lý thuyết xác suất và thống kê toán

LTXS và TK Toán Nhóm: 10
NỘI DUNG CHÍNH
1. Danh sách mẫu điều tra: điểm trung bình môn LTXS và TK Toán của sinh
viên ĐH Thương Mại
2. Cơ sở lý thuyết
2.1 Bài toán Ước lượng.
2.2 Bài toán Kiểm định.
3. Áp dụng lý thuyết giải bài toán thực tế:
3.1 Ước lượng điểm thi TB môn LTXS và TK Toán của sinh viên ĐH Thương
Mại với độ tin cậy 95%.
3.2 Kiểm định giả thuyết cho rằng trong mỗi lần thi tỷ lệ sinh viên ĐH Thương
Mại thi trượt môn LTXS và TK Toán là nhỏ hơn 30%. Với mức ý nghĩa 5%.
1
LTXS và TK Toán Nhóm: 10
1. Danh sách mẫu điều tra: điểm thi trung bình môn LTXS và TK
Toán của sinh viên ĐH Thương Mại ( làm tròn đến hàng đơn vị)
Bảng 1:
STT Họ và tên Lớp Khoa
Điểm thi
môn
LTXS&TK
Toán
1 Đoàn vũ Mong K43E2 Thương mại quốc tế 6.0
2 Lê thị hằng Nga K43E2 Thương mại quốc tế 5.0
3 Đỗ Phương Ngân K43E4 Thương mại quốc tế 7.0
4 Nguyễn thị Ngân K43E4 Thương mại quốc tế 6.0
5 Nguyễn thị Ngân K43E2 Thương mại quốc tế 8.0
6 Nguyễn thị minh Nguyệt K43E5 Thương mại quốc tế 6.0
7 Lại thị minh Nguyệt K43E4 Thương mại quốc tế 6.0
8 Phan tuyết Nhung K43E5 Thương mại quốc tế 8.0
9 Trương tuyết Nhung K43E5 Thương mại quốc tế 9.0

10 Trịnh thị Nhàn K45E1 Thương mại quốc tế 7.0
11 Đào hồng Nhung K43E5 Thương mại quốc tế 7.0
12 Lê hồng Quân K43E4 Thương mại quốc tế 6.0
13 Nguyễn thị Quỳnh K43E3 Thương mại quốc tế 6.0
14 Nguyễn thúy Quỳnh K43E1 Thương mại quốc tế 8.0
15 Trần Thị Nhung K43E4 Thương mại quốc tế 7.0
16 Nguyễn Tuấn Linh K43E6 Thương mại quốc tế 4.0
17 Trịnh Văn Huy K43E2 Thương mại quốc tế 6.0
18 Nguyễn Thanh Huyền K43E6 Thương mại quốc tế 7.0
19 Đỗ Tuấn Khanh K43E2 Thương mại quốc tế 7.0
20 Nguyễn Khánh Duy K43E4 Thương mại quốc tế 6.0
21 Trần Mạnh Tùng K43I4 Thương mại quốc tế 8.0
22 Nguyễn Thị Thuỷ K43E6 Thương mại quốc tế 7.0
23 Nguyễn Đức Thanh K43E3 Thương mại quốc tế 5.0
24 Hoàng Trung Chính K43E1 Thương mại quốc tế 9.0
25 Nguyễn Thị Ngân K43E4 Thương mại quốc tế 8.0
26 Nguyễn Thị Ngân K43E4 Thương mại quốc tế 6.0
27 Trịnh Thị Nhàn K43E3 Thương mại quốc tế 5.0
28 Trần Thị Nhung K43E4 Thương mại quốc tế 8.0
29 Phạm Thị Tô Hà K43E4 Thương mại quốc tế 3.0
30 Phạm Hương Duyên K43E4 Thương mại quốc tế 4.0
31 Triệu Thị Ngọc Phương K43E4 Thương mại quốc tế 5.0
32 Nguyễn Thanh Phương K43E4 Thương mại quốc tế 7.0
2
LTXS và TK Toán Nhóm: 10
33 Trương Thị Tuyết Nhung K43E5 Thương mại quốc tế 6.0
34 Vũ Hồng Nhung K43E2 Thương mại quốc tế 7.0
35 Nguyễn Thị Thơm K43E4 Thương mại quốc tế 8.0
36 Nguyễn Thế Hậu K43E2 Thương mại quốc tế 5.0
37 Trịnh Thị Phượng K43E3 Thương mại quốc tế 6.0

38 Dương Vũ Quân K43E2 Thương mại quốc tế 7.0
39 Phạm Thị Thơm K43E3 Thương mại quốc tế 5.0
40 Nguyễn Thị Thanh Tâm K43E1 Thương mại quốc tế 4.0
41 Nguyễn Thị The K43E2 Thương mại quốc tế 6.0
42 Trần Thị Thơm K43E5 Thương mại quốc tế 8.0
43 Nguyễn Văn Thái K43E2 Thương mại quốc tế 5.0
44 Trịnh Thị Thu Phương K43E4 Thương mại quốc tế 5.0
45 Nguyễn Thu Phương K43E4 Thương mại quốc tế 7.0
46
Bùi Thị Xuân K44I3 Thương Mại Điện Tử 6.0
47
Nguyễn Thị Thu Hà K44I3 Thương Mại Điện Tử 4.5
48
Trần Văn Hiển K44I3 Thương Mại Điện Tử 5.0
49
Trịnh Văn Tùng K44I3 Thương Mại Điện Tử 7.0
50
Nguyễn Văn Thắng K44I3 Thương Mại Điện Tử 7.0
51
Lê Xuân Đức K44I3 Thương Mại Điện Tử 5.0
52
Bùi Tùng Lâm K44I3 Thương Mại Điện Tử 6.5
53
Lê Hồng Nhung K44I3 Thương Mại Điện Tử 8.0
54
Phạm Văn Mạnh K44I3 Thương Mại Điện Tử 3.0
55
Phạm Bình Minh K44I3 Thương Mại Điện Tử 7.5
56
Phùng Đình Quân K44I3 Thương Mại Điện Tử 4.0

57
Nguyễn Văn Dũng K44I3 Thương Mại Điện Tử 6.0
58
Vũ Thị Bích Huệ K44I3 Thương Mại Điện Tử 8.0
59
Phan Vũ Duy K44I3 Thương Mại Điện Tử 5.5
60
Trần Trung Hiếu K44I3 Thương Mại Điện Tử 5.5
61 Lê Quốc Bằng K44C2
Marketing thương mại
4.0
62 Phùng Quang Bảo K44C4
Marketing thương mại
3.5
63 Ngô Phương Đông K44C4
Marketing thương mại
7.0
64 Trần Thị Dung K44C4
Marketing thương mại
7.5
65 Nguyễn Thị Hiền K44C2
Marketing thương mại
5.0
66 Phạm Mai Hoa K44C2
Marketing thương mại
6.5
67 Vũ Thái Hoà K44C2
Marketing thương mại
6.0
68 Lê Thu Hoài K44C1

Marketing thương mại
9.0
69 Vũ Thái Học K44C1
Marketing thương mại
4.0
70 Hoàng Thị Huệ K44C2
Marketing thương mại
8.5
71 Phạm Thị Hường K44C3
Marketing thương mại
7.0
72 Nguyễn Thị Huyền K44C2
Marketing thương mại
3.5
3
LTXS và TK Toán Nhóm: 10
73 Phạm Tùng Lâm K44C3
Marketing thương mại
7.5
74 Lại Mỹ Liên K44C3
Marketing thương mại
6.0
75 Ngô Ngọc Linh K44C1
Marketing thương mại
4.0
76
Mai Thuỳ Trang 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 8.0
77
Nguyễn Ngọc Đức 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 7.0
78

Nguyễn Thị Thanh Hoa 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 9.0
79
Trần Thị Thu 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 7.5
80
Nguyễn Trung Kiên 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 6.0
81
Phạm Thế Nghĩa 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 9.0
82
Triệu Thị Kiều 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 7.0
83
Âu Việt Huy 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 5.0
84
Lê Thị Ngọc Bích 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 6.0
85
Nguyễn Thj Quỳnh Anh 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 7.5
86
Lê Thùy Dung 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 6.5
87
Cấn Duy Quang 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 5.5
88
Trần Thị Thu Hương 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 7.5
89
Nguyễn Mạnh Hùng 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 9.0
90
Dương Đặng Hiệp 44S2 Hệ thống thông tin kinh tế 4.5
91
Trần Thái Bảo K43H1 Tài chính ngân hàng 7.0
92
Vũ Việt Hưng K43H1 Tài chính ngân hàng 4.0
93

Vũ Thị Thu Trang K43H1 Tài chính ngân hàng 6.5
94
Lê Minh Đức K43H1 Tài chính ngân hàng 6.0
95
Hoàng Kiều Trang K43H1 Tài chính ngân hàng 4.5
96
Phạm Thị Thùy Linh K43H1 Tài chính ngân hàng 4.5
97
Nguyễn Thị Thu Hà K43H1 Tài chính ngân hàng 9.0
98
Phạm Văn Chung K43H1 Tài chính ngân hàng 2.5
99
Phùng Thị Kim Thùy K43H1 Tài chính ngân hàng 9.0
100
Nguyễn Thị Bích Hằng K43H1 Tài chính ngân hàng 6.5
101
Trần Thu Hương K43H1 Tài chính ngân hàng 6.5
102
Nguyễn Hoàng Nam K43H1 Tài chính ngân hàng 5.5
103
Mai Duy Khánh K43H1 Tài chính ngân hàng 6.0
104
Lê Thu Trà K43H1 Tài chính ngân hàng 7.5
105
Hoàng Trần Lâm K43H1 Tài chính ngân hàng 7.0
106 Lê Thanh Loan K45H2
Tài chính ngân hàng
6.0
107 Trần Thị Ngân K45H6
Tài chính ngân hàng

8.0
108 Doàn Thị Hải Lý K45H3
Tài chính ngân hàng
8.5
109 Trần Gia Cường K45H5
Tài chính ngân hàng
7.0
110 Nguyễn Thị Hồng K45H3
Tài chính ngân hàng
8.5
111 Nguyễn Thị Hòa K45H2
Tài chính ngân hàng
7.0
112 Lê Thị Hường K45H1
Tài chính ngân hàng
6,5
4
LTXS và TK Toán Nhóm: 10
113 Ngọc Thị Hoa K45H1
Tài chính ngân hàng
9.5
114 Lê Thị Hương K45H2
Tài chính ngân hàng
6.0
115 Phạm Thị Hồng Giang K45H1
Tài chính ngân hàng
5.5
116 Ngô Hải Anh K45H2
Tài chính ngân hàng
7.0

117 Cao Thị Kim Anh K45H1
Tài chính ngân hàng
6.0
118 Phan Nguyễn Phương Anh K45H4
Tài chính ngân hàng
6.0
119 Phạm Thị Hoa K45H1
Tài chính ngân hàng
5.5
120 Cát Thanh Bình K45H1
Tài chính ngân hàng
5,5
2. Cơ sở lý thuyết
2.1 Bài toán Ước lượng.
Giả sử trên một đám đông ĐLNN X có E(X) = và Var (X)=.
Trong đó chưa biết,cần ước lượng.Từ đám đông là sinh viên ĐHTM ta lấy ra mẫu kích thước
n:W=(X
1
,X
2
,…,X
n
).Từ mẫu này ta tìm được trung bình mẫu và phương sai mẫu.
Đây là bài toán ước lượng kỳ vọng toán của ĐLNN gốc X, chưa biết quy luật phân phối của X
trên đám đông ,nhưng biết kích thước mẫu
n >30 (nghiên cứu trên lượng lớn sinh viên ĐHTM)
Khi kích thước mẫu n>30 ĐLNN trung bình mẫu có phân phối xấp xỉ chuẩn với các tham số
E(X)=µ và Var(X)=
Gọi X là điểm thi trung bình môn lý thuyết xác suất-thống kê của sinh viên ĐHTM.
Gọi là điểm thi trung bình môn lý thuyết xác suất-thống kê của sinh viên ĐHTM trên mẫu.

Gọi là điểm thi trung bình môn lý thuyết xác suất-thống kê của sinh viên ĐHTM trên đám
đông.
Khi n >30 ta có thể lấy với ]
Tính từ mẫu đã thu được :
Do đó U= (*)
5
LTXS và TK Toán Nhóm: 10
 TH1: Khoảng tin cậy đối xứng
Khi đó ta tìm được phân vị
2
u
α
sao cho:
P( )
Thay U vào công thức trên và biến đổi ta có:
P( )
Hay P( -
Hay P(
Đặt
Vậy điểm trung bình môn xác suất-thống kê của sv ĐHTM nằm trong khoảng ( +
 TH2:Khoảng tin cậy phải (α
1
=0,α
2
=α ,dùng để ước lượng giá trị tối thiểu của µ)
Ta vẫn dùng thống kê trên (*).Với độ tin cậy 1-α cho trước ta tìm được phân vị chuẩn u
α
sao cho:
P(U< u
α

) =1- α
Thay biểu thức của U vào công thức trên ta có:
P( u
α
) =1-α
Hay P( u
α
<µ) =1-α
Vậy khoảng tin cậy phải với độ tin cậy 1-α của µ là:
( u
α
; )
 TH3:Khoảng tin cậy phải (α
1
=α ,α
2
=0,dùng để ước lượng giá trị tối đa của µ)
Với độ tin cậy 1-α cho trước ta tìm được phân vị chuẩn u
α
sao cho:
P(-u
α
< U) =1-α
Thay biểu thức U vào công thức trên ta có :
P(-u
α
< )=1-α
Biến đổi tương đương ta được:
6
LTXS và TK Toán Nhóm: 10

P(µ< u
α
) =1-α
Như vậy khoảng tin cậy trái với độ tin cậy 1-α của µ là:
(- u
α
)
2.2 Bài toán Kiểm định
Xét một đám đông có tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu A là P ,trong đó P chưa biết .Từ một cơ sở nào
đó người ta tìm được P = P
0

nhưng đang nghi nghờ về điều này .Với mức ý nghĩa cần kiểm
định giả thuyết : P = Po. Gọi f là tỉ lệ phàn tử mang dấu hiệu A trên mẫu ngẫu nhiên kích thước n
. Như ta đã biết kkhi kích thước mẫu n đủ lớn thì f có phân phối xấp xỉ chuẩn :

f N (p,)
XDTCKĐ: U=
Trong đó =1-
Bài toán :
1
:
:
o o
o
H p p
H p p
=




<


Phương pháp giải:
 B1 : Gọi f là tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu A trên mẫu ngẫu nhiên kích thước n
Gọi p là tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu A trên đám đông

Với kích thước mẫu n đủ lớn nên ta có :
f N (P, )
7
LTXS và TK Toán Nhóm: 10
Với mức ý 𝑛𝑛ℎĩ𝑛 cần kiểm định :
XDTKKĐ :
U =
trong đó : = 1-
nếu đúng thì U N (0,1).
 B2: Ta tìm được phân vị sao cho :

( )P U u
α
α
< − =
Vì khá bé nên theo nguyên lý thuyết xác suất thống kê nhỏ ta có miền bác bỏ :

{ }
:
tn tn
W u u u
α α

= < −
Trong đó
=
 B3: Với mẫu đã cho, ta có:
n
A
f
n
=
Với đã biết => . f,
,
o o
p q
n đã biết ta tính được
So sánh với
u
α
• TH1 : Nếu
W
tn
u
α
∈
=> có cở sở để bác bỏ , chấp nhận
• TH2 : Nếu
W
tn
u
α
∉

=> không có cơ sở để bác bỏ
8
LTXS và TK Toán Nhóm: 10
Kết luận : - TH1 Vậy với mức ý nghĩa ta có thể nói rằng p <
-TH2 Vậy với mức ý nghĩa ta không thể nói rằng p <
3. Áp dụng lý thuyết giải bài toán thực tế:
Từ bảng danh sách ta thống kê được số lượng sinh viên với mức điểm thi tương ứng như sau:
Bảng 2:
Điểm thi môn
LTXS và TK Toán
( )
i
x
Số lượng sv
( )
i
n
.n x
i i
2
.n x
i i
2.5 1 2.5 6.25
3.0 2 6 18
3.5 2 7 24.5
4.0 8 32 128
4.5 4 18 81
5.0 12 60 300
5.5 7 38.5 211.75
6.0 24 144 864

6.5 7 45.5 295.75
7.0 22 154 1078
7.5 7 52.5 393.75
9
LTXS và TK Toán Nhóm: 10
8.0 12 96 768
8.5 3 25.5 216.75
9.0 8 72 648
9.5 1 9.5 90.25
∑
120 763 5124
3.1 Ước lượng điểm thi TB môn LTXS và TK Toán của sinh viên ĐH Thương
Mại với độ tin cậy 95%.
Với đám đông là sinh viên ĐHTM ta lấy ra một mẫu kích thước n= 120 sinh viên và điều tra
điểm thi TB môn LTXS và TK Toán, với độ tin cậy 95%. Nghiên cứu mẫu này ta tìm được
trung bình mẫu và phương sai mẫu.
Xác định bài toán:
Đây là bài toán ước lượng kỳ vọng toán của ĐLNN gốc X, chưa biết quy luật phân phối của X
trên đám đông ,nhưng biết kích thước mẫu n >30 (nghiên cứu trên lượng lớn sinh viên ĐHTM)
Khi kích thước mẫu n>30 ĐLNN trung bình mẫu có phân phối xấp xỉ chuẩn với các tham số
E(X)=µ và Var(X)=
2
n
δ

Giải:
Biết:
120,n =

0,95

γ
=
Gọi X là điểm thi trung bình môn lý thuyết xác suất-thống kê của sinh viên ĐHTM.
Gọi là điểm thi trung bình môn lý thuyết xác suất-thống kê của sinh viên ĐHTM trên mẫu.
Gọi là điểm thi trung bình môn lý thuyết xác suất-thống kê của sinh viên ĐHTM trên đám
đông.
Vì n=120>30, nên
2
( ; )X N
n
δ
µ
;
XDTK:
(0;1)
X
U N
n
µ
δ
−
= ;
Với độ tin cậy
1
γ α
= −
, ta tìm được giá trị phân vị
2
U
α

, sao cho:
2
( )P U U
α
γ
< =
Thay U, ta được:
10
LTXS và TK Toán Nhóm: 10
2
( )
X
P U
n
α
µ
γ
δ
−
< =
2 2
( . . )P U X U
n n
α α
δ δ
µ γ
⇔ − < − < =
Đặt:
2
.U

n
α
δ
ε
=
,
Ta được:
( )
( )
P X
P X X
ε µ ε γ
ε µ ε γ
− < − < =
⇔ − < < + =
Với mẫu đã cho (bảng 2) ta có:
15
1
1 1
. . .763 6,358
120
i i
i
x n x
n
=
= = ≈
∑
Và:
15

2 2 2
1
1 1
( . . ) .(5124 120.6,358 ) 1,515
1 120 1
i i
i
s n x n x
n
=
′
= − = − ≈
− −
∑
Vì n=120>30, nên ta lấy
1,515s
δ
′
≈ ≈
(ƯL điểm)
Lại có:
0.025
2
0.95 1
0,05 1,96u u
α
γ α
α
= = −
⇒ = → = =

2
1,515
. 1,96. 0,271
120
u
n
α
δ
ε
⇒ = = ≈
Kết luận:
Vậy với độ tin cậy 0.95%, ta có thể nói rằng: điểm thi TB môn LTXS và TK Toán của sv ĐH
Thương Mại nằm trong khoảng (6,358-0,271 ; 6,358+0,271) hay ( 6,078 ; 6,629)
3.2. Kiểm định giả thuyết cho rằng trong mỗi lần thi tỷ lệ sinh viên ĐH Thương
Mại thi trượt môn LTXS và TK Toán là nhỏ hơn 30%. Với mức ý nghĩa 5%.
( điều kiện thi trượt: điểm TB < 4 )
Xét đám đông là sinh viên ĐHTM có tỉ lệ sinh viên thi trượt môn LTXS và TK Toán là P
,trong đó P chưa biết .Từ một cơ sở nào đó người ta tìm được P = P
0

nhưng đang nghi nghờ về
điều này .Với mức ý nghĩa cần kiểm định giả thuyết : P = Po . Gọi f là tỷ lệ sinh viên thi
trượt trên mẫu đã chọn. Như ta đã biết kkhi kích thước mẫu n đủ lớn thì f có phân phối xấp xỉ
chuẩn .
Xác định bài toán:
11
LTXS và TK Toán Nhóm: 10
Đây là bài toán Kiểm định phía trái
1
:

:
o o
o
H p p
H p p
=



<


Từ mẫu đã cho, ta tìm đc tỷ lệ sv thi trượt là trên mẫu là f. Khi n khá lớn thì f có phân phối xấp xỉ
chuẩn với các tham số
( ) ( )
, àVar ,
pq
E X p v X
n
= =
với
1q p= −
.
Giải:
Từ bảng 2 ta có:
120, 5, 0,3, 0.05
A o
n n p
α
= = = =

Gọi f là tỉ lệ sinh viên thi trượt môn LTXS và TK Toán trên mẫu
Gọi p là tỉ lệ sinh viên thi trượt môn LTXS và TK Toán trên đám đông
Với mức ý nghĩa
0,05
α
=
, ta đi kiểm đinh BT:
1
: 0,3
: 0,3
o
H p
H p
=


<

Vì n=120 khá lớn nên
( , )
pq
f N p
n
;
XDTCKĐ:
o
o o
f p
U
p q

n
−
=
nếu Ho đúng thì
(0;1)U N;
Với
0,01
α
=
, ta tìm đc giá trị phân vị
u
α
, sao cho:
( )P U u
α
α
< − =
Vì
0,05
α
=
khá bé, nên theo nguyên lý xác suất nhỏ, ta có miền bác bỏ:
{ }
:
tn tn
W u u u
α α
= < −
Với mẫu đã cho, ta có:
5 1

120 24
A
n
f
n
= = =
1
0,3
24
6,18
0,3.0,7
120
o
tn
o o
f p
u
p q
n
−
−
⇒ = = = −
Với
0,05
0,05 1,65u u
α
α
= → = =
6,18 1,68
tn

u u
α
⇒ = − < − = −
Vậy suy ra:
W :
tn
u
α
∈
Bác bỏ Ho, chấp nhận
1
H
Kết luận:
Vậy với mức ý nghĩa 5% , ta có thể nói rằng: trong mỗi lần thi tỷ lệ sv ĐHTM thi trượt môn
LTXS và TK Toán là nhỏ hơn 30%.
12
LTXS và TK Toán Nhóm: 10
$$ The End $$
13