ′ \{0} và ∃φ ∈ ∂ 2 f (x◦ ) sao
cho η, φ(u, u) ≥ 0.
Chứng minh.
Trước hết ta xét trường hợp f Lipschitz địa phương. Nếu (i)(a) không đúng thì
∃u ∈ Rm sao cho ∂f (x◦ )(u) ⊂ −int C. Vì tập ∂f (x◦ )(u) lồi và compact, tồn tại
một lân cận lồi đóng V của tập này trong tập mở −int C. Do tính nửa liên tục

trên của Jacobian suy rộng, ∃ǫ sao cho ∂f (x)(u) ⊂ V với mọi x ∈ [x◦ , x◦ + ǫu].
Do V lồi và đóng, ta có
cl conv{δf (x)(u) : x ∈ [x◦ , x◦ + ǫu]} ⊂ V.
14

Thang Long University Libraty


Áp dụng định lý giá trị trung bình với f trên [x◦ , x◦ + ǫu], ta thu được
f (x◦ + tu) − f (x◦ )
∈ cl conv{∂f (x)(tu) : x ∈ [x◦ , x◦ + ǫu]} ⊂ tV ⊂ −int C,

∀t ∈ (0, ǫ).

Điều này mâu thuẫn với giả thiết của định lý.
Bây giờ, chúng ta chỉ ra (i)(a) ⇔ (i)(b). Thật vậy, nếu (i)(a) không đúng,
nghĩa là,
với u ∈ Rm nào đó,

∂f (x◦ )(u) ⊂ −int C,

thì ∀ξ ∈ C ′ \{0} và ∀α ∈ ∂f (x◦ ), ta có ξ, α(u) < 0 và (i)(b) không đúng.
Ngược lại, nếu (i)(b) không đúng, nghĩa là,
∀ξ ∈ C ′ \{0},

0∈
/ ξ∂f (x◦ ),

thì ta có thể áp dụng định lý tách điểm gốc của không gian và tập lồi, compact
{ξ∂f (x◦ ) : ξ ∈ B}, trong đó tập B là cơ sở lồi và compact của C ′ .

Nhắc lại tập đóng B là cơ sở của nón C ′ , nếu 0 ∈
/ B và C ′ được sinh ra bởi
B và chú ý rằng một cơ sở lồi như thế tồn tại vì C có phần trong. Do đó, C ′
là nón nhọn. Vì vậy, ∃u ∈ Rm sao cho
ξ, α(u) < 0,

∀α ∈ ∂f (x◦ ) và ∀ξ ∈ B.

Điều này kéo theo
∂f (x◦ )(u) ⊂ −int C,
nghĩa là điều kiện (i)(a) là không đúng.
Bây giờ ta giả sử rằng f là lớp C 1,1 . Do ∂f (x◦ ) = {f ′ (x◦ )} nên ta thu được
điều kiện (ii)(a). Với điều kiện (ii)(b), ta giả sử ngược lại rằng ∃u ∈ Rm sao
cho
f ′ (x◦ )(u) ∈ −(C \ int C) và ∂ 2 f (x◦ )(u, u) ⊂ −int C.
Giả sử V là một lân cận lồi đóng của ∂ 2 f (x◦ )(u, u) sao cho V ⊂ −int C. Do
tính nửa liên tục trên của dưới vi phân cấp 2 ∃ǫ > 0 sao cho
∂ 2 f (x◦ + tu)(u, u) ⊂ V,

∀t ∈ [0, ǫ].

Điều này kéo theo
cl conv{∂ 2 f (x)(u, u) : x ∈ [x◦ , x◦ + ǫu]} ⊂ V.
15


Sử dụng khai triển Taylor, ta nhận được
f (x◦ + tu) − f (x◦ ) ∈ f ′ (x◦ )(tu)
+ cl conv{∂ 2 f (x)(tu, tu) : x ∈ [x◦ , x◦ + ǫu]}
⊂ −t(C \ int C) + t2 V ⊂ −int C,

∀t ∈ (0, ǫ].

Điều này mẫu thuẫn với giả thiết.
Cuối cùng, rõ ràng là với φ ∈ ∂ 2 f (x◦ ) nào đó với φ(u, u) ∈
/ −int C, ta có
thể tìm được véc tơ η ∈ C ′ \{0} sao cho
η, φ(u, u) ≥ 0.
Điều ngược lại cũng đúng bởi vì với φ như trên, ta có φ(u, u) ∈
/ −int C và từ
đó suy ra
∂ 2 f (x◦ )(u, u) ∩ (−int C)c = ∅.

Bằng cách đặt n = 1 ta nhận được mệnh đề 5.1 của [9] cho hàm vô hướng
C 1,1 .
Hệ quả 1.4.1.
Giả sử n = 1 và f lớp C 1,1 . Khi đó, các điều kiện sau đây là điều kiện cần cho
để x◦ là điểm cực tiểu địa phương của f :
(i) f ′ (x◦ ) = 0.
(ii) ∀u ∈ Rm , ∃φ ∈ ∂ 2 f (x◦ ) sao cho φ(u, u) ≥ 0.
Chứng minh.
Điều kiện đầu tiên có được do f ′ (x◦ )(u) ≥ 0, với mọi u ∈ Rm , kéo theo
f ′ (x◦ ) = 0. Điều kiện thứ hai được suy ra từ điều kiện (ii)(b) của định lý 1.4.1,
vì mỗi u ∈ Rm thỏa mãn
f ′ (x◦ )(u) = 0 ∈ −(C \ int C),

trong đó C = R+ .

16

Thang Long University Libraty


Rõ ràng các điều kiện được biểu thị trong định lý 1.4.1 là không đủ cho
nghiệm hữu hiệu yếu địa phương vì điều này cũng giống như trong trường hợp
tối ưu vô hướng. Dưới đây, ta đưa ra một số điều kiện đủ.
Định lý 1.4.2.
Giả sử một trong những điều kiện sau đây thỏa mãn tại điểm x◦ ∈ Rm :
(i) Với f lớp C 0,1 , ∂f (x◦ )(u) ⊂ (−C)c , ∀u ∈ Rm \{0}.
(ii) Với f lớp C 1,1 ,
(a) ξf ′ (x◦ ) = 0, với ξ ∈ int C ′ nào đó,
(b) ∂ 2 f (x◦ )(u, u) ⊂ int C, với u ∈ Kerf ′ (x◦ )\{0}.
Khi đó, x◦ là nghiệm hữu hiệu địa phương.
Chứng minh.
Đầu tiên ta giả sử f là Lipschitz địa phương. Nếu x◦ không là nghiệm hữu hiệu
địa phương thì tồn tại dãy {xi } hội tụ đến x◦ sao cho
f (xi ) − f (x◦ ) ∈ −C\{0},

i = 1, 2, . . .

(1.4)

Không mất tính tổng quát, giả sử dãy {ui }, trong đó
ui = (xi − x◦ )/ xi − x◦ ,
hội tụ đến u ∈ Rm nào đó. Với giới hạn u, ta lấy một lân cận lồi đóng V ⊂ (−C)c
của tập lồi compact ∂f (x◦ )(u). Khi đó, ∃ǫ > 0 sao cho
∂f (x)(v) ⊂ V, khi

x − x◦ < ǫ và v − u < ǫ.

Bởi vì {xi } hội tụ đến x◦ và {ui } hội tụ tới u, ta có
xi − x◦ < ǫ và ui − u < ǫ, với i đủ lớn.
Với i như trên, sử dụng định lý giá trị trung bình, ta nhận được
f (xi ) − f (x◦ ) ∈ cl conv{∂f (x)(xi − x◦ ) : x ∈ [x◦ , xi ]} ⊂ xi − x◦ V ⊂ (−C)c .
Điều này mâu thuẫn (1.4).
17


Bây giờ, giả sử rằng f là lớp C 1,1 . Nếu x◦ không là nghiệm hữu hiệu địa
phương thì (1.4) thỏa mãn. Điều kiện (ii)(a) cho thấy
f ′ (x◦ )(u) ∈
/ −C \{0}.
Có hai trường hợp xảy ra:
f ′ (x◦ )(u) ∈ (−C)c

và

f ′ (x◦ )(u) = 0.

Như ở trên trường hợp đầu tiên là không xảy ra. Vì vậy, ta xét trường hợp còn
lại u ∈ Kerf ′ (x◦ ). Do (ii)(b), tồn tại một lân cận lồi đóng V của ∂ 2 f (x◦ )(u, u)
trong int C sao cho
∂ 2 f (x)(v, v) ⊂ V, khi x − x◦ < ǫ, v − u < ǫ,
với ǫ dương đủ nhỏ. Sử dụng khai triển Taylor, ta nhận được
f (xi ) − f (x◦ )
∈ f ′ (x◦ )(xi − x◦ ) + cl conv{∂ 2 f (x)(xi − x◦ , xi − x◦ ) : x ∈ [x◦ , xi ]}
⊂ xi − x◦ {f ′ (x◦ )(ui )
+ xi − x◦ cl conv{∂ 2 f (x)(ui , ui ) : x ∈ [x◦ , xi ]}}.

(1.5)

Chú ý, do điều kiện (ii)(a) ta có
f ′ (x◦ )(ui ) ⊂ (−C)c ∪ {0}.
Hơn nữa, với i đủ lớn ta lại có
xi − x◦ < ǫ

và

ui − u < ǫ.

Từ đó suy ra, với i đủ lớn, (1.5) cho ta
f (xi ) − f (x◦ ) ∈ xi − x◦ {(−C)c ∪ {0} +

xi − x◦ V }

⊂ (−C)c ∪ {0} + int C ⊂ (−C)c .
Điều này mâu thuẫn với (1.4). Định lý được chứng minh.

Hệ quả 1.4.2.
Giả sử n = 1 và f lớp C 1,1 . Khi đó, các điều kiện sau đây là điều kiện đủ cho
điểm x◦ là điểm cực tiểu địa phương của f :
18

Thang Long University Libraty


(i) f ′ (x◦ ) = 0.
(ii) φ(u, u) > 0, ∀u ∈ Rm \{0} và φ ∈ ∂ 2 f (x◦ ).
Chứng minh.
Áp dụng định lý 1.4.2 với n = 1 và C = R+ .

Với n > 1, ta có điều kiện đủ cấp một đơn giản cho hàm véc tơ C 1 .
Hệ quả 1.4.3.
Giả sử f là lớp C 1 và f ′ (x◦ )(u) ∈ (−C)c , ∀u ∈ Rm \{0}. Khi đó, x◦ là nghiệm
hữu hiệu địa phương.
Chứng minh.
Vì ∂f (x◦ ) = {f ′ (x◦ )}, điều kiện của hệ quả này kéo theo điều kiện (i) của định
lý 1.4.2. Do đó ta được điều phải chứng minh.

Ta chú ý điều kiện có trong hệ quả 1.4.3 không đúng cho hàm vô hướng bởi
vì với n = 1, bất đẳng thức
f ′ (x◦ )(u) > 0,

tồn tại u ∈ Rm \{0} nào đó,

kéo theo
f ′ (x◦ )(−u) < 0,
do tính chất tuyến tính của f ′ . Tuy nhiên, dưới đây chúng ta cho một ví dụ
chỉ ra rằng điều này không đúng cho hàm véc tơ. Cho m = 1, n = 2, C = R2+
và f được cho bởi
f (x) = (x, −x),

với x ∈ R.

Khi đó, với mọi x◦ ∈ R, ta có
f ′ (x◦ )(u) = (u, −u) ∈ (−C)c ,

với u ∈ R\{0}.

Do hệ quả 1.4.3, x◦ là một nghiệm hữu hiệu địa phương. Thực ra x◦ là nghiệm

hữu hiệu toàn cục vì f là C − lồi. Ngoài ra chúng ta chú ý thêm, với hàm lồi,
19


điều kiện (i) của định lý 1.4.1 cũng là điều kiện đủ cho x◦ là nghiệm hữu hiệu
yếu. Thật vậy, hàm vô hướng ξ, f (x) lồi đạt cực tiểu tại x◦ , vì 0 ∈ ∂(ξf )(x◦ ).
Bằng cách vô hướng hóa, x◦ là nghiệm hữu hiệu yếu.
Hệ quả 1.4.4.
Giả sử f lớp C 1,1 và các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) ξf ′ (x◦ ) = 0, với một ξ ∈ C ′ \{0}.
(ii) Tồn tại một lân cận U của x◦ ∈ Rm sao cho φ(u, u) ≥C 0, ∀u ∈ Rm ,
∀x ∈ U và ∀φ ∈ ∂ 2 f (x).
Khi đó, x◦ là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương.
Chứng minh.
Áp dụng hệ quả 1.2.1, f là C − lồi quanh x◦ . Do đó, ta suy ra điều phải chứng
minh.

20

Thang Long University Libraty


Chương 2

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CHO BÀI
TOÁN TỐI ƯU VÉC TƠ C 1,1 CÓ
RÀNG BUỘC
Chương 2 trình bày các điều kiện cần và đủ tối ưu cấp 2 cho bài toán tối
ưu véc tơ có ràng buộc với các hàm lớp C 1,1 dưới ngôn ngữ dưới vi phân cấp
2. Các kết quả trình bày trong chương này là của Guerraggio - Luc ([6], 2003).

2.1

Khái niệm bổ trợ

Giả sử f : Rn → Rm là một hàm véc tơ lớp C 0,1 , nghĩa là f Lipschitz địa
phương. Theo định lý Rademacher (xem [4]), f là khả vi hầu khắp nơi, tức là
trừ ra một tập có độ đo không. Jacobian suy rộng Clarke của f tại mọi điểm
x◦ ∈ Rn , được ký hiệu là ∂f (x◦ ), tồn tại và cho bởi tập
∂f (x◦ ) := cl conv {lim ∇f (xi ) : xi → x◦ , ∇f (xi ) tồn tại},
trong đó cl conv{· · · } kí hiệu bao lồi đóng của tập trong dấu ngoặc.
Bây giờ, giả sử f : Rn → Rm lớp C 1,1 , nghĩa là, ∇f là lớp C 0,1 , Jacobian suy
rộng Clarke của ∇f tại x◦ , được gọi là dưới vi phân cấp 2 của f tại x◦ :
∂ 2 f (x◦ ) := cl conv {lim ∇2 f (xi ) : xi → x◦ , ∇2 f (xi ) tồn tại}.
Gọi L(n,m) là không gian tuyến tính gồm tất cả các toán tử tuyến tính từ Rn
vào Rm và gọi L(n,m) là không gian tuyến tính của tất cả các toán tử tuyến tính
21


từ Rn vào L(n,m) . Ta có ∂ 2 f (x◦ ) là một tập con của không gian hữu hạn chiều
L(n,m) . Do đó, các phần tử của ∂ 2 f (x◦ ) có thể xem như các hàm song tuyến
tính từ Rn vào Rm . Theo cách xây dựng, dưới vi phân cấp 2 có tất cả các tính
chất của Jacobian suy rộng. Ta liệt kê một vài tính chất quan trọng của dưới
vi phân cấp 2:
(i) ∂ 2 f (x◦ ) là tập khác rỗng, lồi và compact của không gian L(m,n) .
(ii) Ánh xạ đa trị x → ∂ 2 f (x) là nửa liên tục trên.
(iii) Hợp thành với một hàm tuyến tính: ∀ξ ∈ Rm , ta có
ξ∂ 2 f (x) = ∂ 2 (ξf )(x).
(iv) Định lý giá trị trung bình: Cho f là lớp C 0,1 và a, b ∈ Rn . Khi đó,
f (b) − f (a) ∈ cl conv {∂f (x)(b − a) : x ∈ [a, b]},
trong đó [a, b] = conv{a, b}.

(v) Khai triển Taylor: Cho f là lớp C 1,1 và a, b ∈ Rn . Khi đó,
f (b) − f (a) ∈ ∇f (a)(b − a) + cl conv{∂ 2 f (x)(b − a, b − a) : x ∈ [a, b]}.
2.2

Bài toán với ràng buộc tập

Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu sau đây
(P )

M inD f (x),
x ∈ S,

trong đó D là nón cone (int C) ∪ {0} hoặc nón C (lồi, đóng, nhọn với đỉnh tại
0 trong Rn ), f là hàm véc tơ Rn −→ Rm , S ⊆ Rn là tập khác ∅. Bài toán (P )
có nghĩa là tìm x◦ ∈ S sao cho
f (x◦ ) − f (x) ∈ D\{0},

∀x ∈ S.

Nếu D = C ta có nghiệm hữu hiệu của (P ).
Nếu D = (int C) ∪ {0} ta có nghiệm hữu hiệu yếu của (P ).
22

Thang Long University Libraty


Nếu trong bao hàm thức trên ta thay S bằng S ∩ U thì ta sẽ nhận được các
khái niệm nghiệm hữu hiệu, hữu hiệu yếu địa phương của (P ), trong đó U là
một lân cận của x◦ .
Ta xét bài toán (P ) với tập ràng buộc S không có cấu trúc đặc biệt. Với

x◦ ∈ S, nón tiếp tuyến Bouligand cấp 1 và nón tiếp tuyến cấp 2 của S tại x◦
được định nghĩa lần lượt như sau:
T1 (S, x◦ ) := {u ∈ Rn : ∃ti > 0, xi = x◦ + ti u + o(ti ) ∈ S},
T2 (S, x◦ ) := {(u, v) ∈ Rn × Rn : ∃ti > 0, xi = x◦ + ti u + (1/2)ti 2 v + o(ti 2 ) ∈
S},
trong đó
o(ti )/ti → 0 và o(ti 2 )/ti 2 → 0,

khi ti → 0+ .

Đặt
Λ := {λ ∈ C ′ : λ = 1},
và với δ > 0,
Sδ (x◦ ) := {t(x − x◦ ) : t ≥ 0, x ∈ S, x − x◦ ≤ δ}.
Phần bù của tập A ⊂ Rn được kí hiệu là Ac .
Định lý 2.2.1.
Giả sử f : Rn → Rm là hàm lớp C 1,1 và x◦ ∈ S là một nghiệm hữu hiệu yếu
địa phương của bài toán (P ). Khi đó, với mỗi (u, v) ∈ T2 (S, x◦ ).
(i) Tồn tại λ ∈ Λ sao cho λ, ∇f (x◦ ) ≥ 0.
(ii) Khi ∇f (x◦ )(u) = 0, tồn tại λ′ ∈ Λ và M ∈ ∂ 2 f (x◦ ), sao cho
λ′ , ∇f (x◦ )(v) + M (u, u) ≥ 0.
Chứng minh.
Lấy (u, v) ∈ T2 (S, x◦ ). Khi đó ∃ti > 0 sao cho
2
2
{ti }∞
1 → 0 và xi = x◦ + ti u + (1/2)ti v + o(ti ) ∈ S.

Vì x◦ là nghiệm hữu hiệu yếu địa phương, tồn tại i◦ ≥ 1 thỏa mãn
f (xi ) − f (x◦ ) ∈ (−int C)c ,

23

∀i ≥ i◦ .

(2.1)