Ứng dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân để giải các bài toán về xác suất

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
********

TRỊNH THỊ PHA

ỨNG DỤNG QUY TẮC CỘNG, QUY TẮC
NHÂN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ
XÁC SUẤT
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
Th.S NGUYỄN THỊ BÌNH

Hà Nội - 2014


LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp đƣợc hoàn thành tại Đại học Sƣ phạm Hà Nội
2. Có đƣợc bản khóa luận tốt nghiệp này em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn
chân thành và sâu sắc tới Ban giám hiệu trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà
Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán, đặc biệt là ThS. Nguyễn Thị Bình đã
trực tiếp hƣớng dẫn và giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu
để em có thể hoàn thành đề tài này.
Với mong muốn viết đƣợc một bản khóa luận đầy đủ, phong phú và
hữu ích cho ngƣời đọc em đã rất cố gắng nhƣng do lƣợng thời gian và
kinh nghiệm bản thân còn hạn chế nên không thể tránh khỏi sai sót và
chƣa hoàn thiện. Rất mong đƣợc sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để
đề tài đƣợc hoàn chỉnh và phát triển hơn nữa.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 14 tháng 4 năm 2015
Sinh viên

Trịnh Thị Pha


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân để giải
các bài toán xác suất" đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn của cô giáo
Nguyễn Thị Bình. Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu
trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác.
Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa
luận này đã đƣợc cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã
đƣợc ghi rõ nguồn gốc.
Hà Nội, ngày 14 tháng 4 năm 2015
Sinh viên

Trịnh Thị Pha


MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU .................................................................................. 1
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................... 1
2. Mục đích yêu cầu ............................................................................... 2
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu ......................................................... 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu......................................................................... 2
5.Phƣơng pháp nghiên cứu .................................................................... 2
PHẦN II: NỘI DUNG ............................................................................. 3
CHƢƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ .......................................... 3
1.1. Quy tắc đếm cơ bản. ....................................................................... 3

1.1.1 Quy tắc cộng.............................................................................. 3
1.1.2 Quy tắc nhân ............................................................................. 5
1.2. Hoán vị ............................................................................................ 9
1.3. Tổ hợp ........................................................................................... 13
1.3.1.Định nghĩa tổ hợp.................................................................... 13
1.3.2.Các ví dụ.................................................................................. 15
1.4. Hoán vị lặp .................................................................................... 18
1.4.1 Hoán vị của tập hợp có các phần tử khác nhau ...................... 18
1.4.2 Hoán vị của tập hợp có các phần tử đồng nhất hay phần tử
không phân biệt ................................................................................ 19
1.5. Hoán vị vòng tròn. ........................................................................ 21
1.5.1. Khái niệm hoán vị vòng tròn .................................................. 21
1.5.2. Các ví dụ................................................................................. 24
CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN ĐỂ GIẢI CÁC
BÀI TOÁN VỀ XÁC SUẤT................................................................... 27
2.1. Một số bài toán sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân ................... 27


2.1.1.Sử dụng quy tắc nhân để thực hiện bài toán ........................... 27
2.1.2.Sử dụng quy tắc cộng để thực hiện bài toán. .......................... 28
2.1.3. Các dạng toán thường gặp ..................................................... 30
2.2. Các ví dụ và bài tập ...................................................................... 37
2.2.1. Các ví dụ................................................................................. 37
2.2.2. Bài tập áp dụng ...................................................................... 38
KẾT LUẬN ............................................................................................. 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 43


PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Toán xác suất là một ngành toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi
trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế…Vì vậy lí thuyết xác
suất đã đƣợc đƣa vào chƣơng trình toán lớp 11 nhằm cung cấp cho học
sinh THPT những kiến thức cơ bản về ngành toán học quan trọng này.
Để có thể học tốt toán xác suất học sinh phải nắm vững các khái
niệm và các công thức cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng
các kiến thức đó để giải quyết các bài toán về tính xác suất . Nhƣng đa số
học sinh chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tập quen
thuộc mà chƣa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc cộng, quy tắc nhân để
giải các bài tập về xác suất.
Tôi đã đi tìm hiểu các tài liệu Toán học về cách giải các bài toán
xác suất và sau khi đọc đƣợc một số tài liệu Toán học của Singapore nói
về chuyên đề này, tôi đã đầu tƣ thời gian học tập và nghiên cứu. Một
mặt là giúp học sinh hiểu đƣợc bản chất của vấn đề và không còn lúng
túng trong việc giải các bài toán xác suất. Mặt khác sau khi nghiên cứu
tôi sẽ có thêm một phƣơng pháp giải các bài toán về xác suất. Hơn nữa
tôi hy vọng rằng những nghiên cứu nhỏ của tôi có thể giúp thấy đƣợc
phần nào thực tế việc đƣa ứng dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân vào giải
các bài toán xác suất trong chƣơng trình sách giáo khoa sắp tới.
Với mong muốn ấy tôi chọn đề tài: “Ứng dụng quy tắc cộng, quy
tắc nhân để giải các bài toán về xác suất ”.
Nội dung đề tài gồm:
Chƣơng 1. Một số kiến thức cơ sở.
Chƣơng 2. Ứng dụng quy tắc đếm cơ bản để giải các bài toán
xác suất.

1


2. Mục đích yêu cầu

Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của
xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các
bài toán về tính xác suất.
Tự học, bồi dƣỡng nâng cao chuyên môn nghiệp vụ.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
Đối tƣợng nghiên cứu: Quy tắc cộng, quy tắc nhân và cách giải các
bài toán về xác suất.
Phạm vi nghiên cứu: Mở rộng thêm các kiến thức cơ bản về xác
suất trong chƣơng trình SGK môn Toán lớp 11.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu.
a) Hệ thống các kiến thức cơ bản về xác suất.
b) Hƣớng dẫn học sinh ứng dụng nguyên lý đếm vào giải các bài toán
về xác suất .
5.Phƣơng pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp.

2


PHẦN II: NỘI DUNG
CHƢƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Quy tắc đếm cơ bản.
1.1.1 Quy tắc cộng
1.1.1.1. Khái niệm quy tắc cộng
Giả sử một công việc có thể đƣợc hoàn thành bằng cách thực hiện một
trong hai phƣơng án A hoặc B.
 Nếu phƣơng án A có a cách thực hiện.
 Nếu phƣơng án B có b cách thực hiện.
Khi đó công việc có thể đƣợc thực hiện bởi một trong hai phƣơng án A
hoặc B là a+b.

Chú ý: Phƣơng án A và phƣơng án B loại trừ lẫn nhau. Nếu thực hiện
phƣơng án A sẽ loại trừ khả năng thực hiện phƣơng án B và ngƣợc lại.
(Phƣơng án A và phƣơng án B không thể xảy ra cùng một lúc ).
Ví dụ: Giả sử cần chọn hoặc là một học sinh nam của khối 12 hoặc
một học sinh nữ của khối 11 làm đại biểu cho một trƣờng THPT. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn vị đại biểu này nếu khối 12 có 81 học sinh nam và
khối 11 có 72 học sinh nữ?
Giải :
Ta gọi:
 Việc thứ nhất là việc chọn một học sinh nam của khối 12, nó có thể
làm bằng 81 cách.
 Việc thứ hai là việc chọn một học sinh nữ của khối 11, nó có thể làm
bằng 72 cách.
Theo quy tắc cộng ta có:
81 + 72 = 153
cách chọn vị đại biểu này.

3


Quy tắc cộng dạng tổng quát:
Giả sử các công việc T1, T2, … , Tm có thể làm tƣơng ứng bằng n1,
n2, …, nm cách và giả sử không có hai việc nào làm đồng thời. Khi đó số
cách làm một trong m việc đó là: n1 + n2 +…+ nm .
1.1.1.2. Ví dụ
Ví dụ 1: Từ các số 1, 2, 3 có thể lập đƣợc bao nhiêu số khác nhau có
những chữ số khác nhau.
Giải:
Từ các số 1, 2, 3 có thể lập đƣợc:
 Ba số khác nhau có một chữ số là: 1, 2, 3. Trong trƣờng hợp này có 3

cách lập.
 Sáu số khác nhau mỗi số có 2 chữ số là: 12, 13, 21, 23, 31, 32. Trong
trƣờng hợp này có 6 cách lập.
 Sáu số khác nhau mỗi số có ba chữ số là: 123, 132, 213, 231, 312,
321. Trong trƣờng hợp này có 6 cách lập.
Các cách lập trên đôi một không trùng nhau. Vậy theo quy tắc cộng, ta
có:
3 + 6 + 6 = 15
cách lập những số khác nhau có những chữ số khác nhau từ các chữ số 1,
2, 3.
Ví dụ 2: Một sinh viên có thể chọn bài thực hành máy tính từ một trong
ba danh sách tƣơng ứng có 23, 15 và 19 bài. Có bao nhiêu cách chọn bài
thực hành?
Giải:
Ta nhận thấy:
 Có 23 cách chọn bài thực hành từ danh sách thứ nhất.
 Có 15 cách chọn bài thực hành từ danh sách thứ hai.

4


 Có 19 cách chọn bài thực hành từ danh sách thứ ba.
Vì vậy có: 23 + 15 + 19 = 57 cách
Ví dụ 3: Đi từ thành phố X đến thành phố Y một khách du lịch có thể đi
bằng đƣờng bộ hoặc đƣờng biển.
Du lịch bằng đƣờng bộ, ông lựa chọn 1 trong 4 tuyến đƣờng khác
nhau: l1, l2, l3, l4.
Du lịch bằng đƣờng biển, ông lựa chọn 1 trong 3 tuyến đƣờng biển
khác nhau:s1, s2, s3.
l1

l2

l3

l4
Y

X
s1
s2
s3

Du lịch bằng đƣờng bộ và du lịch bằng đƣờng biển là những phƣơng
án loại trừ lẫn nhau. Vì nếu ông ấy du lịch bằng đƣờng bộ ông ấy không
thể cùng lúc du lịch bằng đƣờng biển và ngƣợc lại.
Vì thế, số cách đi du lịch từ thành phố X đến thành phố Y bằng đƣờng
bộ hoặc đƣờng biển là:
4+3 =7.
1.1.2 Quy tắc nhân
1.1.2.1. Khái niệm quy tắc nhân
Giả sử một công việc có thể đƣợc hoàn thành bởi hai công đoạn A
và B, công đoạn A và công đoạn B là độc lập.
Nếu công đoạn A có a cách thực hiện và công đoạn B có b cách
thực hiện thì số cách hoàn thành công việc bằng cách thực hiện công

5


đoạn A và công đoạn B liên tiếp là: a.b
Ví dụ 1: Ngƣời ta có thể ghi nhãn cho những chiếc ghế trong một giảng

đƣờng bằng một chữ cái và một số nguyên dƣơng không vƣợt quá 100.
Bằng cách nhƣ vậy, nhiều nhất có bao nhiêu chiếc ghế có thể đƣợc ghi
nhãn khác nhau?
Giải:
Thủ tục ghi nhãn cho một chiếc ghế gồm hai việc:
 Gắn một trong 26 chữ cái.
 Và sau đó gắn một trong 100 số nguyên dƣơng.
Quy tắc nhân chỉ ra rằng có:
26.100=2600
cách khác nhau để gắn nhãn cho một chiếc ghế
Nhƣ vậy, nhiều nhất ta có thể gắn nhãn cho 2600 chiếc ghế.
Ví dụ 2: Trong một trung tâm máy tính có 32 chiếc máy vi tính. Mỗi máy
có 24 cổng. Hỏi có bao nhiêu cổng khác nhau trong trung tâm này?
Giải:
Thủ tục chọn cổng gồm có hai việc, việc chọn máy và sau đó chọn cổng
của chiếc máy này.
 Có 32 cách chọn máy.
 Có 24 cách chọn cổng bất kể máy nào đƣợc chọn.
Quy tắc nhân cho thấy có 32.24=768 cổng.
Ví dụ 3: Đi từ thành phố X đến thành phố Y khách du lịch phải đi qua
thành phố M.
Du lịch từ thành phố X đến thành phố M , ông lựa chọn 1 trong 4
tuyến đƣờng bộ khác nhau: l1, l2, l3, l4.
Du lịch từ thành phố M đến thành phố Y ông lựa chọn 1 trong 3 tuyến
đƣờng biển khác nhau: s1, s2, s3.

6


l1

s1
l2

X

l3

M

s2

Y

s3
l4

Du lịch từ thành phố X đến thành phố M và du lịch từ thành phố M
tới thành phố Y là các hoạt động độc lập.
Nếu chúng ta giả định rằng việc lựa chọn du lịch bằng 1 trong 4
tuyến đƣờng bộ không ảnh hƣởng đến việc lựa chọn đi lại bằng bất kì 1
trong 3 tuyến đƣờng biển và ngƣợc lại.
Do vậy, số cách đi du lịch từ thành phố X đến thành phố Y bằng đƣờng
bộ và đƣờng biển là: 3.4 = 12.
Quy tắc nhân dạng tổng quát:
Giả sử để hoàn thành một nhiệm vụ H cần thực hiện k công việc nhỏ
là H1, H2, … , Hk trong đó:
H1 có thể làm bằng n1 cách.
H2 có thể làm bằng n2 cách, sau khi hoàn thành H1.
................................................................................

Hk có thể thực hiện bằng nk cách, sau khi hoàn thành công việc Hk-1.
Khi đó để thực hiện công việc H sẽ có n1.n2...nk cách.
1.1.2.2.Ví dụ
Ví dụ 1: Có nhiều nhất bao nhiêu biển đăng ký xe ô tô nếu mỗi biển
chứa một dãy ba chữ cái tiếp sau là ba chữ số (không bỏ dãy chữ nào
ngay cả khi nó có ý nghĩa không đẹp).
Giải:
Ta nhận thấy:

7


 Có tất cả 26 cách chọn mỗi một trong ba chữ cái.
 Có 10 cách chọn cho mỗi chữ số.
Vì thế theo quy tắc nhân, nhiều nhất có:
26.26.26.10.10.10= 17 576 000 biển đăng ký xe.
Ví dụ 2:Có bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau có thể lập từ các chữ
số 0, 2, 4, 6, 8.
Giải:
Số cần lập có dạng a1a2 a3 . Ta có 4 cách chọn a1, vì a1  0. Ứng với
mỗi cách chọn a1 có 4 cách chọn a2. Ứng với mỗi cách chọn a1, a2 có 3
cách chọn a3. Theo quy tắc nhân ta có 4.4.3 = 48 số cần lập.
Ví dụ 3:
1. Cho ba tập hợp chữ cái
A = { a, b }

B = { c, d, e, f }

C={g}

Nếu chọn một chữ cái bất kì từ bộ ba tập hợp thì số cách chọn là:
2+4+1=7
(A, B và C là các tập hợp loại trừ lẫn nhau, vì không có yếu tố chung).
Nếu một chữ cái đƣợc chọn từ một tập hợp của ba tập hợp thì số lựa
chọn của ba chữ cái khác nhau là: 2 . 4 .1 = 8
(A, B và C là những tập hợp độc lập vì khi lựa chọn bất kì một yếu tố
nào trong một tập hợp không gây ra bất kì sự hạn chế về một yếu tố bất
kì trong tập hợp khác ).
2. Cho ba tập hợp chữ cái:
A = {a,b}

B = { b, d, e, f }

C = {g}

Nếu chọn một chữ cái bất kì từ ba tập hợp thì số các lựa chọn ba chữ cái
khác nhau không là: 2 + 4 + 1= 7
Nếu chọn một chữ cái từ một tập hợp trong ba tập hợp thì số các lựa
chọn khác nhau không là: 2 .4 . 1= 8.

8


(A, B và C không là các tập hợp độc lập vì lựa chọn b từ tập hợp A sẽ
hạn chế sự lựa chọn b từ tập hợp B ).
1.2. Hoán vị
Ví dụ: Cho 5 đối tƣợng phân biệt đƣợc dán nhãn a, b, c, d, e và 5 ô trống
nhƣ hình vẽ dƣới đây:
Chúng ta có thể sắp xếp 5 đối tƣợng khác nhau vào 5 ô trống bằng một
số cách nhƣ sau:

a

b

c

d

e

a

b

c

e

d

e

d

c

b

a

Mỗi cách sắp xếp có thứ tự 5 đối tƣợng khác nhau đƣợc gọi là một hoán
vị của 5 đối tƣợng khác nhau.
Để tìm số hoán vị của 5 đối tƣợng khác nhau, chúng ta xem xét nhiệm vụ
sắp xếp nhƣ một hoạt động 5 bƣớc, nhƣ sau:
Ô trống đầu tiên, có thể đƣợc lấp đầy bởi bất kì 1 trong 5 đối tƣợng nên
có 5 cách.
Ô trống thứ hai, có thể đƣợc lấp đầy bởi bất kì 1 trong 4 đối tƣợng nên
có 4 cách.
Ô trống thứ ba, có thể đƣợc lấp đầy bởi bất kì 1 trong 3 đối tƣợng nên
có 3 cách.
Ô trống thứ tƣ, có thể đƣợc lấp đầy bởi 1 trong 2 đối tƣợng nên có
2 cách.
Ô trống cuối cùng, có thể đƣợc lấp đầy bởi đối tƣợng còn lại nên có 1
cách.

9


5

4

3

2

1

Mỗi hoạt động của 5 hoạt động độc lập với nhau.
Vì thế, theo nguyên tắc nhân số hoán vị là: 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5!

Định nghĩa hoán vị:
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1). Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần
tử của tập hợp A đƣợc gọi là hoán vị của n phần tử đó.
Kí hiệu: Pn
Công thức tính: Pn là số hoán vị của n phần tử đó. n, n 1

Pn  n !  1.2....( n  1).n
Chứng minh:
Ta chứng minh công thức này dựa trên nguyên lý nhân. Xét công việc
xây dựng một hoán vị của n vật ban đầu. Công việc này đƣợc chia thành
các bƣớc sau:
Bước 1: Chọn vật đứng đầu có n cách chọn (n vật đều có thể
đứng đầu).
Bước 2: Chọn vật đứng thứ hai có n-1 cách chọn (do đã chọn vật
đứng đầu nên bây giờ ta chỉ còn n - 1 vật ).
…
Bước n: Chọn vật còn lại cuối cùng chỉ có một cách duy nhất.
Nhƣ vậy, theo nguyên lý nhân, số cách xây dựng hoán vị cũng chính
là số các hoán vị của n vật ban đầu là: n.(n-1)…2.1 = n!.
Chú ý:
(1) n! = n(n-1)(n-2)(n-3)...(3)(2)(1)
(2) n! = n(n-1)!
(3) Với n=1: 1! = 1(1-1)! = 0! = 1

10


Ví dụ 1: Cho 7 đối tƣợng phân biệt đƣợc dán nhãn a, b, c, d, e, f, g và 3
ô trống nhƣ sau:

Chúng ta có thể sắp xếp 7 đối tƣợng khác nhau, lấy 3 đối tƣợng tại
cùng một thời điểm vào trong 3 ô trống bởi một số cách nhƣ sau:
a

b

c

a

e

g

e

a

g

Để tìm số hoán vị của 7 đối tƣợng khác nhau lấy 3 đối tƣợng tại một
thời điểm. Chúng ta xem xét nhiệm vụ sắp xếp nhƣ một hoạt động 3
bƣớc
nhƣ sau:
Ô đầu tiên có thể đƣợc lấp đầy bởi 1 trong 7 đối tƣợng nên có
7 cách.
Ô thứ hai có thể đƣợc lấp đầy bởi 1 trong 6 đối tƣợng còn lại nên có 6
cách.
Ô thứ cuối cùng có thể đƣợc lấp đầy bởi 5 đối tƣợng còn lại nên có 5
cách.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu hoán vị n phần tử, trong đó có 2 phần tử đã cho
không đứng cạnh nhau.
Giải:
Nếu a đứng ở vị trí thứ nhất thì b đứng ở vị trí thứ hai. Do vậy, a
đứng ở vị trí thứ n - 1 thì b đứng ở vị trí thứ n và chúng có thể đổi vị trí
cho nhau. Với mỗi cách đó có (n - 2 )! cách hoán vị các phần tử khác

11


nhau.
Do đó số hoán vị a, b đứng cạnh nhau là:
2.(n – 1 ). (n – 2 )! = 2. (n – 1 )!.
Vậy số hoán vị 2 phần tử đã cho không đứng cạnh nhau là:
n! – 2. (n – 1)! = (n – 1)!.(n – 2 )
Kí hiệu:
Số hoán vị của n phần tử khác nhau lấy r phần tử, kí hiệu là nPr .
7 . 6 . 5 .  4 . 3 . 2 . 1
=
 4 . 3 . 2 . 1

7

P3 = 7 . 6 . 5 =

n

P5 = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)

7!

4!

= n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)[(n-5)(n-6) … (3)(2)(1)]
[(n-5)(n-6) … (3)(2)(1)]
=
n

n!
(n-5)!

Pr = n(n-1)(n-2)(n-3) ... (n-r+1)
= n(n-1)(n-2)(n-3) … (n-r+1)(n-r)(n-r-1)]
[(n-r)(n-r-1) … (3)(2)(1)]
=

n!
(n – r)!

12


Định lý:

Số hoán vị của n phần tử khác nhau lấy r phần tử tại một thời điểm
hoặc số hoán vị của r phần tử lấy từ n phần tử khác nhau.
Khi đó, 0  r  n đƣợc kí hiệu là nPr và đƣợc cho bởi:
n
n!
Pr = n(n-1)(n-2) ... (n-r+1) =
(n – r)!

Chú ý:
(1) nPn =
(2) nP0 =

n!
(n – n)!

n!
0!

=

n!
(n – 0)!

=

n!
n!

= n!

=1

1.3. Tổ hợp
1.3.1.Định nghĩa tổ hợp
Giả sử tập A có n phần tử (n  1). Mỗi tập con gồm r phần tử của A
đƣợc gọi là một tổ hợp chập r của n phần tử đã cho.
Ví dụ: Cho 4 đối tƣợng khác nhau đƣợc dán nhãn a, b, c, d. Ta có thể
chọn từ 4 đối tƣợng khác nhau lấy 3 đối tƣợng cùng một thời điểm bởi

một số cách nhƣ sau: { a, b, c } hoặc { a, c, d }
Mỗi lựa chọn 3 đối tƣợng từ 4 đối tƣợng khác nhau đƣợc gọi là một
tổ hợp của 4 đối tƣợng lấy ra 3 đối tƣợng tại một thời điểm.
4
P3 = 24 hoán vị của việc chọn 3 trong 4 đối tƣợng khác nhau tại
cùng một thời điểm thể hiện bởi bảng sau:
Hoán vị
Tổ hợp
abc acb

bac

bca

cab

cba

{ a, b, c }

abd adb

bad

bda

dab

dba

{ a, b, d}

acd adc

cad

cda

dac

dca

{ a, c, d }

bcd bdc

cbd

cdb

dbc

dcb

{ b, c, d }

13


24 lần hoán vị đƣợc tạo thành từ 4 nhóm không giống nhau:

Mỗi nhóm gồm 3! = 6 hoán vị khác nhau với 3 đối tƣợng giống nhau
đƣợc xem nhƣ một tổ hợp từ 3 đối tƣợng không quan tâm đến
thứ tự.
4

Vậy tổ hợp chập 3 của 4 là:

P3
4
3!

Chú ý: Số tổ hợp chập r của n phần tử đƣợc kí hiệu bởi C hoặc   .
n

r

4

P3 4.3.2

3!
3!

C3 

4

n

C5 

n

n
r

P5 n(n  1)(n  2)(n  3)(n  4)
n!


5!
5!
5!(n  5)!

n

Cr 

Pr n(n  1)(n  2)...(n  r  1)
n!


r!
r!
r !(n  r )!

n

Định lý:
Tổ hợp chập r của n phần tử là một cách chọn không phân biệt

thứ tự r phần tử lấy từ tập n phần tử đã cho (mỗi phần tử không đƣợc
n

lấy lặp lại), với 0  r  n đƣợc kí hiệu bởi Cr hoặc

  và đƣợc
n
r

tính bởi:
n

Cr 

Pr n(n  1)(n  2)...(n  r  1)
n!


r!
r!
r !(n  r )!

n

Chứng minh:
Ta dễ thấy rằng sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp chỉ là có xét
hay không xét đến thứ tự các phần tử đƣợc chọn. Đối với tổ hợp ta
không xét đến yếu tố thứ tự điều đó có nghĩa nếu hoán vị r phần tử đƣợc
chọn một cách tùy ý thì tổ hợp ban đầu của chúng cũng không thay đổi,

14


Anr
n!

do đó ta có công thức: C 
r ! ( n  r )!r !
r
n

Chú ý:
n

Pn
n!

1
n!
n!

1) Cn 
n

2) C0 
n

n
3) Cnr 

n

P0 1
 1
0! 1

n!
n!

 nCr
(n  r )![n  (n  r )]! (n  r )!r !

1.3.2. Các ví dụ
Ví dụ 1: Lớp có 70 sinh viên, trong đó 40 nam và 30 nữ . Hỏi có bao
nhiêu cách chọn ngẫu nhiên 10 sinh viên nam và 10 sinh viên nữ đi dự
hội sinh viên của trƣờng?
Giải:
Số cách chọn 10 sinh viên nam trong số 40 sinh viên nam của lớp là
một tổ hợp chập 10 của 40. Do vậy có

40

C10 cách chọn.

Số cách chọn 10 sinh viên nữ trong 30 sinh viên nữ của lớp là một tổ
hợp chập 10 của 30. Do vậy có
 Theo quy tắc nhân, có

30

C10

cách chọn.

30

C10 . C10 cách chọn 20 sinh viên theo

40

yêu cầu.
Ví dụ 2: Có 3 ghế trong một hàng. Hỏi có bao nhiêu cách để 5 cậu bé
chiếm đƣợc chúng?
Giải:
Số cách bằng: 5P3 = 60
Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách có thể sắp xếp 10 ngƣời trong một hàng
1. 7 ngƣời đƣợc chọn một lần.

15


2. Tất cả 10 ngƣời đƣợc chọn một lần.
Giải:
1. Số cách bằng: 10P7 = 604800
2. Số cách bằng: 10P10 = 3628800
Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách có thể:
1. 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba và 1 giải tƣ đƣợc trao cho một lớp
20 học sinh.
2. 4 giải khuyến khích đƣợc trao cho một lớp có 20 học sinh.
3. 16 giải khuyến khích đƣợc trao cho một lớp 20 học sinh.

Giải:
1. Số cách bằng: 20P4 = 116280
2. Số cách bằng:
3. Số cách bằng:

20

C4 = 4845

20

C16 = 20C4 = 4845

Ví dụ 5: Có bao nhiêu cách có thể chọn 4 nữ từ 10 nữ nếu:
1. Nữ trẻ nhất phải đƣợc chọn.
2. Nữ trẻ nhất không đƣợc chọn.
Giải:
1. Số cách bằng: 9C3 = 84
2. Số cách bằng: 9C4 = 126 (hoặc 10C4 – 9C3 = 126 ).
Ví dụ 6: Có bao nhiêu cách có thể chọn một ủy ban gồm 4 quý ông và 5
quý bà đƣợc chọn từ 8 quý ông và 7 quý bà.
Giải:
 Số cách chọn quý ông bằng: 8C4 = 70
 Số cách chọn quý bà bằng: 7C5 = 21
Số cách chọn một ủy ban bằng: 8C4 .7C5 = 70 .21 = 1470
Ví dụ 7: Từ 7 nam và 5 nữ , một đội gồm 7 ngƣời đƣợc thành lập. Có bao
nhiêu đội khác nhau đƣợc thành lập nếu cả nam và nữ đƣợc chọn và nam

16

là chủ yếu (nam > nữ).
Giải:
TH1: 4 nam và 3 nữ
Số cách chọn một đội khác nhau bằng: 7C4 .5C3  350
TH2: 5 nam và 2 nữ
Số cách chọn một đội khác nhau bằng: 7C5.5C2  210
TH3: 6 nam và 1 nữ
Số cách chọn một đội khác nhau bằng: 7C6 .5C1  35
Tổng số đội khác nhau bằng: 350 + 210 +35 = 595
Ví dụ 8: 5 nam và 5 nữ đƣợc chọn từ 10 nam và 8 nữ thành lập một đội
gồm 5 cặp hỗn hợp chơi tennis (bóng bàn ). Tìm tổng số đội khác nhau
của các cặp khác nhau có thể thành lập.
Giải:
 Số cách chọn nam bằng: 10C5 = 252
 Số cách chọn nữ bằng: 8C5 = 56
Số cách chọn mỗi đội gồm 5 cặp bằng: 5P5 = 5! = 120
Tổng số đội khác nhau của các cặp khác nhau có thể thành lập

C5.8C5.5 P5  252.56.120  1693440

10

Ví dụ 9: Có 6 quả bóng tất cả có màu sắc khác nhau, có bao nhiêu cách
chọn
1. 4 bóng.
2. 3 bóng và sắp xếp chúng thành một hàng.
3. Đặt 2 bóng vào một hộp A, B, C.
4. Chia bóng làm 3 nhóm mỗi nhóm 2.
Giải:

1. Số cách bằng: 6C4 = 16

17


2. Số cách bằng: 6C3.3! hoặc 6P3 =120
3. Số cách bằng: 6C2 . 4C2 . 2C2  90
6

C2 . 4C2 . 2C2
 15
4. Số cách bằng:
3!

(hoặc 5 . 3 = 15 ).

1.4. Hoán vị lặp
1.4.1 Hoán vị của tập hợp có các phần tử khác nhau
Ví dụ: Cho 7 số khác nhau đƣợc dán nhãn a, b, c, d, e, f, g và ô trống nhƣ
hình vẽ:

Nếu ta cho phép bất cứ số nào trong 7 số khác nhau đƣợc nhắc lại sau
đó sắp xếp bất kì trong 7 đối tƣợng đó chọn 3 đối tƣợng cùng thời điểm.
a

a

a

c

e

c

e

c

c

Số hoán vị của 7 đối tƣợng khác nhau chọn 3 tại một thời điểm với
phép lặp đƣợc cho phép nhƣ hình sau:
7

7

7

Do vậy, số phép lặp là: 73 = 343
Nhận xét: Ở đây có sự tƣơng tự nhƣ chỉnh hợp (có thứ tự), nhƣng cho
phép sự lặp lại của các đối tƣợng.

18


Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự
k
k phần tử của n phần tử, mỗi phần tử có thể lấy lặp lại , kí hiệu: n

Ví dụ 10: Từ bảng chữ cái Tiếng Anh có thể tạo ra đƣợc bao nhiêu xâu
có độ dài n?
Giải:
Theo quy tắc nhân, vì có 26 chữ cái và vì mỗi chữ cái có thể đƣợc
dùng lại nên chúng ta có 26 xâu với độ dài n.
Ví dụ 11: Tính xác suất lấy liên tiếp đƣợc 3 quả bóng đỏ ra khỏi bình kín
chứa 5 quả đỏ và 7 quả xanh nếu sau mỗi lần lấy một quả bóng ra lại bỏ
nó trở vào bình.
Giải:
Theo quy tắc nhân, số cách lấy đƣợc 3 quả bóng đỏ là 5 3, vì mỗi lần
lấy ta có 5 quả bóng đỏ trong bình. Toàn bộ quá trình lấy có thể là 123, vì
mỗi lần lấy trong bình có 12 quả.

53
Nhƣ vậy, xác suất cần tìm là:
123
1.4.2 Hoán vị của tập hợp có các phần tử đồng nhất hay phần tử
không phân biệt
Ví dụ: Cho 4 đối tƣợng khác nhau đƣợc dán nhãn a1, a2, a3, b
4

P4 = 4! = 24 hoán vị của 4 đối tƣợng khác nhau cho dƣới bảng:

a1a2a3b

a1a3a2b

a2a1a3b

a2a3a1b

a3a1a2b

a3a2a1b

Hoán vị
của
a, a, a,b
aaab

a1a2ba3

a1a3ba2

a2a1ba3

a2a3ba1

a3a1ba2

a3a2ba1

aaba

a1ba2a3

a1ba3a2

a2ba1a3

a2ba3a1

a3ba1a2

a3ba2a1

abaa

ba1a2a3 ba1a3a2

ba2a1a3

ba2a3a1

ba3a1a2

Hoán vị của a1, a2, a3, b

19

ba3a2a1

baaa


24 hoán vị đƣợc thành lập từ 4 nhóm không giống nhau.
Nếu ta xét a1, a2, a3 là các số đồng nhất hoặc không phân biệt (ta có
thể gọi chung là a), vậy mỗi nhóm có 3! = 6 hoán vị đƣợc xem nhƣ một
phép hoán vị.
Do đó, số hoán vị của 4 đối tƣợng với 3 đối tƣợng đồng nhất là

4!
4
3!
Định lý:
Số hoán vị của n phần tử với p phần tử đồng nhất hoặc không
phân biệt đƣợc tính bởi

n!
với p  n .
p!

Số hoán vị của n phần tử, nếu có
p1 phần tử nhƣ nhau thuộc loại 1
p2 phần tử nhƣ nhau thuộc loại 2
p3 phần tử nhƣ nhau thuộc loại 3
............................................
pk phần tử nhƣ nhau thuộc loại k
ở đây p1 + p2 + ... + pk
đƣợc tính bởi

n!
với p1 + p2 + p3 +...... + pk  n.
p1 ! p2 ! p3 !... pk !

Chứng minh:
Để xác định số hoán vị trƣớc tiên chúng ta nhận thấy có:


n

C p1 cách giữ p1 chỗ cho p1 phần tử loại 1, còn lại n – p1 chỗ trống.
n  p1

C p2 cách đặt p2 phần tử loại 2 vào hoán vị, còn lại
 Sau đó có
n – p1 – p2 chỗ trống.
 Tiếp tục đặt các phần tử loại 3, loại 4,..., loại k - 1vào chỗ trống trong

20