Quan hệ giữa parabol và đường thẳng

Sáng kiến
A. Đặt vấn đề
Nâng cao chất lợng giáo dục trong nhà trờng THCS là nhiệm vụ số một và
cũng là mục tiêu phấn đấu của mỗi giáo viên. Đặc biệt là vấn đề chất lợng giáo
dục học sinh giỏi lớp 9 và chất lợng tuyển sinh vào lớp 10 THPT.
Trong dạy học, muốn nâng cao chất lợng bộ môn và giờ dạy đạt kết quả tốt
đòi hỏi mỗi giáo viên không những phải nắm chắc kiến thức, nghiên cứu kĩ bài
giảng mà còn phải biết sáng tạo, không ngừng đổi mới phơng pháp dạy học.
Trong quá trình dạy học toán nói chung cũng nh quá trình bồi dỡng học sinh
giỏi Toán 9 hay hớng dẫn học sinh ôn thi vào lớp 10 THPT nói riêng, tôi nhận
thấy việc giáo viên thờng xuyên ôn tập, hệ thống kiến thức, phân loại bài tập,
hình thành phơng pháp và kĩ năng giải toán cho học sinh là rất cần thiết. Nếu
nh giáo viên làm tốt, đa ra đợc những dạng toán điển hình thì học sinh sẽ đợc
khắc sâu kiến thức, tiếp thu bài học tốt, rèn luyện kĩ năng tốt, do đó mà học sinh
hứng thú, tích cực học tập hơn. Việc giải các bài toán nâng cao sẽ không còn là
một trở ngại lớn đối với các em. Hơn thế nữa, việc làm đó còn phát triển t duy,
sáng tạo cho học sinh, không những học sinh làm tốt các bài toán ở dạng quen
thuộc, đã đợc luyện tập nhiều mà trớc một bài toán lạ học sinh cũng sẽ không bị
lúng túng, các em biết cách chuyển các bài toán lạ đó về những dạng quen
thuộc, đã đợc rèn luyện nhiều để giải. Nhờ đó mà chất lợng bồi dỡng học sinh
giỏi, chất lợng tuyển sinh vào lớp 10 THPT đợc nâng lên.
Với suy nghĩ nêu trên, với tinh thần yêu thích bộ môn, với mong muốn nâng
cao chất lợng bồi dỡng học sinh giỏi Toán 9, nâng cao chất lợng tuyển sinh vào
lớp 10 THPT, tôi đã nghiên cứu và viết chuyên đề Quan hệ giữa parabol y =
ax
2
và đờng thẳng y = mx + n với nội dung hệ thống, phân loại bài tập thành
từng dạng. Mỗi dạng hình thành phơng pháp giải và rèn luyện kĩ năng giải toán
cho học sinh. Nội dung chuyên đề thể hiện sự hoàn thiện thêm một bớc các
dạng toán về hàm số sau chuyên đề Hàm số bậc nhất, cùng với hệ thống bài
tập đợc sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ cơ bản đến nâng

cao, phù hợp với tiến trình nhận thức của học sinh. Một số bài tập đợc viết theo
hớng mở, giáo viên có thể khai thác tuỳ theo đối tợng học sinh.
Nguyễn Thế Thành Trờng THCS Thị trấn Hng Hà
1
Sáng kiến
B. Nội dung
Chuyeõn ủe:
Quan hệ giữa parabol y = ax
2
và đờng thẳng y = mx + n
I) Tóm tắt lí thuyết
Hoành độ giao điểm của parabol (P): y = ax
2
(
a 0

) và đờng thẳng (d):
y = mx + n (
m 0

) là nghiệm của phơng trình:
ax
2
= mx + n

ax
2
mx + n = 0 (

)

Phơng trình (

) đợc gọi là phơng trình hoành độ giao điểm của
(P) và (d).

g
(P) và (d) không giao nhau

(

) vô nghiệm.

g
(P) và (d) tiếp xúc nhau

(

) có nghiệm kép.

g
(P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

(

) có hai nghiệm
phân biệt.
II) Các dạng toán điển hình
Dạng 1.
Vẽ parabol (P): y = ax
2

(
a 0
) và đờng thẳng (d):
y = mx + n (
m 0
) trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy.

Phơng pháp giải:
Vẽ hệ trục toạ độ Oxy.
Xác định hai điểm phân biệt của (d) rồi vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm đó.
Xác định năm điểm phân biệt của (P) rồi vẽ parabol đi qua năm điểm ấy.
Dạng 2.
Tìm toạ độ các giao điểm của parabol (P): y = ax
2
(
a 0
) và đờng thẳng (d): y = mx + n (
m 0
).

Phơng pháp giải:
Viết phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (d).
Giải phơng trình để tìm hoành độ các giao điểm.
Nguyễn Thế Thành Trờng THCS Thị trấn Hng Hà
2
Sáng kiến
+ Nếu phơng trình vô nghiệm thì kết luận (P) và (d) không giao nhau.
+ Nếu phơng trình có nghiệm: Thay giá trị tìm đợc của hoành độ các giao điểm
vào công thức y = ax
2

hoặc y = mx + n để tính tung độ các giao điểm.
Trả lời bài toán.
Ví dụ. Cho hai hàm số y = x
2
và y = x + 2.
a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số đó.
Bài giải:
a) Vẽ đồ thị của các hàm số y = x
2
và y = x + 2 trên cùng một hệ trục toạ
độ.
x 0
2
x
2

1
0 1 2
y = x + 2 2 0 y = x
2
4 1 0 1 4
b) Tìm toạ độ các giao điểm của
hai đồ thị hàm số.
Xét phơng trình hoành độ giao điểm
của hai đồ thị hàm số y = x
2
và
y = x + 2:
x

2
= x + 2

x
2
x 2 = 0
có: a b + c = 1 + 1 2 = 0

x
1
= 1

y
1
= 1, ta có A( 1; 1)
x
2
= 2

y
2
= 4, ta có B(2; 4)
Vậy giao điểm của hai đồ thị hàm
số y = x
2
và y = x + 2 là A( 1; 1) và
B(2; 4).
Dạng 3.
Tìm giá trị của tham số để parabol (P): y = ax
2

(
a 0
)
và đờng thẳng (d): y = mx + n (
m 0
) thoả mãn một
trong các vị trí tơng đối.

Phơng pháp giải:
Viết phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (d).
Tìm giá trị của tham số để phơng trình vô nghiệm; có nghiệm kép hay có hai
nghiệm phân biệt tuỳ thuộc vào vị trí tơng đối của (P) và (d).
Nguyễn Thế Thành Trờng THCS Thị trấn Hng Hà
3
x
O
y
-1-2
2
1
1
2
3
4
5
-1
A
B
6
Sáng kiến

Trả lời bài toán.
Ví dụ. Cho hai hàm số y = x
2
và y = 2x + m.
Tìm giá trị của m để đồ thị các hàm số này tiếp xúc nhau. Tìm toạ độ tiếp
điểm ứng với giá trị tìm đợc của m.
Bài giải:
Xét phơng trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = x
2
và
y = 2x + m:
x
2
= 2x + m

x
2
2x m = 0 (

)


= 1 + m
Đồ thị các hàm số đã cho tiếp xúc với nhau

Phơng trình (

) có nghiệm
kép

= 0

1 + m = 0

m = 1.
Khi đó phơng trình (

) có nghiệm kép: x
1
= x
2
= 1

y = 1


Tiếp điểm (1; 1).
Vậy với m = 1 thì đồ thị các hàm số đã cho tiếp xúc với nhau, tiếp điểm
là (1; 1).
Dạng 4.
Lập phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc k và tiếp
xúc với parabol (P): y = ax
2
(
a 0
).

Phơng pháp giải:

Phơng trình đờng thẳng (d) có dạng y = kx + b (1)
Do (d) và (P) tiếp xúc nhau nên phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và
(P): ax
2
= kx + b có nghiệm kép. Giải điều kiện này, tìm đợc b.
Thay giá trị tìm đợc của b vào (1) ta đợc phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm.
Ví dụ. Lập phơng trình đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng (

):
y = 4x + 1 và tiếp xúc với parabol (P): y = 2x
2
.
Bài giải:
Đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng (

): y = 4x + 1 nên phơng trình đ-
ờng thẳng (d) có dạng: y = 4x + b (
b 1

)
Xét phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
2x
2
= 4x + b

2x
2
4x b = 0 (

)

'

= 4 + 2b
(d) và (P) tiếp xúc với nhau

phơng trình (

) có nghiệm kép.



'

= 0
Nguyễn Thế Thành Trờng THCS Thị trấn Hng Hà
4
Sáng kiến


4 + 2b = 0


b = 2 (TMĐK)
Vậy phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm có dạng: y = 4x 2.
Dạng 5.
Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm
A(x
A
; y

A
) và tiếp xúc với parabol (P): y = ax
2
(
a 0
).

Phơng pháp giải:
Phơng trình đờng thẳng (d) có dạng: y = mx + n. (

)
(d) đi qua A(x
A
; y
A
)

y
A
= mx
A
+ n (1)
Do (d) và (P) tiếp xúc nhau nên phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và
(P): ax
2
= mx + n có nghiệm kép. Giải điều kiện này tìm đợc một hệ thức liên
hệ giữa m và n. (2)
Kết hợp (1) và (2) để tìm m, n.
Thay giá trị tìm đợc của m, n vào (

) và trả lời bài toán.
Ví dụ. Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm A(2; 3) và tiếp xúc với
parabol (P): y = x
2
.
Bài giải:
Phơng trình đờng thẳng (d) có dạng: y = mx + n
(d) đi qua điểm A(2; 3) nên: 2m + n = 3

n = 3 2m (1)
Xét phơng trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):
x
2
= mx + n

x
2
mx n = 0


= m
2
+ 4n
Do (d) và (P) tiếp xúc nhau



= 0

m

2
+ 4n = 0 (2)
Thế (1) vào (2) ta có: m
2
+ 4(3 2m) = 0


m
2
8m + 12 = 0

'
= 16 12 = 4


'
= 2
m
1
= 4 2 = 2
m
2
= 4 + 2 = 6
Với m = 2, thay vào (1)

n = 1. Phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm có
dạng: y = 2x 1.
Với m = 6, thay vào (1)

n = 9. Phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm có

dạng: y = 6x 9.
Vậy có hai đờng thẳng đi qua điểm A(2; 3) và tiếp xúc với parabol (P):
y = x
2
là: y = 2x 1 và y = 6x 9.
Nguyễn Thế Thành Trờng THCS Thị trấn Hng Hà
5
Sáng kiến
III) Bài tập
Bài 1.
Cho hai hàm số y =
1
2
x
2
và y = 3x 4.
a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số đó.
Hớng dẫn giải:
a) Đồ thị.
b) Giao điểm.
(2; 2) và (4; 8)
Bài 2.
Cho các hàm số: y = x
2
(P)
y = 3x 2 (d)
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Xác định toạ độ giao điểm của (P) và (d).
Nguyễn Thế Thành Trờng THCS Thị trấn Hng Hà

6
x
O
y
2
2
-2
4
6
8
10
-4
4
Sáng kiến
Hớng dẫn giải:
a) Đồ thị.
b) Giao điểm.
(1; 1) và (2; 4).
Bài 3.
Cho parabol (P) có phơng trình: y = x
2
2x 1 và đờng thẳng (d) có ph-
ơng trình: y = mx + m
2
.
a) Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
b) Gọi giao điểm của (P) và (d) là A và B có hoành độ lần lợt là x
A
, x
B

. Xác
định giá trị của tham số m sao cho
2 2
A B
x x 10+ =
.
Hớng dẫn giải:
a) Chứng minh rằng (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.
Xét phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
x
2
2x 1 = mx + m
2

x
2
2x 1 + mx m
2
= 0

x
2
+ (m 2)x (m
2
+ 1) = 0
( )


= (m 2)
2

+ 4(m
2
+ 1)
= m
2
4m + 4 + 4m
2
+ 4
= 5m
2
4m + 8
Nguyễn Thế Thành Trờng THCS Thị trấn Hng Hà
7
xO
y
-1-2 21
1
2
3
4
5
3-3
Sáng kiến
=
2
4 8
5 m m
5 5

+

ữ

=
2
2 4 4 8
5 m 2. m
5 25 25 5

+ +
ữ

=
2
2 36
5 m
5 25


+

ữ



=
2
2 36
5 m
5 5

+
ữ

> 0
m



Phơng trình
( )
có nghiệm
m

.
Vậy (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.


Chú ý. Có thể nhận định ngay

=
2 2
0 0
(m 2) 4(m 1)
>
+ +
14 2 43 14 2 43
> 0

m hoặc
phơng trình (

) có hệ số a, c trái dấu để kết luận (

) có nghiệm

m
b) Xác định giá trị của tham số m sao cho
2 2
A B
x x 10
+ =
.
Xét phơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
x
2
+ (m 2)x (m
2
+ 1) = 0
( )
áp dụng định lí Vi-ét, ta có:
A B
2
A B
x x m 2
x .x (m 1)
+ =



= +

Theo bài ra ta có:
2 2
A B
x x 10+ =



2
A B A B
(x x ) 2x x 10+ =


(m 2)
2
+ 2(m
2
+ 1) = 10


m
2
4m + 4 + 2m
2
+ 2 = 10


3m
2

4m 4 = 0

'

= 4 + 12 = 16


'
= 4
m
1
=
2 4 2
3 3

=
; m
2
=
2 4
2
3
+
=
.
Vậy với m =
2
3

hoặc m = 2 thì

2 2
A B
x x 10+ =
.
Bài 4.
Cho parabol (P): y = x
2
. Trên (P) lấy hai điểm A, B có hoành độ lần lợt là 1;
3. Hãy viết phơng trình đờng thẳng AB.
Nguyễn Thế Thành Trờng THCS Thị trấn Hng Hà
8