sáng kiến kinh nghiệm một vài kinh nghiệm giúp học sinh khối 11tuwj tị giải bài tập giưới hạn của hàm số

MỘT VÀI KINH NGHIỆM
GIÚP HỌC SINH KHỐI 11
TỰ TIN GIẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN CỦA
HÀM SỐ
MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan
trọng, là môn học công cụ hỗ trợ đắc lực cho hầu hết các môn học khác
trong trường phổ thông như: Lý, Hóa, Sinh, Văn………Như vậy, nếu học tốt
môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc
trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho
học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết, môn Toán còn rèn
luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận,
chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm
mĩ.
Thực tế trong nhà trường THPT hiện nay, đặc biệt là những trường
vùng ven không nằm trong nội ô thành phố như trường THPT Thanh Bình 1
thì chất lượng học tập môn Toán của học sinh còn thấp, hÇu hÕt c¸c em sî
häc m«n to¸n.
Qua 5 năm giảng dạy tôi nhận thấy học sinh khối 11 khi học chương
giới hạn, đặc biệt là phần bài tập về giới hạn của hàm số thì các em rất khó
tiếp thu và áp dụng mà bài tập về giới hạn hàm số lại luôn có mặt trong đề
các đề thi học kì, đề thi đại học và cao đẳng
Vì vậy để giúp học sinh khối 11học tốt phần bài tập giới hạn hàm số
tôi đã chọn đề tài “Một số kinh nghiệm giúp học sinh khối 11 tự tin giải bài
tập giới hạn của hàm số ”.
2.Mục đích nghiên cứu:
Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học
tập cho học sinh. Làm cho học sinh hiểu rõ và phân loại được các dạng bài
tập giới hạn hàm số. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong

các tiết học.
3.Đối tượng nghiên cứu:
Học sinh khối 11 trường THPT Thanh Bình 1
4.Giới hạn của đề tài:
Là giáo viên trực tiếp giảng dạy khối 11. Vì vậy tôi chỉ tập trung vào
vấn đề “Giúp đỡ học sinh học tốt phần bài tập giới hạn hàm số trong chương
trình lớp 11”.
5.Nhiệm vụ của đề tài:
Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt phần bài tập giới hạn hàm số trong
chương trình. Nắm vững và phân dạng được từng loại bài tập giới hạn hàm,
đảm bảo tốt kiến thức phần bài tập giới hạn hàm trong các kỳ thi học kì, thi
đại học và cao đẳng
Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng
đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường
THPT.
6.Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên
cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài.
Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).
Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, ……………….)
Phương pháp thực nghiệm.
7.Thời gian nghiên cứu:
Năm học 2011-2012.
NỘI DUNG
Chương I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ PHÁP LÝ CỦA ĐỀ TÀI
1/ Cơ sở lý luận:
2/ Cơ sở pháp lý của đề tài:
- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa, định lí đã học trong chương
trình toán trung học phổ thông

- Dựa trên những khái niệm, định nghĩa khác có liên quan tới quá trình
giải bài tập
- Dựa trên những kết quả đúng đắn và những chân lí hiển nhiên hay đã
được chứng minh, thừa nhận.
Chương II: THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI:
1.Thời gian và các bước tiến hành:
Tìm hiểu đối tượng học sinh năm học 2012-213.
2.Khảo sát chất lượng đầu năm:
Thông qua bài khảo sát chất lựơng đầu năm tôi thu được kết quả như
sau:
Trên trung bình 18%.
3.Tìm hiểu nguyên nhân dẫn đến kết quả trên:
Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp. Vì vậy việc lĩnh hội
kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời
gian.Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ:
- Các em còn lúng túng trong việc tìm ảnh của một hình qua một phép
biến hình.
- Kiến thức cơ bản nắm chưa chắc.
- Khả năng tưởng tượng, tư duy hàm, tư duy lôgíc còn hạn chế.
- Ý thức học tập của học sinh chưa thực sự tốt.
- Nhiều học sinh có tâm lí sợ học môn hình học.
Đây là môn học đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em. Thực sự là
khó không chỉ đối với HS mà còn khó đối với cả GV trong việc truền tải
kiến thức tới các em.Hơn nữa vì điều kiện kinh tế khó khăn, môi trường giáo
dục, động cơ học tập,… nên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học
sinh. Nhiều em hổng kiến thức từ lớp dưới, ý thức học tập chưa cao nên
chưa xác định được động cơ học tập, chưa thấy được ứng dụng to lớn của
môn hình học trong đời sống.
Đây là năm đầu tiên đổi mới phương pháp dạy học ở lớp 11 nên
phương tiện dạy học chưa đầy đủ.

Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để
có biện pháp giúp đỡ các em, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá
giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu kém. Việc này cần thực hiện ngay trong từng
tiết học, bằng biện pháp rèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp.
Tuy nhiên ngoài việc dạy tốt giờ lên lớp, giáo viên nên có biện pháp
giúp đỡ từng đối tượng học sinh để học sinh yếu kém theo kịp với yêu cầu
chung của tiết học, học sinh khá không nhàm chán.
Chương III: Giải quyết vấn đề:
I/ Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan:
A-KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa giới hạn của hàm số:
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K.Ta nói rằng hàm số f(x) có
giới hạn là L khi x dần tới a nếu với mọi dãy số (x
n
), x
n

∈
K và x
n

≠
a ,
*
n∀ ∈¥
mà lim(x
n
)=a đều có lim[f(x
n
)]=L.Kí hiệu:

( )
lim
x a
f x L
→
 
=
 
.
2. Một số định lý về giới hạn của hàm số:
a. Định lý 1:Nếu hàm số có giới hạn bằng L thì giới hạn đó là duy nhất.
b. Định lý 2:Nếu các giới hạn:
( ) ( )
→ →
   
= =
   
lim , lim
x a x a
f x L g x M
thì:
( ) ( ) ( ) ( )
→ → →
     
± = ± = ±
     
lim lim lim
x a x a x a
f x g x f x g x L M
( ) ( ) ( ) ( )

→ → →
     
= =
     
lim . lim .lim .
x a x a x a
f x g x f x g x L M
( )
( )
( )
( )
→
→
→
 
 
= = ≠
 
 
lim
lim , M 0
lim
x a
x a
x a
f x
f x
L
M
g x

g x
( ) ( ) ( )
→ →
 
= = ≥ ≥
 
lim lim ; 0, 0
x a x a
f x f x L f x L
c) Nguyên lý kẹp: Cho ba hàm số f(x), h(x) và g(x) xác định trên khoảng
K chứa điểm a (có thể trừ điểm a), g(x)
≤
f(x)
≤
h(x)
,x K x a∀ ∈ ≠
và
( ) ( ) ( )
lim lim lim
x a x a x a
g x h x L f x L
→ → →
     
= = ⇒ =
     
.
2. Mở rộng khái niệm giới hạn hàm số:
a) Trong định nghĩa giới hạn hàm số , nếu với mọi dãy số (x
n
), lim(x

n
) =
a , đều có lim[f(x
n
)]=
∞
thì ta nói f(x) dần tới vô cực khi x dần tới a, kí
hiệu:
( )
lim
x a
f x
→
 
= ∞
 
.
b) Nếu với mọi dãy số (x
n
) , lim(x
n
) =
∞
đều có lim[f(x
n
)] = L , thì ta nói
f(x) có giới hạn là L khi x dần tới vô cực, kí hiệu:
( )
lim
x

f x L
→∞
 
=
 
.
c) Trong định nghĩa giới hạn hàm số chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (x
n
), mà x
n
> a
*
n∀ ∈¥
, thì ta nói f(x) có giới hạn về bên phải tại a, kí hiệu :
( )
lim
x a
f x
+
→
 
 
. Nếu chỉ đòi hỏi với mọi dãy số (x
n
), x
n
< a
*
n∀ ∈¥
thì

ta nói hàm số có giới hạn bên trái tại a , kí hiệu:
( )
lim
x a
f x
−
→
 
 
B- PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN
Trong quá trình giải bài tập giới hạn của hàm số ta thường gặp 3 trường
hợp tìm giới hạn cơ bản sau:
Một là : Giới hạn của hàm số tại một điểm:
( )
→
 
 
lim
x a
f x
Hai là: Giới hạn vô cực của hàm số :
( )
→±∞
 
 
lim
x
f x
Ba là: Giới hạn một bên của hàm số:
( ) ( )

+ −
→ →
   
   
lim , lim
x a x a
f x f x
Hiển nhiên lý do tôi phân thành 3 trường hợp cơ bản vì lúc này tôi
không xét tính chất của hàm số mà chỉ nhận dạng trường hợp bằng cách
nhìn vào giá trị mà x đang tiến đến (một điểm xác định, vô cực, hay giới
hạn trái, giới hạn phải)
Trong mỗi trường hợp nêu trên lại chia ra từng dạng bài tập nhất
định.Ở đây tôi sẽ khái quát quá trình giải bài tập giới hạn hàm số theo sơ
đồ tư duy sau:
Sau đây tôi sẽ trình bày phương pháp chung để giải từng dạng bài tập đã nêu trong
sơ đồ tư duy
• KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN TẠI MỘT ĐIỂM
CỦA HÀM SỐ:
( )
→
 
 
lim
x a
f x
Quan sát
chia trường
hợp
Giới hạn vô cực
Dạng 1: Dạng 2:() Dạng 3:()

Dạng3: Dạng:
ĐỀ BÀI
Giới hạn tại một điểm:

Giới hạn một bên
Dạng 1:Tính
trực tiếp
( )
→
=
lim ( )
x a
f x f a
Dạng 2
 
 ÷
 
0
0
( )
( )
→
lim
x a
f x
g x
Dạng 1:
( )
→
=

lim ( )
x a
f x f a
Phương pháp:
Thay a trực tiếp vào biểu thức f(x). Kết luận:
( )
→
=
lim ( )
x a
f x f a
Ví dụ 1:Tính các giới hạn sau:
1/.
( )
3x2Lim
2x
+
→
2/.
2
2
Lim( 5 1)
x
x
→−
+ −
.
3/.
3
1

Lim
2
x
x
x
→
−
+
4/
2
2
x -1
2x + 3x +1
Lim
-x + 4x+ 2
→
 
 ÷
 
BÀI GIẢI
1/
( )
732.23x2Lim
2x
=+=+
→
2 2
2
2/ Lim( 5 1) ( 2) 5 1 2
x

x
→−
+ − = − + − =
3
1 3 1 2
3/Lim
2 3 2 5
x
x
x
→
− −
= =
+ +
4/
( ) ( )
( ) ( )
0
3
0
2141
11.31.2
2x4x
1x3x2
Lim
2
2
2
2
1x

=
−
=
+−+−−
+−+−
=








++−
++
−→
Bài tập tương tự:
Bài tập 1:Tính các giới hạn sau:
1.
2
x -1
lim(x + 2x +1)
→
2.
x 1
lim(x+ 2 x +1)
→
3.
( )

2
x 3
lim 3- 4x
→
4.
x 1
x+1
lim
2x - 1
→
; 5.
2
5
x -1
x + x+1
lim
2x + 3
→
Dạng 2:
( )
( )
→
 
→
 ÷
 
0
0
.lim
x a

f x
g x
(ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào f(x) và
g(x). Ta thấy f(x)=f(a)=0, g(x)=g(a)=0. nên
( )
( )
→
lim
x a
f x
g x
lúc này có dạng
 
 ÷
 
0
0
.
Phương pháp:
Phương pháp 1:Nếu f(x), g(x) là các hàm đa thức ta có thể chia tử số và
mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)
2
.
Chú ý 1:
• Nếu
= + +
2
( )f x ax bx c
có 2 nghiệm
1 2

,x x
thì ta phân tích
= + + = − −
2
1 2
( ) ( )( )f x ax bx c a x x x x
• Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
− = − +
− = − + +
+ = + − +
2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
A B A B A B
A B A B A AB B
A B A B A AB B
Phương pháp 2: Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và
mẫu cho các biểu thức liên hợp
Chú ý 2: Các biểu thức liên hợp thường gặp
− −
− = − =
+
+ +
− −
+ = + =

−
− +
− −
− = − =
+
+ +
− +
+ = + =
−
− +
3
2
3
3
3
2
3
3
3 3
2 2
3 3
3
3 3
2 2
3 3
3
1 1
1/ 1 5/ 1
1
1

1 1
2/ 1 6/ 1
1
1
3/ 7/
4/ 8/
a a
a a
a
a a
a a
a a
a
a a
a b a b
a b a b
a b
a ab b
a b a b
a b a b
a b
a ab b
Ví dụ 2:Tính các giới hạn sau:

( )
2
2 2
3
2
2

1
3
1 0
0 2
1
3 2 3
1/Lim 2/Lim
2 3 2 1
1 1
2
3/ Lim 4/ Lim
1
4 2 2
5/ Lim 6/ Lim
2
9 3
2 2
7/ Lim
7 3
x
x
x x
x x
x
x x x
x x x x
x
x x
x x
x x

x
x
x
x
→
→
→ →
→ →
→
 
+ + −
 
 ÷
 ÷
+ − − −
 
 
+ −
 
+ −
 ÷
−
 
−
 
 ÷
−
+ −
 
+ −

+ −
Bài giải.
( ) ( )
2
3 3 3
3 3 1 1
1/ Lim Lim Lim
2 3 1 3 1 4
x x x
x x
x x x x x
→− →− →−
+ + −
 
= = =
 ÷
+ − − + −
 
( ) ( )
2
2
1 1 1
1 3
2 3 3 4
2/ Lim Lim Lim
1 1
2 1 3
2( 1)( ) 2( )
2 2
x x x

x x
x x x
x x
x x x
→ → →
− +
 
+ − +
= = =
 ÷
− −
 
− + +
( ) ( )
( ) ( )
2
2
1 1 1
1 2
2 2 3
3/ Lim Lim Lim
1 1 1 1 2
x x x
x x
x x x
x x x x
→ → →
− +
 
+ − +

= = =
 ÷
− − + +
 
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
3
2
2
0 0
0 0
1 1 1 1 1
1 1
4/ Lim Lim
( 3 3)
Lim Lim 3 3 3
x x
x x
x x x
x
x x
x x x
x x
x
→ →
→ →
 
+ − + + + +

+ −
 
=
+ +
= = + + =
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
0 0 0
0 0
4 9 3 4 9 3
4
5/ Lim Lim Lim
9 9
9 3
9 3 9 3
4 9 3
Lim Lim4 9 3 24
x x x
x x
x x x x
x
x
x
x x
x x
x
x

→ → →
→ →
+ + + +
 
= =
 ÷
+ −
+ −
+ − + + 
+ +
= = + + =
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 4
6/Lim Lim Lim
2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 1
Lim Lim
2

2 2
2 2 2
x x x
x x
x x
x x
x
x x x x
x
x
x x
→ → →
→ →
− +
− −
= =
−
− + − +
−
= = =
+
− +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1 1
1 1

2 2 2 2 7 3
2 2
7/ Lim Lim
7 3
7 3 7 3 2 2
2 7 3
7 3 6 3
Lim Lim
4 2
2 2
2 2 2
x x
x x
x x x
x
x
x x x
x x
x
x
x x
→ →
→ →
+ − + + + +
+ −
=
+ −
+ − + + + +
− + +
+ +

= = = =
+ +
− + +
Bài tập tương tự:
Bài tập 2:Tính các giới hạn sau:
( )
4 2
3 0
2 1
1
12 11
3
8 1 2 1
2
1
1 1
6 5 1
2
3
27
1 1
4 /
3 2 9
0 0
2 2 3 1
5/
1
5
5
1

6 /
0
2
x + 2x - 15 x
1/ Lim 8/ Lim
x - 3 x
x x
2
2x +3x+1 x x
2/ Lim 9/ Lim
2 2
x -1 x
x - 1 x x
x x x
3/ Lim 10/ Lim
x
x
x x
x
x+ 3
x
Lim 11/ Lim
x
x
x x
x - 5 x x
Lim 12/ Lim
x
x
x

x
1+ 2x
Lim
x
+ −
→ →
− −
→ →
− +
− − −
−
→
− +
→
−
+ −
− +
→ →
+ − +
−
−
→
→
→
1 3 2
1
1
2 2
6
3 6

2 15
x
13/ Lim
2x x
x
x - 3 x
7/ Lim 14/ Lim
2
x
x x
x x
− + −
−
→
− −
−
→ →
+ −
( )
3
1 1 2 2
2
1 3
1 2
1 1 3 5
16/ 1 1
0
2 3 6
3
2 2

4 2 5 3
2
2
1 2
9 3
4 5 3 5 1 3
3
1
3 2
1 1
1
2 3
2
7
49
x x x
15/ Lim 22/ Lim
x x
x x
x x
x x
Lim x x 23/ Lim
x
x
x x
x
x x
17/ Lim 24/ Lim
x
x x

x
x x
18/ Lim 25/ Lim
x
x
x x
x
x
19/ Lim 26/ Li
x
x
 
 ÷
 ÷
 
+ − + −
− − −
→ →
+
+ − −
+ − −
→
+ − +
→
− − + −
+
→ →−
− −
+ − +
−

−
+ −
→ →
−
− −
→
−
1
3 2
1
2 2
2 6 2 6 2
20/
2
3
7 3
2
4 3
2
2 1 3 2 5
2
2 2
1 2
x
m
x
x
x x x x x
Lim 27/ Lim
x

x
x
x x
x x x
21/ Lim 28/ Lim
x
x x
x x
−
+ −
→
− + − + − −
→
+ −
→−
− +
− + − − +
+ −
→ →
−
Dạng 3:
( )
( )
→
 
→
 ÷
 
0
.

L
lim
x a
f x
g x
(với
≠
0L
) .Ta tính nhẫm dạng bằng cách
thay a vào f(x) và g(x). Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0. nên
( )
( )
→
lim
x a
f x
g x
lúc này có dạng
 
 ÷
 
0
.
L
Phương pháp:
Bước 1: Tính
→
=lim ( )
x a
f x L

(với
≠
0L
)
Bước 2: : Tính
→
=lim ( ) 0
x a
g x
và xét dấu biểu thức g(x) với
≠x a
Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận
( )
( )
→
lim
x a
f x
g x

→
=lim ( )
x a
f x L
→
=lim ( ) 0
x a
g x
( )
( )

→
lim
x a
f x
g x
L > 0 g(x) > 0
+∞
L > 0 g(x) < 0
−∞
L < 0 g(x) > 0
−∞
L < 0 g(x) < 0
+∞
Ví dụ 3:Tính các giới hạn sau:
( ) ( )
( )
( )
→ → →−
+ − +
+ +
− −
2 2
3
4 3 2
2 5 3 1
1/ lim 2/ lim 3/ lim
2 8
4 3
x x x
x x x

x x
x x
Bài giải
( )
→
+
−
2
4
2
1/ lim
4
x
x
x
Ta có:
( )
( ) ( )
( )
→
→
→

+ = >


− = − > ∀ ≠


+

= +∞
−
4
2 2
4
2
4
lim 2 6 0
lim 4 0 4 0 ( 4)
2
lim
4
x
x
x
x
x va x x
x
Vay
x
( )
→
−
−
2
3
5
2/ lim
3
x

x
x
Ta có:
( )
( ) ( )
( )
→
→
→

− = − <


− = − > ∀ ≠


−
= −∞
−
3
2 2
3
2
4
lim 5 2 0
lim 3 0 3 0 ( 3)
5
lim
3
x

x
x
x
x va x x
x
Vay
x
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
→− →−
→−
+ +
=
+ + + + − +
+
=
+ − +
3 2
2 2
2
2
2
3 1 3 1
3/ lim lim
2 8 2 2 2 4
3 1

lim
2 2 4
x x
x
x x
x x x x x x
x
x x x
Ta có:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
→−
→−
→−

+ = − <


+ − + = + − + > ∀ ≠ −


+
= −∞
+ +
2

2 2
2 2
2
3
2
lim 3 1 5 0
lim 2 2 4 0 2 2 4 0 ( 2)
3 1
lim
2 8
x
x
x
x
x x x va x x x x
x
Vay
x x
Bài tập tương tự:
Bài tập 3: Tính các giới hạn sau:
( ) ( )
( )
( )
( )
→ →−
→− →−
+ +
− +
+ +
+ + +

+
3
2 2
2 2
2
2
2 3
2 1
1/ lim 2/ lim
2 2
2 1 1
3/ lim 4/ lim
3 4 3
2
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x
• KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA
HÀM SỐ:
( )
→∞
 
 
lim
x
f x

Dạng 1:
( )
( )
→∞
∞
 
→
 ÷
∞
 
lim
x
f x
g x
Phương pháp:
Chia tử và mẫu cho x
k
với k là lũy thừa cao nhất của tử hoặc mẫu. Chú ý rằng
nếu
x → +∞
thì coi như x>0, nếu
x → −∞
thì coi như x < 0 khi đưa x ra
hoặc vào khỏi căn bậc chẵn
Chú ý các giới hạn cơ bản sau:
→−∞
→+∞
+
→±∞
→−∞

= +∞ = +∞
= −∞ =
2
2 1
1/ lim 2/ lim
1
3/ lim 4/ 0
k k
x
x
k
k
x
x
x x
x Lim
x
Ví dụ 4:Tính các giới hạn sau:
1/.
2 1
Lim
2
x
x
x
→−∞
+
−
2/.
2

1
Lim
1
x
x
x
→+∞
−
−

3/.
2
1
Lim
1
x
x
x
→+∞
−
+
4/.
2
1
Lim
1
x
x
x
→−∞

−
+

BÀI GIẢI
1/.
1
1
2
2
2 1 2
Lim Lim Lim 2
2
2
2 1
1
1
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
→−∞ →−∞ →−∞
 
+
+
 ÷

+
 
= = = =
−  
−
−
 ÷
 
2/.
2
2
2
2
2
2
2
1 1
1 1
1 0
Lim Lim = Lim = =0
1
1
1 1
1
1
x x x
x
x
x x
x x

x
x
x
x
→+∞ →+∞ →+∞
 
−
−
 ÷
−
 
=
−  
−
−
 ÷
 

.
2
2 22
2 2
1 1
1 1
1
3/ Lim Lim Lim
1
1 1
1
1 1

1 1
1
Lim Lim 1
1
1
1
1
1
x x x
x x
x x
x xx
x x
x
x
x
x x
x
x
x
→+∞ →+∞ →+∞
→+∞ →+∞
   
− −
 ÷  ÷
−
   
= =
+ +
 

+
 ÷
 
   
− −
 ÷  ÷
   
= = = =
 
+
+
 ÷
 

2
2 22
2 2
1 1
1 1
1
4/ Lim Lim Lim
1
1 1
1
1 1
1 1
1
Lim Lim 1
1
1

1
1
1
x x x
x x
x x
x xx
x x
x
x
x
x x
x
x
x
→−∞ →−∞ →−∞
→−∞ →−∞
   
− −
 ÷  ÷
−
   
= =
+ +
 
+
 ÷
 
   
− − − −

 ÷  ÷
−
   
= = = = −
 
+
+
 ÷
 

Bài tập tương tự:
Bài tập 4: Tính các giới hạn sau:
( ) ( ) ( )
( )
→+∞ →−∞
→−∞ →+∞
→+∞ →−∞
→−∞ →−∞
→−∞
− − +
− + +
− + −
+ +
− +
+
+ + + −
+ − +
+ + +
−
− +

−
− −
5
3 2
6 4
2
3
2
2 2
3 4
2 2
3
3
2
2 3 2 1
1/ 2/
1 3 3 2 1
2 2 1 1 4
2 3 1
3/ 4/
3 5
3 4
2 1 3 8
5/ 6/
1 6 1
2 3 4 1
7/ 8/
3 1
1
14

9/ 10/
1
x x
x x
x x
x x
x
x x x
Lim Lim
x x x
x x x
x x
Lim Lim
x x
x
x x x x
Lim Lim
x x x
x x x
Lim Lim
x
x x
x
Lim L
x x
( )
( )
→−∞
→−∞ →+∞
−

− +
+ + +
+ −
+
2
4 2
3
2
3 1
1 2
2 3 1
11/ 12/
1 1
2 3
x
x x
x
im
x x
x x x
Lim Lim
x x
x
Dạng 2:
( ) ( ) ( )
→∞
→ ∞lim . 0.
x
f x g x
Phương pháp:

Ta biến đổi
( ) ( ) ( )
→∞
→ ∞lim . 0.
x
f x g x
về dạng 1:
( )
( )
→∞
∞
 
→
 ÷
∞
 
lim
x
f x
g x
Sau đó sử dụng phương pháp của dạng 1 để giải
Chú ý:
=
2
A B A B
với
≥, 0A B

= −
2

A B A B
với
≤ ≥0, 0A B
Ví dụ 5:Tính các giới hạn sau:
( ) ( )
1
3 3
x + x -
x -1 2x+1
) lim x+ 2 2) lim x+1
x + x x + x+ 2
→ ∞ → ∞
BÀI GIẢI
( )
( ) ( )
2
2
2 2
.
1
. .
1
1
1
2
3 3
x + x + x +
3
2
3

x + x +
3
2 2
2 1
x 1+ x 1-
x+ 2 x - 1
x -1
x x
) lim x+ 2 lim lim
1
x + x x + x
x 1+
x
2 1 2 1
x 1+ 1- 1+ 1-
x x x x
lim lim
1 1
x 1+ 1+
x x
→ ∞ → ∞ → ∞
→ ∞ → ∞
   
 ÷  ÷
   
= =
 
 ÷
 
       

 ÷  ÷  ÷  ÷
       
= = = =
   
 ÷  ÷
   
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2 2
.
)
. .
)
3 3
x - x -
2
3
x - x -
3
2 3
3
x - x -
3
2 3
x+1 2x+1
2x+1

2) lim x+1 lim
x + x+ 2 x + x+ 2
1 1
x 1+ x 2+
x+1 2x+1
x x
lim lim
1 2
x + x + 2
x (1+ +
x x
1 1 1 1
x 1+ 2+ 1+ 2+
x x x x
lim lim
1 2
x (1+ +
x x
→ ∞ → ∞
→ ∞ → ∞
→ ∞ → ∞
 
 
= −
 
 
   
 ÷  ÷
   
= − = −

       
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
= − = −
2
2
1
2 3
1 2
1+ +
x x
−
= = −
Bài tập tương tự:
Bài tập 5: Tính các giới hạn sau:
( )
1 2 3
2
3
3 5 2 3 2
x + x - x -
3x+1 2x + x 2x+1
) lim 1- 2x ) lim x . ) lim x .
x +1 x - x + 3 3x x
→ ∞ → ∞ → ∞
+ +
Dạng 3:
( ) ( ) ( )
→∞
 

± → ∞ ± ∞
 
lim
x
f x g x
Phương pháp:
Nhân (chia ) lượng liên hợp để đưa
( ) ( )
→∞
 
±
 
lim
x
f x g x
về dạng
( ) ( )
( ) ( )
→∞
−
+
lim
x
f x g x
f x g x
hoặc
( ) ( )
( ) ( )
→∞
−

−
lim
x
f x g x
f x g x
Nếu gặp căn bậc 3 ta cũng nhân (chia) dạng liên hợp thích hợp
Chú ý:
≥

= =

− <

2
0
0
A neu A
A A
A neu A
Ví dụ 6:Tính các giới hạn sau:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 2
3/ x 1 4 / x 1

2 2 2 2
x + x
2 2
x + x
) lim x x x 2) lim x x x
lim x+ x lim x+ x
→ ∞ → −∞
→ ∞ → −∞
+ − − + − −
+ + + +
BÀI GIẢI
(
)
(
)
(
)
2 2
1 2
2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 2 1 2
1 1 1 1
2
1
1 2
1 1

2 2 2 2
2 2
2 2
x + x +
2 2
2 2 2 2
x + x +
x + x +
2 2
x +
2
x x x x x x
) lim x x x lim
x x x
x x - x x
lim lim
x x x x x x
x x
x x
lim lim
x x x x
x x x x
x
x
lim li
x
x x
→ ∞ → ∞
→ ∞ → ∞
→ ∞ → ∞

→ ∞
+ − − + + −
+ − − =
+ + −
+ + +
= =
+ + − + + −
   
+ +
 ÷  ÷
   
= =
+ + − + + −
 
+
 ÷
 
= =
 
+ + −
 ÷
 
2
1
1
2
1 2
1 1
x +
2

x
m
x x
→ ∞
+
=
+ + −
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
1 1
1 2 1 2
1 1 1 1
2
1
1 2
1 1
2 2 2 2
2 2
2 2
x x

2 2
2 2 2 2
x x
x x
2 2
x +
2
x x x x x x
) lim x x x lim
x x x
x x - x x
lim lim
x x x x x x
x x
x x
lim lim
x x -x - x
x x x x
x
x
lim
-x
x x
→ −∞ → −∞
→ −∞ → −∞
→ −∞ → −∞
→ ∞
+ − − + + −
+ − − =
+ + −

+ + +
= =
+ + − + + −
   
+ +
 ÷  ÷
   
= =
+ + − + −
 
+
 ÷
 
= =
 
+ + −
 ÷
 
2
1
1
2
1 2
1 1
x +
2
x
lim
x x
→ ∞

 
− +
 ÷
 
= −
+ + −
(
)
(
)
(
)
( )
x 1 x 1
3/ x 1
x 1
1
1
1
1
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
2 2

2
2
x + x +
2 2
2 2
x + x + x +
2
x + x + x +
2
2
x+ x x - x
lim x+ x lim
x - x
x
x - x x
x
x
lim lim lim
x - x x x - x x
x - x
x x
x x
x x
lim lim lim
x - x
x 1-
x x
x x
→ ∞ → ∞
→ ∞ → ∞ → ∞

→ ∞ → ∞ →
+ + + +
+ + =
+ +
 
− −
 ÷
+ +
− −
 
= = =
+ + + +
+ +
   
− − − −
 ÷  ÷
   
= = =
 
+ +
+ +
 ÷
 
1
1
1 1
1
2
x
1-

x x
∞
− −
+ +
=
+∞

1 1 1 1 1
(Vi 1 1, 1 0 va 1 0)
2 2
x + x +
lim lim 1- 1-
x x x x x
→ ∞ → ∞
 
 
− − = − + + = + + <
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
Chú ý:Ta cũng có thể giải bài 3 của ví du6 6 này theo cách sau tạm gọi là:
Cách 2
(
)
3/ 1 1 1
1
2
2 2

x + x + x +
2
x +
1 1 1 1
lim x + x x lim x+ x lim x+ x
x x x x
1 1
lim x 1+
x x
→ ∞ → ∞ → ∞
→ ∞
   
+ + = + + = + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
 
= + + = +∞
 ÷
 ÷
 
1 1
(Vi , 1 2 )
2
x + x +
lim x = + lim 1+
x x
→ ∞ → ∞
 
∞ + + =

 ÷
 ÷
 
(
)
(
)
(
)
( )
x 1 x 1
4 / x 1
x 1
1
1
1
1
1 1
1 1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
2 2
2
2
x x

2 2
2 2
x x x
2
x x + x +
2
2
x+ x x - x
lim x+ x lim
x - x
x
x - x x
x
x
lim lim lim
x - x x x - x x
x - x
x x
x x
x x
lim lim lim
x+ x
x 1+
x x
x x
→ −∞ → −∞
→ −∞ → −∞ → −∞
→ −∞ → ∞ →
+ + + +
+ + =

+ +
 
− −
 ÷
+ +
− −
 
= = =
+ + + +
+ +
   
− − − −
 ÷  ÷
   
= = =
 
+ +
+ +
 ÷
 
1
1
1 1
1
1
2
2
x
1+
x x

∞
− −
+ +
−
=
• Như vậy sau khi giải bài 4 của ví dụ 6 nhiều học sinh sẽ thắc mắc rằng bài 4
này có thể giải theo cách 2 của bài 3 như trên không?
Câu trả lời là không vì nếu giải theo giải theo cách 2 của bài 3 ta sẽ có:
(
)
4 / 1 1 1
1
2
2 2
x x x
2
x
1 1 1 1
lim x+ x x lim x+ x lim x - x
x x x x
1 1
lim x 1-
x x
→ −∞ → −∞ → −∞
→ −∞
   
+ + = + + = + +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   

 
= + +
 ÷
 ÷
 
Tới kết quả
1
2
x
1 1
lim x 1-
x x
→ −∞
 
+ +
 ÷
 ÷
 
sẽ dẫn đến dạng vô định (0.
∞
) lại quay
về dạng 2 của trường hợp giới hạn hàm số ở vô cực mà việc khử dạng vô
định(0.
∞
) lại gây khó khăn cho một số em học sinh có học lực trung bình,
yếu
Bài tập tương tự:
Bài tập 6: Tính các giới hạn sau:
( )
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
8
9
11/ 12 /
2
x + x +
2 2
x x +
2 2
x x
2 2 2 2

x +
x +
2 2
x x +
3 2
x
1) lim x +1 - x 2) lim x + x+1 - x
3) lim x +1+ x - 1 4) lim 3x + x+1 - x 3
5) lim 3x + x +1+ x 3 6) lim 2x +1 + x
7) x + x - x +4 ) lim x + 2x + 4 - x - 2x+4
lim
) lim x 4x +9 + 2x 10) lim x x +1 - x
lim x x x
→ ∞ → ∞
→−∞ → ∞
→−∞ →−∞
→ ∞
→ ∞
→−∞ → ∞
→+∞
+ −
(
)
3
3
2 3
x
lim x+ x x
→+∞
−

* KHI HỌC SINH GẶP PHẢI BÀI TẬP GIỚI HẠN MỘT BÊN CỦA HÀM
SỐ:
( )
+
→
 
 
lim
x a
f x
hoặc
( )
−
→
 
 
lim
x a
f x
.Cần lưu ý học sinh đây chỉ là trường hợp đặc
biệt của giới hạn tại một điểm, lúc này
x
không tiến đến a mà tiến đến bên trái
điểm a (
−
→
x a
), hoặc tiến về bên phải bên phải điểm a (
+
→

x a
).Bài tập Giới
hạn một bên:
( )
+
→
 
 
lim
x a
f x
hoặc
( )
−
→
 
 
lim
x a
f x
.chủ yếu rơi vào dạng 3 của trường
hợp Giới hạn tại một điểm là
( )
( )
±
→
 
→
 ÷
 

0
.
L
lim
x a
f x
g x
(với
≠
0L
) .Ta tính nhẫm dạng bằng cách thay a vào
f(x) và g(x). Ta thấy f(x)=f(a)=L, g(x)=g(a)=0. nên
( )
( )
±
→
lim
x a
f x
g x
lúc này có
dạng
 
 ÷
 
0
.
L
Phương pháp:
Bước 1: Tính

±
→
=
lim ( )
x a
f x L
(với
≠
0L
)
Bước 2: : Tính
±
→
=lim ( ) 0
x a
g x
và xét dấu biểu thức g(x) với
<x a
hoặc
>x a
Bước 3:Dựa vào bảng xét dấu sau để kết luận
( )
( )
→
lim
x a
f x
g x
(bảng xét dấu
đã nêu ở dạng 3- trường hợp 1 Giới hạn tại một điểm)

Ví dụ 7: Tính các giới hạn sau:
− +
→ →
− −
− −
1 1
2 3 2 3
1/ lim 2/ lim
1 1
x x
x x
x x
BÀI GIẢI
−
→
−
−
1
2 3
1/ lim
1
x
x
x
Ta cú:
( )
( )

= = <



= < <

1
1
lim 2 3 2.1 3 1 0
lim 1 0 1 0 1
x
x
x
x va x x
Vy



= +

1
2 3
lim
1
x
x
x
+

1
2 3
2/ lim
1
x
x
x
Ta cú:
( )
( )
+
+



= = <



= > >

1
1
lim 2 3 2.1 3 1 0
lim 1 0 1 0 1
x
x

x
x va x x
Vy



=

1
2 3
lim
1
x
x
x
Bi tp tng t:
Bi tp 7: Tớnh cỏc gii hn sau:
2 2
2 1 1
2 2
2 2
5
x x
2
x x x
x - 1 x - 1
1) lim 2) lim
x - 2 x - 2
x - 2 x -7 x -7
3) lim 4) lim ) lim

x - 2 x - 1 x - 1
+
+


MT VI TRNG HP GII HN HM S KHễNG TUN
TH CC QUY TC TRấN
Vớ d 1:
III/Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm:
1/Kết quả từ thực tiễn:
Ban đầu học sinh gặp khó khăn nhất định trong việc phõn loi v giải
những dạng bi tp nh đã nêu.Tuy nhiên giáo viên cần hớng dẫn học sinh tỉ
mỉ cách phân tích một bài toán từ nhn dng hm s : hm s dng c bn,
hm s dng nhõn lng liờn hp,dng để lựa chọn phơng pháp phù hợp trên
cơ sở giáo viên đa ra những sai lầm mà học sinh thờng mắc phải trong quá
trình suy luận,trong các bớc tính tích phân này rồi từ đó hớng các em đi đến
lời giải đúng.
Sau khi hớng dẫn học sinh nh trên và yêu cầu học sinh giải một số bài
tập tích phân trong sách giáo khoa Giải Tích Lớp 12 và một số bài trong các
đề thi tuyển sinh vào đại học,cao đẳng và trung học chuyên nghiệp của các
năm trớc thì các em đã thận trọng trong khi tìm và trình bày lời giải và đã
giải đợc một lợng lớn bài tập đó.
2/Kết quả thực nghiệm:
Sáng kiến đợc áp dụng trong năm học 2009-2010.
Bài kiểm tra trên lớp 11CBO4(nm hc 2011-2012) không áp dụng sáng
kiến v lớp 11CBO4(nm hc 2012-2013) áp dụng sáng kiến nh sau:
xếp loại
đối tợng
giỏi khá tb yếu
Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú

đặc biệt là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận trọng và
hiểu bản chất của vấn đề chứ không tính rập khuôn một cách máy móc nh tr-
ớc, đó là việc thể hiện việc phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học
sinh.
phần III:kết luận kiến nghị
I/ kết luận:
Nghiên cứu, phân tích một số sai lầm của học sinh khi tính tích phân
có ý nghĩa rất lớn trong quá trình dạy học vì khi áp dụng sáng kiến này sẽ
giúp học sinh nhìn thấy đợc những điểm yếu và những hiểu biết cha thật thấu
đáo của mình về vấn đề này từ đó phát huy ở học sinh t duy độc lập, năng lực
suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau rồi thêm kiến thức về tính tích phân
từ đó làm chủ đợc kiến thức, đạt đợc kết quả cao trong quá trình học tập và
các kỳ thi tuyển sinh vào các trờng đại học, cao đẳng , THCN
II/ Kiến nghị: