skkn tìm HIỂU tOÁN DỰNG HÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH tốn TRUNG học cơ sở

Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
TÌM HIỂU TỐN DỰNG HÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC CƠ SỞ

A.PHẦN MỞ ĐẦU
I.CƠ SỞ LÝ LUẬN.
Trong chương trình tốn trung học cơ sở , tốn dựng hình chỉ chiếm vị trí rất nhỏ nhằm hồn
thiện chương trình hình học . Song trong suốt quá trình giải tốn hình học hầu như phải vận
dụng các bài tốn dựng hình để làm các bài tập chứng minh hình học khác ,nhất là các bài tập có
vẽ thêm đường phuÏ và các bài tốn ứng dụng thực tế khác.
Phải thừa nhận rằng tốn dựng hình là một phần rất khó trong chương trình hình học THCS
nhưng nó có ý nghĩa và tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện tư duy tốn học nói riêng như phân
tích tổng hợp, khả năng quan sát , dự đốn, biết suy luận hợp lý và lôgic, phát triển trí tưởng
tượng vàcác tư duy linh hoạt ,độc lập nói chung một phẩm chất rất cần thiết cho các hoạt động
sáng tạo của con người.
Học tốn dựng hình còn giúp cho học sinh rèn luyện những đức tính cần cù , nhẫn nại , làm
việc có tổ chức kỉ luật,hình thành cho các em những kĩ năng vẽ hình ,đo đạc,tính tốn biết sử
dụng các công cụ đo đạc , biết ước lượng…cảm nhận được cái đẹp ,những ứng dụng hay , phong
phú của tốn hocï đối với đời sống của con người.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN.
Như đã nói ở trên tốn dựng hình là một phần rất khó trong chương trình hình học trung
học cơ sở, cái khó ở cả giáo viên và học sinh. Đối với giáo viên thì cái khó ở chỗ dẫn dắt , diễn
giải cho các em hiểu một cách rõ ràng , nắm được một cách chắc chắn những gì mà thầy cô
muốn truyền đạt . Đối với học sinh cái khó ở chỗ tiếp nhận các kiến thức và phương pháp , càng
khó hơn trong việc vâïn dụng các kiến thức và phương pháp đó vào việc giải bài tập về tốn
dựng hình và các bài tập vạân dụng tốn dựng hình.
Hiện nay , trong chương trình hình học THCS thì các bài tốn dựng hình được giới thiệu
rải rác trong phần lý thuyết và phần bài tập ơ lớp 6 và lớp 7 . Lên lớp 8 , mới được giới thiệu
một cách hồn chỉnh và lên lớp 9 được vận dụng làm một số bài tập nhưng rất ít. Thường thì các
bài tập dựng hình chỉ có trong sách bài tập, giáo viên yêu cầu học sinh về nhà làm thêm , những
bài tốn này đòi hỏi nhiều thời gian nên trên lớp chỉ có những giờ học chính về phần dựng hình

thì giáo viên mới có thời gian đi sâu phân tích cho các em hiểu , còn trong những giờ học khác
thì không thể giảng cặn kẽ những bài tập dựng hình được. Nên khi gặp những bài tốn như thế thì
các em không biết phải làm thế nào, , bắt đầu từ đâu? Một số em yêu thích bộ môn tốn thì tự
mình làm những bài tốn đó va khiø gặp khó khăn phải hỏi riêng thầy cô ngồi giờ học. Mặt khác
trong những kì thi học sinh giỏi các cấp thì tốn dựng hình ít được đưa vào đềø thi nên khi ôn thi
học sinh giỏi các giáo viên chỉ đi sơ qua đại khái phần này.
Vấn đề nghiên cứu phương pháp dựng hình trên thực tế ứng dụng là rất có ích . Chẳng hạn
trong các ngành xây dựng cơ giới , mỹ thuật, kiến trúc……là những ngành có ứng dụng dựng
hình , đều có quan hệ mật thiết với những bước tiến bộ của công cuộc xây dựng kinh tế và văn
hố. Theo đường lối giáo dục mới thì học và hành phải là một. Vậy học dựng hình cũng là góp
phần xây dựng đất nước ngày một phồn vinh ,tiên tiến và hiện đại.
III. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trên cơ sở lí luận và thực tiễn trên tôi thấy rằng phải dạy cho học sinh thông hiểu những
bài tốn dựng hình một cách sâu sắc để các em thấy được những ứng dụng của nó
trong việc học bộ môn cũng như trong đời sống xã hội.
Hiện nay tôi đã làm công tác giảng dạy được 9 nămvà qua hai đơn vị công tác. Địa bàn ở
những trường này còn gặp rất nhiều khó khăn, học sinh chậm tiếp thu, thời gian tự học ở nhà
hạn hẹp do phải làm thêm công việc để giúp đỡ gia đình, dân cư phân bố không tập trung mất
- 1 -
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
nhiều thời gian đi lại. Phương tiện học tập còn hạn chế, cơ sở vật chất trong trường còn nhiều
thiếu thốn nên công tác giảng dạy vì thế mà còn gặp nhiều khó khăn. Mặc dù vậy nhưng ban
giám hiệu nhà trường cũng như các cấp lãnh đạo địa phương luôn luôn quan tâm động viên và
một yếu tố không thể thiếu nữa đó là tinh thần học tập, sự hiếu học của các em. Có rất nhiều em
giỏi tốn và cả những em không giỏi tốn nhưng yêu thích học tốn nhất là hình học, như vậy nếu
chúng ta không dạy các em hiểu rõ các bài tốn dựng hình thì đó là một khiếm khuyết rất lớn trên
con đường tự học của các em.
Trong bài viết nhỏ này , tôi chỉ muốn giới thiêïu đầy đủ hơn nữa các bài tốn dựng hình cho
các em nắm được một cách chắc chắn hơn về tốn dựng hình. Mong rằng có những ý kiến chia sẻ

đóng góp kinh nghiệm để bài viết hồn thiện hơn.
B. NỘI DUNG
I. THẾ NÀO LÀ BÀI TỐN DỰNG HÌNH?
Trong thực tế , chúng ta thường gặp rất nhiều hình vẽ như: ngôi sao năm cánh trên lá cờ
quốc kỳ, các biểu tượng ,lôgô….;các bài tốn trong xây dựng cơ bản như : chia đoạn thẳng cho
trước thành những đoạn bằng nhau, dựng hình viên phân …trong các bản vẽ kĩ thuật. Thế nhưng
đã có bao giờ chúng ta thử nghĩ rằng làm thế nào để vẽ được những hình đấy một cách chính
xác và hợp lí chưa.
Vấn đề vừa nêu ở trên, dựa vào những điêù kiện đã biết dùng những phương pháp hình học
hợp lí chính xác dựng một hình cần thiết đó là bài tốn dựng hình trong hình học.
Trong sách giáo khoa tốn 8 tập một đã định nghĩa như sau: “Các bài tốn dựng hình là các
bài tốn vẽ hình mà chỉ sử dụng hai dụng cụ là thước và compa”. Hay chính xác hơn là dựa vào
việc thực hiện các phép dựng hình cơ bản mà thước và compa có thể tạo ra hình đó.
II.PHÉP DỰNG HÌNH BẰNG THƯỚC VÀ COMPA.
Ngay từ thế kỉ VI-V trước công nguyên , người ta đã nghiên cứu các bài tốn dựng hình với
quy định chỉ sử dụng hai dụng cụ là thước và compa. Trong chương trình tốn trung học cơ sở
khi nói đến dựng một hình mà không có chú thích gì thêm thì ta phải hiểu rằng cần tạo ra hình
đó bằng cách sử dụng thước và compa.
Trong tốn chứng minh , việc chứng minh dựa trên các tiên đề và định lý. Trong tốn dựng
hình những hình cho trước được coi là dựng được, việc dựng hình dựa trên các phép dựng hình
cơ bản và các bài tốn dựng hình cơ bản.
Các phép dựng hình cơ bản là:
-Dựng đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt ( tiên đề về cái thước )
-Dựng đường tròn biết tâm và bán kính của nó ( tiên đề về cái compa )
-Giao điểm nếu có của hai đường là dựng được.
Tại sao công cụ dùng trong dựng hình lại chỉ có hai dụng cụ là thước và compa mà thước
dùng trong hình học phải là thước không được chia độ. Chúng ta có thể dùng thước chia độ để
dựng một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã biết; dùng êke để vẽ một góc vuông hoặc là
một đường thẳng góc có phải là tiện lợi hơn không !
Hình học tuy là một khoa học dùng lý luận suy diễn , nhưng cần kết hợp với thực tế làm cho

lý luận và thực tiễn đi đôi với nhau .Các độ chia trên thước có chia độ, hoặc là góc vuông trên
êke, chắc gì đáng tin tưởng cho nên về mặt lý luận không thể dùng để dựng hình. Đương nhiên
đường tròn vẽ bằng compa có thể không thật tròn , đường thẳng vẽ bằng thước thẳng chắc gì đã
thẳng. Nhưng thiếu một trong hai dụng cụ đó thì không thể dựng hình. Cho nên chúng ta sẽ hạn
chế dùng hai dụng cụ đó để làm sao dựng được các hình với những kiến thức không cần thiết
được giảm đến mức không thể giảm được nữa, và như thế xem như một biện pháp tương đối
hồn thiện.
Tuy nhiên một số hình hình học , dùng compa và thước thẳng có thể không dựng được,trong
bài viết này tôi không thể trình bày hết được .
- 2 -
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
III.CÁC BÀI TỐN DỰNG HÌNH CƠ BẢN
Ngồi ba phương pháp cơ bản nhất “vẽ một đường thẳng qua hai điểm”, “vẽ một đường tròn
có tâm và bán kính cho trước”, dựng giao điểm của hai đường”, còn có những phương pháp
khác như: “qua một diểm cho trước dựng một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho
trước”, “dựng trung điểm của một đoạn thẳng”, v.v…đều là những phương pháp cần sử dụng
khi làm một bài tốn dựng hình và đều gọi là phép dựng hình cơ bản. Các phép dựng hình cơ bản
mà chúng ta cần phải luyện tập thành thạo rất nhiều , chúng ta có thể sắp xếp và phân ra làm bốn
loại sau:
*Về loại đường thẳng
1)Dựng một đoạn thẳng có độ dài cho trước trên một đường thẳng nhất định.
2)Trên một cạnh đã biết dựng một góc bằng một góc cho trước.
3)Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng cho trước.
5)Tìm trung điểm của một đoạn thẳng cho trước.
6)Qua một điểm cho trước dựng một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.
7)Qua một điểm cho trước dựng một đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước.
8)Chia một đoạn thẳng cho trước ra nhiều phần bằng nhau.
9)Dựng hình tam giác khi biết : ba cạnh (c.c.c);hai góc và cạnh kề hai góc đó(g.c.g); hai cạnh
và góc nằm giữa hai cạnh đó(g.c.g); hai góc và cạnh đối của một trong hai góc đó (g.g.c) hoặc

hai cạnh và góc đối của một trong hai cạnh(c.c.g).
10)Dựng một hình tam giác đều hoặc một hình vuông khi biết một cạnh của nó.
11)Dựng hình chữ nhật khi biết hai cạnh kề nhau.
12)Lấy một đường thẳng đã biết làm một cạnh, dựng một góc 60
0
hoặc 30
0
.
* Về loại đường tròn.
13)Dựng đường tròn ngoại tiếp của một tam giác đã cho.
14)Dựng đường tròn nội tiếp của một tam giác đã cho.
15)Lấy một đoạn thẳng đã cho làm bán kính dựng một đường tròn.
16)Chia đôi một cung cho trước.
17)Từ một điểm cho trước ở ngồi hoặc ở trên đường tròn , vẽ tiếp tuyến của đường tròn đó.
18)Lấy một đoạn thẳng cho trước làm dây cung ,dựng hình viên phân chứa góc cho trước.
*Về loại tỉ lệ
19) Cho ba đoạn thẳng, dựng đoạn thẳng tỉ lệ thứ tư.
20)Chia một đoạn thẳng cho trước làm hai phần sao chi tỉ số của chúng bằng tỉ số đã biết m:n.
21)Dựng đoạn thẳng trung bình nhân của hai đoạn thẳng cho trước.
* Về loại diện tích
22) Dựng một hình vuông sao cho diện tích của nó bằng tổng diện tích của hai hình vuông cho
trước.
23)Dựng một hình vuông sao cho diện tích của nó bằng hiệu diện tích của hai hình vuông cho
trước.
Các phép dựng hình cơ bản trên đây, sau khi các em đã học theo sách giáo khoa, cần phải
luyện tập cho thành thạo mới có thể giải các bài tốn dựng hình.Khi đã có các phép dựng hình
cơ bản như trên ,ta sẽ dễ dàng trình bày phương pháp dựng của một bài tốn dựng hình .Sau đây
ta sẽ đi sâu tìm hiểu các bài tốn dựng hình cơ bản nhất mà trong chương trình THCS thường
dùng.
Bài tốn 1. Dựng đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước

Cho trước một đoạn thẳng a.Dựng một đoạn thẳng AB = a.
d
a
B
A
Ta thực hiện các phép dựng cơ bản theo thứ tự sau:
-Dựng đường thẳng d bất kì .Trên d lấy một điểm A bất kì .
-Lấy A làm tâm , dựng một cung tròn bán kính bằng a.
- 3 -
D
C
M
B
A
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
-Lấy giao điểm B của đường thẳng d với cung tròn tâm A bán kính a.
Đoạn thẳng AB là đoạn thẳng cần dựng.
Bài tốn 2.Dựng một góc bằng một góc cho trước .
Cho một góc xOy.Hãùy dựng góc x’Oy’ bằng góc xOy.
B'
x
x'
y'
B
A
y
O
A'
O'

Ta thực hiện các phép dựng cơ bản theo thứ tự sau:
- Lấy O làm tâm , dựng cung tròn bán kính tuỳ ý cắt các tia Ox , Oy lần lượt tại
A và B.
- Dựng một tia O’x’ bất kì .
- Lấy O’ làm tâm , dựng cung tròn bán kính bằng OA.
- Lấy giao điểm A’ của cung tròn này với tia O’x’.
- Dựng cung tròn tâm A’ ,bán kính bằng đoạn AB.
- Lấy giao điểm của cung (A’; AB) với cung (O’;OA).
- Nối O’,B’ ta được góc A’O’B’ cần dựng.
Góc A’O’B’ là góc phải dựng, ta có:
·
·
·
·
' ' ' ( ' ' )A O B AOB hayx Oy xOy= =
Thật vậy ,dễ thấy
' ' 'OAB O A B∆ = ∆
(trường hợp c-c-c)
Suy ra
·
·
' ' 'AOB A O B=
Bài tốn 3. Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng hay dựng trung điểm của một đoạn
thẳng.
Cho đoạn thẳng AB, Hãy dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Ta thực hiện các phép dựng cơ bản theo thứ tự sau:
- Dựng đường tròn tâm A, bán kính r
- Dựng đường tròn tâm B bán kính r
- Dựng giao điểm C,D của hai đường tròn (A;r) và (B;r)
- Dựng đường thẳng đi qua hai điểm C,D.

Dễ thấy do CA = CB , DA = DB nên hai điểm C,D
đều nằm trên đường trung trực của AB hay
đường thẳng CD là đường trung trực của AB.
* Chú ý:
1) Do CD là đường trung trực của AB nên ta có
giao điểm M của CD và AB chính là trung
Điểm của AB và MA = MB.
2) Để hai đường tròn (A,r) và (B,r) cắt nhau thì ta
cần lấy bán kính r thoả mãn r > AB/2.
Bài tốn 4.Dựng đường phân giác của một góc cho trước hay chia đôi một góc cho trước.
Cho một góc xOy. Hãy dựng tia phân giác của góc ấy.
Ta thực hiện các phép dựng cơ bản theo thứ tự sau:
- Lấy đỉnh O làm tâm, dựng đường tròn tâm O bán kính r.
- Dựng các giao điểm A,B của đường tròn (O,r) với các cạnh OxÕ, Oy.
- Lấy A làm tâm, dựng đường tròn bán kính r’ và lấy B làm tâm ,
dựng đường tròn bán kính r’.
- 4 -
B
A
I
2
1
y
z
x
O
I
H
y
x

O
d
B
A
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
- Dựng giao điểm I của (A,r’) và (B, r’).
- Dựng đưòng thẳng qua hai điểm O,I.
Tia Oz chứa hai điểm O,I là tia phân giác của góc xOy.
Thật vậy ,ta có :

OAI OBI∆ = ∆
OAI OBI∆ = ∆
(trường hợp c-c-c)
Suy ra
µ
¶
1 2
O O=
µ
¶
1 2
O O=
* Chú ý : -Để có điểm I, ta phải lấy r’ > AB/2.
- Trong thực tế , để tránh việc thay đổi khẩu độ của compa , người ta lấy luôn
r’ = r = OA .
Bài tốn 5. Dựng đường thẳng vouung góc với một đường thẳng cho trước và đi qua một
điểm cho trước .
Cho điểm P và đường thẳng xy. Dựng đường thẳng d đi qua O và vuông góc với đường thẳng
xy.

Ta thực hiện các phép dựng cơ bản theo thứ tự sau:
- Dựng đường tròn (O,r).
- Dựng giao điểm A,B của (O,r) và xy.
- Dựng các đường tròn (A,r) và (B,r).
- Dựng giao điểm I của (A,r) và (B,R).
- Dựng đường thẳng đi qua O và I . OI chính là
đường thẳng d cần dựng.
Thật vậy , vì OA = OB ; IA = IB , nên O và I
đều nằm trên đường trung trực của đoạn AB .
Suy ra OI
⊥
AB hay d
⊥
xy .
* Chú ý:
1) Trường hợp điểm O ở ngồi đường thẳng xy hoặc
ở trên đường thẳng xy đều dựng như nhau.
2) Cách dựng này có cơ sở là phép dựng đường trung trực của một đoạn thẳng.
3) Trong thực tế ta không cần dựng cả đường tròn (A;r), (B;r) mà chỉ cần dựng một cung
của các đường tròn đó.
4) Để có các giao điểm A, B thì bán kính r phải thoả : r’ > OH , tức là r phải lớn hơn
khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng xy.
5) Khi dựng các đường tròn ( hay một cung tròn ) (A,r’) , (B ,r’) thì để tránh thay đổi khẩu
độ của compa ta lấy bán kính r’ = r , nhưng cần phải lấy r sao cho hai cung tròn cắt nhau
để có điểm I.
Trên đây là 5 bài tốn cơ bản của dựng hình .Trong khi giải tốn dựng hình nếu gặp các phép
dựng này thì ta không cần lặp lại cách trình bày chi tiết trên đây nhưng vẫn cần nắm vững cách
thực hiện để có thể tiến hành các phép dựng chính xác , đảm bảo cho việc giải bài tốn dựng hình
được phân tích trên những cơ sở đúng , không bị trực quan đánh lừa và hình vẽ cuối cùng thể
hiện được các giả thiết và các yêu cầu của bài tốn.

Sau đây ta sẽ xét thêm một số bài tốn dựng hình quen thuộc và cũng là những bài tốn
thường được coi như là cơ sở cho việc giải các bài tốn dựng hình phức tạp khác.
Bài tốn 6. Dựng một tam giác biết ba cạnh.
Dựng tam giác ABC biết ba cạnh a, b , c của nó.
- 5 -
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
* Cách dựng:
A
c
b
C
c
b
a
B
a
- Trên một đường thẳng bất kì dựng một đoạn thẳng BC bằng đoạn thẳng a.
- Dựng các cung tròn tâm C, bán kính b và tâm B , bán kính c.
- Dựng giao điểm A của hai cung tròn .
* Chú ý : Điều kiện để tam giác tồn tại , tức là điều kiện để có thể dựng được tam giác là:
b c a b c− < < +
.
Bài tốn 7. Dựng tam giác biết hai cạnh và góc xen giữa.
Dựng tam giác ABC biết hai cạnh b, c và góc A xen giữa.
C
c
B
A
c

b
x
y
A
b

* Cách dựng :
- Dựng góc xAy =
µ
A
.
- Trên cạnh Ax dựng đoạn thẳng AC = b.
- Trên cạnh Ay dựng đoạn thẳng AB = c.
Bài tốn 8. Dựng tam giác biết một cạnh và hai góc kề cạnh ấy.
Dựng tam giác ABC biết cạnh a và hai góc B,C kề cạnh ấy.
A
a
y
x
a
B
C
B
C
* Cách dựng
-Trên đường thẳng bất kì dựng đoạn BC = a.
- Lấy BC làm một cạnh chung , dựng hai góc
·
µ
·

µ
,CBx B BCy C= =
.
- Dựng giao điểm A của Bx và Cy.
* Chú ý: Để có thể dựng được tam giác thì
µ
µ
0
180B C+ <
.
Thường thì khi một hình dựng được người ta gọi nó là một hình xác định. Một tam giác
hồn tồn được xác định khi cho biết ba yếu tố của nó, trong đó yếu tố góc không được quá
hai.
Bài tốn 9.Dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước.
Cho đường thẳng xy và một điểm A không thuộc xy. Qua A dựng đường thẳng song song với
xy.
* Cách dựng
- 6 -
A
B
z
y
x
T'
T
P
O
M
A'
T'

T
B'
B
A
O
R
r
O'
B
r
A
T
T'
O'
R
O
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
- Dựng đường thẳng bất kì qua A và dựng giao
Điểm B của đường thẳng này với đường thẳng xy.
- Dựng qua A một đường thẳng Az hợp với AB
một góc bằng góc Abx.

⇒
Az là đường thẳng qua A và song song với xy.
Bài tốn 10. Dựng tiếp tuyến với đường tròn từ một điểm ngồi đường tròn.
Cho đường tròn tâm O và một điểm P ở ngồi đường tròn . Dựng các tiếp tuyến với đường tròn
xuất phát từ điểm P.

P
x
O

* Cách dựng:
- Dựng trung điểm M của đoạn thẳng OP.
- Dựng đường tròn ( M ; OM ).
- Dựng hai giao điểm T , T’ của đường tròn ( O ) và đường tròn ( M ; OM ).
- Dựng các đường thẳng PT, PT’.
* Chú ý: Trường hợp điểm P nằm trên đường tròn (O) ta dựng như sau:
- Dựng bán kính OP.
- Dựng đường thẳng đi qua P và vuông góc với OP.
Bài tốn 11.Dựng tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Cho hai đường tròn (O ; R) và (O’;r) với R > r . Dựng các tiếp tuyến chung của hai đường
tròn.
* Cách dựng :
a) Tiếp tuyến chung ngồi.
- Dựng đường tròn tâm O, bán kính R-r.
- Dựng các tiếp tuyến O’T, O’T’ xuất phát từ
O’ đến đường tròn (O;R-r ).
- Dựng giao điểm A của đường thẳng OT với
đường tròn ( O ; R ).
- Dựng qua O’ đường thẳng song song với OA;
dựng giao điểm B’ của đường này với đường tròn ( O’; r ).
Đường thẳng AB là tiếp tuyến chung ngồi của hai đường tròn.Tương tự , ta dựng tiếp tuyến
ngồi thứ hai A’B’.
b) Tiếp tuyến chung trong .
- Dựng đường tròn tâm O , bán kính R + r.
- Dựng các tiếp tuyến O’T ,O’T’ từ điểm O’ đến đường tròn (O , R + r ) .
- Dưnïg giao điểm A của OT và ( O; R ).

- Dựng đường thẳng qua O’ và song song với OA và dựng giao điểm B của đường thẳng này
với ( O’; r ).
- 7 -
O
m
d
A
B
x
y
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
- Đường thẳng AB là tiếp tuyến chung trong.

* Chú ý:
1) Trường hợp dựng tiếp tuyến chung ngồi thì
bài tốn có hai lời giải khi R+ r
≥
OO’ tức là hai
đường tròn ngồi nhau hoặc tiếp xúc ngồi với nhau.
2) Trường hợp dựng tiếp tuyến chung trong thì
bài tốn có:
+ Một lời giải khi R + r = OO’(hai đường tròn tiếp xúc).
+ Hai lời giải khi R – r = OO’ hoặc T + r > OO’( hai đường
tròn ngồi nhau)
Trường hợp hai đường tròn đựng nhau ( R – r > OO’ ) thì không có tiếp tuyến chung (cả trong
lẫn ngồi ).
Bài tốn 12. Dựng cung chứa góc .
Cho đoạn thẳng AB và một góc
α

. Dựng cung tròn mà mọi góc AMB nội tiếp trong cung đó
đều bằng
α
, hay dựng quỹ tích những điểm nhìn hai đầu mút của hai đoạn thẳng AB dưói một
góc
α
.
*Cách dựng :
- Dựng tia Ax tạo với AB một góc bằng góc
α
.
- Dựng đường thẳng Ay đi qua A và vuông góc
với Ax.
- Dựng đường trung trực d của đoạn thẳng AB.
- Dựng giao điểm của d với Ay, ta được điểm O.
- Dựng đường tròn ( O; OA ).
Cung AmB ( phần đường tròn nằm trong
nửa mặt phẳng bờ AB và không chứa tia Ax) là
cung cần dựng.
IV. CÁC BƯỚC GIẢI MỘT BÀI TỐN DỰNG HÌNH .
Giải một bài tốn dựng hình thông thường phải theo các bước sau:
1) Giả thiết : Ghi cẩn thận các điều kiện đã cho của bài tốn.
2) Kết luận :Nêu lên hình cần dựng phải thảo mãn các điều kiện đã cho.
3) Phân tích : Trong bước phân tích này ta giả sử hình đó đã dựng được thoả mãn theo yêu
cầu của bài tốn .Trên cơ sở đó , ta thành lập các mối liên hệ giữa các yếu tố đã biết và
chưa biết của hình nhằm tìm ra cách thực hiện các phép dựng hình cơ bản để dựng hình
cần dựng.
4) Cách dựng :Dựa vào kết quả của bước phân tích ta trình bày trình tự thực hiện các phép
dựng cơ bản và các bài tốn dựng hình cơ bản để dụng hình cần dựng , đồng thời thực
hiện các phép dụng đó trên hình vẽ.Chú ý không trình bày lộn xộn các phép dựng.

5) Chứng minh : Chứng minh hình dựng được bằng phương pháp đã trình bày là hồn tồn
phù hợp với các điều kiện đã cho của bài tốn.
6) Biện luận : Phân tích mối quan hệ giũa các điều kiện đã cho và hình đã dựng được nói
rõ trong trường hợp nào thì bài tốn có một lời giải , trường hợp nào thì bài tốn không có
lời giải, trường hợp nào nhiều lời giải.Nói cách khác bước biện luận là bước kiểm tra
từng phép dựng xem nó có thể thực hiện được trong những điều kiện nào và khi thực
hiện được thì có mầy cách để thực hiện . Mỗi cách thực hiện thường cho ta một hình
thoả mãn yêu cầu của bài mà ta thường gọi là một nghiệm hình.
Thông thường , người ta qui ước về việc định số nghiệm hình như sau :
- Nếu bài tốn chỉ đòi hỏi điều kiện về kích thước của hình thì những hình bằng nhau trong
lời giải được tình là một nghiệm hình .
- Nếu bài tốn có yêu cầu về vị trí của hình cần dựng thì những hình bằng nhau về kích thước
nhưng có vị trí khác nhau được coi là những nghiệm hình khác nhau.
- 8 -
D
E'
E
A
C
B
h
m
b
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
Như vậy , để giải bài tốn dựng hình phải có đầy đủ 6 bước , hai bước đầu tiên thì bất kì một
bài tốn hình học nào cũng phải có, bốn bước còn lại thì theo chương trình quy định không yêu
cầu HS viết các phần phân tích và biện luận trong bài làm , tuy nhiên bước phân tích cần làm
ra nháp đêû đảm bảo không dựng thiếu hình .
Ví dụ: Dựng một tam giác biết độ dài đường cao ,ø trung tuyến hạ xuống một cạnh và độ dài

cạnh kia của tam giác.
Giả thiết : Độ dàiđường trung tuyến trên một cạnh là m
a
, độ dài đường cao thuộc cạnh ấy là
h
a
, độ dài cạnh kia là b.
Kết luận: Dựng hình tam giác .
Giải .
* Phân tích : 1. Giả sử
' ' 'A B C∆
là hình tam giác cần dựng.
2. Những điều đã biết về độ lớn có A’C’ = b , A’D’ = h
a
,
A’D’B’ = A’D’C = 90
0
, A’E’ = m
a
. Quan hệ đã biết có B’E’ = E’C’.

h
m
b
b
h
m
B'
C'
A'

D'
E'
3.Quan sát hình này ta thấy
' ' 'A C D∆
và
' ' 'A E D∆
đều có hai cạnh và một góc
đã biết cho nên có thể dựa vào phương pháp dựng hình cơ bản để dựng . Vì vậy trước tiên cần
dựng một trong hai hình tam giác này và sau đó tiếp tục dựng các phần khác.
* Cách dựng:
1.Trước hết dựng tam giác ACD sao cho góc D = 90
0
, AD = h
a
,
AC = b.
2. Lấy A làm tâm , m
a
làm bán kính vẽ một cung cắt CD hoặc
là đường kéo dài của nó tại E, nối AE.
3. Trên CD hoặc là trên đường kéo dài của nó lấy B sao cho
EB = EC , nối AB.
Tam giác ABC chính là tam giác cần dựng.
* Chứng minh:
- Theo cách dựng 1 ta có: góc ADC = 90
0
,
ù
AD = h
a

nên AD là đường cao và AC = b.
- Theo cách dựng 2 và 3 ta có : EB = EC , AE = m
a
nên AE là trung tuyến .
Tam giác ABC cần dựng thoả mãn đầy đủ các yêu cầu của bài tốn.
* Biện luận:
Nếu b < h
a
hoặc m
a
< h
a
, hoặc b = m
a
=

h
a
thì bìa tốn không có lời giải. Nếu b > h
a,

đồng thời
m
a
= h
a
thì hình dựng được sẽ là một tam giác cân.Ngồi ra , b = h
a
đồng thời m
a

> h
a
thì hình
dựng được là một tam giác vuông, các trường hợp trên đây chỉ có một lời giải. Nếu b > h
a
và m
a
> b hoặc b > h
a
và m
a
= b thì bài tốn cũng có một lời giải. Nếu
b > m
a
>

h
a
thì bài tốn có hai lời giải vì nếu lấy A làm tâm và lấy m
a
làm bán kính vẽ một cung
cắt CD tại điểm thứ hai là E’ , lấy E’B’ = E’C nằm trên CD thì tam giác AB’C cũng là
lời giải của bài tốn.
V. TỔNG QUÁT VỀ CÁCH PHÂN TÍCH MỘT BÀI TỐN DỰNG HÌNH.
Trước khi dựng hình điều đầu tiên là phải nghiên cứu đường nào trong hình cần dựng
trước, đường nào nên dựng sau, vị trí điểm nào nên quyết định trước ,điểm nào nên để sau. Nếu
không chuẩn bị tốt các vấn đề đó thì khi gặp bài tốn phức tạp sẽ thấy quýnh lên, thấy đâu cũng
khó .Phân tích một bài tốn dựng hình tuy không có một quy tắc thông dụng phổ biến ,nhưng
những nguyên tắc đước nêu dưới đây cũng có thể xem là được ứng dụng trong đa số các bài tốn:
Bước 1. Trước hết ta vẽ phác một hình tương tự hình cần tìm , hình này tuy không được

chính xác lắm nhưng rất có ích.Dựa vào hình đó , ta có thể biết rõ vị trí của các điểm và các
đường , và những mối tương quan giữa chúng .Chẳng hạn hai đoạn thẳng nào đó bằng
- 9 -
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
nhau.hoặc vuông góc với nhau, những điểm nào nằm trên cùng một đường thẳng, nằm trên cùng
một đường tròn, những mối tương quan đó khó lòng tưởng tượng, phải có một hình vẽ phác mới
có thể nhìn thấy .
Mặt khác khi chính thức dựng hình chúng ta còn có thể tham khảo hình vẽ phác , vì khi
dựng hình chính thức ta nhìn qua hình vẽ phác có thể kịp thời biết được những đường nào chưa
dựng được , trong đó nên dựng đường nào trước.
Bước 2. Sau khi đã vẽ phác được một hình thì cần phân biệt cái gì đã biết và cái gì chưa
biết .Những cái đã biết hoặc những mối tương quan đã biết ,nên chỉ bằng một kí hiệu đặc biệt
hoặc đánh dấu bằng bút chì màu . Làm như vậy khi nhìn vào hình vẽ phác ta có thể biết ngay
đường nào dài ngắn ra sao, góc nào to nhỏ nnhư thế nào , giữa hai đường thẳng hoặc hai góc có
những mối quan hệ gì. Những đoanï thẳng đã biết độ dài . những góc đã biết độ lớn thì nên nghĩ
cách dựng chúng trước , hai đoạn thẳng hoặc hai góc bằng nhau thì có thể dựng trước một cái ,
tiếp đó có thể dựng một đoạn khác hoặc góc khác .
Bước 3. Quan sát tỉ mỉ xem có bộ phận nào đó trong hình có thể dựng trước được không –
bộ phận đó thông thường là một hình tam giác (giả sử có) thì trước hết phải dựng nó.Bộ phận
này luôn luôn là cơ sở của tồn hình , sau khi đã có cơ sở đó mới tiếp tục dựng các bộ phận khác.
Bước 4. Trên cơ sở đã biết , tiếp tục dựng những bộ phận khác của hình cần dựng. Có nhiều
bài tốn dựng hình không đơn giản như đã nêu ở trên , khi phân tích cần bổ sung thêm một số
đường phụ mới có thể thể hiện được mọi quan hệ giữa những điều kiện đã biết và chưa biết .
VI.PHƯƠNG PHÁP DỰNG HÌNH .
Phương pháp giải các bài tốn dựng hình trong hình học thì có rất nhiều , trong bài viết này
tôi chỉ nêu hai phương pháp thường dùng trong chương trình tốn THCS là phương pháp lấy hình
tam giác làm cơ sở và phương pháp quỹ tích tương giao.
1/ PHƯƠNG PHÁP LẤY HÌNH TAM GIÁC LÀM CƠ SỞ.
Thông thường khi làm một bài tốn dựng hình ,trước hết phải dựng một bộ phận của tồn

hình – một hình tam giác – và dùng nó để dựng tồn hình , sau đó ttiếp tục dựng những phần
khác. Phương pháp như vậy gọi là phương pháp lấy hình tam giác làm cơ sở.
Nếu có một hình nào đó đã biết ba yếu tố của nó, cụ thể là biết một trong năm trường
hợp sau: 1) cạnh.cạnh.cạnh ; 2) góc.cạnh.góc ; 3) cạnh.góc.cạnh ; 4) góc.góc.cạnh ; 5)
cạnh.cạnh.góc thì đều có thể dùng phương pháp lấy hình tam giác làm cơ sở để giải bài tốn .
Nếu trong hình vẽ , không có hình tam giác nào như vậyä , nhưng sau khi dựng thêm một đường
phụ thích hợp mà có thể có một hình tam giác như vậy thì cũng có thêû ứng dụng phương pháp
này.
Phương pháp này được ứng dụng rất rộng rãi , sau đây ta xét một vài ví dụ:
Ví dụ 1 : Dựng hình thang biết độ dài hai cạnh đáy là 1cm và 3cm, cạnh bên 2cm, đường cao
1,5cm.
Giải : 1) Phân tích :
Giả sử hình thang ABCD thoả mãn yêu cầu của bài tốn đã dựng được.
Nếu ta vạch đường cao AH của hình thang thì:
- Tam giác ADH có cạnh huyền AD = 2cm, cạnh góc vuông AH = 1,5cm là dựng được.
- Đỉnh B thoả mãn hai điều kiện:
+ B thuộc đường thẳng xy đi qua A và song song vớiđường thẳng DC.
+ B cách A một khoảng dài 1cm.
2) Cách dựng :
C'
H
B
D
B'
3
3
2
1,5
1
1

y
x
A
C
3
2
1,5
1
- Dựng
ADH∆
vuông tại H với AD = 2cm và AH = 1,5.
- 10 -
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
- Dựng đường thẳng DH , trên đó lấy điểm C sao cho DC = 3cm.
- Qua A dựng đường thẳng xy song song với đường thẳng CD , trên đó lấy điểm B sao cho B,
C cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AD và AB = 1cm.
- Nối B, C ta được tứ giác ABCD.
3) Chứng minh:
Theo cách dựng , tứ giác ABCD có :
AB//CD nên nó là hình thang và đáy nhỏ AB = 1 cm ; đáy lớn CD = 3cm ; cạnh bên
AD = 2cm; AH
⊥
DC nên AH là đường cao và AH = 1,5cm. Vậy hình thang ABCD vừa dựng
thoả mãn yêu cầu của bài tốn.
4) Biện luận :
Ta luôn dựng được tam giác ADH , do đó luôn luôn dựng được hình thang ABCD thoả mãn
yêu cầu bài tốn.
Ngồi ra , trên đường thẳng DH còn có điểm C’ khác điểm C mà C’D = 3cm; trên đường thẳng
xy còn có điểm B’ khác điểm B mà B’, C’ cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AD và B’A = 1cm.

Như vậy hình thang AB’C’D cũng thoả mãn yêu cầu của bài tốn . Do vậy, ta nói bài tốn có hai
nghiệm hình.
Ví dụ 2 . Dựng hình thang cân ABCD biết đáy CD = 3cm, đường chéo AC = 4cm,
µ
0
80D =
.
Giải : 1)Phân tích:
Giả sử hình thang ABCD thoả mãn yêu cầu của bài tốn đã dựng được .
Tam giác ACD dựng được vì biết
µ
0
80D =
,CD = 3cm , AC = 4cm.
Do ABCD là hình thang cân nên BD = AC = 4cm.
Điểm B phải thoả mãn hai điều kiện:
+ B thuộc đường thẳng đi qua A và song song với CD.
+ B cách D một khoảng 4cm nên nằm trên đường tròn tâm D bán kính 4cm.
2)Cách dựng:
- Dựng
ACD
∆
có
µ
0
80D =
, AC = 4cm , CD = 3cm
- Dựng tia AY // DC ( tia Ay và diểm C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AD ).
- Dựng đường tròn tâm D bán kính 4 cm, cắt tia Ay tại B . Nối BC ta được tứ giác cần dựng.
D

A
C
4
3
x
y
B
4cm
3cm
80
3) Chứng minh:
Theo cách dựng , tứ giác ABCD có :
AB//CD nên nó là hình thang .Hình thang ABCD là hình thang cân vì có hai đường chéo bằng
nhau AC = BD = 4cm. Hình thang cân ABCD có
µ
0
80D =
, AC = 4cm , CD = 3cm nên nó thoả
mãn yêu cầu của bài tốn.
4) Biện luận.
Ta luôn dựng được tam giác ACD , do đó luôn dựng được hình thang ABCD thoả mãn
yêu cầu của đề bài. Bài tốn có một nghiệm hình.
Ví dụ 3. Dựng một tam giác cân, biết tổng của hai cạnh đáy và một cạnh bên và biết một góc ở
đáy của nó.
Giải : 1) Phân tích: Giả sử dựng được tam giác ABC thoả mãn yêu cầu của bài tốn.
- 11 -
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
Ta đã biết
µ

B
α
=
, AB = AC,
µ
µ
B C=
có thể suy ra độ lớn của hai góc còn lại
µ
µ
0
, 180 2C A
α α
= = −
nhưng vì chưa biết độ dài một cạnh nào cả , cho nên vẫn chưa thể dựng
được tam giác này.
Giả sử cần dựng tổng cạnh đáy bằng a và một cạnh bên bằng b là a + b đã biết thì có thể
kéo dài BC đến D sao cho CD = AC như vậy BD = a + b ,
µ
µ
1 1
2 2
D C
α
= =
đều là những điều
kiện đã biết , do đó tam giác ABD có thể dựng được .
2) Cách dựng :
C
B

A
D
a+b
- Dựng tam giác ABD sao cho
µ
B
α
=
, BD = a + b ,
µ
1
2
D
α
=
.
- Dựng AC sao cho
·
1
2
DAC
α
=
, cắt BD tại C.
Tam giác ABC chính là tam giác cần dựng.
3) Chứng minh :
Theo cách dựng , ta có
µ
1
2

D
α
=
và
·
1
2
DAC
α
=
nên
µ
·
D DAC=
.
⇒
AC = CD nên
BC + AC = BC + CD = BD = a + b .
Mặt khác
·
µ
·
1 1
2 2
ACB D DAC
α α α
= + = + =
( góc ngồi của tam giác)
⇒
µ

·
B ACB=
⇒
AB = AC .
Như vậy tam giác ABC thoả mãn các yêu cầu của bài tốn.
4) Biện luận:
Khi
0
90
α
≥
thì bài tốn không có nghiệm hình .Còn lại bài tốn luôn có một nghiệm hình.
BÀI TẬP
1. Dựng tam giác ABC biết độ lớn của góc B là
β
, độ dài đường phân giác của góc A là
n
t
, đường cao thuộc cạnh đối diện với góc A là h
a
.
2. Dựng tam giác ABC biết độ lớn của góc A là
α
, độ dài đường trung tuyến thuộc một
cạnh kề là m
b
và đường cao thuộc cạnh kề kia là h
c
.
3. Dựng tam giác ABC biết độ lớn của góc C là

γ
, độ dài đường phân giác của góc ấy là t
c
bán kính đuường tròn nội tiếp là r.
4. Dựng hình thang cân ABCD (AB//CD) biết AB = 1cm, góc C = 55
0
, đường cao BH = 1,5
cm.
5. Dựng hình thang ABCD ( AB // CD ) biết AB = 3,5cm , CD = 3,5cm,
µ
µ
0 0
45 , 60C D= =
.
6. Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD ) biết AB =1cm , CD = 3cm, BD = 2cm.
7. Dựng hình bình hành ABCD biết ba đoạn thẳng xuất phát từ A là Ab= 3cm , AC = 3cm,
AD = 2cm.
8.Dựng hình bình hành ABCD biết hai đường chéo AC = 3cm , BD = 4cm,
·
0
45COD =
( O
là giao điểm của hai đường chéo) .
9.Dựng hình bình hành ABCD biết hai đường chéo AC = 8cm , BD = 6cm và chiều cao
BH = 4,5cm với H thuộc AD.
- 12 -

E

C

P

D

y

x

B

A

O

Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
10. Dựng hình chữ nhật biết đường chéo bằng 3cm, góc nhọn tạo bởi hai đường chéo bằng
50
0
.
11. Dựng hình chữ nhật có chu vi bằng 7cm, , góc nhọn tạo bởi hai đường chéo bằng 70
0

12. Dựng hình thoi ABCD biết cạnh bằng 2cm , đường cao bằng 1,5cm.
13.Dựng hình vuônng ABCD . Dựng điểm E trên cạnh CD , dựng điểm F trên cạnh BC sao
cho tam giác AEF là tam giác đều .
2/DỰNG HÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP QUỸ TÍCH TƯƠNG GIAO.
Ta đã biết những điểm cách đều hai diểm A và B cho trước là nhiều vô hạn , nhưng
chúng đều nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng nối liền A , B. Đường trung trực của đoạn

AB này là tập hợp tất cả các điểm thoả mãn cùng một điều kiện, người ta gọi nó là quỹ tích của
những điẻm cách đều hai điểm A,B.Trong chương trình tốn THCS học sinh đã được học được
nhiều định lý về quỹ tích như: " đường phân giác của một góc là quỹ tích của những điểm
cách đều hai cạnh của góc ấy", " Tập hợp các điểm cách một đường thẳng d cố định một khoảng
bằng h không đổi là hai đường thẳng sng song với đường thẳng d và cách d một khoảng bằng
h."v.v…Trong những bài tốn dựng hình ,các định lý đó rất có ích .
Nhiều bài tốn dựng hình cũng tương tự như ví dụ đã nêu , cần phải tìm những điểm thoả
mãn các điều kiện đã cho . Thông thường bao giờ cũng có hai điều kiện , với mỗi điều kiện ,
chúng ta lần lượt dựng quỹ tích tương ứng . Vì những điểm nằm trên quỹ tích thứ nhất thoả mãn
điều kiện thứ nhất , những điểm nằm trên quỹ tích thứ hai thoả mãn điều kiện thứ hai, cho nên
giao điểm của hai quỹ tích nhất định đồng thời thoả mãn cả hai điều kiện, đó là điểm cần phải
tìm.Phương pháp dựng hình dựa vào giao điểm của hai quỹ tích như vậy gọi là phương pháp quỹ
tích tương giao.Ví dụ muốn tìm một điểm cách đều hai diểm A,B cho trướcđồng thời cách đều
hai cạnh của góc xOy , cách tìm như sau :
- Dựng đường trung trực CD của đoạn thẳng AB.
- Dựng đường phân giác OE của góc xOy , hai đường
này gặp nhau tại P.

Vì P nằm trên CD và theo định lý về quỹ tích đã nêu ở trên thì P nhất định cách đều A,B;
đồng thời P nằm trên OE nên theo định lý về quỹ tích thì P nhất định cách đều Ox ,Oy cho nên
P chính là điểm cần tìm.
Khi dựng hình , các định lý mà chúng ta cần ứng dụng gồm 9 định lý được nêu dưới đây:
1.Quỹ tích của những điểm cách một điểm cố định cho trước một đoạn không đởi là đường
tròn lấy điểm đã cho làm tâm và lấy đoạn thẳng đã cho làm bán kính.
Định lý này được sử dụng nhiều nhất khi dựng hình , nó có ba công dụng như sau : a) Tìm
điểm cố định cách điểm cố định một đoạn cho trước .b) Tìm tâm đường tròn đã biết bán kính và
đi qua một điểm cho trước .c) Tìm tâm đường tròn đã biết bán kính và tiếp xúc với một đường
tròn cho trước.
2.Quỹ tích của những điểm cách đường thẳng cố định cho trước một đoạn cho trước là hai
đường thẳng song song với đường thẳng đó và cách đường thẳng này một khoảng cho trước.

Về mặt dựng hình ,định lý này có 3 công dụng:
a) Tìm điểm cách đường thẳng đã cho một khoảng có độ dài cho trước .
b) Tìm đỉnh của một tam giác đã biết cạnh đáy và đường cao.
c) Tìm tâm đường tròn đã biết bán kính và tiếp xúc với đường thẳng đã cho .
3.Quỹ tích của những điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực của đoạn thẳng
nối liền hai điểm ấy.
Định lý này có các ứng dụng sau:
a)Tìm điểm cách đều hai điểm cố định.
b) Tìm tâm của đường tròn đi qua hai điểm đã biết .
c) Tìm đỉnh của tam giác cân đã biết cạnh đáy .
4.Quỹ tích của những điểm cách đều hai đường thẳng cố định cắt nhau là hai đường phân
giác đi qua giao điểm của hai đường thẳng .Công dụng của định lý này là :
- 13 -
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
a) Tìm những điểm cách đều hai đường thẳng giao nhau đã biết .
b) Tìm tâm đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng giao nhau cho trước .
5. Quỹ tích của những điểm cách đều hai đường thẳng song song cho trước là một đường
thẳng song song nằm chính giữa hai đường thẳng đã cho (tức là đi qua trung điểm của đoạn
thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng đã cho ).Công dụng của định lý này là :
a) Tìm điểm cách đều hai đường thẳng song song cho trước .
b) Tìm tâm đường tròn tiếp xúc với hai đừng thẳng song song cho trước .
6. Nếu hai cạnh của góc vuông luôn luôn đi qua hai điểm cố định thì quỹ tích của những
đỉnh góc vuông ấy là đường tròn nhận đoạn thẳng nối hai điểm cố định làm đường kính.
Công dụng của định lý này là :
a)Tìm đỉnh góc vuông của một tam giác vuông đã biết cạnh huyền .
b) Tìm chân đường cao thuộc hai cạnh của một tam giác đã biết cạnh đáy .
7. Nếu đợ lớn của một góc là không đổi , hai cạnh luôn đi qua hai điểm cho trước thì
quỹù tích của những đỉnh góc như thế là cung hình viên phân nhận đoạn thẳng nối liền hai điểm
cố định làm dây cung và chứa góc đó. Công dụng của định lý này là : Tìm đỉnh của tam giác đã

biết độ lớn của góc ở đỉnh và cạnh đáy .
8. Quỹ tích các tâm đường tròn tiếp xúc với một đường thẳng cho trước tại một điểm cho
trước của đường thẳng đó là đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho và đi qua điểm đã
cho . Công dụng của định lý này là :Tìm tâm đường tròn tiếp xúc vơi ùmột đường thẳng cho
trước tại một điểm cho trước thuộc đường thẳng đó .
9. Quỹ tích các tâm đường tròn tiếp xúc với một đường tròn cố định tại một điểm cố định
thuộc đường tròn đó là một đường thẳng đi qua tâm đường tròn cố định và điểm cố định đó .
Công dụng của định lý này là: Tìm tâm đường tròn tiếp xúc vơi ùmột đường tròn cố định tại một
điểm cố định thuộc đường tròn đó .
Sau đây là các ví dụ :
Ví dụ 1. Dựng tam giác ABC biết cạnh BC = a, trung tuyến AM = m và đường cao AH = h
Giải : 1) Phân tích .
M
A
B
H
a
h
C
m
a
m
h
Giả sử tam giác ABC đã dựng được , ta có cạnh BC = a có thể dựng được , do vậy chỉ cần
dựng đỉnh A.
-Do AM = m
⇒
A luôn cách trung điểm M của BC một khoảng bằng m (1).
-Do AH = h
⇒

A luôn cách đường thẳng BC một khoảng bằng h (2).
Nếu tạm gác điều kiện (2) tức là chỉ giữ lại điều kiện A luôn cách M một khoảng bằng m thì
quỹ tích của A là đường tròn tâm M ,bán kính m.
Nếu tạm gác điều kiện (1) tức là chỉ giữ lại điều kiện A luôn cách đường thẳng BC một
khoảng bằng h thì quỹ tích của A là đường thẳng d song song với BC cách BC một khoảng bằng
h.
A phải thoả mãn hai điều kiện. Vậy A là giao điểm của đường tròn (M ; m) và đường thẳng d.
2) Cách dựng:
- Trên một đường thẳng bất kì , dựng đoạn BC = a.
- Dựng trung điểm M của đoạn thẳng BC và dựng đường tròn (M; m).
- Dựng đường thẳng d somg song với BC và cách BC một khoảng bằng h.
- Dựng giao điểm A của đường thẳng d và đường tròn (M; m).
- Nối AB,AC .Tam giác ABC là tam giác cần dựng.
- 14 -
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
3) Chứng minh :
Theo cách dựng ., tam giác ABC có : BC = a ; đỉnh A nằm trên đường tròn tâm M , bán kính m
nên AM = m ; đỉnh A cũng nằm trên đường thẳng d nên AH = h.
4)Biện luận :
Bài tốn chỉ giải được khi xác định được đỉnh A, tức là khi d và (M ; m) cắt nhau.Do vậy ta có
:
- Nếu h < m : ta có 4 giao điểm (vì quỹ tích những điểm cách đường thẳng BC một khoảng
bằng h là hai đường thẳng song song với BC , nằm khác phía đối với BC và cách BC một
khoảng bằng h) .Ta có 4 tam giác nhưng cả 4 tam giác này bằng nhau nên ta nói bài tốn có
một nghiệm hình .
- Nêùu h = m thì d tiếp xúc với (M; m) .Ta có tam giác ABC là một tam gíac cân , ta nói bài
tốn có một nghiệm hình .
- Nếu h > m thì d và (M; m) không cắt nhau .Bài tốn không có nghiệm hình.
Ví dụ 2. Dựng tam giác ABC biết cạnh BC = a ,các đường cao BE = h

b

và CF = h
c .
1)Phân tích :
c
h

C
B
A
a
E
F
M
Giả sử tam giác ABC đã dựng được ,ta thấy do BC = a nên hai đỉnh B,C là dựng được
ngay ,chỉ còn cần dựng đỉnh A.Ta cũng thấy đỉnh A là giao điểm của hai đường thẳng BF và CE
nên việc dựng đỉnh A quy về việc dựng hai điểm E,F.
-Xác định điểm E .
+ Ta có
·
0
90BEC = ⇒
điểm E nằm trên đường tròn đường kính BC ,tức là đường tròn tâm M
với M là trung điểm của BC ,bán kính
2
a
.
+BE = h
b

điểm E nằm trên đường tròn tâm B bán kính h
b
.
Vậy E là giao điểm của hai đường tròn (M ;
2
a
) và (B ; h
b
).
-Xác định điểm F.Tương tự như đối với điểmE , điểm F là giao điểm của hai đường tròn (M ;
2
a
) và (C ; h
c
) .
2) Cách dựng :
- Trên một đường thẳng bất kì , dựng đoạn thẳng BC = a , dựng trung điểm M của đoạn thẳng
BC.
- Dựng đường tròn (M ;
2
a
).
- Dựng đường tròn (B ; h
b
).
- Dựng đường tròn (C ; h
c
).
- 15 -
O

B
C
A
O'
y
x
P
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
- Dựng giao điểm E của hai đường tròn (M ;
2
a
) và (B ; h
b
) và giao điểm F của hai đường tròn
(M ;
2
a
) và (C ; h
c
) .
- Dựng giao điểm A của hai đường thẳng CE và BF . Nối A với B, A với C .Tam giác ABC là
tam giác cần dựng .
3) Chứng minh :
Theo cách dựng ,tam giác ABC có :BC = a .Điểm E thuộc đường tròn đường kính BC
nên BE
⊥
AC. Điểm E thuộc đường tròn tâm B ,bán kính h
b
nên BE = h

b
.
Tương tự , ta có CF
⊥
AB và CF = h
c
.
4)Biện luận : để bài tốn có nghiệm thì ta phải dựng được các điểm E, F .
-Nếu h
b
< a và h
c
< a :bài tốn có một nghiệm hình .
-Nếu h
b
= a và h
c
< a hoặc h
b
< a và h
c
= a:bài tốn có một nghiệm hình là tam giác vuông (đỉnh
C hoặc B) .
- Nếu h
b
> a và h
c
> a hoặc h
b
= a và h

c
= a:bài tốn vô nghiệm.
Ví dụ 3. Cho đường thẳng xy và đường tròn tâm O ,trên (O) lấâùy một điểm P bất kìø. Hãy dựng
một đường tròn tâm O’ tiếp xúc với đường tròn tâm O tại P và tiếp xúc với đường thẳng xy.
Giải .
1)Phân tích : Giả sử đã dựng được đường tròn (O’) thoả mãn yêu cầu bài tốn.
-Vì đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) tại P nên tâm của nó nhất định nằm trên
đường thẳng đi qua hai điểm O, P (quỹ tích thứ nhất).
- Vì hai đường tròn (O) và (O’) cùng chung một tiếp tuyến AB đi qua P , đồng thời (O’) tiếp
xúc với xy và AB , cho nên tâm của nó phải nằm trên đường phân giác đi qua giao điểm của xy
và AB (quỹ tích thứ hai ).
2)Cách dựng:
- Nối OP và kéo dài nó.
- Qua P dựng tiếp tuyến của đường tròn O là A
gặp xy ở A.
- Dựng đường phân giác của
·
BAx
cắt đường kéo
dài của OP tại O’.
- Lấy O’ làm tâm ,O’P làm bán kính dựng một
Đường tròn .Đó chính là đường tròn cần dựng.
3)Chứng minh:
Theo cách dựng , đường tròn (O’) có O’C
⊥
xy và O’C = O’P nên đường tròn (O’) tiếp xúc với
xy.
Mặt khác (O’) có bán kính là O’P nên nó tiếp xúc với đường tròn (O) tại P.)
4) Biện luận: Vì AB và xy cắt nhau tạo thành hai góc BAx và BAy.Như vậy có thể đựng đường
phân giác của góc Bay cắt đường kéo dài OP tại một điểm, lấy điểm đó làm tâm có thể dựng

được một đường tròn tiếp xúc với xy và tiếp xúc với đường tròn (O),do đó bài tốn có hai lời
giải. Nhưng nếu OP vuông góc với xy thì bài tốn có một lời giải .
BÀI TẬP
1. Dựng tam giác ,biết trung tuyến và đường cao thuộc một cạnh là m
a
và h
a
, trung tuyến
thuộc một cạnh khác là m
b
.
2. Dựng tam giác ,biết độ lớn của góc ở đỉnh A là
α
, đường cao thuộc cạnh đáy là h
a
, bán
kính đường tròn ngoại tiếp là R.
Chỉ dẫn : Dựng góc ở tâm đường tròn bằng 2
α
.
3. Dựng hình bình hành biết chiều dài của hai đường chéo và một góc của nó.
4. Dựng một tứ giác , biết hai cạnh kề , góc tạo bởi hai cạnh kề khác và hai đường chéo.
- 16 -
P
B
A
C
O
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa

5.Lấy một độ dài đã cho làm bán kính ,hãy dựng một đường tròn sao cho nó tiếp xúc với
hai đường tròn khác cho trước.
6.Hãy dựng một đường tròn sao cho tâm của nó nằm trên đường thẳng xy và đi qua điểm A
cho trước nằm trên xy đồng thời tiếp xúc với đường tròn (O) cho trước.
7 .Dựng một đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng song song cho trước và tiếp xúc với
một đường tròn khác nằm giưã hai đường thẳng đó .
8. Dựng một đường tròn tiếp xúc với một đường tròn cho trước tại một điểm cho trước trên
đường tròn đó đồng thời tiếp xúc với một đường tròn khác cho trước.
* Chỉ dẫn:
Giả sử hai đường tròn đã biết là (A),(B) ,điểm đã biết
trên đường tròn (A) là P.Muốn dựng đường tròn tiễp xúc
ngồi với với hai đường tròn (A) ,(B) thì có thể lấy điểm
C trên PA (nếu đường tròn (A) bé hơn đường tròn (B) thì
C nằm trên đường kéo dài PA) sao cho PC bằng bán kính
đường tròn (B) .Dựng đường trung trực của BC ,cắt đường
kéo dài AP tại O ,đó chính là đường tròn cần tìm.Nếu đường
trung trực của BC cắt đường kéo dài PA(không phải AP) thì đường tròn cần dựng phải tiếp xúc
trong với hai đường tròn đã cho.Nếu C nằm trên đường kéo dài AP thì đường tròn cần dựng sẽ
tiếp xúc trong với một đường tròn đã cho và tiếp xúc ngồi với đường tròn còn lại.
9. Dựng tứ giác biết hai cạnh đối ,hai đường chéo và góc hợp bởi hai đường chéo.
10.Dựng hình thang cân ABCD biết cạnh đáy AB = a cạnh bên AD = b và bán kính đường
tròn ngoại tiếp là R.
11.Dựng tam giác ABC biết cạnh AB = c, bán kính đường tròn ngoại tiếp là R và đường cao
CF = h
c
.
Trên đây là hai phương pháp dựng hình thông dụng nhất trong chương trình tốn THCS Mỗi
một bài tốn dựng hình không phải chỉ dùng một phương pháp , mỗi một phương pháp cũng
không phải chuyên dùng cho một loại bài tốn , nên chúng ta phải tuỳ cơ ứng biến,vận dụng linh
hoạt mới đạt kết quả cao trong học tập.

C.KẾT LUẬN
I. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC.
Được dạy học từ các lớp dưới lên lớp trên nên tôi đã nhận thấy được những khiếm
khuyết, sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong khi học hình học nhất là những bài tốn vận
dụng tốn dựng hình , các bài tập dựng hình để đo đạc thực tế.
Khi dạy hình học gặp những bài tốn dựng hình tôi thường trăn trở phải làm sao cho các em
thấu suốt một cách triệt để , biết phân loại các bài tốn dựng hình , phân tích mỗi loại và tìm
phương pháp dựng mỗi loại bài.Trên cơ sở đótôi luôn tích luỹ kinh nhgiệm sau mỗi tiết dạy ,tìm
tòi đổi mới và đưa các bài tập ứng dụng vào bất kì một tiết học nào nếu có thể được nên phần
nào các em hiểu đựơc tại sao phải vẽ hình như thế, vẽ thì nên bắt đầu từ đâu, sử dụng công cụ
như thế nào? Qua đó các em phần nào tháo gỡ được những khó khăn trong việc học hình học
cũng như vận dụng các bài tốn dựng hình vào giải các loại bài tập khác hay các bài tập thực tế.
Các em hứng thú với môn học hơn, có ý thức chủ động tham gia vào các hoạt động khám, phá
tìm tòi các sự vật gần gũi xung quanh.
II.BÀI HỌC KINH NGHIỆM .
Qua việc tổng hợp các bài tốn dựng hình cơ bản cho học sinh tôi thấy rằng để làm được
các bài tốn hình học thì bất kì một học sinh nào đã có một số kiến thức nhất định khi học dựng
hình đều có thể tránh được nhiều khó khăn trong học tập.Trong các buổi ôn thi học sinh giỏi và
trong những tiết học trên lớp nếu có thể lồng ghép các bài tốn dựng hình vào các kiến thức cần
- 17 -
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
truyền đạt cho buổi học hôm đó tôi đều đưa vào, ví dụ như bài “Đường trung bình của tam
giác, của hình thang” ; ”Tính chất đường phân giác trong tam giác” ;
“ Chứng minh các trường hợp đồng dạng của tam giác”…cần vẽ thêm đường phụ mới chứng
minh được và một số bài tập khác. Ngồi ra còn có những tiết thực hành cần vẽ hình để đo đạc
như :” Đo khoảng cách gữa hai địa điểm trong đó có một địa điểm không thể tới được” hay “Đo
gián tiếp chiều cao của vật”mà trong chương trìng hình học 7,8,9 đều có hai tiết, thì học sinh
nào cũng phải tham gia trong bất kì các khâu từ làm đồ dùng thực hành ,dựng hình trên giấy rồi
phác hoạ trên bảng , trên đất đến đo đạc tính tốn.

III.Ý KIẾN ĐỀ XUẤT.
- Nên tổ chức lại các kì thi học sinh giỏi huyện, tỉnh ở các khối 6, 7, 8 để có sự thúc đẩy
cạnh tranh và học hỏi. Các đề thi ngồi những bài tốn chứng minh hình học cần có những bài tốn
dựng hình hoặc những bài tốn chứng minh có lồng ghép phần dựng hình .
-Ngồi các đồ dùng dạy học tự làm của giáo viên và học sinh nhà trường cần tăng thêm
thiết bị về công cụ đo đạc để có đủ dụng cụ trong các tiết thực hành dựng hình đo đạc.
-Về phía phụ huynh học sinh cần trang bị đầy đủ các dụng cụ học tập như :thước đo đạc
các loại, compa,bút … cho các em để phục vụ trong việc học đi đôi với hành.
- Tạo điều kiện , tạo cơ sở vật chất hiện đại giáo viên có những phương pháp dạy học
thích hợp để học sinh hiểu nhanh, nhớ lâu qua đó lĩnh hội kiến thức tốt hơn nhất là đối với
những chủ đề khó trong chương trình tốn như dựng hình , quỹ tích…
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
MỤC LỤC
Phần chung Trang
- 18 -
Trường THCS Cao Bá Quát . Sáng kiến kinh nghiệm
Người thực hiện :Bùi Thị Hoa
A.Phần mở đầu
I.Cơ sở lí luận. 1
II.Cơ sở thực tiễn. 1
III.Lý do chọn đề tài. 2
B.Nội dung
I.Thế nào là bài tốn dựng hình? 2
II.Phép dựng hình bằng thước và com pa 2
III.Các bài tốn dựng hình cơ bản 3
IV.Các bước giải một bài tốn dựng hình 9
V.Tổng quát về cách phân tích một bài tốn dựng hình 11
VI.Phương pháp dựng hình 11
C.Kết luận
I.Kết quả đạt được 19

II.Bài học kinh nghiệm 20
III.Ý kiến đề xuất 20


- 19 -