chuyên đề khảo sát hàm số - lê bá trần phương
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (16.07 MB, 178 trang )
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
LỚP TOÁN VB2-K2
LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Khảo sát hàm bậc ba
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số:
3 2
3 3
y x x x
= − +
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số:
3 2
6 9 4
y x x x
= − + − +
.
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số:
3 2
2 3 1
y x x
= + −
Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số:
3 2
1
2 3
3
y x x x
= − + −
Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số:
3 2
3 1
y x x
= − + −
Bài 6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số:
3
3 1
y x x
= − + +
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
KHẢO SÁT HÀM BẬC BA
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khảo sát hàm bậc ba thuộc khóa học Luyện
thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra,
củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khảo sát hàm bậc ba. ðể sử dụng hiệu
quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Khảo sát hàm bậc ba
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
x
y
2
2
1
I
O
1
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số:
3 2
3 3
y x x x
= − +
Tập xác ñịnh:
D
=
ℝ
ðạo hàm:
2
3 6 3
y x x
′
= − +
Cho
2
0 3 6 3 0 1
y x x x
′
= ⇔ − + = ⇔ =
Giới hạn: ;
lim lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
Bảng biến thiên
x
–∞ 1 +∞
y
′
+ 0 +
y
–∞ 1 +∞
Hàm số ñồng biến trên cả tập xác ñịnh; hàm số không ñạt cực trị.
6 6 0 1 1
y x x y
′′
= − = ⇔ = ⇒ =
. ðiểm uốn là I(1;1)
Giao ñiểm với trục hoành:
Cho
3 2
0 3 3 0 0
y x x x x
= ⇔ − + = ⇔ =
Giao ñiểm với trục tung:
Cho
0 0
x y
= ⇒ =
Bảng giá trị: x 0 1 2
y 0 1 2
ðồ thị hàm số (như hình vẽ bên ñây):
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số:
3 2
6 9 4
y x x x
= − + − +
.
Giải:
Tập xác ñịnh:
D R
=
ðạo hàm:
2
3 12 9
y x x
′
= − + −
Cho
2
1
0 3 12 9 0
3
x
y x x
x
=
′
= ⇔ − + − = ⇔
=
Giới hạn:
lim ; lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞
Bảng biến thiên:
KHẢO SÁT HÀM BẬC BA
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khảo sát hàm bậc ba thuộc khóa học Luyện
thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm tra,
củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khảo sát hàm bậc ba. ðể sử dụng hiệu
quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Khảo sát hàm bậc ba
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
x
y
1
2
-1
O
-1
x
y
2
3
4
4
2
O 1
x
–
∞
1 3
+
∞
y
′
–
0
+
0
–
y
+
∞
4
0
–
∞
Hàm số ñồng biến trên khoảng (1;3), nghịch biến trên các khoảng (–
∞
;1), (3;
+
∞
)
Hàm số ñạt cực ñại
y
Cð
= 4 tại
x
Cð
= 3 ; ñạt cực tiểu
CT
0
y
=
tại
CT
1
x
=
6 12 0 2 2
y x x y
′′
= − + = ⇔ = ⇒ =
. ðiểm uốn là I(2;2)
Giao ñiểm với trục hoành:
3 2
1
0 6 9 4 0
4
x
y x x x
x
=
= ⇔ − + − + = ⇔
=
Giao ñiểm với trục tung:
0 4
x y
= ⇒ =
Bảng giá trị: x 0 1 2 3 4
y 4 0 2 4 0
ðồ thị hàm số: nhận ñiểm I làm trục ñối xứng như hình vẽ bên ñây
Bài 3.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số:
3 2
2 3 1
y x x
= + −
Tập xác ñịnh:
D
=
ℝ
ðạo hàm:
2
6 6
y x x
′
= +
Cho
hoac
2
0 6 6 0 0 1
y x x x x
′
= ⇔ + = ⇔ = = −
Giới hạn:
;
lim lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
Bảng biến thiên
x
–
∞
–1
0
+∞
y
′
+
0
–
0
+
y
0
+∞
–
∞
–1
Hàm số ñồng biến trên các khoảng
( ; 1),(0; )
−∞ − +∞
, nghịc biến trên khoảng
( 1;0)
−
Hàm số ñạt cực ñại y
Cð
= 0 tại
CD
1
x
= −
, ñạt cực tiểu y
CT
= –1 tại
0
x
=
CT
.
1 1
12 6 0
2 2
y x x y
′′
= + = ⇔ = − ⇒ = −
. ðiểm uốn:
1 1
;
2 2
I
− −
Giao ñiểm với trục hoành:
cho hoac
3 2
1
0 2 3 1 0 1
2
y x x x x
= ⇔ + − = ⇔ = − =
Giao ñiểm với trục tung: cho
0 1
x y
= ⇒ = −
Bảng giá trị: x
3
2
−
1
−
1
2
−
0
1
2
y
1
−
0
1
2
−
1
−
0
ðồ thị hàm số: như hình vẽ bên ñây
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Khảo sát hàm bậc ba
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-
Bài 4.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số:
3 2
1
2 3
3
y x x x
= − + −
Tập xác ñịnh:
D
=
ℝ
ðạo hàm:
2
4 3
y x x
′
= − + −
Cho
2
0 4 3 0 1 ; 3
y x x x x
′
= ⇔ − + − = ⇔ = =
Giới hạn:
;
lim lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞
Bảng biến thiên
x
–
∞
1 3
+
∞
y
′
–
0
+
0
–
y
+
∞
0
4
3
−
–
∞
Hàm số ñồng biến trên khoảng (1;3), nghịch biến trên các khoảng (–
∞
;1), (3;
+
∞
)
Hàm số ñạt cực ñại y
Cð
= 0 tại
CD
3
x
=
; ñạt cực tiểu
CT
4
3
y
= −
tại
CT
1
x
=
2
2 4 0 2
3
y x x y
′′
= − + = ⇔ = ⇒ = −
. ðiểm uốn là
(
)
2
3
2;
I
−
Giao ñiểm với trục hoành: cho
3 2
0
1
0 2 3 0
3
3
x
y x x x
x
=
= ⇔ − + − = ⇔
=
Giao ñiểm với trục tung: cho
0 0
x y
= ⇒ =
Bảng giá trị: x 0 1 2 3 4
y 0
4
3
−
2
3
−
0
4
3
−
ðồ thị hàm số: như hình vẽ
Bài 5.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số:
3 2
3 1
y x x
= − + −
Tập xác ñịnh:
D
=
ℝ
ðạo hàm:
2
3 6
y x x
′
= − +
Cho
hoac
2
0 3 6 0 0 2
y x x x x
′
= ⇔ − + = ⇔ = =
Giới hạn:
;
lim lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞
Bảng biến thiên
x
–
∞
0 2
+
∞
y
′
–
0
+
0
–
y
+
∞
3
–1 –
∞
Hàm số ñồng biến trên khoảng (0;2);
nghịch biến trên các khoảng (–
∞
;0), (2;
+
∞
)
Hàm số ñạt cực ñại y
Cð
= 3 tại
CD
2
x
=
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Khảo sát hàm bậc ba
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-
ñạt cực tiểu
CT
1
y
= −
tại
CT
0
x
=
Giao ñiểm với trục tung: cho
0 1
x y
= ⇒ = −
ðiểm uốn:
6 6 0 1 1
y x x y
′′
= − + = ⇔ = ⇒ =
.
ðiểm uốn là I(1;1)
Bảng giá trị: x –1 0 1 2 3
y 3 –1 1 3 –1
ðồ thị hàm số như hình vẽ:
Bài 6.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số:
3
3 1
y x x
= − + +
Tập xác ñịnh:
D
=
ℝ
ðạo hàm:
2
3 3
y x
′
= − +
Cho
2 2
0 3 3 0 1 1
y x x x
′
= ⇔ − + = ⇔ = ⇔ = ±
Giới hạn:
;
lim lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = −∞
Bảng biến thiên
x
–
∞
–1 1
+
∞
y
′
–
0
+
0
–
y
+
∞
3
–1 –
∞
Hàm số ñồng biến trên khoảng (–1;1) ;
nghịch biến trên các khoảng (–
∞
;–1), (1;
+
∞
)
Hàm số ñạt cực ñại y
Cð
= 3 tại tại
CD
1
x
=
ñạt cực tiểu
CT
1
y
= −
tại
CT
1
x
= −
6 0 0 1
y x x y
′′
= − = ⇔ = ⇒ =
.
ðiểm uốn là I(0;1)
Giao ñiểm với trục tung: cho
0 1
x y
= ⇒ =
Bảng giá trị: x –2 –1 0 1 2
y 3 –1 1 3 –1
ðồ thị hàm số như hình vẽ:
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Khảo sát hàm bậc ba
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
a>0
CD
CT
I) Khảo sát hàm số bậc 3:
3 2
a ( 0)
y x bx cx d a
= + + + ≠
a) Quy trình khảo sát:
1. Tập xác ñịnh: R
2. Sự biến thiên:
+) y’ = ?
xét dấu của y’
→
khoảng ñồng biến, nghịch biến
+) Cực trị
+)
lim ?
x
y
→±∞
=
+) Bảng biến thiên
3. ðồ thị:
- Tìm giao với Oy
- Tìm giao với Ox
- Tìm ñiểm phụ (nếu cần)
- Vẽ ñồ thị
b) Bài tập mẫu:
Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số:
1. (ðHKA – 2010):
3 2
2 1
y x x
= − +
2. (ðHKB – 2007):
3 2
3 4
y x x
= − + −
3. (TK 2010):
3
y x x
= − −
4. (TK 2009):
3 2
3 4 2
y x x x
= − + −
c) Tổng kết ñồ thị:
3 2
a ( 0)
y x bx cx d a
= + + + ≠
- ðồ thị gồm có các dạng sau:
KHẢO SÁT HÀM BẬC BA
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Khảo sát hàm bậc ba thuộc khóa học
Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. ðể có thể
nắm vững kiến thức phần Khảo sát hàm bậc ba, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
a<0
CT
CD
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Khảo sát hàm bậc ba
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
- ðồ thị có cực ñại, cực tiểu
' 0
y
⇔ =
có 2 nghiệm phân biệt
- ðồ thị không có cực trị
' 0
y
⇔ =
vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn: Hocmai.vn
a>0
a<0
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Khảo sát hàm trùng phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số:
4 2
4 3
y x x
= − + −
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số:
2 2
(4 )
y x x
= −
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số:
4 2
2 3
y x x
= + −
Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số:
4
2
4
2
x
y x
= − −
Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số:
2 2
( 2) 1
y x
= − −
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khảo sát hàm trùng phương thuộc khóa học
Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm
tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khảo sát hàm trùng phương. ðể sử
dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
Khó
a học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Khảo sát hàm trùng phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số:
4 2
4 3
y x x
= − + −
Tập xác ñịnh:
D
=
ℝ
ðạo hàm:
3
4 8
y x x
′
= − +
Cho
3 2
2 2
0
4 0 0
0 4 8 0 4 ( 2) 0
2 0 2
2
x
x x
y x x x x
x x
x
=
= =
′
= ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ ⇔ ⇔
− + = =
= ±
Giới hạn:
lim lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = −∞
;
Bảng biến thiên
x –∞
2
−
0
2
+∞
y
′
+ 0 – 0 + 0 –
y
1 1
–∞ –3 –∞
Hàm số ñồng biến trên các khoảng
( ; 2),(0; 2)
−∞ −
,
nghịch biến trên các khoảng
( 2;0),( 2; )
− +∞
Hàm số ñạt cực ñại y
Cð
= 1 tại
CD
2
x = ±
, ñạt cực tiểu y
CT
= –3 tại
0
x
=
CT
.
Giao ñiểm với trục hoành: cho
2
4 2
2
1
1
0 4 3 0
3
3
x
x
y x x
x
x
= ±
=
= ⇔ − + − = ⇔ ⇔
= ±
=
Giao ñiểm với trục tung: cho
0 3
x y
= ⇒ = −
Bảng giá trị: x
3
−
2
−
0
2
3
y 0 1 –3 1 0
ðồ thị hàm số:
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số:
2 2
(4 )
y x x
= −
2 2 4 2
(4 ) 4
y x x x x
= − = − +
Tập xác ñịnh:
D
=
ℝ
ðạo hàm:
3
4 8
y x x
′
= − +
KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khảo sát hàm trùng phương thuộc khóa học
Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm
tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khảo sát hàm trùng phương. ðể sử
dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
Khó
a học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Khảo sát hàm trùng phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
Cho
3 2
2 2
0
4 0 0
0 4 8 0 4 ( 2) 0
2 0 2
2
x
x x
y x x x x
x x
x
=
= =
′
= ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ ⇔ ⇔
− + = =
= ±
Giới hạn:
lim lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = −∞
;
Bảng biến thiên
x –
∞
2
−
0
2
+
∞
y
′
+ 0 – 0 + 0 –
y
4 4
–
∞
0 –
∞
Hàm số ñồng biến trên các khoảng
( ; 2),(0; 2)
−∞ −
,
nghịch biên trên các khoảng
( 2;0),( 2; )
− +∞
Hàm số ñạt cực ñại y
Cð
= 4 tại
CD
2
x
= ±
,
ñạt cực tiểu y
CT
= 0 tại
0
x
=
CT
.
Giao ñiểm với trục hoành:
cho
2
4 2
2
0 0
0 4 0
2
4
x x
y x x
x
x
= =
= ⇔ − + = ⇔ ⇔
= ±
=
Giao ñiểm với trục tung: cho
0 0
x y
= ⇒ =
Bảng giá trị: x
2
−
2
−
0
2
2
y 0 0 0 4 0
ðồ thị hàm số như hình vẽ bên ñây:
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số:
4 2
2 3
y x x
= + −
Tập xác ñịnh:
D
=
ℝ
ðạo hàm:
3
4 4
y x x
′
= +
Cho
3
0 4 4 0 0
y x x x
′
= ⇔ + = ⇔ =
Giới hạn: ;
lim lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
Bảng biến thiên
x
–
∞
0
+∞
y
′
– 0 +
y
+∞
+∞
–3
Hàm số ñồng biến trên các khoảng
(0; )
+∞
, nghịch biến trên khoảng
( ;0)
−∞
Hàm số ñạt cực tiểu y
CT
= –3 tại
CT
0
x
=
.
Giao ñiểm với trục hoành:
Cho
2
4 2 2
2
1
0 3 3 0 1 1
3
x
y x x x x
x
=
= ⇔ + − = ⇔ ⇔ = ⇔ = ±
= −
Khó
a học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Khảo sát hàm trùng phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-
x
y
-3
-1
O
1
x
y
-4.5
-2
-4
-1
2
O
1
Giao ñiểm với trục tung: cho
0 3
x y
= ⇒ = −
Bảng giá trị: x –1 0 1
y 0 –3 0
ðồ thị hàm số: như hình vẽ bên ñây
Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số:
4
2
4
2
x
y x
= − −
Tập xác ñịnh:
D
=
ℝ
ðạo hàm:
3
2 2
y x x
′
= −
Cho
3
0
0 2 2 0
1
x
y x x
x
=
′
= ⇔ − = ⇔
= ±
Giới hạn:
;
lim lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞
Bảng biến thiên
x
–
∞
1
−
0 1 +
∞
y
′
– 0 + 0 – 0 +
y
+∞
–4
+∞
9
2
−
9
2
−
Hàm số ñồng biến trên các khoảng
( 1;0),(1; )
− +∞
, nghịch biến trên các khoảng
( ; 1),(0;1)
−∞ −
Hàm số ñạt cực ñại y
Cð
= -4 tại
CD
0
x
=
.
Hàm số ñạt cực tiểu
CT
9
2
y
= −
tại
CT
1
x
= ±
.
Giao ñiểm với trục hoành:
Cho
2
4 2 2
2
4
1
0 4 0 4 2
2
2
x
y x x x x
x
=
= ⇔ − − = ⇔ ⇔ = ⇔ = ±
= −
Giao ñiểm với trục tung: cho
0 4
x y
= ⇒ = −
Bảng giá trị: x –2 –1 0 1 2
y 0 –4,5 –4 –4,5 0
ðồ thị hàm số: như hình vẽ bên ñây
Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số:
2 2
( 2) 1
y x
= − −
2 2 4 2 4 2
( 2) 1 4 4 1 4 3
y x x x x x
= − − = − + − = − +
Tập xác ñịnh:
D
=
ℝ
ðạo hàm:
3
4 8
y x x
′
= −
Cho
3 2
0
0 4 8 0 4 ( 2)
2
x
y x x x x
x
=
′
= ⇔ − = ⇔ − ⇔
= ±
Giới hạn:
;
lim lim
x x
y y
→−∞ →+∞
= +∞ = +∞
Bảng biến thiên
Khó
a học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Khảo sát hàm trùng phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-
x
–
∞
2
−
0
2
+
∞
y
′
– 0 + 0 – 0 +
y
+∞
3
+∞
–1 –1
Hàm số ñồng biến trên các khoảng
( 2; 0),( 2; )
− +∞
,
nghịch biến trên các khoảng
( ; 2),(0; 2)
−∞ −
Hàm số ñạt cực ñại y
Cð
= 3 tại
CD
0
x
=
.
Hàm số ñạt cực tiểu
CT
1
y
= −
tại
CT
2
x
= ±
.
Giao ñiểm với trục hoành:
Cho
2
4 2
2
1
1
0 4 3 0
3
3
x
x
y x x
x
x
= ±
=
= ⇔ − + = ⇔ ⇔
= ±
=
Giao ñiểm với trục tung: cho
0 3
x y
= ⇒ =
Bảng giá trị: x –2 –1 0 1 2
y 3 –1 3 –1 3
ðồ thị hàm số: như hình vẽ bên ñây
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Khảo sát hàm trùng phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
a<0
CD
CD
CT
II) Khảo sát hàm trùng phương:
4 2
a ( 0)
y x bx c a
= + + ≠
a) Quy trình khảo sát:
a) Quy trình khảo sát:
1. Tập xác ñịnh: R
2. Sự biến thiên:
+) y’ = ?
xét dấu của y’
→
khoảng ñồng biến, nghịch biến
+) Cực trị
+)
lim ?
x
y
→±∞
=
+) Bảng biến thiên
3. ðồ thị:
- Tìm giao với Oy
- Tìm giao với Ox
- Tìm ñiểm phụ (nếu cần)
- Vẽ ñồ thị
b) Bài tập mẫu:
Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số
1) ðHKB – 2011:
4 2
4 1
y x x
= − +
2) ðHKD – 2010:
4 2
6
y x x
= − − +
3) TK – 2011:
4 2
1
2
4
y x x
= − + −
4) TK – 2010:
4
2
3
2 2
x
y x
= + −
c) TỔNG KẾT ðỒ THỊ:
4 2
a ( 0)
y x bx c a
= + + ≠
- ðồ thị gồm các dạng sau:
KHẢO SÁT HÀM TRÙNG PHƯƠNG
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Khảo sát hàm trùng phương thuộc khóa
học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. ðể có thể
nắm vững kiến thức phần Khảo sát hàm trùng phương, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài
giảng này.
a>0
CT
CT
CD
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Khảo sát hàm trùng phương
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
a > 0 Cð a < 0
CT
- ðồ thị có Cð, CT (có 3 cực trị)
' 0
y
⇔ =
có 3 nghiệm phân biệt.
- ðồ thị có 1 cực trị
' 0
y
⇔ =
có 1 nghiệm.
- ðồ thị ñối xứng nhau qua Oy.
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn: Hocmai.vn
Khó
a học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Khảo sát hàm phân thức
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số:
2 1
1
x
y
x
−
=
−
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số:
1
x
y
x
=
+
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số:
2 1
1
x
y
x
+
=
−
Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số:
3 2
1
x
y
x
−
=
−
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
KHẢO SÁT HÀM PHÂN THỨC
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khảo sát hàm phân thức thuộc khóa học
Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm
tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khảo sát hàm phân thức. ðể sử dụng
hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
Khó
a học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Khảo sát hàm phân thức
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
x
y
1
2
2,5
3
3
2
-1
O
1
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số:
2 1
1
x
y
x
−
=
−
Tập xác ñịnh:
\ {1}
D
=
ℝ
ðạo hàm:
2
1
0,
( 1)
y x D
x
−
′
= < ∀ ∈
−
Hàm số ñã cho nghịch biến trên các khoảng xác ñịnh và không ñạt cực trị.
Giới hạn và tiệm cận:
;
lim 2 lim 2 2
x x
y y y
→−∞ →+∞
= = ⇒ =
là tiệm cận ngang.
;
1 1
lim lim 1
x x
y y x
− +
→ →
= −∞ = +∞ ⇒ =
là tiệm cận ñứng.
Bảng biến thiên
x
–
∞
1 +
∞
y
′
–
–
y
2
–
∞
+
∞
2
Giao ñiểm với trục hoành:
1
0 2 1 0
2
y x x
= ⇔ − = ⇔ =
Giao ñiểm với trục tung: cho
0 1
x y
= ⇒ =
Bảng giá trị: x –1 0 1 2 3
y 3/2 1 || 3 5/2
ðồ thị hàm số như hình vẽ bên ñây:
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số:
1
x
y
x
=
+
Tập xác ñịnh:
\ { 1}
D
= −
ℝ
ðạo hàm:
2
1
0,
( 1)
y x D
x
′
= > ∀ ∈
+
Hàm số ñồng biến trên các khoảng xác ñịnh và không ñạt cực trị.
Giới hạn và tiệm cận:
;
lim 1 lim 1 1
x x
y y y
→−∞ →+∞
= = ⇒ =
là tiệm cận ngang.
;
( 1) ( 1)
lim lim 1
x x
y y x
− +
→ − → −
= +∞ = −∞ ⇒ = −
là tiệm cận ñứng.
Bảng biến thiên
KHẢO SÁT HÀM PHÂN THỨC
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Khảo sát hàm phân thức thuộc khóa học
Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các Bạn kiểm
tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Khảo sát hàm phân thức. ðể sử dụng
hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
Khó
a học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Khảo sát hàm phân thức
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
x
y
1
-1
O
1
2
-2
0.5
x
y
5
4
3
1
-2
4
2
2
1
-1
O
x
–
∞
1
−
+
∞
y
′
+ +
y
+∞
1
1
−∞
Giao ñiểm với trục hoành: cho
0 0
y x
= ⇔ =
Giao ñiểm với trục tung: cho
0 0
x y
= ⇒ =
Bảng giá trị: x
3
−
2
−
1
−
0 1
y 1,5 2 || 0 0,5
ðồ thị hàm số như hình vẽ bên ñây:
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số:
2 1
1
x
y
x
+
=
−
Tập xác ñịnh:
\ {1}
D
=
ℝ
ðạo hàm:
2
3
0,
( 1)
y x D
x
−
′
= < ∀ ∈
−
Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng xác ñịnh và không ñạt cực trị.
Giới hạn và tiệm cận:
;
lim 2 lim 2 2
x x
y y y
→−∞ →+∞
= = ⇒ =
là tiệm cận ngang.
;
1 1
lim lim 1
x x
y y x
− +
→ →
= −∞ = +∞ ⇒ =
là tiệm cận ñứng.
Bảng biến thiên
x
–
∞
1 +
∞
y
′
+ +
y
2
−∞
+∞
2
Giao ñiểm với trục hoành: cho
1
0
2
y x
= ⇔ = −
Giao ñiểm với trục tung: cho
0 1
x y
= ⇒ = −
Bảng giá trị: x –2 0 1 2 4
y 1 –1 || 4 5
ðồ thị hàm số như hình vẽ bên ñây:
Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số:
3 2
1
x
y
x
−
=
−
Hàm số:
3 2 2 3
1 1
x x
y
x x
− − +
= =
− −
Tập xác ñịnh:
\ {1}
D
=
ℝ
ðạo hàm:
2
1
0,
( 1)
y x D
x
−
′
= < ∀ ∈
−
Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác ñịnh và không ñạt cực trị.
Giới hạn và tiệm cận:
;
lim 2 lim 2 2
x x
y y y
→−∞ →+∞
= − = − ⇒ = −
là tiệm cận ngang.
Khó
a học LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Khảo sát hàm phân thức
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-
x
y
1
-4
-1
-2
-3
2O
;
1 1
lim lim 1
x x
y y x
− +
→ →
= −∞ = +∞ ⇒ =
là tiệm cận ñứng.
Bảng biến thiên
x
–
∞
1 +
∞
y
′
– –
y
–
2
–
∞
+
∞
–2
Giao ñiểm với trục hoành:
3
0 2 3 0
2
y x x
= ⇔ − + = ⇔ =
Giao ñiểm với trục tung: cho
0 3
x y
= ⇒ = −
Bảng giá trị: x 0 1/2 1 3/2 2
y –3 –4 || 0 –1
ðồ thị hàm số như hình vẽ bên ñây:
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Khảo sát hàm phân thức
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
III) Khảo sát hàm:
( , 0)
ax b
y a c
cx d
+
= ≠
+
a) Quy trình khảo sát
1. Tập xác ñịnh
2. Sự biến thiên:
+) Chiều biến thiên: y’ = ?
→
khoảng ñơn ñiệu
+) Giới hạn – Tiệm cận:
lim
x
→±∞
= ?, TCN: y = ?
lim
d
x
c
y
→−
= ?, TCð: x = ?
+) Bảng biến thiên
3. ðồ thị:
- Tìm giao với Oy
- Tìm giao với Ox
- Vẽ ñồ thị
b) Bài tập mẫu:
Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số: 1) ðHKD – 2011:
2 1
1
x
y
x
+
=
+
2) ðHKA – 2011:
1
2 1
x
y
x
− +
=
−
c) TỔNG KẾT ðỒ THỊ:
( , 0)
ax b
y a c
cx d
+
= ≠
+
- ðồ thị gồm các dạng sau:
- ðồ thị ñối xứng nhau qua giao ñiểm 2 ñường tiệm cận.
Nguồn: Hocmai.vn
KHẢO SÁT HÀM PHÂN THỨC
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là tài liệu tóm lược các kiến thức ñi kèm với bài giảng Khảo sát hàm phân thức thuộc khóa học
Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. ðể có thể
nắm vững kiến thức phần Khảo sát hàm phân thức, Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng
này.
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị tuyệt ñối
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài tập có hướng dẫn giải:
Bài 1. Vẽ ñồ thị hàm số (C):
3 2
y=x 3 4
x
+ −
. Từ ñó suy ra ñồ thị hàm số: (C’):
2
y=( 2) 1
x x
+ −
Bài 2. Vẽ ñồ thị hàm số (C):
3 2
y=x 3 2
x
− +
. Từ ñó suy ra ñồ thị hàm số (C’):
2
y=( 2 2) 1
x x x
− − −
Bài 3. Vẽ ñồ thị hàm số (C):
4 2
y=x 4 3
x
− +
. Từ ñó suy ra ñồ thị (C’):
4 2
y= x 4 3
x
− +
Bài 4.
Vẽ ñồ thị hàm số (C):
4 2
y=2x 4
x
−
. Từ ñó suy ra ñồ thị (C’):
4 2
y= 2x 4
x
−
Bài 5.
Vẽ ñồ thị hàm số (C):
3 2
y=2x 9 12 4
x x
− + −
.
Bài 6.
Vẽ ñồ thị hàm số (C):
3
y=x 3 2
x
− +
.
Từ ñó suy ra ñồ thị hàm số:
a.
(C’):
3
y= x 3 2
x
− +
b.
(C’’):
3
y= x 3 2
x
− +
c.
(C’’’):
3
y =x 3 2
x
− +
Bài tập tự giải:
Bài 1.
Vẽ ñồ thị hàm số (C):
3
y = x 9 10
x
+ −
. Từ ñó suy ra ñồ thị hàm số:
a.
(C’):
3
y = x 9 10
x
+ −
b.
(C’’):
3
y = x 9 10
x
+ −
Bài 2.
Vẽ ñồ thị hàm số (C):
4 2
y = x 5 4
x
− +
. Từ ñó suy ra ñồ thị hàm số: (C’):
4 2
y = x 5 4
x
− +
Bài 3.
Vẽ ñồ thị hàm số (C):
2 1
y =
1
x
x
+
−
. Từ ñó suy ra ñồ thị hàm số:
a.
(C’):
2 1
y =
1
x
x
+
−
b. (C’’):
2 1
y =
1
x
x
+
−
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn
VẼ ðỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị tuyệt ñối thuộc
khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các
Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị
tuyệt ñối. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị tuyệt ñối
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-
Bài 1. Vẽ ñồ thị hàm số (C):
3 2
y = 3 4
x x
+ −
. Từ ñó suy ra ñồ thị hàm số: (C’):
2
y=( 2) 1
x x
+ −
Lời giải:
Tập xác ñịnh D=R.
2
' 3 6 0 0, 2.
y x x x x
= + = ⇔ = = −
Ta có bảng biến thiên:
ðồ thị hàm số
3 2
y=x 3 4
x
+ −
Xét
3 2
2
3 2
3 4 khi 1
y=( 2) 1
( 3 4) khi 1
x x x
x x
x x x
+ − ≥
+ − =
− + − <
Suy ra ñồ thị hàm số (C’) gồm phần ñồ thị hàm số (C)
ứng với x > 1 và ñối xứng phần ñồ thị (C) ứng với x < 1 qua trục hoành.
Ta có ñồ thị như sau:
VẼ ðỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI
ðÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Các bài tập trong tài liệu này ñược biên soạn kèm theo bài giảng Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị tuyệt ñối thuộc
khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn ñể giúp các
Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức ñược giáo viên truyền ñạt trong bài giảng Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị
tuyệt ñối. ðể sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau ñó làm ñầy ñủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị tuyệt ñối
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-
Bài 2.
Vẽ ñồ thị hàm số (C):
3 2
y = 3 2
x x
− +
. Từ ñó suy ra ñồ thị hàm số (C’):
2
y=( 2 2) 1
x x x
− − −
Lời giải:
Tập xác ñịnh D=R.
2
' 3 6 0 0, 2.
y x x x x
= − = ⇔ = =
\
Bảng biến thiên:
ðồ thị hàm số (C):
Xét:
3 2
2
3 2
3 2 khi 1
y=( 2 2) 1
( 3 2) khi 1
x x x
x x x
x x x
− + ≥
− − − =
− − + <
Suy ra ñồ thị hàm số (C’):
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị tuyệt ñối
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-
Bài 3.
Vẽ ñồ thị hàm số (C):
4 2
y=x 4 3
x
− +
. Từ ñó suy ra ñồ thị (C’):
4 2
y= x 4 3
x
− +
Lời giải:
Tập xác ñịnh D=R.
3
' 4 8 0 0, 2.
y x x x x= − = ⇔ = = ±
Bảng biến thiên:
ðồ thị hàm số (C):
Xét:
4 2
4 2
4 2
3
x 4 3 khi 1 1
3
y= x 4 3
1 3
-(x 4 3) khi
3 1
x
x x
x
x
x
x
x
≥
− + − ≤ ≤
≤ −
− + =
< <
− +
− < < −
Do ñó ñồ thị của (C’) như sau:
Khóa h
ọc LTðH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Vẽ ñồ thị chứa dấu giá trị tuyệt ñối
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-
Bài 4. Vẽ ñồ thị hàm số (C):
4 2
y=2x 4
x
−
. Từ ñó suy ra ñồ thị (C’):
4 2
y= 2x 4
x
−
Lời giải:
Tập xác ñịnh D=R.
3
' 8 8 0 0, 1.
y x x x x
= − = ⇔ = = ±
Bảng biến thiên:
ðồ thị hàm số (C):
Ta có:
4 2
4 2
4 2
2
2x 4 khi
y= 2x 4
2
-(2x 4 ) khi 2 2
x
x
x
x
x x
≥
−
− =
≤ −
− − < < −
Từ ñó ta có ñồ thị (C’):
