nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh tìm điểm bất động chung cho một họ hữu hạn ánh xạ giả co chặt

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC



BÙI THỊ THÚY HÀ


NGUYÊN LÝ BÀI TOÁN PHỤ HIỆU CHỈNH TÌM
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ HỮU
HẠN ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT

CHUYÊN NGÀNH : TOÁN ỨNG DỤNG
MÃ SỐ : 60.46.36



TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC






THÁI NGUYÊN – 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Công trình đựoc hoàn thành tại :
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG




Phản biện 1: GS.TS. Trần Vũ Thiệu
Phản biện 2: TS. Nguyễn Thị Thu Thủy




Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn họp tại:
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Ngày 07 tháng 11 năm 2010




Có thể tìm hiểu luận văn tại Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên
và thư viện Trường Đại học Khoa học

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
R
n
n
|β| β
x := y x y
∀x x
∃x x
I
A ⊂ B A B
A ⊆ B A B
A ∪ B A B
A ∩ B A B
A × B A B
D D
A
T
A
x
k
→ x {x
k
} x
x
k
 x {x
k
} x
A

∗
A
D(A) A
R(A) A
MV I
MP
AP
k
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
T
i
, i = 1, 2, N,
N = 1
C
N > 1
C
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
X R
X ., . : X × X → R
x, x > 0, ∀x = 0; x, x = 0 ⇔ x = 0
x, y = y, x, ∀x, y ∈ X
αx, y = αx, y, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R;
x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y, z ∈ X.
X ., .
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
x x
x =

x, x R

n
L
2
[a, b]
x, y =
n

i=1
ξ
i
η
i
; x = (ξ
1
, ξ
2
, , ξ
n
) ∈ R
n
;
y = (η
1
, η
2
, , η
n
) ∈ R
n
;

ϕ, ψ =

b
a
ϕ(x)ψ(x)dx, ϕ, ψ ∈ L
2
[a, b].
• X {x
n
}
x
n
∈ X x ∈ X x
n
− x →
0 n → ∞ {x
n
} x ∈ X
{x
n
k
} ⊂ {x
n
} x
{x
n
− ξ} ξ ∈ X.
• {x
n
} ⊂ X ε > 0

n
0
(ε) x
m
− x
n
 < ε m ≥ n
0
(ε), n ≥ n
0
(ε)
• X, Y A : X → Y A
X Y. A : X → 2
Y
A
X Y.
• A : X → R
A(x
1
+ x
2
) = Ax
1
+ Ax
2
∀x
1
, x
2
∈ X;

A(αx) = αAx ∀α ∈ R, x ∈ X.
• A
M > 0 Ax ≤ Mx M
A A
X x
0
∈ X
ϕ : X → R ϕ = 1
ϕ(x
0
) = x
0

• X
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
X
∗
.
• {x
n
} x
n
∈ X
x ∈ X x
n
 x φ, x
n
 → φ, x φ ∈ X
∗
• X C X

T : C → X
{x
n
} X {T x
n
− x
n
}
{x
n
k
} {x
n
}
• T p {x
n
} ∈ D(T ) {x
n
}
x ∈ D(T ) {T (x
n
)} p T (x) = p
{x
n
} x ∈ X {x
n
}
X M
X.
M x, y ∈ M, 0 ≤ λ ≤ 1

λx + (1 − λ)y ∈ M;
{x
n
} ⊂ M
M
• M
M
• M ⊂ X {x
n
}  x x ∈ M
ϕ X
ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y) (1.1)
x, y ∈ X, t ∈ [0, 1] x = y ϕ
• γ : [0; +∞) → R, γ(0) = 0
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
ϕ(tx + (1 − t)y) ≤ tϕ(x) + (1 − t)ϕ(y) − t(1 − t)γ(x − y) (1.2)
x, y ∈ X ϕ γ(t)
ϕ.
• γ(t) = ct
2
(c > 0) ϕ
ϕ
x
0
∈ X {x
n
} ⊂ X x
n
→ x
0

ϕ(x
0
) ≤ lim inf
n→∞
ϕ(x
n
). (1.3)
x
n
 x
0
ϕ(x
0
) ≤ lim inf
n→∞
ϕ(x
n
),
ϕ x
0
ϕ : X → R ϕ
h x ∈ X
lim
t→0
ϕ(x + th) − ϕ(x)
t
= V

(x, h). (1.4)
h V


(x, h) =
A(x)h A(x) ϕ x
ϕ

(x)
A : X → X
∗
V

(x, h) = Ax, h, ∀x, h ∈ X,
A ϕ ϕ

gradϕ
ϕ(x) X ϕ

(x)
ϕ

(x) − ϕ

(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X;
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
ϕ(x) X
ϕ

(x) − ϕ

(y), x − y ≥ 2γ(x − y), ∀x, y ∈ X;
ϕ(x) X

ϕ

(x) − ϕ

(y), x − y ≥ 2cx − y
2
, ∀x, y ∈ X.
ϕ(x) X ϕ

(x)
ϕ

(x), x − y ≥ ϕ(x) − ϕ(y), ∀x, y ∈ X;
ϕ(x) X
ϕ

(x), x − y ≥ ϕ(x) − ϕ(y) + γ(x − y), ∀x, y ∈ X;
ϕ(x) X
ϕ

(x), x − y ≥ ϕ(x) − ϕ(y) + cx − y
2
, ∀x, y ∈ X.
ϕ : X → R
x
0
∈ X
F : X → X
∗
x + h ∈ X

ϕ(x + h) − ϕ(x) = F (x), h + w(x, h);
w(x, h) = ◦(h)
lim
h→0
w(x, h)
h
= 0.
F (x) = ϕ

(x) ϕ
x
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
A : X → 2
Y
X Y R(A) ⊂ Y
A
A : X → 2
X
∗
c(t) t ≥ 0 c(t) → +∞ t → ∞
y, x ≥ c(x)x, ∀x ∈ X, ∀y ∈ Ax.
A
lim
x→∞
Ax, x
x
= +∞.
A : X → X X
X Y.
X, Y A : X → Y

x
0
∈ X {x
n
} ⊂ X
Ax
n
→ Ax
0
, x
n
→ x
0
;
x
0
∈ X A(x
0
+ t
n
h)  Ax
0
t
n
→ 0
h x
0
+ t
n
h ∈ X, 0 ≤ t

n
≤ t(x
0
)
x
0
∈ X {x
n
} ⊂ X
x
n
→ x
0
Ax
n
 Ax
0
∃L > 0
Ax − Ay ≤ Lx − y, ∀x, y ∈ X.
A : X → 2
X
∗
X
d(t) t ≥ 0 d(0) = 0
Ax − Ay, x − y ≥ (d(x) − d(y))(x − y), ∀x, y ∈ X.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
A : X → 2
X
∗
X δ(t) t ≥ 0 δ(0) = 0

Ax − Ay, x − y ≥ δ(x − y), ∀x, y ∈ X.
δ(t) = ct
2
, (c > 0) A
C A + C
X T : X → X
x
∗
∈ X T (x
∗
) = x
∗
T : X → 2
X
x
∗
∈ X x
∗
∈ T (x
∗
)
X, Y T : X →
Y k ∈ [0, 1) d(T x, T y) ≤
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
kd(x, y), ∀x, y ∈ X.
(X, d) T
X x
∗
∈ X T (x
∗

) = x
∗
x
0
∈ X T
n
x
0
→ x
∗
n → ∞
x
0
∈ X x
n+1
= T x
n
n = 0, 1, 2 T
k ∈ [0, 1)
d(x
2
, x
1
) = d(T x
1
, T x
0
) ≤ kd(x
1
, x

0
)
d(x
3
, x
2
) = d(T x
2
, T x
1
) ≤ kd(x
2
, x
1
) ≤ k
2
d(x
1
, x
0
)

d(x
n+1
, x
n
) ≤ k
n
d(x
1

, x
0
).
(1.5)
m ≥ n
d(x
n
, x
m
) ≤ d(x
n
, x
n+1
) + d(x
n+1
, x
n+2
) + + d(x
m−1
, x
m
)
≤ k
n
d(x
0
, x
1
) + k
n+1

d(x
0
, x
1
) + + k
m−1
d(x
0
, x
1
)
≤ k
n
(1 + k + + k
m−n−1
)d(x
0
, x
1
)
≤
k
n
1 − k
d(x
0
, x
1
).
k ∈ [0, 1) k

n
→ 0 n → ∞
{x
n
} (X, d) {x
n
}
x
∗
∈ X.
• n
0 ≤ d(x
∗
, T x
∗
) ≤ d(x
∗
, x
n
) + d(x
n
, T x
∗
)
≤ d(x
∗
, x
n
) + kd(x
n−1

, x
∗
).
n → ∞ d(x
∗
, T x
∗
) = 0, T x
∗
= x
∗
• y
∗
∈ X T y
∗
= y
∗
d(x
∗
, y
∗
) = d(T x
∗
, T y
∗
) ≤ kd(x
∗
, y
∗
).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
k ∈ [0, 1) d(x
∗
, y
∗
) = 0, x
∗
= y
∗
. T
H C
H T : C → H C
T x − T y ≤ x − y, ∀ x, y ∈ C.
H C
H T : C → H C T
C
H, T : C → H
{x
n
} H {T x
n
− x
n
}
{x
n
k
}
F ixT T x
0

∈ C, λ ∈ (0, 1)
{x
n
}
∞
n=0
x
n+1
= (1 − λ)x
n
+ λT x
n
, n = 0, 1
T
T {x
n
}
T
H C
H T : C → H λ− ∃λ ∈ [0, 1)
T x − T y
2
≤ x − y
2
+ λ(I − T )x − (I − T )y
2
, ∀x, y ∈ C, (1.6)
I H λ = 0 T
T x − T y ≤ x − y, x, y ∈ C.
λ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
H C
H. T : C → H λ−
x
0
∈ C, 0 < µ < 1 − λ {x
n
}
∞
n=0
x
n+1
= (1 − µ)x
n
+ µT x
n
, n = 0, 1 (1.7)
T T
{x
n
} x
∗
T λ
∃λ ∈ [0, 1)
T x − T y
2
≤ x − y
2
+ λ(I − T )x − (I − T )y
2

, ∀x, y ∈ C.
A := I − T
Ax − Ay, x − y ≥
1 − λ
2
Ax − Ay
2
.
˜
λ =
1 − λ
2
, λ < 1,
˜
λ =
1 − λ
2
> 0.
A
T
t
= (1 − t)I + tT t > 0
T
t
x − T
t
y
2
=(I − tA)x − (I − tA)y
2

=(x − y) − t(Ax − Ay)
2
=(x − y)
2
+ t
2
(Ax − Ay)
2
− 2tAx − Ay, x − y
≤(x − y)
2
+ t
2
(Ax − Ay)
2
− 2t
˜
λAx − Ay
2
=(x − y)
2
+ t(t − 2
˜
λ)Ax − Ay
2
.
t > 0 t < 2
˜
λ = 1 − λ
T

t
x − T
t
y
2
≤ (x − y)
2
T
t
x − T
t
y
2
≤ (x − y)
2
.
T
T
t
C
k ∈ [0, 1) x
n
= (T
t
)
n
k
x
0
x

0
∈
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
C x
∗
T C
(T
t
)
k
(T
t
)
k
= (1 − k)I + kTt
= (1 − k)I + k[(1 − t)I + tT ]
= (1 − kt)I + ktT = T
µ
µ = kt < t ≤ 1 − λ.
T {x
n
}
x
∗
T
µ
x
0
∈ C, {x
n

}
x
n
= (T
t
)
n
k
x
0
, k ∈ (0, 1).
{x
n
− T
t
(x
n
)}
n∈N
x
n+1
− x
∗
= (1 − k)x
n
+ kT
t
(x
n
) − x

∗
= (1 − k)(x
n
− x
∗
) + k(T
t
x
n
− x
∗
).
a
a(x
n
− T
t
(x
n
)) = a(x
n
− x
∗
) − a(T
t
x
n
− x
∗
).

x
n+1
− x
∗

2
= (1 − k)
2
x
n
− x
∗

2
+ k
2
T
t
x
n
− x
∗

2
+ 2k(1 − k)T
t
x
n
− x
∗

, x
n
− x
∗
,
(1.8)
a
2
x
n
− T
t
x
n

2
= a
2
x
n
− x
∗

2
+ a
2
T
t
x
n

− x
∗

2
− 2a
2
T
t
x
n
− x
∗
, x
n
− x
∗
.
(1.9)
T
t
T
t
x
∗
= x
∗
x
n+1
− x
∗


2
+ a
2
x
n
−T
t
x
n

2
≤ [2a
2
+ k
2
+ (1 − k)
2
]x
n
− x
∗

2
+ 2[k(1 − k) − a
2
]T
t
x
n

− x
∗
, x
n
− x
∗
.
(1.10)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
T
t
x
n
− x
∗
, x
n
− x
∗
 ≤ T
t
x
n
− T
t
x
∗
.x
n
− x

∗

≤ x
n
− x
∗

2
.
(1.11)
a a
2
≤ k(1 − k)
x
n+1
− x
∗

2
+ a
2
x
n
−T
t
x
n

2
≤ [2a

2
+ k
2
+ (1 − k)
2
+ 2k(1 − k) − 2a
2
].x
n
− x
∗

2
= x
n
− x
∗

2
.
a
2
= k(1 − k)
a
2
x
n
− T
t
x

n

2
≤ x
n
− x
∗

2
− x
n+1
− x
∗

2
n = 0 n = N
k(1 − k)
N

n=0
x
n
− T
t
x
n

2
≤
N


n=0

x
n
− x
∗

2
− x
n+1
− x
∗

2

= x
0
− x
∗

2
− x
N+1
− x
∗

2
≤ x
0

− x
∗
.
N

n=0
x
n
− T
t
x
n
 < ∞ x
n
− T
t
x
n
 → 0 n → ∞.
T {x
n
i
}
x
n
i
→ x
∗
T
t

T
t
x
n
i
→ T
t
x
∗
, T
t
x
∗
= x
∗
.
{x
n
}
∞
n=0
x
∗
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
A(x) = f.
(1.12)
A : X → Y X
Y f Y
A X
Y

A(x) = f f ∈ Y
A X
Y
• x f x = R(f)
(X, Y ) ε > 0
δ(ε) > 0 ρ
Y
(f
1
, f
2
) ≤ δ(ε) ρ
X
(x
1
, x
2
) ≤ ε
x
i
= R(f
i
), x
i
∈ X, f
i
∈ Y, i = 1, 2
•
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
f f

δ
f
δ
− f ≤ δ x
δ
f
f
δ
δ → 0 f
δ
→ f
x
δ
x
A
A
x
n
 x Ax
n
→ Ax.
X Y A
A
A
{x
n
} x x
n
 x
x

n
→ x y
n
= A(x
n
) y = A(x) A
y
n
→ y A(x) = f
D(A)
A
R(A)
A
−1
A(x) = f

b
a
K(t, s)ϕ(s)ds = f
0
(t), t ∈ [c, d], (1.13)
−∞ < a < b < +∞, −∞ < c < d < +∞,
ϕ(s) f
0
(t)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
K(t, s) ∂K/∂t
ϕ(s) a, b
ϕ
1

ϕ
2
ρ
C[a,b]
(ϕ
1
, ϕ
2
) = max
s∈[a,b]
|ϕ
1
(s) − ϕ
2
(s)|.
L
2
[c, d]
f
1
(t) f
2
(t) L
2
[c, d]
ρ
L
2
[c,d]
(f

1
, f
2
) =


d
c
|f
1
(t) − f
2
(t)|
2
dt

1/2
.
ϕ
0
(s)
f
1
(t) = f
0
(t) + N

b
a
K(t, s) sin(ωs)ds

ϕ
1
(s) = ϕ
0
(s) + N sin(ωs).
N ω f
0
f
1
L
2
[c, d]
ρ
L
2
[c,d]
(f
0
, f
1
) = |N|


d
c


b
a
K(t, s) sin(ωs)ds


2
dt

1/2
K
max
= max
s∈[a,b],t∈[c,d]


K(t, s)


,
ρ
L
2
[c,d]
(f
0
, f
1
) ≤ |N|


d
c

K

max
1
ω
cos(ωs)


b
a

2
dt

1/2
≤
|N|K
max
c
0
ω
,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên
c
0
N ω N/ω
ρ
C[a,b]
(ϕ
0
, ϕ
1

) = max
s∈[a,b]
|ϕ
0
(s) − ϕ
1
(s)| = |N|
ϕ
0
ϕ
1
L
2
[a, b]
ρ
L
2
[a,b]
(ϕ
0
, ϕ
1
) =


b
a
|ϕ
0
(s) − ϕ

1
(s)|
2
ds

1/2
= |N|


b
a
sin
2
(ωs)ds

1/2
= |N|

b − a
2
−
1
2ω
sin(ω(b − a)) cos(ω(b + a)).
N ω ρ
L
2
[c,d]
(f
0

, f
1
)
ρ
L
2
[a,b]
(ϕ
0
, ϕ
1
)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên