một phương pháp xấp xỉ trong giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC



BÙI QUỐC ĐỘ

MỘT PHƢƠNG PHÁP XẤP XỈ TRONG
GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số : 60.46.01.12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:


TS . NGUYỄN ANH TUẤN


Thái Nguyên – 2014
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Mục lục
TT
Nội dung
Trang
1
Mở đầu

2
2
Chương 1: Bài toán qui hoạch tuyến tính và bài toán qui hoạch phân tuyến tính
4
3
1.1Bài toán tối ưu tổng quát
4
4
1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn
4
5
1.3 Bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương
trình tuyến tính
5
6
1.4 Một số mô hình bài toán thực tế đưa về bài toán quy hoạch tuyến tính và
phân tuyến tính
6
7
1.5 Một số khái niệm và tính chất của hàm gần lồi-gần lõm
8
8
Chương 2:Thuật toán nón xoay giải bài toán quy hoạch tuyến tính và thuật toán
kiểu đơn hình giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính

17
9
2.1. Thuật toán nón xoay giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn

17

10
2.2. Thuật toán kiểu đơn hình giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính

20
11
Chương 3:Phương pháp nón xoay xấp xỉ trong giải bài toán quy hoạch phân
tuyến tính
28
12
3.0. Bổ trợ
28
13
3.1. Bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương
trình tuyến tính
30
14
3.2.Khái niệm về nón đơn hình tuyến tính, cạnh và phương của cạnh
32
15
3.3. Bảng lặp nón xoay giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính bởi thuật toán
PTT
47
16
3.4. Nhận xét về độ phức tạp tính toán của thuật toán nón xoay PTT và kết luận
56
17
Tài liệu tham khảo
58

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Mở đầu
Bài toán quy hoạch phân tuyến tính là một bài toán có ý nghĩa trong kinh tế.
Rất nhiều bài toán thực tế trong công nghệ hóa chất, trong lý thuyết trò chơi, mạng
vận tải, bài toán cắt nguyên vật liệu, định giá thành sản phẩm, …đều đưa về bài
toán quy hoạch phân tuyến tính.
Như chúng ta đã biết, hàm mục tiêu của bài toán quy hoạch phân tuyến tính là
một hàm đơn điệu theo đoạn thẳng, nửa đường thẳng và cả đường thẳng nằm trên
miền xác định của nó. Vì vậy ta có thể xây dựng thuật toán kiểu đơn hình giải bài
toán quy hoạch phân tuyến tính.
Trong cuốn sách “Các phương pháp tối ưu hóa”([6]) đã đưa ra một thuật toán
kiểu đơn hình giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ
phương trình tuyến tính. Luận văn này xây dựng một thuật toán xấp xỉ trong giải
bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình
tuyến tính. Thuật toán này được xây dựng dựa trên khái niệm nón xoay trình bày
trong sách “quy hoạch tuyến tính với phương pháp nón xoay” ([1]), nó gần giống
với thuật toán nón xoay tuyến tính (thuộc lược đồ xấp xỉ ngoài) giải bài toán quy
hoạch tuyến tính dạng chuẩn đã đề nghị, chỉ khác là các đỉnh của nón xoay dịch
chuyển trong thuật toán này nằm trong miền ràng buộc (thuộc lược đồ xấp xỉ
trong).
Cơ sở lý luận để xây dựng thuật toán là dựa trên tính gần lồi-gần lõm của hàm
mục tiêu bài toán quy hoạch phân tuyến tính. Vì vậy trong hai chương đầu của
luận văn sẽ đề cập đến các khái niệm cơ bản và các tính chất của hàm gần lồi-gần
lõm và thuật toán nón xoay tuyến tính giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng
chuẩn. Nội dung chính của luận văn là đề nghị thuật toán giải bài toán quy hoạch
phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến tính.
Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1 trình bày bài toán quy hoạch tổng quát, các khái niệm cơ bản về tập
lồi, một số mô hình bài toán thực tế đưa về bài toán quy hoạch tuyến tính dạng

chuẩn và quy hoạch phân tuyến tính cùng với một số khái niệm và tính chất của
hàm gần lồi-gần lõm mà các hàm tuyến tính và phân tuyến tính đều thuộc lớp hàm
đăc biệt này.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Chương 2 trình bày thuật toán nón xoay tuyến tính[1] giải trực tiếp bài toán quy
hoạch tuyến tính dạng chuẩn khi biết một nón-min của hàm mục tiêu bài toán và
thuật toán kiểu đơn hình giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng
buộc là hệ phương trình tuyến tính[6].
Chương 3 dựa trên khái niệm nón xoay xây dựng thuật toán xấp xỉ trong giải
trực tiếp bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phương
trình tuyến tính và các ví dụ bằng số minh hoạ cho thuật toán. Trong trường hợp
đặc biệt mẫu số của hàm mục tiêu bài toán đồng nhất bằng một thì hàm mục tiêu
bài toán trở thành hàm tuyến tính và thuật toán đề nghị trở thành một thuật toán
giải trực tiếp bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn tổng quát.
Thuật toán nón xoay này thuộc lược đồ xấp xỉ trong giải bài toán quy hoạch
phân tuyến tính khi biết một điểm chấp nhận được của miền ràng buộc là hệ bất
phương trình tuyến tính. Nó được xây dựng chi tiết, các bước của thuật toán được
trình bày sao cho chúng ta có thể dễ dàng lập trình chuyển sang các chương trình
trên máy tính bằng các ngôn ngữ như Pascal, C, Java,
Luận văn này hoàn thành dựa trên các cuốn sách “Quy hoạch gần lồi - gần lõm
ứng dụng vào quy hoạch tuyến tính” [2] và cuốn “Quy hoạch tuyến tính với
phương pháp nón xoay” [1] và trên các sách, tài liệu có trong phần tài liệu tham
khảo.
Tác giả
Bùi Quốc Độ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

CHƢƠNG 1
BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
VÀ BÀI TOÁN QUY HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH
1.1Bài toán tối ƣu tổng quát
Bài toán tối ưu tổng quát được phát biểu như sau .
Cực đại hoá (cực tiểu hoá) hàm : f(x) max ( min ) (1.1)
với các điều kiện
g , , b , 1, ,
ii
x i m
(1.2)

n
X x 
(1.3)
Bài toán (1.1 ) – (1.3) được gọi là một quy hoạch, hàm f( ) được gọi là hàm
mục tiêu, các hàm
g , 1, ,
i
x i m
được gọi là các hàm ràng buộc, mỗi đẳng thức
trong hệ (1.2) được gọi là một ràng buộc.
Tập hợp :

/ , , , 1, ,

ii
D x X g x b i m
(1.4)
Được gọi là miền ràng buộc ( hay miền chấp nhận được ) . Mỗi điểm :
12
, , ,
n
x x x x D
được gọi là một phương án ( hay một lời giải chấp nhận
được ). Một phương án
*
xD
đạt cực đại ( hay cực tiểu ) của hàm mục tiêu, cụ
thể là:
*
,f x f x x D
( đối với bài toán Max )
*
,f x f x x D
( đối với bài toán Min )
Được gọi là phương án tối ưu ( lời giải tối ưu ). Khi đó giá trị
*
fx
được gọi là
giá trị tối ưu của bài toán .
1.2. Bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Bài toán qui hoạch tuyến tính sau đây gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính dạng
chuẩn tổng quát:

1
( ) , . min
()
: : , 0, 1,2, ,
n
ii
i
ni
Li
f x C x c x
L
x P x R A x b i m

x
n

, A
i
là véc tơ dòng và A
i
n

, m n, A
i
(a
i1
, a
i2
, , a
in

) ≠ O(0,…,0) ,
C(c
1
, c
2
, …, c
n
), b
i
1

, i=1, 2, , m. Hạng của hệ A
i
(i=1, 2, …, m) bằng n, giả
thiết này rất bình thường bởi miền ràng buộc P
L
của bài toán quy hoạch tuyến tính
bao giờ cũng có ràng buộc về dấu của biến x.
Rõ ràng bài toán quy hoạch tuyến tính bất kỳ đều dễ dàng đưa về dạng trên để
giải
1.3. Bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền ràng buộc là hệ bất phƣơng
trình tuyến tính
Bài toán quy hoạch sau đây gọi là bài toán quy hoạch phân tuyến tính với miền
ràng buộc là hệ bất phương trình tuyến:
1
2
()
( ) min
()
()

: : , 0, 1,2, ,
ni
i
Lx
fx
Lx
P
x P x A x b i m

Trong đó
0
10
,L x A x b
,
0
20
,L x C x d
, A
0
,A
i
,C
0
, x
n

, A
0
,A
i

,C
0
là
các véc tơ dòng , m n,A
0
(a
01
, a
02
,

…, a
0n
), C
0
(c
01
, c
02
,

…, c
0n
), A
i
(a
i1
, a
i2
, , a

in
) ≠
O(0,…,0) , b
i
1

, i=1, 2, , m. Hạng của hệ A
i
(i=1, 2, …, m) bằng n, giả thiết
này rất bình thường bởi miền ràng buộc P của bài toán quy hoạch phân tuyến tính
bao giờ cũng có ràng buộc về dấu của biến x.

Rõ ràng các bài toán quy hoạch phân tuyến tính bất kỳ đều có thể đưa về dạng
trên với một vài giả thiết thông thường khác như là L
2
(x) ≠ 0 trên miền xác định P.
1.4. Một số mô hình bài toán thực tế đƣa về bài toán quy hoạch tuyến tính và
phân tuyến tính:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

1.4.1. Bài toán lập kế hoạch sản xuất
Giả sử một xí nghiệp sản xuất n loại sản phẩm và sử dụng m loại nguyên liệu
khác nhau, c
j
là lãi suất (hay giá bán) đối với một đơn vị sản phẩm j (j =1,…, n),
ij
a

là suất chi phí tài nguyên loại i để sản xuất một đơn vị sản phẩm loại j,
i

b
là lượng
dự trữ tài nguyên loại i (i = 1,…,m). Gọi x
j
là lượng sản phẩm loại j (j = 1,…, n) mà
xí nghiệp sản xuất. Trong các điều kiện đã cho, hãy xác định các giá trị
j
x
(j =
1,…, n) sao cho tổng tiền lãi (hay tổng giá trị sản lượng hàng hóa) là lớn nhất với
số tài nguyên hiện có.
Mô hình toán học có dạng bài toán quy hoạch tuyến tính sau:
n
j
jj
xc
1
max

với các điều kiện
n
j
ijj
bxa
1

mi , ,1

0
j

x
,
nj , ,1

1.4.2. Bài toán cái túi
Một người du lịch muốn đem theo một cái túi có thể đựng được các đồ vật nặng
không quá b kilogam. Có n loại đồ vật mà anh ta dự định đem theo. Mỗi một đồ vật
loại j có khối lượng
j
a
kilogam và giá trị
.
j
c
Người du lịch muốn chất vào túi các
đồ vật sao cho tổng giá trị đồ vật đem theo là lớn nhất.
Ký hiệu
j
x
là số đồ vật loại j sẽ chất vào túi. Ta có bài toán sau:
max
1
n
j
jj
xc

bxa
n
j

jj
1

,0
j
x

nj , ,1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

j
x
- nguyên,
nj , ,1

Đây là một bài toán quy hoạch nguyên.
1.4.3. Bài toán mua (thuê) máy bay tối ƣu:
Để mở rộng hoạt động, hãng hàng không dự định mua hoặc thuê K loại máy bay
(B777, B767, A321, A330, A320, AT7, ) ta gọi tương ứng là loại máy bay k (k=1,
2, …, K). máy bay loại k có giá mua (thuê) là c
k
và có thời gian sử dụng là T
k
năm.
Hãng đự định mua (thuê) tối đa là N máy bay trong các loại máy bay trên với số
vốn đầu tư hiện có là V , Bài toán cần giải quyết là hãng hàng không nên mua bao
nhiêu máy bay mỗi loại để tổng thời gian sử dụng là nhiều nhất?
Ta gọi x
k

là số lượng máy bay loại k cần mua, khi đó mô hình bài toán đặt ra là:

1
. ax
K
kk
k
M T x m
(1.5)
Với các ràng buộc:

1
K
k
k
xN


1
.
K
kk
k
c x V


0, 1,2, ,
k
x k K
, nguyên

Đây là một bài toán quy hoạch nguyên.
1.4.4. Bài toán định giá thành sản phẩm[6]
Giả sử p
j
là năng suất của phương pháp T
j
(j=1, 2, …, n) (tức là số lượng sản
phẩm được sản xuất trong một đơn vị thời gian), r
j
là chi phí trong một đơn vị thời
gian đối với phương pháp T
j
, x
j
là số đơn vị thời gian sản xuất theo phương pháp
T
J
. như vậy giá thành của một đơn vị sản phẩm là:
11
( ) /
nn
j j j j
jj
c x c x p x

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Bài toán đặt ra là cực tiểu hàm c(x) với các ràng buộc về vật tư, lao động, kỹ
thuật, vốn, ….
1.4.5. Bài toán vận tải phân tuyến tính

Giả sử ta có m địa điểm phát hàng (kho hàng) A
i
(i=1, 2, …, m), mỗi địa
điểm phát hàng i có thể cung cấp tối đa a
i
đơn vị hàng . Và n địa điểm nhận hàng
(nơi tiêu thụ) B
j
(j=1, 2, …,n), mỗi địa điểm nhận hàng j cần phải nhận tối thiểu b
j

đơn vị hàng. p
ij
là lợi nhuận thu được khi vận chuyển một đơn vị hàng từ A
i
đến B
j

d
ij
là chi phí vận chuyển một đơn vị hàng từ A
i
đến B
j
. p
0
và d
0
là các lợi nhuận và
chi phí khác ngoài vận chuyển.

Gọi x
ij
là số lượng hàng cần vận chuyển từ A
i
đến B
j
. khi đó bài toán đặt ra là:
ij ij 0
11
1
2
ij ij 0
11
()
( ) ( ) min
()
mn
ij
mn
ij
p x p
Lx
L f x
Lx
d x d

Với các ràng buộc
1
ij
i=1

ij
, 1.2, ,
, 1,2, ,
0, 1,2, , ; 1,2, , .
n
ij i
j
m
j
x a i m
x b j n
x i m j n

1.5. Một số khái niệm và tính chất của hàm gần lồi-gần lõm
Trong mục này chúng ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của một
lớp hàm có liên quan mật thiết với hàm tuyến tính và phân tuyến tính. Như chúng
ta đã biết một hàm gần lồi liên tục (không nhất thiết khả vi) thì cực tiểu địa phương
là cực tiểu tuyệt đối trên miền xác định của nó, còn một hàm gần lõm thì nếu nó có
cực tiểu trên miền xác định của nó và miền xác định có điểm cực biên thì cực tiểu
sẽ đạt tại ít nhất một đỉểm cực biên của miền xác định. Chính vì thế ta có thể dựa
trên các khái niệm và tính chất của hàm gần lồi-gần lõm nhắc lại dưới xây dựng
các thuật toán kiểu đơn hình để giải bài toán cực tiểu hàm gần lồi-gần lõm trên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

miền ràng buộc thuyến tính ([1],[2]). Rõ ràng hàm tuyến tính và phân tuyến tính
đều thuộc lớp hàm gần lồi-gần lõm trên miền xác định. Chính vì thế ta có thể cải
tiến các thuật toán đã đề nghị trong [1] và [2] để xây dựng các thuật toán giải cho
bài toán quy hoạch phân tuyến tính và tuyến tính.
1.5.1. Tập lồi đa diện
Định nghĩa : Một tập lồi mà là giao của một số hữu hạn nửa không gian đóng

gọi là tập lồi đa diện.Nói cách khác, đó là tập nghiệm của một hệ hữu hạn các bất
phương trình tuyến tính :

n
, , 1, , ( ,b )
ii
ii
a x b i m a 
(1.4)
nghĩa là tập các nghiệm đúng
Ax b
với là một ma trận cấp m*n và
m
b 

Vì một phương trình tuyến tính có thể biểu diễn tương đương bằng hai bất
phương trình tuyến tính nên một tập lồi đa diện cũng là tập nghiệm của một hệ các
phương trình và bất phương trình tuyến tính :

,
i
i
a x b
, = 1,…,

, , 1, ,
i
i
a x b i p m

Hạng của hệ bất phương tuyến tính (1.4) được định nghĩa bằng hạng của ma
trận A. Nếu hạng của hệ này bằng thì ta nói hệ độc lập tuyến tính.
Một tập lồi đa diện có thể không bị chặn ( không giới nội ). Một tập lồi đa
diện mà đồng thời là một nón lồi ( tương ứng với trường hợp b=0) gọi là một nón
lồi đa diện.Một tập lồi đa diện bị chặn còn được gọi là một đa diện lồi. Các đa giác
lồi theo nghĩa thông thường trong
2

là những ví dụ cụ thể về đa diện lồi.
Mỗi điểm cực biên của một tập lồi đa diện còn được gọi là một đỉnh của nó.
Tập các đỉnh của C ký hiệu là

c
. Mỗi cạnh vô hạn của một tập lồi đa diện tương
ứng với một phương cực biên của nó.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Cho tập lồi đa diện
D
xác định bởi hệ bất phương trình tuyến tính (1.4).
Khi đó mỗi bất phương trình (1.4) gọi là một ràng buộc của D. Ta nói điểm
0
Dx
thoả mãn chặt ràng buộc
*
i
nếu
*
i0
a,

i
xb
.
Với mỗi
Dx
ký hiệu
I : ,
i
i
x i a x b
là tập chỉ số của những ràng
buộc thoả mãn chặt tại x.
Ký hiệu
0
I : ,
i
i
i a x b x D
. Tính chất đặc trưng của các diện ( nói
riêng, các đỉnh và cạnh ) của D được cho trong định lý sau :
Định lý 1.5.1 Một tập con khác rỗng
FD
là một diện thực sự của D khi và chỉ
khi
: , , , ,
ii
ii
F x a x b x a x b i I

Với I là một tập chỉ số sao cho

01
1, ,I I m
(I – tập chỉ số xác định diện F).
Hơn nữa ,ta có :
dimF=n- rank
i
aI
và
0
dimD rank
i
n a I

Hệ quả : Nếu D là một tập lồi đa diện xác định bởi hệ (1.4) thì :
a) Điểm
0
xD
là một đỉnh của D khi và chỉ khi
0
rank :ix I
i
a x n
nghĩa là
0
x
thoả mãn chặt n ràng buộc độc lập
tuyến tính của hệ (1.4).
b) Nếu một đoạn thẳng ( nửa đường thẳng hay cả đường thẳng )
TD
là một cạnh của D thì T được xác định bởi một tập chỉ số I sao

cho :
1
i
rank a I n

Tức là mọi
xT
cùng thoả mãn chặt n-1 ràng buộc độc lập tuyến tính của hệ
(1.4).
Mỗi tập lồi đa diện chỉ có một sô hữu hạn đỉnh và cạnh ( hữu hạn hay vô hạn ).
Trong
n

một đa diện lồi có
1(0 )k k n
đỉnh độc lập afin gọi là một
k – đơn hình.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Định lý 1.5.2
a) Mỗi đa diện lồi C bằng bao lồi của tất cả các đỉnh của nó C=convC hay
xC
khi và chỉ khi :
12
12
x
p
p
v v v
với mọi

1
0, 1
ip
và
1, ,
i
vp
là
các đỉnh của C.
b) Với tập lồi đa diện không giới nội , mỗi có thể biểu diễn dưới dạng
một tổ hợp lồi của các đỉnh của cộng với một tổ hợp tuyến tính không âm của
các phương cực biên của C , nghĩa là :
1 2 1 2
1 2 1 2
x
pp
pp
C x v v v u u u

Với mọi
1
0, 1, 0, , 0
i p j
pq
là số nguyên,
i
v
là các đỉnh
của
1, , , 1, ,

i
C i p u j q
là phương của các cạnh vô hạn của C
Với tập lồi đa diện không có đỉnh thì biểu diễn trên chỉ cần các
i
vC
và các

i
u recC
.
Định lý trên cho thấy ứng với mỗi tập lồi đa diện cho trước có hai nhóm hữu
hạn véctơ, sao cho tập lồi ấy chính là tập tất cả các điểm có thể biểu diễn thành
tổng của một tổ hợp lồi của các véctơ thuộc nhóm thứ nhất và một tổ hợp tuyến
tính không âm của các véctơ thuộc nhóm thứ hai. Các véctơ trong nhóm thứ nhất
đều thuộc ,các véctơ trong nhóm thứ hai đều là các phương vô hạn của .
Ngược lại, có thể chứng minh được rằng nếu cho trươc hai nhóm hữu hạn
véctơ thì tập tất cả các điểm có thể biểu diễn như trên xác định một tập lồi đa diện.
1.5.2. Một số khái niệm cơ bản liên quan đến hàm gần lồi-gần lõm
Hàm phân tuyến tính và tuyến tính là các hàm gần lồi – gần lõm trên miền xác
định trong R
n
([1], [2]). Do đó các kết quả lý thuyết cũng như phương pháp tìm cực
tiểu đối với hàm gần lồi-gần lõm đưa ra trong sách “Quy hoạch gần lồi-gần lõm
ứng dụng vào quy hoạch tuyến tính” ([1]) có thể áp dụng đối với hàm phân tuyến
tính và hàm tuyến tính. Chính vì vậy, trước khi trình bày bài toán quy hoạch phân
tuyến tính và thuật toán nón xoay giải nó, chúng ta nhắc lại một số khái niệm, định
nghĩa, các định lý, hệ quả và các tính chất cơ bản của hàm gần lồi-gần lõm đã trình
bày trong sách “Quy hoạch gần lồi-gần lõm ứng dụng vào quy hoạch tuyến tính”
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

([1]). Việc chứng minh các định lý, hệ quả và các tính chất này đã trình bày trong
cuốn sách nói trên.
Định nghĩa 1.1:
Hàm f:
n1

là một hàm tựa lõm (quasi-concave) nếu x, y
n

, và
[0, 1] ta luôn có:
f( .x +(1- ).y ) min{f(x), f(y)}
Định nghĩa 1.2:
Hàm f:
n1

là một hàm tựa lồi (quasi-convex) nếu x, y
n

, và
[0, 1] ta luôn có:
f( .x + (1- ).y ) max{f(x), f(y)}
Định nghĩa 1.3:
Hàm f:
n1

là một hàm gần lõm (almost-concave) nếu nó là một hàm tựa
lõm và thoả mãn f( .x + (1- ).y )>min{f(x), f(y)} x, y R
n

, f(x) f(y)
và (0, 1).
Định nghĩa 1.4:
Hàm f:
n1

là một hàm gần lồi (almost-convex) nếu nó là một hàm tựa lồi
và thoả mãn f( .x + (1- ).y )<max{f(x), f(y)} với mọi x, y
n

, f(x) f(y) và
(0, 1).
Định nghĩa 1.5: Hàm f:
n1

được gọi là một hàm gần lồi - gần lõm (almost-
convex and almost-concave) nếu nó vừa là một hàm gần lồi vừa là một hàm
gần lõm.
Tính chất 1.1. Min{f(x), f(y)} f( .x + (1- ).y) max{f(x), f(y)}, x, y ,
n

và
[0, 1].
Từ các định nghĩa trên ta suy ra một số tính chất sau của hàm vừa tựa lồi vừa tựa
lõm:
S húa bi Trung tõm Hc liu

Tớnh cht 1.2. Nu f(x) = f(y) thỡ f(x) = f( .x + (1- ).y) = f(y) [0,1].
Nu f l mt hm gn li-gn lừm thỡ nú s tho món cỏc tớnh cht:
Tớnh cht 1.3. Nu f(x) = f(y) thỡ f(x) = f( .x + (1- ).y ) = f(y),

1

.
Tớnh cht 1.4. f(x) f(y) thỡ min{f(x), f(y)} < f( .x + (1- ).y) < max{f(x), f(y)}, x,
y
n

, v (0, 1).
Ta cú th chng minh c rng nu f l mt hm gn li thỡ cc tiu a phng
l cc tiu ton cc.
Các định lý sau đây là cơ sở lý luận cho việc xây dựng thuật toán sau ny.
nh lý 1.5.3.
Nu f l mt hm gn li - ta lừm, v f(x) f(y) i x y,
thỡ f(x) f(x + .(y - x)) 0
nh lý ny cho ta kt lun rng hm f gn li-ta lừm v x y, m
f(x) < f(y) thỡ x l im cc tiu ca f trờn tia x + .(y - x) 0.
H qu 1.1:
Nếu f là một hàm gần lồi - tựa lõm, và f(x) f(x+z) đối x, z 0, thì
f(x) f(x + .z) 0
nh lý 1.5.4.
Gi s f l hm liờn tc , gn li - ta lừm v z l mt im tu ý thuc R
n
,
Nu f(y) f(x) v f(x +z) f(x) thỡ f(y + .z) f(y) f(y - .z) 0.
nh lý 1.5.5. Nu f l mt hm va ta li va ta lừm trờn
n

v z
1
, z

2
, , z
N

l cỏc im bt k thuc
n

ta luụn cú:
min{f(z
1
), , f(z
N
)} f(
1
.z
1
+ +
N
.z
N
) max{f(z
1
), , f(z
N
)}
i
[0, 1];
1
1
N

i
i
; i=1, 2, , N
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

1.5.3. Khái niệm về miền ràng buộc tuyến tính không bị chặn, phƣơng vô hạn
chấp nhận đƣợc và hƣớng tăng, giảm của hàm gần lồi-gần lõm
Ta gọi
n
: : , 0, 1,2, ,
i
i
P x A x b i m

A
i
là véc tơ dòng và A
i

n

, m n, A
i
(a
i1
, a
i2
, , a
in
), b

i

1

, i=1, 2, , m.
Tập P xác định như trên gọi là miền ràng buộc tuyến tính và nó là một miền lồi.
Ở đây chúng ta ký hiệu
1
, . ,
n
ii
i
X Y x y
với
1 2 1 2
: ( , , , ), : ( , , , )
nn
X x x x Y y y y

Định nghĩa 1.6: Miền ràng buộc tuyến tính P được gọi là không bị chặn nếu nó tồn
tại một điểm chấp nhận x
0
thuộc P và một điểm z ≠ 0 sao cho

x
0
+

.z P, 0,
khi đó điểm z được gọi là phương vô hạn chấp nhận của P tại x

0
. Tập hợp các điểm
x = x
0
+

.z, 0 gọi là tia vô hạn chấp nhận được của P.
Từ định nghĩa này chúng ta dễ dàng chứng minh được các tính chất sau:
Tính chất 1.5: z≠O là một phương vô hạn chấp nhận được tại x
0
P khi và chỉ khi:
, 0, 1,2, ,
i
A z i m
.
Tính chất 1.6: Nếu z là một phương vô hạn chấp nhận được tại x
0
P thì z là
phương vô hạn chấp nhận được tại mọi điểm x P.
Định nghĩa 1.7:
1. Điểm z ≠ 0 được gọi là một hướng tăng từ x
0
của hàm gần lồi – gần lõm f nếu
f(x
0
) < f( x
0
+

.z ) >0, hay ta nói f tăng theo hướng z từ x

0
.
2. Điểm z ≠ 0 được gọi là một hướng giảm từ x
0
của hàm gần lồi – gần lõm f nếu
f(x
0
) > f( x
0
+

.z ) >0, hay ta nói f giảm theo hướng z từ x
0
.
Từ các định nghĩa trên ta suy ra một vài tính chất sau
3. Điểm z ≠0 gọi là hướng không đổi của f từ x
0
, nếu f(x
0
)=f(x
0
+

.z ), α
1

.
Định lý 1.5.6. Nếu tồn tại
1
> 0 mà f(x) < f(x+

1
.z) thì z là một hướng tăng từ x
của hàm gần lồi-gần lõm f .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Hệ quả 1.2:Nếu f(x)<f(x+z) thì z là một hướng tăng từ x của hàm gần lồi-gần lõm
f .
Định lý 1.5.7. Nếu tồn tại
1
> 0 mà f(x) > f(x+
1
.z) thì z là một hướng giảm từ x
của hàm gần lồi-gần lõm f .
Hệ quả 1.3: Nếu f(x)>f(x+z) thì z là một hướng giảm từ x của hàm gần lồi-gần
lõm f
Định nghĩa 1.8.
Hàm gần lồi – gần lõm f được gọi là không bị chặn trên
n

nếu
0z
và
n
x 
ta có:
1)
lim
f( x+

.z ) = +∞ , với z là hướng tăng từ x của hàm f.

2)
lim
f( x+

.z ) = -∞ , , với z là hướng giảm từ x của hàm f.
Định lý 1.5.8 f:
n1

là hàm gần lồi-gần lõm, nếu f(x
0
) ≤ f( x
0
+

z ). thì
f(x) ≤ f( x+

.z ), α >0, x
n

.
Định lý 1.4.8 cho ta kết luận rằng nếu z là một hướng không giảm của f tại x
0
thì
nó cũng là một hướng không giảm của f tại mọi điểm x thuộc
n

. Do đó ta gọi z là
một hướng không giảm của hàm f. Từ định lý 1.4.8 ta dễ dàng chứng minh được hệ
quả sau.

Hệ quả 1.4: f:
n1

là hàm gần lồi-gần lõm,nếu f(x
0
) > f( x
0
+

z) ,. thì z là một
hướng giảm của hàm f ,
n
x 
, tức là f(x)>f(x+ .z),
0,
n
x 
. Và ta gọi z là
một hướng giảm của hàm f.
Hệ quả 1.5: f:
n1

là hàm gần lồi-gần lõm, z≠0 .là một hướng giảm của hàm
f khi và chỉ khi: f(0)>f( .z),
0

Hệ quả 1.6: f:
n1

là hàm gần lồi-gần lõm,nếu f(x

0
) < f( x
0
+

z) ,. thì z là một
hướng tăng của hàm f ,
n
x 
, tức là f(x)<f(x+ .z),
0,
n
x 
. Và ta gọi z là
một hướng tăng của hàm f.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Hệ quả 1.7: f:
n1

là hàm gần lồi-gần lõm, z≠0 .là một hướng tăng của hàm
f khi và chỉ khi: f(0)<f( .z),
0

Hệ quả 1.8.
f:
n1

là hàm gần lồi-gần lõm, và f(x)>f(y) thì z = x – y là một hướng tăng
của hàm f và z= y - x là một hướng giảm của hàm f.

Từ định lý 1.4.8 và hệ quả 1.4, chúng ta dễ dàng có hệ quả dưới đây.
Hệ quả 1.9. f:
n1

là hàm gần lồi-gần lõm, nếu z≠0 và f(x
0
)= f( x
0
+

z ), tức z
là một hướng không đổi của f tại x
0
thì z là một hướng không đổi của hàm f tại mọi
điểm x thuộc
n

, tức là f(x)=f(x + .z),
1n
, x
. Và ta nói z là một hướng
không đổi của hàm f.
Hệ quả 1.10. f:
n1

là hàm gần lồi-gần lõm, z≠0 .là một hướng không đổi
của hàm f khi và chỉ khi: f(0)=f( .z),
1

và

0
.
Từ tính chất thứ 1.2 và hệ quả 1.9 ta có thể chứng minh dễ dàng hệ quả sau:
Hệ quả 1.11
Nếu x ≠ y mà f(x)=f(y) thì
1
,R
0
chúng ta có z = α.( x – y), là hướng
không đổi của hàm f và
n1
( ) ( .( )), ,f u f u x y u 

Hệ quả 1.12. f:
n1

là hàm gần lồi-gần lõm, z≠0 .là một hướng không giảm
của hàm f khi và chỉ khi: f(0)≤f( .z),
1

và
0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu







CHƢƠNG 2
THUẬT TOÁN NÓN XOAY GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH
VÀ THUẬT TOÁN KIỂU ĐƠN HÌNH GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH
PHÂN TUYẾN TÍNH
Trước khi xây dựng thuật toán xấp xỉ ngoài giải bài toán quy hoạch phân tuyến
tính dựa trên khái niệm nón xoay đề nghị trong [1] và [2], chúng ta trình bày thuật
toán nón xoay tuyến tính giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn dựa trên
khái niệm nón xoay đề nghị trong [1] và thuật toán kiểu đơn hình giải bài toán quy
hoạch phân tuyến tính với ràng buộc là hệ phương trình tuyến tính trình bày trong
[4].
2.1. Thuật toán nón xoay giải bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn

Xét bài toán qui hoạch tuyến tính sau đây gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính
dạng chuẩn tổng quát:
1
n
( ) , . min
()
: : , 0, 1,2, ,
n
ii
i

i
Li
f x C x c x
L
x P x A x b i m

x
n

, A
i
là véc tơ dòng và A
i
,
n

m n, A
i
(a
i1
, a
i2
, , a
in
) ≠ O(0,…,0) ,
C(c
1
, c
2
, …, c

n
), b
i
1

, i=1, 2, , m. Hạng của hệ A
i
(i=1, 2, …, m) bằng n, giả
thiết này rất bình thường bởi miền ràng buộc P
L
của bài toán quy hoạch tuyến tính
bao giờ cũng có ràng buộc về dấu của biến x.
2.1.1 Phƣơng pháp nón xoay tuyến tính:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Một áp dụng hay chính xác hơn là một biến thể quan trọng của phương pháp nón
– min giải bài toán qui hoạch gần lồi-gần lõm đề nghị trong cuốn sách “Quy hoạch
gần lồi-gần lõm ứng dụng vào quy hoạch tuyến tính” (NXB Khoa học và kỹ thuật
năm 2011) ([1]) trình bày dưới đây sẽ cho chúng ta một phương pháp giải trực tiếp
bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn với cơ sở xuất phát từ đỉnh một nón-min
của hàm mục tiêu gọi là phương pháp nón xoay tuyến tính được thể hiện dưới dạng
thuật toán chi tiết.
Thông thường việc biết một nón-min của bài toán nói chung không khó khăn
gì. Chẳng hạn trong trường hợp miền ràng buộc P
L
của bài toán (L) là đa diện, ta
có thể dễ dàng chỉ ra được một chóp đơn hình với n+1 đỉnh đã biết chứa P
L
, đỉnh
nào của chóp đơn hình này có giá trị của hàm mục tiêu nhỏ nhất tại đó so với các

giá trị của hàm mục tiêu tại các đỉnh còn lại của chóp thì nón chứa chóp đơn hình
tương ứng với đỉnh này chính là một nón-min của bài toán (L).
Thuật toán đề nghị giải trực tiếp bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn trình
bày ở đây chính là một biến thể của thuật toán nón-min giải bài toán quy hoạch gần
lồi - gần lõm nói trên với miền ràng buộc thuộc dạng bất phương trình tuyến tính(
[1]).
Xét bài toán (L) trong trường hợp biết một nón – min của bài toán (L).
Ý tưởng của thuật toán nón xoay tuyến tính giải bài toán (L) như sau:
Xuất pháp từ một nón-min M ban đầu của hàm mục tiêu bài toán, chúng ta
kiểm tra xem đỉnh của nó có thuộc miền chấp nhận của bài toán không (tức là đỉnh
này có thoả mãn tất cả các ràng buộc không) nếu đỉnh này thuộc miền chấp nhận
thì nó là một lời giải của bài toán (L). Ngược lại ta xây dựng nón xoay mới M(r,s)
(vẫn là nón-min) từ nón cũ M của bài toán (L) và lặp lại quá trình kiểm tra nón
xoay mới này tương tự như đối với nón M, quá trình này được thực hiện cho đến
khi đỉnh của nón xoay mới M(r,s) thuộc miền chấp nhận của bài toán (L) ( khi
miền ràng buộc của bài toán (L) có phương án) hoặc sẽ phát hiện ra miền ràng
buộc của bài toán (L) là rỗng.
2.1.2. Thuật toán nón xoay tuyến tính
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Bước chuẩn bị (bước 0).Giả sử ta đã biết M
0
là nón - min của bài toán (L) với tập
chỉ số cơ sở là I
0
:={
0 0 0
12
, , ,
n

i i i
}, x
0
=
0
M
x
là đỉnh của M
0
và các véc tơ chỉ phương
của các cạnh i của nón M
0
là
0
i
z
=
0
i
M
z
(i I
0
).
Bước k ( k=0, 1, 2, ). Giả sử M
k
là nón - min của bài toán (L) (đã được xây
dựng), với tập chỉ số cơ sở , đỉnh và các véc tơ chỉ phương của các cạnh của nón
M
k

tương ứng là I
k
:=
12
, , ,
k k k
n
i i i
; x
k
=
k
M
x
và
i
k
z
=
k
i
M
z
.
Xác định tập J
+
(x
k
) như sau:
( ): 1,2, , : , 0

k j k
j
J x j m A x b

1. Nếu J
+
(x
k
) = thì dừng. x
k
chính là một lời giải của bài toán (L),
2. Nếu J
+
(x
k
) , ta chọn chỉ số đưa vào cơ sở theo một trong hai cách sau:
Ta chọn s
k
là một chỉ sô tuỳ ý thuộc J
+
(x
k
)
hoặc ta chọn s
k
=min{j:j J
+
(x
k
)} (gọi là qui tắc chọn min) (2.1)

hoặc s
k
= max{j: j J
+
(x
k
) (gọi là qui tắc chọn max)
và xác định:
: : , 0
kk
ss
i
kk
I i I A z
;
12
: : , 0 , , ,
k k k
k k k k
s s s
kk
ik
k s s s q
I i I A z i i i
, (2.2)
2.1. Nếu
k
s
I
= thì dừng lại, suy ra bài toán (L) không có phương án.

2.2. NÕu
k
s
I

:
Gọi

k
s
V
:={
,,
: min{ }
,,
k
s
k
kk
vi
kk
s
ss
vi
iI
kk
C z C z
vI
A z A z
} (2.3)

và chọn chỉ số đưa ra khỏi cơ sở theo một trong hai cách sau:
Ta chọn r
k
là chỉ số tuỳ ý thuộc
k
s
V
.
hoặc ta chọn
r
k
= min{v: v
k
s
V
} hoặc r
k
= max{v: v
k
s
V
} (2.4)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

(cách chọn chỉ số này gọi là qui tắc chọn min (hoặc là qui tắc chọn max)) .
Và ta xây dựng nón xoay M
k+1
= M
k
(r

k
, s
k
) sinh ra từ nón-min M
k
([1]), tập chỉ số
cơ sở là I
k+1
= I
k
(r
k
, s
k
) = (I
k
{s
k
}) \ {r
k
}; và các véc tơ chỉ phương
1
i
k
z
được xác
định theo:
0
1

,
( . ) ,
,
1
.
,
k
kk
kk
k
kk
i
kk
s
i
k
rs
ii
k k k k k
sr
k
r
kk
sr
k
z khi i I
Az
z z z khi i I i r
Az
z khi i s

Az
(2.5)
x
k+1
=x
k
M
(
k
r
,
k
s
)
=
k
r
k
x
=x
k
+
.
k
k
r
k
rk
z
= x

k
-
,
.
,
kk
k
kk
s
s
sr
k
A x b
Az
k
r
k
z
=
1
1
.
k
i
ik
iI
bz
(2.6)
Quay trë l¹i b-íc k víi k k+1

Một số chú ý:
2) Sự lựa chọn chỉ số đưa vào s
k
= min{j: j J
+
(x
k
)} và chỉ số đưa ra r
k
= min{v: v

s
k
V
} sẽ làm cho thuật toán đề nghị trên kết thúc sau một số hữu hạn bước lặp
(không xảy ra xoay vòng). Điều này được khẳng định bởi định lý 2.1.
3) Công thức (2.5) gọi là công thức xoay cơ sở và phần tử
,
kk
sr
k
Az
được gọi là
phần tử xoay, nó là trung tâm để đổi các véc tơ chỉ phương
i
k
z
của hệ cơ sở cũ
sang hệ cơ sở mới
1

i
k
z
theo công thức xoay (2.5).
Định lý 2.1.
Giải bài toán (L) theo thuật toán nón xoay với chỉ số chọn đưa vào cơ sở là s
k
=
min{j: j J
+
(x
k
)} (hoặc s
k
= max{j: j J
+
(x
k
)}) và chỉ số chọn đưa ra khỏi cơ sở
tương ứng là r
k
(s
k
)= min{v: v
k
s
V
} (hoặc tương ứng là r
k
(s

k
)= max{v: v
k
s
V
}) sẽ
kết thúc sau một số hữu hạn bước lặp và cho ta lời giải của bài toán (L), hoặc phát
hiện ra miền ràng buộc P
L
của bài toán (L) là rỗng.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Chứng minh định lý này có thể tìm thấy trong [2]
Định lý này vẫn đúng khi giải bài toán quy hoạch gần lồi-gần lõm theo thuật toán
nón-min đã được chứng minh trong [1].
Năm 1977 RG. Bland đã đề xuất qui tắc tránh xoay vòng tương tự như trên cho
việc giải bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc.
2.2. Thuật toán kiểu đơn hình giải bài toán quy hoạch phân tuyến tính
[6]
2.2.1. Phát biểu bài toán
Tìm
0
1
1
2
0
1
()
ax
()

n
jj
j
n
jj
j
c x c
Lx
m
Lx
d x d
(2.7)
Với các ràng buộc
ij
1
n
ji
j
a x b
, i=1,……,n (2.8)
0
j
x
, j=1,……,n (2.9)
Bài toán quy hoạch phân tuyến có ý nghĩa lớn trong kinh tế cũng như trong lý
thuyết của toán học, thường gặp trong công nghiệp hóa chất, trong lý thuyết trò
chơi, trong bài toán vận tải, trong việc cắt nguyên vật liệu, trong việc định giá
thành sản phẩm.
2.2.2. Thuật toán giải
Bài toán quy hoạch phân tuyến tính gọi là chấp nhận được nếu

D=
n
x 
thỏa
mãn (2.8) - (2.9) và L
2
(x) không đồng nhất bằng 0 trên D.
Để giải bài toán (2.7) - (2.9) ta đưa về xét hai bài toán quy hoạch tuyến tính:
(I) Max L(x) với điều kiện (2.8) - (2.9) và L
2
(x)
0

(II) Max L(x) với điều kiện (2.8) - (2.9) và L
2
(x)
0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

gọi D
1
và D
2
là miền ràng buộc tương ứng của hai bài toán. Bài toán (2.7)-(2.9) là
chấp nhận được khi và chỉ khi ít nhất một trong hai bài toán trên là chấp nhận
được. Trong trường hợp nếu biết L
2
(x)
0

hoặc L
2
(x)
0
,
xD
thì ta chỉ cần giải
một bài toán max
( ) .L x x D
Tổng quát nếu bài toán (2.7) - (2.9) chấp nhận
được thì

12
ax ( ) ax ax ( ), ax ( ) .
x D x D x D
m L x m m L x m L x

Khi bài toán I (hay II) không chấp nhận được thì
1
ax ( )m L x x D
( hoặc
2
ax ( )m L x x D
)
trong biểu thức trên coi như . Việc khẳng định bài toán (2.7) - (2.9) chấp nhận
được hay không hoàn toàn biết được nhờ xét các bài toán I và II.
Như vậy vấn đề quy về việc tìm một phương pháp giải bài toán quy hoạch phân
tuyến tính có mẫu số của hàm mục tiêu luôn giữ nguyên một dấu và có thể bằng
không trên miền ràng buộc. Để xác định dưới đây ta sẽ xét bài toán (2.7) - (2.9) với
giả thiết

L
2
(x)
0

xD
(2.10)
Định lý 2.2.1. Hàm L(x) là hàm đơn điệu trên mỗi đoạn thẳng nằm trọn trong D,
trừ ra tại những điểm
2
( ) 0x D L x
hàm L
2
(x) không xác định.
Chứng minh: Lấy x,y
D
xét sự thay đổi của L(x) trên đoạn thẳng nối hai
điểm x, y:

(1 )z x y
(
01
).

11
22
( ) (1 ) ( )
( ) ( )(0 1)
( ) (1 ) ( )
L x L y

L z L
L x L y

Đạo hàm theo :

11
2
22
2
( ) ( )
( ) 1
( ) ( )
()
L x L y
dL
L x L y
d L z

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

Dấu của đạo hàm phụ thuộc vào dấu của định thức. Vậy khi thay đổi trong đoạn
0;1
thì L(z) tăng hoặc giảm, hoặc giữ nguyên giá trị bằng hằng số.
Để giải bài toán (2.7) - (2.9) với điều kiện (2.10) trước tiên ta giải bài toán

2
ax ( )M m L x x D
(2.11)
Giải bài toán này bằng phương pháp đơn hình có thể biết được
D

hay
D


( bài toán (2.11) có phương án). Nếu
D
mà M=0 thì ta kết luận
L
2
(x) đồng nhất bằng 0 trên D, tức là bài toán không chấp nhận được.
Do đó ta chỉ còn xét trường hợp
D
và M> 0, tức là luôn luôn có thể giả
thiết đã biết phương án cực biên x
0
D
với L
2
(x
0
) > 0. Trong thực hành chỉ cần giải
bài toán (2.11) đến khi tìm được phương án cực biên x
0
D
mà L
2
(x
0
) > 0, không

cần giải tới bước tối ưu.
Tổng quát ở bước v ta có phương án cực biên x
v
với L
2
(x
v
) > 0, z
jk
(j
v
I
) là các
thành phần khai triển của vectơ A
k
theo cơ sở
,
jv
A j I
.
Xét phương án
1
x
v
nằm trên một cạnh của D kề với
x
v
ứng với vectơ cột A
s
.

Phương án
1v
X
có các thành phần là:

s
1
,
x,
0
v
j j v
v
j
x z j I
js
(2.12)
Ký hiệu

1 1 1
s
2 2 2
s
;
;
v
v
s j j sv s s
jI
s j j sv s s

jI
Z z c Z c
Z z d Z c

Dễ thấy rằng:

11
11
( ) ( )
vv
sv
L x L x
(2.13)

trong các trường hợp còn lại
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu


12
22
( ) ( )
vv
sv
L x L x
(2.14)
Ký hiệu

21
12
( ) ( )

vv
sv sv sv
L x L x

thì ta có

1
1
22
( ) ( )
( ) ( )
vv
sv
vv
L x L x
L x L x

Như vậy nếu
0
sv
thì ta có thể đưa A
s
vào cơ sở mới để tăng giá trị hàm mục
tiêu.
Định lý 4.2 (tiêu chuẩn tối ƣu). Nếu phương án cực biên
x
v
có
0
kv

, k=1,….,n
thì nó là phương án tối ưu.
Chứng minh: Lấy bất kì y
D
mà
2
( ) 0Ly
ta phải chứng minh rằng
( ) ( )
v
L y L x

Từ giả thiết ta có

21
12
( )( ) ( )( ) 0,
vv
k k k k
L x Z d L x Z c

Suy ra
1 2 1 2
1
2
()
( ) ( )( )
()
v
v

k k k k k k k
v
Lx
c Z Z d Z L x Z d
Lx

Từ đó ta có ước lượng
12
00
1 1 1 1
22
( ) ( )
()
( ) ( )
n n n n
vv
k k k k k k k k
k k k k
c y c Z y L x Z y L x d y c
Ly
L y L y

12
00
11
2
( ) ( )
( )
()
nn

vv
k k k k
v
kk
Z y L x Z y L x d c
Lx
Ly


(2.15)