Ôn tập nhẹ nhàng phần THỂ TÍCH ĐA DIỆN và sự BIẾN THIÊN HÀM SỐ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (973.85 KB, 55 trang )
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
1
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
2
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
1
LỜI NÓI ĐẦU
Các em thân mến.
Thấm thoát đã mười hai năm, từ cái ngày đầu đến trường còn
rụt rè bỡ ngỡ, giờ đây các em đã đi đến những ngày tháng cuối cùng
của thời học sinh. Năm cuối cùng của khoảng thời gian đẹp nhất của
cuộc đời và đây cũng là năm quan trọng làm tiền đề cho tương lai
của các em.
Kể từ hôm nay, các em sẽ lần lượt trải qua những thử thách
khó khăn của cuộc sống. Thử thách đầu tiên các em phải trải qua đó
là kì thi đại học. Đây là một thử thách không có chổ cho những suy
nghĩ bồng bột, lười nhác…
Để giúp các em có sự chuẩn bị tốt hơn, thầy đã soạn ra tuyển
tập các chuyên đề ôn thi đại học Môn Toán.
Hy vọng những chuyên đề mà thầy soạn, sẽ giúp các em trang
bị tốt hơn kiến thức, giúp các em có thể vượt qua thử thách đầu tiên
của cuộc đời một cách dễ dàng hơn.
Đây là lần đầu tiên thầy soạn chuyên đề, nên không tránh khỏi
sai sót…các em đọc và góp ý để thầy chỉnh sửa kịp thời, để các em
khóa sau có sự chuẩn bị tốt hơn các em nhá.
Chúc các em học tốt.
Thầy Xuân
Địa chỉ: H40/47 K543 TÔN ĐỨC THẮNG, Đ NẴNG.
ĐT: 0975.050.027
FACEBOOK: facebook.com/nobi39
FAGE HỌC TOÁN: LTĐH Toán “Mỗi tuần một chuyên đề”
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
2
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
3
PHẦN 1. GIẢI TÍCH
CHƢƠNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Bài 1. ĐƢỜNG THẲNG
I. Phƣơng trình đƣờng thẳng
1. Định nghĩa:
- Phƣơng trình
đƣợc gọi là
phƣơng trình tổng quát của đƣờng thẳng
- Cho
Khi đó đường thẳng qua có một trong 2
dạng sau:
+
; vuông góc với trục
+
tạo với trục một góc Trong
đó:
là góc tạo bởi d và
Chú ý: Cho 2 đường thẳng
Khi đó:
II. Vị trí tƣơng đối:
1. Đường thẳng và đường thẳng
Khi đó:
2. Điểm và đường thẳng
Cho
và
Đặt
Khi đó:
khác phía so với d.
cùng phía so với d.
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
4
3. Khoảng cách
Cho
và
Khi
đó
4. Diện tích tam giác
Cho
và các điểm
trong đó
Khi đó
với
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
5
Bài 2. ĐỊNH LÝ VI ET VÀ ỨNG DỤNG
1. Định lý:
Phương trình
có 2 nghiệm phân
biệt
thì
2. Ứng dụng
Phương trình
có 2 nghiệm phân
biệt
thỏa:
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
6
CHƢƠNG II: HÀM SỐ
BÀI 1. SỰ BIẾN THIÊN HÀM SỐ
I. Các định nghĩa, định lý.
1. Định nghĩa sự biến thiên.
Cho hàm số xác định trên ( có thể là
hoặc
…).
a. Hàm số đƣợc gọi là đồng biến trên nếu:
có
b. Hàm số đƣợc gọi là nghịch biến trên nếu:
có
c. Hàm số đƣợc gọi là hàm không đổi trên nếu:
ta đều có
Ví dụ :
Hàm là hàm đồng biến trên
Hàm là hàm nghịch biến trên
Hàm là hàm hằng.
Chú ý. Hàm đồng biến sẽ có đồ thị đi lên, ngịch biến sẽ có đồ
thì đi xuống, hàm hằng có đồ thị song song với
2. Một số định lý để khảo sát sự biến thiên của đồ thì hàm
số.
Giả sử hàm số có đạo hàm trên Khi đó ta có:
Định lý 1.
+ Nếu đồng biến trên thì
+ Nếu nghịch biến trên thì
+ Nếu không đổi trên thì
Định lý 2.
+ Nếu
thì hàm số đồng biến trên
+ Nếu
thì hàm số nghịch biến trên
+ Nếu
thì hàm số không đổi trên
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
7
II. Các bài toán thường gặp
1. Bài toán 1. Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm
không chứa tham số
Phƣơng pháp:
B1. Tìm tập xác định
B2. Tính
Giải phƣơng trình
B3. Lập bảng biến thiên và kết luận.
Ví dụ 1:
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số sau
Giải
a.
Tập xác định
Bảng biến thiên
Kết luận
Hàm số đồng biến trên các khoảng:
Hàm số nghịch biến trên các khoảng:
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
8
b.
Tập xác định
Bảng biên thiên
Kết luận:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
c.
Tập xác định
Bảng biên thiên
Kết luận:
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
9
d.
Tập xác định
Bảng biên thiên
Kết luận:
Hàm số đồng biến trên
Ví dụ 2:
Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số sau
Ví dụ 3: Chứng minh rằng
a. Hàm số
nghịch biến trên
b. Hàm số sau đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
c. Hàm số
Đồng biến trên
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
10
Giải
a.
Hàm số liên tục trên
Vì
Nên hàm số
nghịch biến trên
b.
Tập xác định
Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
c.
Tập xác định:
Hàm số đã cho đồng biến trên
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
11
2. Bài toán 2
Vận dụng tính đơn điệu để tìm cực trị hàm một biến.
Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số trên
khoảng
B1. Tính đạo hàm
B2. Giải phương trình
B3.
Lập bảng biến thiên (nếu K là khoảng, nửa khoảng)
Tính các giá trị đặc biệt nếu K là đoan.
B4. So sánh và kết luận.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số sau
trên
Giải
Hàm số liên tục trên
Ta có
Vậy
tại
tại
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
12
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số sau
a.
trên
b.
trên
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số sau
Giải
TXĐ:
.
Ta có
Vậy
tại
tại
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số sau
a.
b.
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
13
Định lý
a. Hàm số đơn điệu (
trên
Khi đó phƣơng trình
có nhiều nhất một nghiệm trên
b. Hàm số đơn điệu (
trên
Khi đó ta có
3. Bài toán 3
Vận dụng tính đơn điệu để giải phương trình.
Ví dụ 1: Chứng minh phƣơng trình sau vô nghiệm
Phân tích. Những phương trình chứa căn. Trước khi làm các
em nên dùng Casio 570 ESPL để đoán nghiệm.
Đối với phương trình này, ta bấm thấy vô nghiệm.
Do đó ta liên tưởng tới cách làm sau.
Giải
ĐK
Xét hàm số
Bảng biến thiên
Do đó phƣơng trình đã cho vô nghiệm.
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
14
Ví dụ 2: Giải phƣơng trình
Phân tích. Những phương trình chứa căn. Trước khi làm các
em nên dùng Casio 570 ESPL để đoán nghiệm.
Đối với phương trình này, nghiệm
Dùng hàm để chứng minh nghiệm duy nhất.
Giải
ĐK
Xét hàm số
đồng biến trên
Phƣơng trình đã cho có nhiều nhất một nghiệm
Ta có
Phƣơng trình đã cho có nghiệm duy nhất
Ví dụ 3: Giải phƣơng trình
Giải
ĐK
Xét hàm số
đồng biến trên
Phƣơng trình đã cho có nhiều nhất một nghiệm
Ta có
Phƣơng trình đã cho có nghiệm duy nhất
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
15
Ví dụ 4: Giải phƣơng trình
Phân tích.
Cả hai vế của phương trình đề có dạng hàm
Nên giúp ta liên tưởng vận dụng mục b. ở lý thuyết để giải
phương trình này.
Giải
Điều kiện
Xét hàm
Hàm số đồng biên trên
Ta có
và
Vậy
Nhận xét:
Mấu chốt của việc giải dạng phương trình này là nhìn ra hàm
số đặc trưng ở 2 vế để vận dụng định lý ở mục b.
Kĩ năng này, sẽ được thầy rèn luyện và định hình cho các em ở
chuyên đề pt và hpt sau này.
Ví dụ 5: Giải phƣơng trình
Phân tích
Vế phải có dạng hàm
Ta sẽ kiểm tra xem vế trái có dạng đó không?
Vế trái cũng có dạng trên.
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
16
Do đó có thể vận dụng b. để giải phương trình này.
Giải
Điều kiện
Xét hàm
Hàm số đồng biên trên
Ta có
và
Vậy phƣơng trình đã cho vô nghiệm.
Ví dụ 6: Giải phƣơng trình
Phân tích
Vế phải có dạng hàm
Ta sẽ kiểm tra xem vế trái có dạng đó không?
Vế trái cũng có dạng trên.
Do đó có thể vận dụng b. để giải phương trình này.
Giải
Điều kiện
Xét hàm
Hàm số đồng biên trên
Ta có
và
Vậy
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
17
Nhận xét.
Ví dụ trên nhằm giúp các em làm quen với việc nhận dạng
hàm số.
Nên thầy đã cố tình không rút gọn ở 2 vế của phương
trình (2). Vào bài toán cụ thể, các em có thể rút gọn để giải phương
trình trên nhanh chóng hơn.
Ví dụ 7: Giải phƣơng trình
Giải
Điều kiện
Xét hàm
Hàm số đồng biến trên
Ta có
Vậy nghiệm của phƣơng trình là
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
18
3. Bài toán 3
Vận dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình.
I. Nhận dạng
Hàm số có
Khi
đó hệ sau tương đương với
II. Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải hệ phƣơng trình
Phân tích
Hai vế của (1) có dạng
Có thể dùng hàm để giải hệ trên
Giải
Điều kiện
Xét hàm số
Ta có
Thế vào ta đƣợc nghiệm của hệ đã cho là
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
19
Ví dụ 2: Giải hệ phƣơng trình
Giải
Điều kiện
Xét hàm
Ta có
Thế vào (2) ta đƣợc
Vậy nghiệm của hệ đã cho là
Ví dụ 3: Giải hệ phƣơng trình
Phân tích
Phương trình (1) có dạng hàm. Nhưng bị thiếu yếu tố để đưa
ra phương trình đặc trưng
Để giải quyết thiếu sót đó ta có thể cộng hoặc từ vế theo vế 2
phương trình trong hệ.
Giải
Điều kiện
Cộng vế theo vế cả hai phương trình trong hệ ta được
Xét hàm
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
20
Ta có
Với thế vào (2) ta đƣợc
Với thế vào (2) ta đƣợc
Vậy nghiệm của hệ là
Chú ý: khi xét hàm ta ưu tiên xét hàm bậc lẻ.
Ví dụ 4: Giải hệ phƣơng trình
Giải
Điều kiện
Xét hàm
Ta có
Thế vào ta đƣợc
(Bấm máy tính đƣợc
nghiệm duy nhất Dùng hàm để tìm nghiệm).
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
21
Xét hàm
Hàm số dòng nghịch biến trên
Phƣơng trình (*) có nghiệm duy nhất.
Ta có
nên là nghiệm duy nhất của
Với
Vậy nghiệm của hệ là
Chú ý: khoảng xác định của hàm phải chứa
khoảng điều kiện của
Phải ở về 2 vế của hệ. Nếu có căn thức thì thường nhân
liên hợp
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
22
Bài 2. CỰC TRỊ HÀM SỐ
I. Cực trị.
Cho hàm số liên tục trên
Khi đó:
Điểm
đƣợc gọi là điểm cực tiểu của hàm số
trên khoảng
nếu
thì
Và
đƣợc
gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.
Điểm
đƣợc gọi là điểm cực đại của hàm số
trên khoảng
nếu
thì
Và
đƣợc
gọi là giá trị cực đại của hàm số.
Chú ý:
Các điểm cực đại, cực tiểu gọi chung là các điểm cực trị.
Nếu
là một điểm cực đại (cực tiểu) thì ta nói rằng hàm số
đạt cực đại (cực tiểu) tại
1. Dấu hiệu 1
đổi dấu từ dƣơng sang âm qua
thì
là điểm cực đại.
đổi dấu từ âm sang dƣơng qua
thì
là điểm cực tiểu.
không đổi dấu trên
thì hàm số không có cực trị.
Quy tắc 1:
B1: Tìm
B2: Tìm các điểm tới hạn (điểm tới là là điểm mà tại đó
hoặc không xác định)
B3: Lập bảng biến thiên. Suy ra cực trị
2. Dấu hiệu 2
Hàm số đạt cực đại tại
Hàm số đạt cực tiểu tại
Quy tắc 2:
B1: Tìm
B2: Cho
suy ra
B3: Tại
tính
Kết luận.
TH.S ĐỖ XUÂN
HỌC ĐỂ BIẾT, ĐỂ NGÀY MAI LẬP NGHIỆP
23
II. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm cực trị
Giải
Tập xác định
Bảng biến thiên
Hàm số đạt cực đại tại
Hàm số đạt cực tiểu tại
Ví dụ 2: Tìm cực trị
a.
b.
c.
d.
