SKKN hướng dẫn học sinh phân tích đa thức thành nhân tử và một số bài tập ứng dụng nhằm nâng cao chất lượng đại trà

1. PHẦN MỞ ĐẦU.
1.1. Lý do chọn sáng kiến.
Toán học là một môn khoa học tự nhiên quan trọng. Để có kết quả tốt ở môn
toán trong quá trình học tập đòi hỏi học sinh phải nắm chắc lí thuyết, vận dụng sáng
tạo, trình bày lôgic. Để giúp các em học tập môn toán đạt kết quả tốt thì người giáo
viên không chỉ nắm vững kiến thức mà còn phải biết vận dụng các phương pháp giảng
dạy một cách linh hoạt để các em có thể lĩnh hội kiến thức một cách dễ dàng và chắc
chắn.
Là một giáo viên đang giảng dạy tại trường trung ho ̣c cơ sở (THCS), bản thân
đã có nhiều suy nghĩ trong việc áp dụng những phương pháp dạy học mới, để đưa chất
lượng của học sinh ngày một nâng cao. Phân tích đa thức thành nhân tử là da ̣ng toán
cơ bản, xuyên suố t trong chương trình Toán ho ̣c phổ thông. Đây là nề n tảng quan tro ̣ng
trong viê ̣c giải rất nhiều dạng toán phổ thông. Để góp phầ n nâng cao chấ t lươ ̣ng môn
Toán ho ̣c ở trường THCS tôi chọn sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh phân tích đa thức
thành nhân tử và một số bài tập ứng dụng nhằm nâng cao chất lượng đại trà” để
nghiên cứu, áp dụng vào thực tế giảng dạy.
1.2. Điểm mới của sáng kiến.
- Giúp các em biết thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử. Hiểu các phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử thường gặp.
- Giúp các em biết nhận xét các đa thức và tìm hướng giải thích hợp trước khi giải các
bài toán phân tích đa thức thành nhân tử, cũng như các bài tập ứng dụng việc phân tích
đa thức thành nhân tử trong chương I toán 8 hiện nay.
- Nêu một số kinh nghiệm trong giảng dạy để giáo viên giúp học sinh giải thành thạo
dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử góp phần nâng cao chất lượng bộ môn.
2. PHẦN NỘI DUNG.
2.1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
Qua thực tế nhiề u năm giảng dạy bô ̣ môn Toán ho ̣c với nhiề u đố i tươ ̣ng khác
nhau tôi thấ y phần lớn học sinh còn lúng túng và thường mắc phải những lỗi sau:

1

- Không nắm vững những kiến thức đã học, lúng túng với đề toán, không biết bắt đầu
từ đâu cũng như không biết vận dụng kiến thức nào để giải.
- Có mô ̣t số em có kiế n thức nhưng khi trình bày thì la ̣i thiế u tính chă ̣t che,̃ khoa ho ̣c
dẫn đế n chưa có mô ̣t bài giải hoàn chỉnh.
- Trước khi áp dụng sáng kiến, khảo sát học sinh khối 8 có kết quả như sau:
Lớp

Sĩ số

Giỏi

Khá

Yếu

TB

SL
%
SL
%
SL
8
30
7
23,3
9
30,0
11

2
8
27
2
7,4
6
22,2
14
2.2. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
1

%
36,7
51,9

SL
3
5

%
10,0
18,5

2.2.1. Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử?
Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thành một
tích của những đa thức.
2.2.2. Những phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử .
2.2.2.1. Phương pháp đặt nhân tử chung :
- Dựa vào tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:
AB + AC = A(B + C)

- Cách tìm nhân tử chung với các đa thức có hệ số nguyên:
+ Hệ số là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử.
+ Các lũy thừa của các biến có mặt trong mọi hạng tử với số mũ của lũy thừa là
số mũ nhỏ nhất của nó.
- Đôi khi để xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử (lưu ý tới tính chất
𝐴 = −(−𝐴))
- Sau khi đặt nhân tử chung ta phải xét đa thức còn lại trong ngoặc để phân tích ra kết
quả cuối cùng.
* Các ví dụ minh họa :
* Ví dụ 1: Phân tích đa thức 15𝑥 3 − 5𝑥 2 + 10𝑥 thành nhân tử. (Ví dụ 2-SGK-tr18)
Gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 15, 5, 10 trong các hạng tử trên?

2


(Học sinh trả lời là: 5, vì Ư(15; 5; 10) = 5)
- Tìm nhân tử chung của các biến 𝑥 3 ; 𝑥 2 ; 𝑥?
(Học sinh trả lời là: 𝑥)
- Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là 5𝑥.
Giải: 15𝑥 3 − 5𝑥 2 + 10𝑥 = 5𝑥. 3𝑥 2 − 5𝑥. 𝑥 + 5𝑥. 2
= 5𝑥(3𝑥 2 − 𝑥 + 2)
* Ví dụ 2: Phân tích đa thức 14𝑥 2 𝑦 − 21𝑥𝑦 2 + 28𝑥 2 𝑦 2 thành nhân tử. (BT-39c-SGKtr19)
Gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên?
(Học sinh trả lời là: 7, vì ƯCLN(14, 21, 28) = 7)
- Tìm nhân tử chung của các biến x2 y, xy2, x2y2?
(Học sinh trả lời là: 𝑥𝑦)
- Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là 7𝑥𝑦.
Giải: 14𝑥 2 𝑦 − 21𝑥𝑦 2 + 28𝑥 2 𝑦 2 = 7𝑥𝑦. 2𝑥 − 7𝑥𝑦. 3𝑦 + 7𝑥𝑦. 4𝑥𝑦

= 7𝑥𝑦(2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑥𝑦)
2

* Ví dụ 3: Phân tích đa thức 𝑥 2 + 5𝑥 3 + 𝑥 2 𝑦 thành nhân tử. (Ví dụ 2-SGK-tr18)
5

Gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số trong các hạng tử trên?
(Học sinh trả lời là: các hệ số trong các hạng tử trên không có nhân thử chung)
- Tìm nhân tử chung của các biến 𝑥 2 ; 𝑥 3 ; 𝑥 2 𝑦?
(Học sinh trả lời là: 𝑥 2 )
- Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là 𝑥 2 .
Giải:

2
5

2

𝑥 2 + 5𝑥 3 + 𝑥 2 𝑦 = 𝑥 2 . + 𝑥 2 . 5𝑥 + 𝑥 2 . 𝑦
5

2

= 𝑥 2 ( + 5𝑥 + 𝑦)
5

2

2

5

5

* Ví dụ 4: Phân tích đa thức 𝑥(𝑦 − 1) − 𝑦(𝑦 − 1) thành nhân tử. (BT-39d-SGK-tr19)
Gợi ý:

3


- Tìm nhân tử chung của các hệ số trong các hạng tử trên ?
2

(Học sinh trả lời là: )
5

- Tìm nhân tử chung của các biến x(y – 1); y(y – 1) ?
(Học sinh trả lời là: 𝑦 − 1)
2

- Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là (𝑦 − 1)
5

2

Giải:

5

2

2

5

5

𝑥(𝑦 − 1) − 𝑦(𝑦 − 1) = (𝑦 − 1)(𝑥 − 𝑦)

* Ví dụ 5: Phân tích đa thức 10𝑥(𝑥 − 𝑦) − 8𝑦(𝑦 − 𝑥) thành nhân tử. (BT-39e-SGK-tr19)
Gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hệ số 10; 8 trong các hạng tử trên ?
- Tìm nhân tử chung của các biến 𝑥(𝑥 − 𝑦); 𝑦(𝑦 − 𝑥)?
- Để làm xuất hiện nhân tử chung (𝑥 − 𝑦) ta đổi dấu (𝑦 − 𝑥) = −(𝑥 − 𝑦)
Giải: 10𝑥(𝑥 − 𝑦) − 8𝑦(𝑦 − 𝑥) = 10𝑥(𝑥 − 𝑦) + 8𝑦(𝑥 − 𝑦) = 2(𝑥 − 𝑦)(5𝑥 + 4𝑦)
* Ví dụ 6: Phân tích đa thức (𝑥 − 𝑦) − (𝑦 − 𝑥)2 thành nhân tử.
Gợi ý:
- Để làm xuất hiện nhân tử chung ta thấy (y – x)2 = (x – y)2
Học sinh có thể sẽ sai lầm trong đổi dấu như sau :
(𝑥 − 𝑦) − (𝑦 − 𝑥)2 = (𝑥 − 𝑦) + (𝑥 − 𝑦)2
Giải: (𝑥 − 𝑦) − (𝑦 − 𝑥)2 = (𝑥 − 𝑦) − (𝑥 − 𝑦)2 = (𝑥 − 𝑦)(1 − 𝑥 + 𝑦)
2.2.2.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức :
Nếu chúng ta nhận thấy đa thức là một vế của hằng đẳng thức đáng nhớ nào đó
thì có thể dùng hằng đẳng thức đó để biễu diễn đa thức này thành một tích các đa thức.
(‘‘Dạng tổng hiệu’’ đưa về ‘‘dạng tích’’ )
1. 𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵2 = (𝐴 + 𝐵)2
2. 𝐴2 − 2𝐴𝐵 + 𝐵2 = (𝐴 − 𝐵)2
3. 𝐴2 − 𝐵2 = (𝐴 − 𝐵)(𝐴 + 𝐵)
4. 𝐴3 + 3𝐴2 𝐵 + 3𝐴𝐵2 + 𝐵3 = (𝐴 + 𝐵)3

5. 𝐴3 − 3𝐴2 𝐵 + 3𝐴𝐵2 − 𝐵3 = (𝐴 − 𝐵)3
6. 𝐴3 + 𝐵3 = (𝐴 + 𝐵)(𝐴2 − 𝐴𝐵 + 𝐵2 )
7. 𝐴3 − 𝐵3 = (𝐴 − 𝐵)(𝐴2 + 𝐴𝐵 + 𝐵2 )
* Các ví dụ minh họa:
4


* Ví dụ 1: Phân tích đa thức 9𝑥 2 + 6𝑥𝑦 + 𝑦 2 thành nhân tử. (BT-27a-SBT-tr9)
Gợi ý:
- Tìm nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức trên?
- Nhận thấy đa thức có thể đưa về dạng hằng đẳng thức bình phương của một
tổng.
Giải: 9𝑥 2 + 6𝑥𝑦 + 𝑦 2 = (3𝑥)2 + 2.3𝑥. 𝑦 + 𝑦 2
= (3𝑥 + 𝑦)2
* Ví dụ 2: Phân tích đa thức 𝑥 2 − 9 thành nhân tử. (BT-26a-SBT-tr9)
Giải: 𝑥 2 − 9 = 𝑥 2 − 32 = (𝑥 − 3)(𝑥 + 3)
* Ví dụ 3: Phân tích đa thức 𝑥 3 +

1
27

thành nhân tử. (BT-26a-SBT-tr9)

Gợi ý:
- Nhận thấy đa thức có thể đưa về dạng hằng đẳng thức tổng hai lập phương.
Giải: 𝑥 3 +

1

1 3

1

1

1

= 𝑥 3 + ( ) = (𝑥 + ) (𝑥 2 − 𝑥 + )
27
3
3
3
9

* Ví dụ 4: Phân tích đa thức 8𝑥 3 + 12𝑥 2 𝑦 + 6𝑥𝑦 2 + 𝑦 3 thành nhân tử. (BT-44d-SGKtr20)
Gợi ý:
- Nhận thấy đa thức có thể đưa về dạng hằng đẳng thức lập phương của một tổng.
Giải: 8𝑥 3 + 12𝑥 2 𝑦 + 6𝑥𝑦 2 + 𝑦 3 = (2𝑥)3 + 3. (2𝑥)2 . 𝑦 + 3.2𝑥. 𝑦 2 + 𝑦 3
= (2𝑥 + 𝑦)3
2.2.2.3. Phương pháp nhóm hạng tử :
Dùng tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng ta kết hợp những hạng tử của
đa thức thành từng nhóm thích hợp rồi dùng các phương pháp khác (đặt nhân tử chung,
dùng hằng đẳng thức) phân tích đa thức thành nhân tử theo từng nhóm rồi phân tích
chung đối với các nhóm.
+ Khi nhóm các hạng tử thành từng nhóm thì thường mỗi nhóm các hạng tử có nhân
tử chung hoặc có hằng đẳng thức.
+ Sau khi phân tích cho từng nhóm thì giữa các nhóm phải có nhân tử chung hoặc có
dạng hằng đẳng thức thì quá trình phân tích mới được tiếp tục.
5

* Các ví dụ minh họa:
* Ví dụ 1: Phân tích đa thức 5𝑥 − 5𝑦 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 thành nhân tử. (BT-32a-SBT-tr10)
Sai lầm của học sinh đối với bài này có thể là sai dấu khi đưa các hạng tử vào trong
ngoặc.
Lưu ý: Khi đưa các hạng tử vào trong ngoặc mà trước dấu ngoặc là dấu " − " ta
phải đổi dấu các hạng tử đó.
Gợi ý:
- Nếu nhóm 5𝑥 − 5𝑦 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 = (5𝑥 − 5𝑦) + (𝑎𝑥 − 𝑎𝑦) thì nhóm (5𝑥 − 5𝑦)
có nhân tử chung là 5, nhóm (𝑎𝑥 − 𝑎𝑦) có nhân tử chung là 𝑎. Sau khi đặt nhân
tử chung cho cả 2 nhóm thì các hạng tử xuất hiện nhân tử chung (𝑥 − 𝑦) nên quá
trình phân tích được tiếp tục.Vậy có thể nhóm theo cách này.
- Nếu nhóm 5𝑥 − 5𝑦 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 = (5𝑥 + 𝑎𝑥) − (5𝑦 + 𝑎𝑦) thì nhóm (5𝑥 + 𝑎𝑥)
có nhân tử chung là x, nhóm (5𝑦 + 𝑎𝑦) có nhân tử chung là 𝑦. Sau khi đặt nhân
tử chung cho cả 2 nhóm thì các hạng tử xuất hiện nhân tử chung (5 + 𝑎) nên quá
trình phân tích được tiếp tục.Vậy có thể nhóm theo cách này.
Vậy đối với bài này ta có thể thực hiện 2 cách :
Giải:
Cách 1: 5𝑥 − 5𝑦 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 = (5𝑥 − 5𝑦) + (𝑎𝑥 − 𝑎𝑦)
= 5(𝑥 − 𝑦) + 𝑎(𝑥 − 𝑦)
Cách 2: 5𝑥 − 5𝑦 + 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 = (5𝑥 + 𝑎𝑥) − (5𝑦 + 𝑎𝑦)
= 𝑥(5 + 𝑎) − 𝑦(5 + 𝑎)
= (5 + 𝑎)(𝑥 − 𝑦)
*Ví dụ 2: Phân tích đa thức 4𝑥 2 − 𝑦 2 + 4𝑥 + 1 thành nhân tử. (BT-8.1a-SBT-tr10)
Gợi ý:
- Nếu nhóm: 4𝑥 2 − 𝑦 2 + 4𝑥 + 1 = (4𝑥 2 − 𝑦 2 ) + (4𝑥 + 1)
= (2𝑥 − 𝑦)(2𝑥 + 𝑦) + (4𝑥 + 1)
lúc này quá trình phân tích không tiếp tục được chứng tỏ cách nhóm này là không
phù hợp.

6


- Nếu nhóm: 4𝑥 2 − 𝑦 2 + 4𝑥 + 1 = (4𝑥 2 + 4𝑥) − (𝑦 2 − 1)
= 4𝑥(𝑥 + 1) − (𝑦 − 1)(𝑦 + 1)
lúc này quá trình phân tích không tiếp tục được chứng tỏ cách nhóm này là không
phù hợp.
- Nếu nhóm 4𝑥 2 − 𝑦 2 + 4𝑥 + 1 = (4𝑥 2 + 4𝑥 + 1) − 𝑦 2 = (2𝑥 + 1)2 − 𝑦 2
giữa các hạng tử của đa thức lại xuất hiện hằng đẳng thức nên quá trình phân
tích được tiếp tục. Vậy có thể nhóm theo cách này.
Giải: 4𝑥 2 − 𝑦 2 + 4𝑥 + 1 = (4𝑥 2 + 4𝑥 + 1) − 𝑦 2
= (2𝑥 + 1)2 − 𝑦 2
= (2𝑥 + 1 − 𝑦)(2𝑥 + 1 + 𝑦)
*Ví dụ 3: Phân tích đa thức 12𝑥 3 + 4𝑥 2 − 27𝑥 − 9 thành nhân tử. (BT-49d-BTNCtr15)
Giải: 12𝑥 3 + 4𝑥 2 − 27𝑥 − 9 = (12𝑥 3 + 4𝑥 2 ) − (27𝑥 + 9)
= 4𝑥 2 (3𝑥 + 1) − 9(3𝑥 + 1)
= (3𝑥 + 1)(4𝑥 2 − 9)
= (3𝑥 + 1)[(2𝑥)2 − 32 ]
= (3𝑥 + 1)(2𝑥 − 3)(2𝑥 + 3)
Sai lầm của học sinh: Một số học sinh khi phân tích đến (𝟑𝒙 + 𝟏)(𝟒𝒙𝟐 − 𝟗) thì
dừng việc phân tích. Tuy nhiên, đối với bài tập này nhân tử (𝟒𝒙𝟐 − 𝟗) vẫn tiếp
tục phân tích được thành (𝟐𝒙 − 𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟑).
Lưu ý: Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta phải phân tích triệt để.
*Ví dụ 4: Phân tích đa thức 𝑥 2 − (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 thành nhân tử. (BT-c-đề số 4-ĐKTT8tr31)
Gợi ý:
- Nhận thấy đa thức đã cho không có nhân tử chung, không có hằng đẳng thức,
và với 3 hạng tử thì không thể nhóm được.
- Đối với bài toán này, ta tiến hành khai triển (bỏ dấu ngoặc) rồi tìm cách giải
thích hợp.

7


- Sau khi khai triển (𝑎 + 𝑏)𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 đa thức đã cho trở thành:
𝑥 2 − (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 = 𝑥 2 − (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥) + 𝑎𝑏 = 𝑥 2 − 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 + 𝑎𝑏
- Ta tiến hành nhóm hạng tử.
Học sinh có thể sai lầm trong việc khai triển bỏ dấu ngoặc như sau:
𝑥 2 − (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 = 𝑥 2 − 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑏
Giải: 𝑥 2 − (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 = 𝑥 2 − (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥) + 𝑎𝑏
= 𝑥 2 − 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥 + 𝑎𝑏
= (𝑥 2 − 𝑎𝑥) − (𝑏𝑥 − 𝑎𝑏)
= 𝑥(𝑥 − 𝑎) − 𝑏(𝑥 − 𝑎)
= (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)
Lưu ý: Đôi khi ta phải khai triển (bỏ ngoặc) đề bài đã cho rồi lựa chọn hạng tử
thích hợp để nhóm.
2.2.2.4. Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp.
Phân tích đa thức thành nhân tử ta phải vận dụng linh hoạt các phương pháp và
thường phải phối hợp các phương pháp một cách hợp lí.
+ Nếu các hạng tử đều có nhân tử chung thì ta áp dụng ngay phương pháp đặt nhân tử
chung.
+ Dùng hằng đẳng thức nếu đa thức là một vế của hằng đẳng thức nào đó.
+ Nếu hai phương pháp trên đều không áp dụng được thì ta mới xét phương pháp nhóm
hạng tử.
* Các ví dụ minh họa :
* Ví dụ 1: Phân tích đa thức 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 thành nhân tử. (BT-51a-SGK-tr24)
Gợi ý:
- Nhận thấy các hạng tử của đa thức có nhân tử chung là x nên ta đặt nhân tử
chung trước.
- Sau khi đặt nhân tử chung, trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức bình phương
của một hiệu.

Giải: 𝑥 3 − 2𝑥 2 + 𝑥 = 𝑥(𝑥 2 − 2𝑥 + 1) = 𝑥(𝑥 − 1)2

8


* Ví dụ 2: Phân tích đa thức 5𝑥 2 − 10𝑥𝑦 + 5𝑦 2 − 20𝑧 2 thành nhân tử. (BT-34c-SBTtr10)
Gợi ý:
- Nhận thấy các hạng tử của đa thức có nhân tử chung là 5 nên ta đặt nhân tử
chung trước.
Giải: 5𝑥 2 − 10𝑥𝑦 + 5𝑦 2 − 20𝑧 2 = 5(𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 4𝑧 2 )
= 5[(𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 ) − 4𝑧 2 )]
= 5[(𝑥 − 𝑦)2 − (2𝑧)2 )]
= 5(𝑥 − 𝑦 − 2𝑧)(𝑥 − 𝑦 + 2𝑧)
* Ví dụ 3: Phân tích đa thức 𝑎3 − 𝑎2 𝑥 − 𝑎𝑦 + 𝑥𝑦 thành nhân tử. (BT-34c-SBT-tr10)
Gợi ý:
- Nhận thấy các hạng tử của đa thức không có nhân tử chung cũng không có
hằng đẳng thức. Ta thực hiện nhóm hạng tử sẽ xuất hiện nhân tử chung, nên ta
chọn phương pháp nhóm hạng tử.
Giải: 𝑎3 − 𝑎2 𝑥 − 𝑎𝑦 + 𝑥𝑦 = (𝑎3 − 𝑎2 𝑥) − (𝑎𝑦 − 𝑥𝑦)
= 𝑎2 (𝑎 − 𝑥) − 𝑦(𝑎 − 𝑥)
= (𝑎 − 𝑥)(𝑎2 − 𝑦)
* Ví dụ 4: Phân tích đa thức 𝑥 4 − 2𝑥 2 thành nhân tử. (BT-54c-SGK-tr25)
Gợi ý:
- Nhận thấy các hạng tử của đa thức có nhân tử chung là x2 nên ta đặt nhân tử
chung trước.
Giải: 𝑥 4 − 2𝑥 2 = 𝑥 2 (𝑥 2 − 2) = 𝑥 2 (𝑥 − √2)(𝑥 + √2)
* Ví dụ 5: Phân tích đa thức 𝑥 4 − 2𝑥 2 thành nhân tử. (BT-54c-SGK-tr25)
Gợi ý:
- Nhận thấy các hạng tử của đa thức có nhân tử chung là x2 nên ta đặt nhân tử
chung trước.

Giải: 𝑥 4 − 2𝑥 2 = 𝑥 2 (𝑥 2 − 2) = 𝑥 2 (𝑥 − √2)(𝑥 + √2)
2.2.3. Các phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử.

9


Phân tích đa thức thành nhân tử nếu không áp dụng được các phương pháp: Đặt
nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử thì ta có thể sử dụng một
trong hai phương pháp sau:
2.2.3.1. Phương pháp tách hạng tử :
Để phân tích đa thức bậc hai 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 thành nhân tử. Nếu không áp dụng
được hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu để
phân tích thì ta dùng phương pháp tách hạng tử, có nhiều cách để tách hạng tử. Ở đây
giới thiệu cách tách hạng tử 𝑏𝑥 thành 𝑏1 𝑥 + 𝑏2 𝑥. Sao cho 𝑏1 + 𝑏2 và 𝑏1 . 𝑏2 = 𝑎. 𝑐.
* Cách tìm 𝑏1 và 𝑏2
Bước 1: Tìm tích ac
Bước 2: Phân tích tích ac thành tích của hai số nguyên.
Bước 3: Chọn hai thừa số có tích bằng ac nói trên mà có tổng bằng b làm b1 và b2
+Lưu ý sau khi tách hạng tử ta sẽ dùng phương pháp nhóm hạng tử để phân tích
bước tiếp theo.
* Các ví dụ minh họa:
* Ví dụ 1: Phân tích đa thức 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 thành nhân tử. (BT-53a-SGK-tr24)
Gợi ý:
- Nhận thấy đa thức đã cho không có nhân tử chung, có dạng đa thức bậc hai
nhưng không thể đưa về hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình
phương của một hiệu để phân tích thì ta dùng phương pháp tách hạng tử.
- Ta có 𝑎 = 1; 𝑏 = −3; 𝑐 = 2
- Tích 𝑎𝑐 = 2 = 1.2 = (−1)(−2)
- Chọn 𝑏1 và 𝑏2 là hai thừa số có tích bằng 2 mà tổng bằng −3 đó là −1 và −2.
Giải: 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 𝑥 2 − 𝑥 − 2𝑥 + 2

= (𝑥 2 − 𝑥) − (2𝑥 − 2)
= 𝑥(𝑥 − 1) − 2(𝑥 − 1)
= (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
Lưu ý: Ta có thể tách hạng tử tự do như sau:

10


𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 3 − 1
= (𝑥 2 − 1) − (3𝑥 − 3)
= (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) − 3(𝑥 − 1)
= (𝑥 − 1)(𝑥 + 1 − 3)
= (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
* Ví dụ 2: Phân tích đa thức 𝑥 2 + 𝑥 − 6 thành nhân tử. (BT-53b-SGK-tr24)
Gợi ý:
- Nhận thấy đa thức đã cho không có nhân tử chung, có dạng đa thức bậc hai
nhưng không thể đưa về hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình
phương của một hiệu để phân tích thì ta dùng phương pháp tách hạng tử.
- Ta có 𝑎 = 1; 𝑏 = 1; 𝑐 = −6
- Tích 𝑎𝑐 = −6 = 1. (−6) = (−1). 6 = (−2). 3 = 2. (−3)
- Chọn 𝑏1 và 𝑏2 là hai thừa số có tích bằng −6 mà tổng bằng 1 đó là −2 và 3.
Giải: 𝑥 2 + 𝑥 − 6 = 𝑥 2 − 2𝑥 + 3𝑥 − 6
= (𝑥 2 − 2𝑥) + (3𝑥 − 6)
= 𝑥(𝑥 − 2) + 3(𝑥 − 2)
= (𝑥 − 2)(𝑥 + 3)
Lưu ý: Ta có thể tách hạng tử tự do như sau:
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 𝑥2 + 𝑥 − 2 − 4
= (𝑥 2 − 4) + (𝑥 − 2)
= (𝑥 − 2)(𝑥 + 2) + (𝑥 − 2)
= (𝑥 − 2)(𝑥 + 2 + 1)

= (𝑥 − 2)(𝑥 + 3)
2.2.3.2. Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử.
Khi tất cả các phương pháp trên không thực hiện được thì ta nghĩ đến phương
pháp thêm và bớt cùng một hạng tử. Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm
sử dụng phương pháp nhóm để xuất hiện dạng đặt nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng
thức.
* Các ví dụ minh họa:

11


* Ví dụ 1: Phân tích đa thức 𝑥 4 + 4 thành nhân tử. (BT-53a-SGK-tr24)
Gợi ý:
- Nhận thấy đa thức đã cho không thể áp dụng các phương pháp đặt nhân tử
chung, hằng đẳng thức, nhóm hạng tử hay tách hạng tử.
- Ta có : 𝑥 4 + 4 = (𝑥 2 )2 + 22
- Ta tiến hành cộng thêm hạng tử 2. 𝑥 2 . 2 = 4𝑥 2 vào đa thức đã cho để xuất hiện
hằng đẳng thức bình phương của một tổng. Khi đó để giá trị của đa thức không
thay đổi ta phải trừ đi 4𝑥 2 .
Giải: 𝑥 4 + 4 = (𝑥 2 )2 + 22
= (𝑥 2 )2 + 22 + 4𝑥 2 − 4𝑥 2
= [(𝑥 2 )2 + 4𝑥 2 +22 ] − 4𝑥 2
= (𝑥 2 + 2)2 − (2𝑥)2
= (𝑥 2 + 2 − 2𝑥)(𝑥 2 + 2 + 2𝑥)
Câu hỏi đặt ra là: Tại sao chúng ta thêm rồi bớt mà không phải bớt rồi thêm?
Bởi vì nếu chúng ta bớt rồi thêm thì ta có:
𝑥 4 + 4 = (𝑥 2 )2 + 22
= (𝑥 2 )2 + 22 − 4𝑥 2 + 4𝑥 2
= [(𝑥 2 )2 − 4𝑥 2 +22 ] + 4𝑥 2
= (𝑥 2 + 2)2 + (2𝑥)2

Đến đây bài toán của chúng ta không tiếp tục được nữa. Điều này là không phù hợp.
* Ví dụ 2: Phân tích đa thức 4𝑥 4 + 𝑦 4 thành nhân tử. (Ví dụ 6-BTNC-tr18)
Gợi ý:
- Nhận thấy đa thức đã cho không thể áp dụng các phương pháp đặt nhân tử
chung, hằng đẳng thức, nhóm hạng tử hay tách hạng tử.
- Ta có : 4𝑥 4 + 𝑦 4 = (2𝑥 2 )2 + (𝑦 2 )2
- Ta tiến hành cộng thêm hạng tử 2.2𝑥 2 . 𝑦 2 = 4𝑥 2 𝑦 2 vào đa thức đã cho để xuất
hiện hằng đẳng thức bình phương của một tổng. Khi đó để giá trị của đa thức
không thay đổi ta phải trừ đi 4𝑥 2 𝑦 2 .

12


Giải: 4𝑥 4 + 𝑦 4 = (2𝑥 2 )2 + (𝑦 2 )2
= (2𝑥 2 )2 + (𝑦 2 )2 + 4𝑥 2 𝑦 2 − 4𝑥 2 𝑦 2
= [(2𝑥 2 )2 + 4𝑥 2 𝑦 2 +(𝑦 2 )2 ] − 4𝑥 2 𝑦 2
= (2𝑥 2 + 𝑦 2 )2 − (2𝑥𝑦)2
= (2𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥𝑦)(2𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥𝑦)
2.2.4. Một số kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử.
Qua thực tế nghiên cứu và thử nghiệm sáng kiến, bản thân tôi đưa ra một số kinh
nghiệm giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử như sau:
- Nếu đa thức đã cho có 2 hạng tử:
Bước 1: Đặt nhân tử chung.
Bước 2: Dùng hằng đẳng thức.
Hằng đẳng thức nếu có là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, hiệu hai lập
phương hoặc tổng hai lập phương.
Bước 3: Với đa thức có 2 hạng tử không có nhân tử chung, không có hằng đẳng thức
thì ta áp dụng phương pháp thêm bớt hạng tử. (Đa thức 2 hạng tử thì không thể nhóm,
cũng không tách được).
- Nếu đa thức đã cho có 3 hạng tử:

Bước 1: Đặt nhân tử chung.
Bước 2: Dùng hằng đẳng thức.
Hằng đẳng thức nếu có là hằng đẳng thức bình phương của tổng hoặc bình
phương của hiệu.
Bước 3: Với đa thức có 3 hạng tử không có nhân tử chung, không có hằng đẳng thức
thì ta có thể áp dụng phương pháp tách.
- Nếu đa thức đã cho có 4 hạng tử:
Bước 1: Đặt nhân tử chung.
Bước 2: Dùng hằng đẳng thức.
Hằng đẳng thức nếu có là hằng đẳng thức lập phương của tổng hoặc lập phương
của hiệu.

13


(Dựa vào dấu của các hạng tử để xác định hằng đẳng thức. Tất cả các hạng tử
cùng dấu thì không thể là lập phương của hiệu, cũng như 2 hạng tử mang dấu
âm, 2 hạng tử mang dấu dương thì không thể là lập phương của tổng).
Bước 3: Với đa thức có 4 hạng tử không có nhân tử chung, không có hằng đẳng thức
thì ta có thể áp dụng phương pháp nhóm hạng tử: nhóm 3 hạng tử - 1 hạng tử hoặc
nhóm 2 hạng tử - 2 hạng tử.
- Nếu đa thức đã cho có 5 hạng tử trở lên:
Bước 1: Đặt nhân tử chung.
Bước 2: Với đa thức có 5 hạng tử trở lên sẽ không có hằng đẳng thức nên ta có thể áp
dụng phương pháp nhóm hạng tử một cách phù hợp:
(Đa thức có 5 hạng tử có thể nhóm 3 hạng tử - 2 hạng tử hoặc nhóm 4 hạng tử - 1 hạng
tử. Đa thức có 6 hạng tử có thể nhóm 3 hạng tử - 3 hạng tử hoặc nhóm 4 hạng tử - 2
hạng tử…)
2.3. Một số dạng toán ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử.
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức:

+ Phân tích biểu thức đã cho thành nhân tử
+ Thay giá trị của biến vào biểu thức đã phân tích để tính giá trị
* Các ví dụ minh họa:
* Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức: 𝑥(𝑥 − 1) − 𝑦(1 − 𝑥) tại 𝑥 = 2001 và 𝑦 = 1999.
(BT-40b-SGK-tr19)
Giải: 𝑥(𝑥 − 1) − 𝑦(1 − 𝑥) = 𝑥(𝑥 − 1) + 𝑦(𝑥 − 1)
= (𝑥 − 1)(𝑥 + 𝑦)
Tại 𝑥 = 2001 và 𝑦 = 1999 biểu thức có giá trị là:
(2001 − 1)(2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000.
* Ví dụ 2: Tính nhanh giá trị biểu thức: 8𝑥 3 − 12𝑥 2 𝑦 + 6𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 tại 𝑥 = 6 và
𝑦 = −8. (BT-77b-SGK-tr33)
Giải: 8𝑥 3 − 12𝑥 2 𝑦 + 6𝑥𝑦 2 − 𝑦 3 = (2𝑥)3 − 3. (2𝑥)2 . 𝑦 + 3. (2𝑥). 𝑦 2 − 𝑦 3
= (2𝑥 − 𝑦)3

14


Tại 𝑥 = 6 và 𝑦 = −8 biểu thức có giá trị là: [2.6 − (−8)]3 = 203 = 8000
* Ví dụ 3: Tính nhanh giá trị biểu thức: 𝑥 2 − 𝑦 2 − 2𝑦 − 1 tại 𝑥 = 93 và 𝑦 = 6.
(BT-56b-SGK-tr25)
Giải: 𝑥 2 − 𝑦 2 − 2𝑦 − 1 = 𝑥 2 − (𝑦 2 + 2𝑦 + 1)
= 𝑥 2 −(𝑦 + 1)2
= (𝑥 − 𝑦 − 1)(𝑥 + 𝑦 + 1)
Tại 𝑥 = 93 và 𝑦 = 6 biểu thức có giá trị là:
(93 − 6 − 1)(93 + 6 + 1) = 86.100 = 8600
Dạng 2: Tính nhanh
Phân tích biểu thức cần tính nhanh thành nhân tử rồi tính.
* Các ví dụ minh họa:
* Ví dụ 1: Tính nhanh: 252 − 152 . (BT-29a-SBT-tr9)
Giải: 252 − 152 = (25 − 15)(25 + 15) = 10.40 = 400.

* Ví dụ 2: Tính nhanh: 872 + 732 − 272 − 132 . (BT-29b-SBT-tr9)
Giải: 872 + 732 − 272 − 132 = (872 − 132 ) + (732 − 272 )
= (87 − 13)(87 + 13) + (73 − 27)(73 + 27)
= 74.100 + 46.100
= 100. (74 + 46)
= 100.120
= 12000
* Ví dụ 3: Tính nhanh: 52.143 − 52.39 − 8.26 (BT-21b-SBT-tr8)
Giải: 52.143 − 52.39 − 8.26 = 52.143 − 52.39 − 52.4
= 52(143 − 39 − 4)
= 52.100
= 5200
* Ví dụ 4: Tính nhanh: 37,5.6,5 − 7,5.3,4 − 6,6.7,5 + 3,5.37,5 (BT-49a-SGK-tr22)
Giải: 37,5.6,5 − 7,5.3,4 − 6,6.7,5 + 3,5.37,5
= (37,5.6,5 + 3,5.37,5) − (7,5.3,4 + 6,6.7,5)

15


= 37,5(6,5 + 3,5) − 7,5(3,4 + 6,6)
= 37,5.10 − 7,5.10
= 10(37,5 − 7,5)
= 10.30
= 300
Dạng 3: Tìm x thỏa mãn đẳng thức cho trước.
+ Chuyển tất cả các hạng tử về vế trái của đẳng thức để vế phải bằng 0.
𝐴=0
+ Phân tích vế trái thành nhân tử để được đẳng thức dạng: 𝐴. 𝐵 = 0 ⇔ [
𝐵=0
* Các ví dụ minh họa:

* Ví dụ 1: Tìm x, biết: 𝑥 + 5𝑥 2 = 0 (BT-24a-SBT-tr8)
Giải: 𝑥 + 5𝑥 2 = 0
𝑥(1 + 5𝑥) = 0
𝑥=0
⇔[
1 + 5𝑥 = 0
𝑥=0
⇔ [𝑥 = −1
5

* Ví dụ 2: Tìm x, biết: 5𝑥(𝑥 − 2000) − 𝑥 + 2000 = 0. (BT-41a-SGK-tr19)
Giải: 5𝑥(𝑥 − 2000) − 𝑥 + 2000 = 0
5𝑥(𝑥 − 2000) − (𝑥 − 2000) = 0
(𝑥 − 2000)(5𝑥 − 1) = 0
𝑥 − 2000 = 0
⇔[
5𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 2000
⇔[ 𝑥 =1
5

* Ví dụ 3: Tìm x, biết: 𝑥 2 − 10𝑥 = −25 (BT-30b-SBT-tr9)
Giải: 𝑥 2 − 10𝑥 = −25
𝑥 2 − 10𝑥 + 25 = 0
(𝑥 − 5)2 = 0
𝑥−5=0
16


𝑥=5

* Ví dụ 4: Tìm x, biết: 2(𝑥 + 5) − 𝑥 2 − 5𝑥 = 0 (BT-37b-SBT-tr10)
Giải:
2(𝑥 + 5) − 𝑥 2 − 5𝑥 = 0
2(𝑥 + 5) − (𝑥 2 + 5𝑥) = 0
2(𝑥 + 5) − 𝑥(𝑥 + 5) = 0
(𝑥 + 5)(2 − 𝑥) = 0
𝑥+5=0
⇔[
2−𝑥 =0
𝑥 = −5
⇔[
𝑥=2
* Ví dụ 5: Tìm x, biết: 2𝑥 2 + 5𝑥 − 3 = 0 (BT-9.3b-SBT-tr11)
Giải:
2𝑥 2 + 5𝑥 − 3 = 0
2𝑥 2 − 𝑥 + 6𝑥 − 3 = 0
(2𝑥 2 − 𝑥) + (6𝑥 − 3) = 0
𝑥(2𝑥 − 1) + 3(2𝑥 − 1) = 0
(2𝑥 − 1)(𝑥 + 3) = 0
2𝑥 − 1 = 0
⇔[
𝑥+3=0
1

𝑥=
2
⇔[
𝑥 = −3
Dạng 4: Các bài toán chia hết
Phân tích các biểu thức đã cho thành nhân tử để xuất hiện số chia và áp dụng

tính chất chia hết
* Các ví dụ minh họa:
* Ví dụ 1: Chứng minh rằng: 𝑛2 (𝑛 + 1) + 2𝑛(𝑛 + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi số
nguyên n. (BT-25-SBT-tr8)
Giải:
𝑛2 (𝑛 + 1) + 2𝑛(𝑛 + 1) = 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
17


Ta thấy 𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 6 với
mọi số nguyên n.
* Ví dụ 2: Chứng minh rằng: 55𝑛+1 − 55𝑛 chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên).
(BT-42-SGK-tr19)
Giải:
55𝑛+1 − 55𝑛 = 55𝑛 (55 − 1) = 55𝑛 . 54 chia hết cho 54 (với n là số tự nhiên).
* Ví dụ 3: Chứng minh rằng: (5𝑛 + 2)2 − 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
(BT-52-SGK-tr24)
Giải:
(5𝑛 + 2)2 − 4 = (5𝑛 + 2)2 − 22 = (5𝑛 + 2 − 2)(5𝑛 + 2 + 2) = 5𝑛(5𝑛 + 4) chia
hết cho 5 với mọi số nguyên n.
Dạng 5: Chia đa thức
Một số bài toán chia đa thức trong chương trình có thể áp dụng phân tích đa thức
thành nhân tử thì việc giải bài toán dễ dàng hơn.
* Các ví dụ minh họa:
* Ví dụ 1: Tính nhanh: (4𝑥 2 − 9𝑦 2 ): (2𝑥 − 3𝑦) (BT-73a-SGK-tr32)
Giải:
(4𝑥 2 − 9𝑦 2 ): (2𝑥 − 3𝑦) = ((2𝑥)2 − (3𝑦)2 ): (2𝑥 − 3𝑦)
= (2𝑥 − 3𝑦)(2𝑥 + 3𝑦): (2𝑥 − 3𝑦)
= 2𝑥 + 3𝑦
* Ví dụ 2: Tính nhanh: (𝑥 2 − 3𝑥 + 𝑥𝑦 − 3𝑦): (𝑥 + 𝑦) (BT-73d-SGK-tr32)

Giải: (𝑥 2 − 3𝑥 + 𝑥𝑦 − 3𝑦): (𝑥 + 𝑦) = [(𝑥 2 − 3𝑥) + (𝑥𝑦 − 3𝑦)]: (𝑥 + 𝑦)
= [𝑥(𝑥 − 3) + 𝑦(𝑥 − 3)]: (𝑥 + 𝑦)
= (𝑥 − 3)(𝑥 + 𝑦): (𝑥 + 𝑦)
=𝑥−3
*Kết quả: Qua thời gian giảng dạy và áp dụng sáng kiến trên tại trường. Thời gian đầu
các em còn lúng túng, vâ ̣n du ̣ng chưa thành tha ̣o thì nay có rấ t nhiề u em từ chỗ e nga ̣i
đã tự tin, thích thú với dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử.

18


- Tinh thần ham học bộ môn nâng cao có 95% các em đều thích học môn Toán học.
- Phần lớn các em đã xác định đúng yêu cầu của bài toán, tìm ra được hướng giải và
giải đúng kết quả.
- Cụ thể: Kết quả sau khi áp dụng sáng kiến như sau:
Lớp
1

8
82

Sĩ số
30
27

Giỏi
SL
12
6

Khá
%
40,0
22,2

SL
13
9

%
43,3
33,4

Yếu

TB
SL
5
10

%
16,7
37,0

SL
0
2

%
0

7,4

3. PHẦN KẾT LUẬN
3.1. Ý nghĩa, phạm vi áp dụng sáng kiến:
a. Ý nghĩa sáng kiến:
Qua quá trình áp du ̣ng sáng kiến: “Hướng dẫn học sinh phân tích đa thức
thành nhân tử và một số bài tập ứng dụng nhằm nâng cao chất lượng đại trà” bản
thân rút ra được một số kinh nghiệm như sau:
- Đối với các bài tập phân tích đa thức thành nhân tử, sau khi hướng dẫn xong giáo
viên cho học sinh hoạt động theo nhóm để phát huy tính tích cực chủ động của các em
và khả năng cộng tác trong nhóm, thông qua đó kỹ năng giải bài tập được hình thành
một cách bền vững.
- Hướng dẫn học sinh nghiên cứu kỹ đề bài, tìm mối liên hệ các yếu tố trong bài toán.
- Xác định phương hướng giải, xét các trường hợp có thể xảy ra để đi đến lời giải đúng
và hay nhất có thể.
- Ngay từ đầu năm học, giáo viên nên thành lập nhóm ho ̣c tâ ̣p bô ̣ môn Toán học để các
em có thể giúp đỡ lẫn nhau và giải đáp những thắc mắc, đồng thời kiế n nghị với giáo
viên khi gặp những vấn đề khó hiểu...
b. Phạm vi áp dụng sáng kiến:
“Hướng dẫn học sinh phân tích đa thức thành nhân tử và một số bài tập ứng
dụng nhằm nâng cao chất lượng đại trà” áp dụng cho chương trình Toán 8 nói riêng
và chương trình Toán THCS nói chung mà bản thân đang trực tiếp giảng dạy.

19


3.2. Kiến nghị, đề xuất
Để sáng kiến trên đạt kết quả cao và áp dụng vào giảng dạy có hiệu quả, tôi mạnh
dạn đề xuất một số vấn đề sau:
- Phòng giáo du ̣c: Tiế p tu ̣c tâ ̣p huấ n, bồ i dưỡng triể n khai các chuyên đề liên trường,

cu ̣m chuyên môn.
- Trường: Tiế p tu ̣c bổ sung tăng trưởng cơ sở vâ ̣t chấ t bô ̣ môn Toán ho ̣c.
Trên đây là nội dung sáng kiến mà bản thân đã nghiên cứu và vận dụng trong
quá trình giảng dạy bộ môn Toán học 8. Rất mong nhận được sự góp ý, trao đổi của
các thầy giáo, cô giáo, các đồng nghiệp để sáng kiến của bản thân được hoàn thiện hơn
và triển khai năm sau có hiệu quả hơn nữa.

20


DANH MỤC CÁC CỤM TỪ, KÝ HIỆU VIẾT TẮT

Thứ tự

Các cụm từ viết thường

Các cụm từ, ký hiệu
viết tắt

1

Trung học cơ sở

THCS

2

Bài tập

BT

3

Sách giáo khoa

SGK

4

Sách bài tập

SBT

5

Trang (trang 8)

tr (tr8)

6
7

Sách bài tập nâng cao và một số
chuyên đề toán 8
Sách đề kiểm tra Toán 8

BTNC
ĐKTT8

21

TÀI LIỆU KHAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Toán học 8 (Tập 1) - Nhà xuất bản giáo dục.
2. Sách bài tập Toán học 8 - Nhà xuất bản giáo dục.
3. Sách bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8 - Nhà xuất bản giáo dục
Việt Nam.
4. Sách đề kiểm tra Toán 8 – Nhà xuất bản đại học sư phạm.

22


MỤC LỤC
Nội dung

T.T
1
2
3

Trang

1. Phần mở đầ u.

1

1.1. Lý do chọn sáng kiến.
1.2. Điểm mới của sáng kiến.

1

2. Phần nội dung.

1-2

2.1. Thực trạng.
2.2. Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

2

2.2.1. Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử.

2

2.2.2. Những phương pháp thường dùng để phân
4

tích đa thức thành nhân tử.
2.2.3. Các phương pháp khác để phân tích đa thức
thành nhân tử.
2.2.4. Một số kinh nghiệm phân tích đa thức thành
nhân tử.

5

2.3. Một số bài tập ứng dụng phân tích đa thức
thành nhân tử

2-9

9 - 13

13 - 14
14 – 18

6

3. Kết luận.

7

3.1. Ý nghĩa, phạm vi áp dụng sáng kiến.

8

3.2. Kiến nghị, đề xuất.

20

9

Danh mục các cụm từ, ký hiệu viết tắt

21

10

Tài liệu tham khảo.

22

11

Mục lục.

23

19

23

19 – 20


XẾP LOẠI CỦA HĐKH NHÀ TRƯỜNG
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
XẾP LOẠI CỦA HĐKH PHÒNG GD & ĐT QUẢNG NINH
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………

24