SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp học sinh làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT

SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
MỤC LỤC
MỤC Nội Dung Trang
1 Mục lục 1
2 1. ĐẶT VẤN ĐẾ 2
3 1.1 Lý do chọn đề tài : 2
4 1.2 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: 2
5 1.3 phương pháp nghiên cứu: 2
6 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 3
7 2.1 Thực trạng của vấn đề 3
8 2.2 Cơ sở lí luận của vấn đề 3
9 2.3 các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề 3
10 Phần I: Giới hạn dãy số 3
11 A. Kiến thức cơ bản 3
12 B. Phương pháp giải toán 4
13 C. Các ví dụ 5
14 Bài tập tự giải 7
15 Phần II: Giới hạn hàm số 7
16 A. Kiến thức cơ bản 7
17 B. Phương pháp giải toán 8
18 C. Các ví dụ 9
19 Bài tập tự giải 12
20 Phần III: Hàm số liên tục 15
21 A. Kiến thức cơ bản 15
22 B. Phương pháp giải toán 16
23 C. Các ví dụ 17
24 Bài tập tự giải 21
25 Phần ba: Kết luận 24
26 Kiến nghị 24
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
1

SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
1. ĐẶT VẤN ĐẾ
1.1 Lý do chọn đề tài :
Giới hạn là một nội dung quan trọng trong toán giải tích 11, 12 và các môn học
khác như vật lí dựa trên các kiến thức về giới hạn người ta xây dựng ra những kiến
thức khác như tính liên tục của hàm số, đạo hàm và tích phân, trong vật lí giới hạn
tham gia giải các bài toán về chuyển động Tuy nhiên sau khi học xong chương
giới hạn toán 11 thì không có nhiều học sinh hiểu và giải tốt các bài toán về giới
hạn. Các em lúng túng, không tự tin, thường mắc phải các sai sót về trình bày và về
lí luận. Chính vì tầm quan trọng và thực tế khó khăn của học sinh như thế nên tôi
quyết định chọn đề tài này
1.2 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:
Trong đề tài này tôi nghiên cứu bài tập về giới hạn. Bắt đầu từ những bài trong lí
thuyết cho đến các bài toán vận dụng được hệ thống sắp xếp và phân thành từng
dạng có phương pháp giải đơn giản và cụ thể
1.3 phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp sau: Phương pháp so
sánh, phương pháp tổng hợp.
2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
2
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
2.1 Thực trạng của vấn đề
Hệ thống bài tập đi với lí thuyết đôi khi chưa hợp lí, chưa phù hợp với đối tượng
học sinh. Bài tập đưa ra ở các mục trước ít có liên hệ để hình thành kiến thức ở mục
sau. Do vậy hiệu quả của hệ thống bài tập trong sách giáo khoa chưa cao.
2.2 Cơ sở lí luận của vấn đề
Dựa trên nguyên tắc dạy học và nhận thức của học sinh, việc phân chi hệ thống bài
tập đi với lí thuyết giúp các em phát triển về tư duy, ôn tập và hình thành kiến thức
mới trong quá trình giải toán. Vì vậy tôi đã xây dựng hệ thống bài tập có liên hệ

giữa các phần với nhau, phân loại và đưa ra phương pháp cho từng loại
2.3 các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
PHẦN I: GIỚI HẠN DÃY SỐ:
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Dãy số có giới hạn 0:
a) Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (u
n
) có giới hạn 0 nếu với mổi số dương
nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi,
đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đói.
Kí hiệu:
( )
lim 0u
n
=
hoặc
lim 0
n
u
=
hoặc
0
n
u
→
b) Một vài giới hạn đặc biệt

1
lim
k

n
=0 (k
*
N
∈
) ;
1
lim
k
n
=0(k
*
N
∈
) ;
limq
n
=0(
1q
<
)
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
3
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
Định lí: cho hai dãy số (u
n
) và (v
n
).Nếu |u
n

|
≤
v
n
với mọi n và lim v
n
=0 thì lim
u
n
=0
2. Dãy số có giới hạn hữu hạn
a) Định nghĩa :Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn là số thực L nếu
( )
lim 0.
n
u L− =
Kí hiệu:
( )
lim 0u
n
=
hoặc
lim 0
n
u
=
hoặc
0

n
u
→
b) Một vài giới hạn đặc biệt.
limc c=
c) Một số định lý .
Định lý 1: giả sử lim(u
n
)=L khi đó
a)
=
lim
n
u L
và
=
3
3
lim
n
u L
b) Nếu u
n
≥
0 với mọi n thì L
≥
0 và
=lim
n
u L

Định lý 1: Nếu lim(u
n
)=L , lim(v
n
)=M thì:
a)
( )
± = ±
lim
n n
u v L M
b)
( )
=
lim . .
n n
u v L M
c)
( )
= ≠lim , 0
n
n
u
L
M
v M
c) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội q ,với
<
1q
:

=
−
1
1
u
S
q
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
4
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
3. Dãy số có giới hạn vô cực:
a) Định nghĩa:
Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn là
+∞
nếu với mổi số dương bất kỳ, mọi số
hạng của
dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
Kí hiệu: lim(u
n
)=
+∞
hay limu
n
=
+∞
hay u
n

→ +∞
Ta nói dãy số (u
n
) có giới hạn là
−∞
nếu với mổi số âm bất kỳ, mọi số hạng
của
dãy số, kể từ số hạng nào đó trở đi, đều nhỏ hơn số dương đó.
Kí hiệu: lim(u
n
)=
−∞
hay limu
n
=
−∞
hay u
n

→ −∞
b) Một vài giới hạn đặc biệt
limn
k
=
+∞
(k
∈
*
N
) lim

k
n
=
+∞
(k
∈
*
N
)
c) Định lý:
tính chất 1:Nếu
n
ulim = ±∞
và
n
vlim = ±∞
thì
n n
u vlim( )
được cho trong bảng
sau:
n
ulim
n
vlim
n n
u vlim( )
+
∞
+

∞
+
∞
+
∞
–
∞
–
∞
–
∞
+
∞
–
∞
–
∞
–
∞
+
∞
tính chất 2: Nếu
n
ulim = ±∞
và
n
v Llim 0= ≠
thì
n n
u vlim( )

được cho trong bảng sau:
n
ulim
L
n n
u vlim( )
+
∞
+
+
∞
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
5
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
+
∞
–
–
∞
–
∞
+
–
∞
–
∞
–
+
∞
tính chất 3: Nếu

n
u Llim 0= ≠
,
n
vlim 0=
và
n
v 0>
hoặc
n
v 0<
kể từ một số hạng
nào đó
trở đi thì
n
n
u
v
lim
được cho trong bảng sau:
L
n
v
n
n
u
v
lim
+ +
+

∞
+ –
–
∞
– +
–
∞
– –
+
∞
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
1. Giới hạn của dãy số (u
n
) với
( )
( )
n
P n
u
Q n
=
với P,Q là các đa thức:
o Nếu bậc P = bậc Q = k, hệ số cao nhất của P là a
0
, hệ số cao nhất của Q là b
0

thì rút n
k
ra đơn giản và đi đến kết quả:

( )
0
0
lim
n
a
u
b
=
.
o Nếu bậc P nhỏ hơn bậc Q = k, thì rút n
k
ra đơn giản và đi đến kết quả :
lim(u
n
)=0.
o Nếu k = bậc P > bậc Q, rút n
k
ra đơn giản và đi đến kết quả : lim(u
n
)=
∞
.
2. Giới hạn của dãy số dạng:
( )
( )
n
f n
u
g n

=
, f và g là các biển thức chứa căn.
o Rút n
k
ra đơn giản và đi đến kết quả với k chọn thích hợp.
o Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
6
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
Ghi chú: những cách biến đổi trên không là duy nhất và cũng không phải bài
nào cũng giải được tuy nhiên đa số các bài trong chương trình nếu có những đặc
điểm trên đều có thể giải được
B. CÁC VÍ DỤ:
Bài 1. Dự đoán giới hạn của dãy số (u
n
)và chỉ ra kết quả dự đoán đó đúng
qua một vài kiểm chứng cụ thể
1) u
n
=
2
1
n
2) u
n
=
3
1
n
giải

1) dự đoán
2
lim
n
=
1
0
kiểm chứng:
với số dương
1
100
ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi số hạng trong dãy số đều
có |u
n
|<
1
100
với số dương
1
10000
ta thấy kể từ số hạng thứ 101 mọi số hạng trong dãy số
đều có |u
n
|<
1
10000
2) dự đoán
lim
=
3

1
0
n
kiểm chứng:
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
7
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
với số dương
1
100
ta thấy kể từ số hạng thứ 1000001 mọi số hạng trong dãy
số đều có |u
n
|<
1
100
với số dương
1
999
ta thấy kể từ số hạng thứ 999
3
+1 mọi số hạng trong dãy số
đều có |u
n
|<
1
999
Bài 2. Dãy số (u
n
) có giới hạn là 0 hay không? Vì sao?

1) u
n
=
2
1
n
+1 2) u
n
=
1
n
giải
1)
2
lim
n
+ ≠
1
1 0
Vì với số dương
1
2
ta thấy mọi số hạng trong dãy số đều có |u
n
|>
1
2
2)
lim
− ≠

1
3 0
n
Vì với số dương
1
ta thấy mọi số hạng trong dãy số đều có |u
n
|>
1
Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định
nghĩa dãy số có giới hạn 0, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa
đồng thời giúp cho học sinh thấy được một số dãy số đặc biệt có giới hạn 0
Bài 3. Xác định giới hạn của các dãy số sau?
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
8
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
1)
lim
4
1
n
2)
lim
5
1
n
3)
lim
1
n

4)
lim
3
1
n
5)
lim
 
 ÷
 
1
2
n
6)
lim
 
 ÷
 
3
4
n
Giải
1) và 2) là những dãy số có dạng u
n
=
1
k
n
nên có giới hạn là o
3) và 4) là những dãy số có dạng u

n
=
1
k
n
nên có giới hạn là o
5) và 6) là những dãy số có dạng u
n
=
n
q
với |q|<1 nên có giới hạn là o
Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học một
vài dãy số có giới hạn 0 đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ dãy số có
giới hạn 0 đặc biệt
Bài 4. Tìm giới hạn các dãy số sau. Có nhận xét gì về giá trị các số hạng trong
dãy số khi n tăng
1) u
n
=
+
1
3
n
2) u
n
=
−
3
1

4
n
Giải
1)
lim(
+ =
1
3) 3
n
vì
lim
 
+ − = =
 
 
1 1
( 3) 3 lim 0
n n
Nhận xét: giá trị của các số hạng trong dãy số hội tụ dân về 3 khi n tăng
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
9
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
2)
lim(
− =−
3
1
4) 4
n
vì

 
− − − = =
 
 
3 3
1 1
lim ( 4) ( 4) lim 0
n n
Nhận xét: giá trị của các số hạng trong dãy số hội tụ dân về -4 khi n tăng
Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định
nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định
nghĩa
Bài 5. Tìm giới hạn các dãy số sau.
1)
lim
 
+
 ÷
 
2
1
1
n
2)
lim
 
−
 ÷
 
4

3
1 1
n
n
3)
lim
2
n
4)
lim
+
+
2
3
1
1
n
n
5)
lim
+
1
3
n
6)
lim
−
1
3
n

Giải
1)
lim
 
+ = + =
 ÷
 
2
1
1 0 1 1
n
2)
lim
 
− = − =
 ÷
 
4
3
1 1
0 0 0
n
n
3)
lim
= =
2
2.0 0
n
4)

lim
+
+
= =
+
+
2
3
3 2.0
3
1
1 0
1
n
n
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
10
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
5)
lim
+ = + =
1
3 0 3 3
n
6)
lim
− = − =
1
3 0 3 3
n

Bài 6. Tìm giới hạn các dãy số sau.
1)
lim
+
2
1
1n
2)
lim
+
3
sin
1
n
n
Giải
1)
<
+
2 2
1 1
1n n
và
lim
=
2
1
0
n
suy ra

lim
=
+
2
1
0
1n
2)
<
+
3 3
sin 1
1
n
n n
và
lim
=
3
1
0
n
suy ra
lim
=
+
3
sin
0
1

n
n
Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các
tính chất của giới hạn hữu hạn giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận
dụng các tính chất này
Bài 7. Dự đoán giới hạn của dãy số (u
n
)và chỉ ra kết quả dự đoán đó đúng qua
một vài kiểm chứng cụ thể
1) u
n
=n
3
2) u
n
=
−
n
giải
1) dự đoán
limn
=+∞
3
kiểm chứng:
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
11
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
với số dương 1000 ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi số hạng trong dãy số đều có
u
n

>1000
với số dương 1000000 ta thấy kể từ số hạng thứ 101 mọi số hạng trong dãy số đều
có u
n
>1000000
2) dự đoán
( )
lim
− =−∞
n
kiểm chứng:
với số âm -100 ta thấy kể từ số hạng thứ 11 mọi số hạng trong dãy số đều có u
n
<-
100
với số âm -1000000 ta thấy kể từ số hạng thứ 1001 mọi số hạng trong dãy số đều có
u
n
< -1000000
Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định
nghĩa dãy số có giới hạn vô cực, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định
nghĩa đồng thời giúp cho học sinh thấy được một số dãy số đặc biệt có giới hạn
vô cực
Bài 8. Xác định giới hạn của các dãy số sau?
1)
4
limn
2)
lim
3

n
3)
 
 ÷
 
3
lim
2
n
Giải
1) là dãy số có dạng u
n
=n
k
nên có giới hạn là
+∞
2) là dãy số có dạng u
n
=
k
n
nên có giới hạn là
+∞
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
12
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
3) là dãy số có dạng u
n
=
n

q
với q>1 nên có giới hạn là
+∞
Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học một
vài dãy số có giới hạn vô cực đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ dãy số
có giới hạn vô cực đặc biệt
Bài 9. Tìm giới hạn các dãy số sau.
1)
( )
lim
3
3.n
2)
( )
lim
+
3 2
n n
3)
lim
+
4 2
1
n n
4)
lim
 
 ÷
 
1

2
3
n
5)
lim
 
−
 ÷
 
1
2
3
n
Giải
1)
( )
lim
=+∞
3
3.n
2)
( )
lim
+ =+∞
3 2
n n
3)
lim
=
+

4 2
1
0
n n
4)
lim
=+∞
 
 ÷
 
1
2
3
n
5)
lim
=−∞
 
−
 ÷
 
1
2
3
n
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
13
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các
tính chất của giới hạn vô cực giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận

dụng các tính chất này
Bài 10. Tìm giới hạn các dãy số sau.
1)
2
2
3n +2n+5
lim
7n + n - 8
2)
2
n +1 + 4n
lim
3n - 2
3)
(
)
2
lim n + 2n+ 3 - n
4)
2
1
lim
n 1
 
 ÷
+
 
5)
1 2
lim

1 2
n
n
 
+
 ÷
−
 
6)
3
2
lim
n 1
n
 
 ÷
+
 
Giải
1.
2
2 2
2
2
2
2
2
2 5
2 5
n 3+ +

3+ +
n
3n + 2n+5 n 3
n
n
lim = lim lim =
1 8
7
7n + n - 8 1 8
7 + -
n 7 + -
n
n
n
n
 
 ÷
 
 
 ÷
 
2.
2
2
2
1
1
1+ + 4
1+ + 4
n

n +1 + 4n 1+4 5
n
lim = lim =lim = =
2
3n - 2 3 3
2
3 -
3 -
n
n
 
 ÷
 ÷
 
 
 ÷
 
n
n
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
14
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
3.
(
)
(
)
(
)
2 2

2 2
2
2 2
n +2n+3 - n n +2n+ 3 + n
n +2n+3 - n
lim n + 2n+3 - n = lim = lim
n +2n+3 + n n +2n+3 + n
2
2
2
3
3
n 2+
2+
2n+3 2
n
= lim = lim = lim = =1
1+1
2 3
n +2n+3 + n 2 3
1+ + +1
n 1+ + +1
n
n
n
n
 
 ÷
 
 

 ÷
 ÷
 
n
4)
2
2 2
2
2
2 2
1 1
n
1
n n
lim lim lim 0
1 1
n 1
n 1 1
n n
   
 ÷  ÷
 
   
= = =
 ÷
+
   
 
+ +
 ÷  ÷

   
.
5)
1
1
1 2
2
lim lim 1
1 2
1
1
2
n
n
n
n
 
 
+
 ÷
 ÷
 
+
 
 ÷
= = −
 ÷
 ÷
−
 

 
−
 ÷
 ÷
 
 
6)
3
2
3
1
lim lim
1 1
n 1
n
n n
 
 ÷
 
= = +∞
 ÷
 ÷
+
 
 ÷
+
 
Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập cách tìm giới hạn
dãy số khi gặp các trường hợp vô định, giáo viên cần hướng dẩn và cho học
sinh ghi nhớ các cách biến đổi thường dung cho từng dạng

BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
15
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
2 2 3 2
2 2 3
5 3 2 3 2
5 2 2
3n +5n+4 6 +3n - n 2n - 4n +3n+7
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ;
2 - n 3n +5 n -7n+5
2n -6n+9 2n 1-5n n 3n
4)lim ; 5)lim + ; 6)lim - ;
1- 3n 2n +3 5n+1 n +1 3n+1
   
 ÷  ÷
   
Bài 2. Tính các giới hạn:
(
)
(
)
6
2 2 2 2
2
2 2 2 2
3n +1 - n -1 2n +1 - n +1
1)lim n +n - n ; 2)lim ; 3)lim ;
n n+1

4)lim n +1 - n -1 ; 5)lim( n +n - n +1 ); )lim n -1( n+2 - n );
PHẦN II. GIỚI HẠN HÀM SỐ:
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Định nghĩa giới hạn của hàm số:
Định nghĩa giới hạn hữu hạn của hàm số tại 1 điểm : Giả sử
a b( ; )
là một khoảng
chứa điểm
x
0
và f là một hàm số xác định trên tập
a b x
0
( ; ) \{ }
. Ta nói hàm số f có giới
hạn là số thực L khi x dần tới
x
0
(hoặc tại điểm
x
0
) nếu với mọi dãy số
n
x( )
trong tập
a b x
0
( ; ) \{ }
mà
n

x x
0
lim =
ta đều có
n
f x Llim ( ) =
.
Ta viết:
x x
f x L
0
lim ( )
→
=
hoặc
f x L khi x x
0
( ) → →
Định nghĩa giới hạn vô cực Được định nghĩa tương tự như trên.
Định nghĩa giới hạn của hàm số tại vô cực : Gỉa sử hàm số f xác định trên khoảng
a( ; )+∞
. Ta nói rằng hàm số có giới hạn là số thực L khi x dần rới +
∞
nếu với mọi dãy
số
n
x( )
trong
a( ; )+∞
mà

n
xlim = +∞
, ta đều có:
n
f x Llim ( ) =
Ta viết:
x
f x Llim ( )
→+∞
=
Các giới hạn khác được định nghĩa tương tự.
Định nghĩa giới hạn bên phải, bên trái:
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
16
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng
x b
0
( ; )

x R
0
( )∈
. Ta nói hàm số f có giới hạn bên
phải là số thực L khi x dần tới
x
0
(hoặc tại điểm
x
0

) nếu với mọi dãy số
n
x( )
trong
x b
0
( ; )
mà
n
x x
0
lim =
, ta đều có
n
f x Llim ( ) =
.
Ta viết:
x x
f x L
0
lim ( )
+
→
=
Giới hạn bên trái. (tương tự) Ta viết:
x x
f x L
0
lim ( )
−

→
=
Nhận xét:
•

− +
→
→ →
= ⇔ = =
0
0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x
x x x x
f x L f x f x L
2. Một số hàm số có giới hạn đặc biệt:
Với
x R
0
∀ ∈
, ta có: a)
x x
c c
0
lim
→
=
(c: hằng số) b)
x x
x x

0
0
lim
→
=
Với mọi số nguyên dương k ta có:
•
k
x
xlim
→+∞
= +∞
•
k
x
neáu k chaün
x
neáu k leû
lim
→−∞

+∞
=

−∞

•
k
x
x

1
lim 0
→+∞
=
;
k
x
x
1
lim 0
→−∞
=
3. Một số định lí về giới hạn
a) Một số định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1: Giả sử
x x
f x L
0
lim ( )
→
=

x x
g x M
0
lim ( )
→
=
(L, M
∈

R).
a)
x x
f x g x L M
0
lim ( ) ( )
→
 
+ = +
 
b)
x x
f x g x L M
0
lim ( ) ( )
→
 
− = −
 
c)
x x
f x g x LM
0
lim ( ) ( )
→
 
=
 
Đặc biệt,
x x

cf x cL
0
lim ( )
→
 
=
 
d)
x x
f x L
g x M
0
( )
lim
( )
→
=
(M
≠
0 )
Định lí 2: Giả sử
x x
f x L
0
lim ( )
→
=
a)
x x
f x L

0
lim ( )
→
=
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
17
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
b)
x x
f x L
0
3
3
lim ( )
→
=
c) Nếu
f x x J x
0
( ) 0, \{ }≥ ∀ ∈
, trong đó J là một khoảng nào đó chứa
x
0
, thì
L 0≥

và
x x
f x L
0

lim ( )
→
=
b) Một số định lí về giới hạn vô cực
Định lí: Nếu
x x
f x
0
lim ( )
→
= +∞
thì
x x
f x
0
1
lim 0
( )
→
=
Qui tắc 1: Nếu
x x
f x
0
lim ( )
→
= ±∞
và
x x
g x L

0
lim ( )
→
=
thì:
x x
f x
0
lim ( )
→
L
x x
f x g x
0
lim ( ) ( )
→
 
 
+
∞
+
+
∞
+
∞
–
–
∞
–
∞

+
–
∞
–
∞
–
+
∞
Qui tắc 2: Nếu
x x
f x L
0
lim ( ) 0
→
= ≠

x x
g x
0
lim ( ) 0
→
=
và
g x( ) 0>
hoặc
g x( ) 0<
với
x J x
0
\{ }∀ ∈

,
trong đó J là một khoảng nào đó chứa
x
0
thì:
L g(x)
x x
f x
g x
0
( )
lim
( )
→
+ +
+
∞
+ –
–
∞
– +
–
∞
– –
+
∞
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN:
Khi tìm giới hạn hàm số ta thường gặp các dạng sau:
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
18

SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
1. Giới hạn của hàm số dạng:
( )
( )
0
lim
0
x a
f x
g x
→
 
 ÷
 
Nếu f(x) , g(x) là các hàm đa thức thì phân tích ra thừa số.
Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức
liên hợp.
Sau đó rút gọn tử, mẩu
2. Giới hạn của hàm số dạng:
( )
( )
lim
x
f x
g x
→∞
∞
 
 ÷
∞

 
Chia tử và mẫu cho x
k
với k là số mũ lớn nhất của x.
Chú ý: nếu
x → +∞
thì coi như x>0, nếu
x → −∞
thì coi như x<0 khi đưa x ra
hoặc vào khỏi căn bậc chẵn.
3. Giới hạn của hàm số dạng:
( ) ( ) ( )
lim -
x
f x g x
→∞
 
− ∞ ∞
 
Đưa x mũ lớn nhất ra làm thừa số chung hoặc nhân lượng liên hợp
4. Giới hạn của hàm số dạng:
( ) ( ) ( )
→∞
 
∞
 
lim . 0.
x
f x g x
.

Nhân trọn f(x) và g(x) để đưa về 3 dạng trên
C. CÁC VÍ DỤ:
Bài 1. Tìm giới hạn các hàm số sau:
1)
2
x -1
lim(x +1)
→
2)
2
3
1
x 1
x
lim
x
→
+
+
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
19
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
3)
( )
2
3
1
x 1
lim
x

→
−
4)
1
x
lim
x
→−∞
giải
1) xét hàm số f(x)=x
2
+1. Với mọi dãy số (x
n
) và limx
n
=-1
ta có f(x
n
)= (x
n
)
2
+1 suy ra lim f(x
n
)=(-1)
2
+1=2 Vậy
2
x -1
lim(x +1)= 2

→
2) xét hàm số f(x)=
2
3
1
x
x
+
+
. Với mọi dãy số (x
n
), x
n
≠
-1 với mọi n và limx
n
=1,
ta có f(x
n
)=
2
3
1
n
n
x
x
+
+
suy ra lim f(x

n
)=
2
1 3
2
1 1
+
=
+
Vậy
2
3
2
1
x 1
x
lim
x
→
+
=
+
3) xét hàm số f(x)=
( )
2
3
1x −
. Với mọi dãy số (x
n
) , x

n
≠
1 với mọi n và limx
n
=1,
ta có f(x
n
)=
2
3
( 1)
n
x −
. vì lim3=3, lim(x
n
-1)
2
=0 và (x
n
-1)
2
>0 với mọi n suy ra
limf(x
n
)= +
∞
Vậy
( )
2
3

1
x 1
lim
x
→
= +∞
−
4) xét hàm số f(x)=
1
x
. Với mọi dãy số (x
n
) , x
n
≠
0 với mọi n và limx
n
=-
∞
,
ta có limf(x
n
)=0. Vậy
1
0
x
lim
x
→−∞
=

Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học định
nghĩa giới hạn hàm số, nó giúp học sinh nắm và hiểu rõ hơn định nghĩa đồng
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
20
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
thời giúp cho học sinh thấy được mối liên hệ giữa tính chất hàm số và tính
chất dãy số
Bài 2. Xác định giới hạn của các dãy số sau?
1)
→
3
lim4
x
2)
→−
3
lim
x
x
3)
→+∞
4
lim
x
x
4)
→+∞
5
lim
x

x
5)
→−∞
4
lim
x
x
6)
→−∞
5
lim
x
x
7)
→−∞
3
1
lim
x
x
8)
→+∞
5
1
lim
x
x
Giải
1)
→

=
3
lim4 4
x
2)
→−
=−
3
lim 3
x
x
3)
→+∞
=+∞
4
lim
x
x
4)
→+∞
=+∞
5
lim
x
x
5)
→−∞
=+∞
4
lim

x
x
6)
→−∞
=−∞
5
lim
x
x
7)
→−∞
=
3
1
lim 0
x
x
8)
→+∞
=
5
1
lim 0
x
x
Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học một
vài hàm số có giới hạn đặc biệt, nó giúp học sinh nắm và ghi nhớ hàm số có
giới hạn đặc biệt
Bài 3. Tìm giới hạn các hàm số sau.
1)

2
3
1
x 1
x
lim
x
→
+
+
2)
( )
3
x
lim x x
→+∞
+
3)
( ) ( )
2
2 3 4
x
lim x x
→
− −
Giải
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
21
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
1)

2 2
3 1 3
2
1 1 1
x 1
x
lim
x
→
+ +
= =
+ +
2)
( )
3
x
lim x x
→+∞
+ = +∞
3)
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 3 4 2 2 3.2 4 0
x
lim x x
→
− − = − − =
Lưu ý : nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập sau khi học các
tính chất của giới hạn hữu hạn giúp học sinh ghi nhớ và nắm được cách vận
dụng các tính chất này

Bài 4. Tìm giới hạn các hàm số sau.
1)
2
x 2
x - 3x+ 2
lim
x - 2
→
2)
x 3
x+1 - 2
lim
3x - 3
→
3)
3x-1
lim
2x 1
x→−∞
 
 ÷
+
 
4)
2
2x x 3
lim
x x 1
x→+∞
 

+
 ÷
 ÷
+ +
 
5)
2
3x -1
lim
2x 1
x→−∞
 
 ÷
+
 
6)
( )
3 2
lim 2 1
x
x x
→−∞
+ +
7)
( )
x +
lim x+1 - x
→ ∞
8)
( )

+
2
x 2
x
lim x - 2
x -4
→
Giải
1) dạng
0
0

( ) ( )
( )
2
x 2 x 2 x 2
x - 2 x -1
x - 3x+ 2
lim = lim = lim x -1 = 2 -1= 1
x - 2 x - 2
→ → →
.Chia tử và mẫu cho (x-2).
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
22
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
2) dạng
0
0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
x 3 x 3 x 3
x+1 - 2 x+1+ 2 3x +3 x+1- 4 3x +3
x+1 - 2
lim = lim = lim
3x - 3
3x - 3 x +1 + 2 3x +3 3x - 3 x+1 + 2
→ → →
=
1
2
3) dạng
∞
∞
x x x
1 1
x 3 3
3x-1 3
x x
lim lim lim
1 1
2x 1 2
x 2 2
x x
→−∞ →−∞ →−∞

   
− −
 ÷  ÷
 
   
= = =
 ÷
+
   
 
+ +
 ÷  ÷
   
4) dạng
∞
∞
2
2 2
2
2
2 2
x x x
2 x 3 1 3
x 2
x x x
2x x 3
lim lim lim 0
1 1 1 1
x x 1
x 1 1

x x x x
x
→+∞ →+∞ →+∞
   
+ +
 ÷  ÷
 
+
   
= = =
 ÷
 ÷
+ +
   
 
+ + + +
 ÷  ÷
   
5) dạng
∞
∞
2
2
2
2 2
x x x
1 1
x 3 3
3x -1
x x

lim lim lim 0
2 1 2 1
2x 1
x
x xx x
→−∞ →−∞ →−∞
   
− −
 ÷  ÷
 
   
= = =
 ÷
+
   
 
+ +
 ÷  ÷
   
6) dạng
∞ − ∞
( )
3 2 3
3
2 1
lim 2 1 lim (1 )
x
x
x x x
x x

→−∞
→−∞
+ + = + + = −∞
7) dạng
∞ − ∞
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
23
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
( )
x
1
lim 0
x 1 x
x +
lim x+1 - x
→ +∞
→ ∞
= =
+ +
8) dạng 0.
∞
( )
2
2
x 2 x 2
x(x 2) x(x 2)
lim lim 0
x 4 x 2
+
2

x 2
x
lim x - 2
x - 4
+ +
→ →
→
− −
= = =
− +
Lưu ý : Nhóm bài tập này ta tiến hành cho học sinh luyện tập cách tìm giới hạn
dãy số khi gặp các trường hợp vô định, giáo viên cần hướng dẩn và cho học
sinh ghi nhớ các cách biến đổi thường dung cho từng dạng
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Tính các gới hạn
Bài 1: (Tính trực tiếp)
1.
2
x -1
lim(x +2x+1)
→
2.
x 1
lim(x+ 2 x +1)
→
3.
( )
2
x 3
lim 3- 4x

→
4.
x 1
x+1
lim
2x -1
→
; 5.
2
5
x -1
x + x+1
lim
2x +3
→
Bài 2: (Tính giới hạn dạng
0
0
của hàm phân thức đại số)
( )
3
6
2 2
2
2
x 1 x 3 x 2
4 2 3
2 2
1
x 1 x 1

x
2
x -1 x - 3 x - 3x+2
1)lim ; 2)lim ; )lim ;
x -1 x +2x -15
x - 2
x -1 x - x 8x -1
4)lim ; 5)lim ; )lim ;
x +2x - 3 6x - 5x+1
x -1
→ → →
→ →
→
Bài 3: (Tìm giới hạn dạng
0
0
của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc
hai)
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
24
SKKN: Xây dựng hệ thống bài tập giúp làm quen và giải các bài tập giới hạn ở THPT
2
x 0 x 1 x 7
2
2
x 1 x 6 x 2
x+4 - 2 x+3 -2 2 - x - 2
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ;
x x -1 x - 49
x - 2x -1 x - 2 - 2 x +5 - 3

4)lim ; 5)lim ; 6) lim ;
x -12x+11 x -6 x- 2
→ → →
→ → →
Bài 4: (Tìm giới hạn dạng
0
0
của hàm phân thức đại số chứa căn thức bậc
ba và bậc cao)
6
3 3 3
x 2 x 0 x 1
3 3 3 3
3
x 1 x 1 x 1
4x - 2 1- x -1 2x -1 -1
1)lim ; 2)lim ; 3)lim ;
x - 2 x x -1
x -1 2x -1 - x 2- x -1
4)lim ; 5)lim ; )lim
x -1
x - 2 +1 x -1
→ → →
→ → →

Bài 6: (Tính giới hạn dạng
∞
∞
của hàm số )
5 3 2 2

5 4 2
2
x + x + x
2
2 2
x x x
-6x +7x -4x+3 x+ x +1 x+ x + x
1) lim ; 2) lim ; ) lim ;
8x - 5x +2x -1
2x+ x+1
3x - x +1
4x -1 2x + x -1 5x+3 1- x
4) lim ; ) lim ; ) lim ;
1- x
4x +3 x x -1
→ ∞ → ∞ → − ∞
→ −∞ → −∞ → − ∞
3
5 6
Bài 7: (Tính giới hạn dạng
∞ − ∞
của hàm số)
( )
( )
( )
(
)
( )
(
)

3
4 2
5 x 2x 3 6
2
x + x + x
2 2
x x x
1) lim x+1 - x ; 2) lim x + x+1 - x ; 3) lim x - 2x -1 ;
4) lim 2x +1+ x ; ) lim ; ) lim x 4x +9 +2x ;
→ ∞ → ∞ → −∞
→ −∞ →−∞ →−∞
− +
Bài 8: (Giới hạn một bên)
( ) ( ) ( )
+ - -
+ + -
2 2
2
x 0 x 2 x 3
2
5 4
x -1 x -2 x -2
x+2 x 4 - x x -7x+12
1) lim ; 2) lim ; 3) lim ;
x - x 2 - x
9 - x
3x+6 3x+6
x +3x+2
4) lim ; 5) lim ; 6) lim ;
x+2 x+2

x + x
→ → →
→ → →
Bài 9: (Tính giới hạn dạng
0.∞
của hàm số)
GV : Đinh Như Mạnh Hùng Trường THPT Chu Văn An
25