hàm lồi, hàm lồi suy rộng và tính chất

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
Nguyễn Thị Hải Đường
HÀM LỒI, HÀM LỒI SUY RỘNG
VÀ TÍNH CHẤT
CONVEX FUNCTIONS AND GENERALIZATIONS
WITH THEIR PROPERTIES
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2014
Công trình được hoàn thành tại
Trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên
Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. Trần Vũ Thiệu
Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại:
Trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên
Ngày 21 tháng 6 năm 2014
Có thể tìm hiểu tại
Thư viện Đại học Thái Nguyên
1
Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM 4
1.1. TẬP LỒI VÀ TẬP LỒI ĐA DIỆN . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1. Định nghĩa tập lồi, bao lồi và nón lồi . . . . . . . 4
1.1.2. Tập lồi đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Các phép toán bảo toàn tập lồi . . . . . . . . . . 8

1.2. HÀM LỒI (LỒI CHẶT) VÀ HÀM LÕM (LÕM CHẶT) . 8
1.2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.3. Hàm lồi khả vi và cách nhận biết hàm lồi . . . . . 15
1.2.4. Các phép toán bảo toàn hàm lồi . . . . . . . . . . 17
Chương 2. HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM SUY RỘNG 21
2.1. HÀM TỰA LỒI VÀ HÀM TỰA LÕM . . . . . . . . . . 21
2.2. HÀM GIẢ LỒI VÀ HÀM GIẢ LÕM . . . . . . . . . . . 27
2.3. HÀM LỒI TẠI MỘT ĐIỂM . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4. HÀM PHÂN THỨC AFIN . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5. HÀM LÔGA-LỒI VÀ HÀM LÔGA-LÕM . . . . . . . . . 33
Chương 3. CỰC TRỊ CỦA HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM SUY
RỘNG 36
3.1. CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG VÀ TOÀN CỤC . . . . . . . 36
3.2. CỰC TIỂU HÀM LỒI (CỰC ĐẠI HÀM LÕM) . . . . . 37
3.3. BÀI TOÁN TỐI ƯU TỰA LỒI . . . . . . . . . . . . . . 41
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2
Lời nói đầu
Hàm lồi và hàm lõm có nhiều tính chất đặc biệt, đáng chú ý và được
sử dụng nhiều trong lý thuyết và ứng dụng thực tiễn, đặc biệt trong giải
tích lồi và tối ưu hóa. Chẳng hạn, cực tiểu địa phương của một hàm lồi
trên một tập lồi luôn là cực tiểu toàn cục, hàm lồi khả vi đạt cực tiểu
tự do tại điểm có đạo hàm bằng 0 hay hàm lồi đạt cực đại tại một đỉnh
của tập lồi đa diện Một số hàm lồi suy rộng cũng có các tính chất
tương tự. Vì thế hàm lồi và hàm lồi suy rộng là chủ đề hấp dẫn và luôn
thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu.
Mục tiêu của luận văn này là tìm hiểu và trình bày các khái niệm
và kết quả chính liên quan đến chủ đề về các hàm lồi, lõm và các hàm

lồi, lõm suy rộng: hàm tựa lồi, tựa lõm (tựa lồi chặt, tựa lồi mạnh, tựa
lõm chặt), giả lồi, giả lõm, giả lồi chặt, hàm lồi tại một điểm, hàm phân
thức afin, các tính chất đáng chú ý của chúng, đặc biệt là tính chất cực
trị và mối quan hệ giữa các hàm này. Các tính chất của hàm lồi và hàm
lồi suy rộng hay được dùng trong thiết lập các điều kiện tối ưu và trong
xây dựng các lược đồ tính toán giải các bài toán tối ưu có chứa các hàm
lồi và hàm lõm.
Luận văn được viết thành ba chương.
Chương 1 “Hàm lồi và hàm lõm” nhắc lại một số kiến thức cơ bản về
tập lồi, tập lồi đa diện và các phép toán bảo toàn tập lồi. Tiếp theo tập
trung trình bày khái niệm về hàm lồi, hàm lõm và một số tính chất cơ
bản như tính liên tục, đạo hàm theo hướng, dưới vi phân của hàm lồi,
hàm liên hợp, dấu hiệu nhận biết hàm lồi và các phép toán bảo toàn
hàm lồi, cho phép từ các hàm lồi đã có tạo ra nhiều hàm lồi mới. Nội
dung trình bày trong chương được minh họa bằng nhiều ví dụ và hình
vẽ cụ thể, cung cấp thêm các thông tin cần thiết giúp hiểu rõ hơn về tập
lồi và hàm lồi.
Chương 2 “Hàm lồi (lồi chặt) và hàm lõm (lõm chặt)” trình bày một
số lớp hàm lồi, hàm lõm suy rộng và các tính chất đáng chú ý của chúng.
Hàm tựa lồi (tựa lõm) là mở rộng trực tiếp của hàm lồi (hàm lõm).
3
Đáng chú ý là hàm tựa lồi khi và chỉ khi mọi tập mức dưới của nó là
lồi. Các hàm tựa lồi chặt (tựa lõm chặt) có vai trò quan trọng trong lý
thuyết tối ưu phi tuyến, bởi vì cực tiểu địa phương của hàm tựa lồi chặt
(cực đại địa phương của hàm tựa lõm chặt) trên một tập lồi là cực tiểu
(cực đại) toàn cục. Hàm tựa lồi chặt là tựa lồi nếu nó nửa liên tục dưới.
Hàm giả lồi giống hàm lồi ở chỗ nếu ∇f(¯x) = 0 tại ¯x nào đó thì ¯x là
cực tiểu toàn cục của hàm. Chú ý là hàm giả lồi vừa tựa lồi chặt vừa
tựa lồi và hàm giả lồi chặt là hàm tựa lồi mạnh. Hàm phân thức afin
vừa giả lồi vừa giả lõm.

Trong một số trường hợp, hàm lồi có thể thay bằng hàm lồi tại một
điểm. Các hàm lôga-lồi, lôga-lõm thường gặp trong lý thuyết xác suất
và trong các nghiên cứu kinh tế cũng được đề cập tới ở chương này.
Chương 3 "Cực trị của hàm lồi và hàm lõm suy rộng" trình bày tóm
tắt những tính chất cực trị đáng chú ý của các hàm lồi và hàm lõm suy
rộng, tương tự như các tính chất đặc trưng của hàm lồi và hàm lồi chặt.
Chẳng hạn, mọi cực tiểu địa phương của hàm tựa lồi chặt đều là cực
tiểu toàn cục, cực tiểu của hàm tựa lồi mạnh là duy nhất, cực đại của
hàm tựa lồi liên tục trên đa diện lồi (nếu có) đạt được tại một đỉnh của
đa diện đó.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn luận văn này
còn có những thiếu sót nhất định, kính mong quí thầy cô và các bạn
đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau này.
Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Trần
Vũ Thiệu, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, cung cấp tài liệu và truyền
đạt những kinh nghiệm nghiên cứu cho tôi.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Tin,
Phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, trường
THPT Hoàng Văn Thụ và bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ, tạo điều kiện
cho tôi hoàn thành bản luận văn này.
Thái Nguyên, 2014.
Tác giả
Nguyễn Thị Hải Đường
4
Chương 1
HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM
Chương này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về tập lồi, tập lồi đa
diện và các phép toán bảo toàn tập lồi. Tiếp theo tập trung trình bày
khái niệm về hàm lồi, hàm lõm và một số tính chất cơ bản như tính liên
tục, đạo hàm theo hướng, dưới vi phân của hàm lồi, hàm liên hợp, dấu

hiệu nhận biết hàm lồi và các phép toán bảo toàn hàm lồi, cho phép từ
các hàm lồi đã có tạo ra nhièu hàm lồi mới. Nội dung của chương được
tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [2], [4], [6] và [7].
1.1. TẬP LỒI VÀ TẬP LỒI ĐA DIỆN
1.1.1. Định nghĩa tập lồi, bao lồi và nón lồi
Tập lồi là một khái niệm quan trọng được sử dụng rộng rãi trong lý
thuyết tối ưu. Tập lồi có nhiều tính chất đáng chú ý, đặc biệt là tập lồi
đa diện.
Định nghĩa 1.1. Tập con C trong R
n
được gọi là một tập lồi nếu nó
chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ thuộc nó. Nói cách khác, C
là tập lồi nếu (1 −λ) a + λb ∈ C với mọi a, b ∈ C và mọi 0 ≤ λ ≤ 1. Nói
riêng, tập ∅ (không chứa phần tử nào), tập gồm duy nhất một phần tử
và toàn bộ không gian R
n
đều là các tập lồi.
Hình 1.1 Tập A lồi. Tập B không lồi
Sau đây là một số tập lồi đáng chú ý:
a) Tập afin là tập chứa trọn đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ
thuộc nó.
5
b) Siêu phẳng là tập có dạng
H =

x ∈ R
n
: a
T
x = α, a ∈ R\{0}, α ∈ R


.
c) Nửa không gian đóng
H
1
=

x ∈ R
n
: a
T
x ≤ α

, H
2
=

x ∈ R
n
: a
T
x ≥ α

.
d) Nửa không gian mở
K
1
=

x ∈ R

n
: a
T
x < α

, K
2
=

x ∈ R
n
: a
T
x > α

.
e) Hình cầu đóng
B (a, r) = {x ∈ R
n
: x −a ≤ r}, a ∈ R
n
, r > 0 cho trước.
f) Tập lồi đa diện
D = {x ∈ R
n
: Ax ≤ b}, trong đó A ∈ R
m×n
, b ∈ R
m
.

g) Nón lồi đa diện
K = {x ∈ R
n
: Ax ≤ 0}, trong đó A ∈ R
m×n
, 0 ∈ R
m
.
Từ định nghĩa tập lồi trực tiếp suy ra một số tính chất đơn giản sau:
a) Giao của một họ bất kỳ các tập lồi là tập lồi.
b) Tổng, hiệu của hai tập lồi cũng là tập lồi
C ± D = {x ± y : x ∈ C, y ∈ D}.
c) Nếu C ⊂ R
m
, D ⊂ R
n
thì tích
C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D}
là một tập lồi trong R
m×n
. (Có thể mở rộng cho tích của nhiều tập lồi).
d) Tập M là một tập afin khi và chỉ khi M = a + L với a ∈ M và
L là một không gian con, gọi là không gian con song song với M. Khái
niệm tương đương: M là một tập afin khi và chỉ khi M là tập nghiệm
của một hệ phương trình tuyến tính, tức có biểu diễn
M =

x ∈ R
n
: Ax = b, A ∈ R

m×n
, b ∈ R
m

.
Giao của một họ bất kỳ các tập afin cũng là một tập afin.
6
Định nghĩa 1.2. a) Điểm x ∈ R
n
có dạng x = λ
1
a
1
+ λ
2
a
2
+ + λ
k
a
k
với a
i
∈ R
n
, λ
i
≥ 0, λ
1
+ λ

2
+ + λ
k
= 1, gọi là một tổ hợp lồi của các
điểm a
1
, a
2
, , a
k
.
b) Điểm x ∈ R
n
có dạng x = λ
1
a
1
+ λ
2
a
2
+ + λ
k
a
k
với a
i
∈ R
n
,

λ
1
+ λ
2
+ + λ
k
= 1, gọi là một tổ hợp afin của các điểm a
1
, a
2
, , a
k
.
c) Điểm x ∈ R
n
có dạng x = λ
1
a
1
+ λ
2
a
2
+ + λ
k
a
k
với a
i
∈ R

n
,
λ
i
≥ 0, gọi là một tổ hợp tuyến tính không âm hay tổ hợp nón của các
điểm a
1
, a
2
, , a
k
.
Định nghĩa 1.3. Cho E là một tập bất kỳ trong R
n
.
a) Giao của mọi tập afin chứa E gọi là bao afin của E, ký hiệu affE.
Đó là tập afin nhỏ nhất chứa E.
b) Giao của tất cả các tập lồi chứa E gọi là bao lồi (convex hull) của
E, ký hiệu là convE. Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa E.
Định nghĩa 1.4. Một tập con K của R
n
được gọi là một nón hay tập
nón (mũi tại 0) nếu với mọi x ∈ K và mọi λ > 0 thì λx ∈ K . Nón K
được gọi là một nón lồi (convex cone) nếu K là tập lồi.
1.1.2. Tập lồi đa diện
Tập lồi đa diện là một dạng tập lồi có cấu trúc đơn giản và rất hay
gặp trong lý thuyết tối ưu.
Định nghĩa 1.5. Một tập là giao của một số hữu hạn các nửa không
gian đóng gọi là một tập lồi đa diện (polyhedral convex set). Nói cách
khác, đó là tập nghiệm của một hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính:

a
i1
x
1
+ a
i2
x
2
+ + a
in
x
n
≤ b
i
, i = 1, 2, , m
nghĩa là tập các x nghiệm đúng Ax ≤ b với A = (a
ij
) ∈ R
m×n
, b =
(b
1
, , b
m
)
T
.
Nhận xét 1.1. Vì một phương trình tuyến tính có thể biểu diễn tương
đương bằng hai bất phương trình tuyến tính nên tập nghiệm của một
hệ (hữu hạn) phương trình và bất phương trình tuyến tính cũng là một

tập lồi đa diện:
Một tập lồi đa diện có thể không bị chặn (không giới nội). Một tập
lồi đa diện bị chặn (giới nội) còn được gọi là một đa diện lồi (polytope).
7
Các đa giác lồi theo nghĩa thông thường trong R
2
là những ví dụ cụ thể
về đa diện lồi.
Hình 1.2 Tập lồi đa diện
Ta nhắc lại khái niệm điểm cực biên và phương cực biên của tập lồi
C:
• x
0
∈ C là điểm cực biên (extreme point) của C nếu không tồn tại
x
1
, x
2
∈ C

x
1
= x
0
, x
2
= x
0

và λ ∈ (0, 1) sao cho x

0
= λx
1
+ (1 − λ) x
2
.
Nói cách khác, điểm cực biên của một tập lồi là những điểm không nằm
ở trong đoạn thẳng nối hai điểm khác bất kỳ thuộc tập đó.
• Một phương vô hạn của C gọi là một phương cực biên (extreme
direction) của C nếu nó không thể biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến
tính dương của hai phương vô hạn khác của C. Như vậy, nếu d
0
∈ R
n
là
phương cực biên của C thì không thể có d
0
= λ
1
d
1
+ λ
2
d
2
với λ
1
, λ
2
> 0

và d
1
= d
0
, d
2
= d
0
là hai phương vô hạn của C .
Khi C là một tập lồi đa diện thì điểm cực biên của C gọi là một đỉnh
(vertex) của C và véc tơ chỉ phương của một cạnh vô hạn (unbounded
edge) của C là một phương cực biên của C.
Cho D = {x ∈ R
n
: Ax = b, x ≥ 0}, tức D là tập nghiệm không âm
của một hệ phương trình tuyến tính. Theo định nghĩa, D là một tập lồi
đa diện. Tập này không chứa trọn đường thẳng nào (do x ≥ 0) nên D
có đỉnh. Các phương cực biên (đã chuẩn hóa) của D là các nghiệm cơ sở
của hệ Ay = 0, e
T
y = 1, y ≥ 0, trong đó e = (1, , 1)
T
.
Ta có định lý biểu diễn sau đây, thường được dùng trong các chứng
minh.
Định lý 1.1. ([2], tr. 62). Mỗi điểm của tập lồi đa diện D =
{x ∈ R
n
: Ax = b, x ≥ 0} có thể biểu diễn dưới dạng một tổ hợp lồi của
một tập hữu hạn các đỉnh của D cộng với một tổ hợp tuyến tính không

8
âm của một tập hữu hạn các phương cực biên của D.
1.1.3. Các phép toán bảo toàn tập lồi
Các qui tắc thực tiễn để xác minh tính lồi của tập C:
1. Sử dụng định nghĩa: x
1
, x
2
∈ C, 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ (1 −λ) x
1
+ λx
2
∈ C.
2. Chỉ ra rằng C nhận được từ các tập lồi đơn giản (siêu phẳng,
nửa không gian, hình cầu đơn vị ) bằng các phép toán bảo toàn tính
lồi như phép giao, ảnh qua các hàm afin (affine function), hàm phối
cảnh (perspective function), các hàm phân tuyến tính (linear-fractional
function). Việc làm này dựa trên các tính chất sau của tập lồi.
a) Giao của một số bất kỳ các tập lồi là một tập lồi.
b) Với f : R
n
→ R
m
là hàm afin (hàm phối cảnh hay hàm phân tuyến
tính) thì ảnh và ảnh ngược của một tập lồi qua biến đổi f là một tập
lồi. Cụ thể là
C ⊆ R
n
lồi ⇒ f (C) = {f (x) : x ∈ C} ⊆ R
m

lồi,
D ⊆ R
m
lồi ⇒ f
−1
(D) = {x ∈ R
n
: f (x) ∈ D} ⊆ R
n
lồi.
Để tiện theo dõi, ta nêu lại khái niệm về các hàm này.
• f : R
n
→ R
m
là hàm afin khi f (x) = Ax + b với A ∈ R
m×n
, b ∈ R
m
.
Để ý là phép đổi tỷ xích, phép tịnh tiến hay phép chiếu đều được xác
định bởi hàm afin.
• Hàm phối cảnh f : R
n+1
→ R
n
được xác định theo công thức
f (x, t) = x/t với x ∈ R
n
và t > 0

• Hàm phân tuyến tính f : R
n
→ R
m
là hàm có dạng
f (x) =
Ax + b
c
T
x + d
với x ∈ R
n
và c
T
x + d > 0.
Chẳng hạn hàm phân tuyến tính trên R
2
f (x) =
1
x
1
+ x
2
+ 1
x, với x
1
+ x
2
+ 1 > 0.
1.2. HÀM LỒI (LỒI CHẶT) VÀ HÀM LÕM (LÕM CHẶT)

1.2.1. Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa 1.6. a) Hàm f : C → [−∞, +∞] xác định trên một tập
lồi C ⊆ R
n
gọi là một hàm lồi trên C nếu với mọi x
1
, x
2
∈ C và mọi
9
λ ∈ (0, 1) ta có
f

λx
1
+ (1 −λ) x
2

≤ λf

x
1

+ (1 −λ) f

x
2

,
mỗi khi vế phải xác định, nghĩa là hệ thức trên cần được thỏa mãn trừ

khi f

x
1

= −f

x
2

= ±∞ (vì biểu thức +∞ −∞ không có nghĩa).
b) Hàm f được gọi là hàm lồi chặt trên C nếu với mọi x
1
, x
2
∈ C, x
1
=
x
2
, và mọi số thực λ ∈ (0, 1) ta có
f

λx
1
+ (1 −λ) x
2

< λf


x
1

+ (1 −λ) f

x
2

.
Hiển nhiên, một hàm lồi chặt là hàm lồi, nhưng điều ngược lại không
đúng.
Định nghĩa 1.7. a) Hàm f gọi là hàm lõm (hàm lõm chặt) trên C nếu
−f là hàm lồi (hàm lồi chặt) trên C.
b) Hàm f gọi là hàm tuyến tính afin (hay đơn giản là hàm afin) trên
C nếu f hữu hạn và vừa lồi, vừa lõm trên C.
Một hàm afin trên R
n
có dạng f (x) = a
T
x + α với a ∈ R
n
, α ∈ R,
bởi vì với mọi x
1
, x
2
∈ R
n
và mọi λ ∈ (0, 1) ta có
f


λx
1
+ (1 −λ) x
2

= λf

x
1

+ (1 −λ) f

x
2

,
Hàm tuyến tính là trường hợp riêng của hàm afin, khi α = 0. Tuy
nhiên, hàm afin (nói riêng, hàm tuyến tính) không lồi chặt hay lõm chặt.
Định nghĩa 1.8. Cho hàm bất kỳ f : C → [−∞, +∞] với C ⊆ R
n
. Các
tập domf = {x ∈ C : f (x) < +∞}, epif = {(x, t) ∈ C × R : f (x) ≤ t}
và hypof = {(x, t) ∈ C × R : f (x) ≥ t} được gọi lần lượt là miền hữu
dụng, tập trên đồ thị và tập dưới đồ thị của hàm f.
Nếu domf khác rỗng (f không đồng nhất bằng +∞) và f (x) > −∞
với mọi x ∈ C thì ta nói hàm f là chính thường (proper). Nói cách khác,
f chính thường nếu domf = ∅và f hữu hạn trên domf .
Có thể chứng minh rằng hàm f lồi trên C khi và chỉ khi epi f là một
tập lồi. Tương tự, hàm f lõm trên C khi và chỉ khi hypo f là một tập

lồi.
Bất đẳng thức Jensen cơ bản: nếu f (x) là hàm lồi thì với mọi 0 ≤
θ ≤ 1 ta có
f [θx + (1 −θ) y] ≤ θf (x) + (1 − θ) f (y) .
10
Hình 1.3 Hàm lồi (chặt). Hàm lồi (không chặt). Hàm không lồi. Hàm lõm
Bất đẳng thức mở rộng: nếu f là hàm lồi thì f (Ez) ≤ Ef (z) với mọi
biến ngẫu nhiên z (E là ký hiệu của kỳ vọng).
Bất đẳng thức cơ bản là trường hợp riêng tương ứng với phân phối
rời rạc:
prob (z = x) = θ, prob (z = y) = 1 −θ.
Nhận xét 1.2. Hàm lồi f : C → [−∞, +∞] có thể được mở rộng thành
hàm lồi xác định trên toàn không gian R
n
bằng cách đặt f (x) = +∞
với mọi x /∈ C. Vì vậy để đơn giản, ta thường xét hàm lồi trên toàn R
n
.
Sau đây là một số ví dụ về hàm lồi và hàm lõm thường gặp.
• Ví dụ về hàm lồi một biến:
a) Hàm afin: ax + b trên R với mọi a, b ∈ R.
b) Hàm mũ: e
ax
trên R với mọi a ∈ R.
c) Hàm luỹ thừa: x
α
trên R
++
với α ≥ 1 hoặc α ≤ 0.
d) Hàm lũy thừa của giá trị tuyệt đối: |x|

p
trên R với p ≥ 1.
e) Hàm entropy âm: x log x lồi chặt trên R
++
.
• Ví dụ về hàm lõm một biến:
a) Hàm afin: ax + b trên R với mọi a, b ∈ R.
c) Hàm luỹ thừa: x
α
trên R
++
với 0 ≤ α ≤ 1.
e) Hàm lôga: log x trên R
++
• Ví dụ trên R
n
(véctơ n thành phần) và R
m×n
(ma trận m hàng, n cột):
a) Hàm afin: a
T
x + b với a ∈ R
n
và b ∈ R là hàm vừa lồi, vừa lõm
trên R
n
.
b) Mọi hàm chuẩn đều là hàm lồi trên R
n
:

x
p
=

n

i=1
|x
i
|
p

1/p
với p ≥ 1 và x
∞
= max
1≤i≤n
|x
i
| .
Với C ⊆ R
n
là một tập lồi khác rỗng, các hàm sau đây lồi trên R
n
.
11
c) Hàm chỉ (indicator function) của C: δ
C
(x) =


0 khi x ∈ C,
+∞ khi x /∈ C.
d) Hàm tựa của C: S
C
(x) = sup
y∈C
x
T
y (cận trên của x
T
y trên C).
e) Hàm khoảng cách từ điểm x ∈ R
n
tới C: d
C
(x) = inf
y∈C
x − y.
f) Hàm được xác định dưới đây là hàm lồi trên R
m×n
với A = (a
ij
)
m×n
và X =

x
ij

m×n

, b ∈ R và tr (C) = c
11
+ + c
nn
là vết của ma trận
vuông C (cấp n):
f (X) = T r

A
T
X

+ b =
m

i=1
n

j=1
a
ij
x
ij
+ b.
g) f (x) = log
n

i=1
e
x

i
là hàm lồi trên R
n
.
h) Chuẩn theo phổ (giá trị kỳ dị lớn nhất) là hàm lồi trên R
m×n
:
f (X) = X
2
= σ
max
(X) =

λ
max

X
T
X

1/2
.
Chẳng hạn, f : S
n
→ R với f (X) = logdetX, dom f = S
n
++
, xét hàm
một biến
g (t) = log det (X + tV ) = log det X + log det


I + tX
−1/2
V X
−1/2

= log det X + log det
n

i=1
log (1 + tλ
i
)
trong đó λ
i
là các giá trị riêng của X
−1/2
V X
−1/2
. Có thể thấy g là hàm
lõm theo t với mọi X  0 (X xác định dương) và V ∈ S
n
. Vì thế, f là
hàm lõm.
Sau đây là một số dạng hàm lồi đáng chú ý:
a) Hàm bình phương nhỏ nhất (least-squares objective): f (x) =
Ax − b
2
2
là hàm lồi với mọi ma trận A ∈ R

m×n
và b ∈ R
m
bởi vì
∇f (x) = 2A
T
(Ax − b) và ∇
2
f (x) = 2A
T
A  0 (nửa xác định dương)
b) Hàm bậc hai trên bậc nhất (quadratic-over-linear): f (x, y) = x
2
/y
là hàm lồi với y > 0, bởi vì ∇
2
f (x, y) =
1
y
3

y
−x

y
−x

T
 0 (nửa xác
định dương ).

c) Hàm lôga của tổng các hàm mũ (log-sum-exp): f (x) = log
n

k=1
e
x
k
là lồi vì ∇
2
f (x) =
1
z
1
+ +z
n
diag (z) −
1
z
1
+ +z
n
zz
T
(z
k
= e
x
k
).
12

Để chỉ rõ ∇
2
f (x)  0 ta cần kiểm tra v
T
∇
2
f (x) v  0 với mọi v ∈ R
n
:
v
T
∇
2
f (x) v =
(

k
z
k
v
2
k
)
(

k
z
k
)−
(


k
v
T
k
z
k
)
2
(

k
z
k
)
2
≥ 0
vì


k
v
T
k
z
k

2
≤



k
z
k
v
2
k

(

k
z
k
) theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
d) Hàm trung bình nhân (geometric mean): f (x) =

n

k=1
x
k

1/n
là
hàm lõm trên R
n
++
. Chứng minh tương tự như hàm lôga của tổng các
hàm mũ.
1.2.2. Tính chất cơ bản

Mục này đề cập tới một số tính chất cơ bản của hàm lồi và hàm lõm.
Định lý sau đây nêu mối liên hệ đáng chú ý giữa hàm lồi (lõm) và tập
lồi.
Định lý 1.2. ([2], tr. 66). Giả sử f : R
n
→ [−∞; +∞] là một hàm lồi
trên R
n
và α ∈ [−∞; +∞]. Khi đó, các tập mức dưới
C
α
= {x : f (x) < α}, C
α
= {x : f (x) ≤ α}
là tập lồi. Tương tự, nếu f là một hàm lõm trên R
n
thì các tập mức trên
D
α
= {x : f (x) > α}, D
α
= {x : f (x) ≥ α}
là tập lồi.
Chứng minh. Theo định nghĩa của hàm lồi ta có
f

λx
1
+ (1 −λ) x
2


≤ max

f

x
1

, f

x
2

∀x
1
, x
2
∈ R
n
, λ ∈ (0; 1).
Từ đó suy ra các kết luận của định lý. 
Hệ quả 1.1. Nếu g
i
(x) : R
n
→ R, i = 1, , m, là các
hàm lồi thì {x : g
i
(x) ≤ 0, i = 1, 2, , m} là tập lồi. Tương tự, tập
{x : g

i
(x) ≥ 0, i = 1, 2, , m} lồi nếu mọi g
i
(x) là hàm lõm.
Một tính chất quan trọng của các hàm lồi, hàm lõm là các hàm này
liên tục tại mọi điểm trong của miền hữu dụng (int (dom f)). Chẳng
hạn
Định lý 1.3. ([4], tr. 100). Hàm lồi chính thường f trên R
n
liên tục tại
mọi điểm trong của dom f (tức là f liên tục trên int (dom f)).
13
Nhận xét 1.3. Một hàm lồi chính thường chỉ có thể gián đoạn tại những
điểm biên của miền hữu dụng của nó.
Ví dụ 1.1. Xét hàm một biến số xác định trên tập D = [x : |x| ≤ 1] có
dạng: f (x) = x
2
với |x| < 1 và f (x) = 2 với |x| = 1. Dễ thấy epi f là
tập lồi nên f là một hàm lồi trên D. Hàm f liên tục tại mọi điểm trong
−1 < x < 1 và gián đoạn tại các điểm biên x = ±1. Tại x = ±1 hàm f
nửa liên tục trên.
Hàm lồi n biến có mối quan hệ chặt chẽ với hàm lồi một biến. Ta có
Định lý 1.4. ([2], tr. 68). Hàm f (x) , x ∈ R
n
là hàm lồi khi và
chỉ khi hàm một biến số ϕ (λ) = f (x + λd) với dom dom ϕ =
{λ : x + λd ∈ domf} là hàm lồi theo λ với mọi x ∈ domf và mọi d ∈ R
n
.
Tính chất này đúng cả với các hàm lõm.

Chứng minh. Điều kiện cần là rõ ràng. Ta chứng minh điều kiện đủ. Giả
sử ϕ (λ) là hàm lồi theo λ với mọi x ∈ domfvà mọi d ∈ R
n
. Lấy bất kỳ
x, y ∈ domf và đặt d = y − x. Khi đó với mọi λ ∈ (0, 1) ta có
f ((1 − λ) x + λy) = f (x + λd) = ϕ (λ) = ϕ ((1 −λ) .0 + λ.1)
≤(1 −λ) ϕ (0) + λϕ (1) = (1 − λ) f (x) + λf (y)

Khái niệm đạo hàm theo hướng rất hữu ích cho việc thiết lập các
tiêu chuẩn tối ưu và xây dựng các thủ tục tính toán trong qui hoạch phi
tuyến, ở đó người ta quan tâm tới việc tìm hướng dọc theo đó một hàm
đã cho tăng hoặc giảm.
Định nghĩa 1.9. Cho f : R
n
→ [−∞; +∞] là một hàm bất kỳ và x là
một điểm tại đó f hữu hạn (nghĩa là |f (x)| < +∞). Với d ∈ R
n
, d = 0,
nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn hay vô cực)
lim
λ→0
+
f(¯x + λd) − f(¯x)
λ
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm theo hướng d của hàm f tạix , ký hiệu là
f

(x, d).
Định lý 1.5. ([2], tr. 77). Nếu f là hàm lồi chính thường thì f có đạo hàm
theo mọi hướng tại mọi điểm x ∈ domfvà f (x + d) − f (x) ≥ f


(x, d).
14
Hàm lồi có thể không khả vi, tức là có những điểm tại đó hàm không
có đạo hàm hay véctơ gradient. Thay vào đó là khái niệm dưới gradient
và dưới vi phân của hàm lồi.
Định nghĩa 1.10. Cho hàm lồi chính thường f trên R
n
. Véctơ p ∈ R
n
gọi là dưới gradient của hàm f tại điểm x nếu p thỏa mãn
p
T
(x − x) + f (x) ≤ f (x) , ∀x ∈ R
n
.
Hình 1.4 Dưới gradient p ∈ ∂f(¯x))
Tập tất cả các véctơ dưới gradient của f tại x gọi là dưới vi phân của
f tại x và ký hiệu là ∂f (x). Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x
nếu ∂f (x) = ∅.
Định lý 1.6. ([2], tr. 74). Một hàm lồi chính thường f trên R
n
có dưới
vi phân khác rỗng tại mỗi điểm x ∈ int (domf) và ∂f (x) là một tập lồi
đóng.
Ví dụ 1.2. Sau đây là dưới vi phân của một số hàm lồi quen thuộc.
a) Hàm afin = a
T
x + a (x ∈ R
n

, a ∈ R) có ∂f (x) = {a} với mọi
x ∈ R
n
.
b) Dưới vi phân của hàm chỉ δ
C
(x)của một tập lồi C = ∅ tại một
điểm x ∈ C chính là nón pháp tuyến ngoài của C tại x:
∂δ
C
(x) =

p : p
T
(x − x) ≤ 0, ∀x ∈ C

c) Nếu f (x) = x (chuẩn Euclid) thì
∂f (x) =

{p : p ≤ 1} khi ¯x = 0,
{¯x/ ¯x} khi ¯x = 0.
Định lý sau nêu mối liên hệ giữa dưới vi phân và đạo hàm theo hướng.
15
Định lý 1.7. ([2], tr. 78). Nếu f là hàm lồi chính thường và x ∈ domf
thi p ∈ ∂f (x) khi và chỉ khi p
T
d ≤ f

(x, d) với mọi d ∈ R
n

, d = 0.
Một loại hàm lồi hay được dùng nhiều trong lý thuyết đối ngẫu
Lagrange, đó là hàm liên hợp. Hàm liên hợp của một hàm tuỳ ý
f : R
n
→ [−∞; +∞] là hàm
f
∗
(y) = sup
x∈domf

y
T
x − f (x)

, y ∈ R
n
.
f
∗
là hàm lồi (ngay cả khi f không lồi), vì f
∗
là hàm cận trên theo
từng điểm (lấy trên dom f) của một họ hàm afin theo y.
Đáng chú ý là bất đẳng thức Fenchel: f (x) + f
∗
(y) ≥ x
T
y (suy từ
định nghĩa). Khi lấy liên hợp hai lần ta có f

∗∗
= f nếu hàm f lồi và
đóng.
Sau đây là một số ví dụ về hàm liên hợp:
• f (x) = ax + b ⇒ f
∗
(y) = −b với mọi y ∈ R.
• f (x) = e
x
⇒ f
∗
(y) = y log y −y với y > 0.
• f (x) = x log x ⇒ f
∗
(y) = e
y−1
.
• f (x) = −log x ⇒ f
∗
(y) = sup
x>0
{xy + log x} =

−1 − log(−y) nếu y < 0,
+∞ nếu y ≥ 0.
• f (x) =
1
2
x
T

Qx với Q ∈ S
n
++
⇒ f
∗
(y) = sup
x

y
T
x −
1
2
x
T
Qx

=
1
2
y
T
Q
−1
y.
1.2.3. Hàm lồi khả vi và cách nhận biết hàm lồi
Mục này đề cập tới các hàm lồi, hàm lõm khả vi. Trước hết, với hàm
một biến số ta chú ý đến kết quả sau (xem [7], tr. 44).
Định lý 1.8. ([7], tr 44). Hàm khả vi ϕ (t) là lồi trên khoảng (a, b) khi
và chỉ khi đạo hàm ϕ


(t) là một hàm không giảm. Hàm hai lần khả vi
ϕ (t) là lồi trên (a, b) khi và chỉ khi đạo hàm bậc hai ϕ

(t) không âm
trên (a, b).
Ta cũng có định lý tương tự cho hàm lõm.
Ta nhắc lại khái niệm vi phân của hàm nhiều biến số. Cho S là một
tập khác rỗng trong R
n
và cho hàm f : S → R. Khi đó f gọi là khả vi
16
tại x ∈ int S nếu tồn tại véctơ gradient ∇f (x) và hàm số α : R
n
→ R
sao cho
f (x) = f (x) + ∇f(x)
T
(x − x) + x − xα (x,x −x) với mọi x ∈ S.
với lim
x→x
α (x, x −x) = 0. Hàm f gọi là khả vi trên tập mở S

⊆ S nếu
f khả vi tại mọi điểm thuộc S

. Cách biểu diễn f như trên gọi là khai
triển (chuỗi Taylor) bậc một của f tại điểm x (hay quanh x).
Để ý rằng nếu hàm f khả vi tại x thì có duy nhất một véctơ gradient
∇f (x) được cho bởi ∇f (x) = (∂f (x) /∂x

1
, , ∂f (x) /∂x
n
)
T
, trong đó
∂f (x) /∂x
i
là đạo hàm riêng của hàm f theo biến x
i
lấy tại điểm x với
mọi i = 1, , n.
Định lý 1.9. ([2], tr. 76). Nếu f là hàm lồi chính thường, khả vi tại
x ∈ domf thì ∂f (x) = {∇f (x)}, tức là ∇f (x) là véctơ dưới gradient
duy nhất của f tại x .
Ngược lại có thể chứng minh rằng nếu f có tại ¯x một véctơ dưới
gradient duy nhất thì f khả vi tại ¯x.
Định lý sau đây nêu lên một tính chất đặc trưng của các hàm lồi khả
vi, giúp nhận biết các hàm nhiều biến là hàm lồi.
Định lý 1.10. ([6], tr. 31). Cho một tập lồi C ⊆ R
n
và một hàm
f : R
n
→ R khả vi trên R
n
:
a) Hàm f lồi trên C khi và chỉ khi f (y) ≥ f (x) + ∇f(x)
T
(y − x) ,

với mọi x, y ∈ C.
b) Hàm f lồi chặt trên C khi và chỉ khi f (y) > f (x)+∇f(x)
T
(y − x)
với mọi x, y ∈ C, x = y.
Định lý sau nêu một đặc trưng cần và đủ khác của các hàm lồi khả
vi.
Định lý 1.11. ([4], tr. 111). Cho một tập lồimở khác rỗng C ⊆ R
n
và
một hàm f : C → R khả vi trên C:
a) Hàm flồi trên C khi và chỉ khi [∇f (y) − ∇f (x)]
T
(y − x) ≥
0, ∀x, y ∈ C.
b) Tương tự, hàm f lồi chặt trên C khi và chỉ khi
[∇f (y) −∇f (x)]
T
(y − x) > 0 với mọi x, y ∈ C, x = y.
17
Mặc dù các Định lý 1.10 và 1.11 cho các đặc trưng cần và đủ của các
hàm lồi và lồi chặt, nhưng về mặt tính toán việc kiểm tra các điều kiện
này rất khó khăn. Có thể nhận được một đặc trưng đơn giản và dễ sử
dụng hơn, ít ra là đối với các hàm bậc hai, nếu hàm đó hai lần khả vi.
Định nghĩa 1.11. Cho tập khác rỗng S ⊆ R
n
và f : S → R . Khi
đó f gọi là khả vi hai lần tại x ∈ intS nếu tồn tại véctơ ∇f (x) và
ma trận đối xứng cấp n × n∇
2

f(x) , gọi là ma trận Hessian, và hàm
a(x, x − x) : R
n
→ R sao cho
f (x) = f (x) + ∇f (x)
T
(x − x) +
1
2
(x − x)
T
∇
2
f (x) (x − x) + ||x − x||
2
α (x, x −x)
với mọi x ∈ S, trong đó lim
x→x
α (x, x −x) = 0. Hàm f gọi là khả vi
hai lần trên tập mở S

⊆ S nếu f khả vi hai lần tại mọi điểm thuộc S

.
Định lý 1.12. ([6], tr. 34). Cho một tập lồi C ⊆ R
n
và một hàm
f : R
n
→ R hai lần khả vi liên tục trên R

n
. ∇
2
f (x) là ma trận Hessian
các đạo hàm riêng cấp 2 của f tại x.
a) Nếu ∇
2
f (x) nửa xác định dương với mọi x ∈ C (tức y
T
∇
2
f (x) y ≥
0, ∀y ∈ R
n
) hoặc nếu ∇
2
f (x) có mọi giá trị riêng không âm thì hàm f
lồi trên C.
b) Nếu ∇
2
f (x) xác định dương với mọi x ∈ C (tức y
T
∇
2
f (x) y >
0, ∀y ∈ R
n
, y = 0) hoặc nếu ∇
2
f (x) có mọi giá trị riêng dương thì hàm

f lồi chặt trên C.
c) Nếu C là tập lồi mở và hàm f lồi trên C thì ∇
2
f (x) nửa xác định
dương với mọi x ∈ C.
1.2.4. Các phép toán bảo toàn hàm lồi
Các phương pháp thực tiễn để xác minh tính lồi của hàm:
1. Dùng định nghĩa (thường đơn giản nhờ thu hẹp hàm trên đường
thẳng).
2. Với hàm hai lần khả vi, chỉ ra ∇
2
f (x)  0 (nửa xác định dương).
3. Chỉ ra f nhận được từ các hàm lồi đơn giản bằng các phép bảo
toàn tính lồi của hàm: tổng với trọng số không âm, phép hơp với hàm
afin, lấy max và sup theo từng điểm, lấy hàm hợp, tìm cực tiểu hoá, lấy
phối cảnh. Cụ thể:
a) Nhân với hệ số không âm: αf lồi khi f lồi vàα ≥ 0.
18
b) Lấy tổng: f
1
+f
2
lồi nếu f
1
, f
2
lồi (mở rộng cho tổng vô hạn, lấy tích
phân); hợp với hàm afin: f (Ax + b) lồi nếu f lồi (A ∈ R
m×n
, b ∈ R

m
).
Chẳng hạn:
+ Hàm chắn lôga đối với các bất đẳng thức tuyến tính
f (x) = −
m

i=1
log

b
i
− a
T
i
x

, domf = {x : a
T
i
x < b
i
, i = 1, , m}.
+ Chuẩn (bất kỳ) của hàm afin: f (x) = ||Ax + b||.
c) Nếu f
1
, , f
m
là các hàm lồi thì f (x) = max {f
1

(x) , , f
m
(x)}
cũng là hàm lồi. Chẳng hạn:
+ Hàm tuyến tính từng khúc f (x) = max
i = 1, , m
(a
T
i
x +b
i
) là hàm lồi.
+ Tổng của r thành phần lớn nhất của x ∈ R
n
:
f (x) = x
[1]
+ x
[2]
+ + x
[r]
là hàm lồi (x[i] là thành phần lớn thứ i của x), bởi vì
f (x) = max{x
i
1
+ x
i
2
+ + x
i

r
: 1 ≤ i
1
< i
2
< < i
r
≤ n}.
d) Nếu hàm f (x, y) lồi theo x với mỗi y ∈ S thì hàm g (x) =
sup
y
∈S
f (x, y) là hàm lồi, chẳng hạn: + Hàm tựa của tập C : s
C
(x) =
sup
y
∈C
x
T
y là hàm lồi theo x.
+ Khoảng cách tới điểm xa nhất trong tập C : f (x) = sup
y
∈C
||x − y||.
+ Giá trị riêng lớn nhất của ma trận đối xứng: với X ∈ S
n
λ
max
(X) = sup

y
2
= 1
y
T
Xy.
e) Hàm hợp vô hướng: hợp của g : R
n
→ R và h : R → R:
f (x) = h (g (x)) .
Khi đó, hàm f lồi nếu g lồi, h lồi không giảm, hoặc g lõm, h lồi không
tăng. Chứng minh cho trường hợp n = 1 và g, h khả vi:
f

(x) = h

(g (x)) × g

(x)
2
+ h

(g (x)) × g

(x) .
Chẳng hạn, e
g(x)
là hàm lồi nếu g(x) lồi và 1/g(x) là hàm lồi nếu g(x)
lõm và g(x) > 0.
19

f) Hàm hợp véctơ: hợp của g : R
n
→ R
k
và h : R
k
→ R:
f (x) = h (g (x)) = h (g
1
(x) , g
2
(x) , , g
k
(x)) .
Khi đó, hàm f lồi nếu g lồi, h lồi không giảm theo mỗi biến, hoặc g lõm,
h lồi không tăng theo mỗi biến. Chứng minh cho trường hợp n = 1và
g, h khả vi:
f

(x) = g

(x)
T
∇
2
h (g (x)) g

(x) + ∇h(g (x))
T
g


(x) .
Chẳng hạn: +
m

i=1
log (g
i
(x)) là hàm lõm nếu mọi g
i
lõm và g
i
(x) > 0.
+ log

m

i=1
exp g
i
(x)

là hàm lồi nếu mọi g
i
lồi.
i) Cực tiểu hóa: Nếu hàm f (x, y) lồi theo (x, y) và C là một tập lồi
thì
g (x) = inf
y∈
C

f (x, y)
là hàm lồi. Chẳng hạn:
+ Khoảng cách tới một tập: dist (x, S) = inf
y
∈S
||x − y|| là hàm lồi nếu
S lồi.
+ Cho hàm f (x, y) = x
T
Ax + 2x
T
By + y
T
Cy với

A B
B
T
C

 0(nửa xác định dương), C  0(xác định dương).
Bằng cách tìm cực tiểu hàm f theo biến y ta nhận được hàm
g (x) = inf
y
f (x, y) = x
T

A − BC
−1
B

T

x.
Khi đó g là hàm lồi. Do đó phần bù Schur x
T

A − BC
−1
B
T

x  0 .
h) Phối cảnh của hàm f : R
n
→ R là hàm g : R
n
× R → R thỏa mãn
g (x, t) = t.f (x/t) , domg = {(x, t) : x/t ∈ domf, t > 0}.
Khi đó, g là hàm lồi nếu hàm f lồi. Chẳng hạn:
+ f (x) = x
T
x là hàm lồi nên g (x, t) =

x
T
x

/t là hàm lồi với t > 0 .
+ f (x) = − log x là hàm lồi nên entropy tương đối g (x, t) = t log t −
t log x là hàm lồi trên R

2
++
(x > 0, t > 0).
20
+ Nếu hàm f lồi thì g (x) =

c
T
x + d

f

(Ax + b) /

c
T
x + d

là hàm
lồi trên {x : c
T
x + d > 0, (Ax + b) /

c
T
x + d

∈ domf}.
Tóm lại, chương này đã nhắc lại một số khái niệm cơ bản về tập lồi,
tập lồi đa diện và các phép toán bảo toàn tập lồi. Nội dung chính của

chương tập trung trình bày khái niệm hàm lồi, hàm lõm và các tính chất
cơ bản của các hàm này như tính liên tục, đạo hàm theo hướng, dưới
vi phân của hàm lồi, hàm liên hợp, hàm lồi khả vi và các tính chất đặc
trưng của hàm lồi khả vi, giúp nhận biết các hàm lồi. Cuối chương trình
bày các phép toán bảo toàn hàm lồi.
21
Chương 2
HÀM LỒI VÀ HÀM LÕM SUY
RỘNG
Chương này trình bày một số lớp hàm lồi, hàm lõm suy rộng: hàm
tựa lồi, tựa lõm (tựa lồi chặt, tựa lồi mạnh, tựa lõm chặt), hàm giả lồi,
giả lõm, giả lồi chặt, hàm lồi tại một điểm, hàm phân thức afin, hàm
lôga-lồi, lôga-lõm, cùng với các tính chất đáng chú ý của các hàm này
và mối quan hệ giữa chúng. Nội dung của chương được tham khảo chủ
yếu từ các tài liệu [3], [4].
2.1. HÀM TỰA LỒI VÀ HÀM TỰA LÕM
Định nghĩa 2.1. Cho hàm f : S → R , trong đó S là một tập lồi khác
rỗng trong R
n
. Hàm f gọi là tựa lồi (quasiconvex) trên S nếu bất đẳng
thức sau đúng với mọi x
1
, x
2
∈ S và mọi λ ∈ (0, 1)
f[λx
1
+ (1 −λ)x
2
] ≤ max


f

x
1

, f

x
2

.
Hàm f gọi là tựa lõm (quasiconcave) trên S nếu −f là tựa lồi trên S,
tức là
f[λx
1
+ (1 −λ)x
2
] ≥ min

f

x
1

, f

x
2


.
với mọi x
1
, x
2
∈ S và mọi λ ∈ (0, 1).
Một hàm vừa tựa lồi vừa tựa lõm gọi là hàm tựa đơn điệu (quasi-
monotone).
Nhận xét 2.1. Từ định nghĩa suy ra mọi hàm lồi (lõm) đều tựa lồi (tựa
lõm).
Định nghĩa trên còn cho thấy hàm f là tựa lồi nếu mỗi khi f

x
2

≥
f

x
1

thì f

x
2

≥ f (x) với mọi x là tổ hợp lồi của x
1
và x
2

. Như vậy,
nếu giá trị hàm f tăng khi đi từ một điểm dọc theo một hướng nào đó
thì f phải giữ nguyên không giảm khi tiếp tục đi theo hướng đó. Hình
2.1 cho ví dụ về hàm tựa lồi và tựa lõm.
22
Hình 2.1 a) Hàm tựa lồi. b) Hàm tựa lõm.
c) Hàm không tựa lồi, tựa lõm. d) Hàm tựa đơn điệu
Ví dụ 2.1. (về hàm tựa lồi, tựa lõm và tựa đơn điệu):
a)

|x| là hàm tựa lồi, f (x) = x
3
là hàm tựa đơn điệu trên R.
b) ceil(x) = inf{z ∈ Z (số nguyên) : z ≥ x} là hàm tựa đơn điệu
trên R.
c) log x là hàm tựa đơn điệu trên R
++
.
d) f (x
1
, x
2
) = x
1
x
2
là hàm tựa lõm trên R
2
++
.

e) Hàm phân thức afin
f (x) =
p
T
x + α
q
T
x + β
, domf = {x ∈ R
n
: q
T
x + β > 0}.
trong đó p, q ∈ R
n
, α, β ∈ R , là tựa đơn điệu trên dom f.
f) Hàm tỉ số khoảng cách
f (x) =
x − a
2
x − b
2
, domf = {x ∈ R
n
: ||x − a||
2
≤ ||x −b||
2
}.
với a, b ∈ R

n
là hàm tựa lồi trên domf.
g) Hàm card(x) = số thành phần khác 0 của x, x ∈ R
n
.
card là hàm tách biến: card (x) = card (x
1
) + + card (x
n
) với mọi
x ∈ R
n
, trong đó
card (x) =

0 khi x = 0
1 khi x = 0
với x ∈ R.
card là hàm tựa lõm trên R
n
+
(nhưng không trên R
n
) bởi vì
card (x + y) ≥ min{card (x) , card (y)}∀x, y ≥ 0.
Định lý sau cho một tính chất đặc trưng của các hàm tựa lồi và tựa
lõm.
23
Định lý 2.1. ([4], tr. 135). Cho f : S → R, trong đó S là một tập lồi
khác rỗng trong R

n
. Hàm f tựa lồi khi và chỉ khi S
α
= {x ∈ S : f (x) ≤ α}
là tập lồi với mọi số thực α. Tương tự, f là hàm tựa lõm khi và chỉ khi
S
β
= {x ∈ S : f (x) ≥ β} là tập lồi với mọi số thực β và f là hàm tựa
đơn điệu khi và chỉ khi S
γ
= {x ∈ S ; f (x) = γ} là tập lồi với mọi số
thực γ.
Chứng minh. Giả sử f tựa lồi và x
1
, x
2
∈ S
α
, nghĩa là x
1
, x
2
∈ S
và f

x
1

≤ α, f


x
2

≤ α. Từ đó max{f

x
1

, f

x
2

} ≤ α. Giả sử
λ ∈ (0, 1) và x = λx
1
+ (1 − λ)x
2
. Do S lồi nên x ∈ S. Hơn nữa, do f
là tựa lồi nên f (x) ≤ max

f

x
1

, f

x
2


≤ α. Do đó x ∈ S
α
và như
vậy S
α
là tập lồi.
Ngược lại, giả sử S
α
là tập lồi với mọi số thực α. Giả sử x
1
, x
2
∈ S
và λ ∈ (0, 1). Đặt x = λx
1
+ (1 − λ)x
2
. Chú ý là x
1
, x
2
∈ S
α
với α =
max{f

x
1


, f

x
2

}. Do giả thiết S
α
là tập lồi nên x ∈ S
α
, nghĩa là
f (x) ≤ α = max

f

x
1

, f

x
2

. Vì thế f là hàm tựa lồi.
Phần còn lại của định lý được chứng minh tương tự. 
Định lý sau nêu một tính chất đặc trưng cần và đủ của hàm khả vi
tựa lồi.
Định lý 2.2. ([4], tr. 137). Cho S là tập lồi mở khác rỗng trong R
n
, f :
S → R là hàm khả vi trên S. Khi đó, hàm f là tựa lồi trên S khi và chỉ

khi một trong hai mệnh đề tương đương sau được thỏa mãn:
1. Nếu x
1
, x
2
∈ S và f

x
1

≤ f

x
2

thì ∇f

x
2

T

x
1
− x
2

≤ 0.
2. Nếu x
1

, x
2
∈ S và ∇f

x
2

T

x
1
− x
2

> 0 thì f

x
1

> f

x
2

.
Chứng minh. Rõ ràng hai mệnh đề 1 và 2 là tương đương. Ta sẽ chứng
minh mệnh đề 1. Giả sử f là hàm tựa lồi trên S và x
1
, x
2

∈ S sao cho
f

x
1

≤ f

x
2

. Do f khả vi tại x
2
nên với λ ∈ (0, 1) ta có
f[λx
1
+ (1 −λ)x
2
] − f

x
2

=λ∇f

x
2

T


x
1
− x
2

+ λ




x
1
− x
2




α[x
2
, λ

x
1
− x
2

],
trong đó α[x
2

, λ

x
1
− x
2

] → 0 khi λ → 0. Do f là hàm tựa lồi nên
f[λx
1
+ (1 −λ)x
2
] ≤ f

x
2
