Sử dụng lý thuyết nửa nhóm nghiên cứu phương trình tiến hóa cấp 1

Mục lục
Mở đầu 2
1 Lí thuyết nửa nhóm 5
1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Nửa nhóm liên tục đều của toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . 5
1.3 Nửa nhóm liên tục mạnh của toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . 8
1.4 Nửa nhóm của toán tử compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Nửa nhóm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa 17
2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Xây dựng nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Tính duy nhất của nghiệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Nghiệm của bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic 40
3.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3 Sự hội tụ của nghiệm khi t → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4 Tính trơn của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Tài liệu tham khảo 51
1
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Lí thuyết nửa nhóm trên không gian Banach bắt đầu xuất hiện từ nửa đầu thế
kỉ XX và có bước tiến quan trọng vào năm 1948 với định lí Hill- Yosida. Sự ra đời
của cuốn chuyên khảo Semigroup and funtional Analysis của E. Hill và R.S Philip
đã đưa lí thuyết nửa nhóm lên một tầm cao mới. Vào thập kỉ 70, 80 của thế kỉ XX
với sự cố gắng của nhiều trung tâm nghiên cứu và các trường đại học trên thế giới
lí thuyết nửa nhóm đã gần đạt đến trạng thái hoàn hảo.
Nửa nhóm đã trở thành một công cụ quan trọng trong phương trình vi phân và

phương trình hàm vi phân trong cơ học lượng tử hoặc trong lí thuyết điều khiển
vô hạn chiều. Phương pháp nửa nhóm cũng được ứng dụng với thành công lớn để
cụ thể hóa các phương trình trong hệ động lực dân số hoặc trong lí thuyết vận tải.
Nhóm nghiên cứu giải tích hàm (AGFA) ở Tuebingen đứng đầu là GS. Nagel đề
xuất một triết lí là hầu hết các phương trình vi phân tuyến tính đều có thể đưa về
bài toán nửa nhóm một tham số bằng cách trọn không gian và toán tử thích hợp.
Từ đó xây dựng nửa nhóm biểu diễn nghiệm của chúng. Triết lí đó có tên không
chính thức là ” Semigroup everywhere”. Có thể kể ra rất nhiều các công trình mang
triết lí này. Ví dụ như công trình của Nagel, N.T Huy, Piazzera, Schnaubelt về nửa
nhóm cho các phương trình hàm; Công trình của Engel, Nickel, Goldtein về nửa
nhóm cho các bài toán biên với điều kiện biên động; Công trình của Kuntman và
Weiss về nửa nhóm cho bài toán chính qui tối đại; Công trình của Lasiecka về nửa
nhóm cho bài toán điều khiển biên. Việc xây dựng trực tiếp nửa nhóm biểu diễn
nghiệm của phương trình cho phép áp dụng lí thuyết nửa nhóm để nghiên cứu trực
tiếp tính chất nghiệm và dáng điệu tiệm cận của phưng trình tuyến tính Ôtônôm.
Trong các công trình của Hill-Yosida, lí thuyết nửa nhóm đã được áp dụng để
nghiên cứu nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình
du
dt
+ Au = f. Trong
trường hợp toán tử A phụ thuộc vào t tức là A = A(t) ta có phương trình tiến hóa:
du
dt
+ A(t)u(t) = f (t).
Lí thuyết phương trình tiến hóa được phát triển bởi Kato, Tanabe, Sobolevski
và nhiều nhà toán học khác.
Với mong muốn tìm hiểu về lí thuyết nửa nhóm và ứng dụng của nó trong một
lí thuyết cụ thể, tôi chọn nội dung: Sử dụng lí thuyết nửa nhóm nghiên cứu
phương trình tiến hóa cấp một làm khóa luận tốt nghiệp đại học.
2. Mục tiêu

2
Khóa luận cần đạt các mục tiêu sau:
- Trình bày các kết quả cơ bản về lí thuyết nửa nhóm và ứng dụng của lí thuyết
nửa nhóm vào nghiên cứu nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình tiến
hóa cấp một.
- Sử dụng các kết quả đã biết nghiên cứu bài toán biên ban đầu thứ nhất đối
với phương trình parabolic trong trụ hữu hạn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu các kiến thức cơ bản về lí thuyết nửa nhóm.
- Nghiên cứu về bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa cấp một.
- Nghiên cứu nghiệm của bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình
parabolic.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu chủ yếu trong khóa luận là phương pháp nửa nhóm.
Bên cạnh đó, tôi còn sử dụng các đánh giá chuẩn của toán tử và phương pháp
năng lượng để chứng minh tính duy nhất nghiệm và tính chính qui, sự hội tụ của
nghiệm.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
* Đối tượng nghiên cứu: : Lí thuyết nửa nhóm và phương trình tiến hóa
cấp một.
* Phạm vi nghiên cứu: : Nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình
tiến hóa và bài toán biên ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic.
3
Lời cảm ơn
Trong quá trình hoàn thành khóa luận, ngoài sự cố gắng của bản thân, tôi còn
nhận được sự giúp đỡ của các thầy cô giáo, bạn bè và gia đình.
Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến cô giáo- ThS. Đặng Thị
Phương Thanh giảng viên khoa Toán -công nghệ đã luôn giúp đỡ, chỉ bảo tận
tình cho tôi về mặt kiến thức, cung cấp tài liệu hay, cũng như rèn luyện tác phong
nghiên cứu khoa học.

Tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo- giảng viên khoa Toán-
công nghệ đã chỉ bảo, đóng góp những ý kiến quí báu cho để khóa luận được hoàn
thiện hơn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè những người đã
luôn sát cánh bên tôi an ủi, động viên, đóng góp ý kiến cho khóa luận.
Do trình độ còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót rất
mong nhận được ý kiến đóng góp của quí thầy cô và các bạn đọc để khóa luận
được hoàn chỉnh hơn.
Chân thành cảm ơn!
4
Chương 1
Lí thuyết nửa nhóm
1.1 Định nghĩa
Định nghĩa 1.1.1. Cho X là không gian Mêtric đủ , một họ các ánh xạ S(t), t ≥ 0
từ X vào X thỏa mãn :
i, S(0) = I.
ii, S(s + t) = S(t)S(s) với mọi t, s > 0.
iii, Với mọi t ≥ 0, S(t) ∈ C
0
(X, X).
iv, Với mọi u ∈ X t −→ S(t)u ∈ C
0
((0, ∞) , X),
được gọi là một nửa nhóm liên tục trên X.
1.2 Nửa nhóm liên tục đều của toán tử tuyến tính
bị chặn
Định nghĩa 1.2.1. Cho X là không gian Banach. Một họ tham số T(t) (0 ≤ t < ∞)
của toán tử tuyến tính bị chặn A từ X vào X là một nửa nhóm của toán tử tuyến
tính bị chặn trên X nếu:
i, T(0) = I, I là ánh xạ đồng nhất trên X.

ii, T(t + s) = T (s)T (t), với mọi t, s ≥ 0.
5
Nửa nhóm của toán tử tuyến tính bị chặn T (t) là liên tục đều nếu
lim
t↓0
T (t) − I = 0.
Một toán tử A xác định bởi:
D(A) =

x ∈ X : lim
t↓0
T (t)x − x
t
tnti

và
Ax = lim
t↓0
T (t)x − x
t
=
d
+
T (t)x
dt


t=0
với x ∈ D(A)
được gọi là toán tử sinh cực tiểu của nửa nhóm T(t). D(A) được gọi là miền xác

định của A.
Định lí 1.2.1. Toán tử tuyến tính A là toán tử sinh cực tiểu của nửa nhóm liên
tục đều nếu và chỉ nếu A là toán tử tuyến tính bị chặn.
Chứng minh
A là toán tử tuyến tính bị chặn trên X, xét tập hợp
T (x) = e
tA
=
∞

i=0
(tA)
n
n!
(1.1)
Vế phải của (1.1) hội tụ với mỗi t ≥ 0 và được xác định với mọi t. Đánh giá cho
chuỗi lũy thừa:
T(t) − I) ≤ tAε
tA
và

T (t) − I
t
− A ≤ AT (t) − I
suy ra T(t) là một nửa nhóm liên tục đều của toán tử tuyến tính bị chặn trên
X và A là toán tử sinh cực tiểu.
Nếu T (t) là nửa nhóm liên tục đều của toán tử bị chặn trên X, cố định ρ đủ
nhỏ thì I − ρ
−1
ρ


0
T (s) ds < 1. Từ đó suy ra ρ
−1
ρ

0
T (s) ds là khả nghịch và do đó
ρ

0
T (s) ds là khả nghịch. Do:
h
−1
(T (h)−I)
ρ

0
T (s) ds = h
−1
(
ρ

0
T (s+h) ds−
ρ

0
T (s) ds) = h
−1

(
ρ+h

ρ
T (s) ds−
h

0
T (s) ds)
và
h
−1
(T (h) − I) = (h
−1
ρ+h

ρ
T (s) ds − h
−1
h

0
T (s) ds)(
ρ

0
T (s) ds)
−1
(1.2)
6

Nên cho h tiến dần về 0 ở (1.2) ta có h
−1
(T (h) − I) hội tụ của chuẩn. Và do
tính mạnh toán tử tuyến tính bị chặn (T (ρ) − I)(
ρ

0
T (s) ds)
−1
nên nó là hàm sinh
cực tiểu của T (t).
Từ định nghĩa 1.2.1 rõ ràng một nửa nhóm T (t) thì có duy nhất một hàm sinh.
Nếu T(t) liên tục đều thì hàm sinh của nó là một toán tử tuyến tính bị chặn.
Trong những tình huống khác mỗi toán tử tuyến tính bị chặn A là hàm sinh của
nửa nhóm liên tục T (t). Nửa nhóm đó có duy nhất không? Sau đây chúng ta sẽ đi
nghiên cứu.
Định lí 1.2.2. Cho T(t) và S(t) là nửa nhóm liên tục đều của toán tử tuyến tính
bị chặn. Nếu
lim
t↓0
T (t) − I
t
= A = lim
t↓0
S(t) − I
t
(1.3)
thì T(t) = S(t) với t ≥ 0.
Chứng minh
Cho T > 0, S(t) = T (t) với 0 ≤ t ≤ T. Cố định T > 0, vì các ánh xạ t → T (t)

và t → S(t) liên tục nên có một hằng số C sao cho T (t)S(s) ≤ C với 0 ≤ s,
t ≤ T .
Với mọi ε > 0 từ (1.3) , tồn tại δ > 0 sao cho
h
−1
T (h) − S(h) <
ε
T C
với 0 ≤ h ≤ δ (1.4)
Với 0 ≤ t ≤ T và chọn n ≥ 1 thỏa mãn
t
n
< δ. Từ tính chất nửa nhóm và (1.4)
ta có :
T (t) − S(t) = T (n
t
n
) − S(n
t
n
)
≤
n−1

k=0
T ((n − k)
t
n
)S(
kt

n
) − T ((n − k − 1)
t
n
)S(
(k + 1)t
n
)
≤
n−1

k=0
T ((n − k − 1)
t
n
)T (
t
n
) − S(
t
n
)S(
kt
n
)
≤ Cn
ε
T C
t
n

≤ ε.
Với ε > 0 tùy ý, T (t) = S(t) với 0 ≤ t ≤ T ta đã hoàn thành chứng minh.
Hệ quả 1.2.3. Nếu T(t) là nửa nhóm liên tục đều của toán tử bị chặn thì:
i, Tồn tại một hằng số ω ≥ 0 thỏa mãn T (t) ≤ e
ωt
.
ii, Tồn tại duy nhất một toán tử tuyến tính bị chặn A sao cho T (t) = e
tA
.
7
iii, Toán tử tuyến tính A trong (ii) là toán tử sinh cực tiểu của T (t).
iv, t → T (t) là đạo hàm của chuẩn và
dT (t)
dt
= AT (t) = T (t)A (1.5)
Chứng minh
Các khẳng định của hệ quả 1.2.3 ở trên đều suy ra từ (ii). Ta sẽ chứng minh
(ii) chú ý rằng phần tử sinh cực tiểu của T(t) là toán tử bị chặn A. A cũng là phần
tử sinh cực tiểu của e
tA
xác định bởi (1.1) và từ định lý 1.2.2 ta có T (t) = e
tA
.
1.3 Nửa nhóm liên tục mạnh của toán tử tuyến tính
bị chặn
Định nghĩa 1.3.1. Một nửa nhóm T (t), 0 ≤ t < ∞, của toán tử tuyến tính bị chặn
trên X được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh của toán tử tuyến tính bị chặn nếu
lim
t↓0
T (t)x = x với mọi x ∈ X. (1.6)

Một nửa nhóm liên tục mạnh của một toán tử tuyến tính bị chặn trên X được
gọi là một C
0
nửa nhóm.
Định lí 1.3.1. Giả sử T (t) là một C
0
nửa nhóm. Khi đó sẽ tồn tại hằng số ω ≥ 0
và M ≥ 1 sao cho
T (t) ≤ Me
ωt
với 0 ≤ t < ∞. (1.7)
Chứng minh
Đầu tiên ta giả sử có η > 0 sao cho T (t) bị chặn với 0 ≤ t ≤ η. Nếu giả sử trên
sai thì sẽ có một dãy con {t
n
} thỏa mãn t
n
≥ 0, lim
n→∞
t
n
= 0 và T(t
n
) ≥ n.
Từ định lí tính bị chặn đều thì có những phần tử x ∈ X, T(t
n
)x không bị
chặn, trái lại với (1.6). Do đó, T (x) ≤ M với 0 ≤ t ≤ η, T (0) = 1, M ≥ 1. Với
ω = η
−1

log M ≥ 0. Cho t ≥ 0 ta có t = nη + δ với 0 ≤ δ < η và do nhờ tính chất nửa
nhóm ta có
T (t) = T (δ)T (η)
n
 ≤ M
n+1
≤ MM
(
t
η
)
= Me
ωt
.
Hệ quả 1.3.2. Nếu T (t) là một C
0
nửa nhóm thì với mọi x ∈ X, t → T (t)x là một
hàm liên tục từ R
+
0
vào X.
8
Chứng minh
Với t, h ≥ 0 tính liên tục của t → T (t)x được suy ra từ:
T (t + h)x − T(t)x ≤ T (t)T (h)x − x ≤ Me
ωt
T (h)x − x
và với t ≥ h ≥ 0 thì ta có
T (t − h)x − T(t)x ≤ T (t − h)x − T (h)x ≤ Me
ωt

x − T (h)x.
Định lí 1.3.3. Giả sử T(t) là một C
0
nửa nhóm và A là một toán tử sinh cực tiểu
của T(t) thì:
i, Với x ∈ X,
lim
h→0
1
h
t+h

t
T (s)x ds = T (t)x. (1.8)
ii, Với x ∈ X,
t

0
T (s) ds ∈ D(A) và
A

t

0
T (s)x ds

= T (t)x − x. (1.9)
iii, Với x ∈ D(A), T(t)x ∈ D(A) và
d
dt

T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax. (1.10)
iv, Với x ∈ D(A),
T (t)x − T(s)x =
t

s
T (τ)Ax dτ =
t

s
AT (τ)x dτ. (1.11)
Chứng minh
Phần (i) được suy trực tiếp từ tính liên tục của t → T(t)x ta sẽ chứng minh (ii).
Với x ∈ X và h > 0 thì:
T (h) − I
h
t

0
T (s)x ds =
1
h
t

0

T (s + h)x − T(s)x

ds =
1

h
t+h

t
T (s)x ds −
1
h
h

0
T (s)x ds
và khi cho h ↓ 0 vế phải tiến đến T(t)x − x, ta đã chứng minh xong (ii). Ta chứng
minh (iii). Giả sử x ∈ D(A) và h > 0 ta có:
T (h) − I
h
T (t)x = T (t)

T (h) − I
h

x → T (t)Ax, khi h ↓ 0. (1.12)
9
Do đó, T (t)x ∈ D(A) và AT(t)x = T (t)Ax. (1.12) kéo theo :
d
+
dt
T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax, (1.13)
đạo hàm phải của T (t)x là T (t)Ax.
Để chứng minh (1.10) ta sẽ chứng tỏ rằng với t > 0 đạo hàm trái của T (t)x tồn
tại và bằng T (t)Ax.

Từ
lim
h↓0

T (t)x − T(t − h)x
h
− T (t)Ax

= lim
h↓0
T (t − h)

T (h)x − x
h
− Ax

+ lim
h↓0

T (t − h)Ax − T(t)Ax

,
Hơn nữa, ta thấy cả hai số hạng ở vế bên phải bằng 0 , vì x ∈ D(A) và T (t)−h
bị chặn trên 0 ≤ h ≤ t và bởi tính liên tục mạnh của T (t) ta thu được chứng minh
của (iii). Lấy tích phân từ s đến t ta thu được (iv).
Hệ quả 1.3.4. Nếu A là toán tử sinh cực tiểu của C
0
nửa nhóm T (t) và D(A)
miền xác định của A thì D(A) là trù mật trong X và A là toán tử tuyến tính đóng.
Chứng minh

Với mọi x ∈ X, đặt x
t
=
1
t
t

0
T (s)x ds
. Theo phần (ii) của định lí 1.3.3 x
t
∈ D(A)
với t > 0 và theo phần (i) của định lí 1.3.3 ta có x
t
→ x với t ↓ 0. Do đó, bao đóng
của D(A) bằng X. Hiển nhiên A là toán tử tuyến tính.
Chứng minh còn đúng nếu x
n
∈ D(A), x
n
→ x và Ax
n
→ y khi n → ∞. Từ phần
(iv) của định lí 1.3.3 ta có:
T (t)x
n
− x
n
=
t


0
T (s)Ax
n
ds. (1.14)
Tích phân ở vế phải của (1.14) hội tụ đều đến T (s)y trong một khoảng bị chặn.
Do đó cho n → ∞ ở (1.14) ta thu được
T (t)x − x =
t

0
T (s)y ds.
Chia (1.14) cho t > 0 và cho t ↓ 0. Sử dụng phần (i) của định lí 1.3.3 ta có x ∈ D(A)
và Ax = y.
Định lí 1.3.5. Giả sử T (t) và S(t) là C
0
nửa nhóm của toán tử tuyến tính bị chặn
với toán tử sinh cực tiểu tương ứng là A và B. Nếu A = B thì T(t) = S(t) với t ≥ 0.
10
Chứng minh
Giả sử x ∈ D(A) = D(B) từ phần (iii) định lí 1.3.3 có thể dễ dàng suy ra được
hàm
s → T (t − s)S(s)x
có vi phân và
d
ds
T (t − s)S(s)x = −AT (t − s)S(s)x + T(t − s)BS(s)x
= −T (t − s)AS(s)x + T(t − s)BS(s)x = 0.
Do đó, s → T (t − s)S(s)x là hằng số và trong trường hợp đặc biệt thì giá trị
tại s = 0 và s = t là như nhau. Hơn nữa, T (t)x = S(t)x vẫn thỏa mãn với mọi

x ∈ D(A). Từ hệ quả 1.3.4 ta có D(A) là trù mật trong X và T(t), S(t) bị chặn.
Vậy T(t)x = S(t)x với mọi x ∈ X.
1.4 Nửa nhóm của toán tử compact
Định nghĩa 1.4.1. Một C
0
nửa nhóm T(t) được gọi là compact với t > t
0
nếu với
mọi t > t
0
, T(t) là một toán tử compact. T(t) được gọi là compact nếu nó compact
với mọi t > 0.
Định lí 1.4.1. Giả sử T(t) là một C
0
nửa nhóm. Nếu T(t) là compact với mọi
t > t
0
thì T(t) liên tục trong toán tử tôpô đều với t > t
0
.
Chứng minh
Giả sử T(s) ≤ M với 0 ≤ s ≤ 1, ε > 0 cho trước. Nếu t > t
0
thì tập hợp
U
t
= {T (t)x : x ≤ 1} là tập compact do đó tồn tại x
1
, x
2

, , x
N
sao cho hình cầu
mở bán kính
ε
2(M + 1)
tâm T (t)x
j
, 1 ≤ j ≤ N phủ U
t
. Từ tính liên tục mạnh của
T (t) thì tồn tại 0 ≤ h
0
≤ 1 sao cho:
T (t + h)x
j
− T (t)x
j
 <
ε
2
với 0 ≤ h ≤ h
0
và 1 ≤ j ≤ N (1.15)
Giả sử x ∈ X, x ≤ 1 thì có một chỉ số j, 1 ≤ j ≤ N (j phụ thuộc vào x) sao cho:
T (t)x − T(t)x
j
 ≤
ε
2(M + 1)

. (1.16)
Do đó, với 0 ≤ h ≤ h
0
, x ≤ 1 ta có:
T (t+h)x−T (t)x ≤ T (h)T (t)x−T (t)x
j
+T (t+h)x
j
−T (t)x
j
+T (t)x
j
−T (t)x < ε.
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
11
Định lí 1.4.2. Giả sử T (t) là một C
0
nửa nhóm và A là toán tử sinh cực tiểu của
T (t). Khi đó T (t) là nửa nhóm compact khi và chỉ khi T (t) liên tục trong toán tử
tôpô đều với t > 0 và R(λ : A) là compact với λ ∈ ρ(A).
Chứng minh
Giả sử T (t) ≤ M.e
ωt
. Nếu T (t) compact với t > 0 thì theo định lí 1.4.1 ta có
T (t) liên tục đều trong toán tử tôpô đều với t > 0. Do đó
R(λ : A) =
∞

0
e

−λs
T (s) ds với Reλ > ω (1.17)
và tồn tại tích phân trong toán tử tôpô đều. Với ε > 0 và Reλ > ω và
R
ε
(λ) =
∞

ε
e
−λs
T (s) ds. (1.18)
Vì T(s) compact với mọi s > 0 nhưng
R(λ : A) − R
ε
(λ) ≤ 
ε

0
e
−λs
T (s) ds ≤ εMe
ωε
→ 0,
khi ε → 0 do đó R(λ : A) là compact. Đồng nhất giải thức
R(λ : A) − R(µ : A) = (µ − λ)R(λ : A)R(µ : A) với µ, λ ∈ ρ(A)
Giả sử rằng R(µ : A) là compact với λ ∈ ρ(A) và T (t) là liên tục trong toán tử
tôpô đều với t > 0 suy ra (1.17) được thỏa mãn và:
λR(λ : A)T (t) − T(t) = λ
∞


0
e
−λs
(T (t + s) − T(t)) ds. (1.19)
Nếu λ là số thực, λ > ω thì với mọi δ > 0 ta có
λR(λ : A)T (t) − T(t) ≤
δ

0
λe
−λs
(T (t + s) − T(t)) ds +
∞

δ
λe
−λs
T (t + s) − T(t) ds
≤ sup
0≤t≤δ
T (t + s) − T(t) + 2λ(λ − ω)
−1
Me
ω(t+δ)
e
−λs
suy ra
lim
λ→∞

λR(λ : A)T (t) − T(t) ≤ sup
0≤s≤δ
T (t + s) − T(t), với δ > 0 (1.20)
Với δ > 0 tùy ý ta có
lim
λ→∞
λR(λ : A)T (t) − T(t) = 0
nhưng λR(λ : A)T (t) là compact với mọi λ > ω do đó T (t) là compact.
12
Hệ quả 1.4.3. Cho T (t) là một C
0
nửa nhóm và A là toán tử sinh cực tiểu của
T (t). Thì R(λ : A) là compact với λ ∈ ρ(A) và T (t) liên tục trong toán tử tôpô đều
với t > t
0
thì T(t) compact với t > t
0
.
Hệ quả 1.4.4. Giả sử T(t) là một nửa nhóm liên tục đều. Khi đó T (t) là một nửa
nhóm compact nếu và chỉ nếu R(λ : A) là compact với mọi λ ∈ ρ(A).
Định lí 1.4.5. Cho T(t) là một C
0
nửa nhóm có A là toán tử sinh cực tiểu. Nếu
T (t) liên tục trong toán tử tôpô đều với t > 0 thì tồn tại một hàm
ψ : [0, ∞] → [0, ∞] sao cho
ρ(A) ⊃ {λ : λ = σ + iτ, |τ| ≥ ψ(|σ|)} (1.21)
và
lim
|τ|→∞
R(σ + iτ : A) = 0 với mọi số thực σ.

Hệ quả 1.4.6. Cho T (t) là một C
0
nửa nhóm với A là toán tử sinh cực tiểu. Với
mọi −∞ < α ≤ β < +∞, giao của dải α ≤ Reλ ≤ β với σ(A) bao gồm một số hữu
hạn các giá trị riêng của A.
1.5 Nửa nhóm giải tích
Định nghĩa 1.5.1. Giả sử ∆ = {z : ϕ
1
< argz < ϕ
2
, ϕ
1
< 0 < ϕ
2
}, với z ∈ ∆ giả
sử T (z) là toán tử tuyến tính bị chặn. Họ T (z), z ∈ ∆ là một nửa nhóm giải tích
trong ∆ nếu:
i, z → T (z) giải tích trong ∆.
ii, T(0)=I và lim
z→0
T (z)x = x với mọi x ∈ X, với z ∈ ∆.
iii, T(z
1
+ z
2
) = T (z
1
)T (z
2
) với z

1
, z
2
∈ ∆.
Một nửa nhóm T (t) được gọi là giải tích nếu nó giải tích trong hình quạt ∆
chứa trục số thực không âm.
Định lí 1.5.1. Giả sử T(t) là một C
0
nửa nhóm bị chặn đều với A là toán tử sinh
cực tiểu của T(t) và 0 ∈ ρ(A). Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
i, T(t) có thể thác triển thành một nửa nhóm giải tích trong hình quạt ∆
δ
=
{z : |argz| < δ} và T(z) bị chặn đều trong bất kì mọi hình quạt đóng ∆
δ
, δ

< δ
của ∆
δ
.
13
ii, Tồn tại một hằng số C sao cho với mọi σ > 0, τ = 0
R(σ + iτ : A) ≤
C
|τ|
.
iii, Tồn tại 0 < δ <
π
2

và M>0 sao cho
ρ(A) ⊃ Σ = {λ : |argλ| <
π
2
+ δ} ∪ 0
và
R(λ : A) ≤
M
|λ|
với λ ∈ Σ, λ = 0.
iv, T(t) là khả vi với t>0 và tồn tại một hằng số C sao cho
AT (t) ≤
C
t
với t > 0.
Định lí 1.5.2. Giả sử T(t) là một C
0
nửa nhóm khả vi với t > 0, A là toán tử sinh
cực tiểu của T(t). Nếu lim sup
t→0
AT (t) <
1
e
thì A là toán tử bị chặn và T (t) có thể
thác triển giải tích trong mặt phẳng phức.
Chứng minh
Từ lim sup
t→0
AT (t) <
1

e
nên ta có lim sup
t→∞
t
n
T

(
t
n
) <
1
e
và do đó chuỗi
T (z) =
∞

n=0
(z − t)
n
n!
T
(n)
(t) =
∞

n=0
(z − t)
n
t

n
n
n
n!

t
n
T

(
t
n
)

n
hội tụ trong toán tử tôpô đều với
|z − t|
t
< 1 + δ, δ > 0. Nhưng miền này chứa điểm
gốc như một điểm trong. Do đó lim
t→0
T (t) − I = 0 suy ra A bị chặn. Mà một toán
tử tuyến tính bị chặn sinh ra một nửa nhóm T(t) nó có thể thác triển giải tích
trong mặt phẳng ấy. Vậy định lí được chứng minh.
Định lí 1.5.3. Cho A là toán tử sinh cực tiểu của một C
0
nửa nhóm T(t) thỏa
mãn T (t) ≤ Me
ωt
. Khi đó, T(t) là giải tích nếu và chỉ nếu có một hằng số C >0

và Λ sao cho
AR(λ : A)
n+1
 ≤
C
nλ
n
với λ > nΛ, n = 1, 2, 3, (∗)
Chứng minh
Từ định lí 1.5.1 ta dễ dàng suy ra được T(t) giải tích nếu và chỉ nếu nó khả
tích với t>0 và tồn tại một hằng số C
1
và ω
1
sao cho
AT (t) ≤
C
1
t
e
ω
1
t
, t > 0.
14
Nếu A thỏa mãn (*) thì với λ > nΛ và x ∈ D(A) ta có:
AR(λ : A)
n+1
x = R(λ : A)
n+1

Ax ≤
C
nλ
n
x.
Chọn t <
1
Λ
và thế λ =
n
t
vào biểu thức trên ta có:
A

n
t
R(
n
t
: A)

n+1
x = 

n
t
R(
n
t
: A)


n+1
Ax ≤
C
t
x với x ∈ D(A).
Cho n → ∞ và từ tính đóng của A ta có:
AT (t)x ≤
C
t
x với x ∈ D(A), 0 < t <
1
Λ
.
Vì D(A) trù mật trong X và AT (t) là đóng nên biểu thức trên đúng với mọi x ∈ X.
Do đó tồn tại một hằng số C
1
> 0 và ω
1
> 0 sao cho
AT (t) ≤
C
1
t
e
ω
1
t
, t > 0
và T(t) là giải tích.

Ngược lại lấy đạo hàm cấp n từ công thức R(λ : A)x =
∞

0
e
−λt
T (t)x dt ta thu
được
R(λ : A)
(n)
x = (−1)
n
n!R(λ : A)
n+1
= (−1)
n
∞

0
t
n
e
−λt
T (t)x dt.
Tác động A vào cả hai vế của biểu thức này và đánh giá vế phải ta có
n!AR(λ : A)
n+1
x ≤ C
1


∞

0
t
n−1
e
−(λ−ω
1
)t
dt

x =
C
1
(λ − ω
1
)
n
(n − 1)!x
và do đó với λ > nΛ thì
AR(λ : A)
n+1
 ≤
C
1
nλ
n

1
1 −

ω
1
Λn

n
≤
C
2
nλ
n
.
Định lí 1.5.4. Cho T(t) là một C
0
nửa nhóm bị chặn đều khi đó các điều kiện sau
là tương đương:
i, T(t) là giải tích trong hình quạt xung quanh trục số thực không âm.
ii, Với mọi số phức ζ, |ζ| = 1, hằng số dương δ và K sao cho ζ ∈ ρ(T (t)) và
(ζI − T(t))
−1
 ≤ K với 0 < t < δ.
iii, Tồn tại số phức ζ, |ζ| = 1, hằng số dương K, δ sao cho (ζI −T (t))x ≥
1
K
x
với mọi x ∈ X, 0 < t < δ.
15
Hệ quả 1.5.5. Cho T (t) là một C
0
nửa nhóm. Nếu lim sup
t→0

I − T(t) < 2 thì T (t)
giải tích trong một hình quạt xung quanh trục số thực không âm.
Chứng minh
Từ lim sup
t→0
I−T (t) < 2 nên tồn tại một số δ > 0 và ε > 0 sao cho I−T (t) < 2−ε
với 0 < t < δ. Nhưng
(−I − T (t))x ≥ 2x − (I − T(t))x ≥ εx
với 0 < t < δ. Áp dụng phần (iii) của định lí 1.5.4 với ζ = −1 ta được điều phải
chứng minh.
Hệ quả 1.5.6. Nếu T (t) là một nửa nhóm giải tích của một hạn chế trên không
gian Banach lồi đều X thì lim sup
t→0
I − T (t) < 2.
16
Chương 2
Bài toán Cauchy đối với phương
trình tiến hóa
2.1 Đặt bài toán
Trong mục này chúng ta sẽ nghiên cứu phương trình tiến hóa:
du
dt
+ A(t)u = 0 với 0 < t < T. (2.1)
Giả sử X là không gian Banach và A(t) là toán tử khác hằng số thỏa mãn các giả
thiết:
A1, Miền xác định D(A) của A(t)(t ∈ [0, T ]) là trù mật trong X và không phụ
thuộc vào t, và A(t) là toán tử đóng.
A2, Với mỗi t ∈ [0, T ], giải thức R(λ; A(t)) của A(t) tồn tại với mọi λ mà Reλ ≤ 0
và
R(λ; A(t)) ≤

C
|λ| + 1
. (2.2)
A3, Với bất kì t, s, τ ∈ [0, T ] ta có:
[A(t) − A(τ )]A
−1
(s) ≤ C|t − τ|
α
, 0 < α < 1 (2.3)
ở đây, các hằng số C, α không phụ thuộc vào t, s, τ.
Ta có nhận xét sau:
Từ giả thiết (A2) suy ra với mỗi σ ∈ [0, T ], −A(σ) sinh ra một nửa nhóm giải tích
{T (t)} có e
−tA(σ)
= T (t) suy ra {e
−tA(σ)
} là nửa nhóm liên tục mạnh, A(σ)e
−tA(σ)
là
toán tử bị chặn với t > 0 và
e
−tA(σ)
) ≤ C (2.4)
và
A(σ)e
−tA(σ)
 ≤
C
t
(2.5)

với mọi t > 0 và C là hằng số không phụ thuộc t, σ.
17
Định nghĩa 2.1.1. Hàm giá trị toán tử U(t, τ) (với giá trị trong không gian Banach
B(X)) xác định và liên tục mạnh theo t, τ với 0 ≤ τ ≤ t ≤ T được gọi là một nghiệm
cơ bản của phương trình tiến hóa (2.1) nếu:
i, Đạo hàm
∂U (t, τ)
∂t
tồn tại trong tôpô mạnh và thuộc B(X) với 0 ≤ τ ≤ t ≤ T .
ii, Miền giá trị của U(t, τ) nằm trong D(A).
iii,
∂U (t, τ)
∂t
+ A(t)U(t, τ ) = 0, với τ < t ≤ T, (2.6)
và
U(τ, τ) = I. (2.7)
Định lí 2.1.1. Với các giả thiết (A1)-(A3) thì phương trình (2.1) có nghiệm cơ
bản duy nhất.
Xét bài toán Cauchy đối với phương trình tiến hóa trong không gian Banach
X:
du
dt
+ A(t)u = f(t), 0 < t ≤ T, (2.8)
u(0) = u
0
, u
0
∈ X
Hàm f(t) được gọi là lên tục đều theo nghĩa Holder ( số mũ β) trong đoạn [0, T ]
nếu f(t) − f(τ ) ≤ |t − τ|

β
với mọi t, τ ∈ [0, T ], C, β là các hằng số dương và β ≤ 1.
Định lí 2.1.2. Giả sử các giả thiết (A1)- (A3) được thõa mãn. Khi đó với bất kì
u
0
∈ X và với bất kì hàm f(t) liên tục đều theo nghĩa Holder ( với số mũ β) trong
[0, T ] thì bài toán Cauchy (2.8) có nghiệm duy nhất u(t).
Hơn nữa, nghiệm đó được xác định bởi
u(t) = U(t, 0)u
0
+
t

0
U(t, s)f(s) ds, (2.9)
trong đó U(t, s) là nghiệm cơ bản của phương trình tiến hóa (2.1).
2.2 Kiến thức chuẩn bị
Trong mục này ta phát biểu một số định nghĩa và định lí sẽ được sử dụng về sau
tuy nhiên trong mục này các định lí không được chứng minh.
18
Định nghĩa 2.2.1. Cho φ là một số bất kì thỏa mãn 0 < φ <
π
2
và M là một hằng
số dương bất kì. Một toán tử tuyến tính A trong không gian Banach X được gọi là
thuộc kiểu (φ, M) nếu:
i, A là toán tử đóng với miền xác định D(A) trù mật trong X.
ii, Giải thức của A chứa hình quạt
S
φ

= {λ; λ = 0,
π
2
− φ < argλ <
3π
2
+ φ}
và R(λ, A) ≤
M
|λ|
nếu λ ∈ S
φ
.
Định lí 2.2.1. Cho {T (t)} là nửa nhóm liên tục mạnh với toán tử sinh A. Khi đó
với x ∈ D(A) bất kì ta có
d
dt
T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax.
Định lí 2.2.2. Điều kiện cần và đủ để một toán tử tuyến tính đóng A với miền
xác định D(A) trù mật là toán tử sinh của một nửa nhóm liên tục mạnh là tồn tại
số thực M và ω sao cho với mọi số thực λ > ω thì λ ∈ ρ(A) và
R(λ, A)
n
 ≤
M
(λ − ω)
n
n = 1, 2,
Hệ quả 2.2.3. Nếu
R(λ, A)

n
 ≤
M
(λ − ω)
n
n = 1, 2,
với mọi λ > ω thì T (t) ≤ Me
tω
(0 ≤ t < ∞).
Hệ quả 2.2.4. Giả sử toán tử tuyến tính đóng và xác định trù mật A là toán tử
sinh nửa nhóm liên tục mạnh {T (t)} thỏa mãn
T (t) ≤ Me
tω
(0 ≤ t < ∞)
khi đó R(λ, A)
n
 ≤
M
(λ − ω)
n
n = 1, 2,
với mọi λ > ω (Các hằng số M, ω vẫn được giữ nguyên).
Hệ quả 2.2.5. Nếu R(λ, A)
n
 ≤
M
(λ − ω)
n
n = 1, 2, với mọi λ > ω thì giải thức
R(λ : A) tồn tại với mọi λ thỏa mãn Reλ > ω và được xác định bởi

R(λ : A)x =
∞

0
e
−λt
T (t)x dt.
19
Định lí 2.2.6. Nếu A thuộc kiểu (φ, M) thì -A sinh ra một nửa nhóm liên tục
mạnh {T (t)} thỏa mãn các tính chất:
i, T(t) có thể thác triển giải tích vào hình quạt
∆
φ
= {t; t = 0, |argt| < φ}.
ii, AT (t),
dT (t)
dt
là các toán tử bị chặn với mỗi t ∈ ∆
φ
và
dT (t)x
dt
= −AT (t)x,
x ∈ X.
iii, Với bất kì 0 < ε < φ tồn tại một hằng số C = C(ε) sao cho
T (t) ≤ C, AT (t) ≤
C
|t|
với t ∈ ∆
φ−ε

.
vi, Với x ∈ X, 0 < ε < φ, T(t) → x khi t → 0, t ∈ ∆
φ−ε
.
Định lí 2.2.7. Giả sử A thuộc kiểu (φ, M). Khi đó với bất kì số tự nhiên m ≥ 1
thì e
−tA
x thuộc miền xác định của A
m
với x ∈ X, t > 0 và
A
m
e
−tA
 ≤ Ct
m
(t > 0)
ở đó C là hằng số chỉ phụ thuộc A, m.
Định lí 2.2.8. Cho {T (t)} là nửa nhóm liên tục mạnh với toán tử sinh A và giả
thiết rằng AT (t) là toán tử bị chặn với t>0 và
T (t) ≤ C, AT (t) ≤
C
t
.
Khi đó với σ > 0 bất kì −(A − σI) thuộc kiểu (φ, M).
2.3 Xây dựng nghiệm cơ bản
Ta thấy nếu U(t, τ ) là một nghiệm cơ bản của phương trình tiến hóa (2.3) thì với
mỗi x ∈ X, hàm U(t, τ)x − e
−(t−τ)A(τ)
x phải thỏa mãn phương trình:

dv
dt
+ A(t)v = −[A(t) − A(τ)]e
−(t−τ)A(τ)
x. (2.10)
Do đó nếu (2.9) đúng với t = 0 đến t = τ và vế phải của (2.10) liên tục đều theo
nghĩa Holder thì:
U(t, τ) = e
−(t−τ)A(τ)
x +
t

τ
U(t, s)[A(τ) − A(s)]e
−(s−τ)A(τ)
x ds. (2.11)
20
Nghiệm của (2.1) có thể xây dựng bởi chuỗi
U(t, τ) =
∞

k=0
U
k
(t, τ) (2.12)
trong đó
U
0
(t, τ) = e
−(t−τ)A(τ)

và
U
k+1
(t, τ) =
t

s
U
k
(t, s)[A(τ) − A(s)]e
−(t−τ)A(τ)
ds. (2.13)
Đặt
Φ
1
(t, τ) = [A(τ) − A(t)]e
−(t−τ)A(τ)
(2.14)
Φ
k+1
(t, τ) =
t

τ
Φ
k
(t, s)Φ
1
(s, τ) ds. (2.15)
Giả thiết rằng các tích phân trong (2.11), (2.13) có nghĩa và định lí Fubini được

áp dụng thì
U
k
(t, τ) =
t

τ
e
−(t−s)A(s)
Φ
k
(s, τ) ds. (2.16)
Đặt
Φ(t, τ) =
∞

k=1
Φ
k
(t, τ),
ta có
U(t, τ) = e
−(t−τ)A(τ)
+
t

τ
e
−(t−s)A(s)
Φ(s, τ) ds, (2.17)

Φ(t, τ) = Φ
1
(t, τ) +
t

τ
Φ(t, s)Φ
1
(s, τ) ds. (2.18)
Trong phần này ta nghiên cứu phương trình (2.18) và chứng minh U(t, τ) được xác
định bởi (2.17) là một nghiệm cơ bản.
Ta có các bổ đề sau:
Bổ đề 2.3.1. Với τ, t, s, ξ, η ∈ [0, T ], ta có các bất đẳng thức sau:
e
−τA(t)
− e
−τA(s)
 ≤ C|t − s|
α
, (2.19)
A(ξ)[e
−τA(t)
− e
−τA(s)
] ≤
C
τ
|t − s|
α
, (2.20)

A(ξ)[e
−τA(t)
− e
−τA(s)
]A
−1
(η) ≤ C|t − s|
α
. (2.21)
21
Chứng minh
Với mỗi v ∈ X, hàm Φ(ξ) = e
−(t−ξ)A(t)−ξA(s)
v là hàm khả vi và
Φ

(ξ) = e
−(t−ξ)A(t)
[A(s) − A(t)]e
−ξA(s)
v.
Nếu v ∈ D(A) ta có thể viết
Φ

(ξ) = e
−(t−ξ)A(t)
{[A(s) − A(t)]A
−1
(s)}e
−ξA(s)

(A(s)v),
suy ra Φ

(ξ) là hàm liên tục và Φ(τ) − Φ(0) =
τ

0
Φ

(ξ) dξ.
Suy ra
[e
−τA(t)
− e
−τA(s)
]v =
τ

0
e
−(t−ξ)A(t)
[A(s) − A(t)]e
−ξA(s)
v dξ
= {
τ

0
e
−(t−ξ)A(t)

[A(s) − A(t)]A
−1
(s)e
−ξA(s)
dξ}A(s)v. (2.22)
Từ (2.22) Suy ra với bất kì x ∈ X ta có:
e
−τA(t)
x − e
−τA(s)
x = {e
−
τ
2
A(t)
− e
−
τ
2
A(s)
}e
−
τ
2
A(s)
x + e
−
τ
2
A(t)

{e
−
τ
2
A(t)
− e
−
τ
2
A(s)
}x
= {
−
τ
2

0
e
−(
τ
2
−ξ)A(t)
[A(s) − A(t)]A
−1
(s)e
−ξA(s)
dξ}A(s)e
−
τ
2

A(s)
x
+ A(t)e
−
τ
2
A(t)
τ
2

0
e
−(
τ
2
−ξ)A(t)
[A(s) − A(t)]A
−1
(s)e
−ξA(s)
x dξ
+ e
−
τ
2
A(t)
[A(t) − A(s)]A
−1
(s)e
−

τ
2
A(s)
x − e
−τA(t)
[A(t) − A(s)]A
−1
(s)x.
Kết hợp với (2.3), (2.4), (2.5) ta có:
e
−τA(t)
x − e
−τA(s)
 ≤
τ
2

0
C
τ
|t − s|
α
dξ +
C
τ
τ
2

0
|t − s|

α
dξ + C|t − s|
α
≤ C|t − s|
α
. (2.23)
Vậy (2.19) được chứng minh.
Để chứng minh (2.20) ta sử dụng bất đẳng thức sau:
A(ξ) − A
−1
(η) ≤ C. (2.24)
Sử dụng (2.3), (2.4), (2.5), (2.24) và định lí 2.2.7 với m=2 thì:
e
−
τ
2
A(t)
{e
−
τ
2
A(t)
− e
−
τ
2
A(s)
}x ≤
C
τ

x|t − s|
α
.
22
Đặt
I = A(ξ)[e
−
τ
2
A(t)
− e
−
τ
2
A(s)
]e
−
τ
2
A(s)
x
ta được:
I = [e
−
τ
2
A(t)
− e
−
τ

2
A(s)
]A(s)e
−
τ
2
A(s)
x
+e
−
τ
2
A(t)
[A(t) − A(s)]e
−
τ
2
A(s)
x
≡ I
1
+ I
2
+ I
3
.
Kết hợp với (2.3), (2.4), (2.5), (2.24) ta được I
i
 ≤
C

τ
|t − s|
α
x với i = 2, 3. Từ
(2.22) ta có
I
1
= {
τ
2

0
e
−(
τ
2
−ξ)A(t)
[A(s) − A(t)]A
−1
(s)e
−ξA(s)
dξ}A
2
(s)e
−
τ
2
A(s)
x.
Sử dụng (2.3), (2.4), (2.5) và định lí 2.2.7 với m=2 ta suy ra

I
1
 ≤
Cx|t − s|
α
τ
.
Vậy
I ≤
C
τ
|t − s|
α
x. (2.25)
Để chứng minh (2.21) ta viết:
e
−τA(t)
x − e
−τA(s)
x = [e
−
τ
2
A(t)
− e
−
τ
2
A(s)
]e

−
τ
2
A(s)
x
+ e
−
τ
2
A(t)
{
τ
2

0
e
−(
τ
2
−ξ)A(t)
[A(s) − A(t)]A
−1
(s)e
−ξA(s)
dξ}A(s)x
≡ J
1
+ J
2
.

ở đó x = A
−1
(η)y, y ∈ X.
Từ (2.3), (2.4), (2.5), (2.24) ta có:
A(ξ)J
2
 ≤ Cy|t − s|
α
.
Chú ý
Cho B là một toán tử tuyến tính đóng trong X và u(t) là một hàm liên tục từ
[0, T ] vào X sao cho u(t) ∈ D(B) và Bu(t) là liên tục với 0 ≤ t < T thỏa mãn tích
phân
T

0
u(t) dt,
T

0
Bu(t) dt tồn tại. Khi đó,
T

0
u(t) dt ∈ D(B) và B
T

0
u(t) dt =
T


0
Bu(t) dt.
Từ
e
−τA(t)
v − e
−τA(s)
v = −
t

s
A(τ)e
−ξA(τ)
v dξ

v ∈ D(A)

(2.26)
và (2.5), (2,24) ta có bổ đề sau:
23
Bổ đề 2.3.2. Cho τ, t, s, ξ, η ∈ [0, T ], ta có:
[e
−tA(τ)
− e
−sA(τ)
]A
−1
(ξ) ≤ C|t − s|, (2.27)
A(ξ)[e

−tA(τ)
− e
−sA(τ)
]A
−1
(τ) ≤
C|t − s|
min(t, s)
. (2.28)
Bổ đề 2.3.3. Hàm A(t)e
−τA(s)
là hàm lên tục trong tôpô đều (trong chuẩn của
B(X)) theo (t, s, τ) với 0 ≤ t ≤ T , ε ≤ τ ≤ T , 0 ≤ s ≤ T và ε là một hằng số dương
bất kì.
Chứng minh
Nếu 0 ≤ t + ∆t ≤ T , ε ≤ τ + ∆τ ≤ T , 0 ≤ s + ∆s ≤ T thì:
A(t + ∆t)e
−(τ+∆τ)(A(s+∆s))
− A(t)e
−τA(s)
= [A(t + ∆t) − A(t)]A
−1
(s + ∆s)A(s + ∆s)e
−(τ+∆τ)(A(s+∆s))
+ A(t)(e
−(
τ
2
+∆τ)A(s+∆s)
− e

−
τ
2
A(s+∆s)
)A
−1
(s + ∆s)A(s + ∆s)e
−
τ
2
A(s+∆s)
+ A(t)e
−τA(s+∆s)
− e
−τA(s)
.
Từ (2.3), (2.5), (2.20) và (2.24) ta có
V T  ≤
C
ε
|∆t|
α
+
C
ε
|∆τ| +
C
ε
|∆s|
α

.
Bổ đề được chứng minh.
Từ tính bị chặn của A
−1
(s) ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2.3.4. Hàm giá trị toán tử [A(τ )− A(t)]e
−(t−τ)A(τ)
; [A(τ) −A(t)]e
(t−τ)A(t)
;
e
−(t−τ)A(τ)
; e
(t−τ)A(t)
là hàm liên tục đều trong tôpô theo (t, τ ), ở đó 0 ≤ τ ≤ t − ε,
ε ≤ t ≤ T với bất kì ε > 0.
Bổ đề 2.3.5. Với mỗi x ∈ X hàm A(t)e
−tA(s)
A
−1
(ξ)x liên tục theo t, s, τ, ξ với
t, s, τ, ξ ∈ [0, T].
Chứng minh
A(t + ∆t)e
−(τ+∆τ)(A(s+∆s))
A
−1
(ξ + ∆ξ) − A(t)e
−τA(s)
A

−1
(ξ)
= [A(t + ∆t) − A(t)]A
−1
(s + ∆s)A(s + ∆s)e
−(τ+∆τ)A(s+∆s)
A
−1
(ξ + ∆ξ)
+ A(t)e
−(τ+∆τ)A(s+∆s)
A
−1
(ξ)[A(ξ) − A(ξ + ∆ξ)]A
−1
(ξ + ∆ξ)
+ A(t)[e
−(τ+∆τ)A(s+∆s)
− e
−(τ+∆τ)A(s)
]A
−1
(ξ)
+ A(t)A
−1
(s)[e
−(τ+∆τ)A(s)
− e
−τA(s)
]A(s)A

−1
(ξ)
≡ J
1
+ J
2
+ J
3
+ J
4
.
Từ (2.3), (2.24) ta có
J
1
 ≤ C|∆T |
α
, J
2
 ≤ C|∆ξ|
α
.
24
Từ (2.21) ta có J
3
 ≤ C|∆s|
α
. Mặt khác nếu x ∈ D
A
thì
lim

∆τ→0
e
−(τ+∆τ)A(s)
x − e
−τA(s)
x = 0. (2.29)
Từ e
−(τ+∆τ)A(s)
x − e
−τA(s)
x ≤ C suy ra (2.19) đúng với mọi x ∈ X. Từ (2.24) ta
thấy J
4
x → 0 khi ∆τ → 0. Như vậy bổ đề được chứng minh.
Hệ quả 2.3.6. Hàm e
−(τ+∆τ)A(τ )
; e
−(t−τ)A(t)
; [A(τ) − A(t)]e
−(t−τ)
A
−1
(τ) là liên
tục mạnh theo t, τ với 0 ≤ τ ≤ t ≤ T .
Từ (2.3), (2.5), (2.14) ta suy ra
Φ
1
(t, τ) ≤
C
|t − τ |

1−α
. (2.30)
Từ bổ đề 2.2.3 ta có Φ
1
(t, τ) là hàm liên tục đều theo t, τ trong tôpô đều với t−τ ≥ ε.
Sử dụng đối số cổ điển của xấp xỉ liên tiếp ta thu được phương trình tích phân
(2.14) có một nghiệm duy nhất Φ(t, τ), 0 ≤ τ ≤ t ≤ T liên tục đều trong tôpô đều
theo t, τ; 0 ≤ τ ≤ t − ε; ε ≤ t ≤ T với bất kì ε > 0. Hơn nữa
Φ(t, τ) <
C
|t − τ |
1−α
, (2.31)
suy ra
Φ(t, τ) =
∞

k=1
Φ
k
(t, τ) (2.32)
là một nghiệm của (2.18).
Bây giờ ta chứng minh tính liên tục của Φ
k
(t, τ) theo t, τ trong tôpô đều với
t − τ ≥ ε > 0 và
Φ
k
(t, τ) ≤ C
k

|t − τ |
kα−1
Γ(kα)
, (2.33)
trong đó Γ(m) là hàm gamma.
Bổ đề 2.3.7. Cho Φ(t, τ), Ψ(t, τ) là hàm với giá trị trong B(X) xác định với 0 ≤
τ < t ≤ T và liên tục theo t, τ với t − τ ≥ ε, ε > 0 bất kì.
Giả thiết rằng
τ+δ

τ
Φ(t, τ)Ψ (t, τ) ds +
t

t−δ
Φ(t, τ)Ψ (t, τ) ds → 0
khi δ → 0 đều với hệ số (t, τ) , t − τ ≥ ε, ε > 0. Khi đó hàm
t

τ
Φ(t, τ)Ψ (t, τ) ds là liên
tục đều theo (t, τ), t − τ ≥ ε, ε > 0 bất kì. Từ (2.33) ta có
t

τ
Φ(t, s)Φ
1
(s, τ) ds =
∞


k=1
t

τ
Φ
k
(t, s)Φ
1
(s, τ) ds.
25