chứng minh đẳng thức lớp 9 - giỏi

Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ
Chuyên đề chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức lớp 9

Bài tập 1. Cho a + b + c = 0, a, b, c # 0. Chứng minh hằng đẳngthức:
cbacba
111111
222
++=++
HD.






++






+++++=++=
cabcabcabcab
cbacba
VT
111
2
111
2
111111

222222
VP
cbacbaabc
cba
cbabca
b
abc
a
abc
c
cba
=++=






++=






++

++=






++






++=
111111
2
111
2
111
222
Bài tập 2: Chứng minh rằng số:
532
++
là số vô tỉ.
HD.Giả sử:
a

=++
532
(a hữu tỉ ).Thế thì
532
=+
a
.Bình phơng hai vế ta đợc:
2
56525625
2
2
a
aaa
=++=+
,
tiếp tục BPHV ta có:
a
a
a
a
aa
2
56
4
30
4
30256
2
4
4

2

==++
(hiển nhiên a # 0 ),
30

là số hữu tỉ,vô lí . Vậy
532
++
là số vô tỉ.
Bài tập 3: a)Rút gọn biểu thức:
( )
2
2
1
11
1
+
++=
a
a
A
với a # 0;
b)Tính giá trị tổng:
22
2
1
1
1
1

++=
B
+
22
3
1
2
1
1
++
+
22
4
1
3
1
1
++
++
22
100
1
99
1
1
++
.
HD. a).
=
+

+++++
=
+
++++
=
+
++=
22
2222
22
2222
22
2
)1(
12)1(
)1(
)1()1(
)1(
11
1
aa
aaaaa
aa
aaaa
aa
A
[ ]
22
2
22

22
22
22
22
222
)1(
1)1(
)1(
1)1(2)1(
)1(
1)1(2)1(
)1(
122)1(
+
++
=
+
++++
=
+
++++
=
+
++++
=
aa
aa
aa
aaaa
aa

aaaa
aa
aaaa
2
2
)1(
1






+
++
=
aa
aa
; Với a > 0 nên A > 0 và
)1(
1
2
+
++
=
aa
aa
A
.
b) Từ câu a suy ra:

( )
1
11
1
)1(
1
1
)1(
1)1(
)1(
1
1
11
1
2
22
+
+=
+
+=
+
++
=
+
++
=
+
++=
aaaaaa
aa

aa
aa
a
a
A
.
Do đó:
=






+++






++






++

+=
100
1
99
1
1...
4
1
3
1
1
3
1
2
1
1
2
1
1
1
1B
.99,99
100
1
100

100
1
99
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
99
==






++++=
Bài tập 4. Rút gọn biểu thức:
a) A =
nn
+
++

+
+
+
+
+
1
1
...
43
1
32
1
21
1
b) B =
1009999100
1
...
4334
1
3223
1
22
1
+
++
+
+
+
+

+
c) C =
10099
1
...
43
1
32
1
21
1

+

+



Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ
HD.a) Ta hoán đổi vị trí hai số hạng ở mẫu rồi trục căn thức:
1
12
12
12
12
1
21
1

=

=
+
=
+
làm tơng tự ta
đợc:
1...342312
1
1
...
1
34
1
23
1
12
++++=

++

+

+

=
nn
nn
A

11...342312
=++++=
nnn
.
b)
1009999100
1
...
4334
1
3223
1
22
1
+
++
+
+
+
+
+
=
B
=
)99100(99100
1
...
)34(34
1
)23(23

1
)12(2
1
+
++
+
+
+
+
+
=
)99100(99100
1
...
)34(34
1
)23(23
1
)12(2
1
+
++
+
+
+
+
+
=
)99100(99100
)99100(

...
)34(34
)34(
)23(23
)23(
)12(12
)12(


++


+


+


=
99100
)99100(
...
34
)34(
23
)23(
12
)12(

++

+

+

=
10
9
10
1
1
100
1
99
1
...
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
==++++
.
c)Trục căn thức rồi rút gọn.

Bài tập 5. Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 1.Tính giá trị của biểu thức:

( )( )
+
+
++
=
2
22
1
11
x
zy
xA
( )( )
+
+
++
2
22
1
11
y
xz
y
( )( )
2
22
1
11

z
yx
z
+
++
.
HD. Thay xy + yz + zx = 1 vào 1 + y
2
ta đợc: xy + yz + zx + y
2
= ( xy + y
2
) + ( yz + zx ) = y( x + y) + z( x
+ y ) = ( x + y ) ( y + z );
Tơng tự thay xy + yz + zx = 1 vào 1 + x
2
ta đợc xy + yz + zx + x
2
= ( z + x ) ( x + y );
xy + yz + zx = 1 vào 1 + z
2
ta đợc xy + yz + zx + z
2
= ( y + z ) ( z + x );
Thay tất cả vào biểu thức A rút gọn ta đợc kết quả:
xzyzxyA 222
++=
Bài tập 6: Cho các số dơng x, y, z thoả mãn xy + yz + zx = 3.Tính giá trị của biểu thức:

( )( )

+
+
++

=
2
22
3
33
3
x
zy
x
yz
B
( )( )
+
+
++

2
22
3
33
3
y
xz
y
zx
( )( )

2
22
3
33
3
z
yx
z
xy
+
++

.
HD. Thay xy + yz + zx = 3 vào 3 + y
2
ta đợc: xy + yz + zx + y
2
= ( xy + y
2
) + ( yz + zx ) = y( x + y) + z( x
+ y ) = ( x + y ) ( y + z );
Tơng tự thay xy + yz + zx = 3 vào 3 + x
2
ta đợc xy + yz + zx + x
2
= ( z + x ) ( x + y );
xy + yz + zx = 3 vào 3 + z
2
ta đợc xy + yz + zx + z
2

= ( y + z ) ( z + x );
Thay tất cả vào biểu thức B rút gọn ta đợc kết quả: B = 3.
Bài tập 7. Cho ba số thực a, b, c # 0 và
cbcaba
+++=+
. Chứng minh rằng:
0
111
=++
cba
.
HD.
cbcacbcabacbcabacbcaba
++++++=++++=++++=+
.2)()(
22
22222
)).(().()(.22 ccbcacabcbcaccbcaccbcac
=+++++=++=++=
0
22
=++=+++
bcacabccbcacab
, chia hai vế cho abc ta đợc:
0
111
=++
cba
.
Bài tập 8. Cho

xzyzxyzyx
++=++
trong đó x, y, z là các số dơng. Chứng minh rằng:
zyx
==
.
HD. Nhân hai vế đẳng thức với 2 ta đợc:
)(2)(2 xzyzxyzyxxzyzxyzyx
++=++++=++
zyxxzzyyx
===++
0)()()(
222
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ
Bài tập 9. Chứng minh rằng:
a)Nếu a > 1, với mọi n
N

ta đều có:
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
11

=

+
;
b)Nếu
0,0

ba
thì
0
=+=+
abbaba
;
c)
( )
0
333
=++=+
baabbaba
HD.a)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n

a
a
a
a
aa
a
aaaa
a
a
aVT
11
.
1
.
1

=

=


=

+=
, với a > 1, với mọi n
N

.
b)Với
0,0

ba
bình phơng hai vế ta đợc:
0022
==++=+
abababbaba
.
c) Lập phơng hai vế ta đợc:
( )
00)(333
22
=+=++++=+
baabbaababbababa
Bài tập 10: Chứng minh nếu
3333
cbacba
++=++
thì với mọi n tự nhiên lẻ ta có:
nnnn
cbacba
++=++
.
Bài tập 11.Cho
byaxzczaxyczbyx
+=+=+=
,,
và
zyx
++
# 0.

Tính giá trị của biểu thức:
cba
B
+
+
+
+
+
=
1
2
1
2
1
2
.
HD. Cộng vế với vế ta đợc:
)(2 czbyaxzyx
++=++
,
thay thích hợp ta đợc:
z
zyx
cczczzzyx
2
1)1(2)(2
++
=++=+=++
;
tơng tự ta có;

x
zyx
a
y
zyx
b
2
1
2
1
++
=+
++
=+
; thay vào B ta đợc:
24
)(4444
2
2
2
2
2
2
==
++
++
=
++
+
++

+
++
=
++
+
++
+
++
=
zyx
zyx
zyx
z
zyx
y
zyx
x
z
zyx
y
zyx
x
zyx
B
Bài tập 12. Chứng minh rằng nếu
x
xt
t
yt
y

xy
1
11
+
=
+
=
+
thì
tyx
==
, x. y. t = 1.
HD. Ta có:
x
t
t
y
y
x
x
xt
t
yt
y
xy
1111
11
+=+=+=
+
=

+
=
+

Cộng trừ vế với vế ta đợc:
ty
ty
yt
yx

==
11
;

xt
xt
tx
ty

==
11
;
yx
yx
xy
xt

==
11
;

Nhân vế với vế ta đợc:
yx
yx
xt
xt
ty
ty
xttyyx



=
.))()((
;

( )( )
1..
)(
))()((
=

=
tyx
xyt
yxxtty
xttyyx
hoặc
tyxxttyyx
=====
0;0;0

Bài tập 13. Cho a, b, c đôi một khác nhau và thoả mãn
( )
222
2
cbacba
++=++
.
Tính giá trị biểu thức:
abc
c
acb
b
bca
a
P
222
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
=
.
HD.

( )
0222222
222222222
2
=++++=+++++++=++
cabcabcbacabcabcbacbacba
bcabcacaabbccabcabcabcab
====++
,,0
, thay vào P ta đợc:
cabcabc
c
bcabacb
b
caabbca
a
abc
c
acb
b
bca
a
P
+
+
+
+
+
=
+

+
+
+
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ
)()()()()()(
222
cbacbc
c
bacbab
b
cabcaa
a
+
+
+

+

=
))(())(())(())(())(())((
222222
cacb
c
cbba
b
baca
a
cacb
c
bcba
b
baca
a

+



=

+

+

=
))()((

)(
))()((
)(
))()((
)(
222
bacacb
bac
cacbba
cab
cbbaca
cba


+





=
=

++
=

+
=
))()((
)(

))()((
)()()(
22222222
cbbaca
bcaccbabcba
cbbaca
bacacbcba
[ ]
1
))()((
))()((
))()((
)()()(
))()((
))((
))()((
)())(()(
))()((
)(
2
222222
=


=


=

+

=

++
=

++
=
cbbaca
cabacb
cbbaca
cbcbaacb
cbbaca
bcacabacb
cbbaca
cbbccbcbacba
cbbaca
bccbacabcba
Bài tập 14. Cho
0
=++
cba
và a,b,c # 0.
Chứng minh rằng:
222
2
222
2
222
2
666

bac
c
acb
b
cba
a
A

+

+

=
là số nguyên.
HD.
( )
[ ]
(*),22)(0
222222
2
2
bccbabccbacbacbacba
=++==+==++
;
Biến đổi tơng tự ta có đợc:
*);*(*,2(**),,2
222222
abbaccaacb
==
Thay (*),(**),(***) và A ta đợc:

**)*(*
)(3
2
6
2
6
2
6
2
6
2
6
2
6
333
222222
abc
cba
ab
c
ca
b
bc
a
ab
c
ca
b
bc
a

A
++
=++=++=
Ta lại có:
( )
[ ]
)33()(0
22333
3
3
bccbcbacbacbacba
+++==+==++
)(3)(3)33(
33333322333
abccbacbbccbabccbcba
=+++=+++=++
*)***(*,3
333
abccba
=++
Thay (*****) vào (****) ta đợc:
39
3.3)(3
333
===
++
=
abc
abc
abc

cba
A
Bài tập 15. Cho a, b, c và x, y, z khác nhau và khác 0 thoả mãn:
0
=++
z
c
y
b
x
a
và
1
=++
c
z
b
y
a
x
.
Tính
*)*(*;
2
2
2
2
2
2
c

z
b
y
a
x
M
++=
.
HD. Ta có
122211
2
2
2
2
2
2
2
2
=+++++=






++=++
ca
zx
bc
yz

ab
xy
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
c
z
b
y
a
x
(*)212112
2
2
2
2
2
2
2
2
2

2
2
2






++
=






++=++=






+++++
abc
zxbyzaxyc
ca
zx
bc

yz
ab
xy
c
z
b
y
a
x
ca
zx
bc
yz
ab
xy
c
z
b
y
a
x
;
Ta lại có:
(**);000
=++=
++
=++
cxybxzayz
xyz
cxybxzayz

z
c
y
b
x
a
;
Thay (*), (**) vào (***) ta đợc:
1
0
21
2
2
2
2
2
2
==++=
abc
c
z
b
y
a
x
M
Bài tập 16. Cho các số dơng a, b, c và
cba

,,

chứng minh rằng nếu:
( )( )
cbacbaccbbaa

+

+

++=

+

+

thì
c
c
b
b
a
a

=

=

.
HD.Bình phơng hai vế ta đợc:
bcaccbabcabaccbbaaaaccccbbbbaaccbbaa

+

+

+

+

+

+

+

+

=

+

+

+

+

+

222

Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi Giáo viên : Phan Lệ Thuỷ
bcaccbabcabaaaccccbbbbaa

+

+

+

+

+

=

+

+


222
0)2()2()2(
=

+



+

+



+

+




bcccbbcbacaacccaabbbaaba
0)()()(
222
=



+



+




bccbaccaabba
bccbaccaabbabccbaccaabba

=

=

=

=



=



=




,,0)(,0)(,0)(
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b

c
c
a
a
b
b
a
a

=

=



=

=

=


;;
.
Bài tập 17:
a)Cho
( )
1198
1
...

11998
1
....
1997.2
1
1998.1
1

++
+
+++=
kk
S
. Hãy so sánh S và
1999
1998
2
.
b)Cho
1199
1
...
1997.3
1
1998.2
1
1999.1
1

++++=

A
. Hãy so sánh A > 1,999.
HD. áp dụng BĐT:
ba
ab
abba
+
+
21
2
. Ta có:
a)
=

++
++
++
+
+
+
+
+

1198
1
....
11998
2
....
19963

2
19972
2
19981
2
kk
S
1999
1998
2
1198
1
....
1999
1998
2


++=
b) Tơng tự câu a.
Bài tập 18.Tìm x, y sao cho
zyxzyx
+=+
.DDK: x
0

0,0,0,
+
zyxzy
HD. BPHV ta đợc:

xyyxzzyxzzyxyxzzyx 2.2)()(
22
++=+++++=++
xyzzyx 2.2
=+
, BPHV ta đợc:
0).(
2
=+=+
xyzyzxzxyzzyx
zyxyzzxyzzxzxyzxz
======
,,0)).((0)()(
.
Bài tập 19. Cho
(
)
(
)
20062006.2006
22
=++++
bbaa
, hãy tính tổng a + b.
HD :
(
)
(
)
(

)
(
)
2006200620062006.2006
2222
+=+++++
aaaabbaa
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
(*),20062006
200620062006200620062006
2006200620062006.
22
2222
2222
++=+
+=+++=++
+=++
baba
aabbaabb
aaaabb
Làm tơng tự ta đợc:
(**),20062006
22
++=+
abba

Cộng vế với vế (*) và (**) ta đợc:
( )
02
=+
ba
vậy
0
=+
ba
.
Bài tập 20. Chứng minh rằng nếu
0
=+
zyx
thì
0
111
=
+
+
+
+
+
zyxyxzxzy
.
HD.
xyzyxzxyyxzyxzyx 22)(0
2
2
=+=++=+=+

;

xzyzxyxzzxyzxzyx 22)()(0
22
=+=+==+
;

yzxzyxyzzyxzyzyx 22)()(0
22
=+=+==+
Thay các kết quả ta đợc:
0
22222
1
2
1
2
1111
=
+
=+=+=
+
+
+
+
+
xyz
zyx
xyz
z

zxy
y
xyz
x
xyzxyz
zyxyxzxzy
Bài tập 21.Tính giá trị biểu thức
( )( ) ( )( ) ( )( )
xyzyxzxzyzyxM
++=
444444
với x,y,z > 0
thoả mãn
4
=+++
xyzzyx
.
Bài tập 22. Cho các số a, b, c khác nhau đôi một là:
b
ac
a
cb
c
ba
+
=
+
=
+
.

Tính giá trị biểu thức






+






+






+=
a
c
c
b
b
a
M 1.1.1
.