Giáo trình dao động tàu thủy

DAO ĐỘNG
TÀU THỦY

TP HỒ CHÍ MINH 2009
ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HỒ CHÍ MINH
TRẦN CÔNG NGHỊ
Trang để trống



2
Trần Công Nghị

DAO ĐỘNG
TÀU THỦY













ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI TP HỒ CHÍ MINH



3



Trang để trắng

4
Mục lục
Chương 1: Cơ sở dao động kỹ thuật 7
1. Phương trình dao động 7
2. Dao động tư do không cản 12
3. Xác định khối lượng tương đương, độ cứng tươg đương 14
4. Dao động tự do chịu cản nhớt 18
5. Dao động cưỡng bức 20
6. Truyền tải 27
Chương 2: Dao động hệ thống nhiều bậc tự do 29
1. Xây dựng phương trình chuyển động 29
2. Phân tích dao đông tự do 33
3. Xác định tần số riêng, dạng dao động 37
4. Dao động cưỡng bức 43
Chương 3: Dao động dầm 49
1. Dao động dọc 49
2. Dao động xoắn trục tròn 52
3. Dao động ngang dầm trụ 54
4. Dao động ngang và xoắn đồng thời 58
5. Dao động dầm trên nền đàn hồi 60

Chương 4: Phương pháp tính 63
1. Phương pháp Rayleigh 63
2. Phương pháp Rayleigh-Ritz 65
3. Sử dụng tọa độ suy rộng và phương trình Lagrange xây dựng phương trình chuyển động 68
4. Phương pháp Stodola 68
5. Thủ tục Dunkerley 71
6. Phương pháp sai phân hữu hạn 73
7. Phương pháp phần tử hữu hạn 75
Chương 5: Dao động tàu 99
1. Các mode dao động tàu 99
2. Phương trình vi phân dao động đứng thân tàu 100
3. Phương pháp gần đúng xác định tần số rung động thân tàu 103
4. Sơ đồ tính tần số dao động thân tàu theo cách làm Rayleigh-Papkovitch 109
5. Xác định tần số dao động thân tàu như dầm 20 khoảng sườn lý thuyết 117
6. Phương pháp ma trận chuyển 119
7. Phương pháp phần tử hữu hạn 123
8. Dao động xoắn thân tàu 129
9. Các công thức kinh nghiệm xác định tần số dao động thân tàu 132
10. Dao động thượng tầng 137
11. Biện pháp giảm chấn động và tiêu chuẩn
tranh rung 140
Tài liệu tham khảo 150

5


Mở đầu

Cuốn sách DAO ĐỘNG TÀU THỦY trình bày những đề tài liên quan dao động kỹ thuật, dao
động thân tàu thủy. Phần đầu trình bày những cơ sở toán xây dựng phương trình chuyển động cùng các
cách giải phương trình. Dao động tự do không cản và có cản, dao động cưỡng bức hệ một bậc tự do,
mô phỏng các hiện tượng thường gặp trong cơ học kết cấu được xem xét trong cùng chương đầu.
Dao động hệ nhiều bậc tự do trình bày tại chương tiếp theo đề cập những hệ thống cơ học thường
gặp và đòi phải xử lý trong thực tế.
Dao động dầm xem xét trong sách như dao động hệ thống có bậc tự do vô hạn.
Dao động thân tàu trên nước xem xét trong sách như dao động dầm trên nền đàn hồi. Khối lượng
tham gia chuyển động gồm khối lượng bản thân kết cấu tàu cùng khối nước kèm. Các phương pháp
tính trình bày trong sách nhắm đến đích định khối lượng tham gia chuyển động và xác định đặc trưng
cơ bản dao động thân tàu: tần số riêng cùng dạng dao động theo các mode khác nhau. Phân tích và
đánh giá dao động thân tàu trong sách dựa vào các phương pháp kinh điển do nhiều nhà nghiên cứu
dao động thân tàu đề ra trong khoảng gần trăm năm nay, cùng các phương pháp tính hữu hiệu ra đời
cuối thế kỷ XX.
Hy vọng rằng sách có ích cho những người đọc đang theo học ngành đóng tàu cũng như với các
đồng nghiệp đang nghiên cứu, làm viêc tại các cơ sở đóng, sửa tàu.
Người viết


6
Ký hiệu chính
A Diện tích nói chung (area generally)
a Biên độ nói chung (amplitude generally)
a Gia tốc (acceleration generally)

B Chiều rộng (breadth)
C Hệ số nói chung (coefficient, generally)
C, c Độ cứng (rigidity, stiffness)
C Hệ số cản (damping coefficient)
C tương đương cách viết [C] – ma trận cản
D, d Đường kính (diameter)
D Độ cứng tấm (flexural rigidity of plate)
E Mô đun đàn hồi (Young’s modulus)
F Lực nói chung (force, generally)
f Thành phần lực (c
omponent of force)
f Tần số tính bằng Hz (frequency)
f
n
Tần số riêng, tính bằng Hz (natural frequency)
G Trọng tâm (center of gravity)
G Mô đun cắt (shear modulus)
g Gia tốc trọng trường (acceleration due to gravity)
h Chiều cao, chiều cao cột nước (height, head of water)
I Momen quán tính nói chung (moment of inertia, generally)
J Momen quán tính nói chung (moment of inertia, generally)
J
P
Momen quán tính trong hệ độc cực (polar moment of inertia)
K, k Độ cứng nói chung (stiffness, generally)
K , k tương đương với [K], [k] – ma trận cứng
K, k Hệ số (coefficient, factor)
K
T
, c Độ cứng chịu xoắn (torsion stiffness)

L Chiều dài (length)
l Chiều dài (length, generally)
M Momen (moment)
M, m Khối lượng (mass, generally)
M, m tương đương với [M], [m] – ma trận khối lượng
P Công suất nói chung (power, generally)
P Tải (load)
p Tần số riêng, tương đương ω
n
(natural frequency)
p Áp suất (pressure)
Q, T Momen quay (torque)
Q Tải suy rộng (generalized forces)
q Tọa độ suy rộng (generalized coordinate)
q(x) Phân bố trọng lượng (distribution of weight)
R, r Bán kính (radius, generally)
R Sức cản (resistance)
S Diện tích (surface)
t Thời gian (time)
t, h Chiều dày tấm (plate thickness)
T Động năng (kinetic energy)
U, u Chuyển vị (displacement)
U Thế năng (potential energy)
V Thể tích (volume)
V, v Vận tốc (veloci
ty)
W, w Trọng lượng nói chung (weight, generally)
W Công (work)
w Chuyển vị theo hướng trục Oz (displacement, deflection)
x, y, z Chuyển vị nói chung (displacemenets generally)

α Góc nói chung (angle, generally)
β Hệ số nói chung (coefficient, generally)
δ
st
Chuyển vị tĩnh (static displacement, deflection)

7
ε Biến dạng (strain)
σ Ứng suất nói chung (stress, generally)
η Hệ số nói chung
η Hệ số tổn thất (loss factor)
ν Hệ số Poisson (Poisson coefficient)
ϕ Góc pha (phase angle)
ϕ, θ Góc xoắn (torsion angle)
φ, ψ Vector riêng ( eigenvector )
ρ Mật độ (density)
γ Trọng lượng riêng (specific weight)
τ, T Chu kỳ (period)
ω Tần số góc (circular frequency, generally)
ω
n
Tần số riêng (natural frequency, generally)
ω
d
Tần số riêng có cản (damping frequency, generally)
Ω Tần số góc (circular frequency)
ζ Tỷ lệ cản (damping ratio)

8
Chương 1


CƠ SỞ DAO ĐỘNG KỸ THUẬT


1. PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG
Xây dựng phương trình chuyển động khối lượng m trong không gian thực trên cơ sở các phương
pháp cơ học cổ điển. Trong chương này sẽ đề cập các phương pháp xây dựng bài toán động lực học
dựa trên nguyên lý Hamilton và phương trình Lagrange. Cách làm tương tự là sử dụng nguyên lý
d’Alembert và nguyên lý bảo toàn năng lượng toàn phần xây dựng phương trình chuyển động cơ hệ.
1.1 Áp dụng nguyên lý d’Alembert xây dựng phương trình chuyển động
Từ định luật thứ hai của Newton
2
2
)(
dt

xd
mtP = có thể viết:
0)()( =+− tPtxm
&&
(1.1)
trong đó m – khối lượng hệ thống, P(t) - tải áp đặt lên hệ thống, và )(tx
&&
- gia tốc chuyển động.
Thành phần - )(txm
&&
của công thức (1.1) là lực quán tính. Tải P(t), trường hợp chung có thể thuộc
các dạng như lực đàn hồi, lực cản, ngoại lực.
Ví dụ 1: Xét dao động thẳng đứng trọng vật W treo bằng lò xo không trọng lượng, độ cứng k.
Ký hiệu x – chuyển vị trọng vật từ vị trí cân bằng, theo chiều dương qui ước khi hướng xuống, lực
gây chuyển động gồm W và lực đàn hồi kx:
F = W + k.x (
1.2)
Lực tác động lên khối lượng m = W/g trình bày tại hình 1.1 gồm W và F. Từ nguyên lý d’Alembert
có thể viết:
)( kxWWFWxm +−=−=
&&
(1.3)
hoặc sau rút gọn và chuyển vế:
0=+ kxxm
&&
(1.4)
Đây là phương trình chuyển động hệ 1 bậc tự do.
Chia các thành phần của (1.4) cho m và viết lại biểu thức (1.4):

0

2
=+ xx
n
ω
&&

trong đó:
mk
n
/
2
=
ω
; k – độ cứng
Đại lượng
mk
n
/=
ω
có tên gọi tần số góc, đơn vị đo 1/s (1.5)
Lời giải phương trình (1.4) tìm theo cách sau:
x = C
1
cos
ω
n
t + C
2
sin
ω

n
t.
trong đó C
1
và C
2
là các hằng bất kỳ, sẽ xác định theo điều kiện ban đầu của chuyển động.
Chu kỳ dao động:
k
m
n
π
ω
π
τ
2
2
== , đơn vị đo: s (1. 6)

Hình 1.1

9
Tần số dao động riêng f
n
:
π
ω
τ
2
1

n
n
f == đơn vị đo: Hz (1.7)
Nếu ký hiệu δ
st
– chuyển vị tĩnh của trọng vật W, tính theo biểu thức δ
st
= W/k có thể xác định
các đại lượng đang nêu theo cách diễn đạt sau:

st
n
g
W
kg
δ
ω
==
2

và
g
st
n
δ
π
ω
π
τ
2

2
== ;
st
g
f
δπτ
2
11
==

1.2 Phương trình Lagrange
Với ký hiệu T – động năng, U – thế năng hệ thống, L = T – U, hàm Lagrange có dạng:

niQ
q
L
q
L
dt
d
i
ii
, ,2,1==
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
&&
(1.8)
trong đó
n – bậc tự do của hệ thống, Q
i
– tải suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng q
i
.
Để tìm
Q
i
sử dụng biểu thức tính công ảo:

∑
=
ii
qQW
δδ
(1.9)
Áp dụng hàm Lagrange xây dựng phương trình chuyển động theo cách làm tại ví dụ sau.
Ví dụ 2: Xây dựng phương trình chuyển động hệ một bậc tự do nêu tại hình 1.2.
Tọa độ suy rộng hãy là
ϕ

≡
q. Động năng của dầm tính theo công thức:
T = ½J
2
ϕ
&
(1.10)
trong đó
J – moment quán tính dầm so với điểm làm tâm quay.
Thế năng dầm tính như tích của trọng lượng với độ cao tương
đối mà trọng tâm đạt được tại thời điểm tính:

U = W.R(1 - cos
ϕ
) = m.g. R(1 - cos
ϕ
), với m = W/g.
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
=
∂
∂
=
∂
∂

=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
∂
∂
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
sin;0
;;
mgR
UT
J
T
dt
d
J
T

&&
&
&
&
(1.11)
Thay các biểu thức (1.8) vào phương trình Lagrange, với P(t) = 0,
theo điều kiện đặt ra ban đầu, phương trình chuyển động có dạng:
0sin =+
ϕ
ϕ
mgRJ
&&
(1.12)
1.3 Áp dụng nguyên lý bảo tòan năng lượng tòan phần
Nguyên lý bảo toàn năng lượng thể hiện bằng biểu thức:
T + U = const
trong đó T – động năng, U – thế năng hệ thống.
Phương trình động năng:
Biết rằng F = m(dv/dt) còn động năng T =
∫
Fdx :


Hình 1.2

10

2
v
2

1
v
v
∫∫
=== md
dt
dx
mdx
dt
d
mT
Phương trình thế năng trong trường lực hút trái đất:
U = mgh
Ví dụ 3a: Phương trình dao động khối lượng m, giữ bằng lò xo độ cứng k:
Lực kéo (nén) lò xo: F = kx, trong đó k – độ cứng lò xo.
Thế năng tích tụ tại lò xo trường hợp bị kéo (nén):

()
∫∫
===
2
2
1
kxdxkxFdxU


constkxxmUT =+=+
22
2
1

2
1
&

Tiến hành lấy đạo hàm theo t cả hai thành phần, nhận được phương trình:

0=+ xkxxxm
&&&&
hay là
()
0
=
+ xkxxm
&&&

Với
0≠x
&
trong phạm vi xem xét có thể viết:

0=+ kxxm
&&

Ví dụ 3b: Xây dựng phương trình chuyển động cho bình kiểu Frahm giới thiệu tại hình 1.3 trong hệ tọa
độ xOy.

Hình 1.3 Thùng Frahm
Động năng hệ thống:

()

2
2
1
ylAT
&
ρ
=
(1.13)
Thế năng:

()()()()
yh
g
yhAyh
g
yhAU −−+++=
22
ρρ
(1.14)

() ()
constyh
g
Ayh
g
AyAlUT =−+++=+
22
2
222
1

ρρρ
&
(1.15)
Tiến hành đạo hàm theo t:

()
(
)
0
=
−
−+
+
yyhgyyhgyyl
&&&&&
(1.16)
Từ đó:
0)()(
=
−
−++ yhgyhghy
&&
(1.17)

0
2
=+ y
l
g
y

&&
(1.18)

Hình 1.4 Mô hình nhà một tầng

Hình 1.5

11
Ví dụ 4: Xét dao động ngang khung, là mô hình nhà một tầng trình bày tại hình 1.4. Mô hình áp dụng
cho công trình xây dựng giản đơn, thường gặp.

constkxxm =+
22
2
1
2
1
&

trong đó m – khối lượng tập trung tại hai đầu dầm ngang, k – độ cứng uốn ngang của thanh chống.
Đạo hàm biểu thức này theo t, áp 0 cho kết quả đạo hàm sẽ nhận được phương trình:

0=+ x
m
k
x
&&

Ví dụ5 : Xác định tần số và chu kỳ dao động kết cấu nêu tại hình 1.1
k

mg
k
W
st
==
δ
, từ đó:
st
n
g
m
k
δ
ω
==
2
và
gkg
W
st
δ
ππτ
22 ==

Ví dụ 6: Xác định tần số và chu kỳ dao động khung không trọng lượng, hình chữ Π, mang tải W tại vị
trí giữa dầm ngang, hình 1.6.
Để tính chuyển vị khung cần thiết áp tải tĩnh H, tác động ngang tại nút phía phải khung. Góc xoay
khung tính từ các phép tính tĩnh học:

1

12EJ
Hhl
=
α

Chuyển vị δ tính như sau:

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=+=
1
3
1
23
2
1
1
6126 J
J
h
l
EJ
Hh
EJ

lHh
EJ
Hh
δ

Độ cứng:

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
==
1
3
2
1
1
6
J
J
h
l
h
EJH
k

δ

Chu kỳ và tần số dao động:

gEJ
J
J
h
l
Wh
6
2
1
1
2
1
3
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
πτ
;
⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
1
3
2
1
1
6
2
1
J
J
h
l
Wh
gEJ
f
π

Dao động xoắn, hình 1.7
0=+
ϕ
ϕ

cJ
&&
(1.20)
trong đó, với trục tròn gắn đĩa đường kính D,
8
2
mD
J = , m – khối lượng đĩa. (1.21)
L
Gd
c
32
4
π
= - độ cứng hệ thống (1.22)

Hình 1.7 Xoắn trục

Hình 1.6

12

Gd
LmD
c
J
4
2
4
22

π
ππτ
==

LmD
Gd
f
2
4
4
2
1
π
π
= (1.23)
Đồ thị dao động điều hòa
Dao động điều hòa trình bày trong đồ thị chuyển vị - thời gian, còn gọi là đáp ứng, hoặc trong đồ
thị pha. Đáp ứng và pha của cơ cấu cơ khí (cái ách) tại hình 1.8 đại diện dao động hệ một bậc tự do vẽ
như sau đây.

Tay đòn OP quay quanh O, đầu P trượt trong rãnh nằm ngang, hình 1.8a. Tay đòn của ách có chiều
dài mang giá trị bằng biên độ dao động, ω là vận tốc góc. Phương trình chuyển động khối lượng m bị
đầu S cơ cấu đẩy lên – xuống miêu tả bằng quan hệ:

tAAx
ω
θ
sinsin ==

Vận tốc và gia tốc chuyển động xác định từ phương trình cuối:

xtAtx
tAtx
22
sin)(
;cos)(
ωωω
ω
ω
−=−=
=
&&
&

Dao động điều hòa còn trình bày như chuyển động xoay vector
OP quanh O với vận tốc góc ω.
Hình 1.8b trình bày diễn tiến

OPX = theo trục đứng và trục nằm:

tAxtAy
ω
ω
cossin ==
Bản thân vector
X
trình bày dạng:

ϕ
i
AeibaX =+=
Chuyển vị:
[
]
tAAe
ti
ω
ω
cosRe =
Vận tốc:
[
]
tAAei
ti
ωωω
ω
sinRe −=
Gia tốc:

[
]
tAAe
ti
ωωω
ω
cosRe
22
−=−
Hàm thời gian của 3 đại lương
xxx
&&&
,, trình bày tại hình 1.10. Để ý rằng pha giữa chúng π/2.
Phương trình vận tốc chuyển động
v/
=
= dtdxx
&
có thể trình bày trong đồ thị x – v, hình 1.11a.

Hình 1.8a

Hình 1.8b

Hình 1.10 Chuyển vị, vận tốc và gia tốc

Hình 1.9

13
Từ phương trình của x và v có thể thành lập phương trình ellipse:

()
1
v
2
2
2
2
=+
A
A
x
ω

Trường hợp ω = 1 ellipse này trở thành hình tròn.

2. DAO ĐÔNG TỰ DO KHÔNG CẢN
Phương trình chuyển động:

0=+ kxxm
&&
(1.24)
Nghiệm phương trình tìm ở dạng:
x = C
1
cos
ω
n
t + C
2

sin
ω
n
t. (1.25)
Giả sử tại t = 0 khối lượng m chiếm vị trí x
0
, vận tốc
00
v x
&
=
:
x
0
= C
1
;
2
0
C
x
n
=
ω
&
. (1.26)
Từ đó:
t
x
txx

n
n
n
ω
ω
ω
sincos
0
0
&
+=
(1.27)
hay là : )sin(
ϕ
ω
+= tAx
n
(1.28)
Biên độ và pha:
0
0
2
0
2
0
;
x
x
tg
x

xA
n
n
&
&
ω
ϕ
ω
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+= (1.29)
Vận tốc chuyển động:
)cos(v
ϕ
ω
ω
+== tAx
nn
&
; còn A
n
ω
=

max
v (1.30)
Gia tốc chuyển động a:

)sin(a
2
ϕωω
+−== tAx
nn
&&
; và A
n
2
max
a
ω
−= (1.31)
Lực quán tính lớn nhất:

kA
m
k
AmAmxm
n

2
max
===
ω
&&

(1.32)
Thay đổi giá trị thế năng và động năng trong mỗi chu kỳ dao động:

()
ϕωω
+== tmAxmT
2222
cos
2
1
2
1
&


()
ϕω
+== tkAkxU
222
sin
2
1
2
1

Có thể tính:

2
2
1

kATU =+=Π
maxmax
UT =
Các quan hệ này trình bày tại hình 1.9a.

Hình 1.9

Hình 1.9a Thế năng và động năng

Hình 1.11a

Hình 1.11b

14
Hình 1.10 trình bày quan hệ giữa các biên độ chuyển vị, vận tốc và gia tốc như là hàm tần số.
Trường hợp đã biết trước hai giá trị đang đề cập, hai đại lượng còn lại xác định từ đồ thị tại hình . Ví
dụ dao động điều hòa với biên độ dao động 0,0001m và tần số 50 Hz tương ứng điểm A tại đồ thị đã
được biết, biên độ vận tốc đọc từ đồ thị sẽ là 0,032 m
/s còn biên độ gia tốc khoảng 1,02 g, tức là 9,9
m/s
2
.
Ví dụ 7: Sử dụng thiết bị đo dao động tàu thủy trình bày tại London năm 1893, hình 1.11, để xác định
tần số dao động đứng trọng vật W cùng dầm BD có momen quán tính I so với B.
Phương trình tổng năng lượng:

const
kaI
=+
22

222
ϕϕ
&

Tần số dao động riêng:

I
ka
n
2
=
ω

Nếu bỏ qua khối lượng dầm BD, momen quán tính I khối lượng W/g sẽ là
2
)/( lgWI = , tần số
dao động tính theo công thức:

st
n
l
ag
Wl
gka
δ
ω
==
2
2

Hình 1.10
Ví dụ 8: Khảo sát dao động tự do khối lượng m = 500kg, gắn đầu dầm công xôn từ thép dài L = 2m,
momen quán tính mặt cắt dầm I = 4000cm
4
. Vận tốc ban đầu của chuyển động ngang v
0
= 1,5/s, khi
khối lượng đang chiếm vị trí thẳng x
0
= 15 mm, cách tâm.
Độ cứng tính bằng k = 3EI/L
3
. Tần số góc: mk
n
/=
ω
=76,6/s.

Hình 1.11

15
Chu kỳ s
n
0819,0
2
==
ω
π
τ

. Tần số )(2,12
1
cpsf ==
τ
- hoặc Hz
Biên độ dao động:
;46,2
6,76
150
5,1
2
2
2
2
0
2
0
cm
x
xA
n
=+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

+=
ω
&

Pha:
65,05,37;766,0
150
6,765,1
0
0
−≡−=−=
×−
==
o
&
ϕ
ω
ϕ
x
x
tg
n

Hàm chuyển vị:
)65,06,76sin(46,2sincos
0
0
−=+= tt
x
txx

n
n
n
ω
ω
ω
&

Vận tốc chuyển động: A
n
ω
=
max
v =188m/s
Gia tốc chuyển động a:
A
n
2
max
a
ω
−= = 14400m/s
2

Lực quán tính lớn nhất:
kA
m
k
AmAmxm
n

2
max
===
ω
&&
= 7320 kG (66,51kN).
3. XÁC ĐỊNH KHỐI LƯỢNG TƯƠNG ĐƯƠNG, ĐỘ CỨNG TƯƠNG ĐƯƠNG
3.1 Độ cứng tương đương hay qui đổi k của hệ thống

1
1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
P
k
δ
hoặc
1=
=
δ
Pk (1.33)
Thế năng
2

2
1
2
.
δ
δ
k
P
U == . Từ công thức này có thể tính:
2
2
δ
U
k = và
1
2
=
=
δ
Uk (1.34)
Các thành phần nối liên tiếp: Hệ thống gồm n thành phần độ cứng k
1
, k
2
, , k
n
nối liên tiếp:
nE
kkkk
1

111
21
+++= hoặc là:
∑
=
=
n
i
i
E
k
k
1
1
1
(1.35)
Các thành phần nối song song:
k
E
= k
1
+ k
2
+ + k
n
(1.36)
Ví dụ 9: Xác định độ cứng dầm tựa trên 2 gối cứng tại hai đầu dầm, mang khối lượng m = W/g tại vị
trí
c cách gối phía trái, hình 1.12. Bỏ qua khối lượng dầm lúc tính.

Độ võng tĩnh dầm dưới tác động tải
W = mg, tính theo công thức từ sức bền vật liệu:

()
lEI
clWc
st
3
2
2
−
=
δ

trong đó EI – độ cứng chịu uốn dầm, tính theo chiều đứng,
l – chiều dài dầm.
Bỏ qua khối lượng bản thân dầm, độ cứng
k tính theo công thức:

()
2
2
3
clc
lEI
k
−
=

Tần số dao động riêng:

()
m
lEI
clc
g
f
st
3
2
1
2
1
−
==
πδπ






Hình 1.12

Hình 1.13 Độ cứng tương đương

16
Ví dụ 10: Xác định độ cứng tương đương của hệ và tần số dao động của cùng hệ gồm dầm công xôn
tiết diện
bxh = 5x1 (cm), đặt ngang, đầu tự do gắn lò xo, còn khối lượng m= 1 kg móc tại đầu dưới

lò xo trụ, hình 1.13. Chiều dài dầm L = 0,5m. Vật liệu và cấu hình lò xo:
D = 10cm, d=0,5cm, số vòng
n=10; E = 2.10
5
MPa; G = 8.10
4
MPa. Bỏ qua trọng lượng dầm, lò xo khi tính.
Độ cứng dầm
mN
L
EI
k /10.2
3
4
3
1
== với I =
12
5
12
.
3
=
hb
, lò xo: k
2
=
nD
Gd
3

4
8
=
625 N/m.
Từ
)
11
(
21
kk
mg +
, xác định:

21
21
21
/1/1
1
kk
kk
kk
k
eq
+
=
+
=

Tần số dao động hệ thống:
1

62,24
−
== s
m
k
eq
n
ω

3.2 Tính khối lượng tương đương
Hãy ký hiệu
w(x,y,z) – hàm chuyển vị, xác định theo dạng dao động các điểm vật chất vật thể,
m(x,y,z) – hàm phân bố khối lượng. Nếu ký hiệu tiếp u
1
= u
0
sin
ω
t – phương trình chuyển động điểm
vật chất đang là tiêu điểm xem xét, chúng ta sẽ tính
k
eq
và m
eq
trường hợp hàm w = 1. Hàm chuyển
động của vật đàn hồi chúng ta đang xét mang dạng:
u = u
1
w = u
0

wsin
ω
t. Từ phương trình động năng
có thể thấy:
∑∑
=
2222
0
2
cos
2
1
2
1
mwtuum
ωω
&

Từ đó có thể viết:
22
1
2
1
2
1
umum
eq
&&
∑
= (1.37)

hay là
∑
=
2222
0
222
0
cos
2
1
cos
2
1
mwtutum
eq
ωωωω
(1.38)
Công thức tính
khối lượng tương đương:

2
mwm
eq
∑
= (1.39)
Ví dụ11: Cho trước dầm dài L, khối lượng m, tựa trên gối tại hai đầu dầm. Trên dầm gắn n khối lượng
m
i
, i = 1, 2, …, n, cách gối trái khoảng cách x
i

, i = 1, 2, …, n. Giả sử rằng dạng dao động dầm w =
L
x
a
π
sin . Xác định khối lượng tương đương hệ thống tại điểm giữa dầm.
Vận tốc chuyển động trong trường hợp này hãy là
V =
L
x
V
π
sin
0
, trong đó V
0
vận tốc điểm vật
chất giữa dầm. Động năng hệ thống tính bằng biểu thức:
2
sin
2222
2
0
2
2
0
2
2
V
m

L
x
m
m
VVm
dx
L
mV
T
eq
i
i
ii
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+=
∑∑
∫
π

⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎛
+=
∑
L
x
m
m
m
i
ieq
π
2
sin
2

Ví dụ 12: Xác định khối lượng qui đổi và độ cứng qui đổi tấm hình chữ nhật làm từ vật liệu đẳng
hướng.
Bài toán tĩnh liên quan uốn tấm dưới tác động lực pháp tuyến phân bố đều
q(x,y) thể hiện qua
biểu thức: ),(
22
yxqwD =∇∇ , trong đó D - độ cứng tấm, với t – chiều dày tấm, E – mô đun đàn hồi

Hình 1.14

17
của vật liệu, ν - hệ số Poisson. Thay tải q(x,y) bằng lực quán tính khi tấm dao động phương trình
chuyển động có dạng:
()
0

112
2
2
2
2
2
4
4
22
4
4
4
=
∂
∂−
−
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
t
w
Etx
w
yx
w

x
w
νρ

hay là
(
)
2
2
24422
112
;0
Et
ww
νρ
ωαα
−
==−∇∇

Hàm thế năng: U =
()
dxdy
y
w
x
w
yx
w
w
D

∫∫
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+∇
2

2
2
2
2
2
2
2
)1(2
2
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
ν

Bài toán trên được giải trên cơ sở thỏa mãn các điều kiện biên. Dưới đây trình bày cách xác định
k
eq
hay còn ký hiệu cách khác D
eq
và m
eq
cho tấm tựa tự do. Hàm hình dáng của dao
động:
b
y
a
x

yxw
π
π
sinsin),( =
, điểm tính toán chọn tại giữa tấm x = a/2; y = b/2.
Khối lượng tương đương và độ cứng tương đương:

abmdxdywmm
ab
eq
0
00
2
0
4
1
==
∫∫
và
2
22
11
4
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛

+==
ba
DabUk
eq
π

BẢNG TÍNH ĐỘ CỨNG VÀ TẦN SỐ DAO ĐỘNG KẾT CẤU THƯỜNG GẶP
Bảng 1.1 Tần số riêng các kết cấu thường gặp
Kết cấu
Tần số riêng
ω
n
Kết cấu
Tần số riêng
ω
n

S
mm
k
3
1
+


S
S
JJ
K
3

1
+


m
k


J
K
S
J
S = 0

()
21
21
mm
mmk +


()
21
21
JJ
JJK
S
+

2/1
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
1
1
4
1
1
2
1
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎥

⎥
⎥
⎦
⎤
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
±
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⎢
⎣
⎡
⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
m
k
m
k
m
m
m
k
m
k
m
m
m
k
m
k


Tương tự công
thức cột 2 cùng
dịng

3
192
mL
EI



()
3
375,0
192
Lmm
EI
b
+

(
)
()
2
2
121
2
2
121
KnKJJ
JnJKK
+
+
; n –tỷ số truyền

18

3
48
mL
EI





()
3
5,0
48
Lmm
EI
b
+

()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡

++−±
321
321
21
2
4
2
1
JJJ
JJJ
KK
CC

với
2
21
3
2
1
1
J
KK
J
K
J
K
C
+
++=

()
3
23,0
3
Lmm
EI
b
+


L
g

KHỐI LƯỢNG QUI ĐỔI (TƯƠNG ĐƯƠNG) CÁC THÀNH PHầN KẾT CẤU THƯỜNG GẶP
Bảng 1.3
Kết cấu Khối lượng qui đổi Kết cấu Khối lượng qui đổi

2
2
1
maJ
P
=



beq
mm 375,0=

2
12
1
LmJ
beq
=



beq
mm 49,0=


2
,,
mLJJ
GPAeq
+=



beq
mm 24,0=

∑∑
==
⎟
⎟
⎠

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Ω
Ω
=
ia
n
j
ij
n
i
i
eq
JJ
11
1

Qua trục 1



1
49,0 Mmm
beq
+
=

2
,
maJJ
GPeq
+=

(qua trục bánh răng)
2
,
/ aJmm
GPeq
+=
thanh răng



1
24,0 Mmm
beq
+
=

Seq
mMm
3
1
1
+=

3
2
1
3
2
2
1
2
1
m
L
L
m
L
L
mm
eq
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞

⎜
⎜
⎝
⎛
+
=

19

4
2
mr
J
eq
=



3
J
J
eq
=

Tấm chuyển động trong
chất lỏng
3
m
m
eq

=
m - khối lượng chất
lỏng

Piston chuyển động trong
chất lỏng
3
m
m
eq
=
m - khối lượng chất
lỏng

4. DAO ĐỘNG TỰ DO CHỊU LỰC CẢN NHỚT
Từ phương trình
0=++ kxxcxm
&&&
có thể viết:
02
2
=++ xxx
nn
ωζω
&&&
(1.70)
trong đó c – hệ số cản nhớt, và hệ số cản
mk
c
m

c
n
2
2
==
ω
ζ
.
Tần số dao động có cản:
2
1
ζωω
−=
nd
(1.71)
Chu kỳ dao động:
2
1
122
ζ
ω
π
ω
π
τ
−
==
nd
(1.72)
Nghiệm dạng hàm điều hòa

x(t) =exp(st): 02
22
=++
nn
ss
ωζω


(
)
n
s
ωζζ
1
2
2,1
−±−=
)exp()exp()(
2211
tsAtsAtx += (1.73)
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)

(
)
(
)
)exp(1exp1exp
1exp1exp)(
2
2
2
1
2
2
2
1
ttAtA
tAtAtx
nnn
nn
ζωωζωζ
ωζζωζζ
−−+−=
−+−+−+−=
(1.74)
Điều kiện ban đầu: tại
t = 0: x(0) = x
0
, vận tốc
0
x
&

:
x
0
= A
1
;
2
00
A
xx
d
n
=
+
ω
ζω
&
. (1.75)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+=
−
t

xx
txex
d
d
n
d
t
n
ω
ω
ζω
ω
ζω
sincos
00
0
&
,
2
1
ζωω
−=
nd
(1.76)
Chu kỳ theo ω
d
:
2
1
122

ζ
ω
π
ω
π
τ
−
==
nd
(1.77)
Trường hợp 1: ζ > 1 cản quá lớn (chịu cản mạnh). Chuyển động không chu kỳ, biên độ giảm theo
hàm exponent, tùy thuộc hai hằng số A
1
và A
2
xác định từ điều kiện ban đầu và điều kiện biên.
Với
x
0
= x(0) = A
1
+ A
2
= 0 hay là A
2
= -A
1,
lời giải x(t) mang dạng:
()
tt

x
tx
nn
n
ωζζω
ωζ
1sinhexp
1
)(
2
2
0
−×−×
−
=
&
(1.78)
Trường hợp 2: ζ = 1 cản giới hạn:
(
)
ttxtx
n
ζω
−
=
exp)(
0
&

Hình 1.15

20

Hình 1.16
Trường hợp 3: ζ
2
< 1 chịu cản yếu
Tần số dao động tự do có cản:
2
1
ζωω
−=
nd
(1.79)
(
)
(
)
(
)
)exp(1exp1exp)(
2
2
2
1
ttiAtiAtx
nnn
ζωωζωζ

−−−+−= (1.80)
()
ϕ
ω
ζω
−−= ttAtx
n 1
cos)exp()( (1.81)
()()
ttxtx
dnd
ω
ζω
ω
sinexp)/()(
0
−=
&
(1.82)

Hình 1.17
Nếu ký hiệu
x
1
và x
2
chuyển vị vật thể tương ứng tại thời điểm t
1
, t
2

của một vòng lặp chuyển động,
từ hình 1.11 có thể thấy quan hệ sau:
()( )
()( )
ϕωζω
ϕ
ω
ζω
−−
−−
=
22
11
2
1
cosexp
cosexp
ttA
ttA
x
x
dn
dn
(1.83)
Sau thay thế
t
2
= t
1
+

τ
, với τ = 2π/ω
1
có thể viết biểu thức cuối dạng:
()
()()
τζω
τζω
ζω
n
e
t
t
x
x
n
n
=
+−
−
=
1
1
2
1
exp
exp
(1.84)
Trong kỹ thuật thường sử dụng biểu thức sau chỉ
độ giàm theo bậc logarit của biên độ:

2
2
1
1
2
ln
ζ
πζ
τζωδ
−
===
n
x
x
(1.85)





Hình 1.19

Hình 1.18

21



Ví dụ14
: Xử lý kết quả thí nghiệm dao động nhà một tầng sau, hình 1.19.

Lực kích ban đầu P = 9kG [88N]. Xê dịch do kéo x
0
= 0,51cm. Sau lần dao động thứ nhất, xê dịch
đạt 0,406cm. Chu kỳ dao động 1,4 s . Gia tốc trường trái đất nhận bằng 9,81 m/s
2
.
Từ
4,1/)/(2 == kgW
πτ
s suy ra W = (1,4/π)
2
.(88/0,0051).9,81 = 856.4 N
Tần số:
Hzf 714,04,1/1 ==
; tần số góc ω = 2πf = 4,48 rad/s
Cản:
223,0
406,0
51,0
ln ==
δ
; tỷ lệ cản: %55,3)2/(
=
=
π
δ
ς

Hệ số cản:
c =

ζ
2m
ω
= 282,9 kg.s/cm
Tần số có cản:
ωωςωω
≅=−= 999,01
2
d

Biên độ dao động sau 6 lần dao động:
(
)
cmAAAA 133,0/
0
6
016
==

5. DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC
Phương trình dao động không lực cản: )(tFkxxm
=
+
&&
(1.86)
5.1 Dao động điều hòa
tFtFkxxm
ω
sin)(
0

==+
&&
(1.87)
hoặc:
;sin
2
tqxx
n
ωω
=+
&&
(1.87a)
trong đó :
m
k
m
F
q
n
==
2
0
;
ω
(1.88)
Nghiệm riêng phương trình dao động tìm dưới dạng hàm điều hòa:
()
t
k
F

x
n
ω
ωω
sin
/1
1
2
0
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
= (1.89)
Nếu điều kiện ban đầu là x = 0 và dx/dt = 0 tại t = 0, khi t > 0 x có dạng:
()
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−

⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
= tt
k
F
x
n
n
n
ω
ω
ω
ω
ωω
sinsin
/1
1
2
0
(1.90)
Có thể thấy rằng, F
0
/k là chuyển vị khối lượng m dưới tác động tải tĩnh maximum F

0
, còn tỷ lệ
trong ngoặc 1/(1 - ω
2
/ω
n
2
) là ảnh hưởng tác động động của tải ấy. Giá trị tuyệt đối của tỷ lệ này có
tên gọi hệ số động lực học, gọi tắt hệ số động.

Hình 1.20 Hệ số động

22
Đồ thị hệ số động trong quan hệ với tỷ lệ tần số ω/ω
n
trình bày tại hình 1.20. Tại hình thấy rõ
rằng, với ω nhỏ hơn tần số riêng hệ số này gần như bằng 1. Khi tần số lực cưỡng bức tiến dần đến
tần số riêng, biên độ dao động tăng rất nhanh, và trở thành vô hạn nếu ω = ω
n
. Đây là điều kiện cọng
hưởng.
Ví dụ 15: Khảo sát chuyển động trọng vật W đặt trên bánh xe nối với trọng vật qua lò xo. Bánh xe di
chuyển trên đường gợn sóng, y = asin(
π
x/l) với vận tốc v = 18 m/s, hình 1.21. Biết rằng a = 2,5 cm, l
= 90 cm. Chuyển vị tĩnh lò xo dưới tác động W tính bằng δ
st
= 9,8 cm.
Tần số riêng ω
n

= g/δ
st
= 100 rad/s. Tâm O chuyển động lên – xuống theo độ gợn sóng của
đường. Giả sử tại thời điểm t = 0, tâm O nằm tại trục đứng hệ tọa độ, phương trình di động sẽ là:

l
x
ay
π
sin=
Dựa vào công thức
()
tax
n
ω
ωω
sin
/1
1
2
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=

khảo sát dao động trọng vật W, trong đó giá trị của a,
ω
n
,
đã biết,
ω = πv/l = 20π. Biên độ dao động tính từ đây x
0

= 0,066 cm. Thay đổi vận tốc v làm thay đổi tần số tác
động. Giả sử giảm v bốn lần,
ω = 5π, biên độ dao động
trở thành 1,72 cm.

5.2 Dao động cưỡng bức có cản nhớt
)(tFkxxcxm =++
&&&
(1.91)
Với lực cưỡng bức dạng
tFtF
ω
sin)(
0
= có thể viết:
;sin2
2
tqxxx
nn
ωωζω
=++

&&&
mFq /
0
=

Lời giải tìm ở dạng:
)sin(
0
ϕ
ω
−= txx (1.92)
trong đó
()
()
2
2
2
0
0
ωω
cmk
F
x
+−
=
;
2
ω
ω
ϕ

mk
c
tg
−
=
Quan hệ
2
22
2
2
2
0
0
4
1
1
/
)(
nn
kF
x
H
ω
ωζ
ω
ω
ω
+
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
==
(1.93)
có dạng trình bày tại hình 1.22
Sử dụng số phức giải quyết cùng một vấn đề, lực cưỡng bức thể hiện dạng:

ti
eFtF
ω
0
)( = (1.94)
Lời giải tìm như sau:

ti
exx
ω
0
= (1.95)
Hàm H(
ω) xác định dạng:
(
)
[
]

nn
iiH
ωςωωωω
/2/1/1)(
2
+−= , từ đó:
2
2
2
2
2
21
1
)(
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛

+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
n
n
iH
ω
ω
ς
ω
ω
ω
(1.96)

Hình 1.22a Hệ số động lực
học hệ thống một

bậc tự do

Hình 1.21

23

Quan hệ giữa chuyển vị x và chuyển vị tĩnh kF
st
/
0
=
δ
thể hiện như sau:
()
()
ϕω
ω
ωζ
ω
ω
ϕ
ω
−=
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
= tR
t

kF
x
d
nn
sin
4
1
sin
/
2
22
2
2
2
0
(1.97)
Từ đây
)sin(
4
1
2
22
2
2
2
ϕω
ω
ωζ
ω
ω

δ
−
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
= tx
nn
st
với
2
2
2
ωω
ζω
ϕ
−
=
n
tg
(1.98)

Hình 1.22b
Hệ số động lực học trong quan hệ với tần số (

ω
/
ω
n
) , hệ số cản
ζ

Phân biệt 3 trường hợp sau:
•
nst
tx
ω
ω
ω
δ
<<= ;sin
•
n
n
st
t
c
P
tx
ωωω
ω
π
ω
ζ
δ

==
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+= ;cos
2
sin
2
0

•
n
nst
t
m
P
tx
ωωω
ω
π
ω
ω
ωδ
>>=
⎟
⎠
⎞

⎜
⎝
⎛
+= ;sin
2
sin
2
0
2
2

Đồ thị
R
d
= A
m
=
2
22
2
2
2
4
1
1
nn
ω
ωζ
ω
ω

+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
trong quan hệ với tần số ω/ω
n
trình bày tại hình 1.22b
Ví dụ : Xác định dao động khung cứng tuyệt đối tại hình 1.23, chịu tác động lực cưỡng bức điều
hòa, Fsin
ωt. Điều kiện ban đầu: x
0
= 0; v
0
= 0 tại t = 0. Vẽ đồ thị dao động cho 2 trường hợp ζ = 0,1
còn
ω/ω
n
= 0,5 và ω/ω
n
= 1,0.
Nghiệm xác định theo công thức:

()
(

)
ϕωωω
ςω
−++=
−
tHtBtAex
dd
t
cossincos
Điều kiện ban đầu cho phép tính:

()
ϕ
ω
ϕ
ςω
ω
ϕ
sincos/;cos
+
−=−=
nd
HBCA



24

()
()
()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
+−=
−
0
2
cos
1
/
cos
ϕω
ς
ωω
ϕω

ςω
t
e
tHx
d
t
n


()
2
2
2
0
12
1/2
ςς
ωως
ϕ
−
−+
=
n
tg
Đồ thị dao động trình bày tại hình 1.24.
Công thức (1.97) có thể viết lại dưới dạng:
(
)
()
()

tBtA
tt
kP
x
nn
nn
ωω
ωζωωω
ωωωζωωω
cossin
/2/1
cos)/(2sin/1
/
2
2
22
22
0
+=
+−
−−
=
(1.99)
Vận tốc và gia tốc chuyển động:
Vận tốc:
() ()
ϕωϕω
ω
ω
−=−= tRtR

kmP
x
Vd
n
coscos
/
0
&
(1.101)
Gia tốc:
() ()
ϕωϕω
ω
ω
−=−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= tRtR
mP
x
Ad
n
sinsin
/

2
0
&&
(1.102)
5.3 Dao động với cản ma sát khô (cản Coulomb)
Lực F
a
luôn cản trở chuyển động.
a
Fkxxm =+
&&
(1.103)
Lời giải phương trình dao động tìm ở dạng:
kFtBtAx
ann
/cossin ++=
ω
ω
(1.104)
trong đó
mk
n
/=
ω


Với điều kiện ban đầu: x = x
0
tại t = 0, và 0
=

x
&
tại t = 0, có thể xác định:
k
F
t
k
F
xx
a
n
a
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
ω
cos
0
(1.105)
và
k
F
xx
a
t

n
2
0)/(
+−=
=
ωπ
(1.106)
Đồ thị dao động trình bày tại hình 1.28. Miền hạn chế tại
±(F
a
/k) tại đồ thị có tên gọi miền “chết”.
Tần số dao động và chu kỳ dao động xác định từ phương trình
(
)
0/ =
−
+
kFxkxm
a
&&
:
π
ω
2
n
f = và
n
ω
π
τ

2
=


Hình 1.25

Hình 1.23

Hình 1.24