hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu mạnh

đại học tháI nguyên
TRNG đại khoa học




Lê thị minh HNG



Hiệu chỉnh hệ PHNG trình
toán tử NGC đơn điệu mạnh





luận văn thạc sĩ toán học





TháI nguyên, 2014
đại học tháI nguyên
TRNG đại khoa học

Lê thị minh HNG
đại học tháI nguyên
TRNG đại khoa học




Lê thị minh HNG


Hiệu chỉnh hệ PHNG trình
toán tử NGC đơn điệu mạnh





luận văn thạc sĩ toán học


đại học tháI nguyên
TRNG đại khoa học




Lê thị minh HNG

Hiệu chỉnh hệ PHNG trình
toán tử NGC đơn điệu mạnh


Chuyờn ngnh: Toỏn ng dng
Mó s : 60 46 01 12


luận văn thạc sĩ toán học




Ngi hng dn khoa hc: TS. Nguyn Th Thu Thy


TháI nguyên, 2014
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Hệ phương trình toán tử đơn điệu 7
1.1 Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh . . . . . 7
1.1.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . 8
1.2 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Không gian lồi chặt . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.3 Không gian E-S . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Một số phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử
đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Hệ phương trình toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . 17

2 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu
mạnh 20
2.1 Phương pháp hiệu chỉnh và sự hội tụ . . . . . . . . . . 21
2.2 Tham số hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Tốc độ hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1
BẢNG KÝ HIỆU
R
n
không gian Euclide n chiều
X không gian Banach thực
X
∗
không gian liên hợp của X
ξ, x giá trị của phiếm hàm ξ tại x
S
X
mặt cầu đơn vị của X
D(A) miền xác định của toán tử A
R(A) miền giá trị của toán tử A
H không gian Hilbert thực
A
∗
toán tử liên hợp của toán tử A
I ánh xạ đơn vị
A
T
ma trận chuyển vị của ma trận A

x
n
→ x dãy {x
n
} hội tụ mạnh tới x
x
n
 x dãy {x
n
} hội tụ yếu tới x
2
Mở đầu
Trong luận văn này chúng tôi xét hệ phương trình toán tử đơn điệu
đặt không chỉnh trong không gian Banach X: Tìm phần tử x
0
∈ X
thỏa mãn
A
j
(x
0
) = f
j
, j = 1, . . . , N, (1)
ở đây A
j
: D(A
j
) ⊆ X → X
∗

(X
∗
là không gian liên hợp của X),
f
j
∈ X
∗
, N ≥ 0 là một số tự nhiên, D(A
j
) là ký hiệu tập xác định
của toán tử A
j
.
Ta xét hệ phương trình toán tử (1) trong trường hợp dữ kiện ban đầu
(A
j
, f
j
) không được biết chính xác mà được cho xấp xỉ bởi (A
h
j
, f
δ
j
),
thỏa mãn
f
j
− f
δ

j
 ≤ δ, δ → 0, j = 1, . . . , N, (2)
và
A
h
j
(x) − A
j
(x) ≤ hg(x), h → 0, j = 1, . . . , N, (3)
với g(t) là một hàm không âm và bị chặn với t ≥ 0.
Nếu không có các điều kiện đặc biệt đặt lên các toán tử A
j
(chẳng
hạn tính đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh), thì mỗi phương trình
toán tử A
j
(x) = f
j
trong hệ (1) là một bài toán đặt không chỉnh theo
nghĩa nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban
đầu. Do đó, hệ phương trình toán tử (1) nói chung, cũng là một bài
toán đặt không chỉnh. Để giải loại bài toán này, ta phải sử dụng những
3
phương pháp giải ổn định, sao cho khi sai số của dữ kiện đầu vào càng
nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm đúng của bài
toán ban đầu.
Những phương pháp cơ bản được sử dụng rộng rãi để tìm nghiệm
xấp xỉ của hệ phương trình toán tử (1) phải kể đến đó là phương pháp
kiểu hiệu chỉnh lặp hoặc phương pháp kiểu hiệu chỉnh Tikhonov sau
khi viết lại hệ phương trình toán tử (1) ở dạng phương trình toán tử

A(x) = f,
ở đây
A := (A
1
, . . . , A
N
) :
N

j=1
D(A
j
) =: D → (X
∗
)
N
và f := (f
1
, . . . , f
N
). Các phương pháp này tỏ ra không hiệu quả khi
số phương trình của hệ (1) lớn đồng thời việc tính toán các giá trị
A
j
(x) và A

j
(x)
∗
tỏ ra tốn kém. Để cải thiện tình hình này, phương

pháp lặp kiểu Kaczmarz được nghiên cứu trên cơ sở dãy lặp xoay vòng
cho mỗi phương trình trong (1) (xem [9], [10]). Một số cải biên của
phương pháp này giải hệ phương trình toán tử (1) được nghiên cứu
mới đây trong không gian Hilbert với mỗi toán tử A
j
là liên tục yếu
theo dãy và miền xác định D(A
j
) tương ứng là đóng yếu.
Năm 2006, để giải hệ phương trình toán tử (1) trong trường hợp
f
j
= θ-phần tử không trong không gian X
∗
và A
j
là các toán tử hemi-
liên tục, đơn điệu và có tính chất thế năng với D(A
j
) = X, Ng. Bường
[7] đã đưa ra phương pháp hiệu chỉnh kiểu Browder-Tikhonov dạng:
N

j=1
α
µ
j
A
h
j

(x) + αU(x) = θ,
µ
1
= 0 < µ
j
< µ
j+1
< 1, j = 2, . . . , N − 1,
(4)
ở đây A
h
j
là các toán tử hemi-liên tục, đơn điệu và là xấp xỉ của A
j
thỏa mãn (3), U là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của không gian Banach
4
X, α > 0 là một tham số dương, được gọi là tham số hiệu chỉnh.
Những nghiên cứu tiếp theo của phương pháp này được phát triển
trong [8], [11]. Chú ý rằng phương pháp Kaczmarz vốn là thuật toán
tuần tự, nên khi số phương trình của hệ đủ lớn thì phương pháp này
trở nên tốn kém trên một bộ xử lý đơn, trong khi phương pháp hiệu
chỉnh (4) của Ng. Bường và một số cải biên của phương pháp có thể
được sử dụng tính toán song song (xem [4], [5], [6]).
Mục đích của đề tài luận văn là nghiên cứu phương pháp hiệu
chỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu mạnh trong không gian
Banach. Cụ thể là nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh hệ phương
trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh, cách chọn tham số hiệu chỉnh
và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trên cơ sở kết quả
trong [8] và [11].
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1

trình bày một số kiến thức cơ bản về bài toán đặt không chỉnh, toán
tử đơn điệu và hệ phương trình toán tử đơn điệu.
Chương 2 trình bày phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình toán
tử với toán tử ngược đơn điệu mạnh trong không gian Banach.
Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đại
học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Tiến sĩ
Nguyễn Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và
sâu sắc nhất tới cô.
Trong quá trình học tập và làm luận văn, từ bài giảng của các Giáo
sư, Phó Giáo sư công tác tại Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông
tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, các Thầy
Cô trong Đại học Thái Nguyên, tác giả đã trau dồi thêm rất nhiều
kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu và công tác của bản thân. Tác
giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô.
5
Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo
đơn vị công tác và đồng nghiệp đã luôn động viên, giúp đỡ và tạo điều
kiện tốt nhất cho tác giả khi học tập và nghiên cứu.
Tác giả
Lê Thị Minh Hương
6
Chương 1
Hệ phương trình toán tử đơn điệu
Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả về phương trình
và hệ phương trình toán tử đơn điệu đặt không chỉnh trong không
gian Banach. Các kiến thức của chương này được tham khảo trong
các tài liệu [1], [2] và [3].
1.1 Bài toán đặt không chỉnh
1.1.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh
Chúng tôi trình bày khái niệm về bài toán đặt không chỉnh trên cơ

sở xét một bài toán ở dạng phương trình toán tử
A(x) = f, (1.1)
trong đó A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào
không gian Banach Y, f là phần tử thuộc Y. Sau đây là một định
nghĩa của Hadamard.
Định nghĩa 1.1. Cho A là một toán tử từ không gian Banach X vào
không gian Banach Y. Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt chỉnh
(well-posed) nếu
1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ;
2) nghiệm này là duy nhất; và
7
3) nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thỏa mãn thì bài
toán (1.1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed).
Bài toán tìm nghiệm x phụ thuộc vào dữ kiện f, nghĩa là x = R(f),
được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y ) nếu với mỗi ε > 0 tồn
tại một số δ(ε) > 0 sao cho từ ρ
Y
(f
1
, f
2
) ≤ δ(ε) cho ta ρ
X
(x
1
, x
2
) ≤ ε,
ở đây

x
i
= R(f
i
), x
i
∈ X, f
i
∈ Y, i = 1, 2.
Nhận xét 1.1. Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian
này nhưng lại đặt không chỉnh trên cặp không gian khác.
Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.1) thường được cho bởi
đo đạc, nghĩa là thay cho giá trị chính xác f, ta chỉ biết xấp xỉ f
δ
của
nó thỏa mãn f
δ
− f ≤ δ. Giả sử x
δ
là nghiệm của bài toán (1.1) với
f thay bởi f
δ
(giả thiết rằng nghiệm tồn tại). Khi δ → 0 thì f
δ
→ f
nhưng với bài toán đặt không chỉnh thì x
δ
nói chung không hội tụ đến
x.
1.1.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh

Xét phương trình toán tử (1.1) với A là một ma trận vuông cấp
M = 7 được xác định bởi
A =
























2 2 2 2 2 2 2
2 2, 001 2 2 2 2 2
2 2 2, 001 2 2 2 2

2 2 2 2, 001 2 2 2
2 2 2 2 2, 001 2 2
2 2 2 2 2 2, 001 2
2 2 2 2 2 2 2, 001
























8
và vế phải

f =
14 14, 001 14, 001 14, 001 14, 001 14, 001 14, 001
T
∈ R
7
.
Khi đó, ta thấy phương trình A(x) = f có duy nhất nghiệm
x =
1 1 1 1 1 1 1
T
∈ R
7
.
Nếu
A = A
h
1
=

























2 2 2 2 2 2 2
2 2, 001 2 2 2 2 2
2 2 2, 001 2 2 2 2
2 2 2 2, 001 2 2 2
2 2 2 2 2, 001 2 2
2 2 2 2 2 2, 001 2
2 2 2 2 2 2 2

























và vế phải
f = f
δ
1
=
14 14, 001 14, 001 14, 001 14, 001 14, 001 14
T
∈ R
7
.
Trong trường hợp này phương trình A(x) = f có vô số nghiệm.
Nếu
A = A
h
1
=

























2 2 2 2 2 2 2
2 2, 001 2 2 2 2 2
2 2 2, 001 2 2 2 2
2 2 2 2, 001 2 2 2
2 2 2 2 2, 001 2 2
2 2 2 2 2 2, 001 2
2 2 2 2 2 2 2

























và vế phải
f = f
δ
2
=
14 14, 001 14, 001 14, 001 14, 001 14, 001 14, 001

T
∈ R
7
,
9
thì phương trình A(x) = f vô nghiệm.
Như vậy, chỉ cần một thay đổi nhỏ trong dữ kiện ban đầu của bài
toán đã dẫn đến thay đổi lớn của nghiệm. Bài toán trong ví dụ trên
là bài toán đặt không chỉnh.
Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán đặt không chỉnh
nên người ta thường có tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm. Ta
sẽ sử dụng nghiệm x
0
có x
∗
-chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm
x
0
∈ S thỏa mãn
A(x
0
) = f,
và
x
0
− x
∗
 = min{x − x
∗
 : Ax = f},

trong đó S là tập nghiệm của bài toán (1.1), được giả thiết là khác
rỗng. Bằng cách chọn x
∗
ta có thể có được nghiệm mà ta muốn xấp
xỉ.
1.2 Toán tử đơn điệu
1.2.1 Không gian lồi chặt
Cho X là không gian Banach thực, X
∗
là không gian đối ngẫu của
X. Cả hai có chuẩn đều được ký hiệu là  · . Ta viết ξ, x thay cho
ξ(x) với ξ ∈ X
∗
và x ∈ X. Giả sử A : X → X
∗
là một toán tử với
miền xác định là D(A) = X và miền ảnh R(A) nằm trong X
∗
. Ký
hiệu S
X
= {x ∈ X : x = 1} là mặt cầu đơn vị của X.
Định nghĩa 1.2. Không gian Banach X được gọi là không gian lồi
chặt nếu x, y ∈ S
X
, x = y thì
(1 − λ)x + λy < 1, ∀λ ∈ (0, 1).
10
Ví dụ 1.1. Xét X = R
n

, n ≥ 2 với chuẩn Euclid
||x|| =
n

i=1
x
2
i
1
2
, x = (x
1
, x
2
, , x
n
) ∈ R
n
.
Ta có X là không gian lồi chặt.
1.2.2 Toán tử đơn điệu
Định nghĩa 1.3. Cho X là không gian Banach thực, X
∗
là không gian
đối ngẫu của X. Toán tử A : X → X
∗
với miền xác định D(A) = X
và miền ảnh R(A) nằm trong X
∗
được gọi là đơn điệu (monotone)

nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A). (1.2)
Toán tử A được gọi là đơn điệu chặt (strictly monotone) nếu dấu
bằng trong bất đẳng thức (1.2) chỉ xảy ra khi x = y.
Toán tử A được gọi là đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm
δ(t) không giảm với t ≥ 0, δ(0) = 0 và
A(x) − A(y), x − y ≥ δ(||x − y||), ∀x, y ∈ D(A).
Nếu δ(t) = c
A
t
2
với c
A
là một hằng số dương thì toán tử A được gọi
là toán tử đơn điệu mạnh.
Chú ý rằng, nếu A là toán tử tuyến tính thì tính đơn điệu tương
đương với tính không âm của toán tử.
Ví dụ 1.2. Toán tử A : R → R được cho bởi A(x) = 2x là một toán
tử đơn điệu mạnh.
Định nghĩa 1.4. Một toán tử A : D(A) ≡ X → X
∗
được gọi là toán
tử m
A
-ngược đơn điệu mạnh nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ m
A
A(x) − A(y)
2
, (1.3)

với mọi x, y ∈ X, m
A
là hằng số dương.
11
Ví dụ 1.3. Toán tử A : R → R được cho bởi A(x) =
1
m
x, trong đó
m > 0 là toán tử ngược đơn điệu mạnh.
Định nghĩa 1.5. Một ánh xạ U
s
: X → X
∗
được gọi là ánh xạ đối
ngẫu tổng quát của X nếu
U
s
(x) =

x
∗
∈ X
∗
: x
∗
, x = x
∗
.x, x
∗
 = x

s−1

, s ≥ 2.
Nếu s = 2 thì U
2
(thường viết là U) gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn
tắc của X.
Khái niệm toán tử đơn điệu còn được mô tả trên đồ thị Gr(A) trong
không gian tích X ×X
∗
, trong đó, theo định nghĩa Gr(A) = {(x, Ax) :
x ∈ X}.
Định nghĩa 1.6. Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu
x
∗
− y
∗
, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X, x
∗
∈ A(x), y
∗
∈ A(y).
Tập Gr(A) được gọi là đơn điệu nếu nó thỏa mãn bất đẳng thức trên.
Nếu Gr(A) không được chứa trong một tập đơn điệu nào khác trong
X × X
∗
thì toán tử A được gọi là toán tử đơn điệu cực đại.
Định nghĩa 1.7. Toán tử A được gọi là
i) hemi-liên tục (hemicontinuous) trên X nếu A(x + ty)  Ax khi
t → 0

+
với mọi x, y thuộc X.
ii) demi-liên tục (demicontinuous) trên X nếu từ x
n
→ x suy ra
Ax
n
 Ax khi n → ∞.
Một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục trên X thì demi-liên tục.
Định nghĩa 1.8. Toán tử A được gọi là bức (coercive) nếu
lim
||x||→+∞
Ax, x
||x||
= +∞, ∀x ∈ X.
Định lý sau đây chỉ ra rằng bất cứ một toán tử đơn điệu, hemi-liên
tục và bị chặn nào từ X vào X
∗
cũng đều là toán tử đơn điệu cực đại.
12
Định lý 1.1. Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, B :
X → X
∗
là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và bị chặn, A : X →
X
∗
là toán tử đơn điệu cực đại. Khi đó A +B cũng là một toán tử đơn
điệu cực đại.
Tính bị chặn của toán tử sẽ là không cần thiết nếu miền xác định
của nó là toàn bộ không gian X. Ta có kết quả sau.

Định lý 1.2. Cho X là không gian Banach thực phản xạ, và A :
D(A) ≡ X → X
∗
là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục. Khi đó A
là toán tử đơn điệu cực đại. Ngoài ra, nếu A là toán tử bức thì ta có
R(A) ≡ X
∗
.
Chú ý rằng nếu X là không gian Banach lồi chặt thì U là ánh xạ
đơn điệu chặt. Nếu X
∗
là không gian lồi chặt thì ánh xạ U đơn trị,
demi-liên tục (do đó, hemi-liên tục). Trong đề tài luận văn này ta sẽ
ký hiệu ánh xạ đối ngẫu tổng quát (ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc) đơn
trị tương ứng là U
s
(và U).
Sau đây là một kết quả của lý thuyết toán tử đơn điệu được dùng
trong Chương 2.
Bổ đề 1.1. Cho X là không gian Banach thực, X
∗
là không gian đối
ngẫu của X, f ∈ X
∗
và A : X → X
∗
là một toán tử hemi-liên tục.
Khi đó nếu tồn tại x
0
∈ X thỏa mãn bất đẳng thức:

A(x) − f, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X
thì x
0
là nghiệm của phương trình A(x) = f.
Nếu A là một toán tử đơn điệu trên X thì điều kiện trên tương
đương với
A(x
0
) − f, x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X.
Bổ đề 1.1 gọi là bổ đề Minty, tên một nhà toán học Mỹ, người đã
chứng minh kết quả trên trong trường hợp không gian Hilbert. Sau
13
này chính ông và Browder đã chứng minh một cách độc lập cho không
gian Banach.
1.2.3 Không gian E-S
Định nghĩa 1.9. Không gian Banach X được gọi là không gian E-S
nếu X phản xạ và trong X sự hội tụ yếu của các phần tử (x
n
 x)
và sự hội tụ chuẩn (||x
n
|| → ||x||) luôn kéo theo sự hội tụ mạnh
(||x
n
− x|| → 0).
Ví dụ 1.4. Không gian Hilbert H có tính chất E-S. Thật vậy, trước

hết ta có không gian Hilbert H là không gian phản xạ. Bây giờ ta sẽ
chỉ ra nếu x
n
 x và ||x
n
|| → ||x|| thì ||x
n
− x|| → 0. Thật vậy,
||x
n
− x||
2
= x
n
− x, x
n
− x
= ||x
n
||
2
− 2x
n
, x + ||x||
2
= ||x
n
||
2
+ ||x||

2
− 2x
n
, x
−→ 2||x||
2
− 2||x||
2
= 0.
1.3 Một số phương pháp hiệu chỉnh phương trình toán tử
đặt không chỉnh
Cho A : X → Y là một toán tử khả nghịch trong lân cận của x
0
và giả sử A(x
0
) = f. Với phương trình toán tử đặt không chỉnh (1.1),
nếu chỉ biết dữ kiện f
δ
sao cho
f
δ
− f ≤ δ, (1.4)
thì thậm chí ngay cả khi tồn tại A
−1
, x
δ
:= A
−1
f
δ

vẫn có thể không
là xấp xỉ của nghiệm của bài toán này. Để nhận được nghiệm ổn định
ta phải sử dụng các phương pháp hiệu chỉnh.
14
Định nghĩa 1.10. Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian
Banach X vào không gian Banach Y . Toán tử T (f, α), phụ thuộc vào
tham số α, tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử hiệu chỉnh
cho phương trình (1.1), nếu
- Tồn tại hai số dương δ
1
và α
1
sao cho toán tử T(f
δ
, α) xác định
với mọi α ∈ (0, α
1
) và với mọi f
δ
∈ Y thỏa mãn
f
δ
− f ≤ δ, δ ∈ (0, δ
1
);
- Tồn tại một hàm α = α(δ, f
δ
) phụ thuộc vào δ sao cho với mọi
ε > 0, luôn tìm được δ(ε) ≤ δ
1

để với mọi f
δ
∈ Y thỏa mãn
f
δ
− f ≤ δ ≤ δ(ε)
thì x
δ
α
− x
0
 ≤ ε, ở đây x
0
là nghiệm có x
∗
-chuẩn nhỏ nhất của bài
toán (1.1) và x
δ
α
∈ T (f
δ
, α(δ, f
δ
)).
Toán tử hiệu chỉnh T (f, α) trong định nghĩa này nói chung là đa trị.
Phần tử xấp xỉ x
δ
α
∈ T (f
δ

, α(δ, f
δ
)) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của
phương trình (1.1), còn α = α(δ, f
δ
) được gọi là tham số hiệu chỉnh.
Tham số hiệu chỉnh α(δ, f
δ
) phải được chọn sao cho
lim
δ→0
α(δ, f
δ
) = 0.
Từ Định nghĩa 1.10 ta thấy nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ kiện
ban đầu. Như vậy, việc tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán đặt không
chỉnh phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu bao gồm việc xây dựng
toán tử hiệu chỉnh và cách chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa
vào thông tin của bài toán về sai số và dữ kiện ban đầu. Với cách chọn
giá trị của tham số hiệu chỉnh α thì sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh
x
δ
α
đến nghiệm x
0
của bài toán (1.1) có thể chậm tùy ý. Để nhận được
đánh giá sai số, nghĩa là đánh giá x
δ
α
− x

0
, người ta phải sử dụng
thêm thông tin về nghiệm. Một giả thiết thông dụng là "điều kiện
15
nguồn" (hay "điều kiện trơn" của nghiệm): tồn tại z ∈ X sao cho
x
0
− x
∗
= A

(x
0
)
∗
z.
Sau đây là một số phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán đặt không
chỉnh (1.1).
• Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov
Giả thiết rằng X và Y là các không gian Hilbert thực. Nội dung
của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh
cho phương trình toán tử (1.1) dựa trên việc tìm phần tử cực tiểu x
δ
α
của phiếm hàm Tikhonov
F
δ
α
(x) = A(x) − f
δ


2
+ αx − x
∗

2
. (1.5)
Kết quả của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là với điều kiện đặt
cho toán tử A, với cách chọn tham số hiệu chỉnh α thích hợp, phần tử
cực tiểu x
δ
α
là xấp xỉ tốt cho nghiệm x
0
của bài toán (1.1). Ta có định
lý sau.
Định lý 1.3. Cho A : H → H là một toán tử liên tục và đóng yếu,
α > 0 và {x
k
} là một dãy cực tiểu của (1.5) với f
δ
được thay bởi f
k
sao cho f
k
→ f
δ
. Khi đó, tồn tại một dãy con hội tụ của dãy x
k
và

giới hạn của dãy con hội tụ này là phần tử cực tiểu của (1.5).
• Phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov
Tư tưởng của phương pháp hiệu chỉnh do Browder đề xuất năm
1966 cho bài toán bất đẳng thức biến phân (còn gọi là phương pháp
hiệu chỉnh Browder-Tikhonov) là sử dụng một toán tử M : X → X
∗
có tính chất hemi-liên tục, đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh.
Một dạng của toán tử M là ánh xạ đối ngẫu tổng quát U
s
của X. Bằng
phương pháp này, Alber (xem [3]) đã xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho
phương trình toán tử (1.1) trên cơ sở phương trình
A(x) + αU
s
(x − x
∗
) = f
δ
. (1.6)
16
Giả sử X là không gian Banach thực phản xạ có tính chất E-S, X
∗
là không gian lồi chặt. Ta có kết quả sau:
Định lý 1.4. Cho A : X → X
∗
là một toán tử đơn điệu, hemi-liên
tục. Khi đó, với mỗi α > 0 và f
δ
∈ X
∗

, phương trình (1.6) có duy
nhất nghiệm x
δ
α
. Ngoài ra nếu α, δ/α → 0 thì {x
δ
α
} hội tụ đến nghiệm
có x
∗
-chuẩn nhỏ nhất của bài toán (1.1).
1.4 Hệ phương trình toán tử đơn điệu
Cho A
j
: X → X
∗
là các toán tử đơn điệu, hemi-liên tục từ không
gian Banach thực phản xạ X vào X
∗
. Hãy tìm x
0
∈ X sao cho
A
j
(x
0
) = f
j
, ∀j = 1, . . . , N, (1.7)
trong đó N là một số dương cố định.

Đặt
S
j
= {¯x ∈ X : A
j
(¯x) = θ}, j = 1, . . . , N.
Trong trường hợp A
j
là đạo hàm Gâteaux của một hàm lồi chính
thường nửa liên tục dưới ϕ
j
: X → R ∪ {+∞} thì tập S
j
trùng với
tập nghiệm của bài toán cực trị
inf
x∈X
ϕ
j
(x), (1.8)
và là một tập con lồi đóng trong X, với mỗi j = 1, . . . , N. Kết quả
này được suy ra từ bổ đề Minty và mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.1. Giả sử F : X → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm lồi
chính thường, nửa liên tục dưới trên X và khả vi Gâteaux với đạo hàm
Gâteaux F

giả thiết là liên tục. Khi đó các phát biểu sau là tương
đương:
i) x
0

là điểm cực tiểu của F(x) trên X;
17
ii) F

(x
0
), x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X;
iii) F

(x), x − x
0
 ≥ 0, ∀x ∈ X.
Mệnh đề 1.2. Cho ϕ : X → R ∪ {+∞} là một phiếm hàm lồi chính
thường, nửa liên tục dưới trên X. Khi đó tập nghiệm của bài toán
inf
x∈X
ϕ(x)
là một tập lồi đóng, có thể là tập rỗng.
Đạo hàm Gâteaux của một hàm lồi có tính chất đơn điệu, đó là nội
dung của mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.3. Cho F : X → R ∪ {+∞} là một hàm khả vi Gâteaux
trên X. Khi đó điều kiện cần và đủ để hàm F lồi trên X là đạo hàm
Gâteaux F

của nó là một toán tử đơn điệu từ X vào X
∗
.
Với mỗi j, sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán trong (1.7)

và (1.8) được cho bởi các định lý sau đây.
Định lý 1.5. Cho F : X → R ∪ {+∞} là một hàm lồi chính thường,
nửa liên tục dưới có tính chất bức trên X, nghĩa là
lim
x→∞
F (x) = +∞, x ∈ X.
Khi đó, bài toán inf
x∈X
F (x) có ít nhất một nghiệm. Ngoài ra, nếu hàm
F lồi chặt trên X thì bài toán có nghiệm duy nhất.
Định lý 1.6. Nếu A là một toán tử đơn điệu và hemi-liên tục thỏa
mãn điều kiện: tồn tại một số M > 0 sao cho với mọi x ∈ X, x ≥ M
thì Ax, x > 0. Khi đó phương trình toán tử A(x) = 0 có ít nhất một
nghiệm.
Định lý 1.7. Nếu A là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và bức
từ không gian Banach phản xạ X vào X
∗
thì phương trình toán tử
A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ X
∗
.
18
Bài toán chấp nhận lồi xuất hiện trong nhiều lĩnh vực, như lý thuyết
tối ưu, xử lý ảnh . . . được đưa về bài toán tìm nghiệm của hệ phương
trình
A
j
(x) := x − P
j
(x) = θ, j = 1, . . . , N, (1.9)

trong đó P
j
là toán tử chiếu lên tập con lồi, đóng C
j
của không gian
Hilbert thực H, j = 1, . . . , N, θ là phần tử không trong H. Bài toán
(1.9) cũng được biết đến là bài toán tìm điểm bất động chung của các
ánh xạ không giãn P
j
.
Như đã biết trong [3] mỗi phương trình của (1.7), nói chung, là một
bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa nghiệm của nó không phụ thuộc
liên tục vào dữ kiện ban đầu. Do đó, hệ (1.7), nói chung, cũng là một
bài toán đặt không chỉnh. Vì thế sự hội tụ mạnh và tính ổn định của
nghiệm hiệu chỉnh chỉ có thể giải bằng cách áp dụng phương pháp
hiệu chỉnh.
19
Chương 2
Hiệu chỉnh hệ phương trình toán
tử ngược đơn điệu mạnh
Chương này nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh hệ phương trình
toán tử với toán tử ngược đơn điệu mạnh trong không gian Banach.
Nội dung của chương được viết trên cơ sở các kết quả trong [8] và [11]
bao gồm: nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh, đánh giá tốc độ hội tụ
của nghiệm hiệu chỉnh trên cơ sở tham số hiệu chỉnh được chọn theo
nguyên lý độ lệch suy rộng.
Cho X là không gian Banach thực, phản xạ có tính chất E-S. Trong
toàn bộ chương này ta luôn giả thiết X và X
∗
, là lồi chặt. Để đơn giản

ta ký hiệu chuẩn của X và X
∗
là  · , và viết ξ, x thay cho ξ(x) với
ξ ∈ X
∗
và x ∈ X.
Giả sử A
j
: X → X
∗
là một họ các toán tử đơn điệu, hemi-liên tục,
f
j
∈ X
∗
với j = 1, . . . , N. Đặt S
j
= {¯x ∈ X : A
j
(¯x) = f
j
}. Ta có S
j
là tập con lồi, đóng trong X. Giả sử rằng S =
N

j=1
S
j
= ∅. Ta xét hệ

phương trình toán tử đã đề cập đến ở Chương 1:
Tìm phần tử x
0
∈ S. (2.1)
Nếu không có thêm giả thiết đặt lên các toán tử A
j
, chẳng hạn tính
đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh, thì mỗi phương trình A
j
(x) = f
j
,
nói chung, là một bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa tập nghiệm
20
S
j
không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu (A
j
, f
j
). Do đó, bài
toán (2.1), nói chung, cũng là bài toán đặt không chỉnh. Để tìm nghiệm
cho phương trình toán tử đặt không chỉnh A
j
(x) = f
j
ta phải sử dụng
các phương pháp giải ổn định. Một trong các phương pháp được sử
dụng rộng rãi và hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Bằng
phương pháp này, Alber và Ryazantseva đã nghiên cứu phương trình

hiệu chỉnh dạng:
A
h
j
(x) + αU
s
(x − x
∗
) = f
δ
j
, (2.2)
trong đó α > 0 là tham số hiệu chỉnh, U
s
là ánh xạ đối ngẫu tổng
quát của X, A
h
j
: X → X
∗
là toán tử đơn điệu, bị chặn, hemi-liên tục.
Ở đây, (A
h
j
, f
δ
j
) là các xấp xỉ của (A
j
, f

j
) thỏa mãn:
||A
h
j
(x) − A
j
(x)|| ≤ hg(||x||), (2.3)
||f
δ
j
− f
j
|| ≤ δ, (2.4)
trong đó (h, δ) → 0, g(t) là hàm bị chặn, không âm với t ≥ 0 và
x
∗
∈ X đóng vai trò của một tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm.
Đặt τ = (h, δ). Với mỗi j, phương trình (2.2) có duy nhất nghiệm x
α,τ
j
và nếu h/α, δ/α, α → 0 thì x
α,τ
j
→ x
j
∈ S
j
với x
∗

-chuẩn nhỏ nhất,
tức là
||x
j
− x
∗
|| = min
x∈S
j
||x − x
∗
||, j = 1, . . . , N.
2.1 Phương pháp hiệu chỉnh và sự hội tụ
Để tìm nghiệm xấp xỉ cho (2.1), ta xét bài toán hiệu chỉnh sau: Tìm
phần tử x
τ
α
∈ X sao cho
N

j=1
α
λ
j
(A
h
j
(x
τ
α

) − f
δ
j
) + αU
s
(x
τ
α
− x
∗
) = 0,
λ
1
= 0 < λ
j
< λ
j+1
< 1, j = 2, . . . , N − 1.
(2.5)
21
Giả thiết ánh xạ đối ngẫu tổng quát U
s
thỏa mãn điều kiện
U
s
(x) − U
s
(y), x − y ≥ m
U
||x − y||

s
, ∀x, y ∈ X, (2.6)
trong đó m
U
là hằng số dương. Nếu X là không gian Hilbert thì
U
s
≡ I, s = 2 với m
U
= 1, trong đó I là toán tử đơn vị trong không
gian tương ứng.
Bổ đề 2.1. Cho X là không gian Banach phản xạ thực có tính chất
E-S với không gian đối ngẫu X
∗
là lồi chặt, A
h
j
: X → X
∗
là toán tử
đơn điệu, bị chặn, hemi-liên tục với mọi h > 0, U
s
: X → X
∗
là ánh
xạ đối ngẫu tổng quát của X và f
δ
j
∈ X
∗

với mọi δ > 0. Khi đó bài
toán (2.5) có duy nhất nghiệm x
τ
α
với mọi α > 0.
Chứng minh. Vì A
h
j
là toán tử đơn điệu, bị chặn, hemi-liên tục, do đó
nó là toán tử đơn điệu cực đại. Do X
∗
là lồi chặt nên U
s
là ánh xạ
hemi-liên tục. Theo Định lý 1.1 ta có
N

j=1
α
λ
j
A
h
j
+ αU
s
là toán tử đơn
điệu cực đại. Với mỗi α > 0 toán tử
N


j=1
α
λ
j
A
h
j
+ αU
s
là toán tử bức.
Thật vậy
(
N

j=1
α
λ
j
A
h
j
+ αU
s
)(x), x = 
N

j=1
α
λ
j

A
h
j
(x) + αU
s
(x), x
= 
N

j=1
α
λ
j
A
h
j
(x) +
N

j=1
α
λ
j
A
h
j
(θ) −
N

j=1

α
λ
j
A
h
j
(θ) + αU
s
(x), x − θ
= 
N

j=1
α
λ
j
A
h
j
(x) −
N

j=1
α
λ
j
A
h
j
(θ), x − θ + 

N

j=1
α
λ
j
A
h
j
(θ), x − θ
+ αU
s
(x), x − θ.
Vì A
h
j
là toán tử đơn điệu nên

N

j=1
α
λ
j
A
h
j
(x) −
N


j=1
α
λ
j
A
h
j
(θ), x − θ ≥ 0, ∀x ∈ X.
Mặt khác theo định nghĩa ánh xạ đối ngẫu tổng quát ta có
αU
s
(x), x − θ = αU
s
(x), x = α||x||
s
.
22
Do đó
(
N

j=1
α
λ
j
A
h
j
+ αU
s

)(x), x ≥ α||x||
s
−
N

j=1
α
λ
j
||A
h
j
(θ)||||x||.
Từ bất đẳng thức này suy ra
(
N

j=1
α
λ
j
A
h
j
+ αU
s
)(x), x
||x||
≥
α||x||

s
−
N

j=1
α
λ
j
||A
h
j
(θ)||||x||
||x||
.
Vì s ≥ 2 nên
lim
||x||→+∞
(
N

j=1
α
λ
j
A
h
j
+ αU
s
)(x), x

||x||
= +∞.
Khi đó theo Định lý 1.7.4 trong [3], phương trình (2.5) có nghiệm. Gọi
x
τ
α
là nghiệm của (2.5). Bây giờ ta sẽ chỉ ra
N

j=1
α
λ
j
A
h
j
+ αU
s
là toán
tử đơn điệu mạnh. Thật vậy, từ tính chất đơn điệu của toán tử A
h
j
,
U
s
và (2.6) ta có
(
N

j=1

α
λ
j
A
h
j
+ αU
s
)(x) − (
N

j=1
α
λ
j
A
h
j
+ αU
s
)(y), x − y
= 
N

j=1
α
λ
j
A
h

j
(x) −
N

j=1
α
λ
j
A
h
j
(y), x − y + αU
s
(x) − U
s
(y), x − y
≥ αm
U
||x − y||
s
, s ≥ 2.
Vậy phương trình (2.5) có duy nhất nghiệm.
Nghiệm x
τ
α
thỏa mãn (2.5) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của bài
toán (2.1).
Định lý 2.1. Cho X là không gian Banach phản xạ cùng với không
gian đối ngẫu X
∗

là lồi chặt, A
j
: X → X
∗
là các toán tử ngược đơn
điệu mạnh, A
h
j
: X → X
∗
là các toán tử đơn điệu, bị chặn, hemi-liên
tục với j = 1, . . . , N, và U
s
: X → X
∗
là ánh xạ đối ngẫu tổng quát
của X. Giả sử rằng (2.3) và (2.6) thỏa mãn. Khi đó, nếu
h + δ
α
→ 0 khi α → 0, (2.7)
23