TÀI LIỆU PHỤ ĐẠO TOÁN 12

Tài liệu phụ đạo môn Toán 12 năm học 2013 – 3014
NGUYÊN HÀM
A. Kiến thức cần nhớ:
I. Nguyên hàm và tính chất.
1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) với
mọi
.x K∈
2. Định lí :
1) Nếu F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, G(x) = F(x) + C
cũng là 1 nguyên hàm của f(x) trên K.
2) Ngược lại, nếu F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x)
trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số
Kí hiệu họ nguyên hàm của
( )f x
là
( )f x dx
∫
Khi đó:
( ) ( ) , .f x dx F x C C= + ∈
∫
¡
3. Tính chất của nguyên hàm:
 Tính chất 1:
'( ) ( ) .f x dx f x C= +
∫
 Tính chất 2:
( )
*
( ) ( )kf x dx k f x dx k= ∈
∫ ∫

¡
 Tính chất 3:
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±
∫ ∫ ∫
*) Sự tồn tại nguyên hàm:
 Định lí: Mọi hàm số liên tục trên K đếu có nguyên hàm trên K.
3. Bảng nguyên hàm:
Hàm số sơ cấp Nguyên hàm bổ sung
1
,( 1; )
1
dx x C
x
x dx C
α
α
α α
α
+
= +
= + ≠ − ∈
+
∫
∫
o
o ¡
1
1 1
( ) . ( )

1
1
1 1
ln
1
os( ) sin( )
1
sin( ) os( )
sin
tan ln os
cos
os
cot ln sin
sin
ax b ax b
ax b dx ax b C
a
e dx e C
a
dx ax b C
ax b a
c ax b dx ax b C
a
ax b dx c ax b C
a
x
xdx dx c x C
x
c x
xdx dx x C

x
α α
α
+
+ +
+ = + +
+
= +
= + +
+
+ = + +
+ = − + +
= = − +
= = +
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
o
o
o
o
o
o
o
2
1 1 1

2
dx C dx x C
x x
x
= − + = +
∫ ∫
o o
2 2
2
2
2
2
cos sin
sin cos
1
(1 tan ) tan
cos
1
(1 cot ) cot
sin
xdx x C a b
xdx x C
x dx dx x C
x
x dx dx x C
x
= + +
= − +
+ = = +
+ = = − +

∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
o
o
o
o
1
Tuầ
n
: 20
Tiết : 39; 40
Tài liệu phụ đạo môn Toán 12 năm học 2013 – 3014
1
ln
ln
x x
x
x
dx x C
x
e dx e C
a
a dx C
a
= +
= +
= +
∫

∫
∫
o
o
o
B. Bài tập
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
2
1
( ) 3 2f x x x
x
= − +
; b)
3
1 1
( )f x
x x
= −
;
c)
( ) 3sin 2cos 2 ;f x x x
= −
d)

( ) sin5 .cos3f x x x
=
;
e)
2

1
( ) 2f x x
x
 
= −
 ÷
 
; f)
2
2 2
( )
1
x x
f x
x
− +
=
−
;

2 2
1
g) ( ) ;
sin .cos
f x
x x
=
( )
h) ( ) 1 cos sin ;f x x x
= −

2
1 cos2
k) ( ) ;
cos
x
f x
x
−
=
2
1
) ( ) .
3 2
l f x
x x
=
− +
2
Tài liệu phụ đạo môn Toán 12 năm học 2013 – 3014
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÍNH NGUYÊN HÀM
A. Kiến thức cần nhớ:
I. Phương pháp đổi biến số tính nguyên hàm.
Nếu
( ) ( )= +
∫
f u du F u C
và hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục thì:
( ( ( )). ( ) ( ( ))
′
= +

∫
f u u x u x dx F u x C
Hệ quả: Với u = ax + b (a
≠
0) thì ta có:
1
( ) ( )+ = + +
∫
f ax b dx F ax b C
a
B. Bài tập
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau:
a)
+
+ +
∫
2
2 1
;
1
x
dx
x x
b)
∫
2
(ln )
;
x
dx

x
c)
2
1
;
x
xe dx
+
∫
d)
2
1
x
dx
x−
∫
; e)
3
cos
sin
x
dx
x
∫
; f)
3
2 2
(1 )
x
dx

x−
∫
;
g)
2
1 tan
cos
x
dx
x
+
∫
; h)
1
x x
dx
e e
−
−
∫
; i)
(1 )
dx
x x−
∫
;
3
Tuầ
n
: 21

Tiết : 41; 42
Tài liệu phụ đạo môn Toán 12 năm học 2013 – 3014
HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. Kiến thức cần nhớ:
1). Định nghĩa:


( ; ; )M x y z OM xi y j zk⇔ = + +
uuuur r r r

1 2 3 1 2 3
( ; ; )a a a a a a i a j a k= ⇔ = + +
r r r r r
Các véctơ đơn vị: +
(1;0;0)i =
r
trên trục
Ox
+
(0;1;0)j =
r
trên trục Oy
+
(0;0;1)k =
r
trên trục Oz
2). Các phép toán:
Trong không gian Oxyz, cho
1 2 3
( ; ; )a a a a=

r
,
1 2 3
( ; ; )b b b b=
r
, Ta có:

1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 2 3
( ; ; )
( ; ; )
( ; ; ) ( ; ; )
a b a b a b a b
a b a b a b a b
ka k a a a ka ka ka
+ = + + +
− = − − −
= =
r r
o
r r
o
r
o
3). Hệ quả:
Trong không gian Oxyz, cho
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r

,
1 2 3
( ; ; )b b b b=
r
,
( ; ; )
A A A
A x y z
,
( ; ; )
B B B
B x y z
.Ta
có:
1 1
2 2
3 3
).
a b
a a b a b
a b
=


= ⇔ =


=

r r

b).
a
r
cùng phương với
b
r

k
⇔ ∃ ∈
¡
sao
cho:
4). Tích vô hướng:
Trong không gian Oxyz, cho
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
,
1 2 3
( ; ; )b b b b=
r
,
( ; ; )
A A A
A x y z
,
( ; ; )
B B B
B x y z
.Ta có:

1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
2 2 2
1 2 3
2 2 2
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
0
( ) ( ) ( )
os( ; )
.
B A B A B A
a b a b a b a b
a b a b a b a b
a a a a
AB x x y y z z
a b a b a b
c a b
a a a b b b
= + +
⊥ ⇔ + + =
= + +
= − + − + −
+ +
=
+ + + +
r r
o

r r
o
r
o
uuur
o
r r
o
5). Phương trình mặt cầu:
Phương trình:
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c r− + − + − =
là phương trình mặt cầu tâm
( ; ; )I a b c
, bán
kính
r
.
Phương trình có dạng:
2 2 2
2 2 2 0x y z Ax By Cz D+ + + + + + =
với
2 2 2
0A B C D+ + − >
là phương trình mặt
cầu tâm
( ; ; )I A B C− − −
, bán kính:
2 2 2
r A B C D= + + −

4
Tuầ
n
: 22
Tiết : 43; 44
Tài liệu phụ đạo môn Toán 12 năm học 2013 – 3014
1 1
2 2
3 3
a kb
a kb a kb
a kb
=


= ⇔ =


=

r r
). ( ; ; )
B A B A B A
c AB x x y y z z= − − −
uuur
d). Tọa độ trung điểm M của đoạn AB là:
; ;
2 2 2
A B A B A B

x x y y z z
M
+ + +
 
 ÷
 
d). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
là:
; ;
3 3 3
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
G
+ + + + + +
 
 ÷
 
B. Bài tập
MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Dạng 1a:
Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu
(S):
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =
Phương pháp:
+ Tọa độ tâm của mặt cầu là:
( ; ; )I a b c

và bk:
R

Dạng 1b:
Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu
(S):
2 2 2
2 2 2 0x y z ax by cz d+ + − − − + =
Phương pháp:
+ Tọa độ tâm :
( ; ; )I a b c
và bán kính:
2 2 2
R a b c d= + + −
Bài tập 1: Tìm tọa độ tâm và bán kính
của các mặt cầu sau:
a.
2 2 2
( 1) ( 2) 16x y z− + + + =
b.
2 2 2
2 6 4 2 0x y z x y z+ + − + − − =
Giải:
a. Tâm của mặt cầu:
(1; 2;0)I −
và bk:
2R =
b. Tâm của mặt cầu:
(1; 3;2)I −
và bán kính:
2 2 2
1 ( 3) 2 ( 2) 4R = + − + − − =
Dạng 2: Lập phương trình mặt cầu có

tâm
( ; ; )I a b c
và đi qua điểm
( ; ; )
A A A
A x y z
.
Phương pháp:
+ Tâm mặt cầu:
( ; ; )I a b c
+ Bán kính:
2 2 2
( ) ( ) ( )
A A A
R IA x a y b z c= = − + − + −
uur
Bài tập 2: Lập phương trình mặt cầu (S)
có tâm
(1;3; 4)I −
và đi qua điểm
(2; 4;1)M −
.
Giải:
Ta có:
(1; 7;5)IM = −
uuur
2 2 2
1 ( 7) 5 75R IM⇒ = = + − + =
uuur
Vậy, phương trình mặt cầu (S) là:

2 2 2
( 1) ( 3) ( 4) 75x y z− + − + + =
Dạng 3: Lập phương trình mặt cầu (S)
nhận
( ; ; ), ( ; ; )
A A A B B B
A x y z B x y z
làm đường
kính.
Phương pháp:
+ Tọa độ tâm I là trung điểm của đoạn
AB:
Bài tập 3: Lập phương trình mặt cầu (S)
nhận
(3;1; 4), ( 1;3; 2)A B− − −
làm đường kính.
Giải:
+ Ta có tâm của mặt cầu là trung điểm I
của đoạn AB,
(1;2; 3)I⇒ −
+ Mà
( 4;2;2)AB = −
uuur
5
Tài liệu phụ đạo môn Toán 12 năm học 2013 – 3014
; ;
2 2 2
A B A B A B
x x y y z z
I

+ + +
 
 ÷
 
+ Bán kính:
2 2
AB
AB
R = =
uuur
2 2 2
( 4) 2 2
2 6
6
2 2 2
AB
R
− + +
= = = =
uuur
Vậy, phương trình mặt cầu (S) cần tìm là:
2 2 2
( 1) ( 2) ( 3) 6x y z− + − + + =
Dạng 4: Lập phương trình mặt cầu có
tâm
( ; ; )I a b c
và tiếp xúc với mặt phẳng
(P):
0Ax By Cz D+ + + =
Phương pháp:

+ Tâm
( ; ; )I a b c
.
+ Bán kính:
( )
2 2 2
. . .
;( )
A a B b C c D
R d I P
A B C
+ + +
= =
+ +
Bài tập 4: Lập phương trình mặt cầu có
tâm
(2;2; 1)I −
và tiếp xúc với mặt phẳng
(P):
2 6 0x y z+ − + =
Giải:
Ta có bán kính R là:
( )
2 2 2
2 2 2.( 1) 6
6
;( ) 6
6
1 1 ( 2)
R d I P

+ − − +
= = = =
+ + −
Vậy, phương trình mặt cầu (S) cần tìm là:
2 2 2
( 2) ( 2) ( 1) 6x y z− + − + + =
Dạng khác:
+ Mặt cầu đi qua bốn điểm cho trước.
+ Có tâm I và đi qua một điểm M thỏa
mãn hệ thức véctơ cho trước….
Bài tập 5: Trong không gian Oxyz, cho ba
điểm
(2;0;0), (0; 4;0), (0;0;6)A B C−
. Hãy lập
phương trình mặt cầu:
a. Có tâm B và nhận độ dài đoạn AB là
đường kính.
b. Có tâm là trọng tâm của tam giác ABC
và đi qua điểm M thỏa mãn:
2MA MB=
uuur uuur
.
c. Đi qua bốn điểm O, A, B, C.
6
Tài liệu phụ đạo môn Toán 12 năm học 2013 – 3014
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
A. Kiến thức cần nhớ:
I. Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.
Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )u x v x dx u x v x v x u x dx= −

∫ ∫
hay
udv uv vdu= −
∫ ∫
B. Bài tập
Bài 3: Tính các nguyên hàm sau:
a)
(1 2 )
x
x e dx−
∫
; b)
(2 1)lnx xdx−
∫
; c)
( 1)sinx xdx+
∫
;
d)
2
cos2x xdx
∫
; e)
2
lnx xdx
∫
; f)
( )
ln 1x x dx−
∫

.
g)
ln(1 )+
∫
x x dx
h)
2
( 2 1)+ −
∫
x
x x e dx
i)
( )
2
ln 1x x dx+ +
∫
j)
sin(2 1)+
∫
x x dx
k)
(1 )cos−
∫
x xdx
l)
2
lnx xdx
∫
7
Tuầ

n
: 23
Tiết : 45; 46
Tài liệu phụ đạo môn Toán 12 năm học 2013 – 3014
TÍCH PHÂN
A. Kiến thức cần nhớ:
I. Định nghĩa tích phân:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x)
trên đoạn
[ ]
;a b
.
Hiệu: F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) .Kí hiệu:
( )
b
a
f x dx
∫
Công thức:
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
∫
Trong đó:

∫
b
a
: dấu tích phân
a: cận dưới, b: cận trên
Qui ước:

( ) 0=
∫
a
a
f x dx
;
( ) ( )= −
∫ ∫
b a
a b
f x dx f x dx
II. Tính chất của tích phân:
1.
b b
a a
kf x dx k f x dx( ) ( )=
∫ ∫
2.
± = ±
∫ ∫ ∫
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx[ ( ) ( )] ( ) ( )

3.
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx( ) ( ) ( )
= +
∫ ∫ ∫
(a < c < b)
B. Bài tập
Bài tập : Tính tích phân sau:
a)
2
2
1
4x dx
∫
b)
1
1
3
e
dt
t
∫
c)
+ −
∫
x x x dx
4
3
1

(4 3 )
d)
+ +
∫
x x dx
2
4 2
1
( 2 1)
e)
−
∫
x
dx
x
3
3
2
1
1
f)
 
+ + +
 ÷
 
∫
e
x x dx
x
x

2
2
1
1 3
2 3
g)
( )
−
+
∫
x x dx
1
2
1
3

h)
π
+
∫
xdx
2
0
2 2cos2
i)
−
∫
x x dx
3
2

0
j)
−
−
∫
x dx
2
2
3
1
8
Tuầ
n
: 24
Tiết : 47; 48
Tài liệu phụ đạo môn Toán 12 năm học 2013 – 3014
VECTƠ PHÁP TUYẾN & PTTQ CỦA MẶT PHẲNG
A. Kiến thức cần nhớ:
I. Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng:
Cho mặt phẳng
( )
α
. Vectơ
0n ≠
r r
và có giá vuông góc với mặt phẳng
( )
α
được gọi là
vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

( )
α
.
II. Phương trình tổng quát của mặt phẳng:
1. Nếu mặt phẳng
( )
α
song song hoặc chứa giá của hai véctơ
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
,
1 2 3
( ; ; )b b b b=
r
không cùng phương , thì
( )
α
có vectơ pháp tuyến (VTPT) là:
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1
1 2
; ;
a a a a
a a
n a b
b b b b
b b
 

= ∧ =
 ÷
 
r r r
Vectơ
n
r
được gọi là tích có hướng (hay tích vectơ) của hai vectơ
a
r
và
b
r
, kí hiệu là:
a b∧
r r
hoặc
;a b
 
 
r r
Nhận xét: véctơ
1 2 3
( ; ; )a a a a=
r
,
1 2 3
( ; ; )b b b b=
r

đgl cặp véctơ chỉ phương của
( )mp
α
.
2. Phương trình của mặt phẳng
( )
α
đi qua điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
và nhận vectơ
( )
; ;n A B C=
r
khác
0
r
làm vectơ pháp tuyến là:
( ) ( ) ( )
0 0 0
0A x x B y y C z z− + − + − =
3. Nếu mặt phẳng có phương trình tổng quát là
0Ax By Cz D+ + + =
thì nó có VTPT là
( )
; ;n A B C=
r
.
4. Nếu mặt phẳng

( )
α
cắt các trục tọa độ
; ;Ox Oy Oz
theo thứ tự tại các điểm
( ) ( ) ( )
;0;0 , ;0;0 , ;0;0A a B b C c
với
0abc
≠
thì
( )
α
có phương trình theo đoạn chắn là:
1
x y z
a b c
+ + =
(hình bên)
III. Phương trình các mặt phẳng tọa độ:
+
( )mp Oxy
có phương trình:
0z =
+
( )mp Oxz
có phương trình:
0y =
+
( )mp Oyz

có phương trình:
0x =
I. Bài tập vận dụng:
9
C
A
B
O
z
x
y
α
Tuầ
n
: 25
Tiết : 49; 50
Tài liệu phụ đạo môn Toán 12 năm học 2013 – 3014
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng trong những trường hợp sau:
1) Đi qua điểm M
0
(1; 3; -2) và song song với mặt phẳng 2x - y + 3z + 4=0.
2) Đi qua ba điểm A(-1; 2; 3), B(2; 4; -3), C(4; 5; 6).
Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng trong những trường hợp sau:
1) Đi qua hai điểm D(1; 2 ;3), E(-1; 1; 2) và song song với trục Ox.
2) Đi qua điểm M (2; -1; 2), song song với trục Oy đồng thời vuông góc với mặt
phẳng 2x – y + 3z - 1 = 0.
3) Đi qua P(3; 1; -1), Q(2; -1; 4) và vuông góc với mặt phẳng
2x – y + 3z -1 = 0.
Hướng dẫn:
1) Ox có 1 véc tơ chỉ phương là:

( )
1;0;0
=
r
i
, mp(P) qua D, E có một véc tơ pháp
tuyến
= ∧
r uuur r
n DE i

suy ra phương trình mp(P).
2) Mặt phẳng 2x – y + 3z - 1 = 0 có 1 VTPT
( )
1
2; 1;3
= −
ur
n
, Oy có 1 VTCP
( )
0;1;0
=
r
j
, mp(P) qua M thỏa ycbt nhận VTPT là
2 1
= ∧
uur ur r

n n j
3) Mặt phẳng 2x – y + 3z - 1 = 0 có 1 VTPT
( )
1
2; 1;3
= −
ur
n
,
( )
1; 2;5
= − −
uuur
PQ
,
mp(P) qua M thỏa ycbt nhận VTPT là
1
= ∧
r ur uuur
n n PQ
Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng đi qua gốc toạ độ đồng thời vuông góc với hai mặt
phẳng :
(P): x - y + z - 7 = 0; (Q): 3x +2y -12z +5 = 0.
Hướng dẫn:
- mp(P) có 1 VTPT
( )
1
1;1; 1
= −
ur

n
, mp(Q) có 1 VTPT
( )
2
3; 2;1
= −
uur
n
, mp
)(
γ
qua O
thỏa ycbt nhận VTPT là
1 2
= ∧
r ur uur
n n n
Bài 4: Lập PTTQ của mặt phẳng đi qua ba điểm
(1; 1;0), ( 2;0;1), (0;2;0)A B C− −
Bài 5: Viết phương trình tổng quát của mp(P) đi qua
(1;2; 3)A −
và:
a). Song song với mp(Q):
3 0.x y z− + =
b). Đi qua 2 điểm
(0;1;1), ( 1;0;2)A B −
và vuông góc với
( )
α
:

1 0.x y z− + − =
10
Tài liệu phụ đạo môn Toán 12 năm học 2013 – 3014
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TÍNH TÍCH PHÂN
A. Kiến thức cần nhớ:
I. Phương pháp đổi biến số tính tích phần.
Định lí 1: Nếu hai hàm số
( )x t
ϕ
=
có đạo hàm liên tục trên đoạn
[ ]
;a b
sao cho
( ) ( ) ( )
[ ]
; à , ;a b v a b t
ϕ α ϕ β ϕ β α β
= = ≤ ≤ ∀ ∈
. Khi đó:
( ) ( ( )) '( )
b b
a a
f x dx f t t dt
ϕ ϕ
=
∫ ∫
Định lí 2: Nếu hai hàm số
( )u u x=
có đạo hàm liên tục trên đoạn

[ ]
;a b
sao cho
( )
[ ]
, ;u x x a b
α β
≤ ≤ ∀ ∈
. Nếu
( ) ( ( )) '( )f x g u x u x=
,
[ ]
;x a b∀ ∈
, trong đó
( )g u
liên tục trên
đoạn
[ ]
;
α β
thì:
( )
( )
( ) ( )
u b
b
a u a
f x dx g u du=
∫ ∫
B. Bài tập vận dụng:

Bài 1: Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến số:
a)
7
23
0
. 1x x dx+
∫
; b)
1
5
0
( 1)x x dx−
∫
; c)
1
1 ln
e
x
dx
x
+
∫
;
d)
4
2
1
;
x
e dx

x
+
∫
e)
4
3
0
cos xdx
π
∫
; f)
1
0
1
x
x
e
dx
e
−
−
+
∫
;
g)
−
+
∫
3
0

2
;
1
x
dx
x
2
2
0
h)
4
dx
x+
∫
; i)
4
4
6
0
sin
cos
x
dx
x
π
∫
;
k)
3
2

0
5 6 ;x x dx
− +
∫
2
2
0
cos
l) ;
sin 5sin 6
xdx
x x
π
− +
∫

1
3 2
0
m) . 1 .x x dx−
∫
n)
1
2 2
0
1x x dx−
∫
o)
ln2
0

1
x
e dx−
∫
p)
1
2
1
2 1

1
x
dx
x x
−
+
+ +
∫
11
Tuầ
n
: 26
Tiết : 51; 52
Tài liệu phụ đạo môn Toán 12 năm học 2013 – 3014
PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
A. Kiến thức cần nhớ:
I. Phương pháp tính tích phân từng phần.
Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên
[ ]
;a b

thì:
[ ]
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx= −
∫ ∫
hay
= −
∫ ∫
b b
b
a
a a
udv uv vdu
B. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:
a)
2
2
1
ln(1 )x
dx
x
+
∫
; b)
1

(2 1)ln ;
e
x xdx−
∫

4
2
0
c) ;
cos
x
dx
x
π
∫

1
2
0
d)
( 1)
x
xe
dx
x +
∫


e)
1

0
ln(2 1)x x dx+
∫
; f)
1
2
0
( 2 )
x
x x e dx
−
−
∫
; g)
2
0
sinx xdx
π
∫
; h)
3
2
4
ln(sin )
cos
x
dx
x
π
π

∫
;
1 1
2
0 0 0 0
). (2 1) os ). (1 )sin2 ). (2 1) ). ln( 1)
x
i x c xdx j x xdx k x e dx l x dx
π
π
− − + +
∫ ∫ ∫ ∫
1 3
4 2
0 0 0 1
) . (2 3)sin ) . (1 os ) ) . 2 . ) . 2 ln
x
m x xdx n x c x dx o x e dx p x xdx
π π
−
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
1 2 2
2
2
0 0 1 0
). (2 ) ). (5 2 ) ). ln ) . ( 1)cos ( 2013)
x x
q x xe dx r x e dx s x xdx t x xdx tn
π

+ − +
∫ ∫ ∫ ∫
12
Tuầ
n
: 27
Tiết : 53; 54
Tài liệu phụ đạo môn Toán 12 năm học 2013 – 3014
ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG, VUÔNG GÓC
A. Kiến thức cần nhớ:
I. Điều kiện dể hai mặt phẳng song song, vuông góc:
Cho hai mặt phẳng
( ) ( )
1 2
àv
α α
có phương trình tổng quát lần lượt là:
( )
( )
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
: 0
: 0
A x B y C z D
A x B y C z D
α
α
+ + + =
+ + + =
Gọi

( ) ( )
1 1 1 1 2 2 2 2
; ; à ; ;n A B C v n A B C= =
ur uur
lần lượt là vec tơ pháp tuyến của
( ) ( )
1 2
àv
α α
.
Với k là số thực khác 0, ta có:
1.
( ) ( )
1 2
1 2
1 2
/ /
n kn
D kD
α α

=

⇔

≠


ur uur
2.

( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
. 0 0n n n n A A B B C C
α α
⊥ ⇔ ⊥ ⇔ = ⇔ + + =
ur uur ur uur
 Chú ý:

( )
1
α
cắt
( )
2 1 2
n kn k
α
⇔ ≠ ∀ ∈
ur uur
¡

( ) ( )
1 2
1 2
1 2
n kn
D kD
α α

=


≡ ⇔

=


ur uur
B. Bài tập vận dụng:
Bài tập 1: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình tổng
quát sau đây:
a).
( )
1
: 2 3 4 0x y z
α
+ + + =
và
( )
1
: 5 9 0x y z
β
+ − − =
b.
( )
2
: 5 0x y z
α
+ + + =
và
( )
2

:2 2 2 6 0x y z
β
+ + + =
c.
( )
3
: 2 3 1 0x y z
α
+ + + =
và
( )
3
:3 6 9 3 0x y z
β
+ + + =
Bài tập 2: Xác định giá trị của m để cặp mặt phẳng sau đây vuông góc
( ) ( )
:2 2 9 0 à :6 10 0x my mz v x y z
α β
+ + − = − − − =
Bài tập 3: Xác định giá trị của m và n để cặp mặt phẳng sau đây song song với nhau:
a).
( ) ( )
:2 3 5 0 à : 8 6 2 0x my z v nx y z
α β
+ + − = − − + =
b).
( ) ( )
: 3 2 0 à :2 6 7 0mx y z v x ny z
α β

− + + = + + + =
Bài tập 4: Lập phương trình của mặt phẳng (P) đi qua điểm
(3; 1; 5)M − −
đồng thời
vuông góc với hai mặt phẳng:
13
Tuầ
n
: 28
Tiết : 55
Tài liệu phụ đạo môn Toán 12 năm học 2013 – 3014
( )
( )
: 3 2 2 7 0
: 5 4 3 1 0
x y z
x y z
α
β
− + + =
− + + =
Bài tập 5: Lập phương trình của mặt phẳng (Q) đi qua điểm
(2; 1;2)M −
song song với
trục Oy và vuông góc với mặt phẳng
( )
: 2 3 4 0x y z
α
− + + =
Bài tập 6: Lập phương trình của mặt phẳng

( )
α
đi qua hai điểm
(0;1;0); (2;3;1)A B
và
vuông góc với mặt phẳng
( )
: 2 0x y z
β
+ − =
Bài tập 7: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi các phương trình tổng
quát sau đây:
a).
( )
1
:3 2 3 5 0x y z
α
− − + =
và
( )
1
' :9 6 9 5 0x y z
α
− − − =
b.
( )
2
: 2 3 0x y z
α
− + + =

và
( )
2
' : 2 3 0x y z
α
− − + =
c.
( )
3
: 2 4 0x y z
α
− + − =
và
( )
3
' :10 10 20 40 0x y z
α
− + − =
14
Tài liệu phụ đạo môn Toán 12 năm học 2013 – 3014
KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG
A. Kiến thức cần nhớ:
I. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm
( )
0 0 0 0
; ;M x y z
đến mặt phẳng
( )
: 0Ax By Cz D

α
+ + + =
được xác định bởi công thức:
( )
0 0 0
0
2 2 2
,( )
Ax By Cz D
d M
A B C
α
+ + +
=
+ +
 Chú ý:
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
( )
1 1 1 1
: 0A x B y C z D
α
+ + + =
và
( )
2 2 2 2
: 0A x B y C z D
β
+ + + =
được xác định như sau:
( ) ( ) ( )

( )
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
2 2 2
1 1 1
( ),( ) ,( ) ; ; ( )
A x B y C z D
d d M M x y z
A B C
α β α β
+ + +
= = ∀ ∈
+ +
Hoặc
( ) ( ) ( )
( )
2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1 1
2 2 2
2 2 2
( ),( ) ,( ) ; ; ( )
A x B y C z D
d d M M x y z
A B C
α β β α
+ + +
= = ∀ ∈
+ +
B. Bài tập vận dụng:
Bài 1: Trong không gian Oxyz; cho điểm

( )
3;1;0A
và mặt phẳng
( )
P
có phương trình
2 2 1 0x y z+ − + =
.
a). Tính khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng (P).
b). Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và cách điểm
A
một
khoảng bằng 3.
Bài 2: Cho hai điểm
( ) ( )
1; 1;2 , 3;4;1A B−
và mặt phẳng
( )
α
có PTTQ:
2 2 10 0x y z+ + − =
Tính khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng
( )
α
.
Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với mp(Q):
2 2 1 0x y z+ − + =
và tiếp

xúc với mặt cầu (S):
2 2 2
( 1) ( 2) ( 1) 4x y z− + + + + =
Bài 4: Tìm điểm M trên trục Oz sao cho M cách đều điểm
( )
2;3;4A
và mặt phẳng
( )
: 2 3 17 0x y z
α
+ + − =
Bài 5: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
( ) ( )
àv
α β
cho bởi phương
trình sau đây:
( )
: 2 2 11 0x y z
α
+ + + =
và
( )
: 2 2 2 0x y z
β
+ + + =
.
15
Tuầ
n

: 28
Tiết : 56
Tài liệu phụ đạo môn Toán 12 năm học 2013 – 3014
Bài 6: Cho mặt cầu (S):
2 2 2
2 4 6 5 0x y z x y z+ + − + − + =
.
1) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu (S).
2) Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc (S) tại điểm A(-1;0;2).
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(3;-2;-2), B(3;2,0), C(0;2;1), D(-1;1;2).
1) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).
3) Tìm toạ độ tiếp điểm của (S) và mặt phẳng (BCD).
16
Tuầ
n
: 29
Tiết : 57; 58
Tài liệu phụ đạo môn Toán 12 năm học 2013 – 3014
DIỆN TÍCH CỦA HÌNH GIỚI HẠN BỞI :
 MỘT ĐƯỜNG CONG VÀ TRỤC HOÀNH
 HAI ĐƯỜNG CONG
A. Kiến thức cần nhớ:
I. Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.
Là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
( )
0
; ( )
y f x
y

x a x b a b
=


=


= = <

Dùng công thức
( )
b
a
S f x dx=
∫
(1)
+ Giải phương trình
( ) 0f x =
, để tìm nghiệm của pt trên đoạn
[ ]
;a b
, từ đó ta biết được
trên đoạn
[ ]
;a b
diện tích cần tìm có bao nhiêu tích phân.
 Chú ý:
+Nếu trên đoạn
[ ]
;a b

mà
( )y f x=
luôn âm (luôn dương) thì công thức (1) được tính là:
( ) ( )
b b
a a
S f x dx f x dx= =
∫ ∫
II. Diện tích của hình phẳng giới hạn hai đường cong .
Là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
1
2
( )
( )
; ( )
y f x
y f x
x a x b a b
=


=


= = <

Dùng công thức
1 2
( ) ( )
b

a
S f x f x dx= −
∫
(2)
+ Giải phương trình
1 2
( ) ( ) 0f x f x− =
, để tìm nghiệm của pt trên đoạn
[ ]
;a b
, từ đó ta biết
được trên đoạn
[ ]
;a b
diện tích cần tìm có bao nhiêu tích phân.
 Chú ý:
+Nếu trên đoạn
[ ]
;a b
mà hiệu :
1 2
( ) ( )f x f x−
luôn âm (luôn dương) thì công thức (2)
được tính là:
[ ]
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
S f x f x dx f x f x dx= − = −

∫ ∫
B. Bài tập vận dụng:
17
Tài liệu phụ đạo môn Toán 12 năm học 2013 – 3014
Bài tập: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
1
0
2; 1
y x
y
x x
= +


=


= − =

2). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
2
4
0
1; 1
y x
y
x x

= −


=


= − =

3). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
2
2y x x
y x

= − +

= −

4). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
2
2 2
y x x
y x

= −

= −

5). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
2
sin
0;
y x x

y x
x x
π

= +

=


= =

6). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
ln
1
1
x
y x
x
y x
x e

= − +


= −


=



7). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
2
2
1 1y x
y x

= − −


=


8). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi:
( )
3 2
1
1
9
y x x
y x

= −


= −


18
Tuầ
n

: 30
Tiết : 59; 60
Tài liệu phụ đạo môn Toán 12 năm học 2013 – 3014
PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
A. Kiến thức cần nhớ:
I. Phương trình than số và phương trình của đường thẳng.
Định nghĩa: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
∆
đi qua điểm M
0
(x
0
; y
0
; z
0
) và
nhận vectơ
1 2 3
( ; ; )=
r
a a a a
với
0a ≠
r r
làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng
∆
có phương
trình tham số:
0 1

0 2
0 3
= +


= +


= +

x x ta
y y ta
z z ta
 Chú ý: Nếu a
1
, a
2
, a
3
đều khác 0 thì có thể viết phương trình của
∆
dưới dạng chính
tắc:
0 0 0
1 2 3
− − −
= =
x x y y z z
a a a
B. Bài tập vận dụng:

Bài 1: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
∆
đi qua
hai điểm
( ) ( )
1;2;3 à 3;5;7A v B
.
Bài 2: Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
∆
trong
các trường hợp sau:
a). Đi qua điểm
( )
1;3;4A
và có vec tơ chỉ phương
( )
3;3;1a =
r
.
b). Đi qua điểm
( )
1;0; 1B −
và vuông góc với mặt phẳng
( )
α
:
2 9 0x y z− + + =
c).
∆
đi qua hai điểm

( ) ( )
1; 1;1 à 2;1;4C v B−
.
Bài 3: Cho các điểm A(3;1;0), B(3; -1; 2), C(0; 2; 1), D(1;1;2). Viết PTTS của các
đường thẳng AB, AC, AD, BC.
Bài 4: Viết PTTS của ∆ đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P):
a)
(1; 3;2), ( ) :3 2 4 10 0A P x y z
− − + + =
b)
(1;3;2), ( ): 3 7 5 0A P x y− + =
c) A(2; –1; 5), (P)≡(Oxy)
d) A(4; –7; 1), (P)≡(Oyz)
Bài 5: Cho đường thẳng ∆ có PTTS. Hãy xác định một điểm M ∈ ∆ và một VTCP của
∆:
2 3
3 4
1 2
x t
y t
z t
= − +


= −


= +

19

Tài liệu phụ đạo môn Toán 12 năm học 2013 – 3014
SỐ PHỨC
A. Kiến thức cần nhớ:
 Số phức
z a bi= +
có phần thực là
a
, phần ảo là
b

2
( , à 1)a b v i∈ = −¡
 Hai số phức bằng nhau:
a c
a bi c di
b d
=

+ = + ⇔

=

 Biểu diễm số phức: Số phức
z a bi= +
được biểu diễn bởi điểm
( )
;M a b
trên mặt
phẳng tọa độ.
 Độ dài của vectơ

OM
uuuur
được gọi là mô đun của số phức
z
, tức là:
2 2
z OM a b= = +
uuuur
 Số phức liên hợp của
z a bi= +
là
z a bi= −+
20