chuyên đề tổ hợp và xác suất - lê bá trần phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
LỚP TOÁN VB2-K2



























LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1: Một giáo viên muốn ra đề kiểm tra 45p môn toán phần tổ hợp - xác suất. Trong ngân hàng câu hỏi
có 5 chủ đề, mỗi chủ đề có 4 câu. Để ra đề kiểm tra 45p gồm 5 câu và bao gồm tất cả các chủ đề thì giáo
viên có bao nhiêu cách ra đề ?
Bài 2: Có 3 bạn nữ và 3 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các bạn đó vào 1 hàng dọc sao cho nam
nữ đứng xe kẽ nhau ?
Bài 3: Một lớp có 7 học sinh giỏi toán, 5 học sinh giỏi văn, 6 học sinh giỏi lý. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
ra 1 nhóm :
a. Gồm 1 học sinh giỏi bất kỳ ?
b. Gồm 3 học sinh giỏi trong đó có tất cả học sinh giỏi của cả 3 môn ?
c. Gồm 2 học sinh giỏi khác nhau ?
Bài 4: cho các số tự nhiên sau : 1,2,5,6,7,9
a. Hỏi lập được bao số lẻ có 3 chữ số khác nhau ?
b. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 ?
c. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2 ?
Bài 5: Cho các số tự nhiên 0,2,3,5,6,9
a. Hỏi lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau ?
b. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3 ?
a. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 601 ?

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 1. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Hai quy tắc đếm cơ bản thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Hai quy tắc đếm cơ bản Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học
trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1: Một giáo viên muốn ra đề kiểm tra 45p môn toán phần tổ hợp - xác suất. Trong ngân hàng câu hỏi
có 5 chủ đề, mỗi chủ đề có 4 câu. Để ra đề kiểm tra 45p gồm 5 câu và bao gồm tất cả các chủ đề thì giáo
viên có bao nhiêu cách ra đề ?
Giải
Vì đề kiểm tra có 5 câu và bao gồm 5 chủ đề nên để thành lập đề kiểm tra mỗi chủ đề ta lấy một câu hỏi.
Chọn 1 câu hỏi trong chủ đề 1 có 4 cách chọn.
Tương tự đối với các chủ đề 2; 3; 4; 5.
Nên số cách ra đề là:
5

4.4.4.4.4 4
cách.
Bài 2: Có 3 bạn nữ và 3 bạn nam. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các bạn đó vào 1 hàng dọc sao cho nam
nữ đứng xe kẽ nhau ?
Giải
Vị trí thứ nhất có 6 cách lựa chọn. (nam hoặc nữ)
Vị trí thứ hai có 3 cách lựa chọn. (nếu vị trí thứ nhất là nam thì bắt buộc vị trí thứ 2 phải chọn 1 trong 3 bạn
nữ và ngược lại.)
Vị trí thứ ba có 2 cách lựa chọn.
Vị trí thứ 4 sẽ có 2 cách lựa chọn.
Vị trí thứ 5 có 1 cách lựa chọn.
Vị trí thứ 6 chỉ có 1 cách lựa chọn.
Nên có
6.3.2.2.1 72
cách.
Bài 3: Một lớp có 7 học sinh giỏi toán, 5 học sinh giỏi văn, 6 học sinh giỏi lý. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
ra 1 nhóm :
a. Gồm 1 học sinh giỏi bất kỳ ?
BÀI 1. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Hai quy tắc đếm cơ bản thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Hai quy tắc đếm cơ bản Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học
trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


b. Gồm 3 học sinh giỏi trong đó có tất cả học sinh giỏi của cả 3 môn ?
c. Gồm 2 học sinh giỏi khác nhau ?
Giải
a. Số cách chọn 1 học sinh giỏi trong lớp là:
7 5 6 18  
(cách).
b. Số cách chọn 1 học sinh giỏi toán là 7 cách.
Số cách chọn 1 học sinh giỏi văn là 5 cách.
Số cách chọn 1 học sinh giỏi lý là 6 cách.
Nên số cách chọn một nhóm gồm 3 học sinh giỏi trong đó có tất cả các môn là:
7.5.6 210
cách.
c. Số cách chọn 2 học sinh trong đó một giỏi toán, một giỏi văn là
7.5 35
cách.
Số cách chọn 2 học sinh trong đó một giỏi toán, 1 giỏi lý là
7.6 42
cách.
Số cách chọn 2 học sinh trong đó một giỏi lý, 1 giỏi văn là
5.6 30
cách.
Vậy số cách chọn ra một nhóm gồm 2 học sinh giỏi là
35 30 42 107  
cách.
Bài 4: cho các số tự nhiên sau: 1,2,5,6,7,9
a. Hỏi lập được bao số lẻ có 3 chữ số khác nhau ?
b. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 ?

c. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2 ?
Giải
a. Gọi số cần lập là
 
0abc a 
.
Vì số cần lập là số lẻ nên c có thể là
1;5;7;9 
c có 4 cách chọn.
Vì a; b ;c khác nhau nên b có 5 cách chọn và a có 4 cách chọn.
Vậy số số lẻ có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là
4.5.3 60
số.
b. Gọi số cần lập là
 
0abc a 
.
Vì số cần lập là số chia hết cho 5 nên c có thể là
5
c có 1 cách chọn.
Vì a; b ;c khác nhau nên b có 5 cách chọn và a có 4 cách chọn.
Vậy số số lẻ có 3 chữ số khác nhau được thành lập từ các số trên là
5.3 15
số.
c. Các số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2 có các dạng sau:
2 ; 2 ; 2.ab a b ab

Dạng
2ab
có:

6.6 36
số.
Dạng
2ab
có:
6.6 36
số.
Dạng
2ab
có:
6.6 36
số.
Vậy số số tự nhiên có 3 chữ số mà có mặt chữ số 2 thành lập từ các số đã cho là:
36 36 36 108  
số

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -


Bài 5: Cho các số tự nhiên 0,2,3,5,6,9
a. Hỏi lập được bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số khác nhau ?
b. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 3 ?
a. Hỏi lập được bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn 601 ?
Giải
Ta phân các số trên thành 2 nhóm:

Nhóm 1 gồm các số
 
2;5
.
Nhóm 2 gồm các số
 
0;3;6;9
.
Gọi số cần lập là
abc
thỏa mãn
 
33abc a b c   
a; b; c sẽ không đồng thời thuộc cả hai nhóm trên.
Số các số chia hết cho 3 có 2 chữ số được thành lập từ nhóm 1 là:
+ Có 3 chữ số giống nhau có 2 số.
+ Có 1 chữ số 2 và 2 chữ số 5 có 3 số. (có 3 cách chọn vị trí để chữ số 5 có 1 cách chọn để vị trí 2 chữ số 2).
+ Có 1 chữ số 5 và 2 chữ số 2 có 3 số.
Vậy từ nhóm 1 ta thành lập được 2 + 3 + 3 = 8 số chia hết cho 3.
Số các số chia hết cho 3 lập được từ nhóm thứ 2 là:
+ Có 3 cách chọn chữ số a.
+ Có 4 cách chọn chữ số b.
+ Có 4 cách chọn chữ số c.
Vậy có tất cả
3.4.4 48
số có 3 chữ số được thành lập từ nhóm 2 chia hết cho 3.
Vậy số các số chia hết cho 3 được thành lập từ các chữ số đã cho là
48 8 56
số.
b. Gọi số cần lập là

abc
thỏa mãn
601.abc 

Vì
601abc 
nên a chỉ có 2 cách chọn. (
6a 
hoặc
9a 
).
Chữ số b có 6 cách chọn.
Chữ số c có 6 cách chọn.
Vậy có tất cả
6.6.2 72
số
601abc 
được thành lập từ các số trên.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -

I. Quy tắc cộng
Định nghĩa : G/S 1 công việc được hoàn thành (thực hiện) theo 1 trong n phương án khác nhau :
- Phương án 1: m
1
cách thực hiện
- Phương án 2: m
2
cách thực hiện
………………………………………………
- Phương án n: m
n
cách thực hiện
(Lưu ý: các cách thực hiện của phương án này không trùng bất kì cách nào của phương án kia)
Khi đó công việc được hoàn thành bởi:
12
m
n
mm  
cách.
Ví dụ 1. Một nhóm học sinh gồm 9 nam và 6 nữ. Giáo viên cần chọn 1 học sinh làm trực nhật. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn.
Ví dụ 2. Trong 1 cuộc thi tìm hiểu về đất nược Việt Nam người ta đưa ra: 10 đề tài về lịch sử, 8 đề tài
về thiên nhiên, 5 đề tài vè con người, 3 đề tài về văn hoá. Mỗi học sinh chỉ được chọn 1 đề tài. Hỏi mỗi
học sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài.
Ví dụ 3. Từ các chữ số tự nhiên 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác
nhau?
II. Quy tắc nhân
Định nghĩa : G/S 1 công việc được hoàn thành (thực hiện) bởi n hành động liên tiếp:
- Hành động thứ 1: có k

1
cách thực hiện
- Hành động thứ 2: có k
2
cách thực hiện
………………………………………………
- Hành động thứ n: có k
n
cách thực hiện
Khi đó có
12
k .k
n
k
cách hoàn thành công việc.
Ví dụ 1. Từ thành phố A đến thành phố B có 2 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 3 con
đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến C (qua B).
BÀI 1. HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 1. Hai quy tắc đếm cơ bản thuộc khóa học LTĐH KIT-
1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 1. Hai quy tắc
đếm cơ bản. Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Ví dụ 2. Có 18 đội bóng tham gia thi đấu. Hỏi có bao nhiêu cách trao 3 loại huy chương vàng, bạc đồng
cho 3 đội nhất, nhì, ba. Biết rằng mỗi đội chỉ có thể nhận nhiều nhất 1 huy chương và đội nào cũng có
thể đoạt huy chương.
Ví dụ 3. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau?




Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển
7
3
4
1

,0xx
x





Bài 2. Tìm hệ số của
5/3
x
trong khai triển:
3
3
2
2
,0
n
xx
x




, biết n là số nguyên dương thoả mãn:

 
4 2 1 2
21
2
n n n

n n n
C C n C
  

  

Bài 3. Cho khai triển
 
2
2 2 *
0 1 2 2
1 3. ,
n
n
n
x a a x a x a x n N      

Tính hệ số
9
a
biết n thoả mãn hệ thức:
23
2 14 1
3.
nn
C C n


Bài 4. Tìm số hạng không chứa
x

trong khai triển
2
1
2 , 0
2
n
xx
x




. Biết
*
nN
và
12
2 90
nn
CC



Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn

BÀI 4. NHỊ THỨC NEWTON (PHẦN 1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 4. Nhị thức Newton (Phần 1) thuộc khóa học

LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 4. Nhị thức Newton (Phần 1) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -



Bài 1. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển
7
3
4
1
,0xx
x





Giải:
Ta có:
 
7

28 7
77
7
33
12
77
44
00
11
x
k
k
kk
kk
x C x C x
xx



   
  
   
   


Số hạng không chứa
x
là số hạng tương ứng với
k
thoản mãn:

28 7
04
12
k
k

  

Vậy số hạng không chứa
x
trong khai triển là:
4
7
35C 
(số hạng thứ 5)
Bài 2. Tìm hệ số của
5/3
x
trong khai triển:
3
3
2
2
,0
n
xx
x





, biết n là số nguyên dương thoả mãn:

 
4 2 1 2
21
2
n n n
n n n
C C n C
  

  

Giải:
Ta có:
 
4 2 1 2
21
2
n n n
n n n
C C n C
  

  

 
 
    

42
4
2 5 4 2 1
2 1 4 2 1
n
n
n n n
n n n


    
    

   
4
4
1 2 4 2 0
1 ( )
2
2 (*)
4
n
n
nn
n loai
n



    











Ta nhận thấy phương trình (*) có một nghiệm
5x 
, mặt khác vế trái là hàm đồng biến còn vế phải là hàm
nghịch biến, nên (*) có nghiệm duy nhất
5n

Khi
5n 
thì:


15
15
15
33
22
15
0
22
.

k
k
k
k
x C x
xx


   

   
   


=
30 5
15
3
15
0
2
k
kk
k
Cx




Mỗi số hạng trong khai triển đều có dạng

30 5
3
15
2
x
kk
Cx

, trong đó
15
2
kk
C
là hệ số của
30 5
3
x
x

.
Do đó hệ số của
5/3
x
ứng với:
30 5 5
33
x

5k
.

BÀI 4. NHỊ THỨC NEWTON (PHẦN 1)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 4. Nhị thức Newton (Phần 1) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 4. Nhị thức Newton (Phần 1) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


Vậy hệ số của
5/3
x
là
55
15
2C

Bài 3. Cho khai triển
 
2
2 2 *
0 1 2 2
1 3. ,
n

n
n
x a a x a x a x n N      

Tính hệ số
9
a
biết n thoả mãn hệ thức:
23
2 14 1
3.
nn
C C n


Giải:
Ta có:
   
23
2 14 1 2 14 1
! 3. !
3.
2! 2 ! 3! 3
nn
nn
C C n n
nn
    


2
7 18 0 9n n n     

Với
9n 
, ta có:
   
18
18
18
0
1 3. 3
k
kk
k
x C x

  


Hệ số
9
a
là hệ số của
9
x
và ta có:
 
9
9

9 18
3aC

Bài 4. Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển
2
1
2 , 0
2
n
xx
x




. Biết
*
nN
và
12
2 90
nn
CC

Giải:
Ta có
 
12

1
2 90 2 90
2
nn
nn
C C n

    

2
3 180 0
15 ( )
12
nn
n loai
n
   







12
12 12
12 12 3 12 3
12 12
22
00

11
2 (2 ) .2 .
22
k
k k k k k
kk
x C x C x
xx
  

   
   
   
   


Mỗi số hạng trong triển khai đều có dạng:
12 3 12 3
12
.2 .
k k k
Cx

. Trong đó
12 3
12
.2
kk
C


là hệ số của
12 3k
x

.
Số hạng không chứa
x
ứng với
12 3 0 4kk   

Vậy số hạng không chứa
x
cần tìm là
4
12
C



Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -

I. Công thức
+
!
,0
!( )!
k
n
n
C k n
k n k
  


+
0
()
n
n k n k k
n
k
a b C a b





Ví dụ 1 (ĐHKA – 2002). Tìm
àn v x

biết
31
5
nn
CC
và số hạng thứ tư trong khai triển
1
3
2
22
n
x
x





bằng
20n.
Ví dụ 2 (ĐHKA – 2012). Tìm số hạng chứa
5
x
trong khai triển
2
1
;0
14
n
nx

x
x




biết
13
5,
n
nn
C C n Z



Ví dụ 3. Tìm số hạng chứa a và b có số mũ bằng nhau trong khai triển
21
3
3
( , 0)
ab
ab
ba






Ví dụ 4. Tìm số hạng không chứa

x
trong khai triển:
28
3
15
n
x x x





biết
12
79
n n n
n n n
C C C

  

Ví dụ 5. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển
   
30 31
33
))a x xy b x xy



Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng

Nguồn: Hocmai.vn

BÀI 4. NHỊ THỨC NEWTON (PHẦN 1)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 4. Nhị thức Newton (Phần 1) thuộc khóa học LTĐH
KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 4. Nhị
thức Newton (Phần 1). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1. Tìm hệ số của
6
x
trong khai triển
3
1
n
x
x





, biết tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024.
Bài 2. Tìm hệ số của
2
x
trong khai triển
 
6
2
1xx

Bài 3 Tìm hệ số của
3
x
trong khai triển:
2
2
,0
n
xx
x




, biết:
1 3 2 1 23
2 2 2

2
n
n n n
C C C

   

Bài 4. Tìm các giá trị của
x
trong khai triển:
 
 
lg 10 3
2 lg3
5
22
x
n
x






, biết rằng số hạng thứ 6 của khai
triển bằng 21 và:
1 3 2
2
n n n

C C C



Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 5. NHỊ THỨC NEWTON (PHẦN 2)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 5. Nhị thức Newton (Phần 2) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 5. Nhị thức Newton (Phần 2) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1. Tìm hệ số của
6
x
trong khai triển
3
1
n

x
x




, biết tổng các hệ số trong khai triển bằng 1024.
Giải:
Điều kiện:
0x 

Ta có:
 
3 3 4
00
11
.
n n k
nn
k
k k k n
nn
kk
x C x C x
xx



   
  

   
   


=
0 1 4 2 8 3 12 3
4
n n n n n
n n n n n
C C x C C x C x
  
    

Theo giả thiết ta có:
0 1 2 3
1024
n
n n n n n
C C C C C     

 
10
1 1 1024 2 1024 2 10
n
n
n      

Do đó, ta có:
10
10

3 4 10
10
0
1
kk
k
x C x
x








Mỗi số hạng trong khai triển đều có dạng
4 10
10
kk
Cx

, trong đó
10
k
C
là hệ số của
4 10k
x


.
Số hạng có
6
x
tương ứng với
4 10 6 4kk   
.
Vậy hệ số của
6
x
trong khai triển đã cho là
4
10
C

Bài 2. Tìm hệ số của
2
x
trong khai triển
 
6
2
1xx

Giải:
Ta có:
 
   
6
6

6
2 2 6
6
0
1 1 . . 1
k
kk
k
x x x x C x x



      



         
2 4 5 6
0 6 1 5 2 4 3 3 3 4 2 5 6
6 6 6 6 6 6 6
1 1 ( 1) 1 1 1C x C x x C x x C x x C x x C x x C x            

Vậy hệ số của
6
x
trong khai triển là:
 
6
0 1 2 3 4 5 6 6
6 6 6 6 6 6 6

1 1 2 64C C C C C C C          

Bài 3 Tìm hệ số của
3
x
trong khai triển:
2
2
,0
n
xx
x




, biết:
1 3 2 1 23
2 2 2
2
n
n n n
C C C

   

Giải:
Ta có:
 
2

0 1 2 3 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1
n
nn
n n n n n n
C C C C C C

       

 
2
0 1 2 3 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1
n
nn
n n n n n n
C C C C C C

       

Trừ hai vế ta có:
2 1 3 2 1
2 2 2
2 2( )
nn
n n n
C C C


   

BÀI 5. NHỊ THỨC NEWTON (PHẦN 2)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 5. Nhị thức Newton (Phần 2) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 5. Nhị thức Newton (Phần 2) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -



1 3 2 1 2 1
2 2 2
2
nn
n n n
C C C

    

Do đó ta có:
1 3 2 1 23
2 2 2

2 2 1 23 12
n
n n n
C C C n n

        

Với
12n 
, thì:
 
12
12 12
12
2 2 24 3
12 12
0
22
2
k
k
k k k k
kk
x C x C x
xx



   
  

   
   


Mỗi số hạng trong khai triển đều có dạng
24 3
12
2
k k k
Cx

, trong đó
12
2
kk
C
là hệ số của
24 3k
x

.
Số hạng chứa
3
x
tương ứng với
24 3 3 7kk   

Vậy hệ số của
3
x

cần tìm là
77
12
2 C

Bài 4. Tìm các giá trị của
x
trong khai triển:
 
 
lg 10 3
2 lg3
5
22
x
n
x






, biết rằng số hạng thứ 6 của khai
triển bằng 21 và:
1 3 2
2
n n n
C C C

Giải:
Điều kiện
10 3 0
x


Ta có:
    
1 3 2
2 1 1 .
2 2.
62
  
    
n n n
n n n n n
C C C n

2
2
9 14 0
7


    



n
nn

n

+) Với
2n 
thì khai triển trên không có số hạng thứ 6 nên
2n 
loại
+) Với
7n 
ta có:
 
 
 
 


77
7
lg 10 3 lg 10 3
2 lg3 2 lg3
55
7
0
2 2 2 2
xx
k
k
xx
k
k

C




   

   
   


 
 
2
7
7
.lg3
lg 10 3
5
2
7
0
.2 .2
x
kk
k
k
k
C







Số hạng thứ 6 trong khai triển ứng với
5k 
, mà theo giả thiết thì số hạng thứ 6 bằng 21 nên ta có:
 
 
 
 
lg 10 3 lg 10 3 2 lg3
2 .lg3
5
7
.2 .2 21 2 1
   

  
xx
x
x
C

 
 
 
 
2

2
lg 10 3 2 lg3 0
lg 10 3 lg3 0
lg 10 3 .3 0


    
   

  

x
xx
xx
x

 
2
2 2 2
2
10 3 .3 1
10.3 3 1
33
10. 1
99
xx
xx
xx



  
  
  

2
3 10.3 9 0
xx
   


3 1 0
2
39
x
x
x
x










(thỏa mãn)
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




I. Công thức
+
!
,0
!( )!
k
n
n
C k n
k n k
  


+
0
()
n
n k n k k
n
k

a b C a b





II. Bài tập
Dạng 1: Tìm hệ số trong khai triển Niutơn
Ví dụ 1. Tìm hệ số của
31
x
trong khai triển
40
2
1
,0xx
x




.
Ví dụ 2 (ĐHKA – 2005) Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển
5
3
1
,0

n
xx
x




biết
1
43
7( 3)
nn
nn
C C n


  

Ví dụ 3. Tìm hệ số của
7
x
trong khai triển
2
(2 3 )
n
x
biết:
1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1024

n
n n n n
C C C C

   
    

Ví dụ 4 (ĐHKA – 2006). Tìm hệ số của
26
x
trong khai triển
7
4
1
;0
n
xx
x





Biết
1 2 3 20
2 1 2 1 2 1 2 1
2 1
n
n n n n
C C C C

   
     

Ví dụ 5. Tìm hệ số của
12
x
trong khai triển
2
( 1)
n
x 
biết rằng tổng tất cả các hệ số trong khai triển bằng
1024.
Ví dụ 6. Tìm hệ số của
5
x
trong khai triển
4 5 6 7
( ) (2 1) (2 1) (2 1) (2 1)P x x x x x       

Ví dụ 7 (ĐHKA – 2005) Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển
8
2
1 (1 )xx




.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn

BÀI 5. NHỊ THỨC NEWTON (PHẦN 2)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 5. Nhị thức Newton (Phần 2) thuộc khóa học LTĐH
KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 5. Nhị
thức Newton (Phần 2). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1 (ĐHKA 2007): Tìm hệ số của số hạng chứa
10
x
trong khai triển:
 
2
n

x
, biết:

0 1 1 2 2 3 3
3 3 3 3 ( 1) 2048
n n n n n n
n n n n n
C C C C C
  
      

Bài 2 (ĐHKA 2008): Cho khai triển
2
0 1 2
(1 2 )
nn
n
x a a x a x a x     
, trong đó
*
nN
và các hệ số
Bài 3. Tìm hệ số của
33n
x

trong khai triển
2
( 1) .( 2)
nn

xx
. Gọi hệ số đó là
33n
a

, tìm
n
để
33
26
n
an


.
Bài 4. Khai triển:
2 3 20
( ) 1(1 ) 2(1 ) 3(1 ) 20(1 )p x x x x x        

Ta được:
2 20
0 1 2 20
( ) p x a a x a x a x    
. Tìm
19
a

Bài 5. Tìm
*
nZ

, sao cho
0 1 2
2
1 1 1
3 ( 1) 512
3 3 3
nn
n n n n
n
C C C C

     



Bài 6. CMR:
 
0 2 2 4 4 2 2 2 1 2
2 2 2 2
.3 .3 .3 2 2 1
n n n n
n n n n
C C C C

     

Bài 7. CMR:
1 1 2 2 3 3 4 4 1
2 2.2 3.2 4.2 .3
n n n n n n

n n n n n
C C C C nC n
    
     

Bài 8. Tính tổng:
0 1 2 2013
2013 2013 2013 2013
2 3 2014S C C C C    

Bài 9. CMR:
1
0 1 2
1 1 1 2 1

2 3 1 1
n
n
n n n n
C C C C
nn


    


Bài 10. (ĐHKD 2003). Tính tổng:
2 3 1
0 1 2
2 1 2 1 2 1

2 3 1
n
n
n n n n
S C C C C
n

  
    







Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn : Hocmai.vn
BÀI 6. NHỊ THỨC NEWTON (PHẦN 3)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 6. Nhị thức Newton (Phần 3) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 6. Nhị thức Newton (Phần 3) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1 (ĐHKA 2007): Tìm hệ số của số hạng chứa
10
x
trong khai triển:
(2 )
n
x
, biết:

0 1 1 2 2 3 3
3 3 3 3 ( 1) 2048
n n n n n n
n n n n n
C C C C C
  
      

Giải:
Ta có:
0 1 1 2 2 3 3
3 3 3 3 ( 1) (3 1) 2
n n n n n n n n
n n n n n
C C C C C

  
        

Do đó, từ giả thiết suy ra n = 11
11
11 11
11
0
(2 ) 2 .
k k k
k
x C x


  


Hệ số của số hạng chứa
10
x
là
10 1
11
2 22C 

Bài 2 (ĐHKA 2008): Cho khai triển
2
0 1 2
(1 2 )
nn

n
x a a x a x a x     
, trong đó
*
nN
và các hệ số
0 1 2
, , , ,
n
a a a a
thoả mãn hệ thức:
1
0
4096
22
n
n
a
a
a    
. Tìm số lớn nhất trong các số
0 1 2
, , , ,
n
a a a a

Giải:
Ta có:
0 1 2 2 2
0

(1 2 ) 2 2 2 2
n
n k k k n n n
n n n n n
k
x C x C C x C x C x

      


12
0
2
0 1 2
12
4096
2 2 2
4096
(1 1) 4096 2 2 12
n
n
n
n n n n
nn
a
aa
a
C C C C
n
     

     
      

Do đó bài toán tương đương: Cho khai triển
12 2 12
0 1 2 12
(1 2 ) x a a x a x a x     
. Tìm số lớn nhất trong
các số
0 1 2 12
, , , ,a a a a

Ta có:
12
12
12
0
(1 2 ) 2
k k k
k
x C x




Đặt:
12
2
kk
k

aC

- Xét bất phương trình:
11
1 12 12
23
2 .2
3
k k k k
kk
a a C C k


    
mà
kZ
=>
7k 
.
Do đó
0 1 2 3 4 5 6 7
a a a a a a a a      

Xét bất phương trình
1
23
3
kk
a a k


  
mà
kZ
8k
.
Do đó:
8 9 10 11 12
a a a a a   

Vậy ta có sơ đồ:
0 1 2 3 4 5 6 7
a a a a a a a a      

8 9 10 11 12
a a a a a   

BÀI 6. NHỊ THỨC NEWTON (PHẦN 3)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 6. Nhị thức Newton (Phần 3) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 6. Nhị thức Newton (Phần 3) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -

So sánh
7
a
và
8
a
ta thấy
87
aa
. Vậy số lớn nhất trong các số
0 1 12
, , ,a a a
là
88
8 12
2 126720aC

Bài 3. Tìm hệ số của
33n
x

trong khai triển
2
( 1) .( 2)
nn
xx
. Gọi hệ số đó là
33n
a


, tìm
n
để
33
26
n
an


.
Giải
Ta có:
2 0 2 1 2 2 2 2 4 3 2 6
0 1 1 2 2 2 3 3 3
( 1)
( 2) 2 2 2 2
n n n n n n
n n n n n
n n n n n n n
n n n n n
x C x C x C x C x C
x C x C x C x C x C
  
  
      
      

Do đó nhân vế với vế, ta được hệ số của
33n

x

trong khai triển
2
( 1) ( 2)
nn
xx
là:
3 0 3 1 1
22
n n n n
C C C C

3 0 3 1 1
33
2
26 2 2 26
7
()
2 (2 3 4)
26
2
3
5
n n n n n
a n C C C C n
n loai
n n n
n
n


    




  




Bài 4. Khai triển:
2 3 20
( ) 1(1 ) 2(1 ) 3(1 ) 20(1 )p x x x x x        

Ta được:
2 20
0 1 2 20
( ) p x a a x a x a x    
. Tìm
19
a

Giải
Yêu cầu của bài toán, tương đương với việc tìm hệ số của số hạng chứa
19
x
.
Ta thấy
19

x
chỉ có trong tổng khai triển
19 20
19(1 ) 20(1 )xx  

Mà :
19 0 1 2 2 19 19
19 19 19 19
20 0 1 2 2 19 19 20 20
20 20 20 20 20
19(1 ) 19( )
20(1 1) 20( )
x C C x C x C x
C C x C x C x C x
     
      

 Hệ số của
19
x
trong khai triển
 
px
là:
19 19
19 20
19. 20.CC

Bài 5. Tìm
*

nZ
, sao cho
0 1 2
2
1 1 1
3 ( 1) 512
3 3 3
nn
n n n n
n
C C C C

     



Giải
Ta có:
0 1 2
2
1 1 1 1
1 ( 1)
3 3 3 3
n
n
n n n n
n
C C C C

      




Do đó phương trình đã cho
9
1
3 . 1 512
3
2 512 2 9
n
n
n
n

  


    

Bài 6. CMR:
 
0 2 2 4 4 2 2 2 1 2
2 2 2 2
.3 .3 .3 2 2 1
n n n n
n n n n
C C C C

     

Giải:
Ta có:
2 0 1 2 2 3 3 4 4 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 0 1 2 2 3 3 4 4 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2
(1 3) .3 .3 .3 .3 .3 .3
(1 3) .3 .3 .3 .3 .3 .3
n n n n n
n n n n n n n
n n n n n
n n n n n n n
C C C C C C C
C C C C C C C


        
        

Cộng hai vế ta có:
2 2 2 2 2 2 0 2 2 4 4 2 2
2 2 2 2
4 ( 2) 4 2 2 (2 1) 2 2 .3 2 .3 2 .3
n n n n n n n n
n n n n
C C C C          

Chia cả 2 vế cho 2, ta được:
2 1 2 0 2 2 4 4 2 2
2 2 2 2

2 (2 1) .3 .3 .3
n n n n
n n n n
C C C C

     
(đpcm)
Bài 7. CMR:
1 1 2 2 3 3 4 4 1
2 2.2 3.2 4.2 .3
n n n n n n
n n n n n
C C C C nC n
    
     

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -


Giải:
Ta có:
0 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4
(2 ) .2 .2 .2 .2 .2 .
n n n n n n n n
n n n n n n

x C C x C x C x C x C x
   
      

Lấy đạo hàm 2 vế, ta có:
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 1
(2 ) .2 2 .2 3 .2 4 .2 .
n n n n n n n
n n n n n
n x C xC x C x C n x C
     
      

Thay
1x 
, ta có:
1 1 1 2 2 3 3 4 4
.3 .2 2.2 3.2 4.2
n n n n n n
n n n n n
n C C C C nC
    
     
(điều phải chứng minh)
Bài 8. Tính tổng:
0 1 2 2013
2013 2013 2013 2013
2 3 2014S C C C C    

Giải:

Ta có:

2013 0 1 2 2 2013 2013
2013 2013 2013 2013
2013 0 1 2 2 3 2013 2014
2013 2013 2013 2013
(1 )
.(1 )
x C C x C x C x
x x C x C x C x C x
     
      

Đạo hàm 2 vế ta có:
2013 2013 0 1 2 2 2013 2013
2013 2013 2013 2013
(1 ) 2013.(1 ) . 2 3 2014x x x C xC x C x C       

Thay
1x 
, ta có:
2013 2013 0 1 2 2013
2013 2013 2013 2013
2 2013.2 2 3 2014C C C C     

2013 2013 2012 2012
2 2013.2 2 (1 2013) 2 .2014S     

Bài 9. CMR:
1

0 1 2
1 1 1 2 1

2 3 1 1
n
n
n n n n
C C C C
nn


    


Giải:
Ta có:
0 1 2 2
11
0 1 2 2
00
1 2 3 1
0 1 2
1
0 1 2
(1 )
(1 ) ( )
1 1 1 1 1
(1 )

0 0 0 0 0

1 2 3 1
2 1 1 1 1
( )
1 2 3 1
n n n
n n n n
n n n
n n n n
nn
n
n n n n
n
n
n n n n
x C x C x C x C x
x dx C x C x C x C x dx
x x x x
C x C C C
nn
C C C C dpcm
nn


     
     

     


     




Bài 10. (ĐHKD 2003). Tính tổng:
2 3 1
0 1 2
2 1 2 1 2 1

2 3 1
n
n
n n n n
S C C C C
n

  
    


Giải:
Ta có:
0 1 2 2
22
0 1 2 2
11
(1 )
(1 ) ( )
n n n
n n n n
n n n

n n n n
x C C x C x C x
x dx C C x C x C x dx
     
     


1 2 3 1
0 1 2
1 1 2 3 1
0 1 2
11
2 2 2 2 2
(1 )

1 1 1 1 1
1 2 3 1
3 2 2 1 2 1 2 1

1 2 3 1
32
1
nn
n
n n n n
n n n
n
n n n n
nn
x x x x

C x C C C
nn
C C C C
nn
S
n

  


    

   
     





Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn : Hocmai.vn
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -

Dạng 1 (tiếp)
Bài 8. Tìm hệ số của
1 1 2 2 3 3 1
3 2 3 3 3 .4
n n n n n
n n n n
C C C nC n
   
    
10
x
trong khai triển
 
 
5
2
11xx




Bài 9. Cho khai triển:
10
2 3 10
0 1 2 3 10
12

33
x a a x a x a x a x


      



Tìm số lớn nhất trong các số
0 1 2 10
; ; ; ;a a a a
(tìm hệ số
k
a
lớn nhất, k =0; 1; …10)
Dạng 2: Sử dụng nhị thức Niutơn để tính nghiệm của phương trình hoặc chứng minh đẳng thức.
Bài 1 (ĐHKD – 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho:

0 1 2
2 4 2 243
nn
n n n n
C C C C    

Bài 2 (ĐHKD – 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức

1 3 2 1
2 2 2
2048
n
n n n
C C C


   

(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
Bài 3 (ĐHKA – 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho

1 2 2 3 3 4 2 2 1
2 1 2 1 2 1 2 2 1
2.2 3.2 4.2 (2 1).2 2005
nn
n n n n n
C C C C n C

    
      

(
k
n
C
là số tổng hợp chập k của n phần tử).
Bài 4. Chứng minh rằng:
1 1 2 2 3 3 1
3 2 3 3 3 .4
n n n n n
n n n n
C C C nC n

   
    

Bài 5 (ĐHKA – 2007) Chứng minh rằng:

21
1 3 5 2 1
2 2 2 2
1 1 1 1 2

2 4 6 2 2 1
n
n
n n n n
C C C C
nn


    


(n là số nguyên dương,
k
n
C
là tổ hợp chập k của n phần tử).


Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn

BÀI 6. NHỊ THỨC NEWTON (PHẦN 3)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 6. Nhị thức Newton (Phần 3) thuộc khóa học LTĐH
KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 6. Nhị
thức Newton (Phần 3). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.


Khóa h
ọ
c
LTðH
môn
Toán
–

Th
ầ
y
Lê Bá
Tr
ầ
n Phươ
ng

ðề kiểm tra ñịnh kỳ số 0
1


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-




Bài 1: (2,0 ñiểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñộ dài cạnh bên 2a, ñáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB = a,
3
AC a
= và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung ñiểm của BC.
Tính thể tích khối chóp A’ABC và khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng (BCC’B’).
Bài 2: (2,0 ñiểm) Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác cân ñỉnh C, ñường thẳng BC’
tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 60
0
và AB = AA’ = a (a >0). Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm của
BB’, CC’, BC. Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 ñường thẳng AM và NP theo a.
Bài 3: (2,0 ñiểm) Cho hình chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC =
3
a
,
khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (SBC) bằng
3
a
và
0
90
SAB SCB∠ = ∠ =
. Tính thể tích khối chóp

S.ABC theo a và góc giữa SB với mặt phẳng (ABC).
Bài 4: (2,0 ñiểm)
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a,
SA SB a
= =
,
2
SD a
=
và mặt phẳng (
SBD
) vuông góc với mặt phẳng (
ABCD
). Tính theo
a
thể tích khối chóp
S
.
ABCD
và khoảng cách giữa hai ñường thẳng
AC
và
SD
.


Bài 5:

(2,0 ñiểm)
Cho lăng trụ tam giác

ABC
.
A
’
B
’
C
’ có ñáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
,
AB a
=
,
3
AC a
=
, hình chiếu vuông góc của
A
’ trên mặt phẳng (
ABC
) trùng với trọng tâm
G
của tam giác
ABC

và góc giữa
AA
’ tạo với mặt phẳng (

ABC
) bằng 60
0
. Tính thể tích khối lăng trụ
ABC
.
A
’
B
’
C
’ và khoảng
cách từ
B’
ñến mặt phẳng (
A
’
BC
).




Giáo viên : Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn



ðỀ KIỂM TRA ðỊNH KÌ SỐ 01
MÔN: TOÁN

Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là ñề kiểm tra ñịnh kì số 01 thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
tại website Hocmai.vn. ðể ñạt ñược kết quả cao trong kì thi ñại học sắp tới, Bạn cần tự mình làm trước ñề, sau ñó
kết hợp xem cùng với ñáp án.
Thời gian làm bài: 90 phút

Khóa h
ọ
c
LTðH
môn
Toán
–

Th
ầ
y
Lê Bá
Tr
ầ
n Phương

Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0
1


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1
-

B
A
C
B'
A'
C'
H
K


Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñộ dài cạnh bên 2a, ñáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,
3
AC a
= và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung ñiểm của BC. Tính thể
tích khối chóp A’ABC và khoảng cách từ ñiểm A ñến mặt phẳng (BCC’B’).
Giải:
Theo giả thiết ta có:
' ( )
A H ABC
⊥

Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến nên
1
2
AH BC a
= =
.
Xét tam giác A’AH vuông tại H nên ta có:

2 2
' ' 3
A H A A AH a
= − =

Do ñó:
3
'
1 . 3
3.
3 2 2
A ABC
a a a
V a= = .
Mặt khác:
'
. ' ' '
1
3
A ABC
ABC A B C
V
V
=

Suy ra:
3
3
'. ' ' . ' ' '
2 2

.3.
3 3 2
A BCC B ABC A B C
a
V V a
= = =

Ta có:
( )
'. ' '
' '
3
',( ' ')
A BCC B
BCC B
V
d A BCC B
S
=

Vì
' ' ' ' ' '
AB A H A B A H A B H
⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆
vuông tại A’.
Suy ra
2 2
' 3 2 ' '
B H a a a BB BB H
= + = = ⇒ ∆

cân tại B’.
Gọi K là trung ñiểm của BH ta có:
'
B K BH
⊥
. Do ñó:
2 2
14
' '
2
a
B K BB BK= − =
Suy ra:
2
' '
14
' '. 2 . 14
2
BCC B
a
S B C BK a a= = =
Vậy
( )
3
2
3 3 14
',( ' ')
14
14
a a

d A BCC B
a
= = .
Bài 2:
Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác cân ñỉnh C, ñường thẳng BC’ tạo với mặt
phẳng (ABB’A’) góc 60
0
và AB = AA’ = a (a >0). Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm của BB’, CC’, BC.
Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa 2 ñường thẳng AM và NP theo a.
Giải:
HƯỚNG DẪN GIẢI ðỀ KIỂM TRA ðỊNH KÌ SỐ 01
MÔN: TOÁN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
ðây là ñáp án ñề kiểm tra ñịnh kì số 01 thuộc khóa học Luyện thi ñại học KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần
Phương) tại website Hocmai.vn. ðể ñạt ñược kết quả cao trong kì thi ñại học sắp tới, Bạn cần tự mình làm trước
ñề, sau ñó kết hợp xem cùng với tài liệu này.
Thời gian làm bài: 90 phút

Khóa h
ọ
c
LTðH
môn
Toán
–

Th
ầ
y
Lê Bá

Tr
ầ
n Phương

Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0
1


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2
-


S
B
H C
A
K
C'
I
M
K
N
P
C
A
B
A'
B'

H
Tính thể tích
Gọi K là trung ñiểm của A’B’, ta có tam giác A’B’C’ cân tại C’ nên
' AA'
KC
⊥

(
)
0
' ( ' ') ' ',( ' ') ' 60
KC ABB A KC BK BC ABB A KBC⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∠ = ∠ =

Lại có
5
2
a
AM BK= =
Xét trong tam giác BKC’
15
'
2
a
KC⇒ =
2
' ' '
1 1 15 15
' '. ' .
2 2 2 4
A B C

a a
S A B KC a= = =

Vậy
2 3
. ' ' ' ' ' '
15 15
AA'. .
4 4
ABC A B C A B C
a a
V S a= = =
Tính khoảng cách
Ta có tứ giác ABB’A’ là hình vuông cạnh a
và M là trung ñiểm BB’, K là trung ñiểm A’B’
khi ñó
AM BK
⊥
mà theo chứng minh trên thì
'
AM KC
⊥

do ñó:
'
AM BC
⊥
mà NP//BC’
AM NP
⇒ ⊥

và NP//(BKC’) khi ñó
(
)
(
)
, ,( ')
d AM PN d AM BKC
=

Gọi
I AM BK
= ∩
từ I hạ IH vuông góc với BC’
(
)
,( ') ( , )
d AM BKC d AM PN IH
⇒ = =

Ta có
2 2 2
1 1 1
5
a
BI AM BI
BI AB BM
⊥ ⇒ = + ⇒ =

Xét tam giác BIH vuông tại H và có

0 0
3 15
60 sin 60 . .
2 10
5
a a
IBH IH BI IH∠ = ⇒ = = ⇒ =

Bài 3:
Cho hình chóp
S.ABC
có ñáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
,
AB
=
BC
=
3
a
, khoảng cách từ
A

ñến mặt phẳng (
SBC
) bằng
3
a

và
0
90
SAB SCB∠ = ∠ =
. Tính thể tích khối chóp
S
.
ABC
theo
a
và góc
giữa
SB
với mặt phẳng (
ABC
).
Giải:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của
S
trên mp(
ABC
). Ta có:
+
( )
(gt)
SH ABC
HA AB
SA AB
⊥


⇒ ⊥

⊥

. Tương tự
HC BC
⊥

Suy ra tứ giác
HABC
là một hình vuông
+ Có:
/ / ( ) / / ( )
AH BC SBC AH SBC
⊂ ⇒

[ ,( )] [ ,( )] 2
d A SBC d H SBC a
⇒ = =

+ Dựng
HK SC
⊥
tại
K
(1). Do
( ) (2)
BC HC
BC SHC BC HK

BC SH
⊥

⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


(1) và (2) suy ra
( )
HK SBC
⊥
. Từ ñó
[ ,( )] 2
d H SBC HK a= =
2 2 2 2
3 2
KC HC HK a a a
⇒ = − = − =


. 2. 3
tan 6
HK SH HK HC a a
SCH SH a
KC HC KC a
= = ⇒ = = =
Thể tích khối chóp S.ABC ñược tính bởi:
Khóa h
ọ

c
LTðH
môn
Toán
–

Th
ầ
y
Lê Bá
Tr
ầ
n Phương

Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0
1


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3
-


O
B
D
C
A
S

H
N
I
C'
B'
M
A
B
C
A
'
G
K
H

3
1 1 1 6
. . . 3. 3. 6
3 6 6 2
ABC
a
V S SH AB BC SH a a a= = = =
(ñvtt)
+ Góc giữa SB với mp(ABC) là góc
0
45
SBH∠ =
(do ∆SHB vuông cân).
Bài 4:
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a,

SA SB a
= =
,
2
SD a
=
và mặt
phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách
giữa hai ñường thẳng AC và SD.
Giải:
Theo giả thiết (ABCD) ⊥ (SBD) theo giao tuyến BD. Do ñó nếu dựng AO ⊥ (SBD) thì O ∈ BD.
Mặt khác AS = AB = AD ⇒ OS = OB = OD hay ∆SBD là tam giác vuông tại S.
Từ ñó:
2 2 2 2
2 3
BD SB SD a a a
= + = + =

2
2 2 2
3
4 2
a a
AO AB OB a
= − = − =

Suy ra thể tích khối chóp S.ABD ñược tính bởi:
3
. .
1 1 1 2

. . . . 2.
3 6 6 2 12
S ABD A SBD SBD
a a
V V S AO SB SD AO a a= = = = =
3
. .
2
2
6
S ABCD S ABD
a
V V⇒ = =
(ñvtt).
Trong ∆SBD dựng OH ⊥ SD tại H (1) ⇒ H là trung ñiểm của SD.
Theo chứng minh trên AO ⊥ (SBD) ⇒ AO ⊥ OH (2)
(1) và (2) chứng tỏ OH là ñoạn vuông góc chung của AC và SD
Vậy
1
( , )
2 2
a
d AC BD OH SB
= = =

Bài 5:
Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB a
=
,

3
AC a
=
, hình
chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’
tạo với mặt phẳng (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ B’ ñến mặt
phẳng (A’BC).
Giải:

Gọi M là trung ñiểm BC. Từ giả thiết ta có:
0
2 2
2 , ; ' 60
3 3
a
BC a AG AI A AG= = = ∠ =
0
2 3
' .t an60
3
a
A G AG⇒ = =
Thể tích V của khối lăng trụ ñược tính bởi:
3
1 1 2 3
. ' . . ' . 3.
2 2 3
ABC

a
V S A G AB AC A G a a a
= = = =
(ñvtt)
Dựng AK ⊥ BC tại K và GI ⊥ BC tại I ⇒ GI // AK
1 1 1 . 1 . 3 3
.
3 3 3 3 2 6
GI MG AB AC a a a
CI AK
AK MA BC a
⇒ = = ⇒ = = = =
Dựng GH ⊥ A’I tại H (1)
Do:
(2)
'
BC GI
BC GH
BC A G
⊥

⇒ ⊥

⊥

. Từ (1) và (2) ⇒ GH ⊥ (A’BC)
Mặt khác nhận thấy AB’ cắt mp(A’BC) tại N là trung ñiểm của AB’. Từ ñó:
Khóa h
ọ
c

LTðH
môn
Toán
–

Th
ầ
y
Lê Bá
Tr
ầ
n Phương

Hướng dẫn giải ñề kiểm tra ñịnh kỳ số 0
1


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4
-


[ ', ( ' )] [ , ( ' )] 3 [ , ( ' )] 3
d B A BC d A A BC d G A BC GH
= = =
2 2 2 2
2 3 3
3. .
' . 3. ' . 6 2 51

3 6
3.
' 17
51
' 12 3
9 36
a a
A G GI A G GI a a
A I
A G GI a a
= = = = =
+
+




Giáo viên : Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocmai.vn