Hệ phương trình toán tử loại đơn điệu

đại học thái nguyên
Tr-ờng đại học khoa học



Nguyễn thị vân


Hệ ph-ơng trình toán tử
loại đơn điệu




luận văn thạc sĩ toán học




thái nguyên 2012
đại học thái nguyên
Tr-ờng đại học khoa học



Nguyễn thị vân


Hệ ph-ơng trình toán tử
loại đơn điệu

Chuyên ngành: Toán ứng Dụng
Mã số: 60.46.0112



luận văn thạc sĩ toán học


Ng-ời h-ớng dẫn khoa học:
Ts. nguyễn thị thu thủy

thái nguyên 2012
1
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Hệ phương trình với toán tử ngược đơn điệu mạnh 6
1.1. Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Toán tử đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . 9
1.1.3. Ánh xạ đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2. Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu mạnh 13
1.2.1. Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . 13
1.2.2. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . 19
2 Hệ phương trình với toán tử accretive 22
2.1. Toán tử accretive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.1. Toán tử accretive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.2. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2. Hệ phương trình toán tử accretive . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . 26

2.2.2. Thuật toán điểm gần kề quán tính . . . . . . . . 29
2.2.3. Tính ổn định của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 33
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2
Mở đầu
Cho E là một không gian Banach thực phản xạ, E
∗
là không gian
liên hợp của E, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là ., A : E → E
∗
là
toán tử đơn điệu đơn trị. Với f ∈ E
∗
, tìm x
0
∈ E sao cho
A(x
0
) = f. (0.1)
Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán (0.1) là việc
xây dựng các phương pháp giải. Bài toán (0.1), khi toán tử A không có
tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh, nói chung là bài toán đặt
không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa nghiệm của nó không phụ thuộc liên
tục vào dữ liệu ban đầu.
Năm 1963 A.N. Tikhonov [7] đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng
và kể từ đó lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh được phát triển hết
sức sôi động và có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế. Nội dung chủ yếu
của phương pháp này là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình
toán tử (0.1) trong không gian Hilbert thực H dựa trên việc tìm phần
tử cực tiểu x

h,δ
α
của phiếm hàm Tikhonov
F
h,δ
α
(x) = A
h
(x) − f
δ

2
+ αx
∗
− x
2
(0.2)
trong đó α > 0 là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h và δ, x
∗
là phần
tử cho trước đóng vai trò là tiêu chuẩn chọn và (A
h
, f
δ
) là xấp xỉ của
(A, f). Hai vấn đề cần được giải quyết ở đây là tìm phần tử cực tiểu của
3
phiếm hàm Tikhonov và chọn tham số hiệu chỉnh α = α (h, δ) thích hợp
để phần tử cực tiểu x
h,δ

α(h,δ)
dần tới nghiệm chính xác của bài toán (0.1)
khi h và δ dần tới không.
Việc tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov sẽ gặp nhiều khó
khăn trong trường hợp bài toán phi tuyến. Đối với bài toán phi tuyến
với toán tử đơn điệu A : E → E
∗
, F. Browder [5] đưa ra một dạng khác
của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Tư tưởng chủ yếu của phương
pháp do F. Browder đề xuất là sử dụng một toán tử M : E → E
∗
có tính
chất hemi-liên tục, đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh. J
s
, ánh
xạ đối ngẫu tổng quát của E, là một toán tử có tính chất như vậy. Bằng
phương pháp này Ya.I. Alber [2] nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh
A
h
(x) + αJ
s
(x − x
∗
) = f
δ
(0.3)
cho bài toán (0.1).
Một mở rộng của bài toán (0.1) là bài toán tìm nghiệm chung cho hệ
phương trình toán tử
A

j
(x) = f
j
∀j = 1, , N, (0.4)
ở đây A
j
: E → E
∗
, là các toán tử loại đơn điệu, đơn trị và f
j
∈ E
∗
.
Dựa trên việc sử dụng phương trình (0.3) để hiệu chỉnh cho mỗi
phương trình trong (0.4), năm 2006 Nguyễn Bường [4] đã kết hợp các
phương trình dạng này để hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử (0.4)
trên cơ sở xây dựng một phương trình phụ thuộc tham số
N

j=1
α
µj
A
h
j
(x) + αJ
s
(x − x
∗
) = θ, (0.5)

µ
1
= 0 < µ
j
< µ
j+1
< 1, j = 2, , N − 1,
4
trong trường hợp f
j
= θ, ở đây A
h
j
là xấp xỉ của A
j
.
Mục đích của luận văn nhằm trình bày lại các kết quả về phương pháp
hiệu chỉnh Tikhonov và thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh
hệ phương trình toán tử (0.4) với toán tử đơn điệu và toán tử accretive
trên cơ sở các nghiên cứu của Nguyễn Bường, Nguyễn Thị Thu Thủy và
Trương Minh Tuyên trong các tài liệu [4], [6], [8] và [9].
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1
trình bày sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh hệ
phương trình với toán tử đơn điệu đồng thời trình bày định lý về tốc
độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh được chọn tiên
nghiệm.
Trong chương 2 sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và
thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh hệ phương trình với toán
tử accretive, đồng thời trình bày sự ổn định của phương pháp hiệu chỉnh
Tikhonov trong trường hợp này.

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thị Thu Thủy,
trưởng khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Nguyên, người đã hướng dẫn, chỉ dạy tận tình để tôi hoàn thành luận
văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô công tác tại trường Đại học
Khoa học - Đại học Thái Nguyên, trường Đại học Khoa học tự nhiên -
Đại học Quốc gia Hà Nội, Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin
thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã truyền thụ kiến thức
cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua.
Tôi cũng xin cảm ơn cơ quan, bạn bè, gia đình đã chia sẻ, giúp đỡ,
5
động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này.
Thái Nguyên, ngày 15 tháng 10 năm 2012
Tác giả
Nguyễn Thị Vân
6
Chương 1
Hệ phương trình với toán tử ngược
đơn điệu mạnh
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kết quả nghiên cứu
trong [4] và [6] về sự hội tụ và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh của
phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử
ngược đơn điệu mạnh trong không gian Banach phản xạ thực.
1.1. Toán tử đơn điệu
Các khái niệm và kết quả trong mục này được tham khảo trong các
tài liệu [1], [3] và [10].
1.1.1. Không gian Banach
Cho E là một không gian Banach và E
∗
là không gian đối ngẫu của

E, tức là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E. Sự hội
tụ mạnh và hội tụ yếu của dãy {x
n
} ∈ E về phần tử x trong E lần lượt
được kí hiệu là x
n
→ x và x
n
 x tương ứng.
Không gian Banach E được gọi là không gian phản xạ, nếu với mọi
7
phần tử x
∗∗
của không gian liên hợp thứ hai E
∗∗
của E, đều tồn tại phần
tử x ∈ E sao cho x
∗
(x) = x
∗∗
(x
∗
) với mọi x
∗
∈ E
∗
. Sau đây là một tính
chất của không gian phản xạ:
Mệnh đề 1.1.1. Cho E là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng
định sau là tương đương:

i) E là không gian phản xạ;
ii) Mọi tập con lồi, đóng và bị chặn của E đều là tập compact yếu;
iii) Mọi dãy bị chặn trong E đều có một dãy con hội tụ yếu.
Định nghĩa 1.1.1. Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu mặt
cầu đơn vị S = {x ∈ E : x = 1} của E là lồi chặt, tức là từ x, y ∈ S
kéo theo x + y < 2 (nói cách khác biên của S không chứa bất kì một
đoạn thẳng nào).
Định nghĩa 1.1.2. Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với
mọi ε > 0, tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E mà x ≤ 1,
y ≤ 1, x − y ≥ ε ta luôn có




x + y
2




≤ 1 − δ (ε) .
Dễ thấy rằng nếu E là một không gian Banach lồi đều thì nó là không
gian Banach lồi chặt. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, ta xét ví dụ
sau.
Ví dụ 1.1.1. Xét E = c
0
(không gian các dãy số hội tụ về không) với
chuẩn .
β
xác định bởi

x
β
= x
c
0
+ β

∞

i=1
|x
i
|
2
i
2

, x = (x
i
) ∈ c
0
.
Khi đó, (X, .
β
), β > 0 là một không gian lồi chặt nhưng không là
không gian lồi đều.
8
Để đo tính lồi của không gian Banach E người ta đưa vào khái niệm
mô đun lồi
δ

E
() = inf

1 − 2
−1
x + y : x = 1, y = 1, x − y = 

.
Mô đun lồi của không gian Banach E là một hàm số xác định, liên tục
và tăng trên đoạn [0, 2]. Không gian Banach E lồi chặt khi và chỉ khi
δ
E
(2) = 1. Không gian Banach E lồi đều khi và chỉ khi δ
E
(ε) > 0 với
mọi ε > 0.
Mệnh đề 1.1.2. Mọi không gian Banach lồi đều đều là không gian phản
xạ.
Mô đun trơn của không gian Banach E là một hàm số xác định bởi
ρ
E
(τ) = sup

2
−1
(x + y + x − y) − 1 : x = 1, y = τ

.
Mô đun trơn của không gian Banach E là một hàm số xác định, liên tục
và tăng trên khoảng [0, +∞).

Định nghĩa 1.1.3. Không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu
lim
τ→∞
ρ
E
(τ)
τ
= 0.
Ví dụ 1.1.2. Mọi không gian Hilbert và không gian l
p
(1 < p < +∞)
đều là không gian Banach lồi đều và trơn đều.
Định lý 1.1.1. Cho E là một không gian Banach. Khi đó các khẳng
định sau là tương đương:
i) Nếu E là không gian trơn đều thì E
∗
là không gian lồi đều;
ii) Nếu E là không gian lồi đều thì E
∗
là không gian trơn đều.
9
1.1.2. Toán tử đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
Định nghĩa 1.1.4. Cho E là một không gian Banach, toán tử A :
D(A) ⊂ E → 2
E
∗
được gọi là đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A) ta luôn
có
x − y, u − v ≥ 0 ∀u ∈ A(x), v ∈ A(y).
Trong trường hợp A : E → E

∗
là toán tử đơn trị, ta có các định nghĩa
sau:
Định nghĩa 1.1.5. Toán tử A được gọi là
i) đơn điệu nếu Ax − Ay, x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ D(A);
ii) đơn điệu ngặt nếu x = y thì Ax − Ay, x − y > 0 ∀x, y ∈ D(A);
iii) đơn điệu đều nếu tồn tại hàm không âm δ (t) không giảm với
t ≥ 0, δ(0) = 0 và Ax − Ay, x − y ≥ δ

x − y) ∀x, y ∈ D(A);
iv) đơn điệu mạnh nếu ∃τ > 0, (τ = const) thỏa mãn Ax − Ay, x −
y ≥ τx − y
2
∀x, y ∈ D(A);
v) ngược đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số m
A
> 0 thỏa mãn
Ax − Ay, x − y ≥ m
A
 Ax − Ay 
2
∀x, y ∈ D(A).
vi) hemi-liên tục trên E nếu A(x + ty)  Ax, khi t → 0, ∀x, y ∈ E.
vii) bức nếu
lim
x→+∞
Ax, x
x
= ∞ ∀x ∈ E.
Định nghĩa 1.1.6. Cho A là một toán tử từ không gian Banach E vào

không gian Banach F . Toán tử A được gọi là khả vi Fréchet tại điểm
x ∈ E nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục T : E → F sao cho
A(x + h) = A(x) + T h + o(h)
10
với mọi h thuộc lân cận của điểm θ trong E. Nếu tồn tại thì T được gọi
là đạo hàm Fréchet của A tại x và viết là A

(x) = T .
Định nghĩa 1.1.7. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn,
ánh xạ đa trị j : E → 2
E
∗
xác định bởi
j (x) =

f ∈ E
∗
: x, f  = x
2
, x = f

được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E.
Nếu E là một không gian Hilbert thì j ≡ I, ở đây I là ánh xạ đồng
nhất trên E.
Mệnh đề 1.1.3. Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn và j
là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của nó. Khi đó,
i) j là một ánh xạ lẻ, tức là j (−x) = −j (x) ∀x ∈ E;
ii) j là thuần nhất dương, tức là j(λx) = λj (x) ∀λ > 0, ∀x ∈ E;
iii) j bị chặn, tức là nếu A là tập con bị chặn của E thì j(A) là tập
hợp bị chặn trong E

∗
;
iv) Nếu E
∗
là lồi chặt thì j là đơn trị;
v) j là đơn trị và liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E khi và
chỉ khi E là không gian Banach trơn đều;
vi) Nếu E là không gian phản xạ thì j là một toàn ánh.
Trong trường hợp j là toán tử đơn trị, ta kí hiệu là J.
Định nghĩa 1.1.8. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian Banach
E được gọi là có tính liên tục yếu theo dãy nếu J là đơn trị và nếu
{x
n
} ⊂ E, thỏa mãn x
n
 x thì J(x
n
) hội tụ yếu về J(x).
11
1.1.3. Ánh xạ đơn điệu cực đại
Cho E là không gian Banach thực phản xạ, E
∗
là không gian liên hợp
của E, A : E → 2
E
∗
là một toán tử đơn điệu.
Định nghĩa 1.1.9. Một toán tử đơn điệu A : D(A) ⊂ E → 2
E
∗

được gọi
là đơn điệu cực đại nếu đồ thị G(A) = {(u, x) : x ∈ D (A) , u ∈ A (x)}
của nó không thực sự chứa trong đồ thị của một toán tử đơn điệu nào
khác trên D(A).
Định nghĩa 1.1.10. Phiếm hàm F : E → R ∪ {+∞} được gọi là
i) lồi trên D(E) nếu với mọi x, y ∈ D(E) và mọi λ ∈ [0, 1] ta có
ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y);
ii) lồi chặt trên D(E) nếu với mọi x, y ∈ D(E), x = y và mọi λ ∈ (0, 1)
ta có
ϕ(λx + (1 − λ)y) < λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y);
iii) nửa liên tục dưới tại điểm x
0
∈ domF nếu với dãy {x
n
} bất kỳ
x
n
∈ domF sao cho x
n
→ x
0
thì F (x) ≤ lim
n→∞
inf(F (x
n
));
iv) nửa liên tục dưới yếu tại điểm x
0
∈ domF nếu với dãy {x
n

} bất
kỳ x
n
∈ domF sao cho x
n
 x
0
thì F (x) ≤ lim
n→∞
inf(F (x
n
)).
Một ví dụ điển hình về toán tử đơn điệu cực đại là dưới vi phân của
một hàm lồi. Cụ thể ta có định lý sau.
Định lý 1.1.2. Cho E là một không gian Banach thực phản xạ, E
∗
là
không gian liên hợp của E. Nếu F : E → R ∪ {+∞} là hàm lồi chính
thường, nửa liên tục dưới trên E thì ánh xạ dưới vi phân ∂F = {x
∗
∈
E : F (y) − F (x) ≥ y − x, x
∗
 ∀y ∈ E} là toán tử đơn điệu cực đại từ E
vào 2
E
∗
.
12
Toán tử đơn trị A đơn điệu cực đại khi và chỉ khi miền ảnh của A+λJ

là toàn bộ không gian E
∗
, đó là nội dung định lý sau.
Định lý 1.1.3. Cho E và E
∗
là các không gian Banach thực phản xạ và
lồi chặt, J : E → E
∗
là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E, A : E → E
∗
là một toán tử đơn điệu. Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại nếu và
chỉ nếu với mọi λ > 0, R(A + λJ) là toàn bộ E
∗
.
Định lý sau đây chỉ ra rằng bất cứ một toán tử đơn điệu, hemi-liên
tục và bị chặn nào từ E vào E
∗
cũng đều là toán tử đơn điệu cực đại.
Định lý 1.1.4. Cho E là một không gian Banach thực phản xạ, B :
E → E
∗
là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và bị chặn, A : E → E
∗
là toán tử đơn điệu cực đại. Khi đó A + B cũng là một toán tử đơn điệu
cực đại.
Tính bị chặn của toán tử A sẽ là không cần thiết nếu miền xác định
của nó là toàn bộ không gian E. Ta có kết quả sau.
Định lý 1.1.5. Cho E là không gian Banach thực phản xạ và A : E →
E
∗

là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục xác định trên E. Khi đó A là toán
tử đơn điệu cực đại. Ngoài ra, nếu A là toán tử bức thì ta có R(A) = E
∗
.
Định lý 1.1.6. Nếu A là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và bức từ
không gian Banach phản xạ E vào E
∗
thì phương trình toán tử Ax = f
có nghiệm với mọi f ∈ E
∗
.
13
1.2. Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn
điệu mạnh
Trong mục này chúng tôi trình bày kết quả về sự hội tụ của nghiệm
hiệu chỉnh và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh của phương
pháp hiệu chỉnh Tikhonov giải hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu
mạnh trong không gian Banach. Các kết quả của mục này được tổng
hợp trong tài liệu [4] và [6].
1.2.1. Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh
Định nghĩa 1.2.1. Không gian Banach thực E được gọi là không gian
có tính chất Ephimov-Stechkin (hay không gian có tính chất E-S) nếu
E phản xạ và trong X sự hội tụ yếu các phần tử

x
n
 x

và sự hội tụ
chuẩn


x
n
 → x

luôn kéo theo sự hội tụ mạnh

x
n
− x → 0

.
Bổ đề 1.2.1. (Bổ đề Minty) Cho E là không gian Banach thực, E
∗
là
không gian liên hợp của E, f ∈ E
∗
và A : E → E
∗
là một toán tử
hemi-liên tục. Khi đó nếu tồn tại phần tử x
0
∈ E thỏa mãn bất đẳng
thức
A(x) − f, x − x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ E
thì x
0
là nghiệm của phương trình A(x) = f .

Hơn nữa, nếu A là một toán tử đơn điệu trên E thì điều kiện trên
tương đương với
A(x
0
) − f, x − x
0
 ≥ 0 ∀x ∈ E.
Trong toàn bộ mục này ta luôn giải thiết E là không gian Banach
thực phản xạ có tính chất E-S, E
∗
-không gian liên hợp của E lồi chặt,
14
A
j
: E → E
∗
là toán tử đơn điệu, đơn trị, hemi-liên tục có tính chất
ngược đơn điệu mạnh.
Xét bài toán tìm nghiệm chung cho hệ phương trình toán tử
A
j
(x) = θ, j = 1, 2, , N. (1.1)
Nếu A
j
không có tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh thì mỗi
phương trình trong (1.1) nói chung là một bài toán đặt không chỉnh. Để
tìm nghiệm ổn định cho mỗi phương trình này người ta sử dụng phương
pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov dưới dạng
A
h

j
(x) + αJ (x − x
∗
) = θ, j = 1, 2, , N, (1.2)
ở đây A
h
j
là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và là xấp xỉ của A
j
thỏa
mãn


A
j
(x) − A
h
j


≤ hg (x) , h → 0, (1.3)
g(t) là hàm không âm, bị chặn, t ≥ 0, J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc
của E. Với mỗi j = 1, 2, , N, phương trình hiệu chỉnh (1.2) có duy nhất
nghiệm, ký hiệu là x
α,h
j
và nếu
h
α
, α → 0 thì x

α,h
j
→ x
j
∈ S
j
. Kết quả
này là nội dung của định lý sau.
Định lý 1.2.1. Với mỗi α > 0, h > 0 phương trình hiệu chỉnh A
h
j
(x) +
αJ (x − x
∗
) = θ có duy nhất nghiệm x
α,h
j
. Ngoài ra nếu
h
α
, α → 0 thì dãy
nghiệm hiệu chỉnh x
α,h
j
hội tụ đến nghiệm x
0
của phương trình A
j
(x) = θ
có x

∗
-chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là
x
0
− x
∗
 = min
x∈S
x − x
∗
 .
Vấn đề đặt ra là tìm nghiệm chung cho hệ phương trình toán tử (1.1)
tức là tìm phần tử x
0
∈ S = ∩
N
j=1
S
j
ở đây
S
j
= {¯x ∈ E : A
j
(¯x) = θ}
15
với giả thiết S = ∅. Để giải quyết vấn đề này, Nguyễn Bường [4] đã
nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh dưới dạng phương trình toán tử
N


j=1
α
µ
j
A
h
j
(x) + αJ (x − x
∗
) = θ (1.4)
µ
1
= 0 < µ
j
< µ
j+1
< 1, j = 1, 2, , N − 1.
Định lý sau đây chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương
trình hiệu chỉnh (1.4) và nghiệm hiệu chỉnh hội tụ đến nghiệm x
0
∈ S
của hệ phương trình toán tử (1.1).
Định lý 1.2.2. Cho E là không gian Banach phản xạ thực lồi chặt,
E
∗
-không gian liên hợp của E lồi chặt, A
j
: E → E
∗
là toán tử đơn điệu

có tính chất ngược đơn điệu mạnh, A
h
j
: E → E
∗
đơn điệu thỏa mãn
(1.3). Khi đó, với mỗi α > 0, h > 0 phương trình hiệu chỉnh (1.4) có duy
nhất nghiệm x
h
α
. Ngoài ra, nếu
h
α
, α → 0, thì x
h
α
→ x
0
∈ S có x
∗
-chuẩn
nhỏ nhất của hệ phương trình toán tử (1.1).
Chứng minh. Từ tính chất đơn điệu, bị chặn và hemi-liên tục của toán
tử A
h
j
, suy ra A
h
j
là toán tử đơn điệu cực đại xác định trên không gian

Banach E. Do đó,
N

j=1
α
µ
j
+ αJ cũng là toán tử đơn điệu cực đại. Mặt
khác, do J là một toán tử bức nên với mỗi α > 0 toán tử
N

j=1
α
µ
j
+ αJ
cũng là một toán tử bức. Suy ra, phương trình (1.4) có duy nhất nghiệm,
kí hiệu là x
h
α
.
Ta sẽ chứng minh x
h
α
→ x
0
∈ S khi
h
α
, α → 0. Thật vậy từ (1.4), ta

có
N

j=1
α
µ
j

A
h
j

x
h
α

, x
h
α
− x

+ α

J

x
h
α
− x
∗


, x
h
α
− x

= θ ∀x ∈ S.
16
Do đó, kết hợp với (1.1), (1.3) và tính chất đơn điệu của A
h
j
, ta nhận
được

J

x
h
α
− x
∗

, x
h
α
− x

≤ N
h
α

g (x)


x
h
α
− x


. (1.5)
Vì vậy,
x
h
α
− x
∗

2
− x
h
α
− x
∗


x − x
∗
 +
c (h)
α


−


x
h
α
− x
∗


c (h)
α
≤ 0,
ở đây c(h) = Nhg(x). Suy ra
0 ≤


x
h
α
− x
∗


≤
1
2

x − x

∗
 +
c (h)
α
+


x − x
∗
 +
c (h)
α

2
+ 4 x
h
α
− x
∗

c (h)
α



.
(1.6)
Từ đây suy ra dãy {x
h
α

} bị chặn. Do đó, tồn tại một dãy con {x
h
β
} của
dãy {x
h
α
} hội tụ yếu, giả sử x
h
β
 ¯x ∈ E khi
h
β
→ 0.
Trước hết, ta chứng minh rằng ¯x ∈ S
1
. Thật vậy, vì tính chất đơn
điệu của A
h
1
, J và (1.4) ta có:

A
h
1
(x) , x − x
h
β

≥


A
h
1

x
h
β

, x − x
h
β

=
N

j=2
β
µ
j

A
h
1
(x) , x
h
β
− x

+ β


J(x
h
β
− x
∗
), x
h
β
− x

≥
N

j=2
β
µ
j

A
h
1
(x) , x
h
β
− x

+ β

J


x
h
β
− x
∗

, x
h
β
− x

,
∀x ∈ E.
Cho h, β → 0, ta thu được
A
1
(x) , x − ¯x ≥ 0 ∀x ∈ E.
Do vậy theo Bổ đề Minty ta có ¯x ∈ S
1
.
17
Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng ¯x ∈ S
j
, j = 2, , N. Thật vậy, từ
(1.4) và tính đơn điệu của A
h
j
, ta nhận được


A
h
2

x
h
β

, x
h
β
− x

+
N

j=3
β
µ
j
−µ
2

A
h
j

x
h
β


, x
h
β
− x

+ β
1−µ
2

J

x
h
β
− x
∗

, x
h
β
− x

≤
h
β
µ
2
g (x)



x
h
β
− x


∀x ∈ S
1
.
Do đó,

A
h
2
(x) , x
h
β
− x

+
N

j=3
β
µ
j
−µ
2


A
h
j
(x) , x
h
β
− x

+ β
1−µ
2

J (x − x
∗
) , x
h
β
− x

≤
h
β
β
1−µ
2
g (x)


x
h

β
− x


∀x ∈ S
1
.
Sau khi cho h, β → 0, ta thu được
A
2
(x) , ¯x − x ≤ 0 ∀x ∈ S
1
.
Điều này tương đương với
A
2
(¯x), ¯x − x ≤ 0 ∀x ∈ S
1
.
Giả sử ˜x là một phần tử thuộc S
1
∩ S
2
. Vì ˜x là không điểm của toán tử
đơn điệu A
2
và bất đẳng thức trên suy ra
0 = A
2
(˜x), ˜x − ¯x ≥ A

2
(¯x), ˜x − ¯x ≥ 0.
Do đó, A
2
(¯x), ˜x− ¯x = 0 = A
2
(˜x), ˜x− ¯x. Từ đây kết hợp với tính chất
ngược đơn điệu mạnh của toán tử A
2
suy ra A
2
(˜x) = A
2
(¯x) = 0, nghĩa
là ¯x ∈ S
2
.
18
Đặt

S
i
= ∩
i
k=1
S
k
. Suy ra

S

i
cũng là tập lồi đóng, và

S
i
= ∅. Giả sử ta
có ¯x ∈

S
i
, ta cần chỉ ra rằng ¯x ∈

S
i+1
. Từ (1.4) với ¯x ∈

S
i
, ta có thể viết
A
h
i+1

x
h
β

, x
h
β

− x +
N

j=i+2
β
µ
j
−µ
i+1

A
h
j

x
h
β

, x
h
β
− x

+ β
1−µ
i+1

J

x

h
β
− x
∗

, x
h
β
− x

≤
h
β
g (x)


x
h
β
− x


i

k=1
β
1+µ
k
−µ
i+1

≤
h
β
ig (x)


x
h
β
− x


.
Do đó,

A
h
i+1
(x) , x
h
β
− x

+
N

j=i+2
β
µ
j

−µ
i+1

A
h
j

x
h
β

, x
h
β
− x

+ β
1−µ
i+1

J (x − x
∗
) , x
h
β
− x

≤
h
β

Ng (x)


x
h
β
− x


≤
h
β
Ng (x)



x
h
β


+ x

.
Cho h, β → 0 ta thu được
A
i+1
(x) , ¯x − x ≤ 0 ∀x ∈

S

i
.
Suy ra ¯x ∈

S
i+1
.
Từ (1.5) và tính chất của J ta nhận được
x
h
β
 → 
x và ¯x − x
∗
 ≤ x − x
∗
 ∀x ∈ S.
Vì S
j
là tập lồi đóng nên S cũng là tập lồi đóng. Vì x ∈ S có x
∗
-chuẩn nhỏ
nhất trong không gian Banach lồi chặt là duy nhất nên {x
h
α
} → ¯x = x
0
.
✷
19

1.2.2. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh
Để đánh giá tốc độ hội tụ của dãy {x
h
α(h)
}, chúng ta giả sử rằng J
thỏa mãn điều kiện
J (x) − J (y) , x − y ≥ m
J
x − y
2
, m
J
> 0 (1.7)
và tồn tại một hằng số dương τ sao cho
A
1
(y) − A

1
(x)
∗
(y − x) ≤ τ A
1
(y) ∀x ∈ S, (1.8)
và y nằm trong lân cận của x ∈ S.
Định lý 1.2.3. Giả sử những điều kiện sau được thỏa mãn:
i) A
1
liên tục, khả vi Fréchet thỏa mãn (1.8) với x = x
0

;
ii) Tồn tại một điểm z ∈ E thỏa mãn
A

1
(x)
∗
z = J

x
0
− x
∗

;
iii) tham số α = α (h) được chọn bởi α ∼ h
p
, 0 < p < 1.
Khi đó



x
h
α(h)
− x
0




= O (h
γ
) , γ = min

1 − p,
µ
1
p
2

.
20
Chứng minh. Từ (1.1), (1.3), (1.4), (1.7), tính chất của A
h
j
và J suy ra
m
J
x
h
α
− x
0

2
≤ J(x
0
− x
∗
) − J(x

h
α
− x
∗
), x
0
− x
h
α

+
N

j=1
α
µ
j
−1
A
h
j
(x
0
) − A
h
j
(x
h
α
), x

0
− x
h
α

≤ J(x
0
− x
∗
), x
0
− x
h
α

+
1
α

N

j=1
α
µ
j
A
h
j
(x
h

α
) + αJ(x
h
α
), x
h
α
− x
0

+
N

j=1
α
µ
j
−1
A
h
j
(x
0
) − A
j
(x
0
), x
0
− x

h
α

≤ J(x
0
− x
∗
), x
0
− x
h
α
 +
h
α
g(x
0
)
N

j=2
α
µ
j
x
h
α
− x
0


+
1
α
A
1
(x
0
) − A
h
1
(x
0
), x
h
α
− x
0

≤ J(x
0
− x
∗
), x
0
− x
h
α

+
h

α
g(x
0
)

1 +
N

j=2
α
µ
j

x
h
α
− x
0
.
(1.9)
Mặt khác, sử dụng (1.8) và điều kiện (ii) của định lý, ta có thể viết
J(x
0
− x
∗
), x
0
− x
h
α

 = z, A

1
(x
0
)(x
0
− x
h
α
)
≤ z(τ + 1)A
1
(x
h
α
)
≤ z(τ + 1)[A
h
1
(x
h
α
) + hg(x
h
α
)]
≤ z(τ + 1)

N


j=2
α
µ
j
A
h
j
(x
h
α
) + αx
h
α
− x
∗

+ hg(x
h
α
)

.
21
Kết hợp (1.9) và bất đẳng thức cuối cùng ta được
m
J
x
h
α

− x
0

2
≤
h
α
g(x
0
)

1 +
N

j=2
α
µ
j

x
h
α
− x
0

+z(τ + 1)

N

j=2

α
µ
j
A
h
j
(x
h
α
) + αx
h
α
− x
∗
 + hg(x
h
α
)

.
(1.10)
Vì α = α (h) được chọn trước thỏa mãn α ∼ h
p
, 0 < p < 1 nên bất đẳng
thức (1.10) có dạng
m
J
x
h
α(h)

− x
0

2
≤ Nh
1−p
g(x
0
)x
h
α(h)
− x
0
 +
˜
Ch
µ
1
p
.
Sử dụng tính chất sơ cấp
a, b, c ≥ 0, p > q, a
p
≤ ba
q
+ c ⇒ a
p
= O(b
p/(p−q)
+ c)

ta nhận được
x
h
α(h)
− x
0
 = O(h
γ
).
✷
22
Chương 2
Hệ phương trình với toán tử
accretive
Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu trong
[8], [9] về phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và thuật toán điểm gần kề
quán tính hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử với toán tử accretive
trong không gian Banach.
2.1. Toán tử accretive
2.1.1. Toán tử accretive
Định nghĩa 2.1.1. Cho E là một không gian Banach, toán tử A :
D(A) ⊂ E → 2
E
được gọi là toán tử accretive nếu với mọi x, y ∈ D(A),
tồn tại J(x − y) ∈ j(x − y) sao cho
u − v, J (x − y) ≥ 0 ∀u ∈ A (x) , v ∈ A (y) . (2.1)
Chú ý 2.1.1. Trong không gian Hilbert thì khái niệm toán tử đơn điệu
và toán tử accretive trùng nhau.
Định nghĩa 2.1.2. Toán tử accretive A : D (A) ⊂ E → 2
E

được gọi là
23
m-accretive nếu R (I + λA) = E với mọi λ > 0, ở đây R (I + λA) là tập
ảnh của toán tử I + λA và I là toán tử đồng nhất trên E.
Chú ý 2.1.2. Nếu E là một không gian Hilbert thì khái niệm toán tử
m-accretive trùng với khái niệm toán tử đơn điệu cực đại.
Chú ý 2.1.3. Trong trường hợp E là một không gian Banach với ánh xạ
đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy thì mọi toán tử m-accretive
A : D (A) ⊂ E → 2
E
đều là demi-đóng, tức là nếu dãy {x
n
} ⊂ D (A)
hội tụ yếu về x và dãy y
n
→ f, y
n
∈ A(x
n
) thì A (x) = f.
Định nghĩa 2.1.3. Cho E là một không gian Banach và C là một tập
con lồi đóng của E. Một ánh xạ Q
C
: E → C được gọi là:
a) co rút nếu Q
2
C
(x) = Q
C
(x) ∀x ∈ E;

b) co rút không giãn nếu Q
C
là co rút và là một ánh xạ không giãn,
tức là
Q
C
(x) − Q
C
(y) ≤ x − y ∀x, y ∈ E;
c) S-co rút không giãn nếu Q
C
là một co rút không giãn và thỏa mãn
tính chất
Q
C
(Q
C
(x) + t (x − Q
C
(x))) = Q
C
(x) ∀x ∈ E, t ∈ (0, 1) .
Định nghĩa 2.1.4. Một tập con lồi đóng C của không gian Banach E
được gọi là:
a) co rút của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút từ E lên C;
b) co rút không giãn của E nếu tồn tại một ánh xạ co rút không giãn
từ E lên C;
c) S-co rút không giãn của E nếu tồn tại một ánh xạ S-co rút không
giãn từ E lên C.