pt mũ logarit ôn thi đại học

PHƯƠNGPHÁPGIẢIPHƯƠNGTRÌNHMŨVÀLOGARIT
ThầyLâmPhong
DẠNG1:CHUYỂNPHƯƠNGTRÌNHVỀCÙNGMỘTCƠSỐ.
®
PP:sửdụngcáccôngthứcbiếnđổiPTđểđưavềdạnga
f(x)
=a
g(x)
hoặclog
a
f(x)=log
a
g(x)
Vídụ1:Giảiphươngtrình:
a.4
2x + 1
.5
4x + 3
=5.10
2x
2
+3x 78
®HDgiải: Đểývếphảicócơsố10=2.5nêntabiếnđổivềtrái:
TaxétVếtrái=4
2x + 1
.5
4x + 3
=2
4x + 2
.5
4x + 3

=2
4x + 2
.5.5
4x + 2
=5.10
4x + 2
Khiđóphươngtrình Û5.10
4x + 2
=5.10
2x
2
+3x 78
Û10
4x + 2
=10
2x
2
+3x 78
Û4x +2=2x
2
+3x 78 Ûx=
1± 641
4
b.
4
3.243
2x + 3
x + 8
=3
2

.9
x + 8
x + 2
®HDgiải:Điềukiệnlà
î
ï
í
ï
ì
x +8 ≠0
x+ 2≠0
Û
î
ï
í
ï
ì
x ≠2
x≠8
Nhậnxétcả2vếphươngtrình đềucóthểđưavềcơsố3,nêntabiếnđổi:
4
3 =3
1
4
;9=3
2
;243=3
5
;nênphươngtrình đãchocódạng:3
1

4
.3
5
2x +3
x +8
=3
2
.3
2
x + 8
x + 2
Khiđóphươngtrình Û3
1
4
+ 5
è
ç
æ
2x + 3
x + 8
ø
÷
ö
=3
2 + 2
è
ç
æ
x +8
x +2

ø
÷
ö
Û
1
4
+5
è
ç
æ
2x+ 3
x+ 8
ø
÷
ö
=2+2
è
ç
æ
x+ 8
x+ 2
ø
÷
ö
(1)
QuyđồngvàrútgọncóPT(1)trởthành41x
2
+102x 248=0 Ûx=  4vx=
62
41

c.(x  2)
x
2
+ 2x
=(x 2)
11x 20
®HDgiải: PT Û
î
ï
í
ï
ì
x  2> 0
x
2
+ 2x= 11x  20
Û
î
ï
í
ï
ì
x >2
x
2
 9x +20= 0
Û
î
ï
í

ï
ì
x >2
x= 4v x=5
Ûx=4vx= 5
Vídụ2:Giảiphươngtrình:
a.log
2
(3x 1)+
1
log
(x +3)
2
=2+log
2
(x+1)
®HDgiải: Điềukiện
î
ï
í
ï
ì
3x  1>0
0< x+ 3≠1
x+1 >0
Ûx>
1
3
Vì
1

log
a
b
=log
b
anênphươngtrình đãchocódạng:
log
2
(3x 1)+log
2
(x+3)=log
2
2
2
+log
2
(x+1)
Ûlog
2
[(3x 1)(x+3)]=log
2
4(x+1)
Û (3x 1)(x+3)=4(x+1)(*)
Rỳtgnvgii(*)tacx=
7
3
(loi),x=1(thamón)
Vyphngtrỡnh óchocúnghim x=1
b. 2log
9

(x
2
5x+6)
2
=log
3
ố
ỗ
ổ
x 1
2
ứ
ữ
ử
+log
3
(x 3)
2
đHDgii: iukin
ợ
ù
ớ
ù
ỡ
(x
2
5x+ 6)
2
>0
x 1> 0

(x 3)
2
>0

ợ
ù
ớ
ù
ỡ
x
2
5x+6 0
x>1
x 3 0

ợ
ù
ớ
ù
ỡ
x >1
x2
x3
(*)
PT 2log
3
2
(x
2
5x+6)

2
=log
3
1
2
ố
ỗ
ổ
x 1
2
ứ
ữ
ử
+log
3
(x 3)
2
log
3
[(x 2)
2
(x 3)
2
]=log
3
ố
ỗ
ổ
x 1
2

ứ
ữ
ử
2
+log
3
(x 3)
2
(x 2)
2
(x 3)
2
=
ố
ỗ
ổ
x 1
2
ứ
ữ
ử
2
.(x 3)
2
(dox 3nờnx 30)
(x 2)
2
=
ố
ỗ

ổ
x 1
2
ứ
ữ
ử
2
(2)
Giiphngtrỡnh(2)tacx=3(loi)vx=
5
3
(thamón).
Vyphngtrỡnh óchocúnghim x=
5
3
.
Chỳý:+KhigiicỏcbitoỏnvLOG,tacnchỳýniukintnticalog
a
búl0<a1v
b>0.cbitnuA
2
>0

A0.
c.
3
2
log
1
4

(x+2)
2
3=log
1
4
(4 x)
3
+log
1
4
(x+6)
3
đHDgii: iukin
ợ
ù
ớ
ù
ỡ
(x +2)
2
> 0
x +6> 0
4 x>0

ợ
ù
ớ
ù
ỡ
6 <x <4

x 2
PT 3log
1
4
|x+2|3=3log
1
4
(4 x)+3log
1
4
(x+6)
log
1
4
|x+2|1=log
1
4
(4 x)+log
1
4
(x+6)
log
1
4
|x+2|log
1
4
1
4
=log

1
4
[(4 x)(x+6)]
log
1
4
[4|x+2|]= log
1
4
[(4 x)(x+6)]
4|x+2|=x
2
2x+24

ở
ờ
ộ
4(x +2) = x
2
+2x 24
4(x +2) = x
2
2x +24

ở
ờ
ờ
ộ
x =1 + 33
x =1 33

x=2
x= 8
.Soiukintanhnx=2,x=1 33
BITPRẩNLUYN:Giicỏcphngtrỡnhsau:
1)2
x
2
3
.5
x
2
3
=0,01.(10
x 1
)
3
2)(0,6)
x
ố
ỗ
ổ
25
9
ứ
ữ
ử
x
2
12
=(0,216)

3
3)2
x
.3
x 1
.5
x 2
=12
4)2
x
+2
x 1
+2
x 2
=3
x
+3
x 1
+3
x 2
5)2
x
2
+ 3x 4
=4
x 1
6)
7)2
x
2

6x
5
2
=16 2 8)32
x + 5
x 7
=
1
4
.128
x + 17
x 3
9)16
x + 10
x 10
=0,125.8
x + 5
x 15
10)5
x + 1
+6.5
x
3.5
x + 1
=52 11)3
|3x 4|
=9
2x 2
12) (x
2

2x+2)
4 x
2
=1
13)2
x + 1
.3
x 2
.5
x
=200 14)4.9
x 1
=3 2
2x + 1
15) 3
x
2
+ 3x +
1
2
=
1
3 3
16)log
5
(x 2)+log
5
(x
3
2)+log

0,2
(x 2)=4 17) log
2
ố
ỗ
ổ
x
2
+ 3
5
ứ
ữ
ử
=2log
1
4
(x 1) log
2
(x+1)
18)log
2
(x 2) 2=6log
1
8
3x 5 19)log
1
3
[
2(x
3

+x
2
)2
]
+log
3
(2x +2)=0
20)log
x
(x
2
+4x 4)=3 21) log
2
(x 1)
2
=2log
2
(x
3
+x+1)
22)log
2
(x
2
+3x+2)+log
2
(x
2
+7x+12)=3+log
2

3 23)
3
2
log
1
4
(x+2)
2
3=log
1
4
(4 x)
3
+log
1
4
(x+6)
3
24)log
4
(x+1)
2
+2=log
2
4 x+log
8
(4+x)
3
25) log
2

x+1log
1
2
(3 x)log
8
(x 1)
3
=0
26)log
2
(x
2
+3x+2) log
1
4
(x
2
+7x+12)
2
=2+log
4
3 27)log
x + 1
(2x
3
+2x
2
3x+1)=3
DNG2:CHUYNVPHNGTRèNHTCH(tthaschung)
đ

PP:thngsdngivicỏcbitoỏncúnhiucshoccúxngoism.
Vớd1:Giiphngtrỡnh:
a.25
x
=9
x
+2.5
x
+2.3
x
đHDgii: PT 5
2x
=3
2x
+2.5
x
+2.3
x
(5
2x
3
2x
)2(5
x
+3
x
)=0
(5
x
3

x
)(5
x
+3
x
) 2(5
x
+3
x
)=0
(5
x
+3
x
)(5
x
3
x
2)=0

ở
ờ
ộ
5
x
+ 3
x
=0 ( vụnghim )
5
x

=3
x
+2 (Gii bngdng5)
b.4
x
2
3x + 2
+4
x
2
+ 6x + 5
=4
2x
2
+3x +7
+1
đHDgii: Nhnxột2x
2
+3x+7=(x
2
3x+2)+(x
2
+6x+5)
Doúphngtrỡnh 4
x
2
3x + 2
+4
x
2

+ 6x +5
=4
2x
2
+ 3x + 7
+1
(4
x
2
3x + 2
1)+4
x
2
+ 6x +5
4
(x
2
3x + 2) + (x
2
+ 6x + 5)
=0
(4
x
2
3x + 2
1)+4
x
2
+ 6x +5
4

x
2
+ 6x +5
.4
x
2
3x + 2
=0
(4
x
2
3x + 2
1)+4
x
2
+ 6x +5
.(1 4
x
2
3x + 2
)=0
(4
x
2
3x + 2
1).(1 4
x
2
+ 6x +5
)=0

ở
ờ
ờ
ộ
4
x
2
3x + 2
= 1
4
x
2
+6x + 5
=1

ở
ờ
ộ
x
2
3x +2= 0
x
2
+6x +5= 0

ở
ờ
ộ
x= 2v x=1

x= 5 vx =1
c.12.3
x
+3.15
x
5
x + 1
=20
đHDgii: PT (12.3
x
+3.15
x
)5.5
x
20 =0
3.3
x
(4+5
x
) 5(5
x
+4)=0
(4+5
x
)(3.3
x
5)=0
Û
ë
ê

ê
é
5
x
= 4 <0 ( vônghiệm)
3
x
=
5
3
Ûx=log
3
5
3
d. 9
x
+2(x 2)3
x
+2x 5=0
®HDgiải: PT Û3
2x
+2x.3
x
4.3
x
+2x 5=0
Û (3
2x
4.3
x

5)+2x(3
x
+1)=0(đểtạorathừachungtasửdụngcôngthứcViet)
Û (3
x
+1)(3
x
5)+2x(3
x
+1)=0
Û (3
x
+1)(3
x
 5+2x)=0
Û
ë
ê
é
3
x
= 1< 0(vônghiệm)
3
x
= 5 2x (Giảibằngdạng5)
Vídụ2:Giảiphươngtrình:
a.log
2
x+log
3

x=1+log
2
x.log
3
x
®HDgiải:Điềukiệnx>0
PT Û(log
2
x 1)+ log
3
x log
2
x.log
3
x =0
Û (log
2
x 1) +(1  log
2
x).log
3
x.=0
Û (log
2
x 1)(1  log
3
x)=0
Û
ë
ê

é
log
2
x =1
log
3
x =1
Û
ë
ê
é
x= 2
x =3
(thỏax>0)
b.(x+1)[log
2
x]
2
+(2x+5)log
2
x+6=0
®HDgiải:Điềukiệnx>0
SovớiVD1câudthìbàitoánnàycũngtươngtựnhưngchúngtasẽthửlàmtheocách "xét
D
"
Nếuxemlog
2
xlàbiếnsốvàxlàthamsố,tacóphươngtrìnhbậc2.
Xét D =(2x+5)
2

24(x+1)=4x
2
 4x+1=(2x 1)
2
( D códạngsốchínhphương)
Khiđólog
2
x=
 (2x +5) +(2x  1)
2(x +1)
=
3
2(x + 1)
haylog
2
x=
 (2x +5)  (2x 1)
2(x +1)
= 2
Vậytacólog
2
x=2 Ûx=2
2
=
1
4
Vàlog
2
x=
3

2(x + 1)
(Dùngdạng5đểgiảitiếp)
BÀITẬPRÈNLUYỆN:Giảicácphươngtrìnhsau:
1)2
x
2
 5x + 6
+2
1  x
2
=2.2
6  5x
+1 2)x
2
.2
x
+6x+12=6x
2
+x.2
x
+2
x + 1
3)2
x + 1
+3
x
=6
x
+2 4)4
x

2
+x.3
x
+3
x + 1
=2x
2
.3
x
+2x+6
5)x.2
x
=x(3x)+2(2
x
1) 6)2[log
2
x]
2
+xlog
2
x+2x 8=0
7)3.25
x  2
+(3x 10).5
x  2
+3 x=0 8)(x+2)[log
3
(x+1)]
2
+4(x+1)log

3
(x+1) 16=0
9)8  x.2
x
+2
3  x
x=0 10) x
2
.3
x
+3
x
(12 7x)= x
3
+8x
2
19x+12
11)25
x
 2(3 x).5
x
+2x 7=0 12)log
2
2
x + (x 1)log
2
x=6 2x
13)x
2
+(2

x
3)x+2(1  2
x
)=0 14)lg
2
(x
2
+1)+(x
2
 5)lg(x
2
+1) 5x
2
=0
15)log
4
x.log
x
5 1=log
4
x log
x
5 16)log
3
x+5log
5
x=5+log
3
x.log
5

x
DẠNG3:ĐẶTẨNPHỤĐỔIBIẾN
®
PP:Phươngtrìnhtồntạia
x
,a
x
,a
2x
,a
3x
,v.v
Þ
tađặtt=a
x
>0
HoặcPTcóa
x
vàb
x
vớia
x
.b
x
=1
Þ
tađặtt=a
x
>0vàkhiđób
x

=
1
a
x
=
1
t
Vídụ1:Giảiphươngtrình:
a.2
x
+ 2
3  x
=9
đHDgii:PT 2
x
+
2
3
2
x
=9 2
x
+
8
2
x
=9.(tt=2
x
>0)
PTthnht+

8
t
=9 t
2
9t+8=0
ở
ờ
ộ
t= 1
t =8
(Nhnvỡthat>0)
Khiúvit=1 2
x
=1=2
0
x=0
Vt=8 2
x
=8=2
3
x=3.
Vyphngtrỡnh óchocú2nghimlx=0,x=3
b.
(
6 35
)
x
+
(
6 + 35

)
x
=12
đHDgii: Nhnxột
(
6 35
)
x
.
(
6+ 35
)
x
=
(
36 35
)
x
=1
x
=1
Nờntatt=
(
6+ 35
)
x
>0thỡ
(
6 35
)

x
=
1
t
Khiú,PTthnh
1
t
+t=12 t
2
12t+1=0
ở
ờ
ộ
t= 6+ 35
t= 6 35
(thamónvỡt>0)
Vit=6+ 35
(
6+ 35
)
x
=6+ 35 (6+ 35)
x
2
=(6+ 35)
1

x
2
=1 x=2

Vit=6 35
(
6+ 35
)
x
=6 35 (6+ 35)
x
2
=(6+ 35)
1

x
2
=1 x= 2
Vy phngtrỡnhcú2nghim x=2,x= 2.
c.3
2x
2
+2x +1
28.3
x
2
+ x
+9=0
đHD gii: PT 3.3
2(x
2
+x)
28.3
x

2
+ x
+9=0(tt=3
x
2
+ x
>0)
3t
2
28t+9=0

ở
ờ
ờ
ộ
t= 9
t =
1
3
(Nhnvỡthat>0)
Vit=9 3
x
2
+ x
=9=3
2
x
2
+x=2 x
2

+x 2=0
ở
ờ
ộ
x= 1
x = 2
Vit=
1
3
3
x
2
+ x
=
1
3
=3
1
x
2
+x=1 x
2
+x+1=0(vụnghim)
Vyphngtrỡnhcú2nghim x=1,x= 2.
d. (3 5)
2x + 1
+(3+ 5)
2x + 1
=6.2
2x

đHDgii:iviPTtrờn,tathyrngkhụngthxột(3 5)(3+ 5)1
TrongkhiúPTvakhỏcm?vakhỏccs? ị tabiniphngtrỡnh avcựngm.
PT (3 5)
2x + 1
+(3+ 5)
2x + 1
=3.2.2
2x
(3 5)
2x + 1
+(3+ 5)
2x + 1
=3.2
2x + 1
(*)
nõyPTócựngmnhnglikhỏccs?Rừrng(3 5)v(3+ 5)hontoncú"bcon"
Tachia2vphngtrỡnh(*)cho2
2x + 1
vc:
(*)
(3 5)
2x + 1
2
2x + 1
+
(3 + 5)
2x +1
2
2x +1
=3

ố
ỗ
ổ
3 5
2
ứ
ữ
ử
2x + 1
+
ố
ỗ
ổ
3+ 5
2
ứ
ữ
ử
2x + 1
=3
Nhnxột
ố
ỗ
ổ
3 5
2
ứ
ữ
ử

2x + 1
.
ố
ỗ
ổ
3+ 5
2
ứ
ữ
ử
2x + 1
=
ố
ỗ
ổ
9 5
4
ứ
ữ
ử
2x + 1
=1
2x + 1
=1.(nõytaóbinithnhcụng!)
Nờntatt=
ố
ỗ
ổ
3+ 5
2

ứ
ữ
ử
2x + 1
>0vkhiú
ố
ỗ
ổ
3 5
2
ứ
ữ
ử
2x + 1
=
1
t
PTthnh
1
t
+t=3 t
2
3t+1=0
ở
ờ
ờ
ộ
t =
3 + 5
2

t =
3 5
2
(Nhnvỡthat>0)
Vit=
3+ 5
2

ố
ỗ
ổ
3+ 5
2
ứ
ữ
ử
2x + 1
=
ố
ỗ
ổ
3+ 5
2
ứ
ữ
ử
1
2x+1=1 x=0
Vit=
3 5

2

ố
ỗ
ổ
3+ 5
2
ứ
ữ
ử
2x + 1
=
ố
ỗ
ổ
3+ 5
2
ứ
ữ
ử
1
2x+1= 1 x=1
Vyphngtrỡnhcú2nghimx=0,x= 1
e.125
x
4.50
x
+20
x
+6.8

x
=0
đHDgii:ivicõueny,tathyrngcỏcPTcựngmnhngc4csukhỏcnhau.Nờnta
quytnhschiabtchomtcstỡmmiquanhgiacỏccscũnli.Kinhnghimltaschia
chocslnnhthoccsnhnht.
Cỏch1: Chiachocslnnht125
x
PT 1 4.
ố
ỗ
ổ
2
5
ứ
ữ
ử
x
+
ố
ỗ
ổ
4
25
ứ
ữ
ử
x
+6.
ố
ỗ

ổ
8
125
ứ
ữ
ử
x
=0
1 4.
ố
ỗ
ổ
2
5
ứ
ữ
ử
x
+
ố
ỗ
ổ
2
5
ứ
ữ
ử
2x
+6.
ố

ỗ
ổ
2
5
ứ
ữ
ử
3x
=0(tt=
ố
ỗ
ổ
2
5
ứ
ữ
ử
x
>0)
PTthnh14t+t
2
+6t
3
=0
ở
ờ
ộ
t= 1(loi)
t=
1

2
t =
1
3
Vit=
1
2

ố
ỗ
ổ
2
5
ứ
ữ
ử
x
=
1
2
x=log
2
5
1
2
(Chỳý:a
x
=b x=log
a
b)

Vit=
1
3

ố
ỗ
ổ
2
5
ứ
ữ
ử
x
=
1
3
x=log
2
5
1
3
Vyphngtrỡnhcú2nghim.
Cỏch2: Chiachocsnh nht8
x
PT
ố
ỗ
ổ
125
8

ứ
ữ
ử
x
4.
ố
ỗ
ổ
25
4
ứ
ữ
ử
x
+
ố
ỗ
ổ
5
2
ứ
ữ
ử
x
+6=0
ố
ỗ
ổ
5
2

ứ
ữ
ử
3x
4.
ố
ỗ
ổ
5
2
ứ
ữ
ử
2x
+
ố
ỗ
ổ
5
2
ứ
ữ
ử
x
+6=0(HStlmtip)
Vớd2:Giiphngtrỡnh:
a.log
2
(4
x + 1

+4).log
2
(4
x
+1)=3
đHDgii:iukin:
ợ
ù
ớ
ù
ỡ
4
x + 1
+4 >0
4
x
+1 >0
(luụnỳng)
PT log
2
(4.4
x
+4).log
2
(4
x
+1)=3
log
2
[4.(4

x
+1)].log
2
(4
x
+1)=3 (Tacúlog
a
b+log
a
c=log
a
bc)
[log
2
4+log
2
(4
x
+1)].log
2
(4
x
+1)=3
[2+log
2
(4
x
+1)].log
2
(4

x
+1)=3(tt=log
2
(4
x
+1)
PTthành(2+t).t=3
Û t
2
+2t 3=0 Û
ë
ê
é
t= 1
t =3
Vớit=1 Ûlog
2
(4
x
+1)=1 Û4
x
+1=2
1
Û4
x
=1=4
0
Ûx=0
Vớit=3 Ûlog
2

(4
x
+1)= 3 Û4
x
+1=2
3
Û4
x
=
1
8
 1=
7
8
<0(vônghiệm)
Vậyphươngtrìnhcó1nghiệm x=0
b.1+log
2
(x  1)=log
(x 1)
4
®HDgiải:Điềukiện:
î
ï
í
ï
ì
x  1> 0
x 1 ≠1
Û

î
ï
í
ï
ì
x >1
x≠2
PT Û 1+log
2
(x 1)=log
(x 1)
2
2
(tacólog
a
b
a
= alog
a
b)
Û1+ log
2
(x 1) =2log
(x 1)
2(tacólog
a
b=
1
log
b

a
)
Û1+ log
2
(x 1) =2
1
log
2
(x 1)
(Đặtt=log
2
(x  1) )
PTthành1+t=
2
t
Û t
2
+t 2=0 Û
ë
ê
é
t= 1
t =2
Vớit=1 Ûlog
2
(x 1)=1 Ûx  1=2
1
Ûx=3(nhận)
Vớit=2 Ûlog
2

(x  1)= 2 Ûx 1=2
2
=
1
4
Ûx=
5
4
(nhận)
Vậyphươngtrìnhcó2nghiệm x=3,x=
5
4
.
c. log
2
2
(x 1)
4
5log
2
(x 1)
2
+1=0
®HDgiải:Điềukiện:(x 1)
4
>0 Ûx 1 ≠0
PT Û [log
2
(x 1)
4

]
2
10.log
2
(x 1)+1=0
Û [4log
2
(x  1)]
2
10.log
2
(x 1)+1=0
Û 16[log
2
(x  1)]
2
 10.log
2
(x  1)+1=0(đặtt=log
2
(x 1))
PTthành16t
2
10t+1=0 Û
ë
ê
ê
é
t =
1

2
t=
1
8
Vớit=
1
2
Ûlog
2
(x 1) =
1
2
Ûx 1=2
1
2
= 2 Ûx=1+ 2
Vớit=
1
8
Ûlog
2
(x 1)=
1
8
Ûx 1=2
1
8
=
8
2 Ûx=1+

8
2
Vậyphươngtrìnhcó2nghiệmx=1+ 2,x=1+
8
2
Chúý:Cầnphânbiệtlog
a
b
2
≠log
2
a
b
d.log
2 + 3
x
2
3x + 2 +log
2  3
x  1=log
7  4 3
(x+2)
®HDgiải:Điềukiện:
î
ï
í
ï
ì
x
2

 3x+2 >0
x 1 >0
x +2 >0
Ûx>2
Tacó7 4 3=(2  3)
2
và(2 3)(2+ 3)=4 3=1
Nêntađặtt=2 3 Þ2+ 3=
1
t
TacúPT log
t
x
2
3x+2 +log
t
x 1=
1
2
log
t
(x+2)
log
t
(x 1)(x 2)+log
t
x 1=log
t
x+2
(log

t
x 1+log
t
x 2)+log
t
x 1=log
t
x+2
log
t
x+2+log
t
x 2=0
log
t
x
2
4=0 x
2
4=t
0
=1 x
2
4=1 x
2
=5 x= 5
Dox>2 ịnhn x= 5
e.log
3x + 7
(4x

2
+12x+9)= 4 log
2x + 3
(6x
2
+23x+21)
đHDgii:iukin:
ợ
ù
ớ
ù
ỡ
3x+ 7> 0, 3x +71
2x+ 3> 0, 2x +31
4x
2
+ 12x+9 >0
6x
2
+ 23x+21 >0

ợ
ù
ớ
ù
ỡ
x >
3
2
x 1

(*)
PT log
3x + 7
(2x+3)
2
=4 log
2x + 3
[(3x+7)(2x+3)]
2log
3x + 7
(2x+3)=4 [log
2x + 3
(3x+7)+log
2x + 3
(2x+3)]
2log
3x + 7
(2x+3)=3 log
2x + 3
(3x+7)
tt= log
3x + 7
(2x+3) ị
1
t
=log
2x + 3
(3x+7)
PT 2t=3
1

t
2t
2
3t+1=0 t = 1v t=
1
2
Vit=1 log
3x + 7
(2x+3)=1 2x+3=3x+7 x= 4(loivỡkhụngtha(*))
Vit=
1
2
log
3x + 7
(2x+3)=
1
2
2x+3=(3x+7)
1
2
(2x+3)
2
=3x+7
4x
2
+9x+2=0
ở
ờ
ờ
ộ

x=
1
4
( nhn)
x= 2 (loi)
.Vyphngtrỡnhcúnghim x=
1
4
BITPRẩNLUYN:Giicỏcphngtrỡnhsau:
1)3
x + 2
+3
2 x
=30 2)2
2x + 6
+2
x + 7
17=0 3)9
x
2
+ x + 1
10.3
x
2
+ x 2
+1=0
4)64.9
x
84.12
x

+27.16
x
=0 5)4
1 + 3x
2
2x
9.2
3x
2
2x
+2=0 6)
2 2
2 1 2
4 5.2 6 0
x x x x + - - + -
- - =
7)3.3
x 4
x 2
10.3
x 2
2
+3=0 8)3.2
x 1
x +1
8.2
x 1
2
+4=0 9)2
2x

2
+ 1
9.2
x
2
+ x
+2
2x + 2
=0
10)25
x
=25
x +1
+24.5
x + x
11)(2 3)
x
+(2+ 3)
x
=14 12)
(
)
(
)
4 15 4 15 8
x x
- + + =
13)8
x
3.4

x
3.2
x + 1
+8=0 14)2
3x
6.2
x

1
2
3(x 1)
+
12
2
x
=1 15)( 5+1)
x
+2( 51)
x
=3.2
x
16)
(
5+ 2 6
)
x
+
(
52 6
)

x
=10 17)(5 21)
x
+7(5+ 21)
x
=2
x + 3
18)
ố
ỗ
ổ
3
3 + 8
ứ
ữ
ử
x
+
ố
ỗ
ổ
3
3 8
ứ
ữ
ử
x
=6
19)3.4
x

+2.9
x
=5.6
x
20)(7+5 2)
x
+( 25)(3+2 2)
x
+3(1+ 2)
x
+1 2=0
21) (2+ 3)
(x 1)
2
+(2 3)
x
2
2x 1
=
4
2 3
22)(2+ 3)
x
+(7+4 3)(2 3)
x
=4(2+ 3)
23) ( 21)
x
+( 2+1)
x

2 2=0 24)3.8
x
+4.12
x
18
x
2.27
x
= 0 25)3
2x
2
2.3
x
2
+ x + 6
+3
2(x + 6)
=0
26) (7+4 3)
x
3(2 3)
x
+2=0 27)log
x
2+log
8
x=
7
6
28) log

3
x
9
4log
9
3x=1
29) 2log
8
(x) log
8
x
2
=0 30)
1
2
log
x 1
(x
2
8x+16)+log
4 x
(x
2
+5x 4)=3
31)1+
1
4
log
2
ố

ổ
1
x
4
ứ
ữ
ử
=log
2
x 32)
ố
ỗ
ổ
log
3
3
x
ứ
ữ
ử
.log
2
x log
3
x
3
3
=
1
2

+log
2
x
33)log
2
(x)2logx
2
+4=0 34)log
2
x logx
2
=log
2
3 1 35)log
2
(5
x
1).log(2.5
x
2)=2
36)5log
x
9
x +log
9
x
x
3
+8log
9x

2
x
2
=2 37)log
2
(4
x
+15.2
x
+27)+2log
1
4.2
x
3
=0
38)log
x
5+log
x
5x 2,25=log
2
x
5 39)3log
x
6 4log
16
x=2log
2
x
40)log

x
2.log
2x
2=log
4x
2 41)log
2
(lgx+2 lgx+1) 2log
4
( lgx+1)=1
42) log
0,04
x+ 1+ log
0,2
x +1=1 43)lg
2
x lgx
3
+ 2=0
44)log
x
2
x
2
+40log
4x
x=14.log
16x
x
3

45)log
4
(x 1)
2
5log
2
(x 1)
3
3376=0
46)log
x
2
(2 +x)+log
x + 2
x=2 47)log
3 2x
(2x
2
9x+9)+log
3 x
(4x
2
12x+9)=4
48)log(9
x 1
+7)=2+log
2
(3
x 1
+1) 49)lg

4
(x 1)
2
+lg
2
(x 1)
3
=25
50)3+
1
log
3
x
=log
x
ố
ỗ
ổ
9x
6
x
ứ
ữ
ử
51)log
2x 1
(2x
2
+x 1)+log
x + 1

(2x 1)
2
=4
52)4
2x + x + 2
+2
x
3
=4
2 + x + 2
+2
x
3
+ 4x 4
53)4
x
3.2
x + x
2
2x 3
4
1 + x
2
2x 3
=0
54)log
2
2
(x+1) 6log
2

x+1+2=0 55)(3+2 2)
x
=( 21)
x
+3
56)
3
2x
100
x
=2(0,3)
x
+3 57)
7
2x
100
x
=6.(0,7)
x
+7 58)3.16
x 1
+2.81
x 1
=5.36
x 1
59)3
2x
8.3
x + x + 4
9.9

x + 4
=0 60) 5.3
2x 1
7.3
x 1
+ 1 6.3
x
+ 9
x + 1
=0
61)8.3
x +
4
x
+9
1 +
4
x
=9
x
62)(26+15 3)
x
+2(7+4 3)
x
2(2 3)
x
=1
63)4
x
2

+ x
+2
1 x
2
=2
(x + 1)
2
+1 64)lg
2
x
9
20lg x +
1
9
=0 65)3
2x
+ 3
x
+ 5=5
66)9
x
2
2x +
3
2
3
x
2
=3
(x 2)

2
1 67)2
2x
2
x
+ 6=6 68)2
2x
2
5x +2
+2
4x
2
8x +3
=1+2
6x
2
13x + 5
68)log
9x
27 log
3x
3+log
9
243=0 69)8
x
+1=2.
3
2
x 1
1 70)2

3x
2
3 3x
6(2
x
2.2
x
)=1
DNG4:MHểALOGARITHểA
đ
PP: giỳptachuynmtPTm logvmtPTlog mmtaóbitcỏchgii.Cnchỳý:
. a
f(x)
=b
g(x)
log
a
a
f(x)
=log
a
b
g(x)
f(x)= g(x).log
a
b(hoclog
b
a
f(x)
=log

b
b
g(x)


f(x).log
b
a=g(x))
.log
a
f(x)=log
b
g(x).tt=log
a
f(x)=log
b
g(x)
Khiú:a
t
= f(x)vb
t
= g(x) ịchuynvphngtrỡnhm
Vớd1:Gii cỏcphngtrỡnhsau:
a.5
x
.8
x 1
x
=500
đHDgii: iukinx0

NhnxộttakhụngaPTtrờnvcựngmtcsvngthismcachỳngcngkhỏcnhauhon
ton.DovytathLOGHểAPTmtrờn.thchintacnchncschoLogarit.Vicchn"cs"s
giỳpbngiihocnhanhhocchmbitoỏninhngcuicựngớchnvnltỡmcỏps.
Cỏch1:Lylog2vvics5.
PT log
5
(5
x
.8
x 1
x
)=log
5
500
log
5
5
x
+log
5
8
x 1
x
=log
5
(5
3
.2
2
)(phõntớch500=5

3
.2
2
tachianúchocỏcsnguyờnt)
x+3
x 1
x
.log
5
2=3+2log
5
2
(x 3)+log
5
2
ố
ỗ
ổ
3
x 1
x
2
ứ
ữ
ử
=0
(x 3)+log
5
2
ố

ỗ
ổ
x 3
x
ứ
ữ
ử
=0
(x 3)
ố
ỗ
ổ
1+
log
5
2
x
ứ
ữ
ử
=0 x =3v 1+
log
5
2
x
=0
Vi 1+
log
5
2

x
=0 x+log
5
2=0 x=log
5
2
VyPTcú2nghimx=3vx= log
5
2
Cỏch2:Lylog2vvics2.(vỡ8=2
3
)
PT log
2
(5
x
.8
x 1
x
)=log
2
(5
3
.2
2
)
log
2
5
x

+log
2
2
3(x 1)
x
=3log
2
5+2
x.log
2
5+
3(x 1)
x
=3log
2
5+2
(x 3).log
2
5+
3(x 1)
x
2=0
(x 3).log
2
5+
x 3
x
=0 (x 3)
ố
ỗ

ổ
log
2
5+
1
x
ứ
ữ
ử
x=3vx=
1
log
2
5
=log
5
2
b.x
lgx
=1000x
2
đHDgii:iukinx>0
PT lgx
lgx
=lg1000x
2
lgx.lgx=lg1000+lgx
2
lg
2

x=3+2lgx(tt=lgx)
PTthnht
2
2t3=0
ở
ờ
ộ
t= 1
t =3

ở
ờ
ộ
lgx= 1
lgx=3

ở
ờ
ộ
x= 10
1
x =10
3
Vớd2:Gii cỏcphngtrỡnhsau:
a.log
3
(log
9
x +
1

2
+9
x
)=2x
đHDgii: iukinx>0
PT log
9
x+
1
2
+9
x
=3
2x
log
9
x=
1
2
x=9
1
2
=
1
3
(nhn)
b. log
5
log
2

x=log
2
log
5
x
đHDgii: iukin:
ợ
ù
ớ
ù
ỡ
x >0
log
2
x >0
log
5
x >0
x>1
tt=log
5
log
2
x log
2
x=5
t
(1)
Mtkhỏct=log
2

log
5
x log
5
x=2
t
(2)
Licúlog
2
x=log
2
5.log
5
xnờnt(1)v(2)tacú5
t
=2
t
.log
2
5
Hay
ố
ỗ
ổ
5
2
ứ
ữ
ử
t

=log
2
5 t=log
5
2
(log
2
5).Thayvo(2)tac:log
5
x=2
log
5
2
(log
2
5)
x=5
2
log
5
2
(log
2
5)
c. 3log
3
(1+ x+
3
x)=2log
2

x
đHDgii: iukin:x>0
KhỏcbitgiacõucnyvcõubnmchdngPTcõubllog=log.cũnvibitoỏntaanggp
phil m.log=n.log.Kinhnghimltaschnk lbischungnhnhtcac2smvnú.
t6t=3log
3
(1+ x+
3
x)=2log
2
x
Tacú:
ợ
ù
ớ
ù
ỡ
log
2
x= 3t
log
3
(1 + x+
3
x) =2t

ợ
ù
ớ
ù

ỡ
x =2
6t
1 + x+
3
x= 3
2t
Doú1+2
3t
+2
2t
=3
2t
1+8
t
+4
t
=9
t
(Giitipbngcỏchchiabtcsvdựngdng5 )
BITPRẩNLUYN:Giicỏcphngtrỡnhsau:
1)3
x
.2
3(2x 1)
x + 1
=72 2)2
x
2
=3

x 1
3)2
log
2
(x + 1)
=x 4)8
x
x + 2
=36.3
2 x
5)5
x
2
5x + 6
=2
x 3
6)3
x
.8
x
x + 1
=36 7)5
x
.2
2x 1
x + 1
=50 8)3
x
2
4x

=2
x 4
9)x
2 + log
2
2
x
=8 10)5
2 x
.3
3x
x + 1
=4 11)2
x
2
2x
.3
x
=
1
2
12)x
log x + 7
7
=10
log x + 1
13)2
log
5
(x + 3)

=x 14)log
3
(x
2
3x 13)=log
2
x 15)log
2
(1+ x)=log
3
x
16)2log
6
( x+
4
x)=log
4
x 17)log
7
(x+2)=log
5
x 18)log
3
(x
2
+2x+1)=log
2
(x
2
+2x)

19)log
2
(log
3
x)=log
3
(log
2
x) 20)3log
3
(x+2)=2log
2
(x+1) 21)log
3
(76+
4
x)=log
5
x
22)log
2
(1+
3
x)=log
7
x 23)log
3
(x+1)+log
5
(2x+1)=2 24)2

x
2
2x
.3
x
=1,5
25)log
4
[2log
3
(1+3log
2
x)]=
1
2
26)log
x
(x+2)=log
3
5 27)3
x + 1
.2
x
2
=8.4
x
DNG5:SDNGTNHNIUCAHMS
đ
PP:xộtPTm logaritf(x)=0(*)vix
ẻ

D
Nuf(x)niutrờnD(ngbinhocnghchbintrờnD)thỡPT(*)cúkhụngquỏmtnghim.
Nghalnucúnghimscúnghimduynht.
Nuy= f(x)niutrờnD(ngbinhocnghchbintrờnD)thỡf(u)=f(v)u=vvimiu,v
ẻD.
Nuy= f(x)cúohmncpk vliờntctrờnD,ngthif
(k)
(x)cúỳngmnghimphõn
bitthỡphngtrỡnhf
(k 1)
(x)=0scúkhụngquỏm+1nghim.
Chỳý:ohmca(a
u
)'=u'.a
u
.lnavmhmca(log
a
u)'=
u'
u.lna
Huhtcỏcphngphỏpcỏcdngtrờnsaunhiuphộptớnhtoỏn,binirtdavdngtoỏnny.
Chonờncỏcbncnchỳýhcvtỡmhiukdngny.úcngltinbnsdngphngphỏpny
giicỏcdngtoỏnkhỏc.
Vớd1:Giicỏcphngtrỡnhsau:
a.2
x
=3 x
đHDgii: PT 2
x
3+x=0

Xộtf(x)=2
x
3+xvimix ẻ R
Tacúf'(x)=2
x
ln2+1>0 "x ẻ R(do2
x
>0vln2>0)
ịf(x)luụnngbintrờnR,mf(1)=0nờnphngtrỡnh f(x)=0cúnghimduynhtlx=1.
b.9
x
=5
x
+4
x
+2. 20
x
đHDgii: Bitoỏntrờncún4cskhỏcnhau,taquytnhchiachocslnnht9
x
.
PT 1=
ố
ỗ
ổ
5
9
ứ
ữ
ử
x

+
ố
ỗ
ổ
4
9
ứ
ữ
ử
x
+2.
ố
ỗ
ổ
20
9
ứ
ữ
ử
x
(Nhmnghim thtathyx=2thamón)
Do0<
5
9

4
9

20
9

<1nờnln
5
9
<0,ln
4
9
<0,ln
20
9
<0.
Doúf'(x)=
ố
ỗ
ổ
5
9
ứ
ữ
ử
x
ln
5
9
+
ố
ỗ
ổ
4
9
ứ

ữ
ử
x
ln
4
9
+2.
ố
ỗ
ổ
20
9
ứ
ữ
ử
x
ln
20
9
<0 "x ẻ R
Nờnhmsf(x)nghchbintrờnR,mf(2) =1nờnphngtrỡnh f(x)=1cúnghimduynhtx=2.
C. 3
x
+5
x
=6x+2
đHDgii:nhnxột1vcaphngtrỡnhl"hmm",cũnvcũnlil"hmathc".Khụngth
bininhcỏcdngócptrờncachuyờnnờntaquytnhsPPhms.
Xộtf(x)=3
x

+5
x
=6x+2vix ẻ R
Tacúf'(x)=3
x
ln3+5
x
ln56lhmsliờntc
V f'(0)=ln3+ln56<0 , f'(1)=3ln3+5ln56>0
Nờnphngtrỡnh f'(x)=0cúnghimduynhtx=x
o
Bngbinthiờn:
x Ơ - x
o
Ơ +
f'(x) 0+
f(x)
Davobngbinthiờntathyphngtrỡnh f(x)=0cúkhụngquỏhainghimphõnbit.
Mf(0)= f(1)=0nờnminghimcaphngtrỡnh ócholx=0hocx=1
cúthngdngPPhmsnymtcỏchhiuqutrctiờnbnnờn"nhmnghim"PTócho
trc.ngvisnghimtỡmctasxutcỏchgii.
d. (2 3)
x
+(2+ 3)
x
=4
x
đHDgii:PT
ố
ỗ

ổ
2 3
4
ứ
ữ
ử
x
+
ố
ỗ
ổ
2+ 3
4
ứ
ữ
ử
x
=1
Xộr f(x)=
ố
ỗ
ổ
2 3
4
ứ
ữ
ử
x
+
ố

ỗ
ổ
2+ 3
4
ứ
ữ
ử
x
vix ẻ R
Vỡ0<
2 3
4

2+ 3
4
<1nờnln
ố
ỗ
ổ
2 3
4
ứ
ữ
ử
<0vln
ố
ỗ
ổ
2+ 3
4

ứ
ữ
ử
<0
Dođó, f'(x)=
è
ç
æ
2 3
4
ø
÷
ö
x
.ln
è
ç
æ
2 3
4
ø
÷
ö
+
è
ç
æ
2+ 3
4
ø

÷
ö
x
ln
è
ç
æ
2+ 3
4
ø
÷
ö
<0 "x Î R
Nênhàmsốf(x)luônnghịchbiếntrênR,màf(1)=1nênphươngtrình f(x)=1cónghiệmduynhấtx=1
e.7
x  1
=1+2log
7
(6x  5)
3
®HDgiải:Điềukiện6x 5>0 Ûx>
5
6
Đặty 1=log
7
(6x 5) thì 7
y  1
=6x 5(1)
PTđãchotrởthành 7
x  1

=1+2log
7
(6x 5)
3
Û7
x  1
=1+6log
7
(6x 5)
Û7
x  1
=1+6log
7
7
y  1
Û7
x  1
=1+6(y 1)
Û7
x  1
=6y 5 (2)
Lấy(1)trừ(2)tađược:7
y  1
7
x  1
=6x 6y
Û7
x  1
+6(x 1)=7
y  1

+6(y 1)Û f(x 1)= f(y 1)
Dễthấy f(t)=7
t
+6tlàhàmsốđồngbiếntrênR,màf(x 1)= f(y 1) Ûx 1=y 1 Û x=y
Khiđóphươngtrình đãchocódạng(1) Û 7
x  1
 6x+ 5=0(3)(nhẩmnghiệmx=1,x=2)
Xéthàmsốg(x)=7
x  1
6x+ 5 "x Î R
Tacóg'(x)=7
x  1
.ln76nên g'(x)=0 Ûx
o
=1+log
7
6
ln7
Bảngbiếnthiên:
x ¥ - x
o
¥ +
g'(x)  0+
g(x)
Dựavàobảngbiếnthiêntathấyphươngtrình f(x)=0chỉcókhôngquáhainghiệmphânbiệt
Màf(1)= f(2)=0nênx=1,x=2làcácnghiệmcủaphươngtrình.
Vídụ2:Giảicácphươngtrìnhsau:
a.log
2
x+log

3
(2x 1)+log
5
(7x 9)=3
®HDgiải:Điềukiệnx>
9
7
Xéthàmsốf(x)=log
2
x+log
3
(2x  1)+log
5
(7x 9) vớix>
9
7
Tacó f'(x)==
1
x.ln2
+
2
(2x  1)ln3
+
7
(7x  9).ln5
>0 "x>
9
7
Vậyhàmsốf(x)đồngbiếntrên(
9

7
;+¥)nênphươngtrình f(x)=3nếucónghiệmsẽcónghiệmduynhất.
Màf(2)=3nênphươngtrình đãchocónghiệmx=2
b.x
3
.log
3
x=27
®HDgiải:x>0
Viếtphươngtrình đãchodướidạnglog
3
x 
27
x
3
=0
Xéthàmsốf(x)=log
3
x 
27
x
3
vớix>0
Tacóf'(x)=
1
xln3
+
81
x
4

>0 "x>0nênhàmsốy=f(x)đồngbiếntrên(0;+¥)nênphươngtrìnhf(x)=0
nếucónghiệmsẽcónghiệmduynhất.Mà f(3)=0nênphươngtrìnhcónghiệm x=3
c.2
x
2
+ x
+log
2
x=2
x + 1
®HDgiải:x>0
PT Û2
x
2
+ x
+log
2
x(x +1)
x+1
=2
x + 1
Û2
x
2
+ x
+log
2
(x
2
+x)log

2
(x+1)=2
x + 1
Û2
x
2
+ x
+log
2
(x
2
+x)=2
x + 1
+log
2
(x+1)
Đặt f(t)=2
t
+log
2
t(t>0)
Tacó f'(t)=2
t
ln2+
1
t.ln2
>0 "t>0
Nênhàmsốy=f(t)luônđồngbiếntrên(0;+ ¥)Lạicóf(x
2
+x)= f(x+1)

Ûx
2
+x=x +1 Û
ë
ê
é
x= 1(nhận)
x =1 (loại)
.Vậy x=1lànghiệmphươngtrình.