Chuyên đề tổ hợp và xác suất khóa luyện thi đảm bảo

Bài 1: Chứng minh các hệ thức tổ hợp – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN BÀI CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC TỔ HỢP

Bài 1: Chứng minh rằng với
, ; 2
∈ ≤ ≤
ℕ
k n k n
luôn có:

1 2 3 4
4
4 6 4
− − − −
+
+ + + + =
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C

Bài 2: Chứng minh rằng:

1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
+ + + + +
+ +
+ + + = +

k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau:

0 2009 1 2008 2010 2009 0
2010 2010 2010 2009 2010 2010 2010 1

−
−
= + + + + +
k k
k
S C C C C C C C C

Bài 4: Với n, k là số nguyên dương và
1
k n
≤ ≤
. Chứng minh rằng:

0 1 1 2 2
1 2 0
( 1) 0
− − −
− −
− + − + − =
k k k k n k
n n n n n n n

C C C C C C C C


………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn


Bài 1: Chứng minh các hệ thức tổ hợp – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN BÀI CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC TỔ HỢP

Bài 1: Chứng minh rằng với
, ; 2
∈ ≤ ≤
ℕ
k n k n
luôn có:

1 2 3 4
4
4 6 4
− − − −
+
+ + + + =
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C

Giải:

(
)
(
)
( )
1 1 2 2 3 3 4
1 2 3 1 1 2 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 2
2 2 2 2 2 2 2 3 3
ó : 3 3
3 3 2
2
− − − − − − −
− − − − − − − −
+ + + + + + + + + +
− − − − − −
+ + + + + + + + +
= + + + + + + +
= + + + = + + + + +
= + + = + + + = +
k k k k k k k k
n n n n n n n n
k k k k k k k k k k
n n n n n n n n n n
k k k k k k k k k
n n n n n n n n n
Ta c VT C C C C C C C C

C C C C C C C C C C
C C C C C C C C C
1
4+
= =
⇒
k
n
C VP
DPCM

Bài 2: Chứng minh rằng:
1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
+ + + + +
+ +
+ + + = +
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C

Giải:

( )
1 2 1 1 2 1 2 2
1 1 2
1 2 3 1 1 2 2 3
1 2 3 1 2 2 3 2 3
1 1 1 1 1 1 1 2 2

ó : 2
3 3 2
2
+ + + + + + + +
+ + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + = + + + = + =
+ + + = + + + + +
= + + = + + + = + =
k k k k k k k k k k
n n n n n n n n n n
k k k k k k k k k k
n n n n n n n n n n
k k k k k k k k k
n n n n n n n n n
Ta c C C C C C C C C C C
C C C C C C C C C C
C C C C C C C C C C
3
3
1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
+
+
+ + + + +
+ +
⇒ + + + = +

k
n
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức sau:

0 2009 1 2008 2010 2009 0
2010 2010 2010 2009 2010 2010 2010 1

−
−
= + + + + +
k k
k
S C C C C C C C C

Giải:

( )
(
)
( ) ( )
( )
2009
2010 2010
2009
0 1 2009 2009 2010
2009 2009 2009 2009

2010 !
2010! 2010! 2010.2009!
ó : .
! 2010 ! (2009 )! ! 2009 ! ! 2009 !
2010
2010 2010(1 1) 1005.2
−
−
−
= = =
− − − −
=
⇒ = + + + + + = + =
k k
k
k
k
k
Ta c C C
k k k k k k k
C
S C C C C

Bài 4: Với n, k là số nguyên dương và
1
≤ ≤
k n
. Chứng minh rằng:

0 1 1 2 2

1 2 0
( 1) 0
− − −
− −
− + − + − =
k k k k n k
n n n n n n n
C C C C C C C C
Giải:
Bài 1: Chứng minh các hệ thức tổ hợp – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải
Page 2 of 2

( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
!
! ! !
. .
! ! ! ! ! ! ! !
1
0 1 2 2
1
ó : .
.
0 1 1 2 2 2
1
1 2 0
0 1 1 2 2

( 1)
1 2 0
−
=
− − − − −
=
⇒
= − ⇒
+ = + + + +
=
−
−
− − −
+ = + + + +
− −
− −
− + − + −
− −
n m
k n n
m k m k n k m n m k m n k
Thay x
k
k k
x C C x C x C x
k k k k
m k
Ta c C C
n
k

m k m
C C
n n m
k
k k k k k n k k
C x C C C C x C C x C C x
n n n n n n
n n
k k k k n
C C C C C C C C
n n n n n
n n
0
−
= ⇒
k
DPCM



………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn


Bài 2. Giải phương trình liên quan ñến số tổ hợp, chỉnh hợp – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ðẾN
TỔ HỢP, CHỈNH HỢP

Bài 1: Tìm2 số tự nhiên x, y sao cho:
1 1
1
: : 6 : 5 : 2
+ −
+
=
y y y
x x x
C C C


Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
( )
2 50
,
5 2 80

+ =

∈

− =


ℕ
y y
x x
y y
x x

A C
x y
A C


Bài 3: Giải bất phương trình:
4 3 2
1 1 2
5
0 ( )
4
− − −
− − < ∈
ℕ
n n n
C C A n


Bài 4: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
( )
2 3
3 2
22
,

66

+ =

∈

+ =


ℕ
x y
y x
A C
x y
A C


Bài 5: Gi
ả
i PT:
1 2 20
2 1 2 1 2 1
2 1 ( )
+ + +
+ + + = − ∈
ℕ
n
n n n
C C C n

………………….Hết…………………

Nguồn:
Hocmai.vn



Bài 2. Giải phương trình liên quan ñến số tổ hợp, chỉnh hợp – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ðẾN
TỔ HỢP, CHỈNH HỢP

Bài 1: Tìm2 số tự nhiên x, y sao cho:
1 1
1
: : 6 : 5 : 2
+ −
+
=
y y y
x x x
C C C

Giải:
ðiều kiện:

1
1
1 1
0 1
(1)
1
6 5
0 1
1
0 1
(2)
5 2
1 ( 1)! 1 !
(1) . . 5( 1)( 1) 6( )( 1)
6 !( 1)! 5 ( 1)!( 1)!
1 ! 1 !
(2) . . 2( )(
5 ( 1)!( 1)! 2 ( 1)!( 1)!
+
+
+ −

≤ ≤ +

=

≥

 
≤ + ≤ ⇔ ⇔

  
≥ +

 
≤ − ≤
=



+
⇔ = ⇔ + + = − − +
− + + − −
⇔ = ⇔ − −
+ − − − − +
y y
x x
y y
x x
C C
y x
y
y x
x y
C C
y x
x x
x y x y x y
y x y y x y
x x
x y x

y x y y x y
1) 5 ( 1)
5( 1)( 1) 6( )( 1)
5( 1)( 1) 15 ( 1) 1 3
2( )( 1) 5 ( 1)
3 1 ào (4) 2(2 1)(2 ) 5 ( 1) 4(2 1) 5 5
3 8 {(8;3)}
+ = +
+ + = − − +

⇔ ⇔ + + = + ⇔ + =

− − + = +

⇒ = − ⇒ − = + ⇔ − = +
⇔ = ⇒ = ⇒ =
y y y
x y x y x y
x y y y x y
x y x y y y
x y thay v y y y y y y
y x S

Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
( )
2 50
,
5 2 80

+ =


∈

− =


ℕ
y y
x x
y y
x x
A C
x y
A C

Giải
ðặt:

2
!
20
5 2 80 20
( )!
2 50 10 !
10
!( )!
! 2
( 1) 20 5
20 0
!

20
2 2
2
( )!

=


=
− = =
−
 
 
⇒ ⇒ ⇒
   
+ = =
=
 


=

−

=

− = =

− − =
 


⇒ ⇒ ⇔ ⇔
   
=
= =
=
 


−

y
x
y
x
x
a A
a b a
x y
a b b x
b C
y x y
y
x x x
x x
x
y y
y
x y

Bài 3:
Gi
ả
i b
ấ
t ph
ươ
ng trình:

4 3 2
1 1 2
5
0 ( )
4
− − −
− − < ∈
ℕ
n n n
C C A n

Giải
Bài 2. Giải phương trình liên quan ñến số tổ hợp, chỉnh hợp – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải
Page 2 of 2
ð
i
ề
u ki
ệ
n:

1 4
1 3 5
2 2
− ≥


− ≥ ⇒ ≥


− ≥

n
n n
n


{ }
2
( 1)! ( 1)! 5( 2)! 1 1 5
0 0
( 1)!4! ( 4)!3! 4( 4)! 24 6( 4) 4( 4)
( 1)( 4) 4( 1) 30 0 9 22 0 5 11
5;6;7;8;9;10
− − − − −
⇒ − − < ⇔ − − <
− − − − −
⇔ − − − − − < ⇔ − − < ⇔ ≤ <
⇒ =
n n n n n
n n n n n

n n n n n n
S


Bài 4:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau:
( )
2 3
3 2
22
,
66

+ =

∈

+ =


ℕ
x y
y x
A C

x y
A C

Giải

2 2 2
2
3
3 3 3
2
3
1 1
22
6 132
2! 2 6
ì : . :
1 1 2 132
66
3! 6
2
!
12
12
6 132 12
( 2)!
5 60 !
60
60
( 3)!



= =
+ =



=
+ =

  
⇒ ⇔
   
+ =
=


 

= =
+ =





=


=
+ = =

−
 
 
⇔ ⇔⇔ ⇔ ⇔
   
= =
=
 



=

−

x x x
x
y
y x y
x
y
b
C A A
a
a A
a b
V Coi
a b
a
b A

C A A
b
x
A
a b a
x
b a b y
A
x


( )
{ }
2
4
( 1) 12 4
( 1)( 2) 60 5
( 5)( 2 12) 0
4;5
=
− = =

 
⇔ ⇔ ⇔
  
− − = =
− + + =
 

⇒ =

x
x x x
y y y y
y y y
S


Bài 5:
Gi
ả
i PT:
1 2 20
2 1 2 1 2 1
2 1 ( )
+ + +
+ + + = − ∈
ℕ
n
n n n
C C C n


Giải

( )
1 2 20
2 1 2 1 2 1
2 1 0 1 1 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
2 1

2 1 2 1
2 1 0 1 0 1 2
2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
20 1
2 1
2 1
ì :(1 1)
: ( 0; 2 1)
2 2 2
2 1
+ + +
+ + +
+ + + + +
+ −
+ +
+
+ + + + + +
+
+ + + = −
+ = + + + + + +
= ∀ = +
⇒ = + + + ⇒ + + + =
⇒ − = +
n
n n n
n n n n
n n n n n
k n k
n n
n n n n

n n n n n n
n
C C C
V C C C C C
Do C C k n
C C C C C C
C
2 2 20
2 1
2 1 2 2 10
+
+ = − ⇒ = ⇒ =
n n n
n
C n



………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn


Bài 3: Giải phương trình trên tập số phức – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1


BTVN BÀI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC


Bài 1: Giải phương trình:

2
( os isin ) os sin 0
ϕ ϕ ϕ ϕ
− + + =
z c z ic


Bài 2: Giải phương trình:
(
)
(
)
2
2 2 2
3 6 2 3 6 3 0(*)
+ + + + + − =z z z z z z


Bài 3: Giải phương trình:
4 3 2
4 7 16 12 0
− + − + =
z z z z


Bài 4: Giải hệ phương trình:
w
w 1
− =



− =

z i
iz


Bài 5: Giải hệ phương trình:
2 2
w w 8
w 1
− − =


+ = −

z z
z



………………….Hết………………

Nguồn: Hocmai.vn



Bài 3. Các bài toán về phép ñếm – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÉP ðẾM

Bài 1: Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số và thõa
mãn ñiều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và tổng của 3 chữ số ñầu kém tổng của 3
chữ số sau là 1 ñơn vị?
Giải
Giả sử số có 6 chữ số là:
1 2 3 4 5 6
=
a a a a a a AB

Trong ñó:
6
1 2 3
1
4 5 6
21
10
11
1
=

= + +
+ = =
=



⇒ ⇒
  

= + + =



− = −

∑
k
A a a a
A B k
A
B a a a B
A B

Xét các khả năng làm xuất hiện bộ 3 số có tổng là 10 thì có:

1 3 6 1 4 5 2 3 5
= + + = + + = + +
A

Với mỗi bộ 3 số ta có: 3! Cách chọn A và 3! Cách chọn B tương ứng
Khi ấy có : 3!.3!=36 cách.
Vậy có tất cả: 3.36=108 (số)
Bài 2: Từ 9 số 0,1,2,…,8 có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn mỗi số gồm 7 chữ số
khác nhau.
Giải
Ta có 2 trường hợp sau:
• TH1:
1 2 3 4 5 6
0

a a a a a a

Như vậy 6 vị trí còn lại ñược chọn (có thứ tự) từ 8 số kia ( khác 0)
Có:
6
8
20160
=A

• TH2:
1 2 3 4 5 6 7
a a a a a a a
với
{
}
7
2; 4;6;8
∈a
Vậy có 4 cách chọn a
7
Và 6 vị trí còn lại ñược chọn (có thứ tự) từ 8 số kia nhưng loại ñi những số ñứng ñầu là
số 0.
Vậy có:
6 5
8 7
4( ) 70560
− =A A

Bài 3. Các bài toán về phép ñếm – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải
Page 2 of 5
Vậy có tất cả: 20160+70560=90720 (số)
Bài 3: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng ñỏ ( các bông hồng này xem
như ñôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7 bông:
a) Có mấy cách chọn bó hoa trong ñó có ñúng 1 bông ñỏ.
b) Có mấy cách chọn bó hoa trong ñó có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất 3 bông ñỏ?
Giải:
a) Có 3 khả năng xảy ra là:
(
)
( )
( )
* 1 ;3 ;3
* 1 ;2 ;4
* 1 ;1 ;5





D T V
D T V
D T V

Vậy có tất cả:
1 3 3 1 2 4 1 1 5
4 3 5 4 3 5 4 3 5
. . . . . . 112
+ + =C C C C C C C C C

b) Cũng có 3 khả năng là:
(
)
( )
( )
* 3 ;3 ;1
* 3 ;4
* 4 ;3





V D T
V D
V D

Vậy có tất cả:
3 3 1 3 4 4 3
4 5 3 5 4 5 4
. . . . 150
+ + =C C C C C C C
Bài 4: Có 12 giống cây 3 loại: Xoài, mít, ổi .Trong ñó có 6 xoài, 4 mít, 2 ổi. Chọn ra 6 giống
ñể trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ñể số cậy mít nhiều hơn số cây ổi?
Giải:
Có 3 trường hợp lien quan ñến việc chịn ra cây ổi:
• TH1: ( Không có ổi)
Vì: 6=4+2 nên chỉ có 4 mít và 2 xoài. Vậy có:
4 2
4 6

. 15
=
C C
• TH2: ( Có 1 ổi).
Vì: 5=4+1=3+2 nên có 3 mít và 1 xoài, hay 3 mít và 2 xoài.
Vậy có:
1 4 1 1 3 2
2 4 6 2 4 6
. . . 132
+ =C C C C C C

• TH3: (Có 2 ổi).
Vì: 4=3+1 nên chỉ có 3 mít và 1 xoài. Vậy có:
2 3 1
2 4 6
. . 24
=
C C C

Vậy có tất cả: 15+132+24=171 (cách)




Bài 3. Các bài toán về phép ñếm – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải
Page 3 of 5
Bài 5: Một ñội văn nghệ có 15 người gồm: 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập 1 ñội
văn nghệ gồm 8 người, sao cho có ít nhất 3 nữ?
Giải:
Số cách chọn ngẫu nhiên 8 người là:

8
15
C

Xét 3 trường hợp:
• Không có nữ: Có
8
10
C

• Có 1 nữ: Có
1 7
5 10
.
C C

• Có 2 nữ: Có
2 6
5 10
.
C C

Vậy có tất cả:
(
)
8 8 1 7 2 6
15 10 5 10 5 10
. . 3690
− + + =C C C C C C

Bài 6: Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9.
Giải:

6
1 2 3 4 5 6
1
9 9
=
 
⇔
 
 
∑
⋮ ⋮
k
k
a a a a a a a

Chúng là: 100008;100017;100028;…;999999
Như vậy ta thấy các chữ số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 lập thành 1 cấp số cộng:

1
100017
999999 ( 1) 999999 18( 1) 50000
18
=


= ⇒ = − ⇔ = − ⇔ =



=

n n
u
u u n d n n
d

Vậy có 50000 số thõa mãn.
Bài 7: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số. Sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số lẻ.
Giải:
Vì : Lẻ= chẵn + lẻ nên:
Khi xét số có 5 chữ số:
1 2 3 4 5
a a a a a
ta có 2 khả năng:
• Nếu
1 2 3 4
+ + +
a a a a
chẵn thì
{
}
5
1;3;5;7;9
=a

• Nếu
1 2 3 4
+ + +

a a a a
lẻ thì
{
}
5
0;2; 4;6;8
=a

Mặt khác: Số các chữ số có 4 chữ số
1 2 3 4
a a a a
là:
3
9.10.10.10 9.10
=



Bài 3. Các bài toán về phép ñếm – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải
Page 4 of 5

Mà mỗi số ñó sinh ra 5 số có 5 chữ số.
Vậy có tất cả là:
3
5.9.10 45000
=
(Số)
Bài 8: Một tổ học sinh có 20 em, trong ñó 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết tiếng Pháp, 5
em chỉ biết tiếng ðức. Cần lập 1 nhóm ñi thực tế gồm 3 em biết tiếng Anh, 4 em biết tiếng
Pháp và 2 em biết tiếng ðức. Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm?

Giải:
ðể lập nhóm ta tiến hành 3 bước:
• Chọn 3 em biết tiếng Anh từ 8 em: Có
3
8
C
cách
• Chọn 4 em biết tiếng Pháp từ 7 em: Có
4
7
C
cách
• Chọn 2 em biết tiếng ðức từ 5 em: Có
2
5
C
cách
Vậy có tất cả:
3 4 2
8 7 5
. . 19600
=C C C
( Cách)
Bài 9: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau, người ta muốn chọn từ ñó ra 3 tem
thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy vào 3 bì thư ñã chọn ( Mỗi bì thư chỉ dán 1 tem). Có bao
nhiêu cách làm như vậy?
Giải:
Ta có:
• Số cách chọn tem thư là:
3

5
C

• Số cách chọn bì thư là:
3
6
C

• 3! Cách dán tem.
Vậy số cách làm là:
3 3
5 6
. .3! 1200
=C C

Bài 10: Có nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong ñó có 2 chữ số kề nhau phải khác nhau?
Giải:
ðặt:
{
}
0;1;2 ;9
=E
và số có 5 chữ số là:
1 2 3 4 5
1
; 1;5
0
α

=



∈ =


≠


i
a a a a a
a E i
a

Ta có: a
1
ñượ
c ch
ọ
n t
ừ
t
ậ
p E\{0} => Có 9 cách.


Bài 3. Các bài toán về phép ñếm – Khóa LTðH ñảm bảo _ Thầy Phan Huy Khải
Page 5 of 5
a
2
ñượ

c ch
ọ
n t
ừ
t
ậ
p E\{ a
1
} => Có 9 cách.
a
3
ñượ
c ch
ọ
n t
ừ
t
ậ
p E\{ a
2
} => Có 9 cách.
a
4
ñượ
c ch
ọ
n t
ừ
t
ậ

p E\{ a
3
} => Có 9 cách.
A
5
ñượ
c ch
ọ
n t
ừ
t
ậ
p E\{ a
4
} => Có 9 cách.
V
ậ
y s
ố
các s
ố
thõa mãn là:
9.9.9.9.9=59049



………………….Hết…………………

Nguồn:
Hocmai.vn

Bài 4: Tìm xác suất của một biến cố nhờ ñịnh nghĩa về xác suất – Khóa LTðH ñảm bảo - Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI TÌM XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NHỜ
ðỊNH NGHĨA VỀ XÁC SUẤT
Bài 1: Một hộp ñựng 12 viên bi, trong ñó có 7 viên màu ñỏ và 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu
nhiên mỗi lần 3 viên bi. Tính xác suất trong 2 trường hợp sau:
a) Lấy ñược 3 viên bi ñỏ.
b) Lấy ñược ít nhất 2 viên bi ñỏ.
Bài 2: Cho 8 quả cân có trọng lượng lần lượt là: 1kg, 2kg,…, 8kg. Chọn ngẫu nhiên 3 quả
cân. Tính xác suất ñể trọng lượng 3 quả cân ñược chọn không quá 9kg.
Bài 3: Cho tập hợp E = {0;1;2; ….; 9}. Lấy ngẫu nhiên ra 2 phần tử của E. Tìm xác suất ñể 2
số lấy ra ñều chẵn và tổng của chúng nhỏ hơn 7.
Bài 4: Một khách sạn có 6 phòng ñơn. Có 10 khách ñến thuê phòng, trong ñó có 6 nam và 4
nữ. Người quản lý chọn ngẫu nhiên 6 người. Tính xác ñể:
a) Cả 6 người là nam.
b) Có 4 nam và 2 nữ.
c) Có ít nhất 2 nữ.
Bài 5: Một ñoàn tàu có 3 toa ñổ ở một sân ga, có 5 khách lên tàu. Mỗi hành khách ñộc lập với
nhau chọn ngẫu nhiên 1 toa. Tính xác suất ñể mỗi toa có ít nhất 1 hành khách lên tàu.
Bài 6: Một người bỏ ngẫu nhiên 4 lá thư vào 4 bì thư ñã ñề sẵn ñịa chỉ. Tính xác suất ñể ít nhất
có 1 lá thư bỏ ñúng ñịa chỉ.
Bài 7: Có 30 tấm thẻ ñược ñánh số từ 1 ñến 30. Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tính xác suất
ñể:
a) Tất cả 10 thẻ ñều mang số chẵn.
b) Có ñúng 5 thẻ mang số chia hết cho 3.
c) Có 5 thẻ mang số lẻ, 5 thẻ mang số chẵn trong ñó có 1 số chia hết cho 10.

………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn


Bài 5: Tìm xác suất của một biến cố nhờ các phép tính xác suất – Khóa LTðH ñảm bảo - Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI TÌM XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NHỜ
CÁC PHÉP TÍNH XÁC SUẤT
Bài 1: Một máy bay có 3 bộ phận A, B, C có tầm quan trọng khác nhau. Giả sử các bộ phận A, B,C
tương ứng chiếm 15%; 30%; 55% diện tích máy bay. Máy bay bị rơi nếu có một viên ñạn trúng vào A,
hoặc 2 viên trúng vào B, hoặc 3 viên trúng vào C. Tính xác suất máy bay bị rơi nếu:
a) Máy bay bị trúng 2 viên ñạn.
b) Máy bay bị trúng 3 viên ñạn.
Bài 2: Hai cầu thủ bóng ñá sút phạt ñền, mỗi người ñược sút 1 quả với xác suất bàn tương ứng là : 0,8
và 0,7. Tính xác suất ñể có ít nhất 1 cầu thủ làm bàn.
Bài 3: Trong một thành phố , tỉ lệ người thích xem bong ñá là 65%. Chọn ngẫu nhiên 12 người. Tính
xác suất ñể trong ñó có ñúng 5 người thích xem bóng ñá.
Bài 4: Trong tuần lễ vừa qua Thành phố có 7 vụ tai nạn giao thông. Tính xác suất ñể mỗi ngày có 1 tai
nạn xảy ra.
Bài 5: Gieo ñồng thời 3 con xúc sắc . Bạn là người thắng cuộc nếu xuất hiện ít nhât “ 2 mặt lục”. Tìm
xác suất ñể trong 5 ván chơi, bạn thắng ít nhất 3 ván.
Bài 6: Ở một nước có 50 tỉnh, mỗi tỉnh có 2 ðại biểu Quốc hội. Người ta chọn ngẫu nhiên 50 ðại biểu
từ 100 ðại biểu ñể thành lập 1 Ủy ban. Tính xác suất ñể:
a)
Trong ủy ban có ít nhất 1 ðại biểu của Thủ ðô.
b)
Mỗi tỉnh ñều có ñúng 1 ðại biểu trong Ủy ban.
………………….Hết…………………

Nguồn: Hocmai.vn


Bài 4: Tìm xác suất của một biến cố nhờ ñịnh nghĩa về xác suất – Khóa LTðH ñảm bảo - Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI TÌM XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NHỜ
ðỊNH NGHĨA VỀ XÁC SUẤT
Bài 1: Một hộp ñựng 12 viên bi, trong ñó có 7 viên màu ñỏ và 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu
nhiên mỗi lần 3 viên bi. Tính xác suất trong 2 trường hợp sau:
a) Lấy ñược 3 viên bi ñỏ.
b) Lấy ñược ít nhất 2 viên bi ñỏ.
HDG

3
7
3
12
3 1 2
7 5 7
3 3
12 12
7
/
44
.
7
/
11
= =

= + =
C
a P
C
C C C
b P
C C

Bài 2: Cho 8 quả cân có trọng lượng lần lượt là: 1kg, 2kg,…, 8kg. Chọn ngẫu nhiên 3 quả
cân. Tính xác suất ñể trọng lượng 3 quả cân ñược chọn không quá 9kg.
HDG
Gọi A là biến cố chọn ñược 3 quả cân có tổng trọng lượng không vượt quá 9kg.

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
3

8
1,2,3 ; 1, 2, 4 ; 1, 2,5 ; 1, 2,6 ; 1,3, 4 ; 1,3,5 ; 2,3,
4 ;
7 1
8
=
⇒ = =
A
P
C


Bài 3
: Cho t
ậ
p h
ợ
p E = {0;1;2; ….; 9}. L
ấ
y ng
ẫ
u nhiên ra 2 ph
ầ
n t
ử
c
ủ
a E. Tìm xác su
ấ
t

ñể
2
s
ố
l
ấ
y ra
ñề
u ch
ẵ
n và t
ổ
ng c
ủ
a chúng nh
ỏ
h
ơ
n 7.

HDG

G
ọ
i A là bi
ế
n c
ố

ñể

2 s
ố
l
ấ
y ra
ñề
u ch
ẵ
n và có t
ổ
ng nh
ỏ
h
ơ
n 7.

(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
2
10
0,2 ; 0,4 ; 0,6 ; 0,8
4 4

45
=
⇒ = =
A
P
C


Bài 4
: M
ộ
t khách s
ạ
n có 6 phòng
ñơ
n. Có 10 khách
ñế
n thuê phòng, trong
ñ
ó có 6 nam và 4
n
ữ
. Ng
ườ
i qu
ả
n lý ch
ọ
n ng
ẫ

u nhiên 6 ng
ườ
i. Tính xác
ñể
:
a)

C
ả
6 ng
ườ
i là nam.
b)

Có 4 nam và 2 n
ữ
.
Bài 4: Tìm xác suất của một biến cố nhờ ñịnh nghĩa về xác suất – Khóa LTðH ñảm bảo - Thầy Phan Huy Khải
Page 2 of 3
c)

Có ít nh
ấ
t 2 n
ữ
.

HDG
Có t
ấ

t c
ả

6
10
C
cách ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên.
6
10
4 2
6 4
6
10
4 2 3 3 2 4
6 4 6 4 6 4
6
10
1 1
/
210
.
3
/
7
. . .
37

/
42
= =
= =
+ +
= =
a P
C
C C
b P
C
C C C C C C
c P
C


Bài 5
: M
ộ
t
ñ
oàn tàu có 3 toa
ñổ

ở
m
ộ
t sân ga, có 5 khách lên tàu. M
ỗ
i hành khách

ñộ
c l
ậ
p v
ớ
i
nhau ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên 1 toa. Tính xác su
ấ
t
ñể
m
ỗ
i toa có ít nh
ấ
t 1 hành khách lên tàu.

HDG
Có t
ấ
t c
ả
:
5
3
kh
ả

n
ă
ng x
ả
y ra. Vì ch
ỉ
x
ả
y ra 2 tr
ườ
ng h
ợ
p:

1 2 2 1 1 3
5 4 2 5 4 3
5
(1; 2;2) à (1;1;3)
3 . . 3 . .
3
+
⇒ =
v
C C C C C C
P


Bài 6
: M
ộ

t ng
ườ
i b
ỏ
ng
ẫ
u nhiên 4 lá th
ư
vào 4 bì th
ư

ñ
ã
ñề
s
ẵ
n
ñị
a ch
ỉ
. Tính xác su
ấ
t
ñể
ít nh
ấ
t
có 1 lá th
ư
b

ỏ

ñ
úng
ñị
a ch
ỉ
.

HDG
Có t
ấ
t c
ả
: 4!=24 cách b
ỏ
th
ư
vào bì th
ư
.
Có 4 kh
ả
n
ă
ng x
ả
y ra là:
•

C
ả
4 lá
ñ
úng
ñị
a ch
ỉ
.
•

3 lá
ñ
úng
ñị
a ch
ỉ
.
•

2 lá
ñ
úng
ñị
a ch
ỉ
.
•

1 lá

ñ
úng
ñị
a ch
ỉ
.
3 2 1
4 4 4
ó :1 1 4 6 4 15
15 5
24 8
⇒ + + + = + + + =
⇒ = =
C C C C
P


Bài 7
: Có 30 t
ấ
m th
ẻ

ñượ
c
ñ
ánh s
ố
t
ừ

1
ñế
n 30. Ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên ra 10 t
ấ
m th
ẻ
. Tính xác su
ấ
t
ñể
:
a)

T
ấ
t c
ả
10 th
ẻ

ñề
u mang s
ố
ch
ẵ
n.

b)

Có
ñ
úng 5 th
ẻ
mang s
ố
chia h
ế
t cho 3.
Bài 4: Tìm xác suất của một biến cố nhờ ñịnh nghĩa về xác suất – Khóa LTðH ñảm bảo - Thầy Phan Huy Khải
Page 3 of 3
c)

Có 5 th
ẻ
mang s
ố
l
ẻ
, 5 th
ẻ
mang s
ố
ch
ẵ
n trong
ñ
ó có 1 s

ố
chia h
ế
t cho 10.

HDG

10
15
10
30
5 5
10 20
10
30
5 1 4
10 3 12
10
30
/
.
/
. .
/
=
=
=
C
a P
C

C C
b P
C
C C C
c P
C


………………….Hết…………………

Nguồn:
Hocmai.vn



Bài 5: Tìm xác suất của một biến cố nhờ các phép tính xác suất – Khóa LTðH ñảm bảo - Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI TÌM XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN CỐ NHỜ
CÁC PHÉP TÍNH XÁC SUẤT
Bài 1: Một máy bay có 3 bộ phận A, B, C có tầm quan trọng khác nhau. Giả sử các bộ phận A, B,C
tương ứng chiếm 15%; 30%; 55% diện tích máy bay. Máy bay bị rơi nếu có một viên ñạn trúng vào A,
hoặc 2 viên trúng vào B, hoặc 3 viên trúng vào C. Tính xác suất máy bay bị rơi nếu:
a) Máy bay bị trúng 2 viên ñạn.
b) Máy bay bị trúng 3 viên ñạn.
HDG
a) Gọi A là biến cố :“ Có ít nhất 1 viên trúng A”
B là biến cố :“ Cả 2 viên trúng B”

( )

( )
2
2
( ) 1 0,3 0,55
( ) 0,3
áy bay ã : ( ) ( ) 0,3675
P A
P B
XS m ng P P A P B
⇒ = − +
=
⇒ = + =

b)

Máy bay không b
ị
r
ơ
i khi có: 1 vi
ệ
n vào B và 2 viên vào C. Xác su
ấ
t c
ủ
a bi
ế
n c
ố
này là:

( ) ( )
2 2
3. 0,3 . 0,55

( )
( ) ( )
{ } ( ) ( )
2
2 2
2 2
( ) 1 0,55
( ) 3. 0,3 . 0,55
áy bay ã 1 3. 0,3 . 0,55 0, 72775
⇒ = −
=
⇒ = − =
P A
P B
P m ng


Bài 2
: Hai c
ầ
u th
ủ
bóng
ñ
á sút ph

ạ
t
ñề
n, m
ỗ
i ng
ườ
i
ñượ
c sút 1 qu
ả
v
ớ
i xác su
ấ
t bàn t
ươ
ng
ứ
ng là
0,8 và 0,7. Tính xác su
ấ
t
ñể
có ít nh
ấ
t 1 c
ầ
u th
ủ

làm bàn.

HDG
P{C
ả
2
ñ
á tr
ượ
t}=0,2.0,3=0,06

P=1- 0,06 = 0,94

Bài 3
: Trong m
ộ
t thành ph
ố
, t
ỉ
l
ệ
ng
ườ
i thích xem bong
ñ
á là 65%. Ch
ọ
n ng
ẫ

u nhiên 12 ng
ườ
i.
Tính xác su
ấ
t
ñể
trong
ñ
ó có
ñ
úng 5 ng
ườ
i thích xem bóng
ñ
á.

HDG
Xác su
ấ
t c
ầ
n tìm là:
( ) ( )
2 2
5
12
. 0,65 . 0,55
C

Bài 5: Tìm xác suất của một biến cố nhờ các phép tính xác suất – Khóa LTðH ñảm bảo - Thầy Phan Huy Khải
Page 2 of 2



Bài 4
:Trong tu
ầ
n l
ễ
v
ừ
a qua Thành ph
ố
có 7 v
ụ
tai n
ạ
n giao thông. Tính xác su
ấ
t
ñể
m
ỗ
i ngày có
1 tai n
ạ
n x
ả
y ra.

HDG
Có t
ấ
t c
ả
: 7
7
kh
ả
n
ă
ng x
ả
y ra.
7
7!
7
⇒ =P


Bài 5
: Gieo
ñồ
ng th
ờ
i 3 con xúc s
ắ
c . B
ạ

n là ng
ườ
i th
ắ
ng cu
ộ
c n
ế
u xu
ấ
t hi
ệ
n ít nhât “ 2 m
ặ
t l
ụ
c”.
Tìm xác su
ấ
t
ñể
trong 5 ván ch
ơ
i, b
ạ
n th
ắ
ng ít nh
ấ
t 3 ván.

HDG

Xác su
ấ
t th
ắ
ng trong 1 ván là:
2 3
2
3
1 5 1 2
.
6 6 6 27
     
+ =
     
     
C
Xác suất ñể thắng ít nhất 3 ván là:
3 2 4 5
3 4
5 5
5
2 25 2 25 2 52032
. .
27 27 27 27 27 27
         
+ + =
         

         
C C

Bài 6: Ở một nước có 50 tỉnh, mỗi tỉnh có 2 ðại biểu Quốc hội. Người ta chọn ngẫu nhiên 50
ðại biểu từ 100 ðại biểu ñể thành lập 1 Ủy ban. Tính xác suất ñể:
a)
Trong ủy ban có ít nhất 1 ðại biểu của Thủ ðô.
b)
Mỗi tỉnh ñều có ñúng 1 ðại biểu trong Ủy ban.
HDG

50
98
50
100
50
14
50
100
/ 1 0,7423
2
/ 4126.10
−
= − =
= =
C
a P
C
b P
C

………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn


Bài 6: ðại lượng ngẫu nhiên rời rạc – Khóa LTðH ñảm bảo - Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI ðẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
Bài 1: Một nhóm người gồm 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 3 người. Gọi X là số nữ trong nhóm.
a) Lập bảng phân bố xác suất của X.
b) Tính E(X).
Bài 2: Trong một chiếc hòm có 10 tấm thẻ trong ñó 4 thẻ ghi số 1, 3 thẻ ghi số 2, 2 thẻ ghi số 3 và 1 thẻ
ghi số 4. Chọn ngẫu nhiên 2 tấm thẻ và gọi X là số thu ñược. Tìm phân bố xác suất của X.
Bài 3: Một lô hàng gồm 7 sản phẩm trong ñó có 3 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên ra 4 sản phẩm ñể kiểm
tra. Gọi X là số sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm lấy ra. Tìm phân bố xác suất của ñại lượng ngẫu nhiên
X.
Bài 4: Một người có một chùm có 7 chìa kháo giống hệt nhau, trong ñó chỉ có 2 chiếc mở ñược cửa.
Người ñó ngẫu nhiên thử từng chiếc ( thử xong bỏ ra ngoài) cho ñến khi tìm ñược chìa mở ñược cửa.
Gọi X là số lần thử cần thiết. Tìm phân bố xác suất của X.

………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn


Bài 6: ðại lượng ngẫu nhiên rời rạc – Khóa LTðH ñảm bảo - Thầy Phan Huy Khải
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI ðẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

Bài 1: Một nhóm người gồm 6 nam và 4 nữ. Chọn ngẫu nhiên ra 3 người. Gọi X là số nữ trong nhóm.
a) Lập bảng phân bố xác suất của X.
b) Tính E(X).
KQ:
a)
X 0 1 2 3
P
i
1/6 1/2 3/10 1/30
b) E(X)=1,2


Bài 2: Trong một chiếc hòm có 10 tấm thẻ trong ñó 4 thẻ ghi số 1, 3 thẻ ghi số 2, 2 thẻ ghi số 3 và 1 thẻ
ghi số 4. Chọn ngẫu nhiên 2 tấm thẻ và gọi X là số thu ñược. Tìm phân bố xác suất của X.
KQ:
X 2 3 4 5 6 7
P
i
6/45 12/45 11/45 10/45 4/45 2/45

Bài 3: Một lô hàng gồm 7 sản phẩm trong ñó có 3 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên ra 4 sản phẩm ñể kiểm
tra. Gọi X là số sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm lấy ra. Tìm phân bố xác suất của ñại lượng ngẫu nhiên
X.

KQ:
X 1 2 3 4
P
i
4/35 18/35 12/35 1/35

Bài 6: ðại lượng ngẫu nhiên rời rạc – Khóa LTðH ñảm bảo - Thầy Phan Huy Khải
Page 2 of 2
Bài 4: Một người có một chùm có 7 chìa kháo giống hệt nhau, trong ñó chỉ có 2 chiếc mở ñược cửa.
Người ñó ngẫu nhiên thử từng chiếc ( thử xong bỏ ra ngoài) cho ñến khi tìm ñược chìa mở ñược cửa.
Gọi X là số lần thử cần thiết. Tìm phân bố xác suất của X.
KQ:
X 1 2 3 4 5
P
i
12/42 10/42 8/42 6/42 6/42


………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn


Bài 7. Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ SỐ TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON


Bài 1: Tìm hệ số của x
3
trong khai triển:
2
2
 
+
 

 
n
x
x

Biết n thõa mãn:
1 3 2 1 23
2 2 2
2
−
+ + + =
n
n n n
C C C
Bài 2: Cho
0 1 2 2
2 2 2 6561
+ + + =
n n
n n n n
C C C C
.
Tìm hệ số của số hạng chứa x
7
và tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai triển:

2
3
 
−

 
 
n
x
x

Bài 3: Tìm số hạng có số mũ của x gấp 2 lần số mũ của y trong khai triển:
28
3
 
−
 
 
y
x
x

Bài 4: Tìm hệ số của x
2008
trong khai triển Newton của ña thức:
(
)
( )
670
670
2
( ) 2 1
= − +f x x x

Bài 5: Tìm hệ số của số hạng chứa x

4
trong khai triển:
(
)
2
( ) 1 2 3= + +
n
f x x x

Biết rằng n là số tự nhiên thõa mãn ñẳng thức:
2 2 2 3 3 3
. 2 . . 100(*)
− −
+ + =
n n
n n n n n n
C C C C C C


………………….Hết…………………
Nguồn: Hocmai.vn


Bài 7. Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ SỐ TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON


Bài 1: Tìm hệ số của x

3
trong khai triển:
2
2
 
+
 
 
n
x
x

Biết n thõa mãn:
1 3 2 1 23
2 2 2
2
−
+ + + =
n
n n n
C C C
Giải:

( )
2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2
2 0 1 2 2 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2
2 2 1 2 1 2 1
2 2

2
1 2 1 2 1 23
2 2
(1 ) . . . .
(1 ) . . . .
ó :
(1 ) (1 ) 2
2
1 2 2 2
2
− −
− −
− −
− −

+ = + + + + +

−

− = − + − − +


+ − − = + +
= ⇒ + + = = = ⇒
n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n
n n

n
n n
n n
x C C x C x C x C x
x C C x C x C x C x
Ta c
x x xC x C
Cho x C C
12 12
12 12
2 2 12 3 12
12 12
0 0
3 5 7
12
1 23 12
2 2
. . .2 .
3 12 3 5 à : .2 101376
−
− −
= =
− = ⇒ =
   
⇒ + = =
   
   
⇒ − = ⇒ = ⇒ =
∑ ∑
k

k k k k k
k k
n n
x C x C x
x x
k k HS x l C

Bài 2: Cho
0 1 2 2
2 2 2 6561
+ + + =
n n
n n n n
C C C C
.
Tìm hệ số của số hạng chứa x
7
và tổng tất cả các hệ số của các số hạng trong khai triển:

2
3
 
−
 
 
n
x
x

Giải:

( )
0 1 2 2 1 1
0 1 2 1
8
8 8
8
2 2 8 8 3 8
8 8
0 0
7 3 5
8
8
8
8
0
ó : (1 ) . . . .
1 6561 3 8
3
3 . ( 1) 3
3 8 7 5 à : 3 1512
ác ( 3)
− −
−
−
− − −
= =
−
=
+ = + + + + +

= ⇒ = + + + + + = ⇒ =
 
⇒ − = − = −
 
 
⇒ − = ⇒ = ⇒ − = −
= −
∑ ∑
n n n n n
n n n n n
n n n
n n n n n
k
k k k k k k k
k k
k k
k
Ta c x C C x C x C x C x
n C C C C C n
x C x x C x
x
k k HS x l C
c HS C
8 8
((1 3) ( 2) 256= − = − =
∑ ∑

Bài 3: Tìm số hạng có số mũ của x gấp 2 lần số mũ của y trong khai triển:
28
3

 
−
 
 
y
x
x

Giải:

28
28 28
3 28 3 28 28 4 28 28
28 28
0 0
ó : ( ) .( 1) . .( 1) . .
( ) 2 ( ) 4 28 2(28 ) 14
−
− − − −
= =
 
− = − = −
 
 
= ⇒ − = − ⇔ =
∑ ∑
k
k k k k k k k
k k
y y

Ta c x C x C x y
x x
Do SM x SM y k k k

Bài 7. Các bài toán về hệ số trong khai triển nhị thức Newton – Khóa LTðH ñảm bảo – Thầy Phan Huy Khải.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 2
=> Số hạn cần tìm là:
14
28
C

Bài 4: Tìm hệ số của x
2008
trong khai triển Newton của ña thức:
(
)
( )
670
670
2
( ) 2 1
= − +f x x x

Giải:

(
)
( )
(
)

(
)
670
670 670
2 3 2 3 2
670 670 2
3(670 ) 2 3(670 )
670 670 2
0 0 0
670 2
3 2010
670 2
0 0
ó : ( ) 2 1 2 1 ( 1)
. .( 1) . . ( 1) .
( 1) .
3 2010 2008 3
0 670
0 2
− −
= = =
− +
= =
 
= − + = + − + = + −
 
= − = −
= −
− + = −



⇒ ≤ ≤ ⇔


≤ ≤

∑ ∑ ∑
∑∑
k
k k k k k m m m
k
k k m
k
m k m m k
k
k m
Ta c f x x x x x x x x
C x x C x C x
C C x
m k k
k
m k
1 1 2 4
670 2 670 4
2 3 2
0 3 2 2
0 670 0 670
0 2
0 2 1 0 2
1; 1

1 2 : . . 222775
2; 4
= = −
 
≤ − ≤

 
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ⇔
  
≤ ≤

 
≤ ≤ ≤ ≤
 
= =

⇔ ≤ ≤ ⇒ ⇒ − + =

= =

m m k
k k
k k
m k
m k m k
k m
k HS C C C C
k m

Bài 5
: Tìm h
ệ
s
ố
c
ủ
a s
ố
h
ạ
ng ch
ứ
a x
4
trong khai tri
ể
n:
(
)
2
( ) 1 2 3= + +
n
f x x x

Bi
ế
t r
ằ
ng n là s

ố
t
ự
nhiên thõa mãn
ñẳ
ng th
ứ
c:
2 2 2 3 3 3
. 2 . . 100(*)
− −
+ + =
n n
n n n n n n
C C C C C C

Giải:

(
)
(
)
(
)
( ) ( )
( )
2 2 2
2 2 3 3 2 3
2 3 3
4

4 2
2 2
4
0
4
4 8 2
4
0 0
(*) 2 . 100 100
( 1) ( 1)( 2)
10 10 60 0 4
2 6
( ) 1 2 3 3 . 1 2
.3 . . (2 ) .
=
− −
= =
⇔ + + = ⇔ + =
− − −
⇒ + = ⇔ + = ⇔ − − = ⇒ =
⇒ = + + = +
=
∑
∑ ∑
n n n n n n
n n
k
k
k
k

k k k m m
k
k m
C C C C C C
n n n n n
C C n n n
f x x x C x x
C x x C


( )
4
4 2 8
4
0 0
2 0 2 3 2 4 4 0 4
4 2 4 3 4 4
2 8 4 2 4
. .3 .2 . 0 4 0 4
0 0
2 4 2; 0
2 4
0 4 3; 2
2 4
0 4; 4
. .3 3 . .4 . .3 .2 54 144 16 214
− − +
= =
− + = − =
 

 
= ⇒ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
 
 
≤ ≤ ≤ ≤
 
= − = =
 
= −



⇒ ≤ ≤ ⇔ ⇒ = =
 

≤ ≤



≤ ≤ = =
 
⇒ = + + = + + =
∑∑
k
k m k m m k
k
k m
m k k m
C C x k k
m k m k

m k k m
m k
k k m
k
m k k m
HS C C C C C C



………………….Hết…………………

Nguồn:
Hocmai.vn