PP, kỹ thuật chứng minh đẳng thức tổ hợp
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (850.1 KB, 13 trang )
CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP
1 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
PHƯƠNG PHÁP VÀ KĨ THUẬT
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC TỔ HỢP
Chứng minh đẳng thức tổ hợp là bài tập thường thấy ở các đề thi đại học, đề thi
học sinh giỏi lớp 11, 12 những năm gần đây. Với mong muốn giúp các em có một cái
nhìn tổng quát và luôn có hướng giải chính xác và đơn giản trong vấn đề này tác giả đã
trình bày chuyên đề nhỏ “Phương pháp và kĩ thuật chứng minh một đẳng thức tổ hợp”
Lưu ý: Ở đây, tác giả chỉ sử dụng kiến thức lớp 11. Những em lớp 12 có thể sử
dụng thêm đạo hàm, tích phân để giải quyết vấn đề này (Sẽ đề cập trong một tài liệu
khác). Tuy nhiên, đối với một số bài toán, việc dung đạo hàm tích phân khá phức tạp,
và đôi lúc là không thể áp dụng…
Chúng ta bắt đầu nào !
Trước hết hãy xem dạng tổng quát của một đẳng thức tổ hợp.
khoảng
Từ đây, chúng ta rút ra rằng để làm tốt bài tập dạng này, ta cần phải có kĩ thuật
xử lí
và khoảng cách .
A. Xử lí “khoảng cách ”
Sau đây là những ví dụ minh họa.
A1. Sử dụng khai triển NewTon
Ví dụ 1:Chứng minh rằng
Giải:Ta có:
Trong
cho , ta được
Ví dụ 2: Chứng minh rằng
CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP
2 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
Giải:Ta có:
Cộng vế theo vế hai khai triển trên ta được:
Trong
cho , ta được
Nhận xét:
Nếu ta trừ vế theo vế hai khai triển trên ta sẽ thu được điều sau:
Giả sử trong
cho , ta được
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
Giải:Ta có:
trong đó,
trong đó,
Cộng vế theo vế các khai triển trên ta thu được:
CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP
3 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
trong đó
Taẽ chứng minh được rằng
Thật vậy
Suy ra
và
Do đó từ suy ra
Trong
cho , ta được
Nhận xét:
Một câu hỏi thường gặp??
Nếu ta muốn tính
Hay
Gợi ý một chút nhé!
Chúng ta cùng nhìn lại biểu thức
và tính chất
. Bạn đã suy nghĩ ra chưa???
Dễ dàng nhận ra rằng, nếu chúng ta muốn tính ta phải làm cho hệ số của
là
Muốn vậy, ta làm như sau: Lấy
. Khi đó, ta thu được
CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP
4 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
Tương tự, nếu lấy
ta thu được
Để tính ta chỉ cần cho cho trong
và
Chúng ta cùng qua ví dụ 4
Ví dụ 4: Chứng minh rằng:
Giải: Ta có
Cộng vế theo vế các khai triển trên ta thu được:
trong đó
CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP
5 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
Ta sẽ chứng minh được rằng
Thật vậy, ta có
. Suy ra:
Do đó, từ suy ra
Trong
cho , ta được
Nhận xét:
Cũng như nhận xét ở ví dụ 3 ta thu được 3 khai triển khác như sau:
Lấy
:
Lấy
:
Lấy
:
Tổng quát hóa bài toán
Ở mục này, tôi xin dành cho những em có mong muốn nghiên cứu sâu về đằng
thức tổ hợp
Bài toán: Cho là số nguyên dương, .Tính tổng
CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP
6 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
Chú thích:
được gọi là phần nguyên của
Ở các ví dụ 1,2,3,4 tương ứng lần lượt với .
Cùng theo dõi lời giải tổng quát.
Giải: Ta có
Trong đó,
là các căn bậc của . Ở chuyên đề này, tác giả không đề cập
nhiều về căn bậc nguyên thủy của một số.
Cộng vế theo vế tất cả các khai triển trên ( khai triển) ta thu được:
trong đó
Ta luôn luôn chứng minh được rằng:
Phần chứng minh liên quan đến vấn đề về căn bậc nguyên thủy của một số.
Đến đây, tôi tin rằng các em đã hiểu ra vấn đề vì vậy tôi xin dừng bài toán tổng quát
lai và chuyển sang một vấn đề khác.
A2. Sử dụng phương pháp cân bằng hệ số
Phương pháp cân bằng hệ số là một trong những phương pháp khá hay và mạnh
trong những bài toán tính tổng hoặc chứng minh một đẳng thức tổ hợp. Cơ sở của
phương pháp là đồng nhất hai đa thức bằng nhau.
CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP
7 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
Từ một đẳng thức ta có thể khai triển theo hai cách khác nhau, thì hai đa thức
thu được đều phải như nhau. Từ đó suy ra hệ số của số hạng bậc nào ở trong 2 khai
triển là bằng nhau.
Ta xét vài ví dụ sau:
Ví dụ 1: Chứng minh với mọi số nguyên . Ta có
Giải:Ta có đẳng thức
với mọi số nguyên
Hệ số
trong khai triển vế trái là
Hệ số
trong khai triển vế phải là
Do đó
Ví dụ 2: Chứng minh với mọi số nguyên . Ta có
Giải: Vì
. Do đó, đpcm tương đương với
Ta có đẳng thức
với mọi số nguyên
Hệ số
trong khai triển vế trái là
Hệ số
trong khai triển vế phải là
CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP
8 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
Do đó, ta có được điều phải chứng minh.
Những điều cần lưu ý:
Đẳng thức mà ta cần chứng minh sẽ gợi ý cho ta xét đa thức cần khai triển
Khai triển mũ bao nhiêu
Tích của hai triển nào
Hệ số của số mũ cần cân bằng.
Về việc khai triển mũ bao nhiêu và khai triển tích nào chắc không phải là câu hỏi
của các em (ai cũng có thể nhận ra). Vấn đề ở đây là hệ số cần cân bằng. Trong ví dụ
đầu tiên, ta dễ dàng nhận ra tổng các khoảng cách tương ứng với mỗi số hạng của vế
trái là không đổi và bằng , điều này giúp ta suy nghĩ đến việc cân bằng hệ số
. Ở
trong ví dụ thứ 2, điều này không có sẵn. Nhưng bằng công thức
ta có thể
đưa bài toán về bài toán như bài toán ví dụ đầu tiên.
Lưu ý:
Ở các khai triển
ở trên, ta có thể cho bất kì để được một đẳng thức
có dạng
nào đó.
Phần xử lí khoảng cách xin được phép dừng ở đây. Chúng ta sang phần B.
B. Xử lí hệ số “
”
Việc đầu tiên, hãy học thuộc hai “bí kíp” sau:
và
Để chứng minh hai công thức trên là việc khá dễ dàng, xin dành cho các em.
Hướng dẫn sử dụng:
-Muốn tu luyện được 2 môn “võ công” này, trước hết phải tự…học được :3
-Để ý ở trong cả hai công thức chúng ta đều muốn chuyển hệ số theo thành hệ số theo
và từ đây ta có thể đặt nhân tử chung các hệ số theo để thu được một đẳng thức chỉ có
hệ số là hoặc . Khi đó bài toán sẽ trở nên cực kì dễ dàng (với kĩ năng ở mục A).
Cùng theo dõi một số ví dụ đơn giản sau.
Ví dụ 1:(ĐH-CĐ khối A-2005) Tìm số nguyên dương sao cho:
CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP
9 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
Giải: Số hạng tổng quát của VT:
với
Như nhận xét ở mục A thì
không phải là vấn đề của chúng ta (chỉ cần cho
hoặc trong khai triển ở mục A)
Vậy, đâu là vấn đề????. Hệ số !!!!. Chúng ta xử lí bằng công thức đầu tiên như
sau:
Vây
Do đó
Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
Giải:ố hạng tổng quát của VT:
với
Chúng ta xử lí bằng công thức thứ hai như sau:
Vậy
đpcm
Ví dụ 3: Chứng minh rằng:
Giải: Số hạng tổng quát của VT
với
Áp dụng công thức đầu tiên .
với
Do đó,
CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP
10 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
Ví dụ 4: Chứng minh rằng
Giải: Số hạng tổng quát của VT
với
Áp dụng công thức đầu tiên ba lần kiên tiếp ta được:
Do đó,
Nhận xét:
Ở 4 ví dụ trên chúng ta có thể sử dụng đạo hàm, tích phân để giải quyết nhưng
với những bài tiếp theo sau đây bạn sẽ thấy khó khăn với hai công cụ giải tích này. Tôi
xin nói thêm một tí về công cụ giải tích, nó rất “mạnh”. Nhưng bạn không thể lấy một
con dao để cắt đôi một con kiến được! Tôi e rằng bạn sẽ tự cắt vào tay mình mất!!!
Kiểm chứng nhé!
Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi nguyên dương :
Đạo hàm?, Tích phân… Có vẻ như không hiệu quả cho lắm. Nhưng chỉ cần sử dụng
hai công thức trên, bài toán quả thực rất đơn giản.
Giải: Số hạng tổng quát của VT:
với
Áp dụng công thức đầu tiên ta được.
Do đó,
Tiếp tục nào!
Ví dụ 6: Chứng minh rằng
CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP
11 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
Giải: Số hạng tổng quát của VT
Áp dụng công thức thứ hai ta được:
Do đó,
Nhận xét:
-Đến đây, bạn đã có thể giải quyết khá tốt các bài toán chứng minh đẳng thức tổ hợp
rồi đấy! Nhưng không có môn “võ công” nào là không có “điểm yếu” !
-“Điểm yếu” ở 2 công thức trên là gì??? Cùng nhìn lại 2 công thức trên.
và
Ta luôn muốn biến đổi hệ số theo thành hệ số theo để đặt được nhân tử chung cho mỗi
số hạng và đưa hệ số của đẳng thức cần chứng minh về hoặc . Với những ví dụ ở trên
ta đã áp dụng khá “ngọt”. Tiếp tục đến với ví dụ sau
Ví dụ 7:Chứng minh rằng:
Giải: Số hạng tổng quát của VT
Chắc là sử dụng công thức thứ hai rồi, làm thôi.
Mà khoan, không giống công thức thứ 2 lắm, . Giá mà thì tốt quá.
CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP
12 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
Đây chính là “điểm yếu” mà tôi đề cập, nhưng không phải là không có cách khắc
phục. Xem tiếp nhé. Với mong muốn làm xuất hiện nên ta làm như sau:
Đến đây, đã đúng chiêu thức rồi, thi triển võ công thôi.
Tiếp tục…
Số hạng bây giờ là
Công thức thứ nhất nào
Không thành vấn đề !. Biến đổi làm xuất hiện nào.
Do đó,
Vậy
C. BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Bài 1: Rút gọn các tổng sau:
a.
b.
c.
CHUYÊN ĐỀ ĐẲNG THỨC TỔ HỢP
13 Võ Thanh Dũng – 0932.492.408
d.
e.
f.
g.
h.
Bài 2: Chứng minh các đẳng thức tổ hợp sau:
Đà Nẵng, tháng 5, năm 2014
