ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN VÒNG HUYỆN

UBND HUYN HA BNH


(Đ gm 01 trang)

 !
"#
$%#&
'()*)+,#-.'/0
(Không k thi gian giao đ)
1
23: (5 điểm)
Chứng minh: 4
2n
- 3
2n
- 7+ 24 (n ≥ 1)
23: ( 5 điểm )
a) Giải phương trình:
2 2 2 2 3 2 13 8 2 3 7x x x x− + − + + + − =
b) Giải hệ phương trình:

( )
( )
( )





+=

+=
+=
xzzx
zyyz
yxxy
87
65
43
23: ( 5 điểm )
a) Chứng minh rằng:
2013
2014
+
2014
2013
>
2013
+
2014
b) Cho x + y = 2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x
2
+ y
2
23!# ( 5 điểm )
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính
AH. Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E.
a) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng.
b) Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng tại
M và N. Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn HB, HC.

c) Cho AB = 6 cm; AC = 8 cm. Tính diện tích tứ giác MDEN.
 40
1
UBND HUYN HA BNH


(Hướng dẫn chấm gm 03 trang)

 !
"#
$%#&
'()*)+,#-.'/0
5%67
23#8-9):;<
Ta có: 4
2n
- 3
2n
-7=16
n
- 9
n
-7 (0.5đ)
Chứng minh16
n
- 9
n
-7+ 3
Vì
16 1(mod3) 16 1(mod3)

n
≡ ⇒ ≡
(0.5đ)

9 0(mod3) 9 0(mod3)
n
≡ ⇒ ≡
(0.5đ)

7 1(mod3)≡
(0.25đ)
Nên
16 9 7 1 0 1 0(mod3)
n n
− − ≡ − − =
(0.5đ)
Chứng minh 16
n
- 9
n
-7+ 8
Vì
16 0(mod8) 16 0(mod8)
n
≡ ⇒ ≡
(0.5đ)

9 1(mod8) 9 1(mod8)
n
≡ ⇒ ≡

(0.5đ)

7 1(mod8)≡ −
(0.25đ)
Nên
16 9 7 0 1 1 0(mod8)
n n
− − ≡ − + =
(0.5đ)
Mà: (3;8)=1 (0.25đ)
Do đó :16
n
- 9
n
-7+ 24 (0.25đ)
Vậy: 4
2n
- 3
2n
-7+ 24 (n≥ 1) (0.5đ)
23#8-9):;<
+<89):;< Điều kiện:
3
2
x ≥
(0.25đ)

2 2 2 2 3 2 13 8 2 3 7x x x x
− + − + + + − =

2 3 2 2 3 1 2 3 2.4 2 3 16 7x x x x⇔ − + − + + − + − + =
(0.25đ)
2 2
( 2 3 1) ( 2 3 4) 7x x⇔ − + + − + =
(0.25đ)
2
2 3 1 2 3 4 7x x⇔ − + + − + =
(0.25đ)
2 3 1 2 3 4 7x x⇔ − + + − + =
(0.25đ)
2 2 3 2x⇔ − =
(0.25đ)
2 3 1x
⇔ − =
2x⇔ =
(TMĐK) (0.25đ)
Vậy nghiệm của phương trình là x=2 (0.25đ)
=<89):;<
+ Dễ thấy x = y = z = 0 là một nghiệm của hệ đã cho ( 0,5 đ)
+ Xét trường hợp x, y, z
≠
0, hệ pt được viết như sau:











=+
=+
=+
8
711
6
511
4
311
xz
zy
yx
( I ) ( 0,75 đ)
Cộng theo vế ba phương trình của hệ pt (I) ta được:
2
1 1 1 59 1 1 1 59
24 48x y z x y z
 
+ + = ⇔ + + =
 ÷
 
( 1) ( 0,75 đ)
Lấy (1) trừ theo vế lần lượt các pt của hệ (I ) ta được:
z =
23
48
; x =
19

48
; y =
17
48
( 0,75 đ)
Vậy hệ pt có hai nghiệm ( 0;0;0) và (
)
23
48
;
17
48
;
19
48
( 0,25 đ)
238-9):;<
a) 89):;<
Ta có
2013
2014
+
2014
2013
=
2014 1
2014
−
+
2013 1

2013
+
( 0,5 đ)
=
2014
-
1
2014
+
2013
+
1
2013
( 0,5 đ)
3
O
D
B
M
H
N
C
E
A
=
2013
+
2014
+ (
1

2013
-
1
2014
) >
2013
+
2014
Vì (
1
2013
-
1
2014
) > 0 ( 0,5 đ)
Vậy
2013
2014
+
2014
2013
>
2013
+
2014
( 0,5 đ)
b) (3đ)
Ta có: x + y = 2 ⇒ y = 2-x (0.5đ)
Do đó: A = x
2

+y
2
= x
2
+ (2-x)
2
= x
2
+ 4 - 4x + x
2
(0.5đ)
=2x
2
- 4x + 4 =
( )
2
2 2 1 1x x
 
− + +
 
(0.5đ)
=
( )
2
2 1 2 2x − + ≥
(1đ)
Vậy: MinA=2 tại x = y = 1 (0.5đ)
23!# 8-9):;<
+<Tứ giác ADHE là hình chữ nhật vì có
µ

A
=
µ
D
=
µ
H
=
µ
E
= 90
0

(0,5đ)
Vì O là trung điểm AH nên O cũng là trung điểm DE hay D, O, E thẳng hàng. (0,5đ)
4
b) Ta có MD = MH, OD = OH (0,25đ)
⇒
OM là trung trực của DH (0,25đ)
⇒
OM
⊥
DH
⇒
AD // OM. (0,5đ)
AHB∆
có OM là đường trung bình
⇒
M là trung điểm BH. (0,5đ)
Chứng minh tương tự N là trung điểm HC. (0,5đ)

c) Ta có S
HMO
= S
DMO
; S
HNO
= S
ENO
(0,5đ)
⇒
S
MDEN
= 2 S
OMN
(0,5đ)
Do S
OMN
=
1
4
S
ABC
(0,5đ)
⇒
S
MDEN
=
1
2
S

ABC
=
1
2
.
1
2
.6.8 = 12 (cm
2
) (0,5đ)
40
Chú ý: Học sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa của ý đó
5
6