tích phân và ứng dụng ôn thi đại học môn toán

PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 1
( )
1
2015
1
0
1I x dx= +
∫
2
1
ln
e
x
I dx
x
=
∫
2
2
3
0
sin cosI x xdx
π
=
∫
2
4
0
sin

1 cos
x
I dx
x
π
=
+
∫
2
sin
5
0
cos
x
I e xdx
π
=
∫
( )
1
6
3
2
0
1
x
I dx
x
=
+

∫
3
7
0
tanI xdx
π
=
∫
( )
1
3
3 4
8
0
1I x x dx= +
∫
3
1
2 3
9
0
x
I x e dx=
∫
tan 2
4
10
2
0
os

x
e
I dx
c x
π
+
=
∫
2
2
sin
11
0
sin 2 .
x
I x e dx
π
=
∫
2
12
2
0
sin 2
1 os
x
I dx
c x
π
=

+
∫
1
PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
2
13
1
ln
e
e
I dx
x x
=
∫
14
1
sin(ln )
e
x
I dx
x
=
∫
( )
3
15
4
ln cos
cot
x

I dx
x
π
π
=
∫
1
1
16
2
1
2
1
x
e
I dx
x
+
=
∫
2007
1
17
2
1
3
1 1
1I dx
x
x

 
= +
 ÷
 
∫
(CĐKA – 2007)
1
1
2
18
2
1
1
1
x
x
I e dx
x
−
−
−
 
= +
 ÷
 
∫
2
3
1
19

2
0
1
x
x
I e dx
x
+
=
+
∫
2
4
20
0
1 2sin
1 sin 2
x
I dx
x
π
−
=
+
∫
(KB – 2003)
4
21
4
os2

sin cos 2
c x
I dx
x x
π
π
−
=
+ +
∫
1
3
22
2
0
1
x
I dx
x
=
+
∫
(DBKD – 2002)
3
2
23
0
sin tanI x xdx
π
=

∫
(DBKA – 2005)
3
24
0
1I x dx= +
∫
2
PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
25
1
1 ln
e
x
I dx
x
+
=
∫
26
1
4 5ln
e
x
I dx
x
+
=
∫
(TN – 2011)

2
27
2
4
1 3cot
sin
x
I dx
x
π
π
+
=
∫
4
28
2
6
1
sin cot
I dx
x x
π
π
=
∫
1
2
29
0

2I x x dx= −
∫
(KB – 2013)
3
4
2 3
30
1
5I x x dx
−
= +
∫
9
3
31
1
. 1I x xdx= −
∫
0
3
32
1
. 1I x xdx
−
= +
∫
1
15 8
33
0

1I x x dx= +
∫
1
34
0
1
x
I dx
x
=
+
∫
(CĐ – 2012)
1
3 2
35
0
1I x x dx= −
∫
(DBKA – 2003)
( )
ln 3
36
3
0
1
x
x
e
I dx

e
=
+
∫
(DBKB – 2002)
ln 5
2
37
ln 2
1
x
x
e
I dx
e
=
−
∫
(DBKB – 2003)
3
PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
1
3
38
2
0
4
x
I dx
x

=
−
∫
(DBKB – 2008)
7
39
3
0
2
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
(DBKA – 2005)
2
40
0
1
4 1
x
I dx
x
+
=
+
∫

(DBKB – 2008)
7
3
41
3
0
1
3 1
x
I dx
x
+
=
+
∫
3
42
3
1
2
2 2
x
I dx
x
−
=
+
∫
(DBKA – 2008)
43

1
1 3ln .ln
e
x x
I dx
x
+
=
∫
(KB – 2004)
2
3
44
1
ln . 1 ln
e
x x
I dx
x
+
=
∫
64
45
3
1
1 x
I dx
x
+

=
∫
0
46
3
1
2 1
1
x
I dx
x
−
+ +
=
+
∫
3
2
47
1
ln
1 ln
e
x
I dx
x x
=
+
∫
(DBKD – 2005)

ln8
2
48
ln 3
1
x x
I e e dx= +
∫
(DBKD – 2004)
2
3 5
6
49
0
1 os .sin osI c x xc xdx
π
= −
∫
(DBKA -2002)
( )
1
3
2
50
0
1 2I x x x dx= − −
∫
3
2
51

2
1
log
1 3ln
e
x
I dx
x x
=
+
∫
4
PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
52
1
3 2ln
1 2ln
e
x
I dx
x x
−
=
+
∫
(DBKB – 2008)
2
53
2 2
0

sin 2
os 4sin
x
I dx
c x x
π
=
+
∫
(KA – 2006)
2
54
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
I dx
x
π
+
=
+
∫
(KA - 2005)
3
55
0
2sin 2 3sin
6cos 2
x x

I dx
x
π
+
=
−
∫
3
56
2
4
tan
cos 1 os
x
I dx
x c x
π
π
=
+
∫


3
3
2
57
3
3
sin sin

.cot
sin
x x
I xdx
x
π
π
−
=
∫
33
4
58
5
0
cos os
os
x c x
I dx
c x
π
−
=
∫
Bổ trợ: Tích phân hàm phân thức hữu tỉ
( )
2
1
1
2

1
1
I dx
x x
=
+
∫
2
2
2
0
1
2 3
I dx
x x
=
− −
∫
( )
2
3
1
2 1
1
x
I dx
x x
+
=
+

∫
(CĐ – 2011)
1
4
2
0
2 1
5 6
x
I dx
x x
−
=
− +
∫
(DBKB – 2010)
( )
2
5
2
1
1
2
I dx
x x
=
+
∫
5
PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350

( )
2
6
2
1
1
1
I dx
x x
=
+
∫
( )
( )
1
7
2
0
4 2
2 1
x
I dx
x x
−
=
+ +
∫
1
8
0

2 1
1
x
I dx
x
−
=
+
∫
(CĐ – 2010)
( )
1
9
2
0
1
4
x x
I dx
x
−
=
−
∫
(DBKB – 2007)
( )
2
1
10
2

0
1
1
x
I dx
x
+
=
+
∫
(KD – 2013)
2
2
11
2
1
3 1x x
I dx
x x
+ +
=
+
∫
(KB – 2014)
1
12
2
0
1
1

I dx
x
=
+
∫
Phương pháp đổi biến số dạng 1 (tiếp)
2
1
1
1 1
x
I dx
x
=
+ −
∫
(KA – 2004)
4
2
0
4 1
2 2 1
x
I dx
x
−
=
+ +
∫
(KD – 2011)

2 3
3
2
5
4
dx
I
x x
=
+
∫
(KA – 2003)
4
4
2
7
9
dx
I
x x
=
+
∫
10
5
5
2 1
dx
I
x x

=
− −
∫
(DBKB – 2006)
( )
( )
7
6
2
3
3
0
1 1 1
dx
I
x x
=
+ + +
∫
6
PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
8
7
3
2
1
x
I dx
x x
−

=
+
∫
3
8
0
3
3 1 3
x
I dx
x x
−
=
+ + +
∫
( )
9
2
1
ln
2 ln
e
x
I dx
x x
=
+
∫
(KB – 2010)
4

6
10
0
tan
cos2
x
I dx
x
π
=
∫
(KA – 2008)
2
4
11
3
6
cos
sin sin
4
x
I dx
x x
π
π
π
=
 
+
 ÷

 
∫
2
12
2
6
cos
sin 3 cos
x
I dx
x x
π
π
=
+
∫
( )
4
13
0
sin
4
sin 2 2 1 sin cos
x
I dx
x x x
π
π
 
−

 ÷
 
=
+ + +
∫
(KB – 2008)
2
14
0
sin 2
3 4sin os2
x
I dx
x c x
π
=
+ −
∫
(DBKA – 2008)
ln 3
15
ln 2
1
2 3
x x
I dx
e e
−
=
+ −

∫
(KB – 2006)
ln 2
16
0
2 3
2 3
x
x x
e
I dx
e e
−
+
=
+ +
∫
1
3
17
4 2
0
3 2
x
I dx
x x
=
+ +
∫
(KB – 2012)

ln 6
18
0
3 3 2 7
x
x x
e
I dx
e e
=
+ + +
∫
7
PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
ln15
2
19
3ln 2
24
1 5 3 1 15
x x
x x x x
e e
I dx
e e e e
−
=
+ + − + −
∫
(

)
3ln 2
20
2
3
0
2
x
dx
I
e
=
+
∫
ln16
21
4
0
4
x
dx
I
e
=
+
∫
ln5
3 2
22
0

3
x x
x
e e
I dx
e
−
=
+
∫
4
23
2
ln 1 3ln
e
e
dx
I
x x x
=
+
∫
2
4
24
0
tan 3tan 2
2 sin 2
x x
I dx

x
π
+ +
=
+
∫
( )
3
21
4
25
1
4 3
3 4 3
x
I dx
x
−
=
+ −
∫
( )
2
1
26
0
x
x
x x e
I dx

x e
−
+
=
+
∫
( )
2
1
27
0
5 6
2 2013
x
x
x x e
I dx
x e
−
+ +
=
+ +
∫
8
3
28
2 2
ln 1
ln
e

e
x
I dx
x x
−
=
−
∫
3
29
2 2
4
1 tan
cos 1
x
x
I dx
e x
π
π
−
=
+
∫
( )
3
30
4
sin 2 2
sin 2 tan 1

x
x
I dx
x e x
π
π
+
=
+
∫
PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG 2
8
PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
2
2
1
0
4I x dx
= −
∫
( )
1
2
2 2
0
4 4
dx
I
x x
=

− −
∫
1
2 2
3
0
1I x x dx
= −
∫
( )
1
2
2
4
3
2
0
1
x
I dx
x
=
−
∫
1
2
5
2
1
4

dx
I
x x
=
−
∫
1
2
6
0
3 2I x x dx
= + −
∫
2
2
7
0
2I x x x dx
= −
∫
1
2 2
8
0
4 3I x x dx
= −
∫
2
3
9

2
2
1
dx
I
x x
=
−
∫
1
10
2
0
1
dx
I
x
=
+
∫
3
11
2
0
3
dx
I
x
=
+

∫
( )
1
12
3
2
0
1
dx
I
x
=
+
∫
2
13
4
sin cos
3 sin 2
x x
I dx
x
π
π
+
=
+
∫
9
PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350

PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
( )
2
1
1
2 lnI x xdx= −
∫
(DBKD – 2006)
2
2
1
ln
e
I x xdx=
∫
(DBKB – 2005)
( ) ( )
1
3
0
5 ln 2 1I x x dx= − +
∫
( )
4
1
2 1 ln
e
I x xdx
= +
∫

( ) ( )
1
5
0
2 1 ln 2I x x dx
= − +
∫
( )
3
2
6
2
lnI x x dx= −
∫
(KD – 2004)
( )
2
7
0
cos ln 1 cosI x x dx
π
= +
∫
2
8
3
1
ln x
I dx
x

=
∫
(KD – 2008)
( )
1
2
9
0
2
x
I x e dx
= −
∫
(KD – 2006)
( )
4
10
0
1 sin 2I x xdx
π
= +
∫
(KD – 2014)
( )
4
11
0
1 sin 2I x x dx
π
= +

∫
(KD – 2012)
2
12
0
cos
x
I e xdx
π
=
∫
2
2
13
0
cosI x xdx
π
=
∫
(DBKD – 2007)
10
PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
( )
1
2
14
0
x x
I e x e dx
−

= +
∫
(CĐ – 2009)
3 2
15
1
ln
e
I x xdx=
∫
(KD – 2007)
2
16
1
1
ln
e
x
I xdx
x
+
=
∫
( )
3
17
2
1
1 ln 1x
I dx

x
+ +
=
∫
(KA – 2012)
2
2
18
2
1
1
.ln
x
I xdx
x
−
=
∫
(KA – 2013)
( )
3
19
2
1
3 ln
1
x
I dx
x
+

=
+
∫
(KB – 2009)
20
1
3
2 ln
e
I x xdx
x
 
= −
 ÷
 
∫
(KD – 2010)
( )
( )
1
21
2
0
3 2ln 3 1
1
x x
I dx
x
+ +
=

+
∫
2
2
22
1
1
ln 1I x dx
x
 
= +
 ÷
 
∫
( )
2
23
2
1
ln 2
4 4 1
x
I dx
x x
+
=
− +
∫
3
24

2
0
1 sin
cos
x x
I dx
x
π
+
=
∫
(KB – 2010)
2
2
25
0
sin cosI x x xdx
π
=
∫
4
26
3
0
sin
cos
x x
I dx
x
π

=
∫
11
PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
( )
4
2
27
0
1 tanI x xdx
π
= −
∫
ln8
28
ln 3
1
x
x
xe
I dx
e
=
+
∫
(
)
2
1
29

2
0
ln 1
1
x x x
I dx
x
+ +
=
+
∫
2 2
2
30
3
1.lnI x x xdx
= +
∫
4
31
0
1 sin 2
.
1 tan
x
I x dx
x
π
+
=

+
∫
( )
1
2
32
0
sin
x
I e x dx
π
=
∫
1
3 1
33
0
x
I e dx
+
=
∫
2
1
3
34
0
x
I x e dx
=

∫
2
35
0
sinI x xdx
π
=
∫
2
2
sin 3
36
0
sin cos
x
I e x xdx
π
=
∫
tan
4
37
3
0
sin
cos
x
e x
I dx
x

π
=
∫
2
2
3 cos
38
0
sin cos
x
I x xe dx
π
=
∫
( )
2
1
3
39
0
x
I x x e dx
−
= +
∫
12
PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
( )
4
40

1
ln 9 x
I dx
x
−
=
∫
( )
2
41
0
sin 2 ln 2 cosI x x dx
π
= +
∫
( )
4
42
0
os2 ln sin cosI c x x x dx
π
= +
∫
( )
4
43
3
0
sin
ln 1 tan

cos
x
I x dx
x
π
= +
∫
( )
4
44
0
tan ln cos
cos
x x
I dx
x
π
=
∫
( )
2
45
2
6
cos ln 1 sin
sin
x x
I dx
x
π

π
+
=
∫
( )
ln 2
2
46
0
ln 1
x x
I e e dx
= +
∫
( )
2
47
1
ln 1 ln
e
x
I dx
x
+
=
∫
ln 2
2
48
0

x
x e
I e dx
+
=
∫
( )
( )
2
1
49
0
1 ln 1
x
xe
x
I x xe dx
= + +
∫
( )
2
2
1
2
cot
sin
50
3
4
cos 2cot 3cot 1

sin
x
x
x x x
I e dx
x
π
π
+
+ +
=
∫
( )
2
2
51
4
1
1
1 ln 1 lnI x x x dx
x
 
 
= − + −
 ÷
 
 
∫
( )
2

6 3
3
42
5
1
2
ln 1 2ln
x x
I x x dx
x
− −
 
= + −
 
∫
13
PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
TÍCH PHÂN CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
3
1
0
1I x dx= −
∫
2
2
2
0
I x x dx= −
∫
(KD – 2004)

2
2
3
0
2 3I x x dx= + −
∫
1
4
1
1
x
I e dx
−
= −
∫
2
5
0
3 1
2
1
x
I x dx
x
−
= + −
+
∫
BÀI TẬP TỔNG HỢP
1

2 2
1
0
2
1 2
x x
x
x e x e
I dx
e
+ +
=
+
∫
(KA – 2010)
( )
4
2
0
sin 1 cos
sin cos
x x x x
I dx
x x x
π
+ +
=
+
∫
(KA – 2011)

( )
0
2
3
3
1
1
x
I x e x dx
−
= + +
∫
(DBKA – 2002)
2
4
1
ln 1
e
x
x x x
I e dx
x
+ +
=
∫
2
5
1
ln
x

x
e ex
I e x dx
x
−
 
= +
 ÷
 
∫
2
6
0
1
cos
2 3sin 1
I x x dx
x
π
 
= +
 ÷
+ +
 
∫
2
7
2
4
3cot 1

sin
x x
I dx
x
π
π
+ +
=
∫
14
PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
2015
4
8
2
0
1 2 tan
os
x x
I dx
c x
π
− +
=
∫
3
2
9
2
4

2 sin
sin
2cos 3
x
I x dx
x
x
π
π
 
= −
 ÷
+
 
∫
2
10
0
cos2 1
cos sin
x x
I dx
x x
π
+
=
+
∫
1
3

11
4
0
2
1
x x
I dx
x
−
=
+
∫
( )
1
2
12
0
1
x
x
x e x x
I dx
x e
+ +
=
+
∫
( )
2
3 2

13
0
os 1 osI c x c xdx
π
= −
∫
(KA – 2009)
( )
2 2
14
3
1
1 ln
e
x x x
I dx
x
+ +
=
∫
(
)
ln8
15
ln 3
1 ln 1 1
1
x x
x
e e

I dx
e
 
− + +
 
 
=
+
∫
( )
3 2
16
1
1 ln 2 1
2 ln
e
x x x
I dx
x x
+ + +
=
+
∫
( )
17
1
1
2 ln 1
ln
e

x
x
I dx
x x
+ +
=
+
∫
( )
18
2
1
ln 1
ln
e
x
x x
I dx
x e x
−
=
+
∫
15
PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
( )
2
1
19
0

1 2
1
x
x
x xe
I dx
xe
+ +
=
+
∫
( )
2
20
1
ln 1 ln
1
x x
x
e x x xe x
I dx
xe
+ + +
=
+
∫
( )
2
21
3

sin ln cos ln
1 sin
x x
x
e x ex e x x
I dx
e x
π
π
+ +
=
+
∫
( )
( )
22
1
1 1
1 ln
x
e
x
x e
I dx
x xe x
− −
=
+
∫
( )

3 2 2
23
1
ln 1 10 ln 1
ln 10
e
x x x x
I dx
x x
+ + +
=
+
∫
( )
24
1
1
ln
e
x
x
xe
I dx
x e x
+
=
+
∫
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

( )
2
: 4 , 0C y x y= − =
và hai đường thẳng
1, 3x x= =
.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
2
: 1 , 0C y x x y= + =
và đường thẳng
1.x
=
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
1 ln
:
x
C y
x
+
=
, trục Ox và hai đường
thẳng
1,x x e= =
.
4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
:
x

C y xe=
, trục Ox và hai đường thẳng
1, 2x x= − =
.
5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
3 1
3 1 3 1
x
x x
y
−
−
=
+ +
, trục Ox và đường
thẳng
1x =
.
6. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
2
4y x x= − +
và
y x
=
(CĐ – 2008)
16
PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
2

3y x x
= − +
và
2 1y x
= +
(KA – 2014)
8. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
1
:C y
x
=
và đường thẳng
2 3y x= − +
.
9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
sin 2 , cosy x y x= =
và hai đường thẳng
0,
2
x x
π
= =
.
10. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
2
4 3y x x= − +
và
3y x
= +

(KA – 2002)
11. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
2
4
4
x
y
= −
và
2
4 2
x
y
=
(KB – 2002)
12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
( )
( )
1 , 1
x
y e x y e x= + = +
(KA – 2007)
13. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
2 2
, 2y x y x= = −
(DBKB – 2007)
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
1. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường
lny x x

=
,
0y
=
,
x e
=
.Tính thể tích của khối tròn
xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
(KB – 2007)
2. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường
2
4y x
=
,
y x
=
.Tính thể tích của khối tròn xoay tạo
thành khi quay hình H quanh trục Ox.
(DBKA – 2007)
3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của hình phẳng giới
hạn bởi trục Ox và đường
( )
sin 0y x x x
π
= ≤ ≤
17
PHẠM VĂN HOAN – SĐT: 0988 258 350
(DBKA – 2004)
4. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn bởi

các đường:
2
4 4y x x= − +
,
0y
=
,
0x
=
và
3x
=
5. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn bởi
các đường:
1
x
x
xe
y
e
=
+
,
0y
=
và
1x
=
6. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn bởi
các đường:

2
sin cos
cos sin 2 cos
x x
y
x x x
+
=
+
,
0y
=
,
0x
=
và
4
x
π
=
7. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn bởi
các đường:
( )
1 sin
cos
2
x
x e
y
x

+
=
,
0y
=
,
0x
=
và
2
x
π
=
8. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn bởi
các đường:
1
1 4 3
y
x
=
+ −
,
0y
=
,
0x
=
và
1x
=

9. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn bởi
các đường:
1
1 1
y
x x
=
+ + −
,
0x
=
và
1x
=
10. Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox, hình phẳng giới hạn bởi
các đường:
5
1 3 2
x
y
x
+
=
+ +
,
1x
= −
và
3x
=

18