Chuyên đề SKKN Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đường thẳng

Mục lục:
Phần thứ nhất: Mở đầu 3
1/ Lý do chọn đề tài. . 3
a) Căn cứ pháp chế 3
b) Yêu cầu thực tiễn 3
2. Mục đích nghiên cứu 4
3. Đối tợng nghiên cứu 4
4. Giới hạn phạm vi nội dung nghiên cứu . . 4
5. Nhiệm vụ nghiên cứu 5
6. Phơng pháp nghiên cứu 5
a) Nghiên cứu lý thuyết 5
b) Nghiên cứu thực tiễn 5
c) Viết đề tài 5
7. Thời gian nghiên cứu . 6
Phần thứ hai: Nội Dung 7
Chơng I: Cơ sở lý luận của đề tài 7
1. Phơng pháp vẽ đồ thị hàm số bậc nhất 7
2. Phơng pháp vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax
2
7
3. Công thức nghiệm phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 7
4. Công thức nghiệm thu gọn của phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0 8
5. Tính nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai 8
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
Chơng II: Thực trạng của đề tài 9
1. Thuận lợi . 9
2. Khó khăn . 9

Chơng III: Giải quyết vấn đề: . 11
I. Một số sai lầm thờng gặp khi giải bài toán về quan hệ giữa Parabol 11
và đờng thẳng ở học sinh trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
1. Vẽ sai đồ thị hàm số 11
2. Giải sai phơng trình . 11
II. Cách khắc phục 11
1. Khắc phục tình trạng học sinh vẽ sai đồ thị hàm số 11
2. Khắc phục tình trạng giải sai phơng trình . 12
III. Một số dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng thờng gặp 12
1. Dạng 1: Bài toán vẽ đồ thị . 12
2. Dạng 2: Bài toán giải phơng trình: . . 17
a) Bài toán yêu cầu tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng: 18
b) Bài toán yêu cầu xác định toạ độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng: 19
3. Dạng 3: Biện luận số giao điểm giữa Parabol và đờng thẳng 20
Phần thứ ba: Kết Luận và khuyến nghị 23
I. Kết luận 23
II. Khuyến nghị . . 23
Tài liệu tham khảo . 25
Phụ lục 26
Đánh giá 27
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
2
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
Phần thứ nhất: Mở đầu
1/ Lý do chọn đề tài.
a) Căn cứ pháp chế
Căn cứ vào chỉ thị 40/CT Ban bí th về việc nâng cao chất lợng đội ngũ nhà giáo
và đội ngũ quản lý giáo dục .
Chỉ thị số 39/2007/bgd&đt ngày 31tháng 7 năm 2007 của Bộ gd&đt về
nhiệm vụ trọng tâm của Giáo dục Mầm non, Giáo dục Phổ thông, Giáo dục Thờng

xuyên, Giáo dục chuyên nghiệp và các trờng, khoa s phạm trong năm học 2009
-2010 .
Hớng dẫn số: 8227/bgd&đt gdth ngày 06 tháng 8 năm 2007 của Bộ
gd&đt về việc hớng dẫn nhiệm vụ Giáo dục Trung học.
Căn cứ vào chỉ thị 184/PGD về việc thực hiện nhiệm vụ năm học 2009-2010.
Và căn cứ vào kế hoạch chỉ đạo thực hiện nhiệm vụ năm học 2009-2010 của
trờng Tiểu Học và THCS túc đán đã nêu rõ tính cấp thiết phải nghiên cứu,
cải cách và đổi mới trong dạy học của thầy và trò trong nhà trờng.
Việc dạy môn toán theo hớng cải cách có nhiều điểm mới, đòi hỏi và yêu cầu
cao hơn so với các lớp dới.
b) Yêu cầu thực tiễn:
Trong chơng trình đại số lớp 9, việc xác định các vị trí tơng đối giữa parabol
và đờng thẳng là một dạng toán tơng đối khó - nhất là với đối tợng học sinh vùng
cao. ở các em kĩ năng vẽ đồ thị còn yếu, nhiều khi hình vẽ có độ chính xác cha
cao, nhiều em còn thiếu dụng cụ học tập. Bên cạnh đó, khả năng t duy suy luận của
các em còn hạn chế, óc t duy hình học nhiều em quên các kiến thức lớp dới có liên
quan nh: Biến đổi tơng đơng phơng trình, giải phơng trình, các hằng đẳng thức
đáng nhớ, nên việc dạy học phần đồ thị còn gặp nhiều khó khăn.
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
3
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
Sau những năm tham gia giảng dạy học sinh khối 9, với những kinh nghiệm đợc
đúc kết từ thực tiễn, tôi mạnh dạn đa ra một số phơng pháp hớng dẫn học sinh học
tốt mối quan hệ giữa parabol và đờng thẳng , để cùng đồng nghiệp tham khảo và
trao đổi, nhằm mục đích khắc phục những tồn tại nói trên. Đồng thời nhằm giúp
học sinh khối 9 có đợc một cách nhìn nhận mới về các vị trí tơng đối giữa parabol
và đờng thẳng, trên nền tảng các kiến thức cơ bản đã đợc trang bị của cấp học, qua
đó giúp các em trau dồi đợc những phẩm chất về trí tuệ nh: tính độc lập, linh hoạt,
sáng tạo trong quá trình giải toán, giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập
môn toán THCS.

2. Mục đích nghiên cứu:
Để giúp các em học tốt hơn môn toán. Ngời thày giáo, cô giáo ngoài việc
giúp các em nắm đợc những kiến thức lý thuyết toán, thì việc bồi dỡng cho các em
về mặt phơng pháp giải các loại toán là rất quan trọng. Nó giúp các em nhận dạng,
tìm tòi đờng lối giải một cách nhanh chóng, hình thành kỹ năng phát triển t duy
ngày càng sâu sắc hơn. Việc tự mình giải đợc 1 bài toán sẽ giúp các em tự tin hơn,
hứng thú hơn trong học tập, và yêu thích môn toán hơn Điều này sẽ giúp cho kết
quả học toán của các em tốt hơn. Mục đích cuối cùng là nhằm vận dụng tốt đổi mới
phơng pháp dạy học toán và nâng cao chất lợng dạy môn toán của giáo viên, chất l-
ợng học môn của học sinh trờng Tiểu Học Và THCS Túc Đán.
3. Đối tợng nghiên cứu:
Việc hớng dẫn học sinh quan hệ giữa parabol và đờng thẳng đợc nghiên cứu
trên đối tợng học sinh khối lớp 9 trên địa bàn xã Túc Đán
4. Giới hạn phạm vi nội dung nghiên cứu:
Trong rất nhiều mảng kiến thức toán THCS, đề tài này chỉ xin đóng góp 1
phần nhỏ vào việc làm thế nào để học sinh giải bài toán quan hệ giữa Parabol và đ-
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
4
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
ờng thẳng đợc tốt hơn. Qua đó phần nào nâng cao chất lợng học toán của học sinh
vùng cao.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Trong chơng trình đại số lớp 9, việc xác định các vị trí tơng đối giữa Parabol
và đờng thẳng đối với học sinh còn gặp những khó khăn nh không biết phơng hớng
giải, khả năng tởng tợng hình còn yếu, cha trình bầy lời giải một cách đầy đủ vầ
chính xác. Học sinh thờng mắc một số sai lầm cơ bản nh: Vẽ hình cha chính xác,
giải sai phơng trình hoặc tính toán sai trong khi giải
Nhiệm vụ đặt ra của đề tài là chỉ ra những sai lầm học sinh thờng mắc phải ,
giúp các em tránh đợc những sai lầm đó. Đồng thời hệ thống một số dạng, giúp học
sinh có thể nhận dạng quan hệ giữa parabol và đờng thẳng đợc nhanh hơn.

6. Phơng pháp nghiên cứu:
a) Nghiên cứu lý thuyết:
Nghiên cứu Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập toán 9.
Nghiên cứu các tài liệu tham khảo.
b) Nghiên cứu thực tiễn:
Nghiên cứu qua việc giảng dạy thực tế ở trờng Tiểu Học Và THCS Túc Đán.
Qua dự giờ đồng nghiệp trong nhà trờng và qua trao đổi, học hỏi các thầy, cô
giáo đi trớc nhiều kinh nghiệm.
Qua trao đổi trực tiếp với học sinh tìm hiểu những khó khăn, qua các bài
kiểm tra và vở bài tập của học sinh.
c) Viết đề tài :
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
5
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
Sau một thời gian nghiên cứu và qua thực nghiệm với các đối tợng học
sinh .Đợc sự góp ý chỉ đạo tận tình của các đồng nghiệp cùng tổ chuyên môn , ban
giám hiệu nhà trờng, bản thân tôi đã tiến hành viết đề tài này.
7. Thời gian nghiên cứu:
Quá trình nghiên cứu đợc tiến hành từ ngày 5 tháng 9 năm 2008 đến ngày 8
tháng 4 năm 2010.
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
6
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
Phần thứ hai: Nội Dung
Chơng I: Cơ sở lý luận của đề tài:
1. Phơng pháp vẽ đồ thị hàm số bậc nhất:
- Muốn vẽ đồ thị hàm số y = ax ( a 0 ) ta vẽ đờng thẳng đi qua gốc tọa độ O và
điểm A ( 1 ; a )
- Muốn vẽ đồ thị hàm số y = ax + b ( a 0 ):
Cho x = 0 y = b , ta đợc điểm (0;b) là giao điểm của đồ thị với trục tung

Cho y = 0 x = -
b
a
, ta đợc điểm (-
b
a
; 0) Là giao điểm của đồ thị với trục hoành
2. Phơng pháp vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax
2
(a

0):
Lập bảng giá trị:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 9a 4a a 0 a 4a 9a
Nối các điểm trên bằng đờng cong ta đợc đồ thị hàm số y = ax
2
3. Công thức nghiệm phơng trình bậc hai ax
2
+ bx + c = 0:
= b
2
- 4ac. Nếu:
< 0: Phơng trình vô nghiệm
= 0: Phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán

7
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
> 0: Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
1
2
2
2
b
x
a
b
x
a
+
=

=
4. Công thức nghiệm thu gọn của phơng trình bậc hai
ax
2
+ bx + c = 0:
Nếu b = 2b thì:
= (b)
2
- ac. Nếu:
< 0: Phơng trình vô nghiệm
= 0: Phơng trình có nghiệm kép: x
1
= x
2

=
= 0: Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
1
2
' '
' '
b
x
a
b
x
a
+
=

=
5. Tính nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai:
Nếu a + b + c = 0 thì x
1
= 1; x
2
=
Nếu a - b + c = 0 thì x
1
= -1; x
2
=
Chơng II: Thực trạng của đề tài:
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
8

Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
1. Thuận lợi:
Nội dung chơng trình SGK đợc đổi mới giảm nhẹ tính lý thuyết kinh viện, tăng
yêu cầu thực hành. Thời lợng dành cho lí thuyết cũng đã giảm, chỉ chiếm 60% tổng
thời lợng. Thời gian dành cho bài tập, luyện tập, ôn tập và thực hành đợc tăng lên,
giúp khắc sâu kiến thức cho HS hơn so với chơng trình cũ.
Giáo viên đợc tham gia đầy đủ các lớp bồi dỡng chuyên môn về đổi mới nội
dung chơng trình SGK, đổi mới phơng pháp dạy học cho phù hợp với đối tợng học
sinh vùng cao.
Nhà trờng đợc sự quan tâm của nhà nớc trang bị sách giáo khoa cho học sinh,
giảm bớt phần nào thiếu thốn về tài liệu học tập.
2. Khó khăn:
Trong quả trình giảng dạy toán ở trờng tôi gặp rất nhiều khó khăn vì 100% đối
tợng học sinh là ngời dân tộc thiểu số có nhận thức rất chậm, kĩ năng vẽ hình yếu,
nên việc giúp các em tiếp cận những kiến thức cơ bản và vận dụng vào giải bài tập
là điều rất quan trọng.
Tài liệu toán học, sách tham khảo, sách nâng cao ở th viện nhà trờng còn ít về
số lợng, nghèo nàn về chủng loại. Học sinh không có điều kiện tiếp xúc với các loại
sách tham khảo, nâng cao. Tài liệu duy nhất HS đợc trang bị để trong học tập là
SGK + SBT toán. Kinh tế gia đình đại đa số HS còn nghèo, không trang bị đầy đủ
các dụng cụ học tập cần thiết cho việc học tập môn toán của HS nh: máy tính bỏ
túi
Đề tài Giúp Học sinh học tốt dạng toán quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
cho phù hợp với đối tợng học sinh trờng Tiểu Học Và THCS Túc Đán từ trớc đến
nay cha đợc triển khai.
Hiện nay, giải bài toán quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng là một trong những
khó khăn lớn đối với các em học sinh trờng Tiểu Học Và THCS Túc Đán. Dạng
toán này đòi hỏi ở học sinh tổng hợp nhiều kĩ năng nh: Vẽ chính xác đồ thị, phân
tích hình vẽ, giải phơng trình, biện luận phơng trình bậc hai, mà tất cả các kĩ năng
nói trên thì ở nhiều em học sinh còn yếu Chính vì vậy mà nhiều em học sinh rất

ngại khi gặp phải dạng toán xác định vị trí tơng đối giữa Parabol và đờng thẳng.
Qua điều tra học sinh, tôi thu đợc số liệu nh sau:
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
9
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
Sở thích Mức độ
Thích
Không
thích
Dễ
Trung
bình
Khó
1
Em có thích học hàm
số y = ax + b và
y = ax
2
không?
Đánh giá của em về bài
toán vẽ đồ thị hàm số?
60% 40% 15% 45% 40%
2
Em có thích giải bài
toán về quan hệ giữa
Parabol và đờng thẳng
không?
Nhận xét của em về
giải bài toán này?
15% 85% 3% 15% 82%

Các nhiệm vụ cần giải quyết:
1. Chỉ ra đợc những sai lầm thờng gặp khi giải bài toán về quan hệ giữa
Parabol và đờng thẳng.
2. Đa ra một số dạng bài toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng thờng
gặp và phơng pháp giải.
Chơng III: Giải quyết vấn đề:
I. Một số sai lầm thờng gặp khi giải bài toán về quan hệ giữa Parabol
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
10
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
và đờng thẳng ở học sinh trờng Tiểu Học Và THCS Túc Đán :
1. Vẽ sai đồ thị hàm số:
- Chia các khoảng đơn vị trên 2 trục toạ độ không bằng nhau
- Gióng toạ độ điểm không vuông góc với 2 trục toạ độ, dẫn đến lấy các điểm
không chính xác
- Vẽ đờng nối giữa các điểm của Parabol không chính xác
2. Giải sai phơng trình:
- Quên hoặc áp dụng sai các phép biến đổi tơng đơng các phơng trình
- Sai lầm trong tính toán
II. Cách khắc phục:
1. Khắc phục tình trạng học sinh vẽ sai đồ thị hàm số:
- Nếu các em vẽ đồ thị trên vở kẻ ô li thì hình vẽ có độ chính xác cao hơn, còn vẽ
trên giấy thếp thờng không chính xác. Để khắc phục hiện tợng chia khoảng đơn vị
trên hệ trục toạ độ ở vở giấy thếp không bằng nhau, tôi hớng dẫn các em làm một
thớc đo đơn giản bằng giấy thếp gấp lại. Dùng thớc này đo sẽ cho các khoảng trên
trục nằm ngang bằng với trục thẳng đứng một cách chính xác.
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
11
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
- Để khắc phục tình trạng các em gióng toạ độ điểm không vuông góc với 2 trục toạ

độ, hoặc vẽ đờng nối giữa các điểm của Parabol không chính xác, đòi hỏi ở ngời
giáo viên sự kiên trì theo dõi quá trình học tập của từng em, uốn nắn từng điểm sai
trong hình vẽ cho các em. Qua đó giáo dục tính cẩn thận, chính xác trong vẽ hình
cho các em
2. Khắc phục tình trạng giải sai phơng trình:
- Ôn tập lại các phép biến đổi tơng đơng các phơng trình
- Luyện kĩ năng tính toán cho học sinh
- Luyện cho các em tính cẩn thận soát lại bài sau khi giải xong
III. Một số dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng thờng
gặp:
1. Dạng 1: Bài toán vẽ đồ thị
- Cho đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b và hàm số bậc hai y = ax
2
. Yêu cầu vẽ các
đồ thị trên cùng một mặt phẳng toạ độ rồi tìm toạ độ giao điểm.
* Cách giải:
- Lập bảng giá trị rồi vẽ Parabol
- Xác định toạ độ các giao điểm của đờng thẳng với các trục toạ độ rồi vẽ đồ thị
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
12
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
- Xác định toạ độ các giao điểm (Nếu có)
* Trờng hợp Parabol và đờng thẳng không có điểm chung:
VD1: Vẽ Parabol y = 2x
2
(P) và đờng thẳng y = x - 2 (d) trên cùng một mặt phẳng
toạ độ. Tìm toạ độ giao điểm?
Giải:
- Bảng giá trị:
x - 2 - 1 0 1 2

y = 2x
2
8 2 0 2 8
- Vẽ đồ thị y = 2x - 2:
Cho x = 0 y = -2
Cho y = 0 x = 1
f(x)=2x^2
f(x)=2x-2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
y
Đờng thẳng (d) và Parabol (P) không có điểm chung
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
13
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
* Trờng hợp Parabol và đờng thẳng có một điểm chung :
VD2: Vẽ Parabol y = x
2
(P) và đờng thẳng y = 4x - 4 (d) trên cùng một mặt phẳng
toạ độ. Tìm toạ độ giao điểm?
Giải:
- Bảng giá trị:

x -2 -1 0 1 2
y = x
2
4 1 0 1 4
- Vẽ đờng thẳng y = 4x - 4:
Cho x = 0 y = -4
Cho y = 0 x= 1
f(x)=x^2
f(x)=4x-4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
A
(d) tiếp xúc (P) tại điểm A(2; 4)
VD3: Vẽ Parabol y = x
2
và đờng thẳng x = -2. Xác định toạ độ giao điểm?
Giải:
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
14
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng

Bảng giá trị:
x -4 -2 0 2 4
y = x
2
-8 -2 0 -2 -8
f(x)=-1/2*x^2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
x
y
Đờng thẳng x = -2 cắt Parabol y = -2x
2
tại điểm B(-2; -2)
* Trờng hợp Parabol và đờng thẳng có hai điểm chung:
VD4: Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, vẽ đồ thị hai hàm số y = -x
2
và y = x - 2.
Xác định toạ độ giao điểm?
Giải:
- Bảng giá trị:
x -2 -1 0 1 2
y = -x
2

-4 -1 0 1 2
- Vẽ đồ thị hàm số y = x - 2:
Cho x = 0 y = -2
Cho y = 0 x = 2
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
15
B
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
f(x)=-x^2
f(x)=x -2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
x
y
C
D
Đờng thẳng y = x -2 cắt Parabol y = -x
2
tại hai điểm: C(-2; -4) và D(1; -1)
VD5: Cho hai hàm số y = x
2
và y = 2.
a) Vẽ đồ thị hai hàm số trên?

b) Xác định toạ độ giao điểm?
Giải:
- Bảng giá trị:
x -4 -2 0 2 4
y 8 2 0 2 8
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
16
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
f(x)=1/2*x^2
f(x)=2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
E
F
Đờng thẳng y = 2 cắt Parabol y = x
2
tại hai điểm E (-2; 2) và F (2; 2)
2. Dạng 2: Bài toán giải phơng trình:
* Cách giải:
Cho Parabol y = ax
2

(P) và đờng thẳng y = bx + c (d). Hoành độ giao điểm giữa
Parabol (P) và đờng thẳng (d) là nghiệm của phơng trình:
ax
2
= bx + c
ax
2
- bx - c = 0 (*)
- Parabol (P) và đờng thẳng (d) không có điểm chung khi và chỉ khi phơng trình (*)
vô nghiệm
- Parabol (P) và đờng thẳng (d) có 1 điểm chung khi và chỉ khi phơng trình (*) có
nghiệm kép
- Parabol (P) và đờng thẳng (d) có 2 điểm chung khi và chỉ khi phơng trình (*) có 2
nghiệm phân biệt
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
17
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
- Sau khi tìm đợc giá trị hoành độ, thay vào một trong hai hàm số sẽ tìm đợc giá trị
tung độ của giao điểm
a) Bài toán yêu cầu tìm hoành độ giao điểm của Parabol và đờng
thẳng:
VD1: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol y = x
2
và đờng thẳng y = x - 6
Giải:
Hoành độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng là nghiệm của phơng trình
x
2
= x - 6
x

2
- x + 6 = 0
= b - 4ac = (-1) - 4. 6 = 1 - 24 = -23 < 0
Phơng trình vô nghiệm
Parabol và đờng thẳng không có điểm chung
VD2: Cho Parabol y = x và đờng thẳng y = 2x - 3. Xác định hoành độ giao điểm
của hai đồ thị?
Giải:
Hoành độ giao điểm hai đồ thị là nghiệm của phơng trình:
x = 2x - 3
x - 2x + 3 = 0
x
2
- 6x + 9 = 0
' = (b)
2
- ac = (-3)
2
- 9 = 9 - 9 = 0
Phơng trình có nghiệm kép: x = - = - (-3) = 3
Parabol và đờng thẳng tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ là 3
VD3: Tìm hoành độ giao điểm giữa Parabol y = 2x
2
và đờng thẳng y = 7x - 5
Giải:
Hoành độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng là nghiệm của phơng trình:
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
18
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
2x

2
= 7x -5
2x
2
- 7x + 5 = 0
Có 2 + (-7) + 5 = 0
Phơng trình có hai nghiệm:
x
1
= 1
x
2
=
Đờng thẳng y = 7x - 5 cắt Parabol y = 2x
2
tại hai điểm có hoành độ là 1 và
b) Bài toán yêu cầu xác định toạ độ giao điểm của Parabol và đờng
thẳng:
VD4: Tìm toạ độ giao điểm của Parabol y = x
2
và đờng thẳng y = 2x - 5
Giải:
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình:
x
2
= 2x - 5
x
2
- 2x + 5 = 0
x

2
- 4x + 10 = 0
= (b)
2
- ac = (-2)
2
- 10 = 4 - 10 = -6
< 0 Phơng trình vô nghiệm
Đờng thẳng không cắt Parabol
VD5: Cho Parabol y = x
2
và đờng thẳng y = 2x - 4. Xác định toạ độ giao điểm
giữa Parabol và đờng thẳng trên?
Giải:
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phơng trình:
x
2
= 2x - 4
x
2
- 2x + 4 = 0
x
2
- 8x + 16 = 0
= (b)
2
- ac = (-4)
2
- 16 = 16 - 16 = 0
Phơng trình có nghệm kép:

x = = - (-4) = 4
Thay x = 4 vào một trong hai hàm số, ta tìm đợc tung độ giao điểm:
y = 2. 4 - 4 = 4
Vậy đờng thẳng y = 2x - 4 tiếp xúc Parabol y = x
2
tại điểm (4; 4)
VD6: Xác định toạ độ giao điểm của Parabol y = x
2
và đờng thẳng y = 7x - 12?
Giải:
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
19
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
Hoành độ giao điểm Parabol và đờng thẳng là nghiệm của phơng trình:
x
2
= 7x - 12
x
2
- 7x + 12 = 0
= b - 4ac = (-7) - 4. 12 = 49 - 48 = 1 > 0
= = 1
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
1
2
( 7) 1 7 1
4
2 2
( 7) 1 7 1
3

2 2
x
x
+ +
= = =

= = =
Lần lợt thay các giá trị x
1
= 4 và x
2
= 3 vào một trong hai hàm số ta tìm đợc tung độ
các giao điểm:
y
1
= 4
2
= 16
y
2
= 3
2
= 9
Vậy đờng thẳng cắt Parabol tại hai điểm: (4; 16) và (3; 9)
3. Dạng 3: Biện luận số giao điểm giữa Parabol và đờng thẳng
* Cách giải:
Số giao điểm giữa Parabol y = ax
2
và đờng thẳng y = bx + c là số nghiệm của phơng
trình:

ax
2
= bx + c
ax
2
- bx - c = 0
= (-b)
2
- 4a. (- c) = b
2
+ 4ac. Nếu:
< 0: Parabol và đờng thẳng không cắt nhau
= 0: Parabol và đờng thẳng tiếp xúc nhau
> 0: Parabol và đờng thẳng cắt nhau tại hai điểm
VD: Cho Parabol (P) y = x
2
và đờng thẳng (d) y = 2(m - 1)x - m
2
- 9. Tìm m để:
a) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b) (d) Tiếp xúc (P) tại một điểm
c) (d) không cắt (P)
Giải:
Hoành độ giao điểm của Parabol và đờng thẳng là nghiệm của phơng trình:
x
2
= 2(m - 1)x - m
2
- 9
x

2
- 2(m - 1)x + m
2
+ 9 = 0 (1)
= (b)
2
- ac = [-(m -1)]
2
- (m
2
+ 9) = m
2
- 2m + 1 - m
2
- 9 = - 2m - 8.
a) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
> 0
- 2m - 8 > 0
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
20
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
- 2m > 8
m < - 4
Vậy với m < - 4 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b) (d) Tiếp xúc (P) tại một điểm
Phơng trình (1) có nghiệm kép
= 0
- 2m - 8 = 0
- 2m = 8

m = - 4
Vậy với m = - 4 thì (d) tiếp xúc (P) tại một điểm
c) (d) không cắt (P)
Phơng trình (1) vô nghiệm
< 0
- 2m - 8 < 0
- 2m < 8
m > - 4
Vậy với m > - 4 thì (d) không cắt (P)
VD2: Cho Parabol (P) y = x
2
và đờng thẳng (d) y = 6mx - 8m
2
. Với giá trị nào của
m để:
a) (d) không cắt (P)
b) (d) tiếp xúc (P). Tìm toạ độ giao điểm?
c) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt? Tìm toạ độ giao điểm khi m = -1
Giải:
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình:
x
2
= 6mx - 8m
2
x
2
- 6mx + 8m
2
= 0 (2)
= (b)

2
- ac = (-3m)
2
- 8m
2
= 9m
2
- 8m
2
= m
2
a) (d) không cắt (P)
Phơng trình (2) vô nghiệm
m
2
< 0 (Vô lí)
Không có giá trị nào của m để (d) không cắt (P)
b) (d) tiếp xúc (P)
m
2
= 0
m = 0
Thay m = 0 vào phơng trình (2):
(2) x
2
= 0
x = 0
Thay x = 0 vào hàm số y = x
2
: y = 0

2
= 0
Với m = 0 thì (d) tiếp xúc với (P) tại gốc toạ độ O (0; 0)
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
21
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
c) (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Phơng trình (2) có hai nghiệm phân biệt
m
2
> 0

0
0
m
m
>


<

Thay m = -1 vào phơng trình (2):
(2) x
2
+ 6x + 8 = 0
= 3
2
- 8 = 9 - 8 = 1 > 0
= = 1
Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

x
1
= - 3 + 1 = -2
x
2
= -3 - 1 = - 4
Lần lợt thay các giá trị x
1
= - 2, x
2
= - 4 vào hàm số y = x
2
:
y
1
= (- 2)
2
= 4
y
2
= (- 4)
2
= 16
Với m > 0 hoặc m < 0 thì (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Tại m = -1 thì (d) cắt (P) tại hai điểm: (- 2; 4) và (- 4; 16)
Phần thứ ba: Kết Luận và khuyến nghị
I. Kết luận:
Kết quả học tập của học sinh sau khi áp dụng đề tài trong năm học 2008 -
2009 so với năm học trớc nh sau:
Năm học

Tổng
số
học
sinh
á
p dụng đề tài cha
Số học sinh
hiểu bài
Tỉ lệ
%
2007 - 2008 34 Cha áp dụng 14 41%
2008 - 2009 64 Đã áp dụng 49 76,6%
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
22
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
2009
2010
(Tính đến
thời điểm
8/4/2010)
55 Đã áp dụng 44 80%
Trên đây là một số dạng bài tập thờng gặp về quan hệ giữa Parabol và đờng
thẳng. Tuỳ theo các dữ kiện, yêu cầu của bài ra mà áp dụng cách giải cho phù hợp.
Sau những năm giảng dạy về dạng toán quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng, tôi
rút đợc một số kinh nghiệm sau:
- Thờng xuyên chỉ ra những sai lầm mắc phải ở học sinh, để các em sửa
chữa, giúp các em hiểu sâu hơn, khắc sâu kiến thức.
- Dạng toán 1: Vẽ đồ thị hai hàm số rồi xác định toạ độ giao điểm đòi hỏi
ở học sinh tính cẩn thận, độ chính xác cao trong khi vẽ hình. Nếu hình vẽ đúng thì
toạ độ giao điểm đúng, hình vẽ sai sẽ cho toạ độ giao điểm sai.

- Dạng toán 2: Đa việc tìm số giao điểm, hoành độ giao điểm, toạ độ giao
điểm về việc giải phơng trình bậc hai. Dạng toán này rèn luyện cho các em kỹ năng
vận dụng công thức nghiệm, kỹ năng tính toán, tính nhẩm nghiệm.
- ở dạng toán 3: Đa việc biện luận số giao điểm của Parabol và đờng thẳng
về việc giải và biện luận phơng trình bậc hai. Dạng toán này tơng đối khó so với
trình độ nhận thức của các em học sinh vùng cao. Sau khi tôi áp dụng cách phân
dạng bài tập thì các em đã biết cách giải.
II. Khuyến nghị:
- Mỗi học sinh cần trang bị đầy đủ đồ dùng học tập nh thớc kẻ, com pa, máy
tính bỏ túi
- Các em cần nâng cao ý thức tự giác trong học tập, tính hợp tác trong hoạt
động nhóm, tính cẩn thận trong vẽ đồ thị và trong tính toán. Thờng xuyên kiểm tra,
soát lại bài giải sau khi làm xong một bài tập.
- Mỗi giáo viên cần phải thờng xuyên tự học, tự bồi dỡng, rèn luyện để
không ngừng trau dồi về kiến thức kỹ năng dạy học.
- Thờng xuyên đổi mới về cách soạn, cách giảng, đa các ứng dụng công nghệ
thông tin vào dạy học, đa dạng hoá các phơng pháp và hình thức tổ chức dạy học để
lôi cuốn đợc học sinh vào quá trình học tập.
- Cần quan tâm sâu sát đến từng đối tợng học sinh đặc biệt là học sinh yếu
kém, giúp đỡ ân cần, nhẹ nhàng tạo niềm tin, hứng thú cho các em vào môn học.
- Trong quá trình dạy giáo viên phải hớng dẫn học sinh vào việc phát huy
tính tích cực, chủ động, sáng tạo, tạo ra những tình huống có vấn đề để học sinh
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
23
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
thảo luận. Trong mỗi tiết phải tạo ra đợc quan hệ giao lu đa chiều giữa giáo viên
học sinh, giữa cá nhân, tổ chức nhóm.
- Giáo viên cần mạnh dạn đa các ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học
nh các phần mềm vẽ đồ thị, các loại máy chiếu đa năng, máy chiếu hắt, các hiệu
ứng hình ảnh để tiết học thêm sinh động.

Sau nghiên cứu và triển khai vấn đề này bản thân tôi nhận thấy: Để nâng cao
hứng thú cho học sinh học môn Đại số 9 thì giáo viên phải tạo hứng thú cho học
sinh thông qua tìm hiểu kiến thức mới, thông qua việc phân loại bài tập, hớng dẫn
học sinh giải bài tập, qua việc vẽ đồ thị Đồng thời phải luôn gần gũi, tìm hiểu
những khó khăn, sở thích của học sinh để từ đó có những biện pháp phù hợp hơn.
Đề tài Giúp học sinh học tốt dạng toán quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
ở trờng Tiểu Học Và THCS Túc Đán đợc tiến hành trong thời gian ngắn, đối tợng
nghiên cứu chỉ đợc tiến hành trên các em học sinh khối lớp 9 Trờng Tiểu Học Và
THCS Túc Đán, và số năm giảng dạy của bản thân tôi cha nhiều. Nên đề tài không
tránh khỏi những thiếu sót, có thể cha chỉ ra đợc hết các dạng bài tập về quan hệ
giữa Parabol và đờng thẳng, và phơng pháp dạy học sao cho phù hợp với đối tợng
học sinh vùng cao. Rất mong đợc sự đóng góp ý kiến của các cấp quản lí giáo dục
và các thầy cô giáo để cho đề tài đợc hoàn thiện hơn, nâng cao hơn nữa chất lợng
dạy học môn toán lớp 9 nói riêng, môn toán trung học cơ sở nói chung.
Túc Đán, ngày 8 tháng 4 năm 2010
Ngời thực hiện
Đỗ Quang Thắng
Tài liệu tham khảo
1) Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập toán 9
2) Tài liệu thay SGK toán 9
3) Tài liệu bồi dỡng chu kỳ thờng xuyên
4) Toán nâng cao và phát triển - Vũ Hữu Bình
5) 36 bộ đề toán - Võ Đại Mau
6) Tạp trí Toán Học và Tuổi Trẻ. Số ra hàng tháng.
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
24
Các dạng toán về quan hệ giữa Parabol và đờng thẳng
Phụ lục
Phần thứ nhất: Mở đầu 3 - 5
Phần thứ hai: Nội Dung 6 - 21

Phần thứ ba: Kết Luận và khuyến nghị 22 - 23
Tài liệu tham khảo . 24
Phụ lục 25
Đỗ Quang Thắng Trờng Tiểu Học và THCS Túc Đán
25